View
17
Download
5
Category
Preview:
DESCRIPTION
Notas_Optimizacion_Dinamica_2015
Citation preview
Macroeconomade Precios y Cantidades
Danilo Trupkin
Maestra en Economa
Universidad de Buenos Aires, 2015
Optimizacion Dinamica
en Macroeconoma
Introduccion
Un problema de optimizacion dinamica
Tomemos un consumidor que decide su corriente de consumo para Tperodos, con preferencias representadas por:
U(c0, c1, ..., cT ) =T
t=0
tu(ct)
U() es la utilidad total a lo largo del horizonte de planificacion. u() es la utilidad periodica o instantanea (asumida estacionaria). El factor de descuento 0 < < 1 se asume constante, y muestra el
peso intertemporal de cada consumo en la utilidad total.
Nos concentraremos por ahora en un horizonte finito; luego, veremosel caso de horizonte infinito (T ).
ceceResaltado
ceceNota adhesivaTiempo finito.
ceceResaltado
ceceResaltado
ceceResaltado
ceceResaltado
ceceNota adhesivaO sea que cada perodo da la misma utilidad?
Introduccion
Metodos de solucion
Estudiaremos 2 metodos alternativos para resolver problemas deoptimizacion dinamica (en tiempo discreto):
1. Metodo Secuencial (ej., Lagrange, Kuhn-Tucker): se eligen lassecuencias optimas de las variables endogenas del problema.
2. Metodo Recursivo (ej., programacion dinamica): se hallanecuaciones funcionales que describen decisiones optimas, y que serepiten perodo a perodo.
Comenzaremos con la metodologa secuencial. Mas adelanteveremos metodos recursivos, especialmente aplicados a modelosestocasticos.
ceceResaltado
ceceResaltado
ceceResaltado
ceceResaltado
ceceResaltado
Introduccion
Modelo de crecimiento optimo
Consideremos el modelo neoclasico de crecimiento en tiempo finito,en terminos del planificador social :
max{ct ,kt+1}Tt=0
Tt=0
tu(ct)
sujeto a ct + kt+1 f (kt) F (kt , n) + (1 )kt
ct 0, kt+1 0 t = 0, ...,T ; k0 dado.
donde
c: consumo
k: stock de capital fsico
f (k): ingreso como funcion de la acumulacion de capital
F (k, n): tecnologa, como funcion del capital (k) y el trabajo (n)
: tasa de depreciacion del capital (constante)
ceceResaltado
ceceNota adhesivaSi consumo todo hoy, entonces no puedo dejar capital para maana, y por ende no genero ingresos (mi sendero de consumo termina en el primer ao).
Introduccion
Supuestos
F es continuamente diferenciable, estrictamente creciente,homogenea de grado 1, estrictamente cuasiconcava, y cumple con:
F (0, n) = 0
limk0
Fk (k, n) = , limk
Fk (k , n) = 0; para n 6= 0.
f es continuamente diferenciable, estrictamente creciente,estrictamente concava, y cumple con:
f (0) = 0
limk0
f (k) = , limk
f (k) = 1
u es estrictamente creciente, con limc0 u(c) =. La restriccion de recursos estara siempre binding y ct = 0 nunca
sera optimo.
ceceNota adhesivaCondiciones de Inada.Refleja productividad marginal decreciente de la tecnologa?
ceceNota adhesivaEl capital es determinante para que haya ingresos?
ceceResaltado
ceceNota adhesivaf sera la productividad del capital.
ceceResaltado
ceceNota adhesivaBinding=activa?
Introduccion
Resolucion por Kuhn-Tucker
Construimos el Lagrangeano:
L =T
t=0
t{u(ct) + t [f (kt) ct kt+1] + tkt+1}
donde
t : multiplicador de la restriccion presupuestaria
t : multiplicador de la restriccion de no-negatividad del capital
Introduccion
Resolucion por Kuhn-Tucker
Las condiciones necesarias para un maximo son:
Lct = t [u(ct) t ] = 0 (1)
Lkt+1 = t [t + t ] + t+1t+1f (kt+1) = 0, t < T (2)
LkT +1 = T [T + T ] = 0, t = T (3)
Lt = ct + kt+1 f (kt) = 0 (4)
kt+1 0, t 0 (5)
tkt+1 = 0 (6)
Introduccion
La Condicion de Transversalidad
Sustituyendo (1) en (2), y reordenando, encontramos
u(ct) t = u(ct+1)f (kt+1), t < T (7)
Utilizando nuevamente (1), y dado que u(c) > 0 para todo c , de(3) tenemos que
u(cT ) = T = T > 0
Luego, la condicion complementaria de holgura (6), para t = T ,implica
kT +1 = 0
Esta condicion se la llama Condicion de Transversalidad, i.e. lacondicion terminal de nuestro problema de optimizacion.
Introduccion
La Ecuacion de Euler
Sabemos que ct > 0 t, y f (0) = 0. Luego, de la restriccion de recursos debe cumplirse que kt+1 > 0
para t < T , lo que implica que t = 0 para t < T .
Dado lo anterior, podemos reescribir (7) de la siguiente manera:
u(ct) = u(ct+1)f (kt+1), t < T (8)
Esta es la Ecuacion de Euler, clave para explicar el comportamientointertemporal.
El lado izquierdo es el costo marginal del ahorro. El lado derecho es su beneficio marginal descontado, compuesto por:
1. la utilidad por unidad adicional de consumo futuro: u(ct+1).
2. el retorno futuro por unidad invertida: f (kt+1).
Introduccion
Resumen de la solucion
La solucion a nuestro problema de crecimiento puede describirse atraves de las siguientes condiciones necesarias (y suficientes):
1. Restriccion de recursos
2. Condicion inicial: k0 > 0 dado
3. Condicion de Transversalidad: kT +1 = 0
4. Ecuacion de Euler
Si introducimos la restriccion de recursos en la ecuacion de Euler,
u(f (kt) kt+1) = u(f (kt+1) kt+2)f (kt+1), t = 0, ...,T 1,
tendremos como solucion un sistema de T ecuaciones de Euler, 1condicion inicial, y 1 condicion terminal, para determinar unasecuencia de T + 2 valores de k .
Si u y f son concavas, habra solucion unica (ej., u logartmica y fCobb-Douglas).
Introduccion
Modelo con horizonte de planificacion infinito
En general, se formulan modelos con horizonte infinito debido a Altruismo: los individuos se interesan por sus herederos, pudiendose
interpretar cada t como el peso asignado a la t-esima familia.
Simplicidad tecnica: los modelos de horizonte infinito sonestacionarios por naturaleza.
Con horizonte infinito, solo cambia la condicion de transversalidad,que pasa a ser:
limt
tu(ct)kt = 0
No puede ser optima una secuencia para el capital, tal que su valorpresente fuera positivo por siempre.
Introduccion
Equilibrio Competitivo
Hasta aqu hemos analizado el problema del planificador social.
Nos preguntamos ahora, que estructura de mercado, o mecanismode asignaciones, podra resolver el problema descentralizado?
Para ello, veremos un modelo con equilibrio competitivo, donde lasfamilias (dinastas) planifican con horizonte infinito.
Asumiremos familias identicas sin capacidad para influir sobre losprecios Agente Representativo.
Introduccion
Overview del modelo
Tanto el capital como el trabajo son propiedad de las familias. La tecnologa es propiedad de las firmas. Decision de las familias cantidad ofrecida de factores y cantidad
demandada de bienes de consumo.
Decision de las firmas volumen de produccion y demanda defactores.
Luego, un Equilibrio Competitivo es un vector de precios ycantidades que satisfacen la consistencia agregada, i.e. losmercados se vacan:
1. Las familias eligen las cantidades que maximizan su utilidad, dadoslos precios y su riqueza.
2. Las firmas maximizan sus beneficios, dados los precios.
3. El conjunto de eleccion de las cantidades es feasible(factible).
Introduccion
Intercambios al Momento 0 Vs. Secuencial
Dado que queremos formular el equilibrio para un modelo dinamico,debemos especificar como ocurriran las transacciones en el tiempo.
Cuestion central: definir el conjunto de commodities involucradas enlas transacciones, para cada punto del tiempo.
1. Una forma directa de extender el concepto de equilibrio estatico a suversion dinamica es hacer que los bienes sean fechados (c0, c1, ...),como si hubiera una secuencia infinita de commodities.
Arreglo economico a` la Arrow-Debreu: todas las transaccionesocurren al momento 0, de una vez y para siempre.
2. Alternativamente, se pueden introducir activos de forma de permitirtransacciones secuenciales.
Equilibrio con Intercambio Secuencial.
Introduccion
Equilibrio con Intercambios al Momento 0
Se dota al consumidor con una unidad de tiempo para cada t, con0 nt 1.
Tanto u como F son las definidas antes. En cada periodo, el consumidor alquila el capital a las firmas a
cambio de un retorno rt .
En cada periodo, el consumidor alquila los servicios de su trabajo ala firma a cambio de un salario wt .
1. Definimos como pt al precio del bien de consumo para cada t.
2. Definimos como ptrt al precio de los servicios del capital, en terminosde consumo.
3. Definimos como ptwt al precio de los servicios del trabajo, enterminos de consumo.
Definicion 1: Un equilibrio competitivo es un set de secuencias de:
Precios: {pt }t=0,{rt }t=0,{wt }t=0, yCantidades: {ct }t=0,{kt+1}t=0,{nt }t=0tales que
Introduccion
Definicion de Equilibrio Competitivo
1. {ct }t=0,{kt+1}t=0,{nt }t=0 resuelven el problema del consumidor:
{ct , kt+1, nt }t=0 = arg max{ct ,kt+1,nt}t=0
{ t=0
tu(ct)
}
sujeto a
t=0
pt [ct + kt+1] =
t=0
pt [rt kt + (1 )kt + wt nt ]
ct 0, kt+1 0 t; k0 dado.
Notemos que, en tanto wt > 0, luego nt = 1 t.
Introduccion
Definicion de Equilibrio Competitivo
2. {kt }t=0,{nt }t=0 resuelven el problema de la firma:
t : (kt , 1) = arg maxkt ,nt{pt F (kt , nt) pt rt kt pt wt nt}
Notemos que la firma resuelve un problema estatico. Toda la dinamica del modelo viene de la acumulacion del capital por
parte del consumidor.
Esta condicion tambien puede escribirse como
t : (rt ,wt ) satisfacen:rt = Fk (k
t , 1)
wt = Fn(kt , 1)
Introduccion
Definicion de Equilibrio Competitivo
3. Feasibility (Equilibrio de Mercado):
ct + kt+1 = F (k
t , 1) + (1 )kt
Introduccion
Caracterizacion del equilibrio
De las condiciones de primer orden para el consumo,
[ct ] : tu(ct ) = p
t
[ct+1] : t+1u(ct+1) = p
t+1
En consecuencia,pt
pt+1=
u(ct )u(ct+1)
(9)
Por otro lado,
[kt+1] : pt =
pt+1[rt+1 + 1 ]
Luego,pt
pt+1= rt+1 + 1 (10)
Introduccion
Caracterizacion del equilibrio
Si sustituimos por el precio de los servicios del capital que surge delproblema de las firmas, la ecuacion (10) queda
ptpt+1
= Fk (kt+1, 1) + 1 (11)
Combinando las condiciones (9) y (11), obtenemos finalmente laEcuacion de Euler hallada en el problema del planificador:
u(ct ) = u(ct+1)[Fk (k
t+1, 1) + 1 ].
Esto muestra que el equilibrio competitivo es Pareto optimo, dadoque satisface el problema del planificador (Primer Teorema delBienestar).
Introduccion
Equilibrio con Intercambio Secuencial
En este mecanismo de asignaciones, se introduce el mercado deactivos.
Denotamos como at al monto de prestamos, por un periodo, almomento t.
Y denotamos los precios de la siguiente manera:
1. El precio de los servicios del capital en t: rt .
2. El precio del trabajo: wt .
3. El retorno sobre los prestamos: ra,t .
Definicion 2: Un equilibrio competitivo es una secuencia
{rt , ra,t ,wt , ct , kt+1, nt , at+1}t=0tal que:
Introduccion
Definicion de Equilibrio Competitivo
1. {ct , kt+1, nt , at+1}t=0 resuelve el problema del consumidor:
{ct , kt+1, nt , at+1}t=0 = arg max{ct ,kt+1,nt ,at+1}t=0
{ t=0
tu(ct)
}
sujeto a ct + kt+1 + at+1 = rt kt + w
t nt + at(1 + r
a,t) + (1 )kt
k0 > 0, a0 = 0 dados.
NPG condition : limt at+1
[ t=0
(1 + ra,t)
]1= 0.
Introduccion
Definicion de Equilibrio Competitivo
2. {kt , nt }t=0 resuelve el problema de la firma:
t : (kt , 1) = arg maxkt ,nt{F (kt , nt) rt kt wt nt}
Introduccion
Definicion de Equilibrio Competitivo
3. Feasibility
Equilibrio en el mercado de bienes:
ct + kt+1 = F (k
t , 1) + (1 )kt , para todo t
O bien, equilibrio en el mercado de activos (recordar Ley de Walras!):
at = 0, para todo t
Introduccion
Caracterizacion del equilibrio
Nuevamente, de las condiciones de primer orden para el consumo,
[ct ] : tu(ct ) =
tt[ct+1] :
t+1u(ct+1) = t+1t+1,
hallamos la condicion intertemporal para el consumidor:
tt+1
=u(ct )
u(ct+1)
Asimismo, de
[kt+1] : tt =
t+1t+1[rt+1 + 1 ],
tenemos quett+1
= [rt+1 + 1 ]
Introduccion
Caracterizacion del equilibrio
Ademas,[at+1] :
tt = t+1t+1[1 + r
a,t+1]
Luego, la condicion de no-arbitraje implica:
ra,t+1 = rt+1
Asimismo, del problema de la firma tenemos:
rt = Fk (kt , 1)
wt = Fn(kt , 1)
lo cual implica que:
ra,t+1 = Fk (kt+1, 1)
Introduccion
Conclusion
Finalmente, de las condiciones anteriores obtenemos la mismaEcuacion de Euler hallada en el problema del planificador:
u(ct ) = u(ct+1)[Fk (k
t+1, 1) + 1 ]
Esto muestra que,1. el equilibrio competitivo en su forma secuencial es equivalente al
equilibrio a` la Arrow-Debreu, y
2. ambos son Pareto optimos, ya que resultan en las mismasasignaciones que el problema del planificador.
Introduccin
Recommended