ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΚΑΙ ΑΝΤΙΛΗΨΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥdidamath.gr/files/Kospentaris lecture...

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΚΑΙ ΑΝΤΙΛΗΨΗ

ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ

ΓΙΩΡΓΟΣ ΚΟΣΠΕΝΤΑΡΗΣ

1Ο ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΘΗΝΑΣ «ΓΕΝΝΑΔΕΙΟ»

ΙΚΑΝΟΤΗΤΑ ΣΤΟ ‘ΟΠΤΙΚΟΧΩΡΙΚΟ

ΣΚΕΠΤΕΣΘΑΙ’ (VISUO/SPATIAL

THINKING) ΚΕΝΤΡΙΚΟ ΡΟΛΟ ΣΤΗΝ

ΕΠΙΤΥΧΗ ΠΟΡΕΙΑ ΣΤΟΥΣ ‘ΚΛΑΔΟΥΣ

STEM’

STEM

κλάδοι

SCIENCE

MATHEMATICS

TECHNOLOGY

ENGINEERING

“Spatial Ability for STEM Domains:

Aligning Over 50 Years of Cumulative

Psychological Knowledge Solidifies Its

Importance”

Jonathan Wai, David Lubinski, and Camilla P. Benbow

Vanderbilt University

Journal of Educational Psychology

2009, Vol. 101, No. 4, 817–835

Συμμετείχαν 400.000 μαθητές από

λύκεια (high schools, Grades 9–12)

(στρωματοποιημένο τυχαίο δείγμα)

τους οποίους παρακολούθησαν για 11

χρόνια

(longitudinal study)

«Τα αποτελέσματα ισχυροποιούν τη

γενίκευση ότι η χωρική ικανότητα

(spatial ability) παίζει κρίσιμο ρόλο

στην ανάπτυξη της εξειδικευμένης

επίδοσης (expertise) στις STEM … »

(σελ. 817)

«Τα ευρήματα της παρούσας έρευνας … οδηγούν σε

τουλάχιστον τρεις γενικεύσεις:

1) Η χωρική ικανότητα (spatial ability) είναι ένα πολύ

διακριτό ψυχολογικό χαρακτηριστικό μεταξύ των εφήβων που

στη συνέχεια προχωρούν και πετυχαίνουν ανεπτυγμένες

εκπαιδευτικές και επαγγελματικές προόδους στις STEM.

2) Η χωρική ικανότητα (spatial ability) παίζει κρίσιμο ρόλο

στη διαμόρφωση εκπαιδευτικών και επαγγελματικών

αποτελεσμάτων στο γενικό πληθυσμό, καθώς και στα

ταλαντούχα νοητικά άτομα.

3) Οι σύγχρονες έρευνες αναζήτησης ταλέντων χάνουν

πολλούς νοητικά ταλαντούχους μαθητές περιορίζοντας τα

κριτήρια επιλογής σε μετρήσεις της μαθηματικής και λεκτικής

ικανότητας.» (στο ίδιο, σελ. 827)

Τι ακριβώς είναι η ‘χωρική ικανότητα’ (spatial ability) ή οι ‘χωρικές

ικανότητες’ (spatial abilities);

Ένα «construct», το οποίο σύμφωνα με τον

Lohman μπορεί να οριστεί ως εξής:

«Η ικανότητα γένεσης, διατήρησης, ανάκλησης

και μετασχηματισμού καλώς δομημένων

νοητικών εικόνων» (“the ability to generate,

retain, retrieve, and transform well-structured

visual images”)

Lohman, D. F. (1994). Spatial ability. In R. J. Sternberg (Ed.), Encyclopedia

of intelligence (Vol. 2, pp. 1000–1007). New York: Macmillan. Σελ. 1000

Παραδείγματα από Wai, Lubinski και Benbow, 2009, σελ. 822

Ποιου από τα στερεά ανάπτυγμα είναι το επίπεδο σχήμα αριστερά;

Ποιο από τα σχήματα προκύπτει από στροφή του σχήματος αριστερά;

Παραδείγματα από 20-item version of the Purdue Visualization of Rotations (ROT)

Πιο πρόσφατα ο όρος καλύπτει :

Αφ’ ενός τις «δυναμικές

χωρικές ικανότητες» (dynamic spatial abilities), αφ’

ετέρου την κίνηση του ατόμου

σε ένα μεγάλης κλίμακας περιβάλλον, οπότε έχουμε

τις «ευρείας κλίμακας

περιβαλλοντικές χωρικές ικανότητες» (large-scale

environmental spatial abilities)

Hegarty, M. & Waller, D. A. (2005). “Individual differences in spatial abilities”.

Στο Shah, P. & A. Miyake (Eds.) The Cambridge Handbook of Visuospatial thinking.

New York: Cambridge University Press.

Παράδειγμα από Mental Imagery and Human-Computer Interaction Lab, Maria Kozhevnikov,

Harvard

Παράδειγμα από «Where do you think you are: A virtual environment assessment of

navigation ability»

Steven Weisberg1, Russell Epstein2, Nora S. Newcombe (PI)1, Victor Schinazi3, and Thomas F.

Shipley1

Temple University1, University of Chicago2, Strategic Spatial Solutions3

Figure 1. Graphical depiction of the layout of buildings in the virtual and real world environments. The red lines indicate the routes participants followed to learn the buildings. The blue lines indicate the paths participants followed to learn how the routes were connected. Participants never saw this view of the environment. The model-building task required participants to recreate this

layout of buildings.

Figure 2. The view of the virtual environment at the start of one of the two routes. Participants virtually travelled along the path from “Start”, following the arrows, to “Finish,” and back to “Start.” Along the way, participants were required to learn the names and locations of four buildings per route (eight overall). Buildings to be learned were indicated by a sign alongside the route (yellow, center of the image). The pointing task required participants to point to all other buildings using the mouse from a viewpoint like the one above near one of the buildings learned.

ΙΚΑΝΟΤΗΤΑ ΣΤΟ ‘ΟΠΤΙΚΟΧΩΡΙΚΟ

ΣΚΕΠΤΕΣΘΑΙ’ (VISUO/SPATIAL

THINKING) ΕΧΕΙ ΡΟΛΟ ΣΤΗ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΚΟΤΗΤΑ;

«Οι δημιουργικές και χωρικές

ικανότητες είναι σύμμαχοι στην

επινόηση: ένας επινοητής πρέπει να

εξεικονίσει αυτό που ακόμα δεν

υπάρχει.»

Steve V. Coxon, “Innovative Allies: Spatial and Creative Abilities”,

Gifted Child Today, vol. 35, no. 4, σελ. 277

«Είδα τον άγγελο μέσα στο μάρμαρο και το σκάλισα μέχρι που να τον απελευθερώσω» Michelangelo

«Υψηλά επίπεδα χωρικής ικανότητας έχουν συχνά συνδεθεί με τη

δημιουργικότητα, όχι μόνο στις τέχνες, αλλά και στην επιστήμη και

στα μαθηματικά επίσης (Shepard, 1978; West, 1991). Για παράδειγμα, σε

ορισμένες περιπτώσεις ο Albert Einstein ανέφερε ότι οι λεκτικές

διεργασίες δεν φαίνεται να έπαιζαν κάποιο ρόλο στη δημιουργική του

σκέψη. Ισχυρίστηκε ότι μάλλον έφτανε στις ενοράσεις του μέσω

πειραμάτων σκέψης σε εξεικονισμένα συστήματα κυμάτων και φυσικών

σωμάτων σε καταστάσεις σχετικής κίνησης. Άλλοι φυσικοί (όπως οι

James Clerk Maxwell, Michael Faraday, και Herman Von Helmholtz),

εφευρέτες (όπως οι Nikola Tesla και James Watt), άνθρωποι που

διακρίθηκαν σε ένα εύρος διαφορετικών πεδίων (όπως οι Benjamin

Franklin, John Herschel, Francis Galton, και James Watson), έδειξαν

υψηλά επίπεδα χωρικών ικανοτήτων και ανέφεραν ότι αυτές έπαιξαν

σπουδαίο ρόλο στα πιο δημιουργικά τους επιτεύγματα».

David F. Lohman, “Spatial Ability and G”

Paper presented at the first Spearman Seminar, University of Plymouth, July 21, 1993, σελ. 3-4.

ΕΙΝΑΙ ΟΙ ΧΩΡΙΚΕΣ ΙΚΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΕΝΓΕΝΕΙΣ Ή ΕΠΙΚΤΗΤΕΣ;

ΑΝ ΕΙΝΑΙ ΕΝΓΕΝΕΙΣ ΜΠΟΡΟΥΝ ΝΑ

ΒΕΛΤΙΩΘΟΥΝ;

Οι διαφορές μεταξύ των δύο φύλων στα τεστ

χωρικών ικανοτήτων που έχουν

διαπιστωθεί στη σχετική έρευνα είναι από τις

μεγαλύτερες που έχουν παρατηρηθεί σε

ολόκληρη την ψυχολογία

[περιληπτική παρουσίαση της τεράστιας

βιβλιογραφίας βλ. Halpern και Collaer (2005)].

D. F. Halpern & M. L. Collaer, “Sex Differences in Visuospatial

Abilities: More Than Meets the Eye”

Στο Shah, P. & A. Miyake (Eds.) The Cambridge Handbook of

Visuospatial thinking. New York: Cambridge University Press., σελ. 170-212

Σύμφωνα

με μια αρκετά διαδεδομένη

αντίληψη η αιτία των διαφορών στη

μαθηματική επίδοση

μπορεί να αποδοθεί σε διαφορά

στις χωρικές ικανότητες .

McCormick, C. M., & Teillon, S. M.

(2001). “Menstrual cycle variation in

spatial ability: Relation to salivary

cortisol levels.”

Hormones and Behavior, 39, 29–38.

Παράδειγμα εμπειρικής έρευνας που συσχετίζει χωρική ικανότητα με τον εμμηνορροϊκό

κύκλο

Η άποψη ότι οι χωρικές ικανότητες

μπορούν να βελτιωθούν ουσιαστικά

με την εξάσκηση και εκπαίδευση

σήμερα μάλλον κυρίαρχη.

D. F. Halpern & M. L. Collaer, “Sex Differences in Visuospatial

Abilities: More Than Meets the Eye”

Στο Shah, P. & A. Miyake (Eds.) The Cambridge Handbook of

Visuospatial thinking. New York: Cambridge University Press., σελ. 170-212

ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ

ΧΩΡΙΚΕΣ

ΙΚΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΠΡΟΗΓΟΥΜΕΝΕΣ ΕΡΕΥΝΕΣ

ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΠΙΔΡΑΣΗ

ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣΧΩΡΙΚΕΣ

ΙΚΑΝΟΤΗΤΕΣ

Battista, Wheatley and Talma (1982)• One group of students: preservice elementary teachers

• One special ability: Purdue Spatial Visualization Test/ Rotations

• Geometry instruction: A semester course, specially designed geometrical topics, many visual elements and class activities

CONCLUSION: A semester course in informal geometry improved students’ spatial visualization ability to perform 3D rotations

Example of a test item used by Battista et al. to measure spatial visualization

Gittler and Glück (1998)

• Two groups of students: one experimental (undergone geometry instruction), one control (no instruction), high school students

• One special ability: Three-

Dimensional Cube Test/Gittler (spatial visualization)

•Geometry instruction: A two years course in Descriptive Geometry

•Pre/post test

Example of a test item used by Gittler & Glück to measure spatial visualization

CONCLUSION: A significant effect of Descriptive Geometry instruction on students’ spatial visualization ability

Leopold, Górska & Sorby

(2001)• Three groups of students: same educational level, attending Descriptive Geometry and Design courses in 3 universities

•Three special abilities: Mental

Rotation, Mental Cutting, Differential Aptitude Test: Space Relations

•Geometry instruction: A semester course in Descriptive Geometry or Design Graphics

Example of a test item used by Leopold et al. to measure mental rotation ability

Example of a test item used by Leopold et al. to measure mental cutting ability

Example of a test item used by Leopold et al. to measure space relations ability

CONCLUSION: A significant effect of Descriptive Geometry and Graphics instruction on students’ spatial abilities

Leopold, Górska & Sorby

(2001)

Suzuki (2002)

• Two groups of students: university students, 30 samples (30 different universities in Japan), experimental/control

• One special ability: Mental Cutting

• Geometry instruction: A semester course course in Descriptive Geometry or Design Graphics

•Pre/post test Example of a test item used in the Japanese research to measure mental cutting ability

Suzuki (2002)Mean scores in the Mental Cutting Test and in the National

Center Test

for University

Entrance

Examination (NCTUEE)

Test, necessary for admission in Japan universities

Circles=science and technology students, Triangles=humanities students, Squares=art students, Filled shapes=males, Empty shapes=females

•Gender differences

•Strong correlation with University Entrance Examination score

•Science and technology prevail

Suzuki (2002)

Solid circle=Descriptive Geometry, Open circle= Computer

Graphics, Solid triangle= traditional Engineering Graphics,

Open triangle= 3D-Computer Assisted Design, += control)

The difference between the pre- and

post-course MCT scores

CONCLUSION:

Spatial ability as

evaluated by the MCT

is enhanced through

descriptive geometry

courses.

Tsutsumi, Schröcker,

Stachel and Weiss

(2005)

•Two groups of students: university students, 3 samples (3different universities), experimental/control

• One special ability: Mental Cutting

• Geometry instruction: A semester course course in Descriptive Geometry

•Pre/post test

Example of a test item used by Tsutsumi et al. to measure mental cutting ability

CONCLUSION: A significant effect of Descriptive Geometry instruction on students’ mental cutting spatial ability

G. KOSPENTARIS – P. SPYROU

“The Effects of High School

Geometry Instruction on the

Performance in Spatial Tasks”

Journal for Geometry and Graphics, Vol. 14 (2010),

No. 2, 227-244

ΝΕΩΤΕΡΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΕ ΣΧΕΣΗ ΜΕ

ΠΡΟΓΕΝΕΣΤΕΡΕΣ ΕΡΕΥΝΕΣ

• Κάλυψη του μέγιστου δυνατού φάσματος χωρικών

ικανοτήτων, αλλά όχι χρήση tasks τελείως άσχετων

με οποιαδήποτε γεωμετρική ιδέα σύνθεση ενός

νέου ερωτηματολογίου (test) με χωρικά tasks.

• Πιο έντονη διαφοροποίηση της εκπαιδευτικής

εμπειρίας των συμμετεχόντων: μεγαλύτερη

διακύμανση της μεταβλητής «διδασκαλία γεωμετρίας».

• Διερεύνηση των διαφορών εντός της πειραματικής

ομάδας συσχέτιση της βαθμολογίας στο τεστ

χωρικών ικανοτήτων με τη σχολική βαθμολογία στο

μάθημα της γεωμετρίας για δύο χρόνια στο λύκειο.

• Διερεύνηση των στρατηγικών που επιστράτευσαν οι

συμμετέχοντες συνεντεύξεις.

Ομάδα N

Υποψήφιοι

Νοσοκόμοι/ες

Ομάδα Γ

Α΄Γυμνα-

σίου

Ομάδα

Λα

Α΄

Λυκείου

Ομάδα

Λγ

Γ΄

Λυκείου

Ομάδα Μ

Φοιτητές

Μαθηματικού

Γραπτό

τεστ14 81 95

86

51+35* 41

Συνέντευξη 0 13 10 3 10

ΣΥΜΜΕΤΕΧΟΝΤΕΣ

(*35 από τους μαθητές της ομάδας Λα επανεξετάστηκαν μετά δύο χρόνια ως

μαθητές της τρίτης λυκείου).

Τα αποτελέσματα του γραπτού τεστ

θεμελιώνουν τη θέση ότι το πέρασμα σε

ανώτερο εκπαιδευτικό επίπεδο

συνοδεύεται από μια σημαντική

βελτίωση στην επίδοση στα

συγκεκριμένα χωρικά task.

Αυτή η επαύξηση της επίδοσης δεν μπορεί να αποδοθεί κατά κύριο λόγο σε κάποιον

υποτιθέμενο ηλικιακό παράγοντα ωρίμανσης: τα μέλη της ομάδας Ν (υποψήφιες

νοσηλεύτριες/ές) είχαν μέσο όρο ηλικίας μεγαλύτερο από αυτόν της ομάδας Μ

(φοιτητές Μαθηματικού).

Στοιχεία των στρατηγικών επίλυσης που προέκυψαν από

τις συνεντεύξεις:

- Όροι και λεκτικές εκφράσεις που βοηθούν

το μαθητή να οργανώσει καλύτερα την οπτική εικόνα.

- Ικανότητα αφαίρεσης.

- Επιμέρους τμήματα γεωμετρικής γνώσης.

Είναι πιθανό η γεωμετρική γνώση να διαμορφώνει ένα

ιδιαίτερο «γεωμετρικό στυλ» που δεν μοιάζει να λειτουργεί

με μη-αναλύσιμες εικόνες των gestalt ούτε μόνο με λέξεις και

προτάσεις που έχουν αποκοπεί από τις εικόνες: διακρίνει

σχέσεις στο χώρο και αυτές οι σχέσεις είναι αναπόσπαστα

δεμένες με την οπτική αντίληψη.

ΟΠΤΙΚΗ/ΧΩΡΙΚΗ

ΣΚΕΨΗΓΕΩΜΕ-

ΤΡΙΚΗ ΓΝΩΣΗ

Η ΜΕΤΑΒΑΣΗ ΑΠΟ ΤΟ ΟΠΤΙΚΟ ΕΠΙΠΕΔΟ 1 ΣΤΟ ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ

ΕΠΙΠΕΔΟ 2

Van Hiele ΕΠΙΠΕΔΟ 1 (Οπτικό) Ο μαθητής αντιλαμβάνεται το σχήμα ως όλον. Αναγνωρίζειτα σχήματα ως οπτικές gestalt και τα αναπαριστά νοητικά ως οπτικές εικόνες (visual images) Σχήμα = Εικόνα

Δεν «βλέπει» τα συστατικά μέρη του σχήματος και δεν «διακρίνει» τις μεταξύ τους σχέσεις.

Δεν θεωρεί το τετράγωνο ως ρόμβο και το ρόμβο ως παραλληλόγραμμο

Στο επίπεδο αυτό η σκέψη των μαθητών κυριαρχείται από την αισθητοαντίληψη.

Van Hiele ΕΠΙΠΕΔΟ 2 (Αναλυτικό-Περιγραφικό) Ο μαθητής αρχίζει να διακρίνει τα συστατικά μέρη του σχήματος, τις μεταξύ τους σχέσεις και τις σχέσεις μεταξύ των διαφορετικών σχημάτων: Σχήμα = Σύνολο ιδιοτήτων

Ανακαλύπτει τις ιδιότητες ενός σχήματος πειραματικά

Κατηγοριοποιεί τα σχήματα ανάλογα με τις ιδιότητές τους (π.χ. το ορθογώνιο έχει 4 ορθές γωνίες, ίσες διαγωνίους και ίσες απέναντι πλευρές)

Αν και παρατηρεί την ισότητα των απέναντι πλευρών του παραλληλογράμμου δεν θεωρεί ότι το ορθογώνιο είναι παραλ/μο

Το Επίπεδο 2 φτάνει έως και σε επαρκώς τυπική συλλογιστική βασισμένη στις γεωμετρικές ιδιότητες.

Houdement και Kuzniak (2003)

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Ι ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΙΙ

Η Γεωμετρία Ι δηλώνει, όχι μόνο το συγκεκριμένο στυλ σκέψης ενός ατόμου, αλλά και όλες τις πρακτικές (εκπαιδευτικές, επιστημονικές και, ευρύτερα, κοινωνικές) που αφορούν μια πρωτογενή αντίληψη του χώρου του πραγματικού, αισθητού κόσμου. Εδώ υπάγονται οι οπτικές αισθητοαντιληπτικές εκτιμήσεις, αλλά και πειραματικές επαληθεύσεις, μετρήσεις και βασικοί υπολογισμοί.

Στη Γεωμετρία ΙΙ έχουμε την αυστηρή τυπική (formal) συλλογιστική και τις προτάσεις που απορρέουν από τα αρχικά αξιώματα, στο πρότυπο του αξιωματικού συστήματος των Στοιχείων του Ευκλείδη.

G. KOSPENTARIS – P. SPYROU

«Assessing the Evolution of Geometrical

Thinking from Visual towards an Analytic-

Descriptive level»

Annales de Didactique et de Science

Cognitive, Vol. 13 (2008), 133-157

ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΑ ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ

Σε ποιο βαθμό οι μαθητές της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης έχουν ουσιαστικά

προχωρήσει από το «οπτικό» Επίπεδο 1 στο «αναλυτικό-περιγραφικό» Επίπεδο 2;

- Εφαρμόζουν τις γεωμετρικές δομές που προσιδιάζουν στη Γεωμετρία ΙΙ σε

ένα οπτικά διαφοροποιημένο πλαίσιο που τους θυμίζει τη Γεωμετρία Ι; Ή πιο

συγκεκριμένα:

- Τείνουν οι μαθητές της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης να χρησιμοποιούν

«οπτικές» (πιο κοντά στη Γεωμετρία Ι) στρατηγικές ή «αναλυτικές»

(χαρακτηριστικές της Γεωμετρίας ΙΙ) στρατηγικές για να επιλύσουν task που

επιδέχονται και τις δύο διαδικασίες;

Η ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΤΟΥ

ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟΥ

-Η οπτική πλευρά του κάθε προβλήματος του τεστ να εξισορροπεί την

γεωμετρική/αποδεικτική πλευρά του. Επίσης, η οπτική εκτίμηση (δράση στη Γεωμετρία Ι

Αισθητοαντιληπτική ή Επίπεδο Ι) να έχει το μεγαλύτερο δυνατό «κόστος» στο βαθμό

αξιοπιστίας ή βεβαιότητας του αποτελέσματος.

-Το πλαίσιο του προβλήματος να μην «επιβάλει» στο μαθητή οιαδήποτε συγκεκριμένη

επιλογή στρατηγικής. Η σωστή απάντηση να μπορεί να δοθεί, είτε με γεωμετρικούς

συλλογισμούς της Γεωμετρίας ΙΙ ή της Γεωμετρίας Ι Ιδιοτήτων-Πειραματικής είτε με οπτική

εκτίμηση.

-Το περιεχόμενο καλύπτει τρεις βασικές γεωμετρικές έννοιες: Ισότητα (Congruence),

Ομοιότητα και Εμβαδόν.

ΤΟ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟ

Task ΙΣΟΤΗΤΑΣ

Task ΟΜΟΙΟΤΗΤΑΣ

ΤΟ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟ

Task ΕΜΒΑΔΟΥ

ΤΟ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟ

Τα παραδοσιακά τεστ αποτίμησης των επιπέδων σκέψης

στη γεωμετρία μπορεί να εμφανίζουν μεγαλύτερο ποσοστό

μαθητών να έχουν κατοχυρώσει το ξεπέρασμα του

Οπτικού Επιπέδου από ότι στην πραγματικότητα

συμβαίνει. Το ποσοστό των μαθητών της Α΄ Λυκείου που

βρίσκονται στο Οπτικό Επίπεδο, σύμφωνα με τα task της

παρούσας έρευνας, μπορεί να ξεπερνά και το 60%, ενώ για

την Γ΄ Λυκείου μπορεί να φτάνει και το 40%.

Αυτό έχει σημαντικές επιπτώσεις στη διδακτική μέθοδο

που θα πρέπει να εφαρμοστεί στο λύκειο όσον αφορά τη

γεωμετρία.

Στο πεδίο της ομοιότητας και του εμβαδού οι

δυσκολίες εμφανίστηκαν μεγαλύτερες σε σύγκριση

με την ισότητα και οδήγησαν ακόμα και τους

φοιτητές των μαθηματικών σε οπτικές στρατηγικές

παρά τη σημαντική γεωμετρική εκπαίδευση που

έχουν λάβει.

G. KOSPENTARIS – P. SPYROU

«The Construction of the Concept

of Similarity-Proportions and the

Educational Experience».

4th Mediterranean Conference on

Mathematics Education Palermo

(28-30 Ιανουαρίου 2005)

ΤΟ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟ

Task ΟΜΟΙΟΤΗΤΑΣ Ο6 (1ο ερωτηματολόγιο)

ΤΟ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟ

Task ΟΜΟΙΟΤΗΤΑΣ Ο5 (1ο ερωτηματολόγιο)

Η γεωμετρική ιδέα της ομοιότητας αρχίζει να

διαμορφώνεται μέσα από την οπτική αισθητοαντίληψη και

εμπειρία. Αλλά:

Η γεωμετρική ιδέα της ομοιότητας για να διαμορφωθεί

ουσιαστικά πέρα από μια αόριστη οπτικοδιαισθητική ιδέα

απαιτείται στοχευμένη διδακτική παρέμβαση. Αν η παρέμβαση

αυτή δεν είναι αποτελεσματική οι μαθητές δεν θα φτάσουν στη

γεωμετρική ιδέα της ομοιότητας.

Η σύνδεση της ομοιότητας με τις αναλογίες δεν φαίνεται να

είναι τόσο καθολική όσο θα περιμέναμε σύμφωνα με τα

πορίσματα των Piaget και Inhelder.

Η οπτικοποίηση αναδείχθηκε σε σημαντικό παράγοντα

επίδρασης και στην επιλογή της στρατηγικής και στην

υλοποίησή της.

Όταν η σμίκρυνση ή μεγέθυνση του αντικειμένου γίνεται

με την κίνησή του στον τρισδιάστατο χώρο η ιδέα της

αναλογίας είναι πολύ πιο δύσκολα προσβάσιμη από ότι

όταν γίνεται στο ένα επίπεδο.

Σε κάποιες περιπτώσεις η οπτικοποίηση λειτουργεί

ανασταλτικά: η προσκόλληση στην εικόνα εμποδίζει την

αφαίρεση που θα οδηγούσε σε μια απλή γεωμετρική

κατάσταση .

Σε κάποιες περιπτώσεις η παντελής έλλειψη

οπτικοποίησης είναι προβληματική: η οπτικοποίηση θα

μπορούσε να παίξει έναν διορθωτικό ρόλο.

Ενδέχεται στο θέμα της ομοιότητας μεγαλύτερο ποσοστό

μαθητών να βρίσκεται στο Οπτικό Επίπεδο από ότι στο

θέμα της ισότητας.

G. KOSPENTARIS – P. SPYROU

«Exploring students’ strategies in

area conservation geometrical

tasks»

Educational Studies in Mathematics, Vol. 77,

(2011), 105-127

ΤΟ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟ

Task ΕΜΒΑΔΟΥ Ε5

ΤΟ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟ

Task ΕΜΒΑΔΟΥ Ε6

ΤΟ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟ

Task ΕΜΒΑΔΟΥ Ε8

ΤΟ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟ

Task ΕΜΒΑΔΟΥ Ε9

Οι μαθητές και φοιτητές υιοθέτησαν λογικοαπαγωγική

συλλογιστική ή οπτικές εκτιμήσεις με έναν ακανόνιστο τρόπο,

ανάλογα με τη δυσκολία του task. Σε πολλές περιπτώσεις

επιστρατεύθηκαν ιδιοσυγκρασιακά εποπτικοδιαισθητικά

επιχειρήματα. Όταν αυτά αμφισβητήθηκαν στη διάρκεια της

συνέντευξης, παρατηρήθηκαν προσπάθειες να διαμορφωθούν

λογικοαπαγωγικού τύπου αιτιολογήσεις. Όταν αυτές με τη σειρά τους

αποτύγχαναν, τότε η οπτική εκτίμηση ήταν η τελευταία επιλογή.

Σχετικά με την υλοποίηση της μεθόδου που επέλεγαν

παρατηρήθηκαν προβλήματα στη μέτρηση (π.χ. εσφαλμένες μονάδες ή

προσεγγίσεις) ή στη γεωμετρική συλλογιστική (π.χ. λάθος ύψη σε ένα

τρίγωνο ή παράλειψη ενός βήματος της απόδειξης). Σοβαρό

πρόβλημα: σε πολλές περιπτώσεις η στρατηγική που επιλέχθηκε

βασιζόταν σε εσφαλμένες παραδοχές και έμοιαζε να εξυπηρετεί μια

υπόθεση που πήγαζε από ισχυρές εποπτικοδιαισθητικές αντιλήψεις.

Η οπτικοποίηση δεν έπαιξε διορθωτικό ρόλο απέναντι σε εσφαλμένες

εποπτικοδιαισθητικές αντιλήψεις, όπως:

Η ισεμβαδικότητα συμπίπτει με την ισότητα.

Όσο μεγαλύτερη η περίμετρος, τόσο μεγαλύτερο το εμβαδόν.

Διπλάσια πλευρά-διπλάσιο εμβαδόν.

Η πλειοψηφία των μαθητών δεν μπορεί από μόνη της να διαμορφώσει

μια επαρκή και ισορροπημένη αντίληψη της διατήρησης του εμβαδού,

ειδικά όταν η οπτική αίσθηση δρα προς την αντίθετη κατεύθυνση

Απαιτείται πιο εστιασμένη διδακτική παρέμβαση στο θέμα της

διατήρησης του εμβαδού με μεγαλύτερη έμφαση στην «ποιοτική»

προσέγγιση του εμβαδού.

Τρεις παράγοντες επιδρούν στις στρατηγικές

των σπουδαστών: κοινωνικού χαρακτήρα

γνώση (πολιτιστική/εκπαιδευτική επίδραση) –

οπτική αντίληψη – προσωπικά λογικά

επιχειρήματα. Τα task που χρησιμοποιήθηκαν

στην έρευνά μας ανέδειξαν πιο έντονα ότι το

τρίπτυχο αυτό δεν έχει ακόμα παγιωθεί σε

ένα ισορροπημένο και συνεπές όλον.

Ο ιδιότυπος ρόλος της οπτικοποίησης στα

μαθηματικά:

Όταν η εξεικόνιση (imagery) είναι έντονα

«εικονογραφική» το άτομο υστερεί γιατί δεν

συνειδητοποιεί τις χωρικές σχέσεις.

Όταν λείπει τελείως δεν υπάρχει μηχανισμός

ελέγχου και επαλήθευσης των αναλυτικών

αφηρημένων συλλογισμών.

Η γεωμετρική εκπαίδευση προσφέρεται και

θα πρέπει να στοχεύσει στη δημιουργία μιας

ισορροπίας μεταξύ λογικοαπαγωγικής

αναλυτικής σκέψης και οπτικοποίησης.

George Kospentaris, Stella Vosniadou,

Smaragda Kazi, Emiliana Thanou

“Visual and Analytic

Strategies in Geometry”

Frontline Learning Research , Vol.4,

No. 1 , (2016), 40 ‐ 57

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟ

ΓΝΩΣΙΑΚΟ

ΣΥΣΤΗΜΑ ΠΥΡΗΝΑΣ

Εμπειρία και

συστηματική

διδασκαλία

ΤΥΠΙΚΗ (FORMAL)

ΛΟΓΙΚΟΑΠΑΓΩΓΙΚΗ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΓΝΩΣΗ

ΕΝΝΟΙΑΚΗ ΑΛΛΑΓΗ

(CONCEPTUAL CHANGE)

ΑΠΟΚΤΗΣΗ ΝΕΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ (οντολογικές και

αναπαραστασιακές αλλαγές)

ΝΕΕΣ ΜΟΡΦΕΣ ΣΥΛΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΑΙ ΝΕΕΣ

ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΕΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ

(μετατόπιση οπτική/αναλυτική)

ΟΝΤΟΛΟΓΙΚΕΣ ΚΑΙ

ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΙΑΚΕΣ

ΑΛΛΑΓΕΣ ΠΑΡΟΜΟΙΕΣ ΜΕ ΑΥΤΈΣ ΠΟΥ ΣΥΜΒΑΙΝΟΥΝ ΣΤΙΣ

ΆΛΛΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ (Chi, 2008; Vosniadou, in press; Vosniadou & Brewer, 1992;

1994)

BATTISTA (2007)

ΑΙΣΘΗΤΟΑΝΤΙΛΗΠΤΙΚΟ

(PERCEPTUAL)

ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ όπως τα

φυσικά αντικείμενα του φυσικού

κόσμου

ΕΝΝΟΙΑΚΑ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΑ

Αφηρημένα, απολύτως

ιδεατοποιημένα,

βασισμένα σε λεκτικά

διατυπωμένους,

βασισμένους σε ιδιότητες

ορισμούς

Διδασκαλία

Γεωμετρίας

Μετασχηματισμός του ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟΥ

O

M

rM1

M2

M4

M5

r r

r r

r

Ο κύκλος ως οπτική

gestalt

(αισθητοαντιληπτικό

(perceptual )

αντικείμενο

Ο κύκλος ως γεωμετρικό

αντικείμενο = ο γ.τ. των

σημείων που ισαπέχουν

από το κέντρο (εννοιακό

αντικείμενο)

M(x,y)

O

r

x

y

x +y =r2 2 2

Ο κύκλος ως γεωμετρικό

αντικείμενο = ο γ.τ. των

σημείων του επιπέδου (x,y)

που ικανοποιούν μια

εξίσωση (εννοιακό

αντικείμενο)

Οντολογική

μετατόπιση

Αναπαρα-

στασιακή

μετατόπιση

Η ομοιότητα ως

οπτική gestalt

(perceptual object)

O A

A΄

B΄ C΄

B C

A΄

B΄ C΄

B C

λ 0

0 λ

Μετασχηματισμός του ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟΥ

Η ομοιότητα ως

γεωμετρικό αντικείμενο = η

ισότητα των λόγων των

αντίστοιχων

πλευρών(εννοιακό

αντικείμενο)

Η ομοιότητα ως

γεωμετρικό αντικείμενο =

μία πολλαπλασιστική

σχέση διανυσμάτων

(εννοιακό αντικείμενο)

Οντολογική

μετατόπιση

Αναπαρα-

στασιακή

μετατόπιση

Αναπαρα-

στασιακή

μετατόπιση

Η ομοιότητα ως γεωμετρικό αντικείμενο = ένας

πίνακας πραγματικών αριθμών (εννοιακό

αντικείμενο)

VISUAL/ANALYTIC SHIFT

TEST (VAST TEST)

3 Γεωμετρικά πεδία

-Ισότητα

-Ομοιότητα

-Εμβαδόν

4 Συνθήκες

ΦΑΙΝΟΝΤΑΙ+/ΕΙΝΑΙ+

ΔΕΝ ΦΑΙΝΟΝΤΑΙ-/ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ-2 “Συμφωνίας”

ΦΑΙΝΟΝΤΑΙ+/ ΔΕΝ ΕΊΝΑΙ-

ΔΕΝ ΦΑΙΝΟΝΤΑΙ-/ΕΙΝΑΙ+

2 “Ασυμφωνίας”

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΕΝΟΣ TASK ΤΟΥ VAST TEST

Πεδίο : ΙΣΟΤΗΤΑ

ΦΑΙΝΟΝΤΑΙ+/ΕΙΝΑΙ+ ΔΕΝ ΦΑΙΝΟΝΤΑΙ-/ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ-

Συνθήκη: ΣΥΜΦΩΝΙΑ ΟΠΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ

ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ

ΦΑΙΝΟΝΤΑΙ+/ ΔΕΝ ΕΊΝΑΙ- ΔΕΝ ΦΑΙΝΟΝΤΑΙ-/ΕΙΝΑΙ+

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΕΝΟΣ TASK ΤΟΥ VAST TEST

Πεδίο : ΙΣΟΤΗΤΑ

Συνθήκη: ΑΣΥΜΦΩΝΙΑ ΟΠΤΙΚΗΣ ΚΑΙ

ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ

ΦΑΙΝΟΝΤΑΙ+/ΕΙΝΑΙ+ ΔΕΝ ΦΑΙΝΟΝΤΑΙ-/ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ-

ΦΑΙΝΟΝΤΑΙ+/ ΔΕΝ ΕΊΝΑΙ- ΔΕΝ ΦΑΙΝΟΝΤΑΙ-/ΕΙΝΑΙ+

Το VISUAL ANALYTIC SHIFT TEST (VAST)

περιλαμβάνει

60 items = 5 items για κάθε γεωμετρικό πεδίο× 3

πεδία× 4 συνθήκες

σε τυχαία σειρά.

- Το Visual/Analytic Strategy Test (VAST) δόθηκε σε

30 καθηγητές μαθηματικών και 1134 μαθητές της Β΄

Λυκείου

-Για να μεταβούμε από την αυθόρμητη

οπτικοχωρική συλλογιστική στη γεωμετρική

αναλυτική στρατηγική απαιτούνται

σημαντικές εννοιακές αλλαγές.

-Οι αλλαγές αυτές σχετίζονται με την

ειδίκευση στη γεωμετρία και όχι σε ατομικές

διαφορές

- Ο ρόλος της οπτικής αντίληψης στη

γεωμετρική ειδίκευση φαίνεται να είναι

περίπλοκος

“Πρόσφατες έρευνες δείχνουν ότι οι visualisers

υποαντιπροσωπεύονται σημαντικά ανάμεσα στους μαθητές

με επιτυχίες στα μαθηματικά του Λυκείου»

Norma Presmeg, “Visualisation and mathematical giftedness”

Educational Studies in Mathematics, August 1986, Volume 17,

Issue 3, pp 297–311

«Φάνηκε με έντονο τρόπο ότι στις συνεντεύξεις ότι για την

επιτυχία στα σχολικά μαθηματικά η one-case concreteness της

εικόνας ή του διαγράμματος θα πρέπει ο μαθητής να την

υπερβεί, και πολλοί, αν όχι όλοι οι visualizers, δεν έχουν

επίγνωση πώς να το πετύχουν αυτό. Για τους μη visualizers

αυτό το πρόβλημα δεν υφίσταται» (σελ. 301)

-Οι μαθητές της Β΄ Λυκείου έχουν δεχτεί σχεδόν 5 χρόνια συστηματική

διδασκαλία γεωμετρίας. Αυτοί που επιλέγουν θετική κατεύθυνση

επιπλέον 1 έτος αναλυτικής γεωμετρίας. Η χαμηλή επίδοση δείχνει ότι η

συστηματική χρήση των γεωμετρικών στρατηγικών είναι σοβαρό

διανοητικό επίτευγμα που απαιτεί σημαντική προσπάθεια.

- Ενώ τυπικά έχουν λάβει τις προβλεπόμενες σχολικές γνώσεις, μόλις το

πλαίσιο του προβλήματος ξεφύγει από το συνηθισμένο στυλ του

σχολικού βιβλίου οι αναλυτικές στρατηγικές δεν μεταφέρονται.

- Απαιτείται να σχεδιαστούν εκπαιδευτικά προγράμματα που να

προωθούν τη συσχέτιση των γεωμετρικών εννοιών και μεθόδων με τις

οπτικοχωρικές εμπειρίες των μαθητών (Fischbein, 1993; Kilpatrick,

Hoyles, Skovsmose, & Valero, 2005; Lehrer Jenkins & Osana, 1998).

BAΣΙΚΗ ΘΕΣΗ ΓΙΑ ΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ (VAN HIELE):

ΔΕΝ ΕΧΕΙ ΝΟΗΜΑ ΝΑ

ΠΡΟΧΩΡΗΣΟΥΜΕ ΣΕ ΚΑΠΟΙΟ

ΣΤΑΔΙΟ ΑΝ ΔΕΝ ΕΧΟΥΜΕ

ΕΞΑΣΦΑΛΙΣΕΙ ΜΕ ΣΙΓΟΥΡΙΑ ΤΟ

ΠΡΟΗΓΟΥΜΕΝΟ

ΕΝΔΟΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΗ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗ ΚΑΙ

ΕΞΕΛΙΞΗ:

ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΙΑ

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ, ΑΛΓΕΒΡΑ,

ΑΝΑΛΥΣΗ, ΜΗΧΑΝΙΚΗ,

ΚΡΥΣΤΑΛΛΟΓΡΑΦΙΑ, Κ.Λ.Π.

ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΑΠΟΔΕΙΞΗΣ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΗ

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ

ΕΥΡΥΤΕΡΗ ΓΝΩΣΙΑΚΗ ΣΥΓΚΡΟΤΗΣΗ:

ΧΩΡΙΚΕΣ ΙΚΑΝΟΤΗΤΕΣ (SPATIAL ABILITIES)

ΟΠΤΙΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ KAI XEIΡΙΣΜΟΣ

ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΩΝ, ΝΟΗΤΙΚΗ ΕΞΕΙΚΟΝΙΣΗ

(MENTAL IMAGERY), ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΟ

ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ, ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΧΩΡΙΚΩΝ ΜΕΓΕΘΩΝ,

ΠΡΑΚΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ, ΕΙΚΑΣΤΙΚΗ ΑΠΟΨΗ,

Κ.ΛΠ.

« ΙΔΙΑΙΤΕΡΑ ΓΙΑ ΜΙΑ ΙΑΤΡΙΚΗ ΕΙΔΙΚΟΤΗΤΑ, ΤΟ ΧΕΙΡΟΥΡΓΟ, Η

ΧΩΡΙΚΗ ΙΚΑΝΟΤΗΤΑ ΕΧΕΙ ΒΑΡΥΝΟΥΣΑ ΣΗΜΑΣΙΑ. Η ΕΠΙΔΟΣΗ

ΣΤΗ ΧΕΙΡΟΥΡΓΙΚΗ ΕΞΑΡΤΑΤΑΙ ΣΕ ΜΕΓΑΛΟ ΒΑΘΜΟ ΑΠΟ ΤΙΣ

ΧΩΡΙΚΕΣ ΙΚΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΤΟ ΑΝΑΤΟΜΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ

ΕΙΝΑΙ ΕΞΑΙΡΕΤΙΚΑ ΣΥΝΘΕΤΟ ΜΕ ΠΕΡΙΠΛΟΚΕΣ ΤΡΙΣΔΙΑΣΤΑΤΕΣ

ΣΧΕΣΕΙΣ ΕΥΠΛΑΣΤΩΝ ΔΟΜΩΝ ΠΟΥ ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΔΙΑΦΕΡΟΥΝ ΑΠΟ

ΑΣΘΕΝΗ ΣΕ ΑΣΘΕΝΗ. ΕΝΑΣ ΚΑΛΟΣ ΧΕΙΡΟΥΡΓΟΣ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ

ΕΙΝΑΙ ΣΕ ΘΕΣΗ ΝΑ ΟΠΤΙΚΟΠΟΙΕΙ ΝΟΗΤΙΚΑ ΣΧΕΣΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ

ΙΣΤΩΝ ΚΑΙ ΟΡΓΑΝΩΝ ΠΟΥ ΔΕΝ ΒΛΕΠΕΙ ΚΑΘΩΣ ΚΑΙ ΝΑ

ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΖΕΙ ΤΡΙΣΔΙΑΣΤΑΤΑ ΝΟΗΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΑΠΟ

ΔΙΔΙΑΣΤΑΤΕΣ ΕΙΚΟΝΕΣ (ΑΚΤΙΝΕΣ Χ, ΑΞΟΝΙΚΕΣ ΚΑΙ ΜΑΓΝΗΤΙΚΕΣ

ΤΟΜΟΓΡΑΦΙΕΣ)....»

Από: Ηegarty, M. & Wailer, D.A.: “Individual

differences in spatial abilities”

Ποιό από τα σχήματα Α, Β, C, D ή Ε ανήκει στο αρχικό σχήμα αριστερά;

Ποιό από τα σχήματα Α, Β, C ή D ανήκει

στο αρχικό σχήμα αριστερά;

Αναλυτικό πρόγραμμα:

Θα πρέπει να εισαχθεί η διδασκαλία των

μετασχηματισμών

Θα πρέπει να δοθεί και ανάλογη βαρύτητα στη

γεωμετρία του τρισδιάστατου χώρου

Θα πρέπει να συνδεθεί το μάθημα με χωρικές

καταστάσεις του πραγματικού χώρου και με την

χωρική εμπειρία

Κατευθύνσεις ως προς τον

εκπαιδευτικό σχεδιασμό που αφορά

τη γεωμετρία στο σχολείο