Notas de Aula MAT0124

Notas de aula de MAT0124Cálculo Diferencial e Integral I

UFRGS

Professor Jaime Ripoll

August 6, 2013

Contents

1 Grandezas e seus relacionamentos. Funções. Conceituação edescrição preliminar de algumas funções econômicas. 4

2 Fórmulas analíticas. Modelos lineares e não lineares. 17

3 Estudo das funções receita e lucro usando modelos linearespara as funções demanda e custo 27

4 A função Custo Médio no modelo linear para valores grandesda quantidade. Um primeiro contato com a noção de limite. 37

5 O Mecanismo da Teia de Aranha (Cobweb Model) e um se-gundo contato com a noção de limite 405.1 Idéia fundamental do mecanismo e exemplos . . . . . . . . . . 405.2 Estudo genérico do Mecanismo da Teia de Aranha no modelo

linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

6 Capitalização contínua e as funções exponencial e logaritmonaturais. 58

7 Obtenção de fórmulas analíticas via tabelas 75

1

8 Análise matemática de tabelas e alguns critérios para obtençãode fórmulas modeladoras. 868.1 Caracterização das tabelas modeláveis por funções polinomiais 868.2 Caracterização das tabelas modeláveis por funções logarítmicas 988.3 Achando uma melhor função modeladora: o Método dos Mín-

imos Quadrados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

9 Exercícios completos I 108

10 Aspectos importantes de serem estudados sobre uma funçãonumérica. 109

11 Derivada ou Taxa de Variação Pontual de uma função numérica.11511.1 Quociente Variacional Médio ou Taxa de Variação Média . . . 11611.2 A de�nição de derivada ou taxa de variação pontual . . . . . . 11811.3 Método empírico para a estimativa da derivada em um ponto. 12011.4 Cálculo teórico de derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12311.5 Derivadas das funções exponencial, logaritmo e trigonométri-

cas. Limites fundamentais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12811.6 Regra da Cadeia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

12 Aspectos adicionais relativos ao conceito de derivada 138

13 O uso da derivada no estudo de uma função numérica 143

14 Exercícios completos II 145

15 Estudo de alguns modelos não lineares para demanda e/oucusto 146

16 Complementação sobre limites 157

17 O uso da derivada em cálculos aproximados: 164

18 De�nições das funções marginais e da elasticidade via CálculoDiferencial. 17118.1 Exercícios complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

19 Aproximações de segunda ordem 182

2

20 O uso das fórmulas de aproximações para extrapolar valores,bem como para o cálculo de funções marginais e elasticidade,de funções dadas por tabelas 187

21 Fórmula de Taylor. 197

3

Neste texto vamos estudar diversos conceitos e técnicas de Matemática,principalmente de um dos seus ramos mais importantes, o Cálculo Diferen-cial, que são fundamentais ao estudo da maioria dos problemas cientí�cos.Vamos apresentar e ilustrar a teoria nos atendo aos problemas de naturezaeconômica.Fundamental neste estudo são as funções numéricas, que passamos a ver

na seção que segue, nos concentrando nas funções numéricas de naturezaeconômica.

1 Grandezas e seus relacionamentos. Funções.Conceituação e descrição preliminar de al-gumas funções econômicas.

Fenômenos cientí�cos frequentemente envolvem o relacionamento entreduas ou mais grandezas. Por exemplo: em Economia, as grandezas receita equantidade comercializada de uma mercadoria, emMatemática, a área de umquadrado e seu lado, na Física, a distância percorrida e o tempo de percursode um objeto em movimento etc.

Um tipo especial de relacionamento entre grandezas é o funcional.

Dizemos que uma grandeza Y é função1 de uma grandezaX quando existeuma relação de causa e efeito entre X e Y de tal forma que a cada causa(X) ocorre um, e somente um, efeito (Y ). Se x representa um valor genéricoda grandeza X e y um valor genérico da grandeza Y é comum escrever-sey = y(x): Dizemos também que x é a variável independente e y a variáveldependente da função y = y(x):

É comum utilizarmos no lugar de x e de y letras que representam maissigni�cadamente as grandezas envolvidas na função. Por exemplo, se Y équantidade demandada uma dada mercadoria em função do preço X da mer-cadoria, então é natural que usemos q no lugar de y e p no lugar de x; além

1A de�nição precisa de função é dada em Matemática usando-se conceitos da TeoriaElementar dos Conjuntos, especialmente de par ordenado (de�nição que é apresentada emmuitos livros textos do Ensino Médio). Adotamos aqui uma noção mais senso comumde função, proveniente da prática, mais conveniente e su�ciente para os propósitos destetexto.

4

disso, para deixar mais claro que se trata da função demanda (veja a seguir),podemos escrever também q = D(p) ao invés de q = q(p):

Neste texto, as grandezas que trabalharemos serão sempre numéricas,assumindo valores reais (note que nem todas as grandezas são numéricas.Exemplos de grandezas não numéricas: cor, sexo). As funções associadassão ditas funções numéricas. Neste texto trataremos apenas com funçõesnuméricas.

Vejamos alguns exemplos de funções numéricas, de natureza econômica,que estudaremos neste texto.

A função demanda

É a quantidade demandada ou procurada q de um certo produto, em umcerto intervalo de tempo e em um determinado mercado, como função dopreço p do produto. Podemos considerar a função demanda como a quan-tidade que é adquirida de um produto (em um certo mercado, em um de-terminado período de tempo) em função do preço deste produto. Usamos anotação q = D(p):

É claro que a quantidade demandada de um produto pode depender deoutros fatores além do preço. Por exemplo, os preços de outros produtossemelhantes, ou o efeito de uma propaganda, marca, qualidade etc. Masvamos considerar aqui apenas o preço como fator de in�uência (suposição queos economistas chamam de coeteris paribus, expressão do latim que signi�ca�tudo o mais permanece constante�).

Fora situações especiais, a função demanda é uma função decrescentedo preço, ou seja, quanto maior o preço menor a demanda. Este fato édenominado de Lei da Demanda.

5

p

q

q = D(p)

Curva de demanda

Um grá�co da função demanda, como acima, é denominado de curvade demanda. No grá�co acima estamos supondo que tanto p quando q sãovariáveis contínuas, ou seja, assumem valores em intervalos de números reais.Na prática isto óbviamente não acontece, ou seja, p e q assumem apenas certosvalores, a depender do contexto. Contudo, namodelagem matemática de umafunção econômica, no caso em questão a função demanda, vamos trabalharcom p e q variando contínuamente. Adiante explicaremos o que consiste emmodelar matematicamente uma função econômica e estas observações �carammais claras.

Um tabelamento da função demanda é dito escala de demanda.

Por exemplo, um produtor de vinho que produza diferentes tipos de vinhoa diferentes preços pode montar uma escala de demanda fazendo uma tabelacom duas colunas, tendo na coluna da esquerda os preços (possivelmenteagregando em um mesmo preço diferentes tipos de vinhos), e na coluna dadireita as quantidades dos vinhos vendidos (número de garrafas) com aquelespreços em um mês:

6

266666666664

Preço QuantidadeR$6; 00 80R$15; 00 60R$30; 00 55R$60; 00 22R$90; 00 16R$130; 00 8R$200; 00 4

377777777775(1)

A função oferta

É a quantidade ofertada O de determinado produto em função do preçodo produto. Quando o preço sobe ocorre naturalmente uma tendência deaumento de oferta do produto no mercado, pois existem mais produtoresinteressados em vende-lo. Esta é a chamada Lei da Oferta.

p

q

q = O(p)

Curva de oferta

Tanto a função demanda quanto a função oferta relacionam a quantidadede um determinado produto no mercado com o preço do produto. A primeira,demanda, tem que ser entendida sob a ótica do consumidor; a segunda, oferta,tem que ser entendida sob a ótica do produtor/vendedor.

Preço de equilíbrio pe é preço relativo ao qual a oferta e a quantidadedemandada são iguais. Neste caso, a quantidade do produto que os consumi-dores estão dispostos a comprar é o mesmo que os vendedores estão dispostos

7

a vender. Esta é a quantidade de equilíbrio qe: Geométricamente, o preço deequilíbrio é a abscissa e a quantidade de equilibrio a ordenada do ponto deinterseção das curvas de demanda e oferta:

p

q

preço de equilíbrio

quantidade de equilíbrio

pe

qe

Em época de estabilidade do mercado quanto ao produto, o preço decomercialização e a quantidade comercializado do produto giram em tornodo preço e da quantidade de equilíbrio, respectivamente.

As funções demanda e oferta são utilizadas para a descrever a dinâmica domercado, envolvendo o produtor e o consumidor, quando ocorrem �utuaçõesde preço e de quantidade do produto no mercado. Esta dinâmica é bementendida no fenômeno chamado de teia de aranha, que estudaremos adiante.

A função receita

As próximas funções econômicas que apresentaremos, incluindo a funçãoreceita, são de outra natureza: não tem a ver com a dinâmica de mercado,mas sim com a comercialização de um determinado bem ou produto em umdeterminado mercado (um estabelecimento comercial por exemplo). Como�cará claro, nestas situações não faz sentido se trabalhar com a função ofertano sentido acima de�nido; por outro lado, é muito importante a função de-manda.

A função receita é a que relaciona a quantia R recebida pela comercial-ização de determinado bem ou produto em função ou da variabilidade do

8

preço p do produto (R = R(p)) ou da variabilidade da quantidade q comer-cializada do produto p (R = R(q)). Sendo comercializada uma quantidade qa um mesmo preço p; a receita é

R = pq: (2)

A fórmula (2) apresenta a receita como dependendo de duas variáveis, p eq: Contudo, a quantidade comercializada, na prática, depende do preço doproduto, estando relacionado ao mesmo através da função demanda. Assim,uma vez se conheça a função demanda q = D(p), então substitutindo q porD(p) em (2) obtemos a receita como uma função únicamente do preço p:

R(p) = pD(p): (3)

Tambem pode ser possível, na igualdade q = D(p); se tirar p como funçãode q (ou seja, determinando a função inversa deD) e obter assim p em termosde q: Tendo isso sido feito, podemos novamente utilizar a igualdade (2) paraobter a receita R(q) como uma função dependendo apenas de q:

Esta maneira de apresentar a função receita deixa claro que, a rigor, nãoexiste UMA função receita, mas DUAS. Uma relaciona a quantia recebidacom a quantidade comercializada e a outra relaciona a quantia recebida como preço do produto. Contudo, na prática não nos preocupamos em fazer estadistinção, nos referindo simplesmente a função receita. O que é importante éestar claro, e isto sempre vai �car no contexto, qual a grandeza independenteutilizada no cálculo da receita, se o preço (a mais comum), ou se a quantidade.

Como função da quantidade comercializada q, temos a tendência nat-ural de pensar que a receita R(q) é uma função crescente com q; isto seriaverdade, digamos, se o preço fosse �xo. Contudo, a quantidade comercial-izada vai aumentar, em principio, apenas quando o preço dela diminuir, oque eventualmente pode fazer com que a receita, ao �nal, tambem diminua.Assim, uma questão importante é a determinar (ou estimar) a qual preçose deve vender o produto de modo a se ter um volume de comercializaçãoque dê a maior receita possível (aqui não estamos considerando os custos deprodução, que pode fazer com que a quantidade que resulta em maior receitanão coincida com a que resulta em maior lucro. Este é um outro assunto queveremos posteriormente).

9

E como pode ser o formato do grá�co de uma função receita? Vamosdiscutir teoricamente isto no caso da função receita estar em termos da quan-tidade, R = R(q): Se a quantidade vendida é zero então não existe receita,ou seja R(0) = 0; o grá�co da receita em função da quantidade começa pelaorigem. Quantidade vendida zero signi�ca que o preço do produto está tãoalto que ninguém está disposto a comprá-lo. Com a diminuição do preçoa quantidade vendida torna-se positiva e tende, ainda após algum aumentodo preço, como percebemos na prática, a aumentar, produzindo uma receitacrescente. Mas até quando? Também da prática sabemos que a quanti-dade vendida nunca vai ultrapassar um certo valor, mesmo com preços muitobaixos. Assim, com um preço baixo a receita acaba sendo pequena. Por-tanto, deve existir um preço intermediário po (dito preço ótimo, difícil de sedeterminar na prática) que resulta em uma quantidade vendida qo tal queo produto poqo seja o maior possível. Para valores da quantidade menorese maiores do que qo a receita será menor. Um grá�co compatível com estaanálise, que é puramente intuitiva, é:

q

R

Observação matemática: Embora o grá�co acima tenha o formato deuma parábola invertida, não existe nenhuma razão a priori que nos garantaque, de fato, trata-se do grá�co de uma parábola. Se fosse verdade entãoa função receita seria uma função quadrática da quantidade. Contudo exis-tem muitas outras funções (em geral não estudadas no Ensino Médio), cujográ�co tem um formato semelhante ao de uma parábola mas não são funçõesquadráticas. Por exemplo, a função quártica R(q) = �q4+15q tem o seguintegrá�co (feito por um programa especializado de computador), compatível coma análise da função receita feita acima:

10

q

R

Adiante vamos trabalhar commuitos exemplos que permitirão o estudantecompreender e �xar melhor estas questões. Neste momento nosso objetivo éapenas o de chamar a atenção de certos aspectos importantes sobre as funçõeseconômicas básicas e fazer o estudante re�etir um pouco sobre as mesmas.

Exercício 1 Faça um esboço do que poderia ser o grá�co da função receitaem termos do preço

A função custo

A função custo C descreve o custo de produção de determinado bem emtermos da quantidade produzida. Para o custo de produção concorrem essen-cialmente duas parcelas, a saber: uma �xa Cf que não depende da quantidadeproduzida e outra variável Cv, que depende da quantidade produzida.A parcela �xa, chamada custo �xo, corresponde a gastos tais como aluguel,

salários e é considerada como uma função constante.O custo variável é função da quantidade produzida e depende, tipica-

mente, da matéria prima. Os gastos de produção crescem à medida que aprodução cresce caracterizando assim uma função crescente. Não há gastosde produção quando nada se produz e, portanto, seu grá�co inicia na origem.A função Custo Total, ou função Custo é a soma das funções Custo Fixo

e Custo Variável:C(q) = Cf + Cv(q):

É claro que tanto quanto a função custo variável, a função custo é cres-cente com q.

11

A função Lucro

A função lucro L é a diferença entre a receita R e o custo total C deprodução:

L = R� C:A receita e o custo, e em decorrência o lucro, são funções econômicas que

podem depender de diversas outras grandezas. Vamos aqui considerar queelas dependam unicamente da quantidade q e/ou do preço p.

Pode ocorrer que a quantidade comercializada, q; não seja su�ciente paracobrir o custo de produção desta quantidade q, ou seja, R(q) < C(q): Nestecaso há prejuízo do comerciante. Se R(q) > C(q) então o comerciante temlucro. A quantidade qe de mudança do lucro para o prejuízo é quando o lucroé zero, ou seja, não há lucro nem prejuízo. A quantidade qe é dita break evenpoint. Ela é matematicamente calculada resolvendo-se a equação L(q) = 0;ou R(q)� C(q) = 0:

Exercício 2 Como no caso da função receita, faça possíveis esboços de grá-�cos da função lucro em termos da quantidade e do preço.

Um outro fato conveniente de se comentar é que a determinação de umvalor para o preço que resulte emmaior lucro com a venda de um determinadoproduto não signi�ca que o comerciante (produtor, estabelecimento) tenhaque vender o produto somente a este preço. Isto porque existem consumidoresque estão dispostos a pagar somente um valor baixo para o produto, assimcomo tem consumidores dispostos a pagar um valor mais alto pelo mesmo.Assim, ainda é lucro para o comerciante ter diferentes marcas de um mesmoproduto a diferentes preços. O que podemos a�rmar é que existe um preçoótimo p que contempla um grupo de consumidores que vai consumir umaquantidade q deste produto de tal forma que o produto pq é o maior possível.

Funções médias

Podemos calcular a função média-preço ou função média-quantidade dequalquer função econômica dividindo a função pelo preço ou quantidade cor-respondente.Por exemplo, a receita média Rm(p) obtida pela comercialização de um

produto (em um certo período, em um certo mercado) ao preço p é

Rm(p) =R(p)

p:

12

Da mesma forma, podemos de�nir o lucro médio quantidade:

Lm(q) =L(q)

q:

O custo médio Cm(q) gasto com a produção da quantidade q é

Cm(q) =C(q)

q(4)

Note que embora o custo C(q) seja uma função crescente com q nãopodemos a�rmar que o mesmo acontece com o custo médio Cm(q): se, porum lado, o numerador de (4) aumenta quando q aumenta, o denominador de(4) também; de modo que o resultado da divisão pode, em princípio, tantoaumentar quanto diminuir.

A prática mostra que, em muitos casos, Cm(q) decresce com q: Isto sig-ni�ca que o custo de produção tende a diminuir quando se aumenta a quan-tidade produzida (como se o gasto com a produção se diluísse na quantidadeproduzida), se estabilizando em certo valor mínimo positivo. Na Seção 4discutimos este assunto de uma forma mais concreta modelando matemati-camente o custo.

q

Cm

Funções marginais

13

Apresentamos agora uma de�nição, elementar, provisória de função mar-ginal. Adiante apresentaremos uma de�nição que faz uso da noção de derivada,que é a utilizada atualmente e que melhor expressa o fenômeno que a noçãode função marginal procura descrever.

Assim como as funções média, as funções marginais podem ser de�nidasa partir de qualquer uma das funções econômicas.

A função marginal associada a uma função econômica E(q) dependendoda quantidade q; que denotamos por Emg(q); é de�nida como a variaçãosofrida pela função E(q) quando se aumenta a produção em um unidade:

Emg(q) = E(q + 1)� E(q):

Suponha, por exemplo, que o custo C com a produção de 20 unidadesde um certo bem é C(20) = R$345:55 e que o custo com a produção de 21unidades é C(21) = R$348:23: Logo, o custo marginal é

Cmg(20) = C(21)� C(20) = 348:23� 345:55 = 2:68:

Este valor, R$2:68; é o custo que se tem para produzir uma unidade a maisdo bem uma vez que 20 unidades deste bem já tenham sido produzidas.

Elasticidade

Assim como o que ocorre com as funções marginais, podemos calcular aelasticidade (preço ou quantidade) de qualquer função econômica. Apresen-tamos a seguir uma de�nição elementar, provisória, de elasticidade. Adianteapresentamos uma outra de�nição usando derivadas que é matemática e eco-nomicamente muito mais satisfatória.

Consideremos o caso da função demanda q = D(p). A elasticidade preçoda demanda D(p), que denotamos por e(p); é o quanto porcento varia aquantidade demandada de um certo bem quando o preço p sofre uma pequenavariação percentual para cima ou para baixo:

Vamos supor que o preço sofra uma variação percentual de 1% para cimae vamos obter uma expressão para e(p) em termos de D(p) e que pode seraplicada uma vez conheçamos a função demanda D(p):

14

Começamos observando que se o preço p sofre uma variação percentualde 1% para cima então o novo preço, p0; é

p0 = p+p

100= p+ 0:01p = 1:01p:

A variação da quantidade demandada correspondente à variação sofridapelo preço é D(1; 01p)�D(p): Para sabermos o valor percentual desta vari-ação ou seja, e(p); montamos a regra de três:

D(p) 100D(1; 01p)�D(p) e(p)

para obtere(p) = 100[D(1:01p)�D(p)]

D(p) : (5)

Note que a elasticidade demanda-preço deve ser um número negativo:de fato, sendo a demanda uma função decrescente, decorre que D(p) >D(1; 01p): Logo D(1; 01p) � D(p) < 0; ou seja, o numerador de (5) é neg-ativo. Como o denominador é positivo, o quociente, que é a elasticidade,resulta negativo.É conveniente observar que este tipo de conclusão não é válida para a

elasticidade de qualquer função econômica. Quando a função econômica écrescente a elasticidade preço é positiva.

A elasticidade preço da demanda mede o grau de sensibilidade da de-manda em relação a mudanças de preço. Se uma pequena variação percentualdo preço ocasiona uma variação percentual maior do que 1% da quantidadedemandada, diz-se que a demanda é elástica. Neste caso, a elasticidade, emvalor absoluto, é maior do que 1: je(p)j > 1: Se, ao contrário, uma pequenavariação percentual do preço ocasiona uma variação percentual menor doque 1% da quantidade demandada, diz-se que a demanda é inelástica. Nestecaso, tem-se je(p)j < 1:

A fórmula (5) é válida quando consideramos variações percentuais dopreço de 1% para cima. Podemos considerar também outras variações parao preço, por exemplo: de 1% para baixo, de 0:5% para cima ou para baixo,etc. Mas, atenção!: utilizando diferentes variações para o preço teremos queutilizar outras fórmulas para e(p) (veja Exercício 28): Contudo, em qualquer

15

caso, sempre estaremos interessados em saber quando je(p)j < 1 ou quandoje(p)j > 1:

Os conceitos de função marginal e elasticidade, especialmente o de elas-ticidade, são mais difíceis de serem entendidos, principalmente neste estágioque não dispomos de fórmulas explicítas para as funções econômicas, o quenos permitiria trabalhar mais concretamente com estes conceitos. Faremosisto na Seção 3.

16

2 Fórmulas analíticas. Modelos lineares e nãolineares.

O estudo matemático das funções numéricas, sejam elas econômicas ounão, principalmente no que diz respeito à aplicabilidade das técnicas do Cál-culo Diferencial, depende muito de se disporem de fórmulas (ou represen-tações analíticas, conforme explicado abaixo) para as mesmas. Tal é par-ticularmente o caso das funções econômicas que apresentamos na Seção 1.Contudo, nas situações reais, as variáveis das funções econômicas (tais comoas que aqui estudaremos: demanda, custo etc) tem que ser combinadas comoutras variáveis econômicas e a matemática envolvida torna-se bastante com-plexa e so�sticada, não sendo possível, em geral, a determinação de fórmulasexplícitas para as funções econômicas envolvidas. Por esta razão, os exemp-los com fórmulas explícitas que adiante veremos são, com algumas exceções,�ctícios. Não obstante eles são importantes pois, mesmo sendo simpli�caçõese simulações da realidade, eles destacam e esclarecem aspectos fundamentaisdas funções econômicas que também aparecem nas situações mais complexas.E de fato, eles permitem não só uma melhor compreensão de diversas funçõeseconômicas mas, também, de como podemos aplicar as técnicas do CálculoDiferencial no estudo das funções numéricas de um modo geral.

Idéia de representação analítica: por representação analítica de umafunção numérica y = y(x) relacionando as grandezas dependente y e indepen-dente x entendemos toda expressão literal composta de operações matemáti-cas conhecidas sobre x e constantes reais, tal que a avaliação de tal expressãoem cada possível valor de x deve produzir o correspondente valor de y.

As operações envolvidas em uma determinada fórmula podem ser do maisvariados tipos, desde as quatro operações aritméticas elementares (+;�;�;�)até outras mais avançadas como, por exemplo, as que serão vistas posterior-mente usando noções do Cálculo Diferencial e Integral, tais como a de levar aolimite, as operações de derivação, integração e outras ainda mais avançadasque não serão aqui estudadas.

Se existir uma expressão literal f(x) que sirva como fórmula para talfuncão, escreveremos também que y = f(x):

O caso mais simples de fórmula analítica na variável x para uma funçãoy = y(x); dita fórmula aritmética, é o de uma expressão obtida através de

17

um número �nito das operações aritméticas elementares (adição, subtração,multiplicação, divisão) sobre x envolvendo constantes reais: Entre estas, asmais simples são as fórmulas polinomiais de grau menor ou igual a 1; tambémditas fórmulas analíticas a�ns, ou simplesmente fórmulas a�ns.

São fórmulas do tipo f(x) = ax + b sendo a e b números reais �xos: Porexemplo, f(x) = �0:34x + 5:666 é um caso particular de fórmula a�m2. Asfórmulas constantes f(x) = c são também casos particulares de fórmula a�m.

Por exemplo, no caso de estarmos tratando da função demanda q = D(p);uma fórmula a�m para ela é uma fórmula do tipo D(p) = ap + b: Comosabemos que D(p) tem que ser decrescente, deve-se ter a < 0: Por exemplo,D(p) = �0:234p+ 245:66:

Temos também as fórmulas polinomiais quadráticas que são fórmulas poli-nomiais do tipo

q(x) = a0 + a1x+ a2x2

com a2 6= 0: Por exemplo, q(x) = �34:4555x+ 2x2:

Uma fórmula polinomial genérica tem o formato

p(x) = a0 + a1x+ :::+ anxn:

Considerando n = 3; 4 (com an 6= 0) etc obtemos as fórmulas polinomiaiscúbicas, quárticas e assim por diante.

Prova-se em Matemática que toda fórmula aritmética f(x) para umafunção y = y(x) é da forma

f(x) =p(x)

q(x)(6)

onde p(x) e q(x) são fórmulas polinomiais.

Toda função numérica que admite uma fórmula aritmética é dita umafunção racional.

2Como estamos utilizando um programa em inglês não só para edição como para arealização de cálculos matemáticos, usaremos a notação inglesa na representação decimalde um número real (ponto no lugar de vírgula para separar a parte inteira da decimal).

18

A similaridade entre as noções de �fórmula�e �função�no presente con-texto nos levará muitas vezes ao uso de uma terminologia no lugar de outra.

São funções racionais

f(x) =x3 � x+ 4x2 + x� 2

g(x) =2x+ 5

3x� 2

h(x) =�x4 + x� 3x2 + 1

:

Note que uma função polinomial é um caso particular de função racional(quando q(x) = 1 em (6)).

Uma propriedade importante de uma fórmula analítica aritmética E(x)para uma função y = y(x) é a de podermos determinar o valor de y corre-spondente a um dado valor x aplicando, em x; um número �nito de operaçõesaritméticas elementares (adição, subtração, multiplicação e divisão).

Por exemplo, se uma função y = y(x) é dada pela fórmula analítica

f(x) =2x

x2 + 5;

então podemos determinar y = f(3) realizando 4 operações artiméticas sobre3:

f(3) =2� 332 + 5

= 6� 14 = 0:428 5714285714285714:

Exercício 3 Um vendedor compra certa mercadoria ao preço unitário deR$150; 00 e vende cada unidade a R$250; 00:a) Encontre uma fórmula analítica que expresse o custo diário C em

função da quantidade comprada qb) Expresse a receita diária R em função da quantidade vendida, que se

supõe igual à quantidade compradac) Obtenha uma fórmula para a função lucro L em termo da quantidade q

19

Exercício 4 Em relação ao problema anterior, suponha agora, em uma ver-são mais realista, que o vendedor consiga vender 80% da quantidade quecompra (isto em média, mas vamos supor esta porcentagem �xa) e que aindagaste R$30; 00 em combustível (suponha que o vendedor seja ambulante).Obtenha a fórmula para a função lucro L nestas circunstâncias.

Exercício 5 A diária de um quarto em um certo hotel é de R$50; 00: O donodo hotel, para atrair mais clientes, bolou a seguinte promoção: a cada quartoadicional alugado por um dado grupo, o hotel dá um desconto de R$3; 00na diária. Assim, se um grupo usa apenas um quarto ele paga 50 reais dediária, se usa dois quartos ele gasta 2�47 reais; se usa três quartos ele gasta3� 44 reais: Obtenha uma fórmula analítica que representa o lucro do hotelem termos do número n de um grupo de hóspedes.

Exercício 6 Uma pessoa coloca um capital a uma certa taxa de juros simplesao mês. Modele matematicamente este fenômeno determinando uma fórmulaque forneça o capital obtido (dito montante) em termos do número (variável)de meses de aplicação do capital.

Exercício 7 As funções envolvidas neste exercício, de natureza puramentematemática, tem o objetivo ilustrar como as fórmulas analíticas aparecem emcontextos matemáticos familiares a um estudante do Ensino Médio.Veri�que que as funções abaixo admitem fórmulas analíticas, escrevendo

explicitamente estas fórmulas:a) a função que a cada real x associa o quadrado da distância do ponto

(x; 1) ao ponto (�2; 3) no plano cartesiano.b) a função que a cada real r (variável r) associa o décimo quinto termo

da PA cujo primeiro termo é �10000 e a razão é rc) a função que a cada real r associa a soma dos 15 primeiros termos da

PA de razão r cujo primeiro termo é �1d) a função que a cada real z associa a soma dos 10 primeiros termos de

uma PG cujo primeiro termo vale 5 e a razão

Fórmulas aritméticas por partes

Quando usamos diferentes fórmulas aritméticas para representar umafunção obtemos o que se chama de fórmula aritmética por partes:

20

Exemplo 8 O montante M(t) obtido pela aplicação do capital R$400; 00;em regime de juros simples, a uma taxa de 1% ao mês, após um tempo t; éuma função de t dada por uma fórmula aritmética por partes:

M(t) =

8>>>>><>>>>>:

400 t 2 [0; 1)404 t 2 [1; 2)408 t 2 [2; 3)412 t 2 [3; 4)

...

Embora importante e de uso indipensável na modelagem matemática dediversos problemas, não vamos neste texto fazer um aprofundamento do es-tudo da fórmulas analíticas por partes, nos resumindo a mencionar o exemploacima.

Fórmulas não aritméticas.

Nem todas funções numéricas podem ser dadas por fórmulas aritméticas(por partes ou não). Na verdade, a maioria das funções numéricas não ad-mitem fórmulas aritméticas, inclusive as ditas funções elementares, estudadasno Ensino Médio: as funções trigonométricas, exponenciais, logarítmicas,bem como as funções irracionais (por exemplo, a função

px): Estas funções só

podem ser avaliadas através de métodos de aproximação. Nos cálculos envol-vendo estas funções utiliza-se quase que unicamente a representação decimale trabalha-se, forçosamente, com um certo número �nito de casas decimais,com valores apenas aproximados do valores exatos da função (excetuando ca-sos especiais como, por exemplo, as raízes quadradas de quadrados perfeitos(p4 = 2;

p9 = 3 etc), os valores das funções trigonométricas para certos

valores da variável independente tais como �=4; �=3; �=2; 2�; �2� etc). Emgeral convenciona-se um certo número de casas decimais e trabalha-se dentrodeste grau de precisão.

Estritamente falando, expressões como 2px + x2; 3

px+ 1 + 2x; 3 cos x;

log (2x+ 4) etc não são fórmulas para as funções a elas associadas, poiso conhecimento destas expressões não permite, através de uma avaliaçãodireta, a determinação do valor destas funções na maioria dos pontos dosseus domínios. Contudo, como os valores aproximados destas funções vemsendo disponibilizados, com exatidão de muitas casas decimais, antigamenteem tabelas que ocupavammuitas prateleiras das bibliotecas de livros técnicos,

21

atualmente nos computadores, máquinas de calcular e mesmo em telefonescelulares, smartphones etc, já há algum tempo consideramos estas expressõescomo fórmulas.

Fórmulas polinomiais in�nitas (leitura complementar).

Conceitualmente falando, considerar como fórmulas expressões do tipof(x) = 2

px+x2 não é inteiramente legítimo pois, como acima comentamos,

expressões como esta não nos fornecem uma maneira explícita de como operarsobre x; usando as quatro operações fundamentais dos números reais (+; �;� e �); para determinar exata ou ao menos aproximadamente o valor dafunção. Isto ocasiona uma óbvia di�culdade quando se precisa fazer cálculosexplícitos com estas funções e não se dispõe de tabelas com seus valoresou, mesmo se dispondo, quando estas tabelas não contem os valores quedesejamos. Este tipo de di�culdade é motivo de preocupação dos cientistasdesde há muito tempo. Já pelo século XVII, Isaac Newton buscou formasefetivas de calcular, exata ou pelo menos aproximadamente, os valores dasdiversas funções trigonométricas. Estes cálculos eram cruciais em diversasaplicações da Matemática. Tendo se dado conta que não era possível obterfórmulas aritméticas para as diversas funções elementares, Newton teve aidéia de buscar fórmulas polinomiais com in�nitos termos, isto é, fórmulasdo tipo

f (x) = a0 + a1x+ a2x2 + :::+ anx

n + ::::

sendo o lado direito da igualdade uma soma interminável. Newton então con-seguiu obter fórmulas para as todas as funções trigonométricas. Por exemplo,no caso da função seno ele obteve:

sen x = x� x3

3!+x5

5!� x

7

7!+x9

9!� x

11

11!+x13

13!� x

15

15!+ :::

O estudo da fórmulas polinomiais in�nitas na representação de funçõesé visto com detalhes em cursos mais avançados de Cálculo Diferencial, masainda em nível de graduação. Ao �nal destas notas, como fechamento a con-teúdos que veremos em capítulos anteriores, apresentamos e desenvolvemosum pouco desta teoria. Contudo, acredito que seria um tanto frustante aoestudante mais interessado se pararmos este assunto por aqui, sem dar nen-huma explicação adicional sobre um problema óbvio envolvendo tais tipos defórmulas: como avaliar uma fórmula que envolve uma soma interminável? É

22

claro que não é possível fazermos um número in�nito de operações e, por-tanto, uma avaliação direta de uma tal fórmula é impraticável.Para responder esta questão temos que entender o signi�cado de uma tal

fórmula polinomial in�nita. Para isso, precisamos considerar os chamados�truncados� da fórmula polinomial in�nita, que nada mais são do que ospolinômios obtidos truncando-se o somatório in�nito em diferentes pontos.No caso da função seno os truncados são as funções polinomiais

x

x� x3

3!= x� x

3

6

x� x3

3!+x5

5!= x� x

3

6+x5

125

x� x3

3!+x5

5!� x

7

7!

x� x3

3!+x5

5!� x

7

7!+x9

9!etc

A importância dos truncados é que seus valores são próximos aos valores dafunção que dada pela fórmula polinomial in�nita, sendo estes valores tão maispróximos quanto maior o número de parcelas tiver o truncado. Suponha, porexemplo, que queiramos calcular aproximadamente seno de 1:3 radianos. Setomarmos o segundo truncado teremos

sen 1:3 ' 1:3� 1:33

6= 0:93383333:

Usando o terceiro truncado:

sen 1:3 ' 1:3� 1:33

6+1:35

125= 0:964 77442

o quarto truncado:

sen 1:3 ' 1:3� 1:33

3!+1:35

5!� 1:3

7

7!= 0:963529 41:

O símbolo'; que signi�ca aproximadamente igual, será usado várias vezesneste texto.

23

Usando uma máquina de calcular cientí�ca mais comum o estudanteobterá sen 1:3 = 0:963558 19: Daí vemos que o primeiro truncado que peg-amos dá uma aproximação que é exata até a primeira casa decimal após avírgula. O seguinte dá uma aproximação que é exata até duas casas depois davírgula e o último dá uma aproximação que é exata até a quarta casa decimal.Se usarmos truncados com um número maior de parcelas teremos melhoresaproximações, ou seja, aproximações que coincidem com um número maiorda casas decimais. Por exemplo, usando o truncado com 8 parcelas:

sen 1:3 ' 1:3� 1:33

3!+1:35

5!� 1:3

7

7!+1:39

9!� 1:3

11

11!+1:313

13!� 1:3

15

15!= 0:963 558 19

já conseguirmos reproduzir com mesma exatidão o que nos é fornecido pelamáquina de calcular.

O problema então é: como obter fórmulas polinomiais in�nitas parafunções que não são aritméticas? Existem diversas maneiras, muitas de-las muito engenhosas tais como as descobertas por Newton, Leibniz e outrosmatemáticos. Mas existe uma maneira usando o Cálculo Diferencial, de-scoberta por Taylor no século XIX que é, provavelmente, uma das aplicaçõesteóricas mais extraordinárias do Cálculo Diferencial. Apresentamos esta téc-nica, de maneira introdutória, ao �nal do curso (Seção 21).

Exercício 9 Usando truncados da fórmula polinomial in�nita para a funçãoseno determine valores aproximados para sen 3:4

Exercício 10 Sabendo que a função cosseno admite a fórmula polinomialin�nita:

cosx = 1� x2

2+x4

24� x6

720+

x8

40 320� x10

3628 800+ :::

obtenha valores aproximados para cos 1:3 e cos 2:5

Exercício 11 Sabendo que

p1 + x = 1+

1

2x�18x2+

1

16x3� 5

128x4+

7

256x5� 21

1024x6+

33

2048x7� 429

32 768x8+:::

obtenha valores aproximados parap2

24

Modelos lineares � modelos não lineares

Muitas das funções econômicas que vamos estudar serão representadaspor fórmulas analíticas aritméticas, sendo frequente o uso das fórmulas poli-nomiais de grau menor ou igual a 3:

O caso muito especial, mas comum, do uso de fórmulas a�ns para rep-resentar uma dada função econômica, caracteriza o chamado modelo linear.Mais geralmente, modelar linearmente uma dada função numérica consisteem usar uma fórmula do tipo a�m para representar a função. Por exemplo,modelar linearmente a função demanda q = D(p) signi�ca representar D(p)por uma fórmula do tipo D(p) = ap + b para certas constantes a e b (quedependem do contexto).

Um modelo não linear de uma dada função econômica é qualquer fór-mula não a�m utilizada para representar a função. Os modelos não linearesmais simples são os modelos quadráticos, cúbicos (ou seja, quando se usamfórmulas polinomiais quadráticas, cúbicas etc para representação da função).

O conhecimento de fórmulas analíticas para as funções econômicas é im-portante pois, através destas fórmulas, usando diversas técnicas matemáticas,principalmente as desenvolvidas no Cálculo Diferencial, conseguem-se tirardiversas conclusões práticas, importantes, acerca do fenômeno econômico queelas estão modelando.

Problema importante: Como saber se uma dada função admite uma fór-mula analítica aritmética e/ou in�nita, e como obte-la? Esta é uma questãoque pode ser bem complicada e que envolve muitas sutilezas e �armadil-has�. Na Seção 7 vamos discutir com um pouco mais de profundidade esteproblema.

Usando ao modelos matemáticos vistos nos Exercícios 4 e 5 resolva:

Exercício 12 Qual a porcentagem mínima do que compra tem o vendedordo Exercício 4 comercializar (vender) para que tenha algum lucro.

Exercício 13 Será que esta é a promoção inventada pelo dono do hotel noExercício 5 é boa para o hotel? A resposta não é simplesmente �sim ou não�.Analise.

25

Exercício 14 Use a fórmula que Você obteve no item a) do Exercício 7 paradeterminar o ponto da sobre a reta de equação y = 1 que está mais próximodo ponto (�2; 3)

26

3 Estudo das funções receita e lucro usandomodelos lineares para as funções demandae custo

Como comentamos anteriormente, para trabalharmos matemáticamentee de uma formamais concreta com as diversas funções econômicas é necessárioque se disponham de fórmulas analíticas modelando estas funções. Adiantevamos abordar a questão da obtenção de fórmulas analíticas para funçõesnuméricas. Contudo nesta, e na próxima seção, vamos partir do fato que játemos a disposição fórmulas analíticas para as funções econômicas e vamostrabalhar com estas fórmulas para obter diversas propriedades destas funçõesque tem importante signi�cado econômico.

No caso das funções econômicas associadas à comercialização de um certobem ou produto, em um determinado mercado, são básicas as funções de-manda e custo. A razão é que, partir delas, podemos deduzir, essencialmente,todas as outras funções econômicas importantes relativas à comercializaçãodo produto: as funcões receita, lucro, e as funções econômicas associadas(média, marginal, elasticidade).

Vejamos isto teoricamente mas em detalhes: conhecida uma fórmula paraa função demanda q = D(p) obtemos uma fórmula para a receita

R(p) = pD(p):

Para obtermos uma fórmula para o lucro, precisa-se de uma fórmula parao custo C: Na prática, é mais fácil se obter uma fórmula para o custo emtermos da quantidade, sendo isso o que é feito na grande maioria dos casos.Tendo-se uma fórmula C(q) para o custo em termos da quantidade obtem-seuma fórmula para o custo em termos do preço utilizando-se a função demandaq = D(p): basta substituir a quantidade q em C(q) por D(p) que chega-sea fórmula C(D(p)) do custo em função do preço: Tendo-se fórmulas para areceita e o custo em termos do preço obtem-se então uma fórmula para olucro em função do preço, que é a fórmula mais importante do ponto de vistaeconômico:

L(p) = pD(p)� C(D(p)):

27

Na verdade, esta fórmula para o lucro não está completamente correta,uma vez que nem tudo o que o produtor ou comerciante vende é o mesmoque ele produz ou adquire de terceiros, para comercializar. A fórmula acimaé válida quando toda quantidade disponível é vendida. Assim, o lucro comocalculado pela fórmula acima poderia ser considerado como o lucro ideal.Para simpli�car nosso estudo, vamos considerar a diferença entre o lucro reale o ideal como desprezível e trabalhar apenas com a fórmula acima para olucro.

Assim, com o que vimos acima, concluimos que uma vez tenhamos fór-mulas analíticas para as funções demanda e custo, obtemos fórmulas paraas outras funções econômicas. A depender da complexidade das fórmulasanaliticas, a análise destas pode tornar-se muito complicada. Vamos consid-erar, neste capítulo, o modelo matemático mais simples, a saber, o linear.Com esse modelo veremos que utilizando o que é estudado de matemáticanos Ensino Fundamental e Médio, é possível obter diversas conclusões acercado fenômeno econômico sob estudo.

Modelar linearmente as funções demanda e custo signi�ca representa-laspor fórmulas do tipo D(p) = a1p+a2 no caso da demanda de C(q) = b1q+ b2no caso do custo.

Exemplo 15

Suponhamos que a função demanda mensal de pacotes de açucar emcerto estabelecimento, em termos apenas do preço do pacote, é modeladalinearmente pela fórmula

q = �39:54p+ 170:83 (7)

com o preço p do pacote, em reais, variando de R$1:50 a R$4:20. Assim, porexemplo, ao preço de R$3:30 são vendidas

q = �39:54� 3:3 + 170:83 ' 40

pacotes (lembramos que o símbolo '; já utilizado anteriormente, signi�caaproximadamente igual). Podemos obter uma fórmula para a receita R(p)

28

correspondente à venda mensal de açúcar ao preço p: De fato, como R = pq;vemos que

R(p) = p (�39:54p+ 170:83) = �39:54p2 + 170:83p; (8)

o que mostra que a receita é modelada por uma fórmula polinomial quadrática.Assim, se quisermos saber a receita mensal obtida ao colocar à venda o

produto ao preço de R$2:5 reais usamos a fórmula (8) para obter

R(p) = �39:54 (2:5)2 + 170:83� 2:5 = 179:95Fazendo uso do que se aprende no Ensino Médio sobre funções quadráticas

obtemos o seguinte grá�co de R(p):

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.00

50

100

150

p

R

O vértice do grá�co da função quadrática tem coordenadas (aproximadas)(2:16; 184:51): Concluímos que o preço de açúcar que dá maior receita aocomerciante é de R$2:16; e a receita mensal correspondente é de R$184:51.Assim, se o comerciante tentar obter um maior ganho vendendo o pacotea um preço superior a R$2:16 então ele vai se dar mal pois vai haver umamenor procura pelo produto que não compensará o aumento. Da mesmaforma, diminuindo o preço do produto para obter um volume maior de vendastambem a receita cairá.

Isolando p em (7) obtemos uma fórmula a�m para p em função de q:

q � 170:83 = �39:54p q = �39:54p+ 170:83

p =q � 170:83�39:54 =

�q39:54

+170:83

39:54�= �0:02529 1q + 4:320 4:

29

Obtemos assim uma fórmula para a receita em termos da quantidade q:

R(q) = qp = q (�0:02:529 1q + 4:320 4) = �0:02529 1q2 + 4:320 4q (9)

Exercício 16a) Trace o grá�co da receita para valores de q em um intervalo que tenha

signi�cado práticob) obter a quantidade que comercializada resulta na maior receita.

Observação: o comerciante que não conhece a modelagem que foi feitaacima vende, digamos, 60 pacotes de acúcar por mes, e se pergunta: existemargem para uma venda maior de pacotes de acúcar (com uma respectivabaixa de preço) sem perda de receita ou, melhor ainda, com aumento dereceita?Para responder a isso usamos (9) para calcular a receita marginal corre-

spondente à comercialização de 60 pacotes de acúcar:

Rmg(60) = R(60 + 1)�R(60) = R(61)�R(60)= 169:44� 168:18 = 1:26:

Este valor para a receita marginal signi�ca que o aumento da receita coma venda de mais um pacote de açúcar, uma vez que 60 pacotes tenham sidovendidos, é de R$1:26. Portanto, a resposta anterior é no a�rmativo, ouseja, existe margem para uma venda maior do que 60 unidades de pacotesde açúcar (através de uma dimininuição do preço do pacote) um aumento dareceita.

Consideramos agora a mesma pergunta anterior com relação a quantidadede 88 pacotes de açúcar, a saber: existe margem para uma venda maior doque 88 pacotes de acúcar (com uma respectiva baixa de preço) sem perda dereceita?Calculemos então a receita marginal correspondente a 88 pacotes de açú-

car:

Rmg(88) = R(89)�R(88)= 184:19� 184: 34 = �0:15:

30

Isto nos diz que a resposta é não, ou seja, para o número de vendas depacotes de acúcar ser maior do que 88 deve haver uma diminuição do preçodo pacote de tal monta que ao �nal vai causar uma diminuição da receita.

Esta conclusões anteriores poderiam ter sido obtidas mais facilmente, bemcomo generalizadas, observando o seguinte: vimos acima que o preço que dámaior receita ao comerciante é R$2:16: Usando a função demanda, vemosque a quantidade comercializada a este preço é aproximadamente 85: Comoa receita é dada por uma função quadrática, decorre que ela é crescente paraq < 85 e decrescente para q > 85:Isto pode ser obtido também diretamenteatravés de (9). Em particular, a receita marginal vai ser positiva para q � 84e negativa para q � 86:O observado no parágrafo anterior pode nos levar a pensar que não há

necessidade (e portanto interesse) no cálculo da receita marginal. Contudoisto não é verdade por duas razões:1) quando lidamos com fórmulas mais complicadas para a função demanda

pode se chegar a fórmulas mais complicadas para a receita, �cando difícil adeterminação da quantidade que produz a maior receita (85 no caso acima)2) quando positivo, a magnitude do valor calculado na receita marginal

nos dá uma informação sobre a �folga� que temos para um aumento daquantidade a ser comercializada de forma a ainda se ter um aumento dareceita.

Exercício 17a) Veri�que que a receita marginal Rmg(q) é modelada linearmente, ob-

tendo uma fórmula simpli�cada para Rmg(q):b) Determine qual a quantidade em que a receita marginal é zero

Vamos agora determinar a elasticidade receita-preço e(p) correspondenteao preço de R$2:04 e referente ao aumento de 1% do preço. Usamos a fórmula(5) para o caso da receita a saber:

e(p) =100 [R(1:01p)�R(p)]

R(p):

No caso em que p = 2:04; obtemos:

e(2:04) =100 [R(1:01� 2:04)�R(2:04)]

R(2:04)

=100 (184:12� 183:94)

183:94= 0:097858;

31

Como e(2:04) = je(2:04)j < 1; concluimos que a receita é inelástica ao preçode R$2:04; ou seja, é pouco sensível a uma variação do preço: ao aumen-tarmos em 1% o preço de R$2:04 a receita variará em menos de 1%; maisprecisamente, aumentará em 0:097858%:

Exercício 18 Calcule a elasticidade receita preço do exemplo anterior parap = 3:1a) Explique porque a elasticidade receita preço é sempre positiva para

preços menores do que R$2:138 e negativa para preços maiores do que R$ =2:16b) Determine uma fórmula simpli�cada para a elasticidade receita preço

e(p)

Exercício 19 Comprove que sempre que a demanda é modelada linearmentea demanda marginal é constante.

Ainda sobre o Exemplo 15, suponha agora que o custo para produzir umaquantidade q de açúcar seja modelada linearmente pela fórmula

C(q) = 0:35q + 87

Sendo a demanda dada por q = �39:54p+170:83 o custo em termos do preçoé então dado por

C(p) = 0:35 (�39:54p+ 170:83) + 87= �13:839p+ 146:7905

e o lucro

L(p) = R(p)� C(p)= �39:54p2 + 170:83p� (�13:839p+ 146:7905)= �39:54p2 + 184:669p� 146:7905:

Obtemos que o preço que dá o lucro máximo é

184:669

2� 39:54 ' 2:3352

32

e o lucro correspondente Lmax é

Lmax = L(2:3352) = �39:54 (2:3352)2 + 184:669� 2:3352� 146:7905= 68:8306:

Resolvendo a equação L(p) = 0,

�39:54p2 + 184:669p� 146:7905 = 0

obtemos p1 ' 1:0158 e p2 = 3:6546 de modo que o break even point do preçopara o lucro é p2 = 3:6546: Um esboço do grá�co da função lucro é:

1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0

60

40

20

0

20

40

60

x

y

Exercício 20 Faça a mesma análise do exemplo anterior (resolvendo cor-respondentes exercícios) para a receita da comercialização de erva mate cujafunção demanda é D(p) = �319:62p+ 1354:21:Sabendo que a função custo da erva mate é modelada linearmente pela

fórmula C(q) = 0:00090709q+1:562; obtenha uma descrição da função lucro,calculando as quantidade e o preço que o maximizam.

Exemplo 21

Suponha que um estabelecimento comercialize um determinado produtoX. Ele compra X de diversos produtores, diferentes marcas a diferentespreços, e coloca 10% em cima do valor pago ao produtor no valor da venda.Suponha que ele não venda 1% do que compra do produtor e que tenha umcusto mensal �xo estimado em R$300; 00:

33

Vamos supor que a quantidade vendida, que expressa a função demanda,seja modelada linearmente por

q = D(p) = �11:823p+ 2791:17 (10)

sendo o preço de venda p em reais (variando de um mínimo em torno deR$90:00 a um máximo em torno de R$290:00) e q a quantidade de unidadesvendidas (mensalmente digamos).

Exercício 22a) Determine a demanda marginal e veri�que que ela é constanteb) Determine as elasticidades demanda preço correspondente aos preços

de R$110; 20 e R$179; 45

Continuemos agora com o Exemplo 21. A receita (bruta) mensal obtidapela comercialização deste produto é

R = qp

de modo que, usando (10)

R(p) = (�11:823p+ 2791:17) p:

ou tambémR(p) = 2791:2p� 11:823p2 (11)

Calculemos agora o custo C. Este tem que ser dado por

C = qcpc + Cf

= qcpc + 300 (12)

sendo qc a quantidade comprada ao preço pc do produtor: Do exposto acima,sabemos que

q = qc �1

100qc =

99

100qc

ou, tambem

qc =100

99q �= 1; 01q:

Além disso,

p = pc +10

100pc =

110

100pc

34

ou tambémpc =

100

110p �= 0; 909p:

Levando estes valores de qc e pc em (12), obtemos

C = (1:01) (0:909) qp+ 300

= 0:918 qp+ 300:

Usando agora (10) obtemos

C(p) = 0:918p (�11:823p+ 2791:17) + 300

ou sejaC(p) = �10:854p2 + 2562:3p+ 300: (13)

Exercício 23 Determine a fórmula do custo em termos da quantidade, afórmula para o custo marginal e a elasticidade custo-quantidade.

A receita líquida ou lucro em termos do preço é

L(p) = R(p)� C(p) = 2791:2p� 11:823p2 ��10:854p2 + 2562:3p+ 300

�= �0:969 p2 + 228:9p� 300:0:

Exercício 24a) Faça um esboço do grá�co da função lucro em termos do preço para o

preço variando em um intervalo economicamente signi�cativob) Determine o preço que dá o maior lucro e o valor deste maior lucroc) Calcule a fórmula do custo marginal Lmg(p)d) Calcule a fórmula da elasticidade lucro preço e determine para quais

os preços ela é elástica e para quais é inelástica.e) Determine a fórmula para o lucro em termos da quantidade.

Podemos calcular o break-even point resolvendo a equação L(p) = 0 queno caso é

�0:969 p2 + 228:9p� 300:0 = 0e que tem como solução p1 = 234: 90 e p2 = 1:3180: Considerando os valoresde preço economicamente signi�cativos, vemos que o break even point é pe =R$234:90: Isto signi�ca que se o comerciante vendesse o produto ao preço deR$234:90 ele venderia tão pouco que a receita se igualaria ao custo.

35

Exercício 25 A receita mensal de uma empresa com a comercialização de qunidades mensais de um determinado produto é dada pela fórmula analíticaquadrática

R(q) = �5:17q2 + 121qa) Determine a quantidade que resulta em maior receita para a empresa

e a receita obtida com a comercialização desta quantidade.b) Determine uma fórmula para a função demandac) Determine a demanda correspondente ao preço p = 35d) Determine a receita marginal correspondente a q = 13 e interprete o

resultado obtido. Determine se ela é elástica ou inelástica quando q = 13:

Exercício 26 Sabendo que as funções demanda e custo relativas à comer-cialização de um certo produto em um certo mercado e em um certo intervalode tempo são modeladas linearmente por

D(p) = �5:19p+ 120; p: preçoC(q) = 0:45q + 345; q: quantidade

tendo-se 3:2 � p � 21:3; determine:a) o preço pm que produz maior lucrob) os valores do lucro, da receita, da quantidade demandada e do custo

de produção desta quantidade relativas à pmc) os break even points para o lucro-preço e, IMPORTANTE, interprete

economicamente cada um dos valores encontrados considerando a quantidadecomercializada e as funções receita e custo.

Exercício 27 A receita mensal de uma empresa com a comercialização de qunidades mensais de um determinado produto é dada pela fórmula analíticaquadrática

R(q) = �5:23q2 + 120q:a) Determine a quantidade que resulta em maior receita para a empresa e areceita obtida com a comercialização desta quantidade.b) Sabendo que o lucro é dada pela fórmula

L(q) = �5:23q2 + 356q + 77:7

determine uma fórmula analítica para custo C(q).

36

c) Determine uma fórmula para o custo médio Cm(q) bem como o valor aque tende o custo médio quando a quantidade produzida tende a quantidadesarbitrariamente grandes.d) Usando a fórmula R = pq; determine uma fórmula analítica para a

função demanda q = D(p) (tendo-se q como função de p):

Exercício 28 A fórmula (5) para e(p) foi obtida considerando uma variaçãopara cima de 1% para o preço. Neste exercício vamos obter outras fórmulaspara e(p) considerando diferentes variações percentuais para o preço.a) obtenha uma fórmula para a elasticidade supondo que o preço sobre

uma variação percentual de 1% para baixob) obtenha uma fórmula para a elasticidade supondo que o preço sobre

uma variação percentual de 0:5% para baixoc) obtenha uma fórmula para a elasticidade supondo que o preço sobre

uma variação percentual de 0:5% para cimad) aplica as fórmulas obtidas nos itens a), b) e c) anteriores em todos os

exemplos e exercícios onde Voce utilizou a elasticidade.

4 A função Custo Médio no modelo linearpara valores grandes da quantidade. Umprimeiro contato com a noção de limite.

No uso da modelagem linear para a função custo C(q); ou seja, C(q) = aq+b;onde a e b são constantes positivas que dependem do contexto, o custo médio�ca

Cm(q) =C(q)

q=aq + b

q= a+

b

q

ou seja

Cm(q) = a+b

q: (14)

Exemplos: seC(q) = 2:33q + 54:66

entãoCm(q) = 2:33 +

54:66

q

37

SeC(q) = 0:0023q + 244445

entãoCm(q) = 0:0023 +

244445

q:

A expressão (14) revela uma propriedade bastante interessante do customédio quando modelamos linearmente a função custo: à medida que a quan-tidade produzida cresce, a contribuição da parcela b=q na composição docusto médio torna-se cada vez menor, tornando-se desprezível quando q émuito grande. Em Matemática expressamos este fato de maneira precisa us-ando um conceito muito importante para o Cáculo Diferencial, o de limite.Usando simbologia própria, se escreve em Matématica que

limq!1

b

q= 0 (15)

e se le: o limite de b=q quando q tende a in�nito vale zero. Daí segue que

limq!1

Cm(q) = limq!1

�a+

b

q

�= a+ 0 = a:

No caso do exemplo anterior, onde Cm(q) = 0:0023 + 244445=q; temos

limq!1

Cm(q) = limq!1

�0:0023 +

244445

q

�= 0:00223:

É interessante observar este comportamento do custo médio através doseu grá�co:

x

y

38

Observação: os estudantes costumam contestar que embora se aproximandoinde�nidamente de zero jamais teremos que b=q = 0; mesmo que q seja muitogrande, e que portanto não é verdade que o limite de b=q quando q tende ain�nito é VERDADEIRAMENTE zero. A justi�cativa é a seguinte: se estevalor não fosse zero então deveria haver um valor, digamos c, talvez muitopequeno mas ainda assim positivo, tal que

0 < c � b

q;

sendo estas desigualdades válidas para QUALQUER valor positivo de q:Masisto obviamente não tem como ser verdade. Por exemplo, se tomarmos q =2b=c então teremos

c � b

q=b2bc

=c

2

o que implica, após a simpli�cação de c, que 1 � 1=2; um absurdo. Por estarazão escrevemos (15).

Exercício 29 Usando o mesmo tipo de argumentação acima explique porque0:999::: = 1:

Exercício 30 A Taxa de Crescimento �C do custo é o quociente

�C =C (q2)� C (q1)

q2 � q1para os diversos possíveis valores de q1 e q2; com q1 < q2: Comprove que nomodelo linear a taxa de crescimento do custo é constante e igual a a:

Exercício 31 Modelos sub e superlineares para o custo.a) Modelos sublineares para o custo são aqueles modelos que tem um

crescimento inferior ao modelo linear para valores grandes da quantidade.Por exemplo,

C(q) = 2pq + 300

é um modelo sublinear para o custo. Analise o que acontece com o customédio Cm(q) neste modelo e determine limq!1Cm(q):b) Modelos superlineares para o custo são aqueles modelos que tem um

crescimento superior ao modelo linear para valores grandes da quantidade.De exemplos de modelos superlineares do tipo polinomial quadrático e analiseo que acontece com o custo médio Cm(q) neste modelo quando limq!1Cm(q):

39

5 O Mecanismo da Teia de Aranha (CobwebModel) e um segundo contato com a noçãode limite

A teia de aranha é um modelo matemático utilizado para descrever aevolução (�utuação) do preço e da oferta de um determinado produto em ummercado. Existe toda uma teoria relativa a este assunto. Ele é tratado emuma área avançada da Matemática chamada de Sistemas Dinâmicos. Nossointeresse aqui é bastante modesto. Queremos apenas ilustrar de forma sim-ples como este mecanismo possibilita uma compreensão melhor das funçõesdemanda e oferta, da relação entre elas e com a dinâmica de mercado, bemcomo mostrar que este mecanismo traz à tona, novamente, a noção de limite.Quem tiver interesse em aprofundar este estudo pode consultar, por exemplo,o texto que se encontra no site:

http://www.ime.ufg.br/bienal/2006/mini/palmeira.kulnig.pdf,

bem como as referências nele contidas.

5.1 Idéia fundamental do mecanismo e exemplos

Este modelo é mais aplicado ao mercado de produtos agrícolas, por issovamos ilustrar este processo com um exemplo daí.

Vamos supor conhecidas as funções demanda D(p) e oferta O(p) de ar-roz em um certo intervalo de tempo de um certo mercado (a teoria maisavançada não parte do conhecimento explicito destas funções, mas se baseiaem expectativas de preços futuros (bem como quantidades esperadas) e faza análise da evolução do sistema conforme estas expectativas). Contudo, oprincipio que rege a evolução do sistema é o mesmo seja no caso mais simplese concreto que aqui vamos adotar como na teoria mais avançada.

Suponha que pe é o preço de equilíbrio de comercialização do arroz eqe a correspondente quantidade de equilíbrio. Isto signi�ca que, em umasituação de estabilidade do mercado de arroz, o preço de comercialização domesmo gira em torno de pe e que aproximadamente qe unidades de arroz sãooferecidas e vendidas no mercado.

40

Suponha agora que, por fenômenos climáticos, ocorra uma quebra desafra, fazendo com que a quantidade q1 de arroz disponibilizada no mercadoseja substancialmente menor que a de equilíbrio qe: q1 << qe:

Como vai evoluir o mercado a partir daí?

Sendo q1 uma quantidade menor do que à quantidade qe de equilíbrio, es-tando o preço, no momento da quebra, ainda em torno do preço de equilíbrio,se não houver uma remarcação de preços vai haver uma falta de produto nomercado (em torno de qe � q1): Além disso, se o preço do produto contin-uar como está neste momento, a saber, pe; o comerciante ganhará menos,provavelmente tendo prejuízo pois venderá uma quantidade q1 bastante infe-rior a que eles vende usualmente (qe): Assim o mercado (na verdade, quemcomercializa o produto que, em geral, não é o produtor) se encarrega de fazeresta remarcação (in�acionária) de preços, aumentando o preço até um valorp1: Que valor p1 deve ser este? Ora, é de se esperar que este preço seja oque corresponde a uma demanda igual a quantidade ofertada no momento,ou seja q1; pois com este preço o mercado se �acomodará�. Podemos entãocalcular p1 resolvendo a equação q1 = D(p); sendo p a incógnita. Isto éteóricamente possível pois estamos supondo conhecidos q1 e a lei D(p):

Agora, com o aumento do preço para um valor p1, acima do preço deequilíbrio pe; na safra seguinte (na ausência de novos problemas) o produtor(e o comerciante) vai ter interesse em colocar mais arroz no mercado, parater assim maior lucro. A quantidade que vai ser disponibilizada será entãoregida pela curva de oferta sendo, portanto, q2 = O(p1):

Como q2 é uma quantidade maior do que a quantidade de equilíbrio qe eestando o produto, nesta ocasião, com o alto preço p1; ele não será totalmentevendido. Para ocorrer a venda de toda esta quantidade q2 o preço vai ter quebaixar (de�ação do preço do produto) a um valor p2 que corresponda a umademanda q2 pela curva de demanda. Ou seja, p2 é solução da equação comincógnita p: q2 = D(p):

Esta nova situação agora torna-se desfavorável ao vendedor, que estarávendendo seu produto a um preço que pode até lhe estar dando prejuízo.Portanto ele vai fornecer uma quantidade menor de produtos, digamos q3:Como calcular q3? Ora, q3 nada mais é do que a quantidade que o vendedor

41

está disposto a vender pelo preço p2 sendo, portanto, calculada pela funçãooferta, ou seja: q3 = O(p2):

Fechamos então, neste momento, um ciclo ao redor dos preço e quantidadede equílibrio. Como ainda q3 < qe o processo se repete, com q3 no lugarde q1: E isto, em termos matemáticos, se repete inde�nidamente. Assim,teoricamente, obtemos sequências de preços e de quantidades:

q1; q2; :::; qn; :::

p1; p2; :::; pn; :::

e surge o problema teórico de se saber o que acontece com estes valoresquando n cresce inde�nidamente. Mais precisamente quer-se saber se existeum valor limite para as quantidades qn bem como um valor limite para ospreços pn quando n cresce inde�nidamente. Em mercado estável os preços equantidades voltam a situação de equilíbrio, ou seja, os valores pn e qn tendema se aproximar inde�nidamente de pe e de qe: Matemáticamente expressamosusando a noção de limite, que vimos anteriormente, a saber:

limn!1

qn = qe

limn!1

pn = pe:

42

Contudo é importante se observar que, a depender do modelo adotadopara as funções demanda e oferta, podem não existir os limites limn!1 qn elimn!1 pn: Discutiremos isto com mais detalhes adiante.

Vejamos um exemplo numérico, concreto. Suponhamos que as funçõesdemanda e oferta de um produto hipotético admitam fórmulas a�ns (ou seja,o modelo linear, como é o caso dos grá�cos mostrados anteriormente. Ouso do modelo linear foi proposto por M. Ezekiel no artigo �The cobwebtheorem�, publicado no �The Quaterly Journal of Economics�, 52:255�280,1938):

D(p) = 250� 10pO(p) = 5(p� 20)

sendo a quantidade em milhares.O preço de equilíbrio é obtido resolvendo-se a equação em p:

250� 10p = 5(p� 20)

que nos dá

pe =70

3�= 23:33:

A quantidade de equilíbrio é

qe =50

3�= 16:66:

21 22 23 24 250

10

20

30

40

p

q

Suponha que ocorra um problema na produção do bem e que sua ofertano mercado caia a 10 centenas de unidades.

43

Uma vez entendido a dinâmica de mercado em reação a esta queda deoferta, como acima explicado, basta agora construirmos tabelas com os preçosp1; p2; :::e quantidades q1; q2; ::: da forma como calculados na explicação genéricaacima:

qi Equação D(p) = q pi: soluçãoq1 = 10 250� 10p = 10 p1 = 24q2 = O(24) = 5(24� 20) = 20 250� 10p = 20 p2 = 23q3 = O(23) = 5(23� 20) = 15 250� 10p = 15 p3 = 23:5q4 = O(23:5) = 5(23:5� 20) = 17:5 250� 10p = 17:5 p4 = 23:25q5 = O(23:25) = 5(23:25� 20) = 16:25 250� 10p = 16:25 p5 �= 23:37q6 = O(23:375) = 5(23:375� 20) �= 16:87 250� 10p �= 16:87 p6 �= 23:31q7 = O(23:3125) = 5(23:3125� 20) �= 16:56 250� 10p �= 16:56 p7 �= 23:34

Vemos então que já ao �nal do primeiro ciclo o preço de mercado doproduto se iguala, nas duas primeiras casas decimais, ao preço de equilíbrio.A coincidência nas três primeiras casas decimais ocorrerá depois de 5 ciclos,valor este que talvez já possa ser considerado como o de equilíbrio, signi�-cando uma volta do mercado a estabilidade.

Contudo, teóricamente, os valores das quantidades e dos preços nunca seigualarão à quantidade de equilíbrio e nem ao preço de equílibrio; continuarãoa mudar inde�nidamente, determinando sequências intermináveis de valoresq1; q2; :::; qn; ::: para a quantidade e de valores p1; p2; :::; pn; ::: para os preços.

Pode-se notar empiricamente que limn pn = pe e limn qn = qe: Contudopodemos comprovar isto matemáticamente. Adiante mostraremos que paraum modelo linear genérico para as funções demanda e oferta, a saber

D(p) = ap+ b

O(p) = cp+ d;

após n �utuações o valor da n�ésima quantidade, qn; é:

qn = qe + (q1 � qe)� ca

�n�1: (16)

No caso do exemplo anterior temos a = �10; c = 5; q1 = 10; qe = 16:66

44

de modo que

qn = 16:66 + (10� 16:66)�5

�10

�n�1= 16:66� 6:66

��12

�n�1Assim, por exemplo:

q1 = 16:66� 6:66��12

�0= 10

q2 = 16:66� 6:66��12

�1= 19:99

q3 = 16:66� 6:66��12

�2= 14:995

q4 = 16:66� 6:66��12

�3= 17:4925:

Os valores obtidos não coincidem exatamente com os calculados anteri-ormente por questões de arredondamento.

Com a fórmula (16) podemos ver mais claramente que qn tende a quan-tidade de equilíbrio quando n!1: Por exemplo:

q10 = 16:6730078125

q11 = 16:65 349 609375

q50 = 16:66000000000000183

q51 = 16:65999999999999409:

Esta é uma comprovação empírica, que indica a tendência dos valores dasquantidades. Para uma comprovação teórica completa, usando a noção delimites, notamos primeiro que

qn = 16:66� 6:66�1

2n� (�1)n = 16:66� 6:66

2n� (�1)n

Além disso: ��6:66� 1

2n� (�1)n

�� = 6:66

2n:

45

Portanto, basta vermos que limn!1 (6:66=2n) = 0: Para efetivamente com-

provarmos isto é conveniente raciocinarmos da seguinte forma: suponha que6:66=2n não vale zero quando n ! 1: Então deve existir um número c > 0tal que

6:66

2n� c (17)

PARA TODO n: Resolvendo a equação

6:66

2x= c

encontramosx = log2

6:66

c:

Assim, se n é um número natural estritamente maior do que x; então

6:66

2n< c

o que contradiz (17). Logo

limn!1

�6:66� (�1)n2n

= 0

de modo quelimn!1

qn = 16:66 + 0 = 0:

Determinemos agora a sequência pn de �utuações de preços. Para isso,notemos que pn é solução da equação qn = D(p); ou seja, solução da equação

16:66� 6:66��12

�n�1= 250� 10p

o que nos dápn = 23:334� 1:332 (�0:5)n :

Desta expressão vemos tambem que

limn!1

pn = 23:334 = pe:

Da fórmula (16) vemos que vai ocorrer um problema sério quando c > a;pois os valores

�ca

�ntenderão a �car muito grande negativamente quando n é

ímpar e muito grando positivamente quando n é par. Vejamos um exemplo.

46

Suponhamos que as funções demanda e oferta de um produto hipotéticosejam agora as funções a�ns

D(p) = 250� 10pO(p) = 11(p� 20)

O preço de equilíbrio é

pe =470

21�= 22:38

Suponha novamente que ocorra uma quebra de produção e a quantidadeofertada do produto em dado momento passa a 10: Teremos então a seguintetabela:

qi Equação D(p) = q pi: soluçãoq1 = 10 250� 10p = 10 p1 = 24q2 = O(24) = 11(24� 20) = 44 250� 10p = 44 p2 = 20:6q3 = O(20:6) = 11(20:6� 20) = 6:6 250� 10p = 6:6 p3 = 24:34q4 = O(24:34) = 11(24:34� 20) = 47:74 250� 10p = 47:74 p4 = 20:22q5 = O(20:22) = 11(20:22� 20) = 2:42 250� 10p = 2:42 p5 �= 24:75q6 = O(24:75) = 11(24:75� 20) �= 52:25 250� 10p �= 52:25 p6 �= 19:77q7 = O(19:77) = 11(19:77� 20) �= �2:53 250� 10p = �2:53 p7 �= 25:25

Esta tabela mostra a tendência dos valores quantidade ofertada e preçodo produto. A última linha mostra que o mercado atinge o dé�cit de 2:53unidades, ao preço de 25:25 a unidade. Se continuarmos a tabela veremos quetanto a quantidade quanto o preço vão oscilar cada vez mais, aumentandotanto positiva quanto negativamente, atingindo inclusive valores negativostanto para o preço quanto para as quantidades. Na verdade esta oscilaçãotende ao in�nito em valor absoluto.Podemos efetivamente comprovar estas conclusões usando a fórmula (16).

Temosqe ' 26:18:

qn = 26:18 + (10� 26:18)�11

�10

�n�1= 26:18� 16:18 (�1:1)n�1 :

47

Daí vemos que

q10 = 64:33

q11 = �15:78q100 = 202726:45

q101 = �222944:12q1000 = 3:63� 1042

q1001 = �3:99� 1042

Decorre da fórmula qn = 26:18 � 16:18 (�1:1)n�1 que não existe limn!1 qn:Como qn tende a valores inde�nidamente grandes para n par e grande, einde�nidamente grandes negativamente quando n é impar, escrevemos:

limn!1

q2n =1

limn!1

q2n+1 = �1:

ppp 13 42 pppo0 p

1

3

qq

4

2

qq

Exercício 32 Um certo produto apresenta as seguintes funções demanda eoferta:

D(p) = �11p+ 1700O(p) = 9(p� 20)

48

a) Determine o preço (em reais) e a quantidade de equilibriob) Por um problema de abastecimento, a oferta do produto em dado mo-

mento cai para 300 unidades. Descreva o comportamento do mercado nacomercialização deste produto daí para frente, determinando um ciclo demudanças de preço e de quantidades ofertadas do produto. Determine osíndices de in�ação e/ou de�ação do preço em cada mudança (trabalhar comduas casas decimais depois da vírgula de precisão).Importante: em cada passo, explique a razão econômica do procedi-

mento utilizado para o cálculo da quantidade ou do preçoc) Calcule quantos ciclos de �utações de preço ocorrerão até o mercado

voltar à estabilidade (considerar o mercado estável quando o preço do pro-duto diferir do preço de equilíbrio em no máximo R$5; 00; para cima ou parabaixo).d) Determina qn; pn e comprove que limn!1 qn = qe; limn!1 pn = pe:

Exercício 33 As mesmas questões do exercício anterior para:

D(p) = �11p+ 1700O(p) = 12(p� 20)

Exercício 34 (super safra) Um certo produto apresenta as seguintes funçõesdemanda e oferta:

D(p) = 1500� 17pO(p) = 12p� 200

a) Determine o preço (em reais) e a quantidade de equilibriob) Suponha que haja uma derrama do produto no mercado (ocasionado,

por exemplo, por uma super safra) elevando a oferta a aproximadamente750 unidades. Descreva o comportamento do mercado na comercializaçãodeste produto daí para frente, determinando um ciclo de mudanças de preçoe de quantidades ofertadas do produto. Determine os índices de in�açãoe/ou de�ação do preço em cada mudança (trabalhar com duas casas decimaisdepois da vírgula de precisão).c) Calcule quantos ciclos de �utações de preço ocorrerão até o mercado

voltar à estabilidade (considerar o mercado estável quando o preço do pro-duto diferir do preço de equilíbrio em no máximo R$6; 00; para cima ou parabaixo).

49

d) Faça o mesmo que b) e c) supondo, no lugar da derrama de 750unidades, que haja um aumento do preço do produto elevando-o a R$64; 00a unidadee) Faça o mesmo que b) e c) supondo que haja uma desvalorização do

preço do produto que o baixa a R$42; 00 a unidade

Exercício 35 O mesmo exercício anterior, considerando agora as seguintesfunções demanda e oferta:

D(p) = 1500� 16pO(p) = 19p� 200

Exercício 36 Um certo bem em um certo mercado é modelado pelas seguintesfunções demanda e oferta: D(p) = 1500� 17p e O(p) = 12p� 200: Por umgrave problema no abastecimento o preço do produto aumentou em 10%: Dequanto foi desabastecimento?

Exercício 37 Em um dado momento, na comercialização de um certo pro-duto em um certo mercado, há uma supersafra e a quantidade ofertada nomercado sobe para q1 >> qe unidades, sendo qe a quantidade de equilíbrio.Considerando as duas seguintes modelagens (a) e (b) abaixo para as funçõesoferta e demanda do produto,

(a)�D1 (p) = �20p+ 500O1 (p) = 5p+ 234

(b)�D2 (p) = �19p+ 489:36O2 (p) = 6p+ 223:36

pergunta-se: para qual valores de q1 o modelo (b) preve uma de�ação menorno preço?

5.2 Estudo genérico do Mecanismo da Teia de Aranhano modelo linear

Analizemos o mecanismo da teia de aranha emmodelos lineares genéricospara as funções demanda e oferta, ou seja:

D(p) = ap+ b

O(p) = cp+ d:

50

Pela lei da demanda temos a < 0 e pela lei da oferta temos c > 0 de modoque c� a > 0: O preço de equilibrio é dado resolvendo a equação

ap+ b = cp+ d

o que nos dá

pe =b� dc� a:

e a correspondente quantidade de equilíbrio é

qe =bc� adc� a :

Como qe > 0; necessáriamente devemos ter bc� ad > 0 já que c� a > 0:

Para efeitos de facilidade de cálculo, façamos x = c=a: Assim, c = xa eobtemos então as seguintes expressões para as funções demanda e oferta:

D(p) = ap+ b

O(p) = xap+ d:

Analizemos como ocorrem as �utuações de preço e quantidade quanto aquantidade ofertada no mercado é uma quantidade q1 diferente da quantidadede equilíbrio qe: Supohamos q1 < qe:Resolvendo a equação em p: q1 = D(p), obtemos

p1 =q1 � ba

q2 = O

�q1 � ba

�= d+ (q1 � b)x:

Resolvendo a equação em p: q2 = D(p) obtemos p2 e então

q3 = O (p2) = d+ (d� b)x+ (q1 � b)x2:

Resolvendo a equação em p: q3 = D(p) obtemos p3 e então

q4 = O (p3) = d+ (d� b)x+ (d� b)x2 + (q1 � b)x3

= d+ (d� b)�x+ x2

�+ (q1 � b)x3:

51

Resolvendo a equação em p: q4 = D(p), obtemos p4 e então

q5 = O (p4) = d+ (d� b)x+ (d� b)x2 + (d� b)x3 + (q1 � b)x4

= d+ (d� b)�x+ x2 + x3

�+ (q1 � b)x4

Resolvendo a equação em p: q5 = D(p), obtemos p5 e então

q5 = O (p5) = d+ (d� b)x+ (d� b)x2 + (d� b)x3 + (d� b)x4 + (q1 � b)x5

= d+ (d� b)�x+ x2 + x3 + x4

�+ (q1 � b)x5:

Estes cálculos nos levam a intuir o seguinte padrão para n�ésima quan-tidade qn:

qn = d+ (d� b)�x+ x2 + :::+ xn�2

�+ (q1 � b)xn�1:

Pode-se comprovar matematicamente que esta fórmula é de fato válida.Observando que a expressão x+x2+ :::+xn�1 é a soma dos n� 2 termos

de uma PG de razão x e primeiro termo x; e usando a conhecida fórmulapara a soma dos termos de uma PG, obtem-se:

x+ x2 + :::+ xn�2 =x� xn�11� x :

Logo

qn = d+ (d� b)x� xn�11� x + (q1 � b)xn�1

= d+ (d� b) x

1� x � (d� b)xn�1

1� x + (q1 � b)xn�1

= d+ (d� b) x

1� x +�q1 +

b� d1� x � b

�xn�1:

Como x = c=a temos

b� d1� x � b =

ad� bcc� a = �qe:

Além disso

d+ (d� b) x

1� x = d+ (d� b)c=a

1� c=a =ad� bca� c = qe

52

de modo que

qn = qe + (q1 � qe)� ca

�n�1: (18)

Note que se a quantidade inicial q1 fosse igual a qe então tería-se qn = qepara todo n; como era de se esperar. Note também que como c=a é semprenegativo pois a < 0 e c > 0; a expressão (c=a)n�1 alternará de sinal conformen seja par ou ímpar: se n é ímpar então n� 1 é par de modo que (c=a)n�1 épositivo. Se n é par então n� 1 é ímpar de modo que (c=a)n�1 é negativo.

Determinemos agora a sequência de preços pn: Para isso resolvemos aequação qn = D(p); ou seja

qe + (q1 � qe)� ca

�n�1= ap+ b

o que nos dá

pn =�b+ qea

+q1 � qea

� ca

�n�1:

Observemos que

pe =b� dc� a:

Levando em conta que

qe =ad� bca� c

obtemos�b+ qea

=�b+ ad�bc

a�ca

=b� dc� a = pe:

Logo

pn = pe +q1 � qea

� ca

�n�1: (19)

Façamos agora uma análise das fórmulas (18) e (19). Temos três possi-bilidades �� c

a

�� < 1�� ca

�� > 1�� ca

�� = 153

No primeiro caso decorre que (c=a)n�1 tende a zero quando n ! 1; ouseja

limn!1

� ca

�n�1= 0;

de modo que, de (18) e (19) obtemos

limn!1

qn = qe + (q1 � qe) :0 = qe

limn!1

pn = pe +q1 � qea

:0 = pe:

No segundo caso tem-se c=a < �1 < 0; de modo que os valores (c=a)n�1�cam inde�nidamente grandes quando n é inde�nidamente grande e par einde�nidamente pequenos (negativos) quando n é inde�nidamente grande eímpar. Daí decorre que qn atinge valores muito negativos quando n é par evalores muito grandes e positivos quando n é grande e ímpar, o que não temsentido econômico.Finalmente, no último caso, temos (c=a)n�1 = (�1)n�1:Quando n é ímpar

temos então (�1)n�1 = 1 de sorte que

qn = qe + (q1 � qe) = q1

e, quando n é par, (�1)n�1 = �1 de sorte que

qn = qe + (q1 � qe) (�1) = 2qe � q1:

Conclusões similares podem ser obtidas para a sequência de preços pnusando a fórmula (19).

Exercício 38 Comprove que, no caso em c = jaj; os preços pn permanecemoscilando inde�nidamente entre os valores pn = pe + (q1 � qe) =a e pn =pe � (q1 � qe) =a:

Conclusão teórica: No modelo linear

D(p) = ap+ b

O(p) = cp+ d

para a teia de aranha, tem-se o seguinte:

54

i) quando c < jaj então tanto as quantidades qn quanto os preços pnvoltam à quantidade e ao preço de equilíbrio quando n cresce inde�nidamente,ou seja

limn!1

qn = qe

limn!1

pn = pe

ii) quando c > jaj então tanto as quantidades qn quanto os preçospn começam a variar de maneira crescente quando n cresce inde�nidamenteatingindo valores muito grandes tanto negativa quando positivamente, deixandode ter qualquer signi�cado econômico

iii) quando c = jaj então as quantidades qn oscilam entre dois val-ores: q1 e 2qe�q1; e os preços pn oscilam entre os dois valores pe+(q1 � qe) =ae pn = pe � (q1 � qe) =a:

Conclusão �prática�: quando lidamos com valores aproximados, comoé o caso dos valores dos parâmetros que ocorrem nas fórmulas analíticasutilizadas para modelar matemáticamente as funções econômicas, não fazsentido trabalhar com igualdades exatas. Assim, não faz sentido modelarlinearmente a teia de aranha com c = jaj : Portanto, podemos supor quec 6= jaj ; de modo devemos ter c > jaj ou c < jaj. Contudo, do ponto de vistaeconômico, em um mercado estável, o preços e quantidades devem voltar aosvalores de equilíbrio após algum tempo, de modo que c < jaj.

Exercício 39 Interprete geométricamene a Conclusão Teórica acima ex-posta

Exercício 40 As funções demanda e oferta de um determinado bem agrícolaem um determinado intervalo de tempo e em um deteminado mercado são

D(p) = �25p+ 330O(p) = 22p� 50

Usando a fórmula qn = qe+(q1�qe)(c=a)n�1 JUSTIFIQUE e INTERPRETEo fato que limn!1 qn ' 127:8 7:

55

Exercício 41 As funções demanda e oferta de um determinado bem agrícolaem um determinado intervalo de tempo e em um deteminado mercado são

D(p) = �25p+ 330O(p) = 22p� 50

Podemos a�rmar que, a partir de uma oferta de q1 = 160, após num certonúmero de oscilações a quantidade voltará a coincidir EXATAMENTE com aquantidade de equilíbrio? Use a fórmula de qn para justi�car completamentesua resposta.

Exercício 42 (um exemplo de modelagem não linear para a Teia de Aranha).Resolva os mesmos itens a), b) e c) do Exercício 32 supondo agora

D(p) = �50p+ 800O(p) = �2p2 + 50p+ 50

e que, no item b), a oferta do produto caia para 220 unidades.

Exercício 43 As funções demanda e oferta de um determinado bem em umdeterminado intervalo de tempo e em um determinado mercado são

D(p) = �24p+ 520O(p) = 21p+ 230

Em dado momento houve uma crise de abastecimendo fazendo que adisponibilidade do produto no mercado caísse para uma certa quantidade q1;desencadeando uma sequência de �utuações de preços.a) Supondo que o mercado na quarta �utuação de preço voltou à esta-

bilidade (considere estável quando o preço diferir do preço de equilíbrio emR$1:50); determine o menor valor possível para q1:b) Sabendo que o mercado na quinta �utuação da quantidade voltou à

estabilidade (considere estável quando a quantidade diferir do preço de equi-líbrio em 50 unidades); determine o menor valor possível para q1:

Exercício 44 Comprove que na modelagem linear

D(p) = ap+ b

O(p) = cp+ d

56

do mecanismo da teia de aranha tem-se

qn =qn+1 + qn�1

2

sempre que a = �2c:

57

6 Capitalização contínua e as funções expo-nencial e logaritmo naturais.

Até agora utilizamos apenas as fórmulas analíticas mais simples no es-tudo de alguns problemas econômicos. Estes mesmos problemas são algumavezes modelados por outras fórmulas que ainda são aritméticas mas são maiscomplicadas, por exemplo, as fórmulas polinomiais cúbicas. Nestes casos,precisaremos fazer uso do Cálculo Diferencial para conseguir obter o mesmotipo de conclusão que as que obtivemos, por exemplo, na Seção 3 e, por isso,vamos deixar para estudar estes casos posteriormente.

Nesta seção nos preocupamos em mostrar como ocorrem duas funções nãoaritméticas importantes em Economia, a exponencial e a logaritmo natural.

Uma constante numérica muito importante em Economia (e emMatemática),é o chamado número neperiano, denotado pela letra e e valendo aproximada-mente 2; 718281. Em Matemática, o número e é quase tão importante quantoo número �; mas não é usualmente ensinado no EM pois ocorre em contex-tos cuja matemática envolvida é mais avançada. Em Economia este númeroocorre no cálculo do acumulado de um capital aplicado a uma taxa relativa dejuros capitalizados continuamente. A capitalização contínua (também ditacapitalização instantânea) é o limite de um processo de evolução de um mon-tante �nanceiro inicial capitalizado em intervalos de tempo sucessivamentemenores. Vejamos este processo em detalhes.

Considere uma quantia inicial Q0 e suponha-a aplicada a juros �xos auma taxa de r% ao ano, e denotemos por Qf o montante obtido após 1 ano.Este valor, Qf ; é dito capital �nal ou acumulado.

Se o juro é capitalizado uma única vez então, ao �nal de um ano deaplicação, teremos o acumulado

Qf = Q0 +r

100Q0 =

�1 +

r

100

�Q0:

Se o juro é capitalizado duas vezes ao ano, em regime de juros compostos3,

3Juro composto signi�ca que o juro é pago periodicamente sobre o valor aplicado (ouempréstimo), o que resulta em um novo valor aplicado ao �nal de cada período de capi-talização.

58

então após 6 meses haverá uma capitalização relativa a uma taxa de r=2% eo capital inicial passará a

Q1 = Q0 +r=2

100Q0 =

�1 +

r

200

�Q0

que será aplicado por mais 6 meses de modo que ao �nal teremos

Qf =�1 +

r

200

�Q1 =

�1 +

r

200

�2Q0:

Se o juro é capitalizado três vezes ao ano (sempre em regime de juroscompostos) então teremos

Q1 =�1 +

r

300

�Q0

ao �nal do primeiro quadrimestre,

Q2 =�1 +

r

300

�Q1 =

�1 +

r

300

�2Q0

ao �nal do segundo quadrimestre e

Qf =�1 +

r

300

�Q2 =

�1 +

r

300

�3Q0

ao �nal do ano.

De um modo geral, se �zermos n capitalizações ao longo do ano, então ocapital Qf após um ano será

Qf =�1 +

r

100n

�nQ0 (20)

Vejamos alguns exemplos concretos. Se o capital Q0 = R$3000; 00 éaplicado durante 1 ano à taxa de 5% ao ano, com uma única capitalização,então o acumulado será

Qf =

�1 +

5

100

�3000 = 3150:

59

Por outro lado, se este mesmo capital é aplicado durante um ano à mesmataxa anual de 5% mas sofrendo duas capitalizações então o acumulado será

Qf =

�1 +

5

200

�23000 = 3151:875:

Se o capital Q0 = R$2500; 00 é aplicado durante 1 ano à taxa de 3; 5%ao ano, com capitalizações trimestrais, então o acumulado será

Qf =

�1 +

3; 5

400

�42500 = 2588; 655 151 373 291 02:

Se o mesmo capital anterior é aplicado à mesma taxa mas com capitalizaçõesmensais, então o acumulado será:

Qf =

�1 +

3; 5

1200

�122500 = 2588: 91738236492619;

e se as capitalizações forem diárias, então o acumulado será:

Qf =

�1 +

3; 5

36500

�3652500 = 2589:04492764294544:

Exercício 45 Na compra de um apartamento �nanciado em 5 anos, emregime de juros compostos, oferecem a Você duas opções:i) reajuste trimestral com taxa de anual de 4%ii) reajuste anual com taxa de 6% ao anoQual das opções acima lhe é mai$ vantajo$o? Justi�car sua resposta.

Tanto nos exemplos acima como no caso geral, teremos uma capitalizaçãocontínua de juros, quando �zermos o número n de capitalizações tender ain�nito na fórmula (20): Neste caso, Qf será dito o valor acumulado relativoa uma capitalização contínua de juros. Este conceito é de�nido de modopreciso com o uso do conceito Matemático de limite. Na seção anteriorintroduzimos uma simbologia para limites. Usando esta simbologia podemosescrever:

Qf = limn!1

�1 +

r

100n

�nQ0 = Q0 lim

n!1

�1 +

r

100n

�n:

60

O importante neste momento é procurar ter uma idéia mais clara dosigni�cado das igualdades acima. Para isso, consideremos o caso particularem que r% = 100%; quando então temos:

Qf = Q0 limn!1

�1 +

1

n

�n: (21)

Diferentemente do que aconteceu com o limite que apareceu na seçãoanterior, o limite que aparece agora tem uma papel bem mais fundamentalpara o entendimento do fenômeno econômico que estamos abordando, e porisso temos que discutir com mais detalhes e profundidade o signi�cado de(21).

Dito de forma intuitiva, a igualdade acima signi�ca que o valor Qf éaproximadamente ao valorQ0 multiplicado por

�1 + 1

n

�npara valores grandes

de n: Para ter umamelhor idéia do fator multiplicativo�1 + 1

n

�n; construímos

a tabela:

� n capitalizações�1 + 1

n

�n1 2.02 2.254 2.4414062512 2.6130352902246781602995330443552 2.69259695443717727556117763953365 2.714567482021874303193886306688760 2.71812669162045211891613806539527600 2.7182560680856454844247619353931536000 2.71828178536097082126355826629100000000 2.718281814867636217652977243001000000000 2.7182818270999043223766440238610000000000 2.71828182832313114394979400129100000000000 2.71828182844545382621811683309etc.

Os valores tabelados demonstram empiricamente que o valor da expressão�1 + 1

n

�ntende ou se aproxima de um certo número (cujas primeiras casas

61

decimais valem 2:718281828); à medida que n torna-se muito grande. Estenúmero é denotado por e e chamado de número neperiano.

Assim, se os juros forem capitalizados instantaneamente ( ou seja, comin�nitos períodos de capitalização), o capital acumulado ao �nal de um anoserá e vezes o capital inicial Q0, ou seja,

Qf = eQ0: (22)

Por exemplo, se aplicamos Q0 = R$1300; 00 durante 1 ano em regime dejuros compostos contínuos, a uma taxa anual de 100%; então o acumuladoao �nal de 1 ano será

Qf = 1300� eque vale aproximadamente

Qf = 1300� 2:718281828 = 3533:766 376 4: (23)

Considerando o caso em que Q0 = 1; obtemos a seguinte interpretaçãoeconômica para o número e

Interpretação econômica do número neperiano: R$e = R$2:7182:::é o valor do capital acumulado, ao �nal de um ano, com a aplicação deR$1; 00 à taxa de de 100% ao ano no regime de juros contínuos.

Como o valor exato de e não coincide com o valor de�1 + 1

n

�npara nen-

hum n;mas sim é o valor limite desta expressão quando n �ca inde�nidamentegrande, escrevemos

e = limn!1

�1 +

1

n

�n:4 (24)

4Pode-se mostrar que vale um limite mais geral, a saber

e = limx!1

�1 +

1

x

�xsendo x agora uma variável real. Isto é o mesmo que dizer que a igualdade (24) se mantemse trocarmos n por qualquer sequencia numérica xn que tenda ao in�nito quando n tendeao in�nito.

62

A seguir discutimos um pouco mais sobre a teoria e o uso prático donúmero e: Antes observamos que existem empresas de investimento que uti-lizam o sistema de juros contínuos, sendo uma delas, por exemplo, a �OandaFXTrade�. Veja o site

http://fxtrade.oanda.com/

ou mais diretamente o link

http://fxtrade.oanda.com/forex_trading/why_trade_with_oanda/feature_e¤ects_of_continuous_interest_rate_payments.shtml

Neste site a empresa mostra a vantagem do uso dos juros contínuos e,segundo eles, porque o uso do sistema de juros contínuos é �revolucionário�.

Os comentários que seguem visam melhor esclarecer o signi�cado de (24),demarcando melhor o que se pode ou não, se consegue ou não fazer com onúmero e:

1) Com o advento dos computadores e dos avanços obtidos nestaárea, é possível atualmente calcular com exatidão (usando (24) ou outrasfórmulas conhecidas mais �manuseáveis�para e) os primeiros milhonésimosdígitos das expansão decimal de e; veja este site da Nasa:

http://antwrp.gsfc.nasa.gov/htmltest/gifcity/e.2mil

mas NÃO se conhece completamente a expansão decimal de e: Certamentenão se sabe qual o valor do 10500 dígito da expansão decimal de e (é o quese pode a�rmar nesta dia chuvoso (em Porto Alegre) de 12 de setembro de2008):

Com o intuito de chamar a atenção do estudante que este é um fato bas-tante relevante e não trivial, informamos que existe muita investigação sendoatualmente feita sobre este número. Uma pergunta aparentemente simplespara a qual não se tem resposta é: todos os dígitos continuam aparecendona expansão decimal de e? A resposta seria negativa se se comprovasse, por

63

exemplo, que a partir de uma certa casa da expansão decimal de e o dígito8, digamos, não ocorre mais. O que se acredita é que isto não aconteça, pelocontrário, o que se acredita é que todos os dígitos tornam a aparecer e comigual freqüência.

Apenas a título informativo, mencionamos que as observações acima seaplicam praticamente a qualquer número irracional, tais como (e especial-mente) �; bem como a

p2;p3 (a qualquer radical de um natural que não

é um quadrado perfeito, de um modo geral). Para con�rmar a importânciadestas pesquisas, existe atualmente um valioso prêmio para quem descobriruma propriedade importante da expansão decimal de qualquer um destesnúmeros, a saber, a propriedade da normalidade (semelhante a que comen-tamos no parágrafo anterior). Veja, por exemplo,

http://en.wikipedia.org/wiki/Normal_number.

2) O fato de não se conhecer completamente a expansão decimal dee não signi�ca que este número não seja um número precisa e corretamentede�nido. Os matemáticos provam rigorosamente que o valor da expressão�1 + 1

n

�ntende, quando n torna-se inde�nidamente grande, a um único e

bem determinado número real, o número e; o que ocorre é que não se conhececompletamente a expansão decimal deste número.

3) A fórmula (22) é de uso apenas teórico. Na prática, usamos algumaaproximação de e; como no caso de (23). A aproximação a ser utilizadaé por conta do fregues. Em Economia, di�cilmente será necessário o usode aproximações com mais de 8 casas decimais de precisão. As máquinascientí�cas utilizam em torno de 10 casas decimais de precisão.

Voltemos agora a situação mais geral de um capital Q0 aplicado à taxa der% ao ano, no regime de juros compostos. Após n capitalizações, o acumuladoé dado por (20), de modo que o acumulado relativo à capitalização contínuaé dado por

Qf = Q0 limn!1

�1 +

r

100n

�n:

Em princípio, para a determinação de Qf ; temos que avaliar o limiteacima para cada r dada, o que parece ser complicado demais. Contudo, uma

64

pequena estratégia reduz este problema essencialmente ao cálculo do limite(24) (que já está extensivamente avaliado e tabelado, com valores aproxima-dos mas de grande precisão constando em qualquer calculadora cientí�ca eem qualquer computador). Para ver isso, introduzimos uma nova variável matravés da igualdade

1

m=

r

100n:

Então n = (rm) =100 de modo que

�1 +

r

100n

�n=

�1 +

1

m

� rm100

=

��1 +

1

m

�m� r100

:

Como m = (100n)=r; é claro que m!1 quando n!1; de modo que,

limn!1

�1 +

r

100n

�n= lim

m!1

��1 +

1

m

�m� r100

=

�limm!1

�1 +

1

m

�m� r100

= er100

onde acima usamos a propriedade intuitivamente clara de que o limite deuma potência é a potência do limite.

Com isso chegamos na fórmula

Qf = Q0er100 (25)

para o acumulado de um capital inicial Q0 aplicado durante 1 ano à taxa der% ao ano no regime de juros contínuos.

Exemplo 46 Uma pessoa emprega R$20100; 00 à taxa de 4:5% ao ano comcapitalização contínua. O montante obtido ao �nal de um ano será

Qf = 20100e4:5100 ' 20100� 1: 046 = 21024:6

Pode-se mostrar que uma fórmula para o capital acumulado em regimede capitalização contínua a uma taxa anual de r%; durante um período detempo t de anos é

Qf = Q0ert100 (26)

65

Exercício 47 Uma pessoa emprega R$3000; 00 à taxa de 5% ao ano comcapitalização contínua.O montante obtido ao �nal de dois anos e 6 meses?

Observação: a fórmula (20) fornece o capital acumulado, ou capital �nal,obtido pela aplicação de um capital inicial Q0 durante um ano, no regimede juros compostos com �n�capitalizações, a uma taxa anual de r%: Paradeterminar o acumulado após um período t de anos, nas mesmas condiçõesanteriores, tem-se a fórmula

Qf = Q0

�1 +

r

100n

�tnExercício 48 O capital C0 = R$3555000; 00 é aplicado a juros contínuos noperíodo de 1 ano à taxa anual de 3%. Considerando a seguinte aproximaçãopara o número neperiano:

e �= 2:718;o acumulado ao �nal de 1 ano é

Cf = e31003555000 = 2:718

31003555000 �= 3663254:473:

a) Mostre que existe um número �nito de capitalizações que aplicadas aomesmo capital inicial C0, à taxa de 3% ao ano, produz, ao �nal de um ano,um acumulado maior ou igual ao acumulado acima obtido.b) Como a capitalização contínua é a que produz maior acumulado, como

Voce explica o obtido no item a)? Não existe uma contradição?c) Que aproximação(ões) razoável(is) Voce usaria para e para garantir

que o acumulado seja maior que o produzido para um número �nito qualquerde capitalizações?

Exercício 49 Em uma empresa de investimento lhe oferecem as seguintesalternativas para uma aplicação anual:a) Regime de juros compostos à taxa de 5% ao ano com 4 capitalizaçõesb) Regime de juros compostos à taxa de 3.5% ao ano com 8 capitalizaçõesc) Regime de juros contínuos à taxa de 3% ao anoPergunta-se: qual destas opções de investimento lhe é mais interessante?

Exercício 50 Trabalhando com duas casas depois da vírgula por trunca-mento, determine o número mínimo de capitalizações que devem ser apli-cadas ao capital Q0 = R$3500; 00 no regime de juros compostos à taxa de

66

4:02% a.a. para que o montante obtido, ao �nal de um ano, não seja infe-rior ao montante obtido pela aplicação deste mesmo capital, à taxa de 4:0%a.a, ao �nal de um ano, no regime de juros contínuos (fazer por tentativas).A resposta seria a mesma se ao invés de 2 usássemos 4 casas decimais?

Exercício 51 O capital C0 = R$16000000; 00 é aplicado a juros contínuos àtaxa de 10% ao ano rendendo ao �nal de um ano um acumulado C = C0e

r100 :

Lembrando que

e = limn!1

�1 +

1

n

�n;

considere para e os valores aproximados

e '�1 +

1

n

�nprimeiro para n = 15 e depois n = 25 e calcule os diferentes valores de Cobtidos com estas aproximações de e; bem como a diferença, em reais, domaior para o menor.

Exercício 52 a) Usando a função exponencial natural de sua máquina decalcular determine o acumulado C = C0e

r100 ao �nal de um ano obtido com

a aplicação do capital C0 = R$350000; 00 à taxa de 7% ao ano.b) Sabendo que

e = limn!1

�1 +

1

n

�nuse para e o valor aproximado

e '�1 +

1

n

�ncom n = 80 e determine o valor acumulado C usando este valor de e:c) Embora eu não conheça a máquina de calcular que Você esta usando,

o valor encontrado em b) tem que ter dado menor que o valor encontradoem a). Algum destes valores é o mais correto? (justi�car completamente suaresposta)

Exercício 53 Usando que

e = limn!1

�1 +

1

n

�n67

é possível encontrar uma aproximação de e que coincida com a que apareceem sua máquina de calcular? Se sim, qual o menor valor de n que Voce temque escolher para que isto aconteça?

Exercício 54 Explique porque sempre que usarmos um truncamento daexpansão decimal de e para o cálculo de um montante acumulado Qf deum capital inicial Q0 aplicado a juros contínuos a uma certa taxa anual rhaverá um número de su�cientemente grande de capitalizações que ao seremaplicadas ao capital Q0 à taxa r resultará em um acumulado maior do queQf :

Exercício 55 Sabendo que a aplicação de R$3500; 00 no regime de juroscontínuos à taxa de r% a.a. resulta, ao �nal de um ano, em um montanteigual ao obtido pela aplicação de R$3200; 00 no regime de juros contínuos àtaxa de s% a.a.; determine qual o capital que devemos aplicar à taxa de r%a.a. para que o montante obtido ao �nal de um ano seja igual ao montanteobtido pela aplicação de R$4560; 00 à taxa de s% a.a.

Exercício 56 Como já comentamos algumas vezes, o número e é um númerocom in�nitas casas decimais e, por esta razão, quando utilizado na prática, éusado uma aproximação do mesmo. Tais aproximacoes podem levar a resul-tados aparentemente contraditórios, como já vimos. Neste exercício trabalhecom aproximacoes de no mínimo 8 casas decimais após a vírgula.O capital R$1000; 00 é aplicado no regime de juros contínuos a uma taxa

5% ao ano produzindo o mesmo acumulado que o produzido pela aplicaçãode R$1000; 00 no regime de juros compostos, à mesma taxa, com 300 capi-talizações ao ano. Encontre uma aproximacao de e que, conforme os cálculoda máquina de calcular que Voce está utilizando, seja coerente com estesresultados.

As funções exponencial e logaritmo naturais.

A fórmula (25) deixa claro a importância do estudo da função exponencialcom base natural y = ex; x 2 R; bem como de sua inversa (que pode serutilizada para a determinação da taxa em termos dos capitais �nal e inicial,como veremos adiante), a função logarítmo natural y = ln x de�nida pory = lnx () x = ey: Estas funções tem fundamental interesse em umagrande gama de fenômenos.

68

Exemplo 57 Determinemos qual a taxa anual mínima que devemos aplicaro capital de R$21800; durante um ano, em regime de juros contínuos, paraque o acumulado não seja inferior ao acumulado produzido pela aplicaçãodeste mesmo capital a uma taxa anual de 5%, ao longo de 1 ano, no regimede juros compostos com 4 capitalizações.Solução

Qf = (1 +5

400)421800 ' 22910:608

22910:608 = 21800er100

er100 =

22910:608

21800' 1: 05:

Tomando x como 1: 05 e y = r=100 obtemos

r

100= ln 1:05 ' 0:048

de modo quer = 4:9%:

Em termos �receituais�: conhecido x e sabendo que y é tal que x = ey

determinamos y tomando y = ln x: Reciprocamente, conhecido y e sabendoque x é tal que y = ln x calculamos x tomando x = ey:A operação de exponenciação natural (base e) desfaz o que a operação de

logaritmização natural faz. Em termos simbólicos, isto se expressa x = elnx;da mesma forma que a operação de logaritmização natural desfaz o que faza exponenciação em base e: x = ln ex:

Uma propriedade importante da função logaritmo, de uso frequente, éque se a > 0; então

ln ab = b ln a: (27)

Exemplo 58 Usando a observação determinemos x tal que 5 = 2x: Apli-cando ln em ambos os lados da equação 5 = 2x obtemos ln 5 = x ln 2; demodo que

x =ln 5

ln 2' 1:6094

0:6931' 2:322:

69

Para entender o porque da igualdade (27): usamos as duas igualdades

a =�ab� 1b e ab = eln a

bpara obter

a =�eln a

b� 1b= e

ln ab

b

ou seja

a = eln ab

b :

Tomando o ln de ambos os lados da igualdade e usando (novamente) que oln �desfaz�o que o e �faz�:

ln a = ln eln ab

b =ln ab

bb ln a = ln ab:

Exercício 59 Determine a que taxa de juros anual devemos aplicar o capitalQ0 = R$23700; 00 no regime de juros contínuos para que, ao �nal de um ano,o montante obtido seja de R$30100; 00?

Exercício 60 Determine a que taxa de juros anual devemos aplicar o capitalQ0 = R$3600; 00 no regime de juros contínuos para que, ao �nal de um ano,o montante obtido não seja inferior ao montante obtido pela aplicação destemesmo capital, no regime de juros compostos, à taxa de 5% a.a, ao �nal deum ano, com capitalizações quadrimestrais.

O uso da função logaritmo no estudo do modelo linear da Teiade Aranha

Um problema discutido no estudo do mecanismo da teia de aranha con-siste na determinação do número de �utuações que os preços vão sofrer, nocaso de um mercado estável, até o mercado voltar a uma situação de nor-malidade. Isto, em princípio, só vai ocorrer quando o preço voltar ao preçode equilíbrio, o que teóricamente acontece somente após in�nitas �utações.Contudo, considerando uma diferença pequena do preço de equilíbrio, paraacima ou para baixo, como aceitável, ou seja, como preço que está dentro danormalidade, então o número de �utuações vai ser �nito.Vamos agora explicar como podemos calcular, usando a função logaritmo,

e no caso do modelo linear da teia de aranha, o número de �utuações de preço

70

até a volta da normalidade. Embora seja possível de fazer isto de uma formagenérica, é muito mais conveniente ilustrar e mesmo aplicar esta técnica casoa caso.

Exemplo 61 Retomemos o caso dado no Exercício 32:

D(p) = �11p+ 1700O(p) = 9(p� 20);

onde q1 = 300: Calculemos quantos ciclos de �utações de preço ocorrerão atéo mercado voltar à estabilidade usando a fórmula (19) (lembramos, segundoos dados do Exercício 32, que o mercado é considerado estável quando o preçodo produto diferir do preço de equilíbrio em no máximo R$5; 00; para cimaou para baixo). O preço de equilíbrio é pe = 94 e a quantidade de equilíbrioé qe = 666; de modo que, pela fórmula (19)

pn = pe +q1 � qea

� ca

�n�1= 94 +

300� 666�11

�9

�11

�n�1o que, após truncamento nos dá

pn = 94 + 33:27(�0:81)n�1: (28)

De de acordo com a suposição do exemplo, o preço pn está dentro da nor-malidade se

89 � pn � 99:Vamos então determinar quando pn se iguala aos valores extremos admis-síveis para o preço, pois, a partir daí, ele �cará sempre entre estes valores;ou seja, vamos resolver as equações em n: pn = 89 e pn = 99: Estas equaçõesnão tem porque terem soluções números naturais. O que faremos é encontraro menor número natural maior ou igual ao menor valor das soluções reaisdestas equações. Usando (28) obtemos

94 + 33:27(�0:81)n�1 = 89

(�0:81)n�1 = 89� 9433:27

' �0:15:

71

Esta equação só faz sentido de ser resolvida no caso de n par, quando entãoteremos

(0:81)n�1 = 0:15

e, aplicando logaritmos em ambos lados

n� 1 = ln 0:15

ln 0:81' �1:897�0:210 = 9:033

n = 10:033

O valor n = 10:033 é real. Obtemos então como solução do nosso probleman = 12; o primeiro número natural par depois de 10:033:Resolvendo a equação pn = 99 encontramos

(�0:81)n�1 = 99� 9433:27

' 0:15:

Esta equação só pode ser resolvida no caso n ímpar sendo então equivalenteà equação

(0:81)n�1 = 0:15

que tem como solução o mesmo valor real n = 10:033: Como neste caso ndeve ser o primeiro ímpar após 10:033, obtemos n = 11:

Logaritmo � Ordem de grandeza contínua

Aproveitamos a introdução acima da função logarítmo natural para fazeralguns comentários sobre o uso histórico desta função esclarecendo um con-ceito associado ao logarítmo, conceito este bastante utilizado popularmente(frequentemente em Economia): o de ordem de grandeza de um número.

Historicamente, ordem de grandeza de um número e logaritmo de umnúmero eram entendidos como sinônimos:

Lógos = ordem de arithmós = número.

72

Atualmente, ordem de grandeza de um número positivo x é comumente-mente entendida como a potência de expoente inteiro de 10 mais próximade x. Por exemplo, a dezena, a centena, o milhar, e assim por diante ( ie10; 100; 1000; etc ) tem ordem de grandeza respectivamente 10; 102; 103, etcda mesma forma que o décimo, o centésimo, o milésimo, e assim por diante (ie 0:1; 0:01; 0:001, etc ) tem ordem de grandeza respectivamente 10�1; 10�2;10�3; etc. Como 1 = 100 a ordem de grandeza de 1 é 100:

Números distintos que não são potências de 10 podem ter mesma ordemde grandeza, como 30 e 40; ambos com ordem de grandeza igual a 1; oupodem ter ordem de grandeza ambígua, como 50 (a ordem de grandeza de50 é 1 ou é 2?): Vejamos agora o que acontece se retiramos da de�nição deordem de grandeza a exigência do expoente ser inteiro. Qual será a ordemde grandeza de 40 por exemplo?

É claro que tem de estar entre 101 e 102, pois que 10 < 40 < 100: Usandouma calculadora, podemos fazer a seguinte tabela:

101:0 = 10:0000101:1 = 12:5892101:2 = 15:8489101:3 = 19:9526101:4 = 25:1189101:5 = 31:6228101:6 = 39:8107101:7 = 50:1187101:8 = 63:0957101:9 = 79:4328102:0 = 100:0000

Vemos na tabela que 101:6 < 40 < 101:7, o que signi�ca que a ordem degrandeza de 40 deve estar entre 101:6 e 101:7:

De um modo semelhante, podemos ver que 101:60 < 40 < 101:61, o quesigni�ca que a ordem de grandeza de 40 está entre 101:60 e 101:61:Se continuássemos ao in�nito esse processo, poderíamos ver que o valor

exato da ordem de grandeza de 40 é 101:602059991327962::: pois neste caso limitetemos a igualdade

40 = 101:602059991327962::::

73

Daí segue que 1:602059991327962::: = log10 40:

Isto nos leva a de�nir a ordem de grandeza contínua de um número pos-itivo x como a potência 10y onde y = log10 x: Com esta de�nição podemoscalcular a ordem de grandeza contínua de qualquer de qualquer número realpositivo, sem ambiguidade. Por exemplo, a ordem de grandeza contínua de50 é 101: 698 970 004 336 018 8:::; pois log10 50 = 1: 698 970 004 336 018 8::::

Para concluir, lembramos que a real utilidade da noção de ordem degrandeza é a de dar melhor signi�cado a números muito grandes ou muitopequenos ou para medidas, para as quais não se tem valores exatos.

Por exemplo estima-se que o número de estrelas no universo é

1000 000 000 000 000 000 000

que �ca mais fácil de imaginar através da sua ordem de grandeza que é 1021:O PIB americano é da orderm de 1010 dólares (cerca de 13; 8 trilhões dedólares), enquanto o PIB brasileiro é da ordem de 109 dólares (cerca de 1; 7bilhões de dolares).

74

7 Obtenção de fórmulas analíticas via tabelas

Na primeira parte das notas de aula do curso partimos de fórmulas paraas funções demanda e custo relativas à comercialização de um determinadoproduto e, com elas, obtivemos fórmulas para as outras funções econômicasassociadas: função receita, função lucro, funções marginais e elasticidade,o que nos possibilitou, utilizando técnicas matemáticas, uma descrição dofenômeno econômico sob estudo. A questão que surge é: como obter fórmulasanalíticas para as funções demanda e custo?

Fórmulas analíticas para diversas funções numéricas são muitas vezesobtidas, na prática, em duas etapas. A primeira consiste na coleta de da-dos que permitem a construção de tabelas funcionais. As tabelas funcionaisfornecem alguns valores, empíricamente determinados, da função econômicasob estudo. Por exemplo, no caso da função demanda esta tabelas funcionaissão chamadas de escalas de demanda e são construídas através de tomadasde preço e quantidade comercializadas a cada preço, de um determinadoproduto, realizadas durante certo intervalo de tempo e em um determinadomercado. Um outro exemplo importante em Economia são as tabelas decustos.

Exercício 62 As tabelas que aparecem neste exercício foram extraídas dosrelatórios gerenciais de uma malharia, conforme aparecem no artigohttp://www.abepro.org.br/biblioteca/ENEGEP2006_TR510343_7642.pdf.A primeira tabela representa o custo variável e o custo �xo obtidos na

produção de tecidos (em termos da quantidade em quilos de tecido produzido):

Mes Produção (Kg) Custo �xo (Cf ) Custo variável (Cv)Dez 42279; 65 274094:63 1308545; 27Nov 90364:22 274094:63 1754281:58Abr 92624:87 274094:63 1786149:92Jun 93681:58 274094:63 1730288:57Jul 94574:59 274094:63 1646835:15Set 102154:40 274094:63 1675673:97Out 108494:53 274094:63 1833208:39Mar 108888:23 274094:63 1803843:50Maio 115019:20 274094:63 1755052:00

A tabela seguinte é da receita. A coluna que apresenta as vendas refere-se ao faturamento apresentado pela empresa no período. O preço médio é

75

a divisão do valor das vendas pela quantidade vendida e a receita total é amultiplicação do preço médio pela quantidade vendida (esta forma de calculara receita é utilizada pelos autores pois se adapta melhor aos seus objetivos).

Mes Quantidade vendida (Kg) Vendas ($) Preço médio Receita total (R)Dez 53625 1172073:94 22:27 941654:09Nov 101596 2201620:61 21:69 1959966:85Abr 108125 2210931:52 20:45 1893988:35Jun 100391 2075965:45 20:68 1937214:20Jul 93387 1893958:18 20:28 1918038:46Set 99758 2135997:12 21:41 2187304:38Out 99758 2214461:82 22:22 2410815:90Mar 112445 2273038:18 20:21 2201146:31Maio 107685 2231020:00 20:71 2383963:46

a) faça uma tabela para o custo total, custo variável médio e custo totalmédiob) faça uma tabela para as vendas e a receita médiac) faça uma tabela para o lucro e o lucro médio

Tendo-se uma tabela funcional para uma dada função numérica pode-se começar a segunda etapa, qual seja, a de modelar matematicamente afunção a partir de uma tabela de valores da função. Vamos nos referir aquisimplesmente a modelagem matemática de uma tabela funcional.

Observamos que a modelagem matemática de tabelas funcionais é umassunto muito investigado sob diversos pontos de vista, possivelmente todosde interesse a um economista. Vejam os sites:

http://en.wikipedia.org/wiki/Regression_analysis (�análise de regressão)http://en.wikipedia.org/wiki/Data_mining (�mineração de dados�)

Antes de começarmos o estudo propriamente dito sobre modelagemmatemáticade tabelas funcionais, é conveniente observar e esclarecer um aspecto rela-cionado a este assunto que é motivo de frequente confusão.

Dada uma tabela qualquer (isto é, não contextualizada, não associada aalguma função econômica ou de qualquer outra natureza) costuma-se pergun-tar: existe uma lei ou regra �por trás�dos pares formadores da tabela, que

76

seja a regra de formação da tabela? É natural pensar, em um primeiro mo-mento, que se conseguimos uma função que reproduza a tabela então temosesta tal �explicação� para a formação da tabela e que, portanto, uma talfunção é a mais indicada para modelar a tabela.

Contudo, esta forma de pensar não está correta pois qualquer tabelafuncional pode ser reproduzida por uma in�nidade de funções. Vejamos:

Exemplo 63 Considere a tabela relacionando duas grandezas X e Y :

X Y2 43 64 8

Uma regra que �salta aos olhos� para explicar a formação da tabela é a deum número ser levado no seu dobro, ou seja, x 7! 2x: Contudo, note que se

f(x) =�x3 + 9x2 + 24

13(29)

então f(2) = 4; f(3) = 6 e f(4) = 8: Portanto, as duas fórmulas g(x) = 2xe f(x) dada por (29) reproduzem a tabela acima e na ausência, como é ocaso agora, de uma explicação sobre a construção de uma tal tabela (ou seja,sobre o signi�cado das grandezas X e Y ), não existe razão alguma para sepensar que uma explica melhor do que a outra a formação da tabela, ou queuma das fórmulas é mais correta do que a outra.Na verdade, podemos encontrar uma in�nidade de fórmulas analíticas que

reproduzem a tabela acima, nenhuma delas tendo preferência em relação aqualquer outra.Pode-se provar matematicamente que qualquer tabela funcional admite

uma in�nidade de fórmulas (que podem até ser escolhidas do tipo polino-mial) que reproduzem os valores da tabela.

Exercício 64 Em determinadas situações, um determinado contexto, econômico,físico etc, pode ocorrer que exista uma fórmula que seja a que melhor mod-ele uma dada tabela, como é o que acontece no exemplo apresentado nesteexercício

77

Um passageiro (em Porto Alegre, em agosto de 2008) tomou um taxi,rodou 2; 5Km e pagou R$6; 16: A seguir, tomou outro taxi, rodou 5Km epagou R$9:59. Estes dados nos permitem construir a tabela

Km Preço2; 5 6; 165 9; 59

tendo-se o preço como função do quilômetro rodado. Segundo as normas daEPTC, o preço da corrida de taxi é calculado pagando-se um valor que é dire-tamente proporcional ao quilômetro rodado acrescido de um valor �xo (a ban-deirada). Utilizando este fato, conclua que que a função (preço)�(quilômetrorodado)=p� k é dada pela fórmula

p(k) = 1; 37k + 2; 74:

Concluímos tambem que o valor da bandeirada em Porto Alegre (em agostode 2008) é R$2; 74:

O exercício anterior é um exemplo de uma situação onde o contexto de-termina precisamente a função a modelar a tabela. Contudo, este é casoé bastante especial. Em geral, o fato da tabela ser contextualizada não égarantia que se consiga deduzir uma fórmula analítica que represente signi-�cativamente a tabela, como é o que usualmente acontece com as chamadas�tabelas temporais�:

Exemplo 65 A cotação diária do dólar em reais do início do ano de 2008até 11/08/2008 determina uma tabela d � V de duas colunas, aparecendona primeira coluna um número inteiro não negativo d e na segunda coluna ovalor V (d) do dólar d dias após 01/01/2008.Como comentado no Exemplo 63, existe uma in�nidade de fórmulas para

V (d) que reproduzem esta tabela, mas nenhuma delas é con�ável no sentidoque se calcularmos, por exemplo, V (300); tenhamos a garantia que o valordo dólar em 25/10/2008, que é 300-ésimo dia a contar de 01/01/2008, várealmente reproduzir o valor real do dólar nesta data.Ressaltamos que o problema reside na determinação de uma fórmula

analítica para V (d), pois uma regra para determinação do valor do dólarexiste, já que este é calculado de alguma forma.

78

Comentamos acima que qualquer tabela funcional pode ser reproduzidapor uma in�nidade de funções. Embora este seja um fato importante de seter presente na modelagem matemática de uma tabela, ele não signi�ca nec-essariamente que não é possível se encontrar, em muitos casos, funções querepresentam, com grande chance de sucesso, signi�cativamente o relaciona-mento entre as variáveis da tabela. Vejamos isto.

Consideremos novamente o Exemplo 63. Se esta tabela fosse contextu-alizada e pudesse ser ampliada, com novas medições, a uma tabela com umnúmero maior de entradas, e se esta nova tabela continuasse con�rmando aregra x ! 2x; então teríamos um indício que uma tal regra deve sim repre-sentar signi�cativamente a relação entre as variáveis X e Y: Tal seria o caso,por exemplo, se a tabela ampliada fosse:

X Y2:00 4:0002:5 5:0003:00 6:0003:45 6:9004:00 8:0004:35 8:7005:00 10:005:60 11:20

Contudo, embora na tabela acima seja fácil de perceber a regra x! 2x;nem sempre é possível reconhecer com facilidade um relacionamento simples,mesmo do tipo a�m, entre as variáveis de uma tabela. Por exemplo, tal écaso da tabela

X Y1:5 229:3852:3 226:6253:0 224:2103:9 221:105

(30)

que, como veremos posteriormente, é passível de ser modelada por umafunção a�m.

Nosso propósito no que segue será o de apresentar e discutir critériosmatemáticos simples que permitem dizer quando podemos modelar uma

79

tabela por uma função a�m, quadrática, cúbica, logarítmica e exponencial.Mas antes disso temos ainda que observar um fato importante.

Existem duas possibilidades na busca de uma função matemática paramodelar uma dada tabela funcional: através da busca de funções que re-produzam �elmente a tabela ou de funções que aproximem a tabela. Noprimeiro caso dizemos que a função interpola a tabela e, no segundo caso,que a função aproxima a tabela. Até agora nos preocupamos apenas em de-terminar funções que interpolam a tabela. Vejamos agora um exemplo ondeas duas situações ocorrem.

Exemplo 66 Considere a seguinte hipotética escala de demanda:

p q2:0 142:6502:8 106:8423:2 088:9624:1 48:7905

Vemos que ela é interpolada pela função

D1(p) =p2

20� 45p+ 232:45:

De fato

D1(2:0) =(2:0)2

20� 45� 2:0 + 232:45 = 142:650

D1(2:8) =(2:8)2

20� 45� 2:8 + 232:45 = 106:842

D1(3:2) =(3:2)2

20� 45� 3:2 + 232:45 = 088:962

D1(4:1) =(4:1)2

20� 45� 4:1 + 232:45 = 48:7905:

Por outro lado, considere a função a�m

D2(p) = �45:45p+ 234:01:

80

Caculando os valores desta funções nos preços da tabela obtemos

D2(2:0) = �45:45� 2:0 + 234:01 = 143:100D2(2:8) = �45:45� 2:8 + 234:01 = 106:750D2(3:2) = �45:45� 3:2 + 234:01 = 088:570D2(4:1) = �45:45� 4:1 + 234:01 = 047:665

Constatamos então que D2(p) apenas aproxima a tabela, não a interpola. Seadmitirmos como desprezível o erro de 1:5, para cima ou para baixo, podemostambém utilizar D2(p) para representar a tabela, ou seja, podemos modelar atabela através da fórmula D2(p): A função D1(p) fornece um modelo quadradopara a tabela, enquanto de D2(p) um modelo linear. Obviamente o modelolinear, do ponto de vista da complexidade analítica, é preferível. Note que,o uso do modelo quadrado para a demanda, leva a uma fórmula polinomialcúbica para a receita, enquanto que o modelo linear a uma quadrática.

Exercício 67 Veri�que a última a�rmação feita no exemplo anterior, ob-tendo fórmulas analiticas para receita considerando os modelos quadrado elinear para a demanda. Usando algum programa de computador, obtenha oseguinte esboço do grá�co da função receita em ambos os casos (com o preçovariando no intervao [1:8; 4:2]):

1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 2.8 3.0 3.2 3.4 3.6 3.8 4.0 4.2180

200

220

240

260

280

300

x

y

Exercício 68 Veri�que que a tabela

X Y1:2 47:5462:0 49:1703:5 52:2154:3 53:839

81

relacionando duas grandezas X e Y; é interpolada pela função a�m

y = f(x) = 2:03x+ 45:11:

Considerando que o erro de um inteiro para cima ou para baixo é desprezível,veri�que que g(x) = 2x+46 também pode ser utilizada para modelar a tabela.

Observação: existem procedimentos matemáticos simples que permitema obtenção de fórmulas polinomiais interpoladores de tabelas, como as queacima apresentamos (a Interpolação de Lagrange é uma das mais conheci-das delas). Estes procedimentos são estudados, por exemplo, em cursos deCálculo Numérico.

É natural pensarmos que uma função que interpola uma tabela seja maisindicada para modelar a tabela. O exemplo que segue mostra que isto nemsempre é verdade.

Exemplo 69 Consideremos a seguinte escala hipotética de demanda

p (em reais) q50 221054 217560 204067 1999

(31)

que, gra�camente, tem o aspecto:

46 48 50 52 54 56 58 60 62 64 66 68 701800

1900

2000

2100

2200

2300

p

q

82

Buscar uma fórmula analítica que interpole a tabela signi�ca encontraruma fórmula D(p) tal que D(50) = 2210; D(54) = 2175; D(60) = 2040;D(67) = 1999:Um exemplo de tal fórmula é

D(p) =1933

12376p3 � 334029

12376p2 +

9471249

6188p� 40790805

1547(32)

= 0:156 p3 � 26:99 p2 + 1530:583p� 26367:682

Contudo, apesar de interpolar a tabela, a fórmula D(p) não aparenta rep-resentar signi�cativamente a função demanda. De fato, o grá�co de D(p),feito pelo computador, é:

46 48 50 52 54 56 58 60 62 64 661800

1900

2000

2100

2200

p

q

Este grá�co mostra que a função D(p) não é uma função decrescente em todaparte. Note, por exemplo, que

D(64) �= 1982:466 < 1999 = D(67):

Concluímos que esta função não satisfaz a lei da demanda e, portanto, nãodeve ser apropriada para modelar a tabela (31).

O Exemplo 69 deixa claro que o fato de uma função interpolar uma tabelanão signi�ca que ela representa mais signicativamente a relação entre as var-iáveis da tabela. E tem ainda uma outra razão empírica que depõe contra ouso da interpolação na modelagem de fenômenos cientí�cos através de tabelasfuncionais: como as tabelas em geral são construídas através de medições,sujeitas muitas vezes a muitos erros e imprecisões, não faz muito sentidobuscar funções que reproduzam exatamente os valores da tabela. Então o

83

que se procura, na prática, são funções que aproximem a tabela dentro deuma margem de erro considerada admissível. A margem admissível de errodepende do contexto. É também conveniente mencionar que a interpolação,pela exigência de reproduzir �elmente os valores da tabela, pode levar a fór-mulas muito complicadas (ainda que do tipo polinomial, por exemplo, mas degrau muito grande quando o número de entradas da tabela é muito grande),de análise matemática complicada.

Assim, na prática, buscamos modelar uma tabela por funções que apenasaproximam a tabela.

Exercício 70 Quanto tratamos de aproximações vai ocorrer que fórmulasdistintas do ponto de vista matemático podem ser utilizadas para descreverum mesmo fenômeno, não sendo possível decidir, apenas através do erroadmíssivel, qual a melhor delas. Uma razão, entre outras, deste fato, seencontra neste exercício.a) Dê exemplos de duas funções a�ns distintas cujos valores em 1; 2; 3

e 4 coincidem nas três primeiras casas decimais. Construa exemplos comfunções que têm o mesmo coe�ciente angular e outros exemplos com funçõesque têm o mesmo parâmetro linear.b) Dê exemplos de duas funções, uma �m e outra quadrática, cujos valores

em 1; 2; 3 e 4 coincidem nas três primeiras casas decimais. É possivel con-struir exemplos em que o coe�ciente de grau 2 da quadrática é 1? É possivelconstruir exemplos em que os coe�cientes de grau 2 e de grau 1 da quadráticasejam ambos iguais a 1?c) Idem com uma a�m e uma cúbica, uma quadrática e uma cúbicad) É possível construir duas funções, uma a�m e outra quadrática, que

coincidam em dois valores distintos? Em três valores distintos? Em quatrovalores distintos? Responda a mesma pergunta para uma a�m e uma cúbica.

Exercício 71 Através de uma técnica estatística chamada de regressão lin-ear, os autores do artigo que obtiveram a tabela do Exercício 62 obtiveram oseguinte modelo linear para a função custo variável que aproxima a tabela:

Cv(q) = 10:62q + 667736:36 (33)

d) Obtenha uma aproximação linear para a função custo totale) Obtenha fórmulas para as funções custo variável médio e custo total

médio

84

f) Use a fórmula (33) e a fórmula para o custo total obtido no item e),bem como as fórmulas para as respectivas médias destes custos, para construiruma nova tabela destas funções em termos das quantidades produzidas dadasna tabela de custos.Usando novamente a mesma técnica estatística os autores obtiveram a

seguinte fórmula para a função receita:

R(q) = 20:27q + 71781:27:

g) Represente gra�camente as funções receita e custo totalh) Obtenha fórmulas para o lucro, lucro médio e determine o break-even

point.

Exercício 72 Neste mesmo artigo do Exercício 62 os autores, usando nova-mente a mesma técnica estatística (método de regressão não linear), obtêmos seguintes modelos não lineares para as funções receita variável e custovariável:

Cv(q) = 779934:56 ln q � 7238369:62 (34)

R(q) = 1420003:86 ln q � 14235684:53 (35)

i) Usando (34) obtenha uma aproximação não linear para a função custototalj) Usando o modelo não linear obtenha fórmulas para as funções custo

variável médio e custo total médiok) Use a fórmula (33) e a fórmula para o custo total obtido no item j),

bem como as fórmulas para as respectivas médias destes custos, para construiruma nova tabela destas funções em termos das quantidades produzidas dadasna tabela de custos.l) Represente gra�camente as funções receita e custo totalm) Obtenha fórmulas para o lucro, lucro médio e determine o break-even

point no modelo não linear.n) Determine o lucro máximo e qual a quantidade que deve ser vendida

para a obtenção deste lucro.

85

8 Análise matemática de tabelas e alguns critériospara obtenção de fórmulas modeladoras.

Ao fazermos o grá�co de uma tabela de alguma função econômica podemosusar o �olhômetro�para procurar uma fórmula analítica que tenha um grá�coque mais se adapte ao grá�co da tabela: se os pontos estão aproximadamentealinhados então buscamos por uma função do tipo a�m, ou seja, vamos usar omodelo matemático mais simples, o linear. Se a distribuição dos pontos tem aaparência de uma parábola então vamos modelar por uma função quadrática.

Embora esta forma de proceder não deixa de ter sentido, ela é vaga,imprecisa, sendo baseada, como se diz em linguagem popular, muito mais no�chute�do que em um verdadeiro critério cientí�co.

Vamos nesta seção apresentar alguns critérios matemáticos precisos deanalisar os dados de uma dada tabela que podem nos dizer, com mais se-gurança, quando é adequado ou não modelar uma tabela por uma funçãopolinomial, e qual o grau desta função polinomial. Vamos também apresen-tar um critério para saber sobre a adequabilidade da modelagem de tabelaspor funções logarítmicas (e, como exercicio, por funções exponenciais).

Os critérios que apresentaremos são bem simples e são obtidos fazendouma análise puramente sequencial das entradas da tabela. Nosso propósitoé apenas o de dar uma primeira idéia da importante problemática de mode-lagemmatemática de tabelas. Em cursos mais avançados deMatemática/Estatísticao estudante pode aprender outros critérios mais elaborados.

8.1 Caracterização das tabelas modeláveis por funçõespolinomiais

Vamos inicialmente discutir quando é conveniente modelar uma dadatabela por uma função do tipo a�m.

Vamos supor que uma dada tabela seja modelada por uma função a�me ver que isto acarreta uma propriedade que os elementos da tabela devemsatisfazer. Esta propriedade fornece um critério de modelagem da tabela poruma função a�m.

86

Dada uma tabela (x1; y1) ; (x2; y2) ; (x3; y3) ; ::: o que signi�ca modelarmoslinearmente esta tabela? Signi�ca encontrarmos uma função a�m f(x) =ax+b que reproduza aproximadamente, dentro de uma margem previamente�xada de erro, os valores da tabela, ou seja: calculando os valores de f nosvalores x1; x2 etc os valores obtidos devem coincidir (pelo menos aproximada-mente) com y1; y2 etc. Assim, devemos ter y1 ' f(x1) = ax1+b; y2 ' ax2+b;y3 ' ax3 + b etc; ou seja

y1 ' ax1 + by2 ' ax2 + by3 ' ax3 + betc

A questão é: existem a e b que satisfazem todas estas aproximações? E, casoexistam, como calculá-los?

Notemos que

y2 � y1 ' ax2 + b� (ax1 + b) = a (x2 � x1)de modo que

y2 � y1x2 � x1

' a:

Isto diz que se uma tal função f(x) = ax + b existe, então o valor de a; aomenos aproximadamente, tem que ser dado pela fórmula acima. Isto não éproblema pois conhecemos os valores de x1; x2; y1 e y2: Contudo, é importanteatentar ao seguinte: podemos aplicar o mesmo raciocínio anterior para obteruma outra fórmula de aproximação para a; a saber:

y3 � y2x3 � x2

' a:

Logo, para não haver incoerência, devemos ter

y2 � y1x2 � x1

' y3 � y2x3 � x2

:

O mesmo raciocínio pode ser feito com as outras entradas da tabela, o quenos leva a seguinte conclusão:

87

Se uma tabela (x1; y1) ; (x2; y2) ; (x3; y3) ; ::: é modelada por uma funçãoa�m, então os quocientes

y2 � y1x2 � x1

;y3 � y2x3 � x2

;y4 � y3x4 � x3

devem ser aproximadamente iguais. Além disso, devem coincidir aproxi-madamente com o coe�ciente angular da função a�m que modela a tabela.

O que é realmente interessante é que vale a recíproca:

Critério Matemático para o uso da Modelagem Linear

Dada uma tabela (x1; y1) ; (x2; y2) ; (x3; y3) ; ::: calculamos os quocientesy2 � y1x2 � x1

;y3 � y2x3 � x2

;y4 � y3x4 � x3

::: etc.

Se os resultados obtidos são aproximadamente iguais, dentro de uma margempreviamente estipulada de erro, então é matematicamente plausível que semodele a tabela por uma função a�m.

A comprovação deste critério requer uma maior familiaridade do alunocom o método dedutivo e, portanto, não será apresentado aqui.

Exemplo 73 A tabela seguinte foi obtida por medições de um determinadofenômeno:

X Y1:44 42:273:23 37:904:01 36:007:88 26:55

(36a)

Notamos então que

y2 � y1x2 � x1

=37:90� 42:273:23� 1:44 = �2:441

y3 � y2x3 � x2

=36� 37:904:01� 3:23 = �2:436

y4 � y3x4 � x3

=26:55� 367:88� 4:01 = �2:442

Considerando desprezível, para cima ou para baixo, diferenças da ordem de10�2; decorre ser razoável modelar esta tabela por uma função a�m.

88

Uma vez tenhamos decidido que uma dada tabela é modelável por umafunção a�m, o próximo passo óbvio é determinar uma função a�m y = ax+bpara modelar a tabela. Uma maneira rápida, mas que não resulta neces-sariamente na melhor função a�m para modelar a tabela, como veremosposteriormente, consiste em tomar a como

a =y2 � y1x2 � x1

e determinar b isolando-o na igualdade

y1 = ax1 + b

que nos dáb = y1 � ax1:

Exemplo 74 Aplicando o que foi observado acima no caso do Exemplo 73,tomamos a = �2:44: Calculamos agora b resolvendo a equação

42:27 = �2:44� 1:44 + b

o que nos dá b = 45:78: Daí

y(x) = �2:44x+ 45:78 (37)

é uma função a�m que podemos usar para modelar a tabela (36a).

Exercício 75 Veri�que que a tabela (30) é modelada por uma função a�me encontre uma tal função.

Observação 76 a) EXPLICAR MELHORAR. APROFUNDAR Sendo e oerro admissível na modelagem linear não podemos concluir que a diferençaentre os valores obtidos pela função a�m encontrada para modelar e tabela,quando calculada nos valores da entrada da tabela, e os correspondentes val-ores da tabela tenham que ser, em valor absoluto, menores do que e:b) A maneira apresentada acima para a determinação da função a�m

modeladora da tabela tem a vantagem de ser rápida mas corre o risco de nãoser uma boa escolha. Para termos uma garantia de melhor escolha temos quebuscar uma função a�m que minimiza os erros de modelagem: as diferençasentre os valores da tabela e os valores obtidos aplicando a função a�m devemser os menores possíveis. Na Seção 8.3 veremos um método de encontraruma tal função, o Método dos Mínimos Quadrados.

89

Vamos agora determinar um critério de modelagem de uma tabela fun-cional por uma função quadrática. Vamos adotar uma abordagem semelhantea feita na modelagem a�m.

Suponha que uma tabela (x1; y1) ; (x2; y2) ; (x3; y3) ; ::: seja modelada poruma função quadrática q(x) = ax2 + bx + c: Calculando os valores de qnos valores x1; x2; x3 etc devemos então ter y1 ' q(x0) = ax21 + bx1 + c;y2 ' ax22 + bx2 + c; etc: Notemos então que

y2 � y1x2 � x1

' ax22 + bx2 + c� (ax21 + bx1 + c)x2 � x1

=a (x22 � x21) + b (x2 � x1)

x2 � x1=a (x2 � x1) (x2 + x1) + b (x2 � x1)

x2 � x1= a (x2 + x1) + b

Da mesma forma

y3 � y2x3 � x2

' a (x3 + x2) + b:

Chamando

�1 =y2 � y1x2 � x1

�2 =y3 � y2x3 � x2

vemos que

�2 ��1

x3 � x1' a (x3 + x2) + b� (a (x2 + x1) + b)

x3 � x1=a (x3 � x1)x3 � x1

= a:

Analogamente, tomando

�3 =y4 � y3x4 � x3

podemos observar que�3 ��2

x4 � x2' a:

Em particular, vemos que se uma tabela é modelada por uma funçãoquadrática então os valores

�2 ��1

x3 � x1;�3 ��2

x4 � x2;�4 ��3

x5 � x3; etc

90

são aproximadamente iguais e coincidem com o coe�ciente de segundo grauda quadrática.

Como no caso do modelo linear, pode-se provar matematicamente queesta propriedade obtida é su�ciente para garantir que a tabela é modeladapor uma função quadrática, ou seja:

Critério Matemático para o uso da Modelagem Quadrática

Dada uma tabela (x1; y2) ; (x2; y2) ; ::: calculamos os valores

�1 =y2 � y1x2 � x1

; �2 =y3 � y2x3 � x2

; �3 =y4 � y3x4 � x3

; :::

e a seguir os quocientes

�2 ��1

x3 � x1;�3 ��2

x4 � x2;�4 ��3

x5 � x3; etc

Se os valores obtidos são aproximadamente iguais, dentro de uma margem deerro previamente �xada, então é matematicamente adequado que se modele atabela por uma função quadrática q(x). Além disso, sendo q(x) = ax2+bx+c;o valor de �a�pode ser tomado como um dos quocientes acima, por exemplo

a =�2 ��1

x3 � x1:

Os valores de b e de c podem ser determinados resolvendo o sistema LINEARem b e c:

y1 = ax21 + bx1 + c

y2 = ax22 + bx2 + c:

Exemplo 77 Dada a tabela

X Y2:36 24:2103:33 7:4025:8 �64:726:02 �73:18

91

temos

�1 =y1 � y0x1 � x0

=7:402� 24:2103:33� 2:36 = �17:33

�2 =y2 � y1x2 � x1

=�64:72� 7:4025:8� 3:33 = �29:20

�3 =y3 � y2x3 � x2

=�73:18 + 64:726:02� 5:8 = �38:45

de modo que

�2 ��1

x2 � x0=�29:20 + 17:335:8� 2:36 = �3:451

�3 ��2

x3 � x1=�38:45 + 29:206:03� 3:33 = �3:426

Considerando como margem aceitável de aproximação da ordem de 1=5; con-cluímos que a tabela pode ser modelada por uma função quadrática. Alémdisso, pelo desenvolvimento teórico que �zemos antes, podemos tomar q(x)da forma

q(x) = �3:4x2 + bx+ c:Para determinarmos b e c; resolvemos o sistema�

24:210 = �3:4 (2:36)2 + 2:36b+ c7:402 = �3:4 (3:33)2 + 3:33b+ c

e encontramos b = 2:018; c = 38:38: Logo

q(x) = �3:4x2 + 2:018x+ 38:38:Assim como aconteceu como caso a�m, uma vez que sabemos que podemosmodelar a tabela por uma função quadrática q(x); escrevendo q(x) = ax2 +bx+ c podemos determinar a; b e c resolvendo o sistema:8<:

24:210 = a (2:36)2 + 2:36b+ c

7:402 = a (3:33)2 + 3:33b+ c

�64:72 = a (5:8)2 + 5:8b+ cque tem como solução a = �3:451; b = 2:308 e c = 37:98: A função quadráticaassociada é então

q(x) = �3:451x2 + 2:308x+ 37:98:Observações similares as feitas no Exemplo 73 também se aplicam neste ex-emplo.

92

Exercício 78 Comprove matematicamente que apesar da aparência de alin-hamento do grá�co da tabela que segue, sugerindo que se trata do grá�co deuma função a�m, considerando como admíssivel uma diferença não superiora 0:11 para cima ou para baixo nos critérios de modelagem, a tabela é melhorrepresentada por uma função quadrática do que por uma função a�m.

X Y0:00 0:00:25 0:256 250:50 0:5250030:75 0:80624991:00 1:100021:25 1:406250003

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.20.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

x

y

Exercício 79 Ache a margem mínima de erro dentro da qual a tabela

X Y2:36 24:2103:33 7:5025:8 �64:726:02 �71:18

é modelável por uma função quadrática.

Exercício 80 Veri�que, matematicamente, que a escala de demanda (31)NÃO é adequadamente modelável nem por uma função a�m nem por uma

93

função quadrática (considere uma aproximação aceitável quando houver co-incidência no mínimo no primeiro dígito da expansão decimal dos valoresa serem comparados, e não aceitável caso contrário). Determine a menormargem de erro possível para que esta tabela seja modelável linearmente.

Dentre as polinomiais vejamos, por último, um critério de modelamentopor uma cúbica:

Suponha que uma tabela (x1; y1) ; (x2; y2) etc seja modelada por umafunção cúbica C(x) = ax3 + bx2 + cx+ d: Calculando os valores de C nestesvalores obtemos

y1 ' C(x1) = ax31 + bx21 + cx1 + dy2 ' C(x2) = ax32 + bx22 + cx2 + dy3 ' C(x3) = ax33 + bx23 + cx3 + dy4 ' C(x4) = ax34 + bx24 + cx4 + detc

Notemos então que

y2 � y1x2 � x1

' ax32 + bx22 + cx2 + d� (ax31 + bx21 + cx1 + d)

x2 � x1

=a (x32 � x31) + b (x22 � x21) + c (x2 � x1)

x2 � x1=

=a (x22 + x1x2 + x

21) (x2 � x1) + b (x2 � x1) (x2 + x1) + c (x2 � x1)

x2 � x1= a

�x22 + x1x2 + x

21

�+ b (x2 + x1) + c

Da mesma forma

y3 � y2x3 � x2

' a�x23 + x2x3 + x

22

�+ b (x3 + x2) + c:

94

Chamando

�1 =y2 � y1x2 � x1

�2 =y3 � y2x3 � x2

�3 =y4 � y3x4 � x3

etc

vemos que

�2 ��1

x3 � x1' a (x23 + x2x3 + x

22) + b (x3 + x2) + c� (a (x21 + x1x2 + x22) + b (x2 + x1) + c)

x3 � x1=(x3 � x1) (a (x1 + x2 + x3) + b)

x3 � x1= a (x1 + x2 + x3) + b:

Analogamente, podemos ver que

�3 ��2

x4 � x2' a (x2 + x3 + x4) + b:

Assim, sendo

�1 =�2 ��1

x3 � x1�2 =

�3 ��2

x4 � x2�3 =

�4 ��3

x5 � x3encontramos

�2 � �1x4 � x1

' a (x2 + x3 + x4) + b� (a (x1 + x2 + x3) + b)x4 � x1

=a (x4 � x1)x4 � x1

= a

bem como�3 � �2x5 � x3

' a

e assim por diante.

Como nos casos anteriores, é possivel tirar a seguinte conclusão:

95

Critério Matemático para o uso da Modelagem Cúbica

Dada uma tabela (x1; y1) ; (x2; y2) ; ::: calculando

�1 =y2 � y1x2 � x1

; �2 =y3 � y2x3 � x2

; �3 =y4 � y3x4 � x3

; :::

e a seguir

�1 =�2 ��1

x3 � x1; �2 =

�3 ��1

x4 � x2; �3 =

�4 ��3

x5 � x3:::

se os quocientes�2 � �1x4 � x1

;�3 � �2x5 � x2

;�4 � �3x6 � x3

; :::

são aproximadamente iguais, ou seja, dentro de uma margem aceitável deaproximação previamente �xada, então é matematicamente plausível que semodele a tabela por uma função cúbica C(x). Além disso, sendo C(x) =ax3 + bx2 + cx+ d; o valor de �a�pode ser tomado como um dos quocientesacima, por exemplo

a =�2 � �1x4 � x1

:

Os valores de b, c e d podem ser determinados resolvendo-se o sistema

y1 = ax31 + bx

21 + cx1 + d

y2 = ax32 + bx

22 + cx2 + d

y3 = ax34 + bx

24 + cx4 + d

Exemplo 81 Considerando como erro de aproximação máxima da ordem de0:9; para cima ou para baixo, veri�quemos que a tabela

X Y1 3:81:7 13:952:4 35:123:9 139:54:4 198:4

96

é modelável por uma função cúbica. Temos

�1 =y1 � y0x1 � x0

=13:95� 3:81:7� 1 = 14:5

�2 =y2 � y1x2 � x1

=35:12� 13:952:4� 1:7 = 30:24

�3 =y3 � y2x3 � x2

=139:5� 35:123:9� 2:4 = 69:59

�4 =y4 � y3x4 � x3

=198:4� 139:54:4� 3:9 = 117:8

�1 =�2 ��1

x2 � x0=30:24� 14:52:4� 1 = 11:24

�2 =�3 ��2

x3 � x1=69:59� 30:243:9� 1:7 = 17:89

�3 =�4 ��3

x4 � x2=117:8� 69:594:4� 2:4 = 24:11

e

�2 � �1x3 � x0

=17:89� 11:243:9� 1 = 2:293

�3 � �2x4 � x1

=24:11� 17:894:4� 1:7 = 2:304:

Como 2:304 � 2:293 = 0:011; concluímos que a tabela é adequada de sermodelada por uma função cúbica C(x). Além disso, sendo C(x) = ax3 +bx2 + cx+ d temos a = 2:3: Calculamos b; c e d resolvendo o sistema:8<:

3:8 = 2:3 (1)3 + b (1)2 + c (1) + d

13:95 = 2:3 (1:7)3 + b (1:7)2 + c (1:7) + d

35:12 = 2:3 (2:4)3 + b (2:4)2 + c (2:4) + d

para encontrar b = �0:4851; c = 2:953 e d = �0:967 7: Assim

C(x) = 2:3x3 � 0:4851x2 + 2:953x� 0:9677:

Exercício 82 Explique por que apesar do grá�co da tabela ter o formatoaproximado de uma parábola, é mais conveniente, para uma certa margem

97

admissível de erro, modelar a tabela abaixo por uma função cúbica.

X Y0:0 2:00:1 1: 998020:2 1:984010:3 1:9460:4 1: 871990:5 1:750080:6 1: 5679990:7 1:3140020:8 0:9760:9 0:5421:0 0:0

0.1 1.00.0

0.5

1.0

1.5

2.0

x

y

Encontre uma função cúbica que dê uma aproximação com 3 casas decimaisda tabela.

Observação. Existe um critério geral que permite decidir quando umadada tabela funcional é modelada por uma função polinomial de grau n; sejaqual for o valor de n: Contudo, como a formulação deste critério geral é maiscomplexa, não o veremos aqui. Dentre as polinomiais nos restringiremos,neste texto, a utilização de critérios de modelagem de tabelas por fórmulasanalíticas a�ns, quadráticas e cúbicas.

8.2 Caracterização das tabelas modeláveis por funçõeslogarítmicas

Vamos nesta seção apresentar um critérios para a escolha da funçãologarítmica na modelagem de tabelas funcionais.

Adotamos a mesma abordagem feita anteriormente: supomos que umatabela (x1; y1) ; (x2; y2) ; ::: seja modelada por uma função logarítmica daforma f(x) = a ln bx; e vamos obter uma propriedade da tabela característicada modelagem logarítmica.

98

Dada uma tabela (x1; y1); (x2; y2); ::: calculando a função logaritmica nosx0is obtemos

y1 ' a ln bx1 = a ln b+ a lnx1y2 ' a ln bx2 = a ln b+ a lnx2

de modo quey2 � y1 ' a (lnx2 � lnx1)

ou tambema ' y2 � y1

lnx2 � lnx1:

Da mesma forma vemos que

a ' y3 � y2lnx3 � lnx2

a ' y4 � y3lnx4 � lnx3

etc

Veri�ca-se que esta também é uma propriedade características das tabelasmodeláveis por uma função logarítmica. Com isso, podemos enunciar:

Critério Matemático para o uso da Modelagem Logarítmica

Suponha que em uma tabela (xi; yi) em que os xi são todos positivos, osvalores

y2 � y1lnx2 � lnx1

;y3 � y2

lnx3 � lnx2; :::etc

sejam aproximadamente iguais a uma constante a; estando a diferença entreestes valores, para cima e para baixo, dentro de um erro previamente �xado:Então é conveniente modelarmos a tabela X � Y por uma função logaritmodo tipo y = a ln bx: Para calcularmos b resolvemos

y1 = a ln bx1

para obter

b =ey1a

x1:

99

Exemplo 83 Admitindo uma diferença de aproximação da ordem de 0:5;veri�que que a tabela

X Y2:45 22:523:30 23:506:40 25:6912:99 28:02

é modelável por uma função logarítmica.Temos que


=23:50� 22:52ln 3:30� ln 2:45 = 3:29


=25:69� 23:50ln 6:40� ln 3:3 = 3:306


=28:02� 25:69ln 12:99� ln 6:40 = 3:292

o que deixa claro ser conveniente modelarmos a tabela por uma função loga-rítmo do tipo y = 3:3 ln bx: Para determinarmos b

22:52 = 3:3 ln 2:45b

de modo que

ln 2:45b =22:52

3:3= 6:824

donde2:45b = e6:824 = 919:70

ou seja

b =919:70

2:45= 375:40

Logo, y(x) = 3:3 ln 375:40x modela a tabela dada.

Exercício 84 Critério de modelagem de uma tabela pela função ex-ponencialAdota-se a mesma abordagem feita anteriormente: supomos que uma

tabela (x1; y1) ; (x2; y2) ; ::: seja modelada por uma função exponencial daforma f(x) = cetx; c > 0 e obtem-se uma propriedade da tabela característica

100

da modelagem exponencial. Com esta �nalidade, calculando os valores de fem x1; x2 etc veri�que que

ln y2 � ln y1x2 � x1

;ln y3 � ln y2x3 � x2

;ln y4 � ln y3x4 � x3

; etc

são aproximadamente iguais e coincidem aproximadamente com o coe�cienteexponencial t: Sabendo que esta propriedade é característica da modelagemexponencial tire a seguinte conclusão:Dada uma tabela (x1; y1); (x2; y2); ::: em que os valores yi são todos posi-

tivos, se os quocientes

ln y2 � ln y1x2 � x1

;ln y3 � ln y2x3 � x2

; ::: etc

são aproximadamente iguais a uma constante t, então é matematicamenteplausível que se modele a tabela por uma função exponencial do tipo y = cetx:Veri�que que valor de c é dado por c = y1

etx1:

Como aplicação, admitindo um erro para cima ou para baixo, em valorabsoluto, de no máximo 10�4; comprove que a tabela266664

X Y0:60 1:1741:7 11:832:9 1473 181:3

377775pode ser modelada matemáticamente pela função exponencial

y = 0:333e2:10x:

Exercício 85 Decida qual modelagem, entre a linear e a logarítmica, é maisconveniente para modelar matematicamente a seguinte tabela:

X Y1:2 47:5462:0 48:3003:5 49:1004:3 49:700

101

ObservaçãoOs critérios de modelagem de tabelas que vimos nesta seção podem ser

re�nados de diversas formas. Uma maneira é a de considerar satisfatórioo critério quando ele for atendido por uma número signi�cativo de paresde tabelas. Por exemplo, suponha que em uma tabela com 30 entradas ocritério de modelagem linear é satisfeito (dentro da margem de aproximaçãoadmissível), por 25 delas. Isto pode ser um forte indício de que as variáveisda tabela estão de fato relacionadas por uma função a�m, e que a 5 entradasque não se encaixam no critério são consequencias de erros de medição oude outro efeitos excepcionais. Existem outros critérios vistos em cursos deEstatística, Cálculo Numérico que o estudante pode eventualmente vir aestudar em disciplinas mais avançados.

8.3 Achando umamelhor função modeladora: oMétododos Mínimos Quadrados.

Na seção anterior vimos quando é conveniente modelarmos uma dadatabela por uma função do tipo a�m, quadrática, cúbica e logaritmica emtermos de quocientes determinados com os dados da tabela. Uma vez ten-hamos concluido que é conveniente o uso, digamos, da modelagem linearpara modelar uma dada tabela, temos que determinar uma função a�m paramodelar a tabela. Vimos anteriormente uma maneira de determinar uma talfunção. Contudo, a maneira que apresentamos pode não resultar na melhorfunção possível. Um método muito utilizado para determinar uma função deaproximação para uma dada tabela, dentro de uma certa classe previamente�xada de funções, que dá um resultado melhor do que vimos anteriormente, éo chamado Método dos Mínimos Quadrados. Este método será estudado emdetalhes no curso de Cálculo II, pois usando os conceitos aprendidos nestadisciplina este método é mais facilmente aplicável. Contudo, ele pode serapresentado e desenvolvido utilizando-se apenas a matemática estudada noEnsino Médio e, como ele é interessante para a melhor compreensão da mod-elagem matemática de tabelas, vamos a seguir apresentá-lo e aplicá-lo noscasos mais simples das modelagens linear e quadrática. Faremos isto atravésde exemplos.

Considere novamente a tabela de demanda:

102

p (em reais) q50 221054 217560 204067 1999

(38)

MELHORAR: Se aceitarmos como admissível um erro de até 23 unidadesvemos que o critério de modelagem linear é adequado. De fato, temos:

2175� 221054� 50 = �8:75

2040� 217560� 54 = �22:50

1999� 204067� 60 = �5:80

Usando a maneira exposta anteriormente obtemos a seguinte modelagemD1(p) = ::::

Vamos no que segue apresentar uma maneira de modelar linearmente atabela que produza o menor erro. Suponhamos então que queiramos modelara tabela (38) por uma função a�m, digamos D(p) = ap+ b: O problema aquié escolher os valores de a e de b que produzam o menor erro.

Sabemos que devemos ter D(50) = 50a + b �= 2210: Como não pre-tendemos que ocorra a igualdade, isto é, 50a + b = 2210; estaremos, emprincípio, forçosamente cometendo um erro, qual seja e1 = 50a + b � 2210:Da mesma forma, temos os erros referentes a D(54); D(60) e D(67); a saber:

e2 = 54a+ b� 2175e3 = 60a+ b� 2040e4 = 67a+ b� 1999:

O que queremos é determinar valores para a e b de tal forma que esteserros sejam os menores possíveis. Para expressarmos isto de uma formacondensada consideramos o erro total quadrático E:

E = e21 + e22 + e

23 + e

24:

103

Tomamos os quadrados pois, como não sabemos os sinais de cada ei; sesimplesmente os somássemos poderíamos estar cancelando um erro com ooutro, o que não seria desejável.

O que se quer então é escolher a e b para que E seja o menor possível.Temos

E = e21 + e22 + e

23 + e

24

= (50a+ b� 2210)2 + (54a+ b� 2175)2

+ (60a+ b� 2040)2 + (67a+ b� 1999)2

= 13505a2 + 462ab� 968 566a+ 4b2 � 16 848b+ 17772326:

Considerando �b��xo, escrevemos a última expressão como uma funçãoquadrática em �a�para obter:

E = 13505a2 + (462b� 968 566) a+ 4b2 � 16 848b+ 17772326: (39)

O menor valor desta quadrática ocorre no seu vértice que tem abcissa, nocaso um certo valor a1 para a; dado por

a1 =�462b+ 968 5662� 13505 : (40)

Substituindo este valor a1 de a na expressão (39) encontramos

E =659

13 505b2 � 3793 494

13 505b+

5485 238 541

13 505' 0:04 8b2 � 280:89b+ 406163:53:

Chegamos agora a uma função quadrática em b de modo que o menorvalor de E ocorre em

b1 =280:89

2� 0:04 8 ' 2925:93:

Levando este valor em (40) encontramos

a1 =�462� 2925:93 + 968 566

2� 13505 ' �14:18:

104

Com este valores, obtemos

D(p) = �14:18p+ 2925:93 (41)

Comparando os valores de D(p) e D1(p): ARRUMAR

p D(p) eD(p) F (p) eF (p)50 2216:93 6:93 �8: 287 554 2160:21 �14: 79 �22: 687 560 2075: 13 35:13 38: 212 567 1975:87 �8: 95 5: 112 5

(42)

Se representamos juntos o grá�co de D(p) e os valores da tabela obtemos

46 48 50 52 54 56 58 60 62 64 66 68 701800

1900

2000

2100

2200

2300

p

q

Exercício 86 Use a função (??) para extrapolar a tabela (ou seja, determi-nar o valor da demanda para valores do preço que não estão tabelados) paraos seguinte preços: R$53; 00 e R$80; 00:

Acima encontramos a melhor função do tipo a�m (melhor no sentido deque minimiza o erro quadrado entre todas as a�ns possíveis) que aproxima atabela (31). Contudo, poderíamos ter utilizado funções polinomiais quadráti-cas, cúbicas ou mesmo outra classe de funções para aproximar esta tabela.

Por exemplo, se quisermos uma aproximação por uma função quadrática,trabalhamos com

D(p) = ap2 + bp+ c

105

e calculamos a; b e c para que o erro quadrado seja o menor possível. Temos

e1 = 2500a+ 50b+ c� 2210e2 = 2916a+ 54b+ c� 2175e3 = 3600a+ 60b+ c� 2040e4 = 4489a+ 67b+ c� 1999

de modo que

E = e21 + e22 + e

23 + e

24

= (2500a+ 50b+ c� 2210)2 + (2916a+ 54b+ c� 2175)2++ (3600a+ 60b+ c� 2040)2 + (4489a+ 67b+ c� 1999)2

Podemos determinar a; b e c para que E seja o menor possível de maneiratotalmente análoga a utilizada para a modelagem linear: primeiro �xandodois dos parâmetros, digamos b e c; �cando com uma função quadrática ema. Encontramos então o valor de a que dá o menor valor para E e substi-tuímos na expressão acima �cando com uma expressão envolvendo apenasos parâmetros b e c: A seguir �xamos c e �camos com uma quadrática em be assim por diante. Ao �nal fazendo o truncamento com três casas após avírgula, encontramos

a ' �0:839b ' 85:571c ' �0:705

o que nos dá:D(p) = �0:839p2 + 85:571p� 0:705

Se representamos juntos o grá�co de D(p) e os valores da tabela obtemos

46 48 50 52 54 56 58 60 62 64 66 68 701800

1900

2000

2100

2200

2300

p

q

106

Finalmente representando juntos os grá�cos a�m e quadrado de D(p) eos valores da tabela:

46 48 50 52 54 56 58 60 62 64 66 68 701800

1900

2000

2100

2200

2300

p

q

Em cursos de Estatística são ensinadas outras formas de obter (atravésde técnicas tais como a regressão linear) fórmulas analíticas para modelaruma dada tabela.

Exercício 87 Use o método dos mínimos quadrados para modelar linear-mente as seguintes tabelas:

2664X Y3:2 23:154:5 27:005:0 32:22

3775 ;266664X Y4:5 18:116:7 12:149:0 12:1811:0 9:33

377775Exercício 88 Analise o que acontece com a aplicação do método dos míni-mos quadrados para modelar linearmente tabelas com duas entradas.

Exercício 89 Aplique o método do mínimos quadrados para modelar linear-mente as tabelas dadas nos Exemplos 73, 77, 81, 83.

107

9 Exercícios completos I

COMPLETAR

Exercício 90 a) Considerando desprezível a diferença de 0:3 para cima oupara baixo, veri�que matematicamente que é plausível modelar linearmentea seguinte escala de demanda e obtenha uma função a�m que a modele. Aseguir, usando a modelagem linear, determine o preço ótimo para a receita.266664

p q3:50 447:844:85 444:706:75 440:108:00 437:4

377775Exercício 91 (a) Através de medições empíricas foram obtidas as seguintesescalas de demanda e custo:2664

p q = D(p)40 13150 9965 54

3775266664

q C(q)65 143488 1965100 2250124 2862

377775Considerando desprezível a diferença de 0:3 para cima ou para baixo para afunção demanda 0:04 para cima ou para baixo para a função custo, comprovematematicamente que é plausível modelar linearmente a escala de demandae quadraticamente a escala de custo, determinando um modelo linear para afunção demanda e um quadrático para a função custo.(b) Usando as fórmulas para a demanda e para o custo que Voce encontrou

em a) determine o preço ótimo para o lucro.Obs: utilizar quatro casas decimais depois da vírgula (por truncamento)

108

10 Aspectos importantes de serem estudadossobre uma função numérica.

Na próxima seção vamos iniciar o estudo, via Cálculo Diferencial, dealgumas funções matemáticas dadas por fórmulas analíticas (que chamaremossimplesmente de funções numéricas) que são importantes em Economia e quenão podem ser descritas por métodos elementares (como as que estudamosna Seção 3).

Este estudo será orientado de acordo com a importância que certos prob-lemas têm para o entendimento de uma dada função econômica e de comoisto se traduz na função numérica que a modela.

Vamos apresentar, nesta seção, a formulação matemática destes proble-mas. Já vimos um pouco destes problemas na Seção 3 quando, por exemplo,calculamos a receita e o lucro máximo nos Exemplos 15 e 21. Agora faremosuma apresentação detalhada, sistemática e de uma forma matematicamentemais precisa destes.

Monotonicidade e pontos de mudança de uma função numérica

Dada uma função numérica y = f(x); é de grande importância, prática eteórica, conhecer as propriedades de monotonicidade de f; bem como os pon-tos e valores extremais de f; que também chamaremos de pontos de mudançada função. Veremos este conceitos no que segue.

No nosso texto a palavra ponto vai ser utilizada com duplo signi�cado:pode ser tanto um par ordenado representando um ponto do plano, quantoum valor da variável independente da função (que em geral denotamos porx): O sentido em que a palavra ponto será utilizado �cará claro no contexto.

a) Dizemos que um ponto P0 = (x0; f(x0)) é um ponto com viés de cresci-mento do grá�co de f se o grá�co de f �passa crescendo por P0�; ou seja,se para todos x1 e x2 próximos de x0 vale que f(x1) < f(x2) sempre quex1 < x2 (em uma linguagem matemáticamente precisa: existe um intervaloaberto I contendo x0 tal que se x1; x2 estão no domínio de f e pertencem aI; então f(x1) < f(x2) quando x1 < x2):

b) Dizemos que um ponto P0 = (x0; f(x0)) é um ponto com viés de de-crescimento do grá�co de f se o grá�co de f �passa decrescendo por P0�; ou

109

seja, se para todos x1 e x2 próximos de x0; vale que f(x2) < f(x1) sempreque x1 < x2 (precisamente: existe um intervalo aberto I contendo x0 tal quese x1; x2 estão no domínio de f e pertencem a I; então f(x1) > f(x2) quandox1 < x2):

Muitas vezes omitiremos o termo �viés�e vamos nos dizer simplesmenteum ponto de crescimento (decrescimento) da função.

Noções semelhantes (mas não equivalentes) de crescimento e decresci-mento, muito utilizadas, são também as seguintes:

c) Dizemos que f é crescente em um intervalo I se, dados quaisquerx1; x2 2 I com x1 < x2 tem-se f(x1) < f(x2): Por outro lado, dizemos que fé decrescente em um intervalo I se, dados quaisquer x1; x2 2 I com x1 < x2tem-se f(x1) > f(x2):

Dizemos que f é monótona em um intervalo I se f for crescente oudecrescente em I:

As noções a) e b) de crescimento são de natureza geométrica, pois sereferem mais propriamente ao grá�co da função, o que não é o caso da noçãoc). Contudo, é óbvio que todas estão muito relacionadas e temos que tercuidado em distingui-las ao aplicá-las.

Exemplo 92 Considere a função quadrática f(x) = x2; cujo grá�co é

5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5

5

10

15

20

25

x

y

110

Então é claro que o grá�co de f passa crescendo por qualquer ponto daforma (x; f(x)) com x > 0 e passa decrescendo por qualquer ponto da forma(x; f(x)) com x < 0: Note que f não passa nem crescendo nem decrescendopelo ponto (0; 0):Além disso, vemos que f é decrescente em D = (�1; 0] e crescente em

C = [0;1):Exemplo 93 A função a�m y = 3x+ 4

5 4 3 2 1 1 2 3 4 5

10

10

20

x

y

é crescente em todo R (ou seja C = R); enquanto que a função a�m y =�(1=2)x+ 1

5 4 3 2 1 1 2 3 4 5

1

1

2

3

x

y

é decrescente em todo seu domínio (D = R): É óbvio que no primeiro caso ográ�co de f passa crescendo por qualquer um dos seus pontos e no segundocaso o grá�co de f passa decrescendo por qualquer um dos seus ponto.

Em geral uma função tem diferentes tipos de monotonicidade em difer-entes partes do seu domínio. Um ponto onde uma função troca de monotoni-cidade, ou seja, um ponto do grá�co onde a função não passa nem crescendo

111

nem decrescendo, é um ponto que chamamos de ponto de mudança, que podeser de máximo ou de mínimo local, como de�nido com detalhes a seguir.

Consideremos uma função numérica y = f(x):

Dizemos que x0 é um ponto de máximo local de f se o valor de f em x0;f(x0); é maior ou igual a qualquer valor de f em pontos x próximos a x0 (emuma linguagem matemáticamente precisa: x0 é um ponto de máximo localde f se existe um intervalo aberto I contendo x0 tal que f(x) � f(x0) paratodo x 2 I):

Dizemos que x0 é um ponto de mínimo local de f se o valor de f emx0; f(x0); é menor ou igual a qualquer valor de f em pontos x próximos ax0 (dito de forma precisa: x0é um ponto de mínimo local de f se existe umintervalo aberto I contendo x0 tal que f(x) � f(x0) para todo x 2 I):

Pontos de máximo e de mínimo locais são chamados de pontos extremaisou pontos de mudança da função. Os valores da função nos pontos de máximoe de mínimo locais são ditos valores de máximo local e valores de minímolocal da função. Qualquer um destes valores é dito um valor extremal dafunção.

Este conceitos são entendidos mais facilmente geometricamente, ou seja,através de grá�cos.

1 2 3

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

x

y

O grá�co acima indica que a função que lhe origina tem um ponto demáximo local em x1 = 1 e um ponto de mínimo local em x2 = 2: O grá�co

112

também sugere que a função é monótona crescente no intervalo [0; 1]; monó-tona decrescente no intervalo [1; 2] e monótona crescente no intervalo [2; 3]:Fica claro pelo grá�co como a função troca de monotonicidade nos pontosde máximo e mínimo local, como havíamos a�rmado.

Um ponto x0 é um ponto de máximo absoluto ou ponto de máximo globalde f se f(x) � f(x0) para todo x onde f está de�nida:

Um ponto x0 2 A é um ponto de mínimo absoluto ou ponto de mínimoglobal de f : A! R se f(x) � f(x0) para todo x 2 A:

A função y = x2 tem um ponto de mínimo absoluto em x = 0 e a funçãoy = �x2 tem um ponto de máximo absoluto em x = 0: O grá�co acima indicaque a função que lhe origina tem um mínimo absoluto em 0 e um máximoabsoluto em 3:

Exercício 94 Determine a natureza dos pontos P1,...,P6 marcados no grá-�co da função abaixo (se com viés de crescimento, com viés de decrescimento,ponto de mudança, ponto de máximo local, de mínimo local, de máximo ab-soluto, de mínimo absoluto):

Exercício 95 Faça um possível esboço do grá�co de uma função y = f(x),com x 2 [�2; 4] ; sabendo que (�1; 2); é um ponto de máximo local, (1; 3) umponto de mínimo local e que a função assume seu menor valor em x = 4:

113

QUADRO RESUMO

Resumindo o exposto anteriormente, os três os problemas a seguir men-cionados, em ordem crescente de di�culdade são, pelo menos para os propósi-tos deste curso, os mais importantes de serem resolvidos com relação a umadada função numérica y = f(x):

a) determinar se um dado ponto P0 = (x0; f(x0)) do grá�co de f é umponto com viés de crescimento, descrescimento ou nenhum deles,

b) determinar, parcial ou completamente, os intervalos de crescimento ede decrescimento de f;

c) determinar, se existirem, os pontos de mudança de f:

114

11 Derivada ou Taxa de Variação Pontual deuma função numérica.

Para a grande maioria das funções numéricas, os problemas mencionadosna seção anterior só têm chance de serem plenamente resolvidos utilizando-sea teoria do Cálculo Diferencial. A noção fundamental do Cálculo Diferencialé a de derivada, cujo estudo iniciamos nesta seção.

É conveniente mencionar que a derivada é uma das noções mais profundase importantes da Matemática e que sua maior relevância não é simplesmentea de ser uma ferramenta útil para resolver os problemas acima mencionados,mas a de ser uma noção Matemática que permite estabelecer, de forma clarae precisa, diversos princípios ou leis naturais.

Um exemplo em Economia do uso conceitual da derivada ocorre comas noções de função marginal e elasticidade. Embora tenhamos introduzidoestes conceitos (função marginal e elasticidade) sem nenhumamenção à noçãode derivada, eles para serem de�nidos de modo a re�etirem efetivamente ofenômeno econômico sob estudo, requerem a noção de derivada. Explicare-mos isto em detalhes na Seção 18.

Uma outra situação muito conhecida e bastante importante, que bemilustra este uso conceitual da derivada, é a formulação da segunda lei deNewton F = ma (a é a derivada da velocidade). Não é possível se enunciarcom precisão a segunda Lei de Newton se não se �zer uso do conceito dederivada.

Consideremos uma função numérica y = f(x): Suponha que queiramossaber se um dado ponto P0 = (x0; f(x0)) é um ponto com viés de crescimentode f:

Do conceito matemático de ponto de viés de crescimento, este problemaconsiste em veri�car se para x1; x2 próximos de x0; com x1 < x2; tem-sef(x1) < f(x2):

Um problema mais simples consiste em determinar o crescimento dafunção comparativamente apenas a x0; o que pode ser formulado da seguinteforma: investigar se f(x0) < f(x0 + h) para valores pequenos, mas positivosde h; e se f(x0 + h) < f(x0) para valores pequenos, mas negativos de h: O

115

que acontece é que, mesmo nesta segunda situação, dependendo da represen-tação analítica de f (da fórmula de f) isto pode ser bem difícil de se fazerdiretamente a partir da fórmula.

11.1 Quociente Variacional Médio ou Taxa de VariaçãoMédia

O quociente variacional médio ou taxa de variação média (com frequên-cia omitiremos o termo �médio(a)�no que segue) é uma ferramenta muitoengenhosa que, combinada com a noção de limite, permite determinar ocrescimento/decrescimento de uma dada função f(x) em um ponto dado x0de maneira muito efetiva. O quociente variacional médio de uma função fem um ponto x0 relativo a um incremento h é de�nido por

f(x0 + h)� f(x0)h

: (43)

Este quociente também é chamado de taxa de variação média de f em x0com incremento h:

O que é importante no quociente variacional médio é o seu sinal, se pos-itivo ou negativo, para valores pequenos de h: Para entender o porque disto,suponha que o sinal do quociente variacional médio de f em x0 é positivo:

f(x0 + h)� f(x0)h

> 0 (44)

para todo h ' 0: Assim, �xado um h ' 0; decorre de (44) que ou f(x0 +h)� f(x0) > 0 e h > 0 ou f(x0 + h)� f(x0) < 0 e h < 0: No primeiro casotemos x0 + h > x0 e f(x0 + h) > f(x0) e no segundo caso x0 + h < x0 ef(x0 + h) < f(x0): Estas desigualdades indicam que se (43) é positivo paratodo h ' 0 então x0 deve ser um ponto com viés de crescimento de f: Comuma análise semelhante concluímos que x0 deve ser um ponto com viés dedecrescimento de f se o quociente acima for negativo para valores quaisquer,mas pequenos, de h:

Podemos interpretar gra�camente estas observações acima observandoque o quociente (43) é a declividade (tan� no grá�co abaixo) da reta pas-sando pelos pontos (x0; f(x0)); (x0 + h; f(x0 + h)), dita uma reta secante aográ�co de f :

116

É importante ter claro que devemos determinar o sinal do quociente varia-cional apenas para valores pequenos de h: Por exemplo, suponha f(x) = x2:Tomando x0 = �1 e h = 2:5

f(x0 + h)� f(x0)h

=f(�1 + 2:5)� f(�1)

2:5=(1:5)2 � 12:5

= 0:5 > 0

poderíamos querer concluir que �1 é um ponto com viés de crescimento def: Contudo

f(�1 + h)� f(�1)h

= h� 2 < 0

para h ' 0; o que prova que �1 é um ponto com viés de decrescimento dex2: Um desenho torna mais claro o que está acontecendo:

3 2 1 0 1 2 3

2

4

6

8

x

y

117

11.2 A de�nição de derivada ou taxa de variação pon-tual

A discussão anterior mostra ser importante a análise do sinal da taxa devariação média

f(x0 + h)� f(x0)h

para valores de h próximos de zero. Contudo, como não sabemos quão pe-quenos devemos tomar os valores de h é, em geral, bastante complicado ouso simples e direto do quociente variacional para a determinação do viés dafunção em um dado ponto. Como avaliação do taxa de variação para VAL-ORES PEQUENOS de h é uma condição fundamental e como não podemosavaliar diretamente esta expressão em h = 0 pois ela envolve em um divisãopor zero, toma-se o limite

limh!0

f(x0 + h)� f(x0)h

;

dito taxa de variação pontual de f em x0: Este limite é o valor numérico(número real) a que tende a expressão

f(x0 + h)� f(x0)h

; (45)

quando h tende a valores inde�nidamente próximos de 0: A taxa de variaçãopontual de f em x0 é também chamada de derivada de f em x0 e é denotadopor f 0(x0):

f 0(x0) = limh!0

f(x0 + h)� f(x0)h

: (46)

Embora o a denominação �taxa de variação pontual� expresse melhoro signi�cado do limite (46), daqui para frente usaremos a denominação�derivada� para este limite, pois é o que é mais usado nos livros de Cál-culo Diferencial.A derivada f 0(x0); ou seja, o limite em (46) é um número real5. Assim,

embora NÃO temos necessariamente que ter

5A rigor este fato nem sempre é verdadeiro. Existem funções e valores x0 para os quaisnão existe o limite (47), ou seja, não existe nenhum valor numérico para o qual tende aexpressão (45) quando h se aproxima inde�nidamente de zero. Contudo, para as funçõesque estudaremos aqui o limite (47) sempre será um número real.

118

f 0(x0) =f(x0 + h)� f(x0)

h(47)

para nenhum valor de h; tem-se

f 0(x0) 'f(x0 + h)� f(x0)

h(48)

se h ' 0: Frente a isso decorre que se f 0(x0) > 0 então podemos concluir comcerteza absoluta que para valores pequenos de h; ainda que não saibamosprecisamente quais, tem-se (f(x0 + h)� f(x0)) =h > 0; o que nos permiteconcluir que x0 tem viés de crescimento. Conclusão análoga vale para quandof 0(x0) < 0: Resumindo:Teorema: Para as funções y = f(x) que consideraremos6 aqui, vale:

a) se f 0(x0) > 0 então (x0; f(x0)) é um ponto com viés de cresci-mento do grá�co de f

b) se f 0(x0) < 0 então (x0; f(x0)) é um ponto com viés de decresci-mento do grá�co de f

c) se (x0; f(x0)) é um ponto de mudança então f 0(x0) = 0:

Exercício 96 Para que o estudante se convença da necessidade de utilizara taxa variacional pontual e não simplesmente a taxa de variação médiapara decidir sobre a natureza do viés de uma dada função em um ponto,recomendamos a resolução do seguinte problema: encontre funções que temtaxa de variação média positiva no ponto x0 = �1 para valores incrementaish = �1; h = �0:5; h = �0:1; h = �0:01; respectivamente, mas que, contudo,o ponto x0 = �1 tem viés de decrescimento para estas funções.Generalize este fato acima da seguinte forma: dado qualquer h > 0 (que

pode, em particular, ser MUITO pequeno) encontre uma função que tem taxade variação média no ponto x0 positiva com incrementos �h mas que x0 éum ponto com viés de decrescimento para esta função.

Nesta e nas próximas seções vamos nos concentrar em aprender o cálculode derivadas, deixando de lado temporariamente as aplicações deste novoconceito.Veremos a seguir duas maneiras de calcular e/ou estimar f 0(x0), uma

empírica e outra teórica.6Este resultado vale, em geral, mediante as seguintes hipóteses: f é derivável no ponto

e a função derivada de f é contínua neste ponto.Se a função é apenas derivável no ponto as conclusões do teorema podem não ser válidas.

119

11.3 Método empírico para a estimativa da derivadaem um ponto.

É um método de natureza mais artesanal que consiste na construçãode tabelas numéricas indicativas do limite. Com a crescente capacidade derealização de cálculos dos computadores e das máquinas de cálcular estatécnica tornou-se mais efetiva na prática.Ela se baseia na construção de tabelas tendo na coluna da esquerda val-

ores de h que decrescem, em valor absoluto, à medida que descemos as linhasda tabela. Na coluna da direita calculamos os respectivos valores dos quo-ciente variacionais médios: Este procedimento, embora possa não nos daro valor exato do limite, nos permite estimá-lo, bem como determinar comcerta garantia pelo menos algumas de suas casas decimais para valores su�-cientemente pequenos de h. Em particular, pode-se em princípio determinaro sinal de f 0(x0) e então aplicar o teorema anterior7. Apresentamos estatécnica através de exemplos

Exemplo 97 Vamos considerar a função f(x) =px e suponhamos x0 = 1:

Queremos estimar

f 0(1) = limh!0

f(1 + h)� f(1)h

:

Temosf(1 + h)� f(1)

h=

p1 + h� 1h

:

7Pode acontecer, em situações mais delicadas, que o sinal correto só seja detectadopara valores muito pequenos de h: Este tipo de problema, a saber, o quão pequeno temosque tomar h para ter certeza de estarmos detectando corretamente o sinal da derivada,é estudado em matemática mais avançada (o chamado de �problema de estabilidade dolimite�). Os casos abordados neste texto são mais usuais e, para estes, tal problema nãovai ocorrer, ou seja, os limites que vamos considerar podem ser estimados com várias casasdecimais de precisão em qualque máquina de calcular cientí�ca.

120

Fazemos então uma tabela indicativa do limite limh!0��p

1 + h� 1�=h�:2666666666666666666664

hp1+h�1h

1 0:414 213 5623730950488�1 10:5 0:4494897427831780982�0:5 0:58578643762690495120:10 0:488088481701 5154699�0:1 0:5131670194948620040:01 0:4987562112089027022�0:01 0:50125628933800452660:001 0:499875062460 9648233�0:001 0:5001250625308986430:0001 0:4999875006249609402�0:0001 0:5000125006250390652

3777777777777777777775Observando a evolução dos valores da coluna da direita da tabela �ca bastanteevidente que os valores de p

1 + h� 1h

estão se aproximando de 0:5 à medida que h está se aproximando de 0; o quenos leva a prever que f 0(1) = 0:5; o que, por sua vez, nos leva a concluir quea função

px tem viés de crescimento em x0 = 1:

Como podemos observar no exemplo acima, mas este é um fato geral,nenhum dos valores de (45); em principio, vai coincidir EXATAMENTE comf 0(x0):Mas tomando, sucessivamente, valores de h cada vez menores, e even-tualmente outros ainda menores, os valores de (45) e de f 0(x0) vão começara coincidir (ou ao menos �car bem próximos). Cada sequencia de valores deh se aproximando de 0 vai produzir uma sequencia de valores de (45) cadavez mais semelhantes ao real valor de f 0(x0):

Muitas vezes, embora saiba-se que o valor de f 0(x0) está bem de�nido,não se conhece completamente sua expansão decimal. Contudo, através daexpressão (45), para escolhas su�cientemente pequenas de h; é possível de-terminar vários dígitos da expansão decimal de f 0(x0) (é isso o que acontececom o número neperiano e; como vimos anteriormente).

121

Exemplo 98 Estimemos f 0(2) onde f(x) = �x3 + 2x � 1: Usando tabelasindicativas do limite: 26666666666664

h �(2+h)3+2(2+h)+4h

1 �17�1 50:1 �10:61�0:1 �9:410:01 �10:0601�0:01 �9:94010:001 �10:006001�0:001 �9:994001

37777777777775Da tabela vemos que f 0(2) = �10:

Exemplo 99 f(x) = x2 � ln(1 + x). Quem ganha a partir de x = 0, x2 ouln(1 + x): Ou seja, qual o viés de crescimento de f em x = 0?A taxa de variação de f em x = 0 é

f(h)� f(0)h

=h2 � ln(1 + h)� 0

h=h2 � ln(1 + h)

h

Façamos então uma tabela indicativa do limite

limh!0

h2 � ln(1 + h)h

:

266666666666666664

h h2�ln(1+h)h

0:5 �0:310 930 216 216 328 764 0�0:5 �1: 886 294 361 119 890 6190:1 �0:853 101 798 043 248 600 4�0:1 �1: 153 605 156 578 263 0120:01 �0:985 033 085 316 808 284 8�0:01 �1: 015 033 585 350 144 1180:001 �0:998 500 333 083 533 166 8�0:001 �1: 001 500 333 583 533 50:0001 �0:999 850 003 333 083 353 3�0:0001 �1: 000 150 003 333 583 353

377777777777777775A tabela deixa claro empiricamente que f 0(0) = �1; de modo que 0 é umponto com viés de decrescimento de f:

122

Exercício 100 As tabelas indicativas do limite tem que ser utilizadas comprecaução. Tente intuir um valor para o limite

limn!1

�1 +

1

2+ :::+

1

n

�fazendo uma tabela indicativa do limite para valores crescentes de n:

Exercício 101 Fazendo tabelas indicativas do limite estime f 0(x0) bem comoa natureza do ponto x0 quando:1) f(x) = �2x2 + 6:5x� 1; x0 = 2, x0 = 12) f(x) = 3:4x3 � x2 + 2; x0 = 0; x0 = �2; x0 = 43) f(x) = �2x+3

x�5 ; x0 = 0; x0 = 1:5

4) f(x) = �2x+ 3px; x0 = 1; x0 = 4

11.4 Cálculo teórico de derivadas

Veremos, a seguir, que apesar da aparente di�culdade na avaliação daexpressão (46), é possível calculá-la explícita e facilmente em uma ampladiversidade de casos, aplicando as chamadas regras e fórmulas de derivação,sem fazer o uso de tabelas indicativas do limite. Contudo, é importantemencionar que a noção de aproximação contida no uso das tabelas indicativasdo limite é FUNDAMENTAL para conteúdos que veremos adiante e, por isto,tem que ser bem estudado.Para muitas funções, é possível desenvolver o quociente variacional e, ao

�nal, simpli�car o h de denominador com um h no numerador. Nestes casos,pelo menos nos que abordaremos neste texto, o limite é obtido simplesmentetomando o valor h = 0 na expressão simpli�cada. A razão disto é que osvalores de ambas as expressões coincidem para todos os valores de h diferentesde 0. Como o valor da expressão simpli�cada para valores próximo de 0tende para o valor desta expressão em h = 0; podemos concluir que estevalor é exatamente o valor para o qual tendem os quocientes variacionais daexpressão não simpli�cada quando fazemos h tender a zero.

Os casos mais simples para o cálculo da derivada ocorrem entre as funçõesmatemáticas racionais. Lembramos que uma função matemática racional édada como o quociente de duas funções polinomiais.

123

Começemos determinando a derivada das funções racionais dadas pelasfórmulas analíticas mais simples e gradativamente avançamos até chegar nasfunções dadas por fórmulas mais complicadas.

Vamos aplicar a de�nição (46) considerando ao invés de x0 um pontogenérico x:

f 0(x) = limh!0

f(x+ h)� f(x)h

: (49)

Conforme observamos anteriormente, o problema na determinação de umlimite como o (49) é que não podemos avaliar a expressão

f(x+ h)� f(x)h

atribuindo a h o valor 0; uma vez que ela é, como se costuma dizer emMatemática, uma indeterminada em h = 0 (o quociente de duas expressõesque se anulam ambas em h = 0). Contudo, como também acima comentamos,se por algum artifício, conseguimos, desenvolvendo o numerador, simpli�caro h; eliminando-o do denominador, o valor do limite se calcula simplesmenteatribuindo a h o valor 0 e substituindo na expressão simpli�cada.

Vejamos um exemplo simples. Considerando f(x) = x2 temos

f�(x) = limh!0

f(x+ h)� f(x)h

= limh!0

(x+ h)2 � x2h

= limh!0

x2 + 2xh+ h2 � x2h

= limh!0

h (2x+ h)

h= lim

h!0(2x+ h) = 2x� 0 = 2x:

Exercício 102 Desenvolvendo o quociente variacional e simpli�cando o hdo denominador, determine f 0(x) quando:1) f(x) = �2x2 + 6:5x� 12) f(x) = 3:4x3 � x2 + 2;3) f(x) = �2x+3

x�5 ;4) Comprove, usando as expressões obtidas acima, os valores de f 0(x0)

obtidos empiricamente no Exercício 101.

124

Façamos agora um estudo explorando sistematicamente o que acima vi-mos observando.

Sendo y = f(x) uma função constante, digamos f(x) = c para todo x;temos

f�(x) = limh!0

f(x+ h)� f(x)h

= limh!0

c� ch

= limh!0

0 = 0;

que podemos resumir dizendo que a derivada de uma constante é zero.

Se derivarmos as funções f(x) = x; x2 e x3 vamos obter:

(x)0 = limh!0

x+ h� xh

= limh!0

1 = 1;

(x2)0 = limh!0

(x+ h)2 � x2h

= limh!0

(2x+ h) = 2x

(x3)0 = limh!0

(x+ h)3 � x3h

= limh!0

�3x2 + 3hx+ h2

�= 3x2

o que nos sugere a regra (xn)0 = nxn�1 que pode, de fato, ser comprovadaatravés do binômio de Newton. Este desenvolvimento acima permite dizerque esta regra de derivação vale apenas para os números naturais. Mas, naverdade, ela vale para qualquer número real. Vejamos o caso mais simplesde n = 1=2; ou seja, vamos determinar a derivada de

px: Temos:

�px�0= lim

h!0

px+ h�

px

h:

Neste caso não ocorre uma simpli�cação tão simples de h como nos casosanteriores. Para obter uma tal simpli�cação fazemos uso de um �truque�conveniente: multiplicamos o numerador e o denominador por

px+ h+

px

e aplicamos um produto notável para simpli�car o numerador:

�px�0= lim

h!0

px+ h�

px

h= lim

h!0

�px+ h�

px

h

px+ h+

pxp

x+ h+px

�= lim

h!0

�px+ h�

px� �p

x+ h+px�

h�px+ h+

px� = lim

h!0

x+ h� xh�px+ h+

px�

= limh!0

h

h�px+ h+

px� = lim

h!0

1px+ h+

px:

125

Na última expressão não ocorre mais a divisão por zero quando h = 0, demodo que �p

x�0= lim

h!0

1px+ h+

px=

1px+ 0 +

px

=1p

x+px=

1

2px:

Podemos tambem escrever �x12

�0=1

2x�

12

o que mostra que a regra (xn)0 = nxn�1 vale não apenas para n natural mastambem para n = 1=2: Pode-se provar que esta regra vale para qualquernúmero real r no lugar de n; ou seja

(xr)0 = rxr�1: (50)

Observe agora que se f e g são deriváveis então

(f(x) + g(x))0 = limh!0

�f(x+ h) + g(x+ h)� f(x)� g(x)

h

�= lim

h!0

�f(x+ h)� f(x)

h+g(x+ h)� g(x)

h

�= lim

h!0

f(x+ h)� f(x)h

+ limh!0

g(x+ h)� g(x)h

= f 0(x) + g0(x)

Em palavras: a derivada da soma é a soma das derivadas.

Sendo c é uma constante então

(cf(x))0 = limh!0

cf(x+ h)� cf(x)h

= limh!0

�cf(x+ h)� f(x)

h

�= c lim

h!0

�f(x+ h)� f(x)

h

�= cf 0(x)

Em palavras: a derivada de uma função multiplicada por uma constanteé a constante vezes a derivada da função.

126

Acima usamos duas propriedades dos limites (limite de uma soma e lim-ite de um produto por constante) que são provadas em cursos de AnáliseMatemática.

Com estas propriedades, mais a regra da potência, podemos derivar qual-quer função polinomial de forma mecânica, sem precisar usar limites. Porexemplo:�

�5x7 + 2x2 �p2x+ 5

�0=��5x7

�0+�2x2�0+��p2x�0+ (5)0

= �5�x7�0+ 2

�x2�0 �p2 (x)0 + 0

= �35x6 + 4x�p2:

Para derivarmos uma função racional qualquer sem precisar limites bastatermos uma regra para a derivada do quociente de duas funções deriváveis.Ela existe e se enuncia:�

f(x)

g(x)

�0=f 0(x)g(x)� f(x)g0(x)

(g(x))2:

Por exemplo ��x5 + 4x3 � 2x+ 1

x4 + x2 + 1

�0

=(�x5 + 4x3 � 2x+ 1)0 (x4 + x2 + 1)� (�x5 + 4x3 � 2x+ 1) (x4 + x2 + 1)0

(x4 + x2 + 1)2

=(�5x4 + 12x2 � 2) (x4 + x2 + 1)� (�x5 + 4x3 � 2x+ 1) (4x3 + 2x)

(x4 + x2 + 1)2:

Vale tambem um regra para a derivada do produto:

(f(x)g(x))0 = f 0(x)g(x) + f(x)g0(x):

Por exemplo��2x2 + 5

�px�0=�2x2 + 5

�0px+

�2x2 + 5

� �px�0

= 4xpx+

(2x2 + 5)

2px

=5 (2x2 + 1)

2px

127

11.5 Derivadas das funções exponencial, logaritmo etrigonométricas. Limites fundamentais.

Veremos agora que a obtenção das importantes fórmulas de derivaçãopara as funções exponencial e logarítmica, bem como para as funções trigonométri-cas, que não são funções racionais, reduz-se à determinação de quatro limitesditos, por esta razão, limites fundamentais. A comprovação rigorosa dos val-ores destes limites não é tratada em cursos de Cálculo Diferencial mas emcursos do Bacharelado em Matemática chamados de Análise Matemática.Alunos que têm planos de estudar Economia Matemática certamente temque fazer cursos de Análise Matemática, não só por estas razões mas poroutras ainda mais fundamentais.

Usando a expressão (49) para o cálculo da derivada da função exponencialex em um ponto genérico x encontramos:

(ex)0 = limh!0

ex+h � exh

= limh!0

�exeh � 1h

�= ex lim

h!0

�eh � 1h

�: (51)

Vemos então que o resultado da derivação de ex está dependendo desabermos calcular o valor da constante

limh!0

�eh � 1h

�: (52)

Note que o x não aparece mais no limite de modo que este limite, se existeé, de fato, uma constante numérica, digamos c. Existindo este valor, teremos(ex)0 = cex:

Neste momento, para podermos ir adiante ou seja, para tentar descobrirc; temos que �entrar no mérito�do conceito de limite (52). No presente casoeste limite é

o valor da expressão�eh � 1

�=h quando h

se aproxima inde�nidamente de 0:

128

Para termos uma idéia deste valor, fazemos o uso de tabelas indicativas delimites. Tomando como valor para e �= 2:7182; podemos construir a seguintetabela que mostra a evolução da expressão

�eh � 1

�=h quando h se aproxima

de 0: 266666666666666664

h eh�1h

1 1: 718 281 828 459 045 235�1 0:632 120 558 828 557 678 40:1 1: 051 709 180 756 476 248�0:1 0:951 625 819 640 404 268 40:01 1: 005 016 708 416 805 754�0:01 0:995 016 625 083 194 642 60:001 1: 000 500 166 708 341 668�0:001 0:995 016 625 083 194 642 60:0001 1: 000 050 001 666 708 334�0:0001 0:999 500 166 625 008 331 9

377777777777777775Observando a evolução (de cima para baixo) dos valores da coluna da

direita da tabela vemos claramente que eles estão se aproximando de 1: Istonos leva a escrever:

limh!0

eh � 1h

= 1: (53)

Contudo é bom observar que a tabela acima não é uma comprovaçãomatemáticamente rigorosa de (53), mas um indício de que ela está correta.De fato os matemáticos provam de forma rigorosa (sem usar tabelas), us-ando argumenos indiretos mas conclusivos, que de fato (53) é válido. Este éconsiderado muitas vezes como o primeiro limite fundamental.

Usando (51) e (53) chegamos a

(ex)0 = ex (54)

Exercício 103 Determine (2x)0 e (3x)0 usando tabelas indicativas do limite.Compare as constantes obtidas com ln 2 e ln 3: Baseado nestas observaçõesque regra voce chutaria para (ax)0?

129

Vejamos agora como determinar uma fórmula para a derivada da funçãologaritmo:

(lnx)0 = limh!0

ln(x+ h)� lnxh

= limh!0

ln x+hx

h

= limh!0

ln�1 + h

x

�h

:

Introduzindo a variável u = h=x obtemos h = xu de modo que

ln�1 + h

x

�h

=ln (1 + u)

xu:

Como u! 0 quando h! 0 veri�ca-se que

(lnx)0 = limu!0

ln (1 + u)

xu=1

xlimu!0

ln (1 + u)

u:

Portanto, temos que avaliar o limite

limu!0

ln (1 + u)

u:

Fazemos uma tabela indicativa deste limite:2666666664

u ln(1+u)u

0:1 0:953 101 798 043 248 6004�0:1 1: 053 605 156 578 263 0120:01 0:995 033 085 316 808 284 8�0:01 1: 005 033 585 350 144 1180:001 0:999 500 333 083 533 166 8�0:001 1: 000 500 333 583 533 5

3777777775Fica empiricamente claro que

limu!0

ln (1 + u)

u= 1: (55)

Este limite de fato ocorre e, então, obtemos:

(lnx)0 =1

xlimu!0

ln (1 + u)

u=1

x:1 =

1

x

130

ou seja:

(lnx)0 =1

x:

Vamos agora obter fórmulas para as derivadas das funções trigonométri-cas. Estas funções não são utilizadas em problemas mais simples de Econo-mia, como os que estudamos neste curso, mas aparecem em problemas maisavançados envolvendo fenômenos econômicos com periodicidade. Veja

http://www.cepead.face.ufmg.br/�les/nucleos/nipe_log/Artigo6.pdf

Lembrando a fórmula

sen(a+ b) = cos a sen b+ cos b sen a

obtemos

(sen x)0 = limh!0

sen(x+ h)� sen xh

= limh!0

cosx senh+ cosh sen x� sen xh

= limh!0

�cosx

senh

h+cosh� 1

hsen x

�= lim

h!0

�cosx

senh

h

�+ limh!0

�cosh� 1

hsen x

�= cos x lim

h!0

�senh

h

�+ sen x lim

h!0

�cosh� 1

h

�:

Vemos então que a determinação da derivada da função seno está depen-dendo da determinação dos limites

limh!0

senh

h; limh!0

cosh� 1h

:

Novamente fazemos uso de tabelas indicativas de limite2666666664

h senh senhh

1:0 0:841 470 0:841 4700:5 0:479425 0:958850:4 0:389418 0:9735450:1 0:099833 0:998330:01 0:009 0:9999830:001 0:0009 0:9999998

3777777775131

que mostra que deve valer

limh!0

senh

h= 1: (56)

De fato é possivel comprovar usando argumentos indiretos a validade de (56),como também se pode comprovar que

limh!0

cosh� 1h

= 0 (57)

de modo que(sen x)0 = (cosx) 1 + (sen x) 0 = cos x:

Os limites (53), (55), (56) e (57) são ditos limites fundamentais.

Exercício 104 Através de tabelas indicativas de limite, teste a validade de(57)

Usando raciocínio semelhante obtemos (cosx)0 = � sen x: Das regras dederivação do quociente e do produto podemos obter fórmulas para a derivadade qualquer função trigonométrica.

Exercício 105 Obtenha as funções derivada das funções dadas:

a) f(x) = 2x3 + 3x� 5; b) f(x) = 34x5 � x4 � 1p

2x+ 4

3p3 ;

c) f(x) = �2:3455x7 � 0:2333x, d) f(x) = 2:1x�0:43:4x2+2:33

e) f(x) = �4:44x3 +p2x+ 2

px� 0:45 3

px f) f(x) = x2ex + lnx;

g) f(x) = 3x lnx h) f(x) = 5 cos x+ 6 sen x; i) g(x) = 3:34 lnx cosx4:566 lnx+3:4x2

j) f(x) = 2:11x lnxx2+1

; k) D(p) = ep+pp

ln p+5

l) R(q) = 4 cos(q) + 5:23eq; m) L(p) = 6:77p2 (ln p) ep

Exercício 106 Determine o pedido:a) R0(20); onde R(q) = �20q3 + 3000:45q2 + 20:24q � 198b) C 0(10:23); onde C(q) = 23:4 ln q

132

11.6 Regra da Cadeia

Uma regra importante de derivação, de fato a mais importante delas,que amplia em muito o universo das fórmulas de derivação, é a regra dacadeia, que passaremos a estudar nesta seção. Ela se expressa como8:

(f(g(x))0 = f 0(g(x))g0(x):

Por exemplo, suponha que queiramos calcular a derivada em um ponto xgenérico da função

px4 + x2 + 5: Para isso vamos utilizar a regra da cadeia

tomando para g e f as funções

g(x) = x4 + x2 + 5

f(x) =px:

Note então que a composição f(g(x)) reproduz exatamente a função quequeremos derivar. Assim�p

x4 + x2 + 5�0= f 0(g(x))g0(x):

Temos

g0(x) = 4x3 + 2x2

f 0(x) =1

2px

de modo que

f 0(g(x))g0(x) = f 0�x4 + x2 + 5

� �4x3 + 2x2

�=

4x3 + 2x2

2px4 + x2 + 5

=2x3 + x2px4 + x2 + 5

;

ou seja �px4 + x2 + 5

�0=

2x3 + x2px4 + x2 + 5

:

8De forma matematicamente precisa, esta regra se enuncia: se f e g são funções de-riváveis e a função composta f � g está bem de�nida então ela é derivável e (f � g)0 (x) =f 0(g(x))g0(x);

133

Leituras complementares:a) Usando (54) e a regra da cadeia, podemos agora obter uma fórmula

para derivação de qualquer função exponencial ax; a > 0:

(ax)0 =�ex ln a

�0= ex ln a (x ln a)0 = ax ln a:

(foi usada a regra da cadeia (f(g(x)))0 = f 0(g(x))g0(x) com as funções f(x) =ex e g(x) = x (ln a)).

b) Usando a regra (54) e a regra da cadeia podemos obter a fórmula paraa derivada da função logarítmo y = ln x a partir da fórmula da derivada dafunção exponencial: De fato: pela regra da cadeia temos, considerando umafunção g(x) qualquer: �

eg(x)�0= eg(x)g0(x):

Tomando g(x) = lnx; vemos então que, por um lado,�elnx

�0= elnx (lnx)0 : (58)

Por outro lado, temos elnx = x e, por esta razão�elnx

�0= (x)0 = 1:

Levando estas igualdades em (58), obtemos

1 = x (lnx)0

o que nos dá a regra

(lnx)0 =1

x:

Exercício 107 Acima obtivemos a fórmula da derivada da função logaritmoa partir da fórmula da derivada da função exponencial. Neste exercíciospropomos o contrário: obter a fórmula da derivada da função exponencial apartir da fórmula da derivada da função logaritmo.

c) Podemos obter também uma fórmula para a derivada da função loga-ritmo em qualquer base. Considerando que

loga x = y ,lnx

ln a= loga x;

134

obtemos

(loga x)0 =

�lnx

ln a

�0=

1

ln a(lnx)0 =

1

x ln a:

Mais exemplos do uso da Regra da Cadeiaa) Sendo

h(x) = cos�x2 � x+ 1

�então, tomando f(x) = cosx e g(x) = x2 � x+ 1 vemos que h(x) = f(g(x)):Logo �

cos�x2 � x+ 1

��0= f 0(g(x))g0(x):

Como f 0(x) = � sen x tem-se f 0(g(x)) = � sen (x2 � x+ 1) e, como g0(x) =2x� 1:

h0(x) =�cos�x2 � x+ 1

��0= � (2x� 1) sen

�x2 � x+ 1

�:

b) �ln�x2 +

px��=

1

x2 +px

�x2 +

px�0

=1

x2 +px

�2x+

1

2px

�Derivadas de ordem superior

Sendo y = f(x) derivável, se derivamos f em um ponto genérico x obte-mos a função derivada f 0(x): Sendo esta função derivável, �ca de�nida aderivada segunda f 00(x); obtida derivando a função derivada f 0: Da mesmaforma, podemos considerar as derivadas terceira, quarta etc de uma função.

Por exemplo , se f(x) = x3 � 2x cosx entãof 0(x) = 3x2 + 2x sin x� 2 cos xf 00(x) = 6x+ 4 sin x+ 2x cosx

f 000(x) = 6 + 6 cosx� 2x sin xf 0000(x) = �8 sin x� 2x cosx

etc

É conveniente agora que condensemos em um tabela as regras e principaisfórmulas de derivação que obtivemos acima:

135

RESUMO DAS REGRAS E PRINCIPAIS FÓRMULAS DEDERIVAÇÃO

1) Regra da soma:

(f(x) + g(x))0 = f 0(x) + g0(x)

2) Regra do produto

(f(x)g(x))0 = f 0(x)g(x) + f(x)g0(x)

3) Regra do quociente�f(x)

g(x)

�0=f 0(x)g(x)� f(x)g0(x)

(g(x))2

4) Regra da cadeia

(f(g(x))0 = f 0(g(x))g0(x)

ou

(f � g)0 (x) = f 0(g(x))g0(x)

5) Fórmula da derivada de uma potência:

(xr)0 = rxr�1

6) Fórmulas das derivadas do seno e do cosseno:

(cosx)0 = � sen x(sen x)0 = cos x

7) Fórmula da derivada da função exponencial:

(ex)0 = ex

(ax)0 = (ln a) ax

8) Fórmula da derivada da função logaritmo:

(lnx)0 =1

x

(loga x)0 =

1

x ln a

136

Exercício 108 Obtenha as funções derivada das funções dadas:

a) f(x) = 2p3x2 + 2;

b) f(x) = 3e5x+4; c) f(x) = 2:4 ln(2:3 + 5:6666)

d) f(x) = ln (x2 + 3x+ 1) ;

p) f(x) = 4 cos(2x) + ex2; q) f(x) = cos lnx

Exercício 109 Calcule as primeiras, segundas e terceiras funções derivadasdas funções dadas

a) f(x) = 3:44x2 � 4x2 � 5; b) f(x) = 3p7x3 � 2x;

c) f(x) = 3e4x; d) f(x) = x+1x�1

e) f(x) = cosx f) f(x) =px+ 1

Exercício 110 Usando as técnicas de derivação prove que a derivada dafunção tangente tan x é tan2 x+ 1:

Exercício 111 Calcule o pedido:a) f 0(2) onde f(x) = x2 � 3:44x� 123:45b) f 0(3:44) onde f(x) = 3

px+ 4

c) f 00(�1) onde f(x) = x3 � 3:44x2 � x10

d) f (20)(0); onde f(x) = 3ex

Exercício 112 Suponha que f(x) = 3:45 (x+ 1) ln (2:5x+ 1) + 3:33:a) Da de�nição de derivada tem-se

f 0(0) = limh!0

f(h)� f(0)h

;

do que decorre que o valor f 0(0) é aproximadamente igual (f(h)� f(0)) =hpara valores de h próximos de 0: Construa então uma tabela de no mínimo 8entradas, com valores de (f(h)� f(0)) =h com no mínimo 6 casas decimais;para valores positivos e negativos de h ' 0 para estimar f 0(0):b) Determine f 0(0) usando as regras e fórmulas de derivação

Exercício 113 Sendo f(x) = x3�2x; estime/determine f 0(1) das três seguintesmaneiras:a) usando tabela indicativa do limite para a derivadab) usando as regras e fórmulas de derivaçãoc) desenvolvendo a expressão (f(1 + h)� f(1)) =h; simpli�cando o h do

denominador e calculando o limite acima

137

12 Aspectos adicionais relativos ao conceitode derivada

Interpretação geométrica da derivada

Dada uma função y = f(x) e um ponto P0 = (x0; f(x0)) do grá�co def; a reta tangente ao grá�co de f no ponto P0 é de�nida, em Geometria,como a reta limite das retas secantes ao grá�co de f passando por um pontoP = (x; f(x)) e por P0 quando P se aproxima arbitrariamente de P0. Veja�gura

5 4 3 2 1 1 2 3 4 5

20

10

10

20

x

y

É claro que a declividade da reta tangente deve ser o limite da declividadedas retas secantes passando por P0 = (x0; f(x0)) e P = (x; f(x)) quando x seaproxima de x0: Como a reta a secante passando pelos pontos P0 = (x0; f(x0))e P = (x; f(x)) tem declividade

f(x)� f(x0)x� x0

concluimos que a reta tangente ao grá�co de f no ponto P0 = (x0; f(x0))terá declividade a dada por

a = limx!x0

f(x)� f(x0)x� x0

138

que é precisamente a derivada da f em x0; ou seja, a = f 0(x0):

Da Geometria Analítica Plana sabemos que a equação de uma reta comdeclividade a e passando por um dado ponto P0 = (x0; y0) é

y = a (x� x0) + y0:

Com isso concluímos que a reta tangente ao grá�co de uma função y =f(x) em um ponto P0 = (x0; f(x0)) é

y = a (x� x0) + f(x0)

onde a = f 0(x0):

Exemplo

Calculemos a equação da reta tangente ao grá�co da função f(x) =x ln(x) + 2 no ponto (1; f(1)) = (1; 2). Para isso calculamos f 0(x) paraobter

f 0(x) = lnx+ 1

e então tomamosa = f 0(1) = ln 1 + 1 = 1

de modo quey = 1: (x� 1) + 2 = x+ 1:

0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.01.5

2.0

2.5

3.0

x

y

139

Exercício 114 Determina a equação da reta tangente ao grá�co da funçãoexponencial y = 2ex+1 no ponto x = �1 faça um esboço do grá�co da funçãoe da reta tangente ao grá�co da função no ponto (�1; y(�1))

Exercício 115 Idem considerando y = 3 cos x; x = �=4

Exercício 116 Suponha que uma dada função (que supomos derivável, vejacomentários adiante) y = f(x) satisfaça f(a) = f(b) para certos valoresa; b 2 R; a < b: Argumentando geométricamente, explique porque deve haverum valor x0 2 (a; b) tal que f 0(x0) = 0:

Exercício 117 a) Observando os grá�cos de uma função f(x) e de uma retar como mostrado na �gura

1 1 2 3 4 5 6

10

10

20

30

x

y

e supondo que os pontos de interseção do grá�co de f com r são (a; f(a));(b; f(b)); argumente que deve haver um x0 2 (a; b) tal que

f 0(x0) =f(b)� f(a)b� a : (59)

b) Deduza a equação da reta g(x) = cx+d que passa pelos pontos (a; f(a)) ;(b; f(b)) (c e d estarão dados em termos de a; f(a); b e f(b):c) Trabalhando com a função h(x) = f(x)�g(x) use o Exercício 116 para

comprovar analiticamente a validade de (59).

140

Exercício 118 Use o exercício anterior para comprovar que toda funçãoque tem derivada primeira zero é uma constante, que toda função que temderivada segunda zero é uma a�m e que toda a função que tem derivadasegunda constante e não nula é uma função quadrática.

Existem funções que não são deriváveis

Embora não seja um dos aspectos mais importantes de ser estudado nestecurso, é importante que o estudante saiba que muitas funções não são de-riváveis. Uma função pode não ser derivável por existir um ponto do seudomínio onde a função não tem derivada. Por exemplo, a função f(x) = 3

px

não é derivável pois tem um valor de x, a saber, x = 0; para o qual a derivadade f não existe. De fato:

f 0(0) = limh!0

3p0 + h� 3

p0

h= lim

h!0

3ph

h= lim

h!0

13ph2=1:

No caso desta função é interessante observar que ela tem derivada parax 6= 0 e que esta vale

f 0(x) =1

23px2:

Note que esta expressão não está de�nida para x = 0: Considerando estaobservação, podemos dizer que a função raíz cúbica é uma função derivávelem R� f0g:

Outro exemplo de função não derivável é a função módulo f(x) = jxj ;que não tem derivada em x = 0: uma maneira fácil de ver que esta funçãonão tem derivada em 0 é através da Geometria.

Demonstra-se emMatemática que uma função tem derivada em um pontose e somente se ela tem reta tangente neste ponto. Agora, é facil de vergeometricamente que as retas secantes ao grá�co da função módulo passandopela origem e por pontos com abscissa positiva coincidem todas com a retade equação y = x; de modo que estas secantes tem por limite, quando x! 0;a reta y = x: Por outro lado, as secantes passando pela origem e por pontoscom abscissa negativa coincidem todas com a reta de equação y = �x; tendoportanto como limite a reta y = �x: Isto mostra que não existe reta tangenteao grá�co da função módulo em (0; 0); de modo que ela não é derivável emx = 0:

141

Exercício 119 Usando a de�nição analítica da função módulo comprove queela não tem derivada em x = 0:

Usando a função módulo podemos construir exemplos de funções commuitos pontos sem derivada. Por exemplo, a função

f(x) = jx� 1j+ jx� 2j+ jx� 3j+ jx� 4j

não é derivável em x = 1; 2; 3 e 4:

Existem funções que não são deriváveis em nenhum ponto. Um exemploé a função dada pela lei seguinte, a qual faz uso de duas regras distintas parade�nição da função

f(x) =

�1 se x 2 Q0 se x 2 R�Q:

Tente fazer um esboço do grá�co desta função.

142

13 O uso da derivada no estudo de uma funçãonumérica

Vamos utilizar muitas vezes o seguinte importante resultado matemático:

Teorema: Para as funções y = f(x) que consideraremos9 aqui, vale:a) se f 0(x0) > 0 então (x0; f(x0)) é um ponto com viés de cresci-

mento do grá�co de fb) se f 0(x0) < 0 então (x0; f(x0)) é um ponto com viés de decresci-

mento do grá�co de fc) se (x0; f(x0)) é um ponto de mudança então f 0(x0) = 0c1) se f 0(x0) = 0 e f 00(x0) > 0 então (x0; f(x0)) é um ponto de

mínimo localc2) se f 0(x0) = 0 e f 00(x0) < 0 então (x0; f(x0)) é um ponto de

máximo locald) se f 00(x0) = 0 então não podemos decidir, pela segunda derivada,

a natureza do ponto x0 (x0 pode nem ser um ponto de mudança).

Exercício 120 Comprove geometricamente que em um ponto de mudança aderivada tem que ser necessariamente zero.

Exercício 121 Veeri�que que a função y = x3 tem derivada zero em x = 0mas o ponto (0; 0) não é um ponto de mudança desta função. Faça um esboçodo grá�co desta função em uma vizinhança da origem.

Exercício 122 Determine (exata ou aproximadamente), se existirem, ospontos de mudança da função dada, determinando sua natureza (se de máx-imo ou mínimo local) e faça um esboço do seu grá�co

a) f(x) = 2x3 � 27x2 + 120x� 100b) f(x) = �3:34x2 + 0:02x� 10:44c) f(x) = x3 � 6x2 + 12x� 8d) f(x) = 2:34x ln 0:111x, x 2 [1;1)9Nos cursos de Bacharelado em Matemática prova-se que este resultado vale, em geral,

mediante as seguintes hipóteses: f é derivável no ponto e a função derivada de f é contínuaneste ponto. Se a função é apenas derivável no ponto as conclusões do teorema podemnão ser válidas.

143

e) f(x) = 10:23xe�2:11x + 12:11

f) f(x) = �1:5x3 � 2:52x2 + 1:3266x+ 7:66g) f(x) = ex

x2+1

h) f(x) = ex

4x2+1

i) f(x) = x sin x

Exercício 123 Usando resultados sobre derivadas obtenha o que é ensinadono Ensino Médio sem muitas explicações: o vértice da parábola, grá�co daquadrática q(x) = ax2 + bx + c; tem abscissa x = �b=(2a): Além disso ovértice está �acima�na parábola se a < 0 e �abaixo�se a > 0:

Exercício 124 Responda se o ponto dado é de crescimento, decrescimentoou de mudança da função dada:a) x = �3; f(x) = �x3 + 2xb) x = 2:45; f(x) = x lnx

Exercício 125 Usando derivadas, explique porque as funções logaritmo eexponencial não apresentam pontos de mudança.

Exercício 126 As funções y = x e y = ex são ambas funções crescentes. Oque podemos concluir sobre a função y = ex=x no intervalo (0;1)?

Exercício 127 Uma aplicação geométrica da derivada:a) prove que entre todos os retângulos de um dado perímetro o que tem

maior área é um quadrado. Voce é capaz de dar uma aplicação prática (denatureza econômica até) deste resultado?b) prove que entre todos os retângulos de mesma área o que tem maior

perímetro é um quadrado

Concavidade e convexidade.

144

14 Exercícios completos II

Nesta seção vamos propor alguns exercícios mais longos onde aplicamospraticamente tudo o que estudamos até o momento.

Exercício 128 Procurando maximizar lucro com a comercialização de umdeterminado produto foram feitas pesquisas de campo e obtidas as seguintesescalas de demanda e custo:26666664

p q = D(p)5 45010 44014 39518 27721 140

377777752664

q C(q)120 238200 278300 328

3775Através da construção de um modelo matemático, matematicamente plausível

para estas escalas de demanda e custo (teste modelos polinomiais), estime opreço que fornece maior lucro. Assuma que para a função demanda o erroadmissível seja menor do que 2 e que para a função custo seja 1:

145

15 Estudo de alguns modelos não lineares parademanda e/ou custo

Na Seção 2 falamos o que é modelar linearmente, ou não linearmente,uma dada função. Vamos agora apresentar diversos exemplos de modelagemnão linear para as funções demanda e custo e, usando as técnicas do CálculoDiferencial que vimos nas últimas seções, obter uma descrição das funçõeseconômicas que delas dependem diretamente (receita, lucro bem como asfunções marginais, elasticidade e médias).

Observamos que estamos adotando, do ponto de vista econômico, umadescrição simpli�cada do fenômeno sob estudo pois partimos do pressupostoque as duas funções econômicas fundamentais, a saber, demanda e custo,dependem apenas do preço e quantidade, bem como de termos a disposiçãofórmulas explícitas para estas funções. Queremos aqui apenas ilustrar a téc-nica matemática que dá encaminhamento ao problema uma vez ele estejamatematicamente formulado desta forma.

Com já comentamos anteriormente, as funções fundamentais, básicas,associadas à comercialização de um determinado bem ou produto, são asfunções demanda q = D(p) e a função custo C(q): Uma vez tenhamos fórmu-las analíticas para estas funções, obtemos fórmulas analíticas para as duasfunções econômicas associadas mais importantes (veja Seção 7):

Função receita: R(p) = pD(p)

Função lucro: L(p) = pD(p)� C(D(p)):O que se busca primordialmente com o uso de fórmulas analíticas é a

determinação do preço que maximiza o lucro.

O caso mais simples do uso de fórmula analíticas para as funções demandae custo é o uso das fórmulas do tipo a�m, caracterizando o chamado modelolinear. Por exemplo �

D(p) = �2:3p+ 455:67C(q) = 3:3q + 345

146

No modelo linear, as funções receita e lucro são dadas por fórmulas quadráti-cas. No exemplo em questão, elas são dadas por

R(p) = p (�2:3p+ 455:67) = �2:3p2 + 455:67pL(p) = �2:3p2 + 455:67p� (3:3 (�2:3p+ 455:67) + 345)= �2:3p2 + 463:26p� 1848:71

A determinação do preço que maximiza o lucro, neste caso, pode serobtido com a Matemática do EM, como vimos na Seção 3.

Outros modelos possíveis são os chamados modelos não lineares, quandouma das funções demanda e/ou custo não são modelados por uma fórmulaa�m. Nestes casos, a Matemática do EM não é su�ciente para descrever ocomportamento das funções lucro e receita e suas associadas (média, mar-ginal, elasticidade). Contudo, estes modelos podem ser importantes pelarazão a seguir explicada.

Na modelagem linear para demanda, uma variação �p do preço a partirde um certo preço p determina uma variação na demanda que não dependede p; ou seja, depende apenas de �p: Vejamos isto através de um exemplo.

Suponhamos que uma função demanda seja modelada linearmente porq = D(p) = �2p + 50: Então, ao preço p1 = 5 (em reais, digamos), ademanda é q1 = 40: Se aumentarmos o preço em dois reais (�p = 2), p2 = 7;a demanda cairá para q2 = 36; havendo então uma variação de 4 unidadespara baixo (supondo q em unidades) na quantidade demandada.Considere agora o preço p3 = 10: A este preço a demanda é q3 = 30: Se au-

mentarmos p3 em dois reais, teremos o preço p4 = 12 que corresponde a umademanda q4 = 26: Vemos então que a variação da quantidade demandadacontinua a mesma, a saber, 4:

Contudo pode ocorrer, na prática, que a variação da quantidade deman-dada dependa de p: uma variação do preço a partir de preços baixos podecausar uma variação da demanda diferente da causada pela mesma variaçãodo preço a preços altos. Por exemplo: se aumentarmos o preço em um realquando o preço vale, digamos, 5 reais, a diminuição na demanda pode serbem diferente da diminuição da demanda quando aumentamos em um realo preço a partir de, digamos, 20 reais. Nestes casos, o uso da modelagemlinear para a demanda não é apropriado.

147

Vamos no que segue ilustrar, através de exemplos, diferentes tipos demodelagem onde podemos observar concretamente o que foi dito acima ede perceber que como o uso da função quadrática permite uma modelagemmatemática mais adequada da função demanda.

- Modelo superlinear para a demanda e linear para custo

a) Caso côncavo para demanda

O seguinte modelo�q = D(p) = �2p2 � 15p+ 3000C(q) = 10q + 100:

(60)

apresenta um decrescimento quadrado côncavo para a função demanda e umcrescimento linear para a função custo. Os preços variam no intervalo [8; 35] :O grá�co da função demanda neste intervalo é:

6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 340

500

1000

1500

2000

2500

p

q

Interpretação econômica: a demanda cai mais lentamente a partir depreços baixos e mais rapidamente a partir de preços altos.

Façamos a comprovação deste fato através de um exemplo. Para p1 = 9temos q1 = D(9) = 2703: Aumentando o preço em dois reais, p2 = 11;encontramos q2 = D(11) = 2593: A variação na quantidade demandada éentão de 110 unidades para baixo. Por outro lado, ao preço p3 = 14 temosq3 = 2398 e ao preço p4 = 16 tem-se q4 = 2248 de modo que a variação nademanda é de 150; maior que a anterior.

148

Podemos obter fórmulas para a receita em termo da quantidade e do preçode maneira similar ao modelo linear. De fato,

R(p) = p��2p2 � 15p+ 3000

�= �2p3 � 15p2 + 3000p:

Para encontrar o preço em que a receita é máxima calculamos os zeros deR0(p): Temos

R0(p) = �6p2 � 30p+ 3000:Para resolver a equação

�6p2 � 30p+ 3000 = 0

primeiro a multiplicamos por �1 e dividimos por 6 obtendo

p2 + 5p� 500 = 0

p = 20 e p = �25: Como só nos interessa o valor positivo concluímos queR0(p) = 0 somente quando p �= R$20:

Do ponto de vista matemático, ainda não está claro a natureza desteponto (se de mudança ou não e, em sendo de mudança, se de máximo oude mínimo local). Contudo, do ponto de vista econômico, este ponto sódeve ser um ponto de máximo local. Para con�rmar isto matematicamente,determinamos a derivada segunda da receita.

R00(p) = �12p� 30

de modo queR00(20) = �12� 20� 30 = �270 < 0

o que mostra que p = 20 é um ponto de máximo local de R: O grá�co feitopor computador con�rma a conlusão:

5 10 15 20 25 30 350

10000

20000

30000

p

R$

149

Analizemos a função lucro. Para isto primeiro obtemos o custo de pro-dução em termos do preço. Como

q = D(p) = �2p2 � 15p+ 3000C(q) = 10q + 100:

obtemos

C(p) = 10��2p2 � 15p+ 3000

�+ 100 = �20p2 � 150p+ 30100

de modo que

L(p) = R(p)� C(p)= �2p3 � 15p2 + 3000p�

��20p2 � 150p+ 30100

�ou seja

L(p) = �2p3 + 5p2 + 3150p� 30100:Como L0(p) = 0 tem como solução p1 = �22: 09 e p2 = 23:76 o lucro

máximo é obtido com o preço p = 23:76 e vale

Lmax = L(23:76) = 20740:

A quantidade que é vendida a este preço é

q = D(23:76) = 1514:5

ou seja, aproximadamente 1514 unidades. O grá�co da função lucro é:

5 10 15 20 25 30 35

5000

0

5000

10000

15000

20000

p

R$

150

O grá�co mostra que se o preço for inferior a p1 = 10 ou superior a p2 = 35ocorre prejuízo. Estes são aproximadamente os break-even points para olucro-preço. Para calculá-los com exatidão temos que resolver a equação

�2p3 + 5p2 + 3150p� 30100 = 0

que requer conhecimentos além dos que aprendemos neste curso.

b) Caso convexo para a demanda

O seguinte modelo�q = D(p) = 6:25p2 � 278p+ 3091:36C(q) = 2:4q + 57:

(61)

apresenta um decrescimento quadrado convexo para a função demanda e umcrescimento linear para a função custo. Os preços variam no intervalo [3; 20] :O grá�co da função demanda neste intervalo é:

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

2000

2200

x

y

Interpretação econômica: a demanda cai mais rapidamente a partirde preços baixos e mais lentamente a partir de preços altos.

Exercício 129 Determinar os preços ótimos para a receita e para o lucro

151

- Um modelo linear para a demanda e sublinear do tipo logar-itmo para o custo

O seguinte modelo �q = �2:55p+ 300:56C(q) = 3:45 ln 1:22q

apresenta um crescimento sublinear do tipo logarítmo para a função custo eum decrescimento linear para a função demanda. Os preços variam no inter-valo [25; 117] : Usando a função demanda vemos que as quantidades variamde 236:81 a 2:21: No intervalo [2:21; 236:81] a função custo tem o grá�co:

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 2200

2

4

6

8

10

12

14

16

18

q

C

Vemos pelo grá�co que o custo aumenta rapidamente a partir de quantidadespequenas, aumentando proporcionalmente menos a partir de quantidadesmaiores, o que é compreensível.Neste caso a função receita é uma quadrática, caso já estudado anterior-

mente. Já a função lucro é dada por:

L(p) = (�2:55p+ 300:56) p� 3:45 ln 1:22 (�2:55p+ 300:56)= �2:55p2 + 300:56p� 3:45 ln (366:68� 3:11p) :

152

Para determinarmos o valor do preço que dá o lucro máximo calculamos aderivada de L:

L0(p) =�15:86p2 + 2805:12p� 110221:03

�3:11p+ 366:68

Resolvendo a equação L0(p) = 0, obtemos

p1 ' 117:85p2 ' 58:94

Para saber qual deles é o que dá o maior lucro calculamos L00(p):

L00(p) =�49:35p2 + 11635:66p+ 685695:11

(3:11p� 366:6)2:

Daí tiramos:

L00(117:85) ' 12414:90 > 0L00(58:94) ' �5:09 < 0

que mostra que o valor de máximo do lucro ocorre ao preço de 58:94: Oseguinte grá�co foi feito pelo computador:

30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 1300

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

p

R$

153

- Um modelo sublinear do tipo logaritmo para a demanda elinear para o custo

O seguinte modelo �q = �2:55 ln 0:05pC(q) = 0:45q + 3:56

apresenta um decrescimento sublinear do tipo logarítmo para a função de-manda e um crescimento linear para a função custo. Os preços variam nointervalo [4; 14; ] : A função receita é dada por

R(p) = �2:55p ln 0:05p:

Notando queln 0:05p = ln 0:05 + ln p = �2:99 + ln p

TemosR0(p) = 5:08� 2:55 ln p

de modo que R0(p) = 0 para p = 7:35: Temos R00(p) = (�2:55) =p de modoque R00(7:35) < 0 o que mostra que p = 7:35 é o preço que fornece a maiorreceita. O grá�co feito pelo computador para a função receita é:

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1410

11

12

13

14

15

16

17

18

p

R$

154

Vejamos a função lucro. Ela é dada por

L(p) = �2:55p ln 0:05p� 0:45 (�2:55 ln 0:05p)� 3:56= �2:55p ln 0:05p+ 1:14 ln 0:05p� 3:56:

Para determinarmos o preço que fornece maior lucro calculamos L0(p):

L0(p) =5:08p� 2:55p ln p+ 1:14

p:

Contudo, não existe uma fórmula fechada que dê a solução da equaçãoL0(p) = 0;

5:08p� 2:55p ln p+ 1:14 = 0;ou seja, não é possível resolver explicitamente esta equação.

Utilizando um pacote computacional para o traçado de grá�cos obtemos:

3 4 5 6 7 8 9 1010

11

12

13

14

p

L

o que mostra que o preço em que o lucro é máximo ocorre aproximadamenteno valor 8:

Exercício 130 Suponha que as funções demanda e custo sejam dadas pelasfórmulas analíticas �

D(p) = �5:66pp+ 334:67C(q) = 2q + 455

para 1400 � p � 1600: Calcule o preço que dá maior lucro, bem quanto écomercializado e o lucro a este preço.

155

Exercício 131 Idem para�D(p) = �5:66p2 + 334:67C(q) = 2q2 + 455

Exercício 132 Suponha que a função demanda mensal de um certo produtoem um certo mercado em função do preço p do produto é dada pela fórmula

D(p) = �2:3pp+ 345:5

com 85000 � p � 12300: Determine o viés da função receita ao preço p =10025:56:

Exercício 133 Comprove matematicamente que a elasticidade demanda preçoé sempre menor do que a elasticidade aproximada demanda preço quando ademanda é modelada por uma função quadrática no modelo convexo, o con-trário acontecendo quando a demanda é modelada por uma função quadráticano modelo côncavo (usar um modelo genérico para função demanda).

156

16 Complementação sobre limites

A noção de limite é uma noção matemática necessária, indispensável,para se lidar com um problema que advém do seguinte tipo de situaçãoenvolvendo funções numéricas: tem-se uma função y = g(x) que não está,em princípio, de�nida em um dado valor x0; mas está de�nida para valorespróximos de x0; tão próximos quanto se queira. É muito comum isto ocorrerquando g(x) envolve um quociente cujo denominador se anula apenas em x0;como ocorre nos seguintes casos:

g(x) =2x+ 5

x� 4 , (x0 = 4)

g(x) =x

ex�1 � 1 , (x0 = 1)

g(x) =x2 + 2

cosx, (x0 = �=2);

mas pode tambem ocorrer em outras situações como por exemplo g(x) =lnx2, (x0 = 0):Um caso especial de limite que estudamos em capítulos anteriores é o da

derivada. Neste caso, temos

g(x) =f(x)� f(x0)x� x0

;

onde f(x) é uma dada função.

Em casos como este, ou seja em que se tem uma função y = g(x) que nãoestá de�nida em x = x0 mas está de�nida para valores de x arbitrariamentepróximos de x0; embora não possamos calcular g em x0; podemos calcularg(x) para x �= x0; sendo muito importante saber o que acontece com os valoresde g em x quando atribuímos a x valores se aproximando inde�nidamente dex0:

Se acontecer de g(x) tender a um certo valor c; dizemos que g(x) temlimite c para tendendo a x0; e usamos a simbologia

limx!x0

g(x) = c: (62)

157

Quando dizemos que g(x) tende a um valor c estamos entendendo oseguinte: ao tomarmos uma sequencia numérica qualquer x1; x2; ::: que seaproxima inde�nidamente de x0; mas cujos valores são sempre diferentes dex0; a sequencia numérica y1 = g(x1); y2 = g(x2); ::: se aproxima inde�nida-mente de c:

Alguns limites são muito importantes no estudo das funções elementaresnão aritméticas, como vimos anteriormente, os assim chamados limites funda-mentais. O estabelecimento matemático dos valores dos limites fundamentaisé feito em um curso de Bacharelado em Matemática.

Como dissemos acima, faremos aqui um estudo puramente numérico delimites através de tabelas indicativas.

Por exemplo, fazendo simulações, podemos prever que

limx!�

2

cosx

2x� � = �0:5:

De fato: tomando � = 3:14159265 temos �=2 = 1:57079632, e �cercando�este valor por aritméticas por cima e por baixo:

x 2x� 3:14159265 cosx cosx2x�3:14159265

1:4 �0:341592 0:169967 14 �0:497 572 591:6 0:058 40735 �0:02919 952 �0:497 572 591:5 �0:14159265 0:0707372 �0499582441:56 �0:0215926 0:01079611 �0:499 99031:58 0:01840735 0:00920354 �0:499992841:57 �0:00159265 0:007963 267 �0:500 00107

Analogamente

limx!0

1� cosxsin x

= 0 (63)

x sin x 1� cosx 1�cosxsinx

0:5 0:479425 0:122417 0:255341�0:5 �0:479425 0:122417 �0:2553410:3 0:295520 0:044663 0:151135�0:3 �0:295520 0:044663 �0:151 1350:01 0:099998 0:00004999 0:005�0:01 �0:099998 0:00004999 �0:005

158

É conveniente observar que simulações feitas com máquinas de calcularou computadores podem variar de uma máquina para outra. O que aconteceé que os resultados de simulações numéricas dependem do tipo de arredonda-mento/aproximação utilizado, e este pode variar bastante de máquina paramáquina. Portanto, o estudante não precisa se surpreender se, no caso delepróprio construir algumas das tabelas que apresentamos abaixo, acontecerdos valores obtidos não forem os mesmos que os daqui.É conveniente chamar a atenção ao fato de que o uso unicamente de

simulações numéricas para a determinação de limites é muito rudimentar,estando sujeito a erros que podem ocasionar conclusões enganosas com sériasconsequencias em contextos especí�cos. Mesmo assim, e�ciente ou não, emmuitas ocasiões, para certas expressões, o uso de simulações numéricas é oúnico expediente que se dispõe para tentar estimar um dado limite. Por estarazão, é interessante treinar alguns cálculos de limites usando este tipo deprocedimento, ou seja, através de simulações numéricas.

Limites que não existem como número real

Em todos os exemplos que vimos acima os limites existem. Contudo, estanão é uma regra que sempre se cumpre. Em uma in�nidade de casos os limitesnão existem. A não existência de um limite pode se dar de duas maneiras: ouporque os valores da função tendem a �car muito grandes ou muito pequenos(limites explosivos), ou porque �cam oscilando intermitentemente (limitesoscilantes).

a) Limites que valem +1:

Dizemos que g(x) tem limite 1 quando x tende a x0 se g(x) torna-seinde�nidamente grande quando x se aproxima inde�nidamente de x0:

Em outras palavras, se dada uma sequencia numérica qualquer x1; x2; :::tendendo a x0 os valores da sequencia numérica y1 = g(x1); y2 = g(x2); :::tornam-se inde�nidamente grandes.

Exemplo:

limx!3

1

(x� 3)2=1:

O grá�co da função 1(x�3)2 ilustra bem o que acontece:

159

2.0 2.2 2.4 2.6 2.8 3.0 3.2 3.4 3.6 3.8 4.0

5

10

15

20

x

b) Limites que valem �1:

Dizemos que g(x) tem limite �1 quando x tende a x0 se g(x) torna-seinde�nidamente pequeno quando x se aproxima inde�nidamente de x0:

Em outras palavras, se dada uma sequencia numérica qualquer x1; x2; :::tendendo a x0 os valores da sequencia numérica y1 = g(x1); y2 = g(x2); :::tornam-se inde�nidamente pequenos.

Exemplo:

limx!2�

1

cosx� 1 = �1

Como a função cosx é periódica de período 2�; sempre que x por ummúltiplode 2� o denominador vai se anular. Próximo a estes pontos, como é o casode 2�; o valor da função tende a �1:

160

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

2.0

1.5

1.0

0.5

x

y

c) Limites que valem �1:

Tal é o que acontece, por exemplo, com a função:

g(x) =1

x� 2 :

Se tomarmos valores da variável x se aproximando de 2 por valores maioresdo que 2 os valores de g(x) se aproximam de 1; se tomarmos valores davariável x se aproximando de 2 por valores menores do que 2 os valores deg(x) se aproximam de �1:

1 1 2 3 4 5

4

2

2

4

x

y

161

Os comportamentos apresentados pelas funções dos exemplos anteriores,próximos aos pontos onde queremos calcular o limite, é dito explosivo. Ex-plicações para esta nomenclatura imagino que não são necessárias...

d) Limites oscilantes

Os exemplos que seguem são de mais di�cil entendimento, mas eles sãoimportantes pois ilustram signi�cativamente o quanto complicado pode serum limite.

Pode acontecer que quando x se aproxima de x0 os valores da funçãoem x �cam oscilando intermitentemente, assumindo em diversos valores ummesmo valor in�nitas vezes. Tal é o que acontece com

g(x) = cos

�1

x

�em x0 = 0: Observe o grá�co:

1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

1.0

0.5

0.5

1.0

x

y

Neste caso não se tem um valor limite especí�co, único, ao qual tendacos(1=x) quando x se aproxima inde�nidamente de 0. Dizemos então quenão existe o limite para x tendendo a zero de cos(1=x):

Para procurar melhor perceber a propriedade oscilante deste último limiteé conveniente que se façam algumas e bem escolhidas simulações.

162

Um exemplo mais complicado, onde se observa uma combinação do com-portamento explosivo com o oscilante, é o da função (1=x) cos(1=x):

2 1 1 2

2

2

4

6

8

x

y

163

17 O uso da derivada em cálculos aproxima-dos:

Muitas vezes, quando se tem que lidar com limites, é comum se usaruma aproximação do limite no lugar do valor exato do limite. Isto porqueos limites podem ser muito complicados, ou mesmo impossivel, de seremexplicitamente calculados e, em diversas situações, esta-se interessado apenasem valores aproximados.

Um exemplo deste procedimento de usar um valor aproximado do limiteno lugar do limite, em Economia, ocorre no uso da fórmula Cf = e

r100C0:

Para utilizá-la, usamos uma aproximação de e; ou seja, uma aproximação dolimite

limn!1

�1 +

1

n

�n;

que consiste em escolher um valor n0 para n e usar�1 + 1

n0

�n0no lugar de

limn!1�1 + 1

n

�n: Quanto maior o valor de n0, menor o erro cometido pela

aproximação. Por exemplo, se n0 = 2; então obtemos a aproximação�1 +

1

2

�2= 2:25;

que coincide com o valor real de e apenas na primeira casa decimal. Tomandovalores maiores obtemos melhores aproximações para e:

Se quisermos uma aproximação para e com duas casas decimais de pre-cisão temos que escolher n0 no mínimo 74:�

1 +1

74

�74= 2:700139:::�

1 +1

73

�73= 2:699894:::

É claro que, atualmente, no uso de aproximações para e; não se faz maismenção ao limite acima; isto ocorre simplesmente porque valores aproxima-dos de e; com várias casas decimais já estão calculados e disponíveis em

164

tabelas ou em qualquer máquina de calcular cientí�ca, sendo estas aproxi-mações de e su�cientes para todas as aplicações práticas mais simples: Con-tudo, para muitos outros limites, em especial para o da derivada, o uso tantoteórico quanto prático da idéia de aproximação é importante, como veremosno que segue.

Consideremos uma função y = f(x) derivável em x0: Então tem-se olimite

f 0(x0) = limx!x0

f(x)� f(x0)x� x0

:

Consideremos uma aproximação para este limite, isto é, tomemos um valorx1 �= x0; x1 6= x0: Então temos

f 0(x0) �=f(x1)� f(x0)x1 � x0

: (64)

Podemos usar o símbolo �= como se fosse =; sendo isto muito convenientepois podemos operar aproximações como se fossem igualdades: Procedendodesta forma, podemos reescrever (64) como

f 0(x0) (x1 � x0) �= f(x1)� f(x0)

e então isolar f(x1) para obter

f(x1) �= f(x0) + f 0(x0) (x1 � x0) : (65)

A fórmula (65) é dita fórmula de aproximação de primeira ordem paraf(x1):

O uso da expressão �de primeira ordem�refere-se ao fato de que estamosutilizando a primeira derivada para aproximar a função. Adiante veremosque podemos utilizar as derivadas de ordem superior para obter melhoresaproximações, quando então teremos fórmulas de aproximação de segunda,terceira ordem etc.

Costuma-se escrever a fórmula (65) em um ponto genérico x assim:

f(x) �= f(x0) + f 0(x0) (x� x0) ; x ' x0 (66)

165

Esta fórmula possibilita o cálculo aproximado do valor da função f emum dado ponto x conhecendo-se o valor da função e da derivada da funçãoem um outro ponto x0: Na aplicação desta fórmula com esta �nalidade, ovalor x é dado e o valor x0 tem que ser escolhido. A escolha de x0 obedeceos seguintes critérios:

a) deve ser um valor para o qual sabemos calcular com facilidade a funçãoe sua derivada (ou seja, f(x0) e f 0(x0))

b) deve ser o mais próximo possível de x:

Exemplo 134 Note que embora a função f(x) = 2:5x7+3:44x5+2:22x+3:4seja complicada de se calcular em geral, para x0 = 1 ela e sua derivada sãofáceis de determinar. De fato:

f(1) = 2:5 + 3:44 + 2:22 + 3:4 = 11:56

f 0(x) = 17:5x6 + 17:2x4 + 2:22) f 0(1) = 17:5 + 17:2 + 2:22 = 36:92:

Assim a fórmula (66) nos dá

f(x) = 2:5x7 + 3:44x5 + 2:22x+ 3:4 ' 11:56 + 36:92(x� 1)

sendo esta aproximação tão melhor quanto mais próximo de 1 for o valor dex: Por exemplo, para x = 1:01; temos

2:5 (1:01)7+3:44 (1:01)5+2:22 (1:01)+3:4 ' 11:56+36:92(1:01�1) = 11:9292:

O valor real de f em 1:01 é f(1:01) = 11:93801295261152 5:Outro valor que facilmente sabemos calcular f e sua derivada é em x = 0:

f(0) = 3:4

f 0(0) = 2:22

A fórmula de aproximação de f para valores próximos de 0 �ca então

2:5x7 + 3:44x5 + 2:22x+ 3:4 ' 3:4 + 2:22(x� 0) = 3:4 + 2:22x:

Por exemplo,f(0:02) ' 3:4 + 2:22� 0:02 = 3:4444:

166

Chamamos a atenção que temos duas fórmulas bem distintas de aproxi-mação para

f(x) = 2:5x7 + 3:44x5 + 2:22x+ 3:4;

a saber:

f(x) ' 11:56 + 36:92(x� 1)f(x) ' 3:4 + 2:22x:

Como já comentamos, a primeira é útil para o cálculo aproximado de f(x)para x ' 1; digamos x = 0:9 ou x = 1:01; como acima calculamos. Asegunda é útil para o cálculo aproximado de f(x) para x ' 0: Para x =0:5 as duas podem ser utilizadas, mas o erro cometido pode �car grande demais em qualquer delas (se contextualizada, a depender do contexto, talvezinadmissível). Temos

11:56 + 36:92(0:5� 1) = �6:94 + 2:22� 0:5 = 5:11

11:56 + 36:92(0:9� 1)4 + 2:22� 0:9

enquanto o valor real de f (calculado no computador) é f(0:5) = 4:63703125.

Exemplo 135 Como sabemos calcular ex e sua derivada em x = 0, ambasvalem 1; a fórmula de aproximação de primeira ordem para ex em x = 0 é

ex ' 1 + x:

Assim, por exemplo,e0:2 ' 1 + 0:2 = 1:2:

Exemplo 136 Vamos ver como podemos usar a fórmula (66) para estimarp10: Tomando f(x) =

px temos

f 0(x) =�x12

�0=

1

2px

167

Como sabemos calcular f e f 0 em 9 vamos obter a fórmula da primeiraaproximação de f em x0 = 9 obtemos de (66)

px �=

1

2p9(x� 9) +

p9

=1

6(x� 9) + 3:

Assim p10 �= 3 +

1

6(10� 9) = 3:166 666 (67)

O valor real é p10 = 3:16227766:::

de modo que o cálculo aproximado (67) tem precisão de 3 casas decimais.

Exercício 137 Podemos usar o artifício do cálculo aproximado da raíz quadradapara calcular o valor aproximado da raíz n�ésima de qualquer número. Porexemplo, obtenha valores aproximados de 3

p9; 4p628:23

Exercício 138 Notando que a função f(x) = 2:3 ln(1+4:5x) e sua derivadasão fáceis de avaliar em x0 = 0; determine a fórmula de aproximação deprimeira ordem da mesma em x0 = 0:

Exercício 139 Calcule o valor aproximado de (1:0012)3 + ln 1:0012:

Exercício 140 Calcule aproximadamente 32:233; 32:88 (usar a aproximaçãoln 3 �= 1:098 6)

Exercício 141 Calcula-se que o custo relativo à comercialização inicial deq0 = 1000 unidades de um determinado produto é de R$3547; 00: Supondoque a função custo é modelada pela fórmula

C(q) = 7 ln(25q � 24000) + 3500

para q � 103; use a fórmula de aproximação de primeira ordem

C(q) ' C(q0) + C 0(q0)(q � q0)

para obter um modelo linear para o custo C(q) para quantidades q � 103

próximas a 103 (q ' 103): Usando este modelo linear, estime C(1040): Per-gunta: Você precisa usar uma máquina cientí�ca (que tenha, em particular,a função logaritmo) para fazer os cálculos deste problema ou basta uma cal-culadora simples (que tenha apenas as 4 operações elementares)?

168

Exercício 142 Comprove que a fórmula de aproximação de primeira ordemcoincide com a própria função na modelagem linear

Uma interpretação importante da fórmula de aproximação deprimeira ordem

Dada uma função numérica y = f(x) e �xado um valor x0 para a variávelx; existem muitas função a�ns g(x) = ax+ b tais que g(x0) = f(x0): De fato,todas as funções a�ns do tipo

g(x) = f(x0) + a(x� x0) (68)

claramente satisfazem g(x0) = f(x0):

Por exemplo, se f(x) = ln(2:33x+1) e x0 = 1:2 então f(1:2) = 1:33394:::.Logo, independente do valor de a; qualquer função a�m do tipo

g(x) = 1:33394:::+ a(x� 1:2)

satisfaz g(1:2) = 1:2294::: = f(1:2):

É importante descobrir o seguinte: entre todas as g do tipo (68), quala que melhor aproxima f próximo de x0? Ou seja: qual a g que devemosescolher (equivalentemente, qual o valor de a que devemos escolher) tal que,dado x ' x0 a diferença absoluta entre f(x) e g(x); jf(x)� g(x)j, é a menorpossível?

Prova-se em Matemática que o melhor valor de a é a = f 0(x0): Com isso,temos a seguinte propriedade fundamental da fórmula (66):

Dada y = f(x) e dado x0; entre todas as funções a�ns g(x) tais quef(x0) = g(x0); a que melhor aproxima f(x) para x próximo a x0 é a dadapelo membro direito da fórmula (66), ou seja, g(x) = f(x0) + f 0(x0)(x� x0):

Exemplo 143 Suponha f(x) = 3px+ 3 e considere x0 = 1: Então

f(1) = 6

f 0(1) = 0:75

169

Notemos que

g1(x) = 6 + 0:75(x� 1)g2(x) = 6 + 0:5(x� 1)

são ambas funções a�ns tais que g1(1) = g2(1) = 6 = f(1); sendo g1(x)a dada pela fórmula de aproximação de primeira ordem. Construamos umatabela com valores de f(x); g1(x) e g2(x) e dos valores absolutos da diferençasde f(x) com g1(x) e g2(x) para x ' 1:266664

x f(x) g1(x) g2(x) jf(x)� g1(x)j jf(x)� g2(x)j1:1 6:074537::: 6:075 6:05 0:0004629806 0:024537:::0:9 5:924525297::: 5:925 5:95 0:0004747025 ::: 0:025474702:::1:01 6:007495318::: 6:0075 6:005 0:000004681649::: 0:002495318 :::0:99 5:992 495306::: 5:9925 5:995 0:000004693368::: 0:002504693:::

377775A tabela mostra que os valores obtidos utilizando a função a�m g1(x) dadapela fórmula de aproximação de primeira ordem aproxima f(x) melhor doque g2(x):

170

18 De�nições das funções marginais e da elas-ticidade via Cálculo Diferencial.

Começemos com a função marginal.

A fórmula de aproximação (66) pode ser reescrita para a função lucroL(p) como

L(p) ' L(p0) + L0(p0) (p� p0) :Se tomarmos p = p0 + 1; obtemos

L(p0 + 1) ' L(p0) + L0(p0) (p0 + 1� p0) = L(p0) + L0(p0)

de modoL(p0 + 1)� L(p0) ' L0(p0):

Notemos então que o membro esquerdo da aproximação acima é exatamenteo que de�nimos como lucro marginal em p0, de modo que podemos escrever

Lmg(p0) ' L0(p0):

Este fato leva os economistas a de�nirem lucro marginal em p0 como aderivada L0(p0); sendo esta a de�nição que é efetivamente adotada para olucro marginal. A razão desta escolha é que a de�nição de lucro marginalusando derivada traduz de forma muito mais precisa a idéia que motiva esteconceito, qual seja, a de fornecer um indício sobre a conveniencia ou nãode aumentar-se ou diminuir-se o preço do produto visando um aumento delucro. Vejamos isto concretamente.

Suponha que L(p) seja dado pela função quadrática

L(p) = �3:2p2 + 6p+ 24:45:

O lucro marginal, segunda a de�nição antiga, ao preço de p = 0:85 é

Lmg(0:85) = L(1:85)� L(0:85) = �2:64 < 0:

O fato de Lmg(0:85) ser negativo mostra que não vale a pena ao com-erciante aumentar o preço do produto em um real quando ele vale 0:85;

171

contudo, esta informação não exclui a possibilidade de ser vantajoso aindaum aumento de preço menor do que um real. E de fato um tal aumento épossível neste caso. Observe que

L(0:85) = 27:23 < 27:25 = L(0:90):

Por outro lado, se utilizássemos a de�nição de lucro marginal via derivadateríamos 100% de certeza que ainda existiria uma �margem positiva�de lucropara um aumento de preço pois

L0(0:85) = 0:56 > 0:

Contudo, é bom notar que, sem uma análise adicional da função, não se temuma idéia exata de quanto pode ser este aumento de preço (pode-se dizerque é menor do que 1 certamente).

Exercício 144 Determinar de quanto pode aumentar-se o preço, a partir de0:85; para que o lucro ainda aumente.

Vemos assim que a função derivada, diferente do que acontece com ade�nição de função marginal que apresentamos anteriormente, fornece umindício conclusivo sobre a conveniência ou não de aplicar-se um aumento depreço.

Por esta razão tomaremos, em de�nitivo, como de�nição de função mar-ginal associada a uma dada função econômica E; a derivada de E:

Assim, no caso da função custo C(q); o custo marginal é Cmg(q) = C 0(q):No caso da função receita R(p); a receita marginal é Rmg(p) = R0(p): E assimpor diante.

A de�nição antiga de função marginal de uma função econômica E(p)chamaremos de função marginal aproximada, e a denotaremos por Ema(p):Assim,

Ema(p) = E(p+ 1)� E(p):

172

É conveniente deixarmos estes importantes fatos destacados em um quadroresumo:

Dada uma função econômica E(p) de�ne-se:

a) a função marginal Emg(p) porEmg(p) = E

0(p)

b) a função marginal aproximada Ema(p)Ema(p) = E(p+ 1)� E(p)

Assim, no caso da função custo C(q); o custo marginal aproximado éCma(q) = C(q+1)�C(q): No caso da função receita R(p); a receita marginalaproximada é Rma(p) = R(p+ 1)�R(p): E assim por diante.

Na prática, é comum se considerar como sendo as mesmas as funçõesmarginais e marginais aproximadas, pois a diferença entre elas é desprezível.

Por exemplo, sendo a função receita dada por R(q) = �0:22q2 + 700qvemos que a receita marginal aproximada relativa a quantidade q = 1760 é

Rma(1760) = R(1761)�R(1760)= �0:22 (1761)2 + 700� 1761�

��0:22 (1760)2 + 700� 1760

�= �74:62:

Por outro lado, como R0(q) = �0:44q + 700 obtemos

Rmg(1760) = R0(1760) = �0:44� 1760 + 700 = �74:4

o que mostra que Rmg(1760) e Rma(1760) coincidem nas duas primeiras casasdecimais.

É interessante observar que, apesar das razões dadas acima que justi�cama de�nição de função marginal através da derivada, em algumas situações,mesmo teóricas, pode ser mais conveniente trabalhar-se com a de�nição mar-ginal aproximada do que com a função marginal via derivada, como mostrao exemplo que segue.

Exemplo 145 Suponha que as funções demanda e custo sejam dadas pelasfórmulas analíticas �

D(p) = �5:66p+ 334:67C(q) = 2

pq + 455

173

A função lucro é

L(p) = p (�5:66p+ 334:67)��2p�5:66p+ 334:67 + 455

�;

que tem como derivada

L0(p) =334:67

p334:67� 5:66p� 11:32p

p334:67� 5:66p+ 5:66p

334:67� 5:66p :

Vemos que que equação L0(p) = 0 é equivalente àp334:6 7� 5:66p (334:67� 11:32p) + 5:66 = 0

que podemos tentar resolver fazendo uma elevação de quadrados como segue�p334:6 7� 5:66p (334:67� 11:32p)

�2= (�5:66)2 :

Vemos daí que teremos de achar as raízes de uma função cúbica, o que épossível mas não ensinado nem no EM nem em cursos de graduação.Alternativamente, podemos fazer uso do fato que a derivada da função lu-

cro é o lucro marginal, L0(p) = Lmg(p); é que este último é aproximadamenteigual ao lucro marginal aproximado Lma(p): Assim, ao invés de procurarmosresolver a equação Lmg(p) = 0 procuramos resolver a equação Lma(p) = 0:Temos:

Lma(p) = L(p+ 1)� L(p)= 2

p346: 7� 5:66p� 2

p329:01� 5:66p� 11:32p+ 329:0 1:

Utilizando a aproximação

2p346:7� 5:66p ' 2

p329:01� 5:66p

teremos Lma(p) ' 0 quando

�11:32p+ 329:0 1 = 0

que nos dáp ' 29:06

Através do computador, obtemos

174

10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40

2400

2600

2800

3000

3200

3400

3600

3800

4000

4200

4400

p

L

A noção de função marginal tem sua verdadeira origem na análise decustos, o custo marginal. Observe que a função custo marginal é tão maispróxima da função custo marginal aproximado quanto maiores forem as quan-tidades envolvidas. Isto pelo seguinte: o valor de uma unidade em um uni-verso de milhares de unidades é relativamente insigni�cante, de modo quea diferença entre q1 = q0 + 1 e q0 é praticamente desprezível quando q0 éum valor muito grande, ou seja, q1 é, relativamente, muito próximo de q0:Assim, como sabemos que quanto mais próximo q1 estiver de q0 melhor aaproximação

C(q1) ' C(q0) + C 0(q0) (q1 � q0) ;a observação procede.

Exemplo 146 Se C(q) é dado pela fórmula C(q) = 3:25 ln q + 200 então,utilizando a fórmula do custo marginal aproximada,

Cma(900) = C(900 + 1)� C(900)= 3:25 ln (901) + 200� 3:25 ln (900)� 200

= 3:25 (ln (901)� ln (900)) = 3:25 ln 901900

�= 0:003609:

175

Utilizando a de�nição via derivada, como

Cmg(q) = C0(q) =

3:25

q

obtemosCmg(900) =

3:25

900�= 0:003611:

Embora sendo os valores 0:003611 e 0:003609 matemáticamemte distintos,na prática os consideramos iguais.

Exercício 147 As funções demanda e custo de um certo bem são dadas,respectivamente, pelas fórmulas

D(p) = �1:28p+ 3000C(q) = 2:25q2 + 6:7q + 900

Determinar as funções receita e lucro marginais e as funções receita e lucromarginais aproximadas, todas elas relativas às seguintes quantidades q =798 e q = 891:

Exercício 148 Comprove matematicamente que tanto o custo marginal quantoo custo marginal aproximado não dependem do custo �xo.

Exercício 149 Comprove matematicamente que, no modelo linear, o customédio, a grandes quantidades, se iguala ao custo marginal.

Acima vimos que as função marginais são mais signi�cativamente de�nidascom o uso da derivada. Veremos agora que o mesmo e aplica com a elastici-dade, embora a relação seja um pouco mais complexa.

Faremos isto considerando o caso da função demanda. Da fórmula deaproximação (64) para derivada obtemos, no presente contexto

D0(p) �=D(p1)�D(p)

p1 � p; p1 �= p:

Tomando p1 = 1; 01p obtemos

D0(p) �=D(1:01p)�D(p)

0:01p=100 [D(1:01p)�D(p)]

p

176

de modo quepD0(p) �= 100 [D(1:01p)�D(p)] : (69)

Lembrando agora a de�nição de elasticidade demanda-preço, a saber

e(p) =100 [D(1:01p)�D(p)]

D(p)(70)

podemos levar (69) em (70) para obter

e(p) ' pD0(p)

D(p): (71)

Assim como no caso da função marginal, esta fórmula de aproximaçãopara a elasticidade faz com que os economistas de�nam elasticidade atravésda aproximação (71). A razão desta escolha é a mesma da função marginal:ao contrário de (70), ela expressa de forma plena o fenômeno da elasticidade.Vejamos um exemplo utilizando a função lucro L(p):

Suponhamos que L(p) seja dada pela fórmula

L(p) = �0:78p2 + 120p+ 1000

e calculando a elasticidade lucro preço referente ao preço p = 106:56 usandoa fórmula antiga, obtemos

100 [L(1:01� 106:56)� L(106:56)]L(106:56)

' �1:017

e, usando a fórmula onde entra a derivada, obtemos

106:56L0(106:56)

L(106:56)' �0:99:

Pela fórmula antiga concluiríamos que a elasticidade lucro preço corre-spondente ao preço 106:5 é elástica pois, em valor absoluto, maior do que1; enquanto que pela fórmula com derivada é inelástica, pois menor do que1 em valor absoluto; que é a conclusão mais correta, no seguinte sentido:um aumento percentual su�cientemente pequeno do preço a partir de 106:56acarretará uma mudança no valor do lucro que em termos percentuais é in-ferior à sofrida pelo preço.

177

Portanto, daqui para frente, adotamos como de�nição de elasticidade afórmula usando derivada, e chamaremos de elasticidade apxoximada ea(p)a fórmula antiga. Assim, se estivermos tratando da elasticidade demandapreço, temos

e(p) =pD0(p)

D(p)(elasticidade demanda preço)

ea(p) =100 [D(1:01p)�D(p)]

D(p)(elasticidade aproximada demanda preço):

Já se estivermos tratando da elasticidade lucro preço temos:

e(p) =pL0(p)

L(p)

ea(p) =100 [L(1:01p)� L(p)]

L(p)

e assim por diante.

Como no caso das funções marginais, é conveniente deixarmos estes im-portantes fatos destacados em um quadro:

Dada uma função econômica E(p) de�ne-se:

a) a elasticidade e(p) de E pore(p) = pE0(p)

E(p)

b) a elasticidade aproximada ea(p) de E porea(p) =

100[E(1:01p)�E(p)]E(p)

Um outro exemplo, quando E é a função demanda

D(p) = �0:5p2 + 20p+ 100

então temos:

D(1:01p) = �0:5(1:01p)2 + 20(1:01p) + 100= �0:51005p2 + 20:2p+ 100

178

de modo que

ea(p) =100 [�0:51005p2 + 20:2p+ 100� (�0:5p2 + 20p+ 100)]

�0:5p2 + 20p+ 100

=100p (0:2� 0:01005p)�0:5p2 + 20p+ 100 :

Para o preço p = 35 a quantidade demandada é

D(35) = �0:5 (35)2 + 20� 35 + 100 = 187:5

e a elasticidade preço aproximada é

ea(p) =100� 35 (0:2� 0:01005� 35)�0:5 (35)2 + 20� 35 + 100

= �2; 8327:

Como D0(p) = 20� 1p obtemos D0(35) = �15 de modo que

e(35) =35D0(35)

D(35)= �2:8

Assim como acontece com a função marginal, as funções elasticidade-preço e elasticidade-preço aproximada, na PRÁTICA, muitas vezes são con-sideradas iguais.

Exercício 150 Supondo que q = �p2 + 3p+ 18 descreve a demanda de umcerto produto, determine a elasticidade-preço e elasticidade-preço aproximadapara p = 4 e p = 3. Elas são elásticas ou inelásticas?Obtenha uma fórmula que de a variação da quantidade demandada quando

o preço p sofre uma variação de 5% para cima. Calcule valores explicitos davariação para os preços dados no item anterior.

Exercício 151 A demanda de soja q está relacionada ao preço p do feijão(demanda cruzada) através da fórmula

q =pp+ 4:

Determine a elasticidade-preço (dita elasticidade cruzada) da demandaao preço p = 12 (utilize ambas fórmulas para elasticidade).

Exercício 152 Prove que se uma função econômica E(p) é modelada poruma função a�m, ou seja E(p) = ap + b; então a elasticidade e(p) e a elas-ticidade aproximada ea(p) de E coincidem. O que podemos dizer se E(p) émodelada por uma função quadrática?

179

18.1 Exercícios complementares

Exercício 153 Suponha que as funções demanda e custo relativas à comer-cialização de um determinado produto sejam

D(p) = �2:3p2 + 0:5p+ 210:77C(q) = 0:023q + 3:33

com o preço variando de 4:5u:m: (u:m:: unidade monetária) a 8:5u:m:a) Sem deduzir a fórmula do lucro, responda o que dá mais lucro: vender

o produto a p = 5:4 ou vender o produto a p = 6:0b) Determine a elasticidade e a elasticidade aproximada da demanda-

preço para p = 5:6c) Determine o custo-quantidade marginal e o custo-quantidade aproxi-

mado relativos a q = 5d) Determine o custo-preço marginal e o custo-preço aproximado relativos

a p = 6:6e) Pergunta-se: qual o viés da receita aos preços de p = 4:5 e p = 6:6f) Pergunta-se: qual o viés da funçao lucro ao preço p = 5:8g) Qual o lucro marginal aproximado correspondente ao preço p = 5:6?h) Qual o preço que produz maior lucro e qual o lucro obtido a este preço?i) Qual a quantidade vendida ao preço que produz maior lucro?

Exercício 154 Sabendo que

D(p) = �1:44p+ 455C(q) = 10:02 ln (300:23q) + 100

a) Determine o custo marginal e o custo marginal aproximado correspon-dentes à quantidade q1 = 100 e q2 = 179b) Determine a função custo médio e analise seu comportamento quando

a quantidade �ca muito grandec) Determine os lucros marginais referente aos preços p1 = 145 e p2 =

167. O que se pode concluir?d) Determine o lucro marginal e o lucro marginal aproximado referentes

ao preço p = 157:7: Interpretar os resultados obtidos.e) Determine o preço que resulta em maior lucro

180

Exercício 155 Suponha que a função demanda de um certo produto é dadapela fórmula a�m D(p) = ap+ b; onde a e b são certas constantes.a) Comprove que a funções demanda-preço marginal e demanda-preço

marginal aproximado coincidem para todo e qualquer valor de pb) Podemos concluir o mesmo em relação a elasticidade-preço e a elasti-

cidade preço aproximado?c) É verdade que em um modelo quadrado para a demanda as funções

demanda-preço marginal e demanda-preço marginal aproximado também co-incidem?

Exercício 156 Suponha que o lucro L(p) obtido pela comercialização de de-terminado produto em um certo intervalo de tempo em termos do preço p doproduto é dado pela fórmula analítica

L(p) = 0:33p3 � 3:99p2 + 13:18p+ 25:66

com 1 � p � 6:a) Comprove que o lucro tem viés de decrescimento ao preço p = 3:5b) Determine o preço em que o lucro é máximo, justi�cando matematica-

mente sua conclusãoc) Comprove que a diferença entre o lucro marginal aproximado e o lucro

marginal cresce linearmente com p

Exercício 157 A função demanda relativa à comercialização de um deter-minado produto em um certo período de tempo é

D(p) = �p2:3p+ 34:56

tendo-se o preço variando entre 210 � p � 265: Determine a receita marginalreferente ao preço de R$233; 00 e, a partir do resultado obtido, responda se�existe margem� para uma diminuição deste valor de preço sem que hajaperda de receita

Exercício 158 A função demanda relativa à comercialização de um deter-minado produto em um certo período de tempo é

D(p) = 12:22� ln (2345:67p)

tendo-se o preço variando entre 25 � p � 38: Determine a receita marginalreferente ao preço de R$31; 00 e, a partir do resultado obtido, responda se�existe margem� para uma diminuição deste valor de preço sem que hajaperda de receita.

181

Exercício 159 Comprove matematicamente que tanto o custo marginal quandoo custo marginal aproximado não dependem do custo �xo.

Exercício 160 Considere o seguinte modelo para as funções demanda ecusto relativas à comercialização de um determinado produto, em um certomercado e em um certo intervalo de tempo:�

q = D(p) = �3p2 � 10p+ 2900C(q) = 9:9q + 98:78

com 10:50 � p � 30:a) Determine fórmulas para as funções receita e lucrob) Determine o preço que produz maior lucro e o valor deste lucroc) Determine a natureza do preço p1 = 18:55 (se com viés de cresci-

mento ou de decrescimento) para as funções receita e lucro e, importante:interpretar economicamente os resultados obtidos, veri�cando se há ou nãoincoerência entre eles e EXPLICANDO PORQUE.

Exercício 161 Suponha que a função custo é modelada pela fórmula

C(q) = 3:45qp2:3q + 45 + 450

a) Da de�nição de custo marginal como derivada e da de�nição de derivadatem-se

Cmg(20) = limh!0

C(20 + h)� C(20)h

;

do que decorre que o valor Cmg(20) é aproximadamente igual (C(20 + h)� C(20)) =hpara valores de h próximos de 0: Construa então uma tabela de no mínimo8 entradas com valores de (C(20 + h)� C(20)) =h; com no mínimo 6 casasdecimais; para valores positivos e negativos de h ' 0 para estimar Cmg(20):b) Determine Cmg(20) usando as fórmulas e regras de derivação

19 Aproximações de segunda ordem

A fórmula (65), para um valor genérico x; se escreve

f(x) ' f 0(x0)(x� x0) + f(x0): (72)

182

Tomando para a e b os valores

a = f 0(x0)

b = f(x0)

vemos que a função a�m

g(x) = a (x� x0) + b

satisfazg(x0) = f(x0)g0(x0) = f

0(x0):(73)

A fórmula de aproximação (72) pode ser tambem interpretada da seguinteforma: para a obtenção de valores aproximados, podemos substituir o cálculode f(x) em um dado valor da variável x usando a fórmula analítica de f(x)(que pode ser bem complicada) pela função a�m g(x), que obviamente é fácilde calcular (uma vez sejam fáceis de calcular f(x0) de f 0(x0)).O fato fundamental que faz com que os valores de f(x) sejam próximos aos

de g(x) para x ' x0 são as igualdades de f e sua derivada com g e sua derivadaem x0 (igualdades (73)). Este fato sugere a possibilidade de que quanto maisas derivadas (primeira, segunda etc) de duas funções coincidem em um pontox0 mais próximos são os valores das funções para valores próximos a x0:Isto de fato é o que acontece em muitos casos (ocorre com todas as funçõestrabalhadas aqui).Nesta linha de raciocínio, indo um passo adiante, dada uma função f(x)

com fórmula eventualmente complicada, e �xado um valor x0 para a var-iável x para os quais seja mais fácil de calcular f e suas primeira e segundaderivadas, buscamos agora uma função h que seja dada por uma fórmulaanalítica simples tal que

h(x0) = f(x0)h0(x0) = f

0(x0)h00(x0) = f

00(x0):(74)

As fórmulas analiticas mais simples são as a�ns de modo que, sempre quepossível, é interessante usá-las. Contudo, buscar uma h com fórmula a�msatisfazendo (74) não parece ter chance de dar certo pois neste caso neces-sariamente h00 = 0: Vamos então para a fórmula analítica mais simples depoisda a�m qual seja, a quadrática. Vemos que se tomarmos

h(x) = f(x0) + f0(x0)(x� x0) + a (x� x0)2

183

então temos

h(x0) = f(x0) + f0(x0)(x0 � x0) + a (x0 � x0)2 = f(x0) + 0 + 0 = f(x0):

Além disso, comoh0(x) = f 0(x0) + 2a (x� x0)

vemh0(x0) = f

0(x0) + 2a (x0 � x0) = f 0(x0):Também

h00(x) = 2a

de modo que para termos h00(x0) = f 00(x0) tomamos

a =f 00(x0)

2:

Com isso obtemos

h(x) = f(x0) + f0(x0)(x� x0) +

f 00(x0)

2(x� x0)2 :

A função h(x), para valores próximos de x0; vale aproximadamente f(x):Resumamos o que foi feito até agora:

Fórmula da aproximação de segunda ordem

Dada uma função f(x) e escolhido um valor x0 para a variável x; tem-sea igualdade aproximada

f(x) ' f(x0) + f 0(x0)(x� x0) +f 00(x0)

2(x� x0)2 ; x ' x0; (75)

dita fórmula da aproximação de segunda ordem de f em x0::Vejamos alguns exemplos

Exemplo 162 No caso da função f(x) = 2:5x7+3:44x5+2:22x3+3:4 dadano Exemplo 134, temos

f(1) = 2:5 + 3:44 + 2:22 + 3:4 = 11:56

f 0(x) = 17:5x6 + 17:2x4 + 6:66x2 ) f 0(1) = 17:5 + 17:2 + 6:66 = 41:36:

184

f 00(x) = 105x5 + 68:8x3 + 13:32x) f 00(1) = 105 + 68:8 + 13:32 = 187:12

de modo que

2:5x7 + 3:44x5 + 2:22x3 + 3:4 ' 11:56 + 11:56(x� 1) + 187:122

(x� 1)2

= 11:56 + 11:56(x� 1) + 93:56(x� 1)2:

Assim, para x = 1:1

2:5 (1:1)7 + 3:44 (1:1)5 + 2:22 (1:1)3 + 3:4 ' 11:56 + 41:36(1:1� 1) + 93:56(1:1� 1)2

= 16:632:

Vejamos agora novos exemplos a partir dos exemplos 134, 135 e 136:

Exemplo 163 Considerando a função f(x) = ex; como f 0(x) = ex; f 00(x) =ex,

f(0) = f 0(0) = f 00(0) = e0 = 1;

a aproximação de segunda ordem de ex em x0 = 0 é

ex ' 1 + x+ 12x2:

Por exemplo,

e0:2 ' 1 + 0:2 + 12(0:2)2 = 1:22:

Exemplo 164 Retomamos o exemplo (136). Lá, usando a fórmula de aprox-imação de primeira ordem

f(x) ' f(x0) + f 0(x0)(x� x0) (76)

havíamos obtido p10 = 3:166666: (77)

Para obter este valor tomamos f(x) =px e x0 = 9. Daí

f 0(x) =1

2px

de modo que f(9) = 3; f 0(9) = 1=6 = 0:166666: Levando este valores em (76)após alguns cálculos obtemos (77).

185

Para aplicar (75) calculamos

f 00(x) = � 1

4x32

= � 1

4xpx; x > 0;

de modo quef 00(9) ' �0:009 259:

Então

p10 ' 3 + 0:166666(10� 9) + �0:009 259

2(10� 9)2 = 3:162 0365

O valor real dep10 é

p10 = 3:162 277660168:::

Vemos então que a fórmula de aproximação de segunda ordem fornece umvalor mais próximo de

p10 que a de primeira ordem.

Exemplo 165 Determinamos a fórmula de aproximação de segunda ordemde f(x) = 2:3 ln(1 + 4:5x) em x0 = 0: Temos

f(0) = 2:3 ln 1 = 0

f 0(x) = 2:34:5

1 + 4:5x=

10:35

1 + 4:5x) f 0(0) = 10:35

f 00(x) = � 46:575

(1 + 4:5x)2) f 00(0) = �46:575

de modo que

2:3 ln(1 + 4:5x) ' 10:35x� 46:5752

x2 = 10:35x� 23:2875x2:

Por exemplo, temos

f(0:1) = 2:3 ln(1 + 4:5� 0:1) ' 10:35� 0:1� 23:2875 (0:1)2 = 0:802125:

Exercício 166 Refaça os Exercícios 137, 138, 139 e 140 usando a fórmulade aproximação de segunda ordem.

186

Exercício 167 Comprove que a fórmula de aproximação de segunda ordemcoincide com a própria função na modelagem quadrática

Usando derivadas de ordem superior podemos obter aproximações dequalquer ordem. Para obter uma aproximação de ordem n de uma funçãof(x) em um ponto x0 precisamos conhecer f e as derivadas de f até an�ésima, em x0: Neste texto, vamos nos limitar ao estudo das aproximaçõesde ordem 1 e 2:

Levando este processo de aproximações ao in�nito, ou seja, fazendo comque n cresça inde�nidamente, obtemos o que se chama de Fórmula de Taylorde uma função. A fórmula de Taylor, uma dos resultados mais fundamentaisdo Cálculo Diferencial, não aproxima a função mas a reproduz �elmente. NaSeção 21 faremos uma breve introdução ao estudo deste assunto.

20 O uso das fórmulas de aproximações paraextrapolar valores, bem como para o cál-culo de funções marginais e elasticidade,de funções dadas por tabelas

Suponha que duas grandezasX e Y estejam relacionadas funcionalmenteatravés de uma função f de fórmula desconhecida. Por medições tem-se aseguinte tabela de pares de f :

X Y0 �20:1 1:50:2 2:30:3 30:4 3:50:5 3:90:6 4

(78)

Vimos antes que, como

f 0(x0) = limx!x0

f(x)� f(x0)x� x0

187

temos

f 0(x0) �=f(x1)� f(x0)x1 � x0

(79)

para x1 �= x0: Este fato nos permite, mesmo não conhecendo a função f;fazer uma tabela do que poderia ser, aproximadamente, a derivada de f: Defato: vejamos como seria f 0(0): Usando (79) para x0 = 0

f 0(0) �=f(x1)� f(0)x1 � 0

=f(x1) + 2

x1:

Temos que escolher x1 �= 0 e, além disso, x1 tem que ser um valor quesaibamos calcular f: Diante do que temos ao nosso dispor, só nos sobraescolher x1 = 0:1 de modo que

f 0(0) �=f(0:1) + 2

0:1=1:5 + 2

0:1= 35:

Analogamente, podemos estimar

f 0(0:1) �=f(0:2)� f(0:1)0:2� 0:1 =

2:3� 1:50:1

= 8

f 0(0:2) �=f(0:3)� f(0:2)0:3� 0:2 =

3� 2:30:1

= 7

Observação importante: para o cálculo aproximado da derivada emum ponto xi do meio da tabela podemos tomar como aproximação do ponto ovalor imediatamente anterior a xi, a saber, xi�1; ou imediatamente posterior,qual seja, xi+1: Vamos convencionar de tomar sempre o valor seguinte, xi+1;como o que �zemos nos exemplos anteriores. Com essa convenção jamaispoderemos calcular uma aproximação para a derivada no último valor databela.

Podemos então construir a tabela derivada X � Y 0 da tabela X � Y :X Y 0

0 350:1 80:2 70:3 50:4 40:5 1

(80)

188

Suponhamos agora que queiramos estimar f(0:25); ou seja, que queiramosextrapolar o valor f(0:25) a partir da tabela (78). Para fazer isso de umaforma mais criteriosa podemos utilizar a fórmula de aproximação (65). Defato, tomando x1 = 0:25 e x0 = 0:2 obtemos de (65):

f(0:25) ' f(0:2) + f 0(0:2)� (0:25� 0:2) = f(0:2) + f 0(0:2)� 0:05:

Usando as tabelas X � Y e X � Y 0, obtemos

f(0:25) ' 2:3 + 7� 0:05 = 2:65:

Note que, acima, poderíamos ter escolhido x0 = 0:3 no lugar de 0:2:Contudo a escolha que �zemos, x0 = 0:2; faz mais sentido, pois o ponto quequeremos estimar a função, 0:25; está entre 0:2 e 0:3 (e não entre 0:3 e 0:4):

Exercício 168 Determinar a tabela derivada da tabela26666664X Y

�0:21 12:001:00 11:001:23 16:552:01 15:222:90 16:00

37777775e utilizá-la, usando a fórmula de aproximação, para extrapolar os seguintesvalores de X: 1:11; 2:5

Exercício 169 Da escala de demanda (preço em reais)26666664p D(p)50 2200:0254 2152:7260 2081:7967 1999:0270 1855:99

37777775estimar a quantidade demandada quando os preços do produto forem R$57; 00e R$61; 00:

189

Exercício 170 Em exercicio de lista anterior foi apresentada a seguinte es-cala de custos de uma malharia

Mes Produção (Kg) Custo �xo (Cf ) Custo variável (Cv)Dez 42279; 65 274094:63 1308545; 27Nov 90364:22 274094:63 1754281:58Abr 92624:87 274094:63 1786149:92Jun 93681:58 274094:63 1730288:57Jul 94574:59 274094:63 1646835:15Set 102154:40 274094:63 1675673:97Out 108494:53 274094:63 1833208:39Mar 108888:23 274094:63 1803843:50Maio 115019:20 274094:63 1755052:00

Determinar a tabela derivada de q � C; sendo q a quantidade em quilos e Co custo total. Obter uma estimativa para o custo de produção de 106000Kgde tecido.

Retomemos agora o exemplo da Tabela (78). Para extrapolar valoresdesta tabela usando a fórmula de aproximação de primeira ordem construí-mos a Tabela Derivada X � Y 0 (a tabela (80)), supondo que a grandeza Yestivesse relacionada à grandeza X por uma função f de fórmula descon-hecida.Como X � Y 0 também é uma tabela podemos, agora, usar o mesmo

procedimento que aplicamos anteriormente para calcular a derivada da tabelaX�Y 0; dita Derivada Segunda da Tabela X�Y; denotada por X�Y 00: Antesde calcula-lá, é conveniente observar que o principio que leva ao seu cálculoé o mesmo que leva ao cálculo de X � Y 0: é notar que a derivada segundanada mais é do que a derivada primeira da função derivada, ou seja

f 00(x0) = limx!x0

f 0(x)� f 0(x0)x� x0

daí decorrendo que

f 00(x0) 'f 0(x)� f 0(x0)

x� x0:

Desta forma, usando os dados da tabela X � Y 0 e utilizando o mesmoraciocínio anterior, obtemos:

190

f 00(0:0) =8� 350:1� 0 = �270

f 00(0:1) =7� 8

0:2� 0:1 = �10

f 00(0:2) =5� 7

0:3� 0:2 = �20

f 00(0:3) =4� 5

0:4� 0:3 = �10

f 00(0:3) =1� 4

0:5� 0:4 = �30

o que nos dáX Y 00

0 �2700:1 �100:2 �200:3 �100:4 �30

(81)

Com a tabela da segunda derivada podemos usar a fórmula de aproxi-mação de segunda ordem para f; a saber,

f(x) ' f(x0) + f 0(x0)(x� x0) +f 00(x0)

2(x� x0)2; (82)

para extrapolar, supostamente de forma mais exata, valores de f(x) que nãoestão na tabela.Suponha, como anteriormente, que queremos extrapolar f(0:25): Neste

caso, como já haviamos comentado antes, é mais conveniente tomar x0 = 0:2:Usando as tabelas de X � Y; X � Y 0 e X � Y 00; a fórmula (82) �ca

f(x) ' 2:3 + 7(x� 0:2)� 10(x� 0:2)2

de modo que

f(0:25) ' 2:3 + 7(0:25� 0:2)� 10(0:25� 0:2)2 = 2:625:

Também pode ser interesse estimar o valor da derivada da função emvalores não tabelados (como ocorre na estimativa da demanda marginal a

191

partir de uma escala de demanda). Por exemplo, suponha que queiramosestimar f 0(0:265): Neste caso podemos usar a fórmula de aproximação deprimeira ordem para a função derivada de f ,a saber, f 0. Temos

f 0(x) ' f 0(x0) + f 00(x0)(x� x0):

Tomando x0 = 0:2 obtemos

f 0(0:265) ' f 0(0:2) + f 00(0:2)(0:265� 0:2):

Das tabelas (80) e (81) obtemos f 0(0:2) = 7 e f 00(0:2) = �20; de modoque

f 0(0:265) ' 7� 20(0:265� 0:2) = 5:7:

Exercício 171 Determinas as derivadas segundas das tabelas dos Exercícios168, 169 e 170 e a fórmula de aproximação de segunda ordem para obternovas estimativas dos valores pedidos nestes exercícios.

Vamos agora ver como podemos estimar funções marginais e elasticidadede funções dadas por tabelas. Faremos isto através de exemplos.Veri�ca-se que o preço em reais de cada unidade de um produto está as-

sociado à quantidade vendida de unidades deste produto conforme a seguintetabela: 2664

q p2300 1232700 1103000 105

3775Vamos estimar o preço marginal referente a quantidade q = 2700: Temos,por de�nição de função marginal,

pmg(2700) = p0(2700):

Poderíamos então determinar a derivada da tabela. Mas como queremosapenas o valor da quantidade marginal correspondente ao preço de 2700;calculamos a derivada apenas para este valor:

p0(2700) ' p(3000)� p(2700)3000� 2700 =

105� 110300

' �0:0166:

Lembrando quepma(2700) ' pmg(2700) = �0:0166

192

e quepma(2700) = p(2701)� p(2700)

concluímos que para vender uma unidade a mais do produto, quando 2700unidades já foram vendidas, o preço deve baixar algo em torno de R$0:0166:

Exercício 172 Determine, usando a tabela de custos (170), o custo totalmarginal relativo à produção de 91000Kg e 103154:40Kg de tecidos, respec-tivamente.

Considere a escala de demanda266664p q = D(p)3:56 4554:50 4015:67 3807:04 320

377775A tabela derivada é exatamente a tabela da demanda marginal p�D0(p) =p�Dmg(p) que é, aproximadamente2664

p Dmg(p)3:56 �57:444:50 �17:945:67 �43:79

3775A tabela da derivada segunda da demanda é a tabela derivada da demandamarginal: 24 p D0

mg(p)3:56 �17:94+57:44

4:5�3:56 = 42:021

4:50 �43:79+17:945:67�4:5 = �22:094

35Assim, por exemplo,

Dmg(4:90) ' D0mg(4:50)(4:9� 4:5) +Dmg(4:5)

' �22:094(4:9� 4:5)� 17:94 ' �26:77:

Podemos também determinar a elasticidade demanda-preço ao preço de 4:50:De fato: temos

e(p) =pD0(p)

D(p)

193

de modo que

e (4:50) =4:50D0(4:50)

D(4:50)=4:50��17:94

401' �0:201 3:

Um pouco mais difícil, mas possível, é estimar o valor de elasticidadedemanda-preço para p = 4:9: Temos

e(4:9) =4:9D0(4:9)

D(4:9)=4:9Dmg(4:9)

D(4:9):

Já temos Dmg(4:8) = �26:77: Para estimar D(4:9) vamos usar a fórmula deaproximação de segunda ordem

D(4:9) = D(4:5) +D0(4:5)(4:9� 4:5) + D00(4:9)

2(4:9� 4:5)2

= 401� 17:94(4:9� 4:5)� 26:772(4:9� 4:5)2 = 391:68:

Daíe(4:9) =

4:9��26:77391:68

= �0:33490:

Exercício 173 Suponha que a tabela a seguir seja uma escala de custosC(q): 2664

q C35 46446 46783 475

3775a) Determine a tabela da primeira derivada q � C 0 de q � Cb) Usando a fórmula de aproximação de primeira ordem

C(q) ' C(q0) + C 0(q0)(q � q0)

com centro q0 = 46 obtenha um modelo linear para o custo.c) Use este modelo para extrapolar o valor do custo correspondente a

q = 55d) Usando a fórmula que Voce obteve em b) e supondo que a demanda

seja modelada por D(p) = �0:34p2 + 25:4p + 10 obtenha o preço que produzmaior lucro.

194

Exercício 174 Suponha que a tabela a seguir seja uma escala de demandaq = D(p):

p q5:6 98:456:2 97:007:1 91:408:0 82:20

a) Determine as tabelas da primeira e segunda derivadas de p� q (p� q0e p� q00)b) Usando a fórmula de aproximação de segunda ordem

D(p) ' D(p0) +D0(p0)(p� p0) +D00(p0)

2(p� p0)2

com centro p0 = 6:2 obtenha um modelo quadrático para a demanda e useeste modelo para extrapolar D(6:7)c) Usando a fórmula que Voce obteve em b) determine uma fórmula para

a receita e o preço que produz maior receitad) Construa uma tabela 3 � 2 elasticidade demanda preço p � e(p) com

p = 5:6; 6:2, 7:1

Exercício 175 Suponha que a tabela abaixo seja uma escala de demanda:266664p D(p)1:5 246:073:6 230:565:8 192:287:1 159:00

377775(a1) Admitindo o erro de 0:8 para cima ou para baixo e utilizando o

critério de modelagem quadrática, comprove que a tabela abaixo é modelávelpor uma função quadrática (utilize 5 decimais após a vírgula por trunca-mento)(a2) Obtenha uma função quadrática que modele a tabela utilizando o que

Voce aprendeu na modelagem de tabelas(b1) Determine a primeira e a segunda derivadas da tabela(b2) Usando a fórmula de aproximação de segunda ordem para D(p) com

centro em 3:6 obtenha uma segunda função quadrática modeladora da tabela

195

(c) Usando a modelagem encontrada em (b2) determine o viés da RE-CEITA ao preço p = 4(d) Usando qualquer um dos modelos acima, diga se a função demanda é

côncava ou convexa, faça um esboço do seu grá�co no intervalo de interesse,e interprete economicamente a convexidade/concavidade. Faça simulaçõesque comprovem suas conclusões.

196

21 Fórmula de Taylor.

Encerramos esta notas de aula de Cálculo Diferencial apresentando umextraordinário resultado matemático que contem e expande muito do queestudamos neste curso sobre o Cálculo Diferencial: a Fórmula de Taylor.

Veremos agora que as derivadas de ordem superior podem ser utilizadasna obtenção de fórmulas analíticas para uma ampla classe de funções nãoaritméticas, que inclui todas as elementares, estudadas no EM, assim comode funções dadas por expressões envolvendo as funções elementares (tal comof(x) = x lnx+ex): Estas fórmulas, além de possibilitarem a avaliação aproxi-mada destas funções em pontos genéricos do seus domínios, tem uma ampla emuito mais importante gama de aplicações tanto na Matemática Pura quantona Matemática Aplicada.

As fórmulas a que nos referimos são �fórmulas polinomiais de grau in-�nito�. Embora este assunto possa soar ao o estudante como algo inteira-mente novo, nem sequer mencionado no EM, isto não é verdade a rigor:fórmulas polinomiais de grau in�nito aparecem no estudo das progressõesgeométricas, mais precisamente, na fórmula da soma dos in�nitos termos deuma PG. O que ocorre é que os professores não mencionam, e muito menosexploram, o que existe por trás desta conhecida fórmula. Vamos relembrá-laem detalhes pois é ela que motiva toda a construção que faremos na sequên-cia.

Sendo x um número real, a sequência 1; x; x2; x3::: é uma PG in�nita derazão x: Representamos por S a soma dos in�nitos termos desta PG, ou seja

S = 1 + x+ x2 + x3 + :::

Dado n 2 N; denotamos por Sn a soma dos n primeiros termos desta PG,ou seja:

S1 = 1

S2 = 1 + x

S3 = 1 + x+ x2

...

Sn = 1 + x+ x2 + � � �+ xn�1:

197

Em princípio, para determinar Sn; temos que realizar n operações deadição. Contudo, é bem conhecida uma �fórmula fechada�para Sn; a saber:

Sn =1� xn1� x :

Notemos agora que se x é um número entre �1 e 1; �1 < x < 1; entãoxn tende a zero quando n!1: Por exemplo, se x = 1=2 então xn = 1=2n eé evidente que

limn!1

1

2n= 0:

De um modo geral se �1 < x < 1 podemos escrever limn!1 xn = 0: Segue

que

S = limn!1

Sn = limn!1

1� xn1� x =

1� 01� x =

1

1� x:

Olhando sob um outro ângulo, podemos dizer que a função

f(x) =1

1� x; (83)

para x 2 (�1; 1) admite a fórmula polinomial in�nita

f(x) = 1 + x+ x2 + x3 + :::: (84)

que pode ser escrita de forma mais precisa usando a notação � de somatório:

f(x) =1Xn=0

xn:

Uma das utilidades de uma fórmula, como a (84), na representação deuma função numérica, consiste no uso dos truncamentos da fórmula, poisestes fornecem valores aproximados da função para um dado valor escolhidoda variável independente.

Vejamos o caso da (84).

198

Neste caso, os truncamentos de ordem 1; 2; 3; :::; n são:

p1(x) = 1

p2(x) = 1 + x

p3(x) = 1 + x+ x2

...

pn(x) = 1 + x+ :::+ xn�1:

Ou seja, o truncamento de ordem n é a função polinomial dada pela somadas n primeiras parcelas da soma in�nita.

Observemos que os primeiro e segundo truncamentos de f nada mais sãodo que as fórmula de aproximação de primeira e segunda ordem de f parax0 = 0:

f(x) ' f(0) + f 0(0)x

f(x) ' f(0) + f 0(0)x+ f00(0)

2x2:

De fato, temos

f(0) =1

1� 0 = 1

f 0(x) =1

(x� 1)2) f 0(0) = 1

f 00(x) = � 2

(x� 1)3) f 00(0) = 2:

Os truncamentos dão valores aproximados do valor da função em um dadoponto do seu domínio, sendo estes valores tão mais próximos do valor realda função quanto maior for a ordem do truncamento. Vejamos isto no casoda função f(x) dada por (83). Tomando x = 1=2; temos, usando (83):

f

�1

2

�=

1

1� 12

= 2:

199

Usando os truncamentos:

p1

�1

2

�= 1

p2

�1

2

�= 1; 5

p3

�1

2

�= 1; 75

p4

�1

2

�= 1; 875

p5

�1

2

�= 1; 90625

...

o que con�rma o que dissemos.

Exemplo 176 Podemos utilizar a fórmula

1

1� x = 1 + x+ x2 + :::+ xn + :::; jxj < 1 (85)

para obter uma fórmula através de um polinômio in�nito de qualquer funçãoaritmética. Ilustremos isto através de alguns exemplos.Temos

x

1 + 3x2= x

1

1� (�3x2) :

Portanto, se ��3x2�� < 1podemos usar a fórmula (85) com �3x2 no lugar de x para obter

x

1 + 3x2= x

�1� 3x2 + 9x4 � 27x6 + :::+ (�1)n3nx2n + :::

�= x� 3x3 + 9x5 � 27x7 + :::+ (�1)n3nx2n+1 + :::

Utilizando o símbolo de somatório

x

1 + 3x2=

1Xn=0

(�1)n3nx2n+1:

200

Os truncamentos são

p1(x) = x

p2(x) = x� 3x3

p3(x) = x� 3x3 + 9x5

p4(x) = x� 3x3 + 9x5 � 27x2...

que podem ser utilizados para obter aproximações da função

f(x) =x

1 + 3x2

em valores do seu domínio sem que para isso precisemos usar esta últimafórmula.

É claro que para o caso de uma função aritmética, a utilização de fórmulasenvolvendo somas com in�nitas parcelas para avaliar aproximadamente ovalor da função em um dado ponto, como no caso da função (83), não fazmuito sentido, pois para elas podemos calcular este valor diretamente atravésda própria de�nição da função. Contudo, no caso das funções não aritméticas,como as funções exponenciais, logarítmicas, função raíz quadrada, raíz cúbicaetc uma tal fórmula certamente seria importante.

Isto leva à seguinte importante questão:

Dada uma função numérica y = f(x); é possível representar f (x) poruma fórmula polinomial in�nita, ou seja, existem a0; a1; a2; ::: tais que

f(x) = a0 + a1x+ a2x2 + a3x

3 + ::::?

Acabamos de ver acima que isto é possível para a função f(x) = 1=(1�x)com �1 < x < 1 e tendo-se 1 = a0 = a1 = a2 = ::::No caso da função f(x) = x=(1+x2) vimos que também é possível, sendo

o coe�ciente genérico an dado pela fórmula an = (�1)n3n:

Na verdade, tem-se interesse em resolver a seguinte questão mais geral:

201

Dada uma função numérica y = f(x) e dado a 2 R; é possível representarf (x) por uma fórmula polinomial in�nita centrada em a, ou seja, existema0; a1; a2; ::: tais que

f(x) = a0 + a1 (x� x0) + a2 (x� x0)2 + a3 (x� x0)3 + :::?

A questão fundamental é: como encontramos, se é que existem, os valoresx0; a0; a1; a2 etc?

Podemos responder parte desta questão facilmente observando algunsfatos simples.

Primeiro, que a0 = f(x0): Agora, realizando de uma derivação formal(usamos o termo �formal�pois a fórmula que apresentamos para a derivadade uma soma se aplica apenas a somas envolvendo um número �nito deparcelas) em ambos os lados da igualdade

f(x) = a0 + a1 (x� x0) + a2 (x� x0)2 + a3 (x� x0)3 + :::

obtemos

f 0(x) = a1 + 2a2(x� x0) + 3a3(x� x0)2 + :::Atribuindo a x o valor x0 vemos que a1 = f 0(x0): Derivando ambos os ladosda igualdade anterior, encontramos

f 00(x) = 2a2 + 2:3a3(x� x0) + 3:4a4(x� x0)2 + :::de modo que f 00(x0) = 2a2; ou seja a2 = f 00(x0)=2: Derivando novamente

f 000(x) = 2:3a3 + 2:3:4a4(x� x0) + ::::obtemos a3 = f 000(x0)=(2:3): Procedendo da mesma forma sucessivamente,encontramos

a4 =f (4)(x0)

2:3:4; a5 =

f (5)(x0)

2:3:4:5; � � � ; an =

f (n)(x0)

n!; � � �

Isto conduz ao seguinte extraordinário resultado matemático:

202

Teorema. Para uma ampla classe de funções f(x) (que inclui todasas elementares bem como as mais diversas expressões envolvendo funçõeselementares, e tambem muitas outras funções não estudadas no EM), se x0está no domínio de f(x) então f(x) admite a fórmula polinomial in�nita

f(x) = a0 + a1(x� x0) + a2(x� x0)2 + a3(x� x0)3 + :::; (86)

sendo

a0 = f(x0)

a1 = f0(x0)

a2 =f 00(x0)

2

a3 =f 000(x0)

6

a4 =f (4)(x0)

24(87)

a5 =f (5)(x0)

120...

an =f (n)(x0)

n!...

(esta fórmula é válida para todo x em um intervalo contendo x0; dito intervalode convergência de f . Existem várias formas de se determinar ou ao menosestimar este intervalo, mas não veremos isto aqui).

A fórmula (86) é dita fórmula de Taylor de f: O signi�cado desta fórmulaé o seguinte: dado x; a diferença, em módulo, entre f(x) e o truncado deordem n do polinômio de grau in�nito que aparece no membro direito de(86), a saber,

pn(x) = a0 + a1(x� x0) + a2(x� x0)2 + � � �+ an(x� x0)n

torna-se arbitrária e inde�nidamente pequena quando n vai para in�nito.

203

De um ponto de vista mais prático, torna-se uma questão puramentemecânica, uma vez saibamos as regras de derivação (soma, produto, quo-ciente, cadeia) e as fórmulas de derivação das funções elementares, a deter-minação dos truncamentos de qualquer ordem previamente dada (vamos nosater aqui a ordem 5 no máximo) da fórmula polinomial in�nita de uma dadafunção.

Relembramos agora um fato que já havíamos observado anteriormente,a saber, que um dos grandes entraves no uso mais efetivo das funções nãoaritméticas (tais como as funções logaritmo, exponencial, função raíz etc) é oda di�culdade da avaliação (mesmo aproximada), destas funções, em valoresgenéricos da variável independente.

Uma das utilidades da fórmula de Taylor é a de fornecer uma tal aproxi-mação. Com esta �nalidade, dada f(x); procuramos um valor x0 que sabe-mos calcular com facilidade os valores de f(x0) e de suas derivadas. Vamosnos ater neste �nal a ilustrar esta aplicação; contudo, é importante que semencione que a maior importância da Fórmula de Taylor ocorre em out-ros contextos mais avançados da Matemática, por exemplo, no estudo doimportante assunto das Equações Diferenciais.

Um exemplo elementar e de ocorrência comum onde já ocorre uma di�-culdade de avaliação de uma função é o dá extração da raíz quadrada de umdado número positivo, ou seja, o da avaliação da função raíz quadrada. Eramuito popular e tradicionalmente ensinado no EF, há uns anos atrás, umalgoritmo de extração da raíz quadrada que fornece valores aproximados daraíz (baseado nos quadrados perfeitos, veja

http ://pt.w ik ip ed ia .org/w ik i/A lgoritm o_para_extra%C3%A7%C3%A3o_da_raiz_quadrada).

Qualquer livro mais antigo deMatemática do EM vai ter, em seu apêndice,tabelas de avaliação das mais diversas funções elementares. Com o adventodas máquinas calculadoras tanto estas tabelas como os algoritmos do cálculoda raízes tornaram-se obsoletos.

Vejamos um exemplo: f(x) =px: Escolhemos agora um valor para x0

que sabemos calcular f e suas derivadas. A primeira vista podemos querertomar x0 = 0: Mas esta não é uma boa escolha pois f 0(x) = 1=(2

px) que

não pode ser calculada em 0: Escolhemos então x0 = 1. Entãopx = a0 + a1 (x� 1) + a2 (x� 1)2 + a3 (x� 1)3 + :::

204

Usamos (87) para o cálculo dos a0ns: Temos

a0 = f(1) =p1 = 1:

f 0(x) =1

2px; a1 = f

0(1) =1

2p1=1

2

f 00(x) = � 1

4 (x)32

; a2 =f 00(1)

2= �1

8

f 000(x) =3

8 (x)52

; a3 =f 000(1)

6=1

16

f 0000(x) = � 15

16 (x)72

; a4 =f 0000(1)

24= � 15

16� 24 = �5

128

Podemos assim escrever

px = 1 +

x� 12

� (x� 1)2

8+(x� 1)3

16� 5 (x� 1)

4

128+ ::: (88)

Assim, se quisermos estimarp0:5, utilizando um truncamento de ordem 5:

p0:5 �= 1�

0:5

2� (�0:5)

2

8+(�0:5)3

16� (�0:5)

4

128�= 0:71045:

É conhecido quep0:5 = 0:70711::::

Uma função muito importante em Economia, para a qual é fácil de deter-minar uma fórmula polinomial in�nita, é a função exponencial ex: De fato,

205

como suas derivadas são todas iguais a ex, escolhendo x = 0 obtemos:

a0 = e0 = 1

a1 = e0 = 1

a2 =e0

2=1

2

a3 =e0

6=1

6

a4 =e0

24=1

24...

an =e0

n!=1

n!...

o que nos dá:

ex = 1 + x+x2

2+x3

6+x4

24+x5

120+ :::+

xn

n!+ :::

Em particular, para x = 1; obtemos uma outra fórmula para o cálculo de e:

e = 1 + 1 +1

2+1

6+1

24+

1

120+ :::+

1

n!+ ::: (89)

bem distinta da conhecida fórmula

e = limn!1

�1 +

1

n

�n:

Observamos que as idéias e conteúdos acima apresentados dão uma visãoincomparavelmente mais abrangente e uni�cadora que a vista no EM, dasfunções numéricas. Por exemplo, ela mostra que todas as funções que o estu-dante conhece nada mais são do que casos particulares de funções polinomiaisin�nitas.

Exercício 177 Obtenha as expressões até a ordem 4 das fórmulas de Taylordas funções dadas:a) x lnx (a = 1); b) (1 + x2)ex (a = 0); c) ex ln(1 + x) (a = 0)Utilizando truncamentos de ordem 4 das funções acima obtenha valores

aproximados de 1:01 ln 1:01; 1:01e0:1 = (1 + 0:12) e0:1; e�0:01 ln 0:99

206

Exercício 178 Obtenha um valor aproximado de e usando um truncamentode ordem 7 de (89).

Talvez o mais interessante das idéias apresentadas acima, no caso destecurso, é a aplicação das mesmas no modelamento matemático de tabelasfuncionais.

Suponha que tenhamos uma escala de demanda P�D obtida por medidasde campo, sendo desconhecida uma fórmula para a função demanda q =D(p):

p D(p)10 34012 32015 30016 28820 210

Vimos como determinar a tabela derivada P �D0:

p D0(p)10 320�340

12�10 = �1012 300�320

15�12 = �203

15 288�30016�15 = �12

16 210�28820�16 = �39

2

Esta tabela nos diz que D0(10) �= �10: Com isso conseguimos já um primeiromodelamento para a função demanda D(p); usando a fórmula de Taylor comx0 = 10 e tomando o truncamento de ordem 2:

D(p) �= 340� 10(p� 10):

Podemos agora derivar a tabela p � D0 para obter a tabela derivadasegunda p�D00: A forma de determinar p�D00 é totalmente similar a utilizadapara deteminar p�D0 a partir da p�D, qual seja:

p D00(p)

10�203�(�10)12�10 = 5

3

12�12�(�203 )15�12 = �16

9

15� 39

2�(�12)16�15 = �15

2

207

Agora temos D00(10) �= 53: Com isso conseguimos, usando novamente a fór-

mula de Taylor, uma nova aproximação para D(p) através do truncamentode terceira ordem; agora a quadrática:

D(p) �= 340� 10(p� 10) +5

2� 3(p� 10)2

= 340� 10(p� 10) + 56(p� 10)2:

Podemos derivar novamente para então obter a tabela derivada de ordem3:

p D000(p)

10� 16

9� 53

12�10 = �3118

12� 16

9� 53

15�12 = �169

e obter assim uma aproximação cúbica para D(p)

D(p) �= 340� 10(p� 10) +5

6(p� 10)2 � 31

6� 18(p� 10)3

= 340� 10(p� 10) + 56(p� 10)2 � 31

108(p� 10)3

e, por último, a tabela derivada quarta:

p D0000(p)

10� 16

9�(� 31

18)12�10 = � 1

36

que nos dá a última aproximação polinomial

D(p) �= 340� 10(p� 10) +5

6(p� 10)2 � 31

108(p� 10)3 � 1

24� 36(p� 10)4

= 340� 10(p� 10) + 56(p� 10)2 � 31

108(p� 10)3 � 1

864(p� 10)4:

Exercício 179 Obtenha as tabelas derivadas das tabelas dadas e os corre-spondentes modelamentos matemáticos polinomiais, como exempli�cado acima.

X Y0 01 12 43 94 16

Z W�1 �10 01 12 83 27

208

Construção de polinômios de Taylor para uma tabela de medições:caso geral.

(Aplicação da fórmula de Taylor em Economia Matemática avançada:http://ideas.repec.org/p/�p/fedfwp/2006-01.html)

Quer-se modelar uma tabela funcional

X Yx1 y1x2 y2...

...xn yn

por uma função do tipo

f(x) = a0 + a1(x� x1) + a2(x� x1)2 + :::+ ak(x� x1)k

para um 1 � k � n qualquer dado.

Para isso, primeiro calculamos as taxas de variação de Y; obtendo a tabelaX � Y (1); a seguir calculamos as taxas de variação de Y (1); obtendo a tabelaX � Y (2); e assim por diante. Cada tabela tem uma linha a menos que aanterior: 2666664

X Yx1 y1x2 y2...

...xn yn

3777775

2666664X Y (1)

x1 z1 =y2�y1x2�x1

x2 z2 =y3�y2x3�x2

......

xn�1 zn�1

3777775

2666664X Y (2)

x1 w1 =z2�z1x2�x1

x2 w2 =z3�z2x3�x2

......

xn�2 wn�2

3777775 � � �

Interpretamos X � Y (1) como uma aproximação da tabela da primeiraderivada de f; X�Y (2) como uma aproximação da tabela da segunda derivadaetc. Com isso, os coe�cientes an da série de Taylor de f são então

a0 = f(x1); a1 = z1 = f0(x1); a2 =

f 00(x1)

2=w12; a3 =

f 000(x1)

3!=u13!etc

209

Continuidade de uma função numérica

Dito de maneira intuitiva, uma função numérica y = f(x) é contínua emum ponto x0 do seu domínio quando, atribuindo à variável independente xvalores próximos de x0 obtem-se para variável dependente y valores próximosde f(x0): Se f não é contínua em x0 então dizemos que f é descontínua emx0:Uma função é dita contínua se for contínua em todos os pontos do seu

domínio.

Talvez a melhor maneira de entender a continuidade seja observando ex-emplos de funções que não são contínuas. Na Matemática Elementar (EMe início da graduação, digamos assim), funções descontínuas aparecem fre-quentemente nas funções dadas por fórmulas de validade parcial (ou seja,a função tem fórmulas diferentes em diferentes partes do seu domínio), taiscomo as funções aritméticas por partes. De fato, um exemplo de função de-scontínua é a dada no Exemplo 8. Esta função não é contínua nos pontos1; 2; 3 etc. Observando o grá�co o fenômeno da descontinuidade �ca nesteexemplo mais aparente:

0 1 2 3 4400

402

404

406

408

410

412

x

y

Prova-se em Matemática que toda função aritmética (que não por partes)é uma função contínua.

210

Documents

Notas de Aula MAT0124