Ondas Eletromagnéticas

Ondas Eletromagnéticas

Física Geral F-428

• Alguns Teoremas:

Usando mais :

podemos mostrar que :

• As duas últimas equações mostram que variações espaciais ou temporais do campo elétrico (magnético) implicam em variações espaciais ou temporais do campo magnético (elétrico)

A equação de onda

Utilizando as quatro equações de Maxwell e um pouco de álgebra vetorial (com os teoremas de Gauss e Stokes), podemos obter as seguintes equações de onda com fontes [ ]:0),(e0),( trJtr

A equação de onda

A equação de onda

A equação de onda

• Em geral, qualquer função periódica pode ser solução de uma equação de onda pois poderá ser expressa por uma Série de Fourier

Ex.: Onda quadrada

Ex.: Equação de onda unidimensional progressiva numa corda

´

´

( , ) ( , 0) ( ) ( )

x x vt

y y

y x t y x f x f x vt

0

( ,0) ( , 0)

t

y x y x

O perfil da onda não muda com o tempo.

x

vt

y(x,t)

x'

y'(x',t)

v : velocidade de translação de um pulso

2 22

2 2

2 2

2 2 2

´

´ ´

´

10

´

f f x fv

t x t x

f fv

t x

f f

x v t

´x x vt

2 2

2 2 2

´

´ ´

10

f f x f

x x x x

f f

x v t

Equação de onda

Ex.: Equação de onda unidimensional progressiva numa corda

ou

Ondas eletromagnéticas

(3ª Eq. de Maxwell)

• Sejam: )sen(),(e)sen(),( tkxBtxBtkxEtxE mzmy

cB

Ec

kB

E

z

y

m

m

Bz transverso à direção

de propagação da onda:

cktkxEctxkEtxEy ;)sin()(sin),( 00

Ondas eletromagnéticas planas

Período:

Freqüência:

Comprimento de onda:

Velocidade de uma onda:

T

1f

T

v fk

Freqüência angular: 2 f

Número de onda:

2k

Ondas eletromagnéticas

L

~

Ondas eletromagnéticas

Problema 1

Um certo laser de hélio-neônio emite luz vermelha em uma faixa estreita de comprimentos de onda em torno de 632,8 nm, com uma “largura”de 0,0100 nm. Qual é a “largura”, em unidades de frequência, da luz emitida?

Um certo laser de hélio-neônio emite luz vermelha em uma faixa estreita de comprimentos de onda em torno de 632,8 nm, com uma “largura”de 0,0100 nm. Qual é a “largura”, em unidades de frequência, da luz emitida?

nm)0100,08,632(

HzGHzmm

smf 5,71075,01010

)108,632(

/103 1092229

8

222

1 cf

cf

c

d

dfc

cf

!1074,4)108,632(

103 149

8

Hzf

mas:

Note que:

f

fff

Ondas eletromagnéticas

Transporte de energia

As densidades de energia elétrica e magnética

20

02

2

21

2),(como E

cE

trucE

B B

0

22

0 2),(e

21

),(

BtruEtru BE

A densidade total de energia armazenada no campo de radiação

20),(),(),( Etrutrutru BE

Ondas eletromagnéticas

Transporte de energia

Como )(sin),( 220

2 trkEtrE

A média temporal da densidade de energia é dada por

200

2

1

0

2200

20 2

1)(sin

1Edttrk

TEEu

T

Intensidade da radiação

2002

1Eccu

ts

U

ts

UI

Ondas eletromagnéticas

Transporte de energia

x

z

y

k

0E

0B

sd

tc

U

Por outro lado

ktrkc

EBE ˆ)(sin 2

20

2000

20

21

2|| Ec

cE

BE

Ondas eletromagnéticas

Transporte de energia

x

z

y

k

0E

0B

dansd ˆ

tc

U

Definindo

BES

0

1

0E

0B S

|| SI

S

é o vetor de Poynting e

A

danSdt

dUˆ

Ondas eletromagnéticas

Transporte de energiaSe a potência fornecida pela fonte é Pf temos

A

f danSP ˆ

Emissão isotrópica

SrSnS ˆˆ

24 R

PSI f

Ondas eletromagnéticas esféricas

Uma estação de rádio AM transmite isotropicamente com uma

potência média de 4,00 kW. Uma antena de dipolo de recepção

de 65,0 cm de comprimento está a 4,00 km do transmissor.

Calcule a amplitude da f.e.m. induzida por esse sinal entre as

extremidades da antena receptora.

Ondas eletromagnéticas

Problema 2

Uma estação de rádio AM transmite isotropicamente com uma potência média de 4,00 kW. Uma antena de dipolo de recepção de 65,0 cm de comprimento está a 4,00 km do transmissor. Calcule a amplitude da f.e.m. induzida por esse sinal entre as extremidades da antena receptora.

kWP

d

PItkxEE

f

fm

4

4;)(sen 2

f

d = 4 km

E

B

x

y

L = 0,65 m

2/1

002

)()(...

c

P

d

LLdEdydEmef f

m

L

mL

mVVmFsm

W

m

mL 80080,0

)/1085,8()/103(2

104

104

65,02/1

128

3

3

;2

)(2

12/1

20

20

dc

PdEEcI f

mm mF /1085,8 12

0

Ondas eletromagnéticas

Transporte de momento linear: pressão de radiação

x

z

y

k

0E

0B

dansd ˆ

tc

U

0E

0B S

O mesmo elemento que transporta a energia também transporta o momento linear

U

kcU

p ˆ

Densidade de momento linear

Momento linear do campo EM ?

Sim !

Aguardem as aulas de relatividade!

Momento linear transferido para um objeto onde incide a radiação

kcU

paˆ

Ondas eletromagnéticas

Transporte de momento linear : pressão de radiação

kcU

prˆ2

no caso de absorçãototal da radiação

no caso de reflexãototal da radiação

p

p

p

Ondas eletromagnéticas

Transporte de momento linear : pressão de radiação

tIAU

cI

AF

PcIA

tp

F aa

aa

cI

AF

PcIA

tp

F rr

rr

22

Pressão de radiação na absorção total

Pressão de radiação na reflexão total

A

danSdt

dUˆ

p

p

p

Ondas eletromagnéticas

Problema 3

Uma pequena espaçonave, cuja massa é 1,5 x 103 kg (incluindo um astronauta), está perdida no espaço, longe de qualquer campo gravitacional. Se o astronauta ligar um laser de 10 kW de potência, que velocidade a nave atingirá após transcorrer um dia, por causa do momento linear associado à luz do laser?

Uma pequena espaçonave, cuja massa é 1,5 x 103 kg (incluindo um astronauta), está perdida no espaço, longe de qualquer campo gravitacional. Se o astronauta ligar um laser de 10 kW de potência, que velocidade a nave atingirá após transcorrer um dia, por causa do momento linear associado à luz do laser?

m

xvv ˆ

luzn pp

dt

dpF

dt

pdF luz

nn

n

mc

Pama

c

PFn x

c

Upluz ˆ

c

P

dt

dU

dt

dpluz c

1attvvatvtv )(0se;)( 00

skgmkWP 86400606024dia1;1500;10

!/109,1/1031500

8640010 38

4

smsmkg

sWt

mc

Pv

Ondas eletromagnéticas

Polarização da radiação

Polarização linear: Direção do campo elétrico ),( trE

http://www.colorado.edu/physics/2000/polarization/index.html

Ondas eletromagnéticas

Polarização da radiação

)sin(),( 0 trkEtrE

ytkzE

xtkzEtrE

ˆ)cos(

ˆ)sin(),(

0

0

Polarização linear Polarização circular

1),(),( 22 trEtrE yx

Ondas eletromagnéticas

Polarização da radiação

Um pulso eletromagnético geral corresponde a uma superposição de vários pulsos que oscilam em diferentes direções, com diferentes fases radiação não-polarizada

Polarização elíptica

ytkzExtkzEtrE yx ˆ)cos(ˆ)sin(),( 00

1),(),(

20

2

20

2

y

y

x

x

E

trE

EtrE

xE

yE

Fios metálicos

Ondas eletromagnéticas

Polarizadores

A luz polarizada em uma dada direção é absorvida pelo material usado na fabricação do polarizador. A intensidade da luz polarizada perpendicularmente a esta direção fica inalterada.

Exemplo:

http://www.colorado.edu/physics/2000/polarization/

Ondas eletromagnéticas

Polarizadores

Intensidade incidente da radiação polarizada:

)(21

21 2

02||00

2000 EEcEcI

sin

cos

00

0||0

EE

EE

Intensidade da radiação polarizada ao longo de :

20 cosII

y

Ondas eletromagnéticas

Polarizadores

Intensidade da radiação incidentenão-polarizada:

2000 2

1EcI

Intensidade da radiação polarizada ao longo de y

2

0

02020 2

cos2

cosI

dI

II

Visualização através de um polarizador:

Ondas eletromagnéticas

Polarizadores

Ondas eletromagnéticas

Problema 4

Um feixe de luz polarizada passa por um conjunto de dois filtros polarizadores. Em relação à direção de polarização da luz incidente, as direções de polarização dos filtros são para o primeiro filtro e 90º para o segundo. Se 10% da intensidade incidente é transmitida pelo conjunto, quanto vale ?

Um feixe de luz polarizada passa por um conjunto de dois filtros polarizadores. Em relação à direção de polarização da luz incidente, as direções de polarização dos filtros são para o primeiro filtro e 90º para o segundo. Se 10% da intensidade incidente é transmitida pelo conjunto, quanto vale ?

900I2

I0

I1

E

1,00

2 I

I

dado:

1,0sencossen90sencos90coscos 2222

0

2 I

I

)90(coscos)90(cos;cos 220

212

201 IIIII

2224 cos;01,001,0coscos xxx

2

775,01

2

4,011x

4,703354,0cos1125,0

6,199421,0cos8875,0

22

11

Ondas eletromagnéticas Reflexão e refração

xkktkx ˆ seconst.

A frente de onda é o lugar geométrico dos pontos onde

const. trk

Frente de onda plana

Ondas eletromagnéticas

Reflexão e refração

00

1

c

1v

)()(1

)(rr

rv

No vácuo

Em meios materiais

Em geral

t

tt

tt 2

tt 3

raiosfrentes de onda

Ondas eletromagnéticas

Reflexão e refração: Princípio de Huygens

Todos os pontos de uma frente de onda se comportam como fontes pontuais para ondas secundárias.

Depois de um intervalo de tempo t, a nova posição da frente onda é dada por uma superfície tangente a estas ondas secundárias.

Ondas eletromagnéticas

Reflexão e refração: Princípio de Huygens

Ondas eletromagnéticas

Reflexão e refração

1v

2v

Índice de refraçãovc

n

http://ww

w.phy.ntnu.edu.tw

/ntnujava/viewtopic.php?t=

32

ri

reflexão especularAD

tvADBD

i1sin

ADtv

ADAC

r1sin

Ondas eletromagnéticas

Reflexão e refração

ir

Ondas eletromagnéticas

Reflexão e refração: reflexão especular x reflexão difusa

Ondas eletromagnéticas

Reflexão e refração: Lei de Snell

AD

tv

AD

BD ii sen

AD

tv

AD

AE tt sen

1v

2v

ii v

cn

2211 sinsin nn

i 1

t 2

onde

i

t

Ondas eletromagnéticas

Reflexão e refração: Lei de Snell

21 nn 21 nn

12

12 sensen

n

n

Ondas eletromagnéticas

Reflexão e refração: Lei de Snell

21 nn 21 nn

12

12 sensen

n

n

Ondas eletromagnéticas Reflexão interna total

Se a incidência se dá de um meio mais refringente para outro menos refringente, ou seja, , há um ângulo crítico acima do qual só há reflexão.

21 nn

221 2sinsin nnn c

1

21sinn

nc

n1

n2

n1 > n2

c

1

2

2211 sinsin nn

Ondas eletromagnéticas

Reflexão interna total: fibras ópticas

Ondas eletromagnéticas

Dispersão cromática )(nn )sin()(),( trkkEtrEk

Luz branca)()(se 2121 nn Em geral,

Ondas eletromagnéticas

Dispersão cromática )(nn

Luz branca)()(se 2121 nn Em geral,

)sin()(),( trkkEtrEk

Ondas eletromagnéticas

Dispersão cromática:Formação do arco-íris

~ 42º

Ondas eletromagnéticas

Polarização por reflexão

A luz refletida por uma superfícieé totalmente polarizada na direção perpendicular ao plano de incidência quando

2 ri

Então

2sinsin 21

ii nn

1

2tannn

i 1

21tannn

Bi

B : ângulo de Brewster

B

n2

n1

Ondas eletromagnéticas

Problema 5

Uma fonte luminosa pontual está 80,0 cm abaixo da superfície de uma piscina. Calcule o diâmetro do círculo, na superfície, através do qual a luz emerge da água.

Uma fonte luminosa pontual está 80,0 cm abaixo da superfície de uma piscina. Calcule o diâmetro do círculo, na superfície, através do qual a luz emerge da água.

d

R

h

2/122 Rdh

m0,8d

ararcOH nnn 90sensen2

1/222 )R(d

R

h

R752,0

33,1

1sen

2

OH

arc n

n

)565,01(R),80(565,0R)R(d565,0 22222

cm182D

m1,8242RD;m0,912R832,0R 2