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Estudo de caso
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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE CENTRO DE TECNOLOGIA PROGRAMA DE PS-GRADUAO EM ENGENHARIA SANITRIA
MANOEL BARRTO JUNIOR
OTIMIZAO DE UM SISTEMA DE DISTRIBUIO PREDIAL DE GUA FRIA
ESTUDO DE CASO
Natal RN 2006
MANOEL BARRTO JUNIOR
OTIMIZAO DE UM SISTEMA DE DISTRIBUIO PREDIAL DE GUA FRIA
ESTUDO DE CASO
Dissertao apresentada ao Programa de Ps-graduao em Engenharia Sanitria da Universidade Federal do Rio Grande do Norte, como requisito parcial obteno do ttulo de Mestre em Engenharia Sanitria.
Orientador: Prof. Dr. Manoel Lucas Filho
Co-orientador: Prof. Dr. Ada Cristina Scudelari
Natal 2006
MANOEL BARRTO JUNIOR
OTIMIZAO DE UM SISTEMA DE DISTRIBUIO PREDIAL DE GUA FRIA
ESTUDO DE CASO
Dissertao apresentada ao Programa de Ps-graduao em Engenharia Sanitria da Universidade Federal do Rio Grande do Norte, como requisito parcial obteno do ttulo de Mestre em Engenharia Sanitria.
BANCA EXAMINADORA
______________________________________________________
Dr. Manoel Lucas Filho Orientador
____________________________________________________________ Dr. Joo Abner Guimares Junior Examinador UFRN
____________________________________________________________
Dr. Marco Aurlio Holanda de Castro, Ph.D. Examinador Externo UFC
Natal, 21 de dezembro de 2006.
A Deus pelos muitos dons. A minha esposa Belva e minhas filhas Manoela e Marina pelo amor, carinho e incentivo fundamentais durante o desenvolvimento deste trabalho e em todos os dias da minha vida.
Dedico.
AGRADECIMENTOS
Ao meu orientador, Prof. Manoel Lucas Filho, pelo incentivo inicial, confiana
depositada e valiosa orientao durante a realizao deste trabalho. Sua experincia
de pesquisador, seu entusiasmo e profissionalismo muito contriburam para o bom
desenvolvimento do mesmo.
Aos professores membros da banca examinadora, pela disponibilidade em participar
da Defesa de Dissertao.
Prof. Ada Cristina Scudelari, pela importante orientao na elaborao da
presente Dissertao.
Ao coordenador do Programa de Ps-graduao em Engenharia Sanitria da
Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Prof. Antonio Marozzi Righetto, pelo
apoio e compreenso.
Aos professores do Programa de Ps-graduao em Engenharia Sanitria da
Universidade Federal do Rio Grande do Norte, pelo conhecimento e experincia
transmitidos ao longo do curso.
Aos colegas do Curso de Ps-graduao, aos funcionrios e colaboradores do
Laboratrio de Recursos Hdricos e Saneamento Ambiental da UFRN e aos colegas
da A. R. Projetos & Construes Ltda., pelo apoio e amizade.
Aos amigos e scios Adolfo Mesquita e Rmulo Cirne, pelo apoio recebido e por
terem compreendido as minhas ausncias durante a realizao da Ps-graduao.
Aos meus pais Manoel Barrto e Dorinha (in memoriam), pelo amor, dedicao e
cujos ensinamentos ficaro guardados para sempre em minha mente e no meu
corao.
Aos demais familiares e amigos, que sempre me incentivaram e estiveram ao meu
lado me apoiando e depositando sua confiana.
RESUMO Esta Dissertao apresenta uma metodologia para a otimizao de um sistema de distribuio predial de gua fria. Trata-se de um estudo de caso aplicado ao Condomnio Residencial Bzios Tropical, localizado na Praia de Bzios, municpio de Nsia Floresta, litoral leste do Estado do Rio Grande do Norte, distante vinte quilmetros de Natal. O dimensionamento de redes de distribuio predial de gua fria segundo os critrios da Norma NBR 5626 da ABNT - Associao Brasileira de Normas Tcnicas, no garante que a soluo encontrada seja a soluo tima de menor custo. necessria a utilizao de uma metodologia para otimizao, que nos fornea, entre todas as solues possveis, a soluo de custo mnimo. No processo de otimizao do sistema de distribuio predial do Condomnio Bzios Tropical, utilizado o Mtodo Granados, que um algoritmo iterativo de otimizao, baseado na Programao Dinmica, que fornece a rede de custo mnimo, em funo da cota piezomtrica do reservatrio. Para a aplicao desse Mtodo a redes ramificadas, utilizado um programa de computador em linguagem C. Esse processo dividido em duas etapas: obteno da soluo prvia e reduo da cota piezomtrica de cabeceira. Na obteno da soluo prvia so utilizados os menores dimetros possveis que garantam o limite de velocidade mxima e os requisitos de presses mnimas. A cota piezomtrica de cabeceira elevada ficticiamente para garantir esses requisitos. Na segunda etapa do Mtodo Granados utilizado um processo iterativo, cujo objetivo reduzir gradualmente a cota de cabeceira, considerando a substituio de trechos da tubulao da rede pelos dimetros subseqentes, considerando um acrscimo mnimo de custo para a rede. A mudana de dimetro feita no trecho timo que apresenta o menor Gradiente de Cmbio. O processo se encerra quando atingida a cota de cabeceira desejada. So calculados os custos com materiais da rede otimizada e feita a anlise dos mesmos, atravs da comparao com os custos da rede convencional.
Palavras-chave: Sistema de distribuio predial. Dimensionamento de redes. Otimizao. Mtodo Granados.
ABSTRACT This dissertation presents a methodology to the optimization of a predial system of cold water distribution. Its about a study of a case applied to the Tropical Buzios Residential Condominium, located in the Bzios Beach, Nsia Floresta city, the east coast of the Rio Grande do Norte state, twenty kilometers far from Natal. The design of cold water distribution networks according to Norm NBR 5626 of the ABNT - Brazilian Association of Techniques Norms, does not guarantee that the joined solution is the optimal solution of less cost. Its necessary the use of an optimization methodology, that supplies us, between all the possible solutions, the minimum cost solution. In the optimization process of the predial system of water distribution of the Tropical Bzios Condominium, is used Method Granados, that is an iterative algorithm of optimization, based on the Dynamic Programming, that supplies the minimum costs network, in function of the piezometric quota of the reservoir. For the application of this Method in ramifies networks, is used a program of computer in C language. This process is divided in two stages: attainment of the previous solution and reduction of the piezometric quota of headboard. In the attainment of the previous solution, the minors possible diameters are used that guarantee the limit of maximum speed and the requirements of minimum pressures. The piezometric quota of headboard is raised to guarantee these requirements. In the second stage of the Granados Method, an iterative process is used and it objective is to reduce the quota of headboard gradually, considering the substitution of stretches of the network pipes for the subsequent diameters, considering a minimum addition of the network cost. The diameter change is made in the optimal stretch that presents the lesser Exchange Gradient. The process is locked up when the headboard quota of desired is reached. The optimized networks material costs are calculated, and is made the analysis of the same ones, through the comparison with the conventional networks costs. Keywords: Predial system of water distribution. Design of networks. Optimization. Granados Method.
LISTA DE ILUSTRAES FIGURA 1 Dimetro das tubulaes e vazes em funo da soma dos
pesos.......................................................................................................................................... 22FIGURA 2 Perda de carga localizada. Tabela com sua equivalncia em
metros de tubulao retilnea de PVC rgido ou cobre................. 25QUADRO 1 Planilha com tabela de presses. Modelo de planilha segundo a
NBR 5626 ABNT (1998)............................................................. 26DESENHO 1 Rede de distribuio de gua com n trechos................................ 38DESENHO 2 Rede de distribuio de gua com n trechos e pontos terminais
A e B.............................................................................................. 40DESENHO 3 Rede de distribuio de gua ramificada com pontos terminais
A, B e C......................................................................................... 41DESENHO 4 Rede de distribuio de gua com grfico das presses
mnimas nos pontos terminais e linha piezomtrica..................... 44MAPA 1 Mapa de situao da Praia de Bzios, municpio de Nsia
Floresta RN................................................................................ 49FOTOGRAFIA 1 Fotografia area do Condomnio Residencial Bzios Tropical..... 50FOTOGRAFIA 2 Fotografia do Bloco de Apartamentos Tipo 01 do Condomnio
Residencial Bzios Tropical.......................................................... 51FOTOGRAFIA 3 Fotografia do Bloco de Apartamentos Tipo 02 do Condomnio
Residencial Bzios Tropical....................................................................................... 51FOTOGRAFIA 4 Fotografia dos Bangals do Condomnio Residencial Bzios
Tropical.......................................................................................... 52QUADRO 2 Trechos da Rede de Distribuio Predial de gua Fria do
Condomnio Bzios Tropical......................................................... 57DESENHO 5 Isomtrico do sub-ramal de alimentao do chuveiro................... 66FLUXOGRAMA 1 Fluxograma para determinao do cmbio timo e do nmero
de trechos timos.......................................................................... 75FLUXOGRAMA 2 Fluxograma para seleo dos trechos timos.............................. 77FLUXOGRAMA 3 Fluxograma para determinao da folga de presso mnima, do
trecho com folga de presso mnima e do decrscimo de presso................................................................................................................. 79
FLUXOGRAMA 4 Fluxograma para o decrscimo de presso em todos os trechos da rede aps a substituio do dimetro do trecho timo............ 80
FLUXOGRAMA 5 Fluxograma para correo das folgas de presso no trecho timo e nos trechos localizados a jusante do mesmo................... 81
GRFICO 1 Relao entre as perdas de carga nos trechos retos e conexes em funo das cotas piezomtricas de cabeceira.................................. 83
FLUXOGRAMA 6 Fluxograma para o clculo da perda de carga disponvel e do gradiente de cmbio aps a substituio do dimetro do trecho timo.............................................................................................. 86
DESENHO 6 Rede de distribuio de gua a ser otimizada para verificao do programa................................................................................. 89
LISTA DE TABELAS TABELA 1 Vazes e pesos atribudos aos aparelhos sanitrios.............. 20
TABELA 2 Vazo de projeto e pesos relativos Apartamento Tipo 01 Coluna de gua Fria AF 01..................................................... 53
TABELA 3 Vazo de projeto e pesos relativos Apartamento Tipo 01 Coluna de gua Fria AF 02............................................................... 53
TABELA 4 Vazo de projeto e pesos relativos Apartamento Tipo 01 Coluna de gua Fria AF 03..................................................... 54
TABELA 5 Vazo de projeto e pesos relativos Apartamento Tipo 02 Coluna de gua fria AF 01 e AF 04......................................... 54
TABELA 6 Vazo de projeto e pesos relativos Apartamento Tipo 02 Coluna de gua Fria AF 02 e AF 03....................................... 54
TABELA 7 Vazo de projeto e pesos relativos Bangal Banheiro...... 55TABELA 8 Vazo de projeto e pesos relativos Bangal Cozinha....... 55TABELA 9 Vazo de projeto e pesos relativos rea de Lazer e Apoio
da Piscina................................................................................ 55TABELA 10 Vazo de projeto e pesos relativos Guarita.......................... 56TABELA 11 Custos unitrios (R$) de tubos e conexes de PVC Marca
Tigre Linha Soldvel dimetros 20 100 mm e Linha PBS dimetros 160 200 mm......................................................... 68
TABELA 12 Variveis utilizadas no clculo da perda de carga unitria...... 73TABELA 13 Dados da rede de distribuio de gua para o arquivo de
entrada do Programa de Otimizao....................................... 89TABELA 14 Custos unitrios dos dimetros da rede de distribuio
expressos em pesetas (Pts).................................................... 90TABELA 15 Resultados obtidos aps otimizao da rede de distribuio
de gua utilizando o Mtodo Granados................................... 92
SUMRIO
1 INTRODUO............................................................................................................... 11
1.1 GENERALIDADES..................................................................................................... 111.2 JUSTIFICATIVAS........................................................................................................ 131.3 OBJETIVOS..................................................................................................................... 141.3.1 Objetivo geral............................................................................ 141.3.2 Objetivos especficos................................................................ 141.4 ORGANIZAO DO TRABALHO............................................. 15
2 REVISO BIBLIOGRFICA............................................................................... 16
2.1 GENERALIDADES..................................................................................................... 162.2 PROJETO DE SISTEMAS DE DISTRIBUIO PREDIAL DE
GUA FRIA............................................................................... 182.3 OTIMIZAO UTILIZANDO PROGRAMAO LINEAR E
NO LINEAR............................................................................ 272.4 OTIMIZAO UTILIZANDO PROGRAMAO DINMICA..... 312.5 MTODO GRANADOS............................................................. 332.5.1 Obteno da Soluo Prvia.................................................... 342.5.2 Reduo da cota piezomtrica de cabeceira............................ 372.5.3 Caracterizao do Sistema Granados...................................... 42
3 DESCRIO DO CASO EM ESTUDO.................................... 48
3.1 GENERALIDADES................................................................... 483.2 APRESENTAO DO CONDOMNIO EM ESTUDO............... 493.3 PROJETO DE INSTALAES PREDIAIS DE GUA FRIA
DO CONDOMNIO BZIOS TROPICAL.................................. 523.3.1 Clculo das vazes de projeto.................................................. 533.3.2 Trechos da rede de distribuio predial de gua fria do
Condomnio Bzios Tropical..................................................... 563.3.3 Verificao das presses nos pontos terminais da rede de
distribuio predial de gua fria do Cond. Bzios Tropical....... 65
3.3.4 Custo dos tubos e conexes da rede de distribuio predial de gua fria do Condomnio Bzios Tropical............................ 67
4 APLICAO DO MTODO GRANADOS DE OTIMIZAO.. 70
4.1 PROGRAMA PARA OTIMIZAO DA REDE DE
DISTRIBUIO PREDIAL DE GUA FRIA PELO MTODO GRANADOS............................................................................. 70
4.1.1 Obteno da Soluo Prvia.................................................... 71
4.1.2 Reduo da cota piezomtrica de cabeceira............................ 744.1.3 Programa para otimizao da rede de distribuio predial de
gua fria do Condomnio Bzios Tropical utilizando o Mtodo Granados.................................................................................. 87
4.2 VERIFICAO DO PROGRAMA DE OTIMIZAO PELO MTODO GRANADOS............................................................. 88
4.3 APLICAO DO PROGRAMA DE OTIMIZAO UTILIZANDO O MTODO GRANADOS REDE DE DISTRIBUIO PREDIAL GUA FRIA DO CONDOMNIO.... 93
4.4 REDE DE DISTRIBUIO PREDIAL DE GUA FRIA OTIMIZADA.............................................................................. 101
5 APRESENTAO DOS RESULTADOS E CONCLUSES... 103 5.1 CUSTO DA REDE DE DISTRIBUIO DE GUA FRIA DO
CONDOMNIO.......................................................................... 1035.1.1 Rede dimensionada segundo a Norma NBR 5626................... 103
5.1.2 Rede otimizada segundo o Mtodo Granados......................... 1035.1.3 Anlise comparativa dos custos............................................... 104
5.2 CONCLUSES......................................................................... 105
REFERNCIAS........................................................................ 106 APNDICES............................................................................. 110
1 INTRODUO
O dimensionamento da tubulao de uma rede de distribuio predial de gua
fria requer, em primeiro lugar, que seja definido para a mesma um traado racional
que minimize os efeitos da perda de carga no interior dos tubos. necessrio
tambm, que sejam atendidos todos os critrios estabelecidos pela Norma NBR
5626 - 1998 da ABNT Associao Brasileira de Normas Tcnicas.
Entretanto, devido subjetividade presente no dimensionamento, so
possveis muitas solues para o problema. No presente trabalho, est apresentada
uma metodologia para otimizao da rede de distribuio predial de gua fria do
Condomnio Residencial Bzios Tropical, que fornece, entre todas as solues
possveis, a soluo de menor custo.
1.1 GENERALIDADES A disponibilidade de gua fria de qualidade em quantidade suficiente nas
edificaes residenciais fator fundamental para que sejam preservadas as
condies mnimas de habitabilidade, higiene e conforto. Embora todos reconheam
essa importncia, muitas vezes, observa-se que os sistemas de distribuio predial
de gua fria tm a sua eficincia comprometida pela reduo de custos, atravs do
mau dimensionamento de tubos e conexes e do uso inadequado de materiais.
Os problemas decorrentes de falhas na elaborao do projeto e
especificaes das instalaes prediais de distribuio de gua fria so, muitas
vezes, de soluo difcil e onerosa.
A rede de distribuio de gua de um prdio residencial, a partir do
reservatrio superior de acumulao, constituda de um sistema de tubos que
compreende o barrilete de distribuio, colunas de alimentao, ramais e sub-
ramais. Cada sub-ramal serve a uma pea de utilizao ou aparelho sanitrio, sendo
o mesmo dimensionado segundo ensaios realizados. Os ramais so dimensionados
a partir de suposio do consumo simultneo mximo provvel, baseado na hiptese
de que no haver o funcionamento simultneo dos aparelhos de um mesmo ramal
em prdios residenciais.
O principal objetivo no dimensionamento de redes de distribuio predial de
gua fria a busca de solues que sejam tcnica e economicamente viveis e que
reduzam o custo final do projeto. A norma da ABNT NBR 5626 - 1998 Instalao
Predial de gua Fria prev no captulo destinado economia de gua e
conservao de energia, que o projeto de instalaes deve ser elaborado de forma
que ocorra o uso mais eficiente e mais racional possvel de gua e energia. O custo
das redes de distribuio de gua deve apresentar valores mnimos necessrios e
suficientes ao bom funcionamento da instalao.
Com a popularizao dos computadores, as tcnicas para dimensionamento
de redes de distribuio de gua esto sendo mais aprimoradas, atravs de
mtodos mais eficientes, resultando na melhor qualidade dos projetos apresentados,
uma vez que vrias alternativas podem ser avaliadas com tempo e custo menores.
evidente que os diversos condicionantes de um projeto permitem um
grande nmero de solues para os problemas de dimensionamento e, portanto,
uma diferena de custos entre as possveis solues. Em funo da relao direta
entre soluo adotada e custo da rede, surgiu a necessidade de uma metodologia
de clculo que conduza para um custo mnimo da rede, sem deixar de atender aos
parmetros de projeto, tais como, dimetros comerciais, presses mnimas
necessrias nos pontos terminais e velocidades dentro de faixas adequadas.
Desta forma, nos ltimos 30 anos, tem-se utilizado tcnicas de otimizao
para o dimensionamento de redes de distribuio, ou seja, a determinao da rede
que corresponda ao menor custo.
O desenvolvimento de um algoritmo possibilita que, dentre as vrias opes
com as quais o projetista se depara no dimensionamento de uma rede de
distribuio de gua, ele possa encontrar a soluo tima de custo mnimo, que
atenda a todos os requisitos tcnicos estabelecidos para o projeto, com um tempo
de clculo reduzido pelo uso do computador.
1.2 JUSTIFICATIVAS
No processo de otimizao do sistema de distribuio predial de gua fria do
Condomnio Bzios Tropical, utilizado o Mtodo Granados de Otimizao,
metodologia baseada na Programao Dinmica, atravs da qual se far a
determinao da soluo de menor custo para a rede.
Como medida adicional, feita a substituio dos reservatrios individuais de
gua dos blocos de apartamentos e bangals, em nmero inicial de treze, por um
reservatrio superior nico, que atende a todas as unidades do condomnio.
A utilizao de um reservatrio nico possibilita a imediata reduo nos
custos de construo civil, notadamente, com a estrutura de concreto armado. Outro
aspecto importante ser a diminuio dos gastos com a limpeza e manuteno dos
reservatrios, que devero ser feitas em intervalos pr-determinados, a fim de que
sejam evitados os riscos de contaminao da gua.
Inicialmente, so levantados os custos de implantao do sistema de
distribuio de gua fria do Condomnio Bzios Tropical, considerando, a elaborao
do projeto de instalaes seguindo o dimensionamento da rede de acordo com a
Norma NBR 5626 (1998) da ABNT.
Posteriormente, a rede de distribuio de gua fria do condomnio
submetida ao Mtodo Granados de Otimizao, a fim de que se obtenha a rede de
custo mnimo.
feita uma anlise comparativa entre os valores dos custos de materiais das
duas solues, e desta forma, a verificao do percentual de reduo do custo de
aquisio de tubos e conexes para a rede otimizada, avaliando a eficincia da
metodologia sob o ponto de vista econmico.
1.3 OBJETIVOS
1.3.1 Objetivo Geral
O presente trabalho tem como objetivo apresentar uma metodologia que
promova a otimizao da rede de distribuio predial de gua fria de um condomnio
residencial multi-familiar com edifcios individualizados, com a adoo de um
reservatrio nico de gua, de modo que venha a induzir projetistas e construtores a
adotarem tais tecnologias em sistema de distribuio predial de gua.
1.3.2 Objetivos especficos
Aplicar o Mtodo Granados de Otimizao s redes condominiais de gua
sob presso.
Desenvolver uma ferramenta, que poder ser utilizada por projetistas de
redes de distribuio predial de gua fria, para obteno da rede de custo mnimo.
Fazer uma avaliao global dos custos, em funo da otimizao do sistema
de distribuio de gua condominial.
1.4 ORGANIZAO DO TRABALHO
Este trabalho apresenta a otimizao de uma rede de distribuio predial de
gua fria de um condomnio residencial multi-familiar com edifcios individualizados,
atravs da utilizao do Mtodo Granados de Otimizao, que baseado na
Programao Dinmica.
No captulo 1 feita uma breve apresentao do dimensionamento de uma rede
predial de distribuio de gua fria, da norma utilizada neste dimensionamento e da
metodologia para sua otimizao. Tambm so apresentados os objetivos, as
justificativas e a organizao do trabalho.
No captulo 2 apresentada uma reviso da bibliografia sobre projeto de sistemas
de distribuio predial de gua fria e de metodologias de otimizao utilizando a
Programao Linear, No Linear e Programao Dinmica.
No captulo 3 faz-se a descrio do condomnio residencial em estudo,
Condomnio Bzios Tropical, sua localizao, principais caractersticas e projeto de
instalaes prediais de gua fria.
No captulo 4 feita a aplicao do Mtodo Granados de Otimizao ao sistema
de distribuio predial de gua fria do condomnio. So apresentados os principais
fluxogramas e o programa para otimizao da rede.
No captulo 5 so apresentados e analisados os resultados. O custo da rede
otimizada calculado para avaliao da metodologia. So apresentadas as
concluses sobre a aplicao do Mtodo Granados na otimizao do sistema de
distribuio predial de gua fria do Condomnio Bzios Tropical.
2 REVISO BIBLIOGRFICA
Neste captulo so apresentados aspectos inerentes ao projeto de uma rede
predial de distribuio de gua fria, notadamente, quanto ao dimensionamento da
tubulao dos trechos da mesma, segundo critrios estabelecidos pela norma NBR
5626 (ABNT, 1998). Apresentam-se tambm, aspectos referentes otimizao desta
rede, com a utilizao de metodologias, tais como, a Programao Linear, a
Programao No Linear e a Programao Dinmica. Por fim, enfatiza-se o Mtodo
Granados de Otimizao, objeto deste estudo.
2.1 GENERALIDADES
Para elaborao do projeto de uma rede de distribuio predial de gua fria,
que conduza a rede de custo mnimo, deve-se, inicialmente, estabelecer para esta
rede um bom traado, que racionalize a utilizao de tubos e conexes e reduza a
perda de carga.
O dimensionamento dos dimetros dos tubos feito a partir do
estabelecimento da vazo de projeto para cada sub-ramal e ramal da rede de
distribuio de gua fria. Utiliza-se para tal, o Mtodo da Raiz Quadrada (Alemo),
(GONALVES, 1986), mtodo este recomendado pela ABNT Associao
Brasileira de Normas Tcnicas (NBR 5626, 1998). Os pesos relativos so
estabelecidos empiricamente em funo da vazo de projeto de cada pea de
utilizao. O somatrio total dos pesos convertido na demanda simultnea total do
grupo de peas de utilizao considerado, que expressa como uma estimativa da
vazo a ser usada no dimensionamento da tubulao. Considerando-se os limites de
vazo e velocidade da gua no interior da tubulao, ser feito o dimensionamento
da mesma para cada trecho da rede.
Definido o seu traado e estabelecidos os dimetros dos trechos da rede,
feita a verificao das presses nos diversos pontos de utilizao, a fim de que seja
observado se os requisitos de presso mnima foram atendidos.
Aps o dimensionamento da rede de distribuio predial de gua fria, a
mesma submetida ao processo de otimizao, para que, ao final, se possa
apresentar a soluo de menor custo.
O processo de otimizao de uma rede de distribuio predial de gua fria
consiste no dimensionamento econmico da mesma, atravs da aplicao de um
dos mtodos de otimizao existentes. A seguir, so apresentados mtodos de
otimizao que utilizam, respectivamente, a Programao Linear, Programao No
Linear e Programao Dinmica. So mostradas as particularidades, vantagens e
desvantagens de cada mtodo que ao final, possam justificar a opo feita, no
presente trabalho, pela utilizao do Mtodo Granados de Otimizao baseado na
Programao Dinmica.
A aplicao de processos de otimizao no projeto de redes de distribuio
de gua, tem sido utilizada desde a dcada de 1960. Os primeiros modelos para o
projeto de redes de distribuio de gua foram desenvolvidos para redes
ramificadas. KARMELI et al. (1968) desenvolveu um algoritmo em programao
linear para solucionar sistemas com vazes conhecidas. Esse modelo no
considerava a presena de acessrios como vlvulas, mas indicou que o impacto
dessas peas em termos de desempenho hidrulico e de custo, pode ser facilmente
avaliado quando o layout da estrutura de tubos da rede e o dimetro dos mesmos
so conhecidos. O modelo fornecia uma aproximao soluo tima, mas por ser
aplicado somente a redes ramificadas, no eram utilizados em projetos de redes
urbanas de distribuio de gua.
WATANADA (1973) promoveu estudo sobre a complexidade do desenho
timo de um sistema de distribuio de gua. Em virtude de variveis como
investimento inicial, custo de manuteno e operao, a soluo para o desenho de
custo mnimo obtida atravs de tentativas, pode ser uma soluo razovel e de baixo
custo, mas com certeza, distante da soluo tima.
Outros estudos para otimizao do desenho de custo mnimo de sistemas de
distribuio de gua, foram desenvolvidos por ALPEROVITS e SHAMIR (1977),
QUINDRY et al (1981), ROWELL e BARNES (1982), LANSEY e MAYS (1989) e
DUAN et al (1990).
2.2 PROJETO DE SISTEMAS DE DISTRIBUIO PREDIAL DE GUA FRIA
Inicialmente, apresentam-se as abordagens ao problema da determinao
das vazes de projeto nos trechos de sistemas de distribuio predial de gua fria.
Da anlise dos mtodos estudados destacam-se dois grupos segundo a forma de
abordagem: mtodos empricos e probabilsticos.
A preocupao com o estabelecimento de uma metodologia para a
determinao de vazes de projeto em sistemas prediais de distribuio de gua fria
tem sido, ao longo dos anos, evidenciada pelo trabalho de diversos pesquisadores.
No h, no entanto, o consenso em relao a uma metodologia geral que possa
atender de forma satisfatria s necessidades dos projetistas de instalaes
hidrulicas prediais. A insuficincia de dados de campo e/ou a fragilidade dos
modelos tericos dos mtodos em questo no possibilitam a escolha de um destes
mtodos como o mais adequado. Isto se deve ao fato de que os modelos no
consideram as especificidades relativas ao tipo de ocupao da edificao, a
disponibilidade e as caractersticas do equipamento sanitrio, as diferenas culturais
dos usurios e as condies climticas regionais (GONALVES, 1986).
Segundo GONALVES (1986), no primeiro grupo de mtodos, de natureza
emprica, incluem-se aqueles cuja tcnica de determinao das vazes de projeto
baseia-se na utilizao de tabelas, grficos e expresses matemticas,
estabelecidos a partir da experincia e julgamento de seus propositores. Entre eles
podemos relacionar os seguintes mtodos:
Timmis (1922)
Dawson e Kalinske (1932)
Raiz Quadrada Alemo (1940)
Francs (1942)
Britnico (1946)
RAE Repartio de guas e Esgotos de So Paulo (1949)
Macintyre (1966)
Fretwell (1972)
Raiz Quadrada Modificado (1978)
No segundo grupo de mtodos, de origem probabilstica, incluem-se aqueles
cuja tcnica de determinao das vazes de projeto baseia-se no emprego de
tabelas, grficos e expresses matemticas estabelecidas a partir de conceitos
probabilsticos, utilizando como ferramental bsico a funo de distribuio de
probabilidades binomial. Assim podemos destacar os seguintes mtodos
probabilsticos:
Hunter (1940)
Gallizio (1944)
Burberry / Wise (1969)
CP-310 British Standards Institution (1965 e 1970) / Howick (1972)
Webster (1972)
Courtney (1976)
Konen Hunter Modificado (1980 / 1984)
Murakawa (1985)
Em virtude da relevncia do estabelecimento das vazes de projeto neste
trabalho, feita a apresentao do mtodo emprico da Raiz Quadrada Alemo,
por ser o mtodo de utilizao recomendado pela Associao Brasileira de Normas
Tcnicas ABNT em sua norma NBR 5626 Instalao predial de gua fria
(ABNT, 1998).
Este mtodo apresenta uma expresso matemtica para o estabelecimento
da vazo de projeto de um trecho do sistema predial de distribuio de gua fria,
relacionando pesos associados a tipos de aparelhos sanitrios e o nmero total de
aparelhos de cada tipo, instalados a jusante do trecho (CREDER, 1987).
A expresso matemtica representada pela Equao 2.1:
( ) 212211 NNiirp PnPnPnPnqQ +++++= KK (2.1)
Sendo: 2
=
r
ii q
qP (2.2)
Onde:
pQ vazo de projeto do trecho considerado em litros por segundo (L/s);
rq vazo de referncia em litros por segundo (L/s);
in nmero de aparelhos sanitrios do tipo i, instalados a jusante do trecho
considerado;
iP peso atribudo ao aparelho sanitrio do tipo i;
iq vazo unitria do aparelho do tipo i em litros por segundo (L/s);
N nmero de tipos diferentes de aparelhos sanitrios.
O valor da vazo de referncia, rq , considerado na norma NBR 5626 de
0,30 litros por segundo (L/s) (ABNT, 1998).
A Tabela 1 apresenta os valores de vazes unitrias e pesos atribudos aos diversos tipos de aparelhos sanitrios (ABNT, 1998).
TABELA 1 Vazes e pesos atribudos aos aparelhos sanitrios (ABNT, 1998)
APARELHO SANITRIO E PEA DE UTILIZAO VAZO DE PROJETO (L/s) PESO (Pi)Bacia sanitria com caixa de descarga 0,15 0,30 Bacia sanitria com vlvula de descarga 1,70 32,00 Banheira (misturador gua fria) 0,30 1,00 Bebedouro com registro de presso 0,10 0,10 Bid (misturador gua fria) 0,10 0,10
APARELHO SANITRIO E PEA DE UTILIZAO VAZO DE PROJETO (L/s) PESO (Pi)Chuveiro (misturador gua fria) 0,20 0,40 Chuveiro eltrico 0,10 0,10 Lavatrio (torneira ou misturador) 0,15 0,30 Mquina de lavar roupa ou pratos 0,30 1,00 Mictrio cermico com vlvula de descarga 0,50 2,80 Mictrio cermico com cx. descarga ou reg. presso 0,15 0,30 Mictrio de descarga descontnua tipo calha 0,15 0,30 Pia/torneira ou misturador (gua fria) 0,25 0,70 Pia/torneira eltrica 0,10 0,10 Tanque de lavar torneira 0,25 0,70 Torneira de jardim ou lavagem geral 0,20 0,40
Fonte: NBR 5626 (ABNT, 1998)
Procurando uma soluo de fcil aplicao para o dimensionamento dos
ramais e colunas de alimentao dos prdios, a NBR 5626 adota um mtodo
baseado na probabilidade de uso simultneo dos aparelhos e peas, onde no faz
distino quanto natureza do prdio, tipo de ocupao e regime de horrio
(MACINTYRE, 1996). O mtodo consiste no seguinte:
Atribuem-se pesos s vrias peas de utilizao para definir suas
demandas, utilizando a Tabela 1.
Somam-se os pesos das diversas peas de utilizao: P
Calcula-se a raiz quadrada da soma de pesos: ( ) 21P
Multiplica-se o valor de ( ) 21P por um coeficiente de descarga C (vazo de referncia), sendo C = 0,30 litros por segundo ( L/s ), para
se obter a descarga em litros por segundo ( L/s ).
A vazo de projeto ser calculada pela Equao 2.3:
( ) 2130,0 = PQ (2.3) O peso funo apenas da demanda. No so levados em considerao os
tempos e os intervalos de funcionamento dos aparelhos ao estabelec-lo. Pelo
processo da norma, nunca se somam as vazes, mas sim, apenas pesos para todos
os ramais da rede de distribuio de gua fria. Somente depois de determinado o
peso correspondente a um dado trecho que se passa ao clculo da vazo
correspondente.
Conhecido o valor da vazo de projeto, pode-se usar o grfico da Figura 1 para obter o
dimetro da tubulao, diretamente, em funo da vazo e da soma dos pesos (MACINTYRE,
1996).
FIGURA 1 Dimetro das tubulaes e vazes em funo da soma dos pesos
(MACINTYRE, 1996).
A perda de carga a energia que o fluido ir despender para escoar ao longo
de um tubo. Ela depende do seu comprimento e dimetro interno, da rugosidade da
sua superfcie interna e da vazo.
Objetivando evitar o aumento das perdas de carga no interior da tubulao,
procura-se manter a velocidade da gua abaixo dos limites estabelecidos por norma.
Na NBR 5626 (1998) est colocado que as tubulaes devem ser dimensionadas
de modo que a velocidade da gua, em qualquer trecho de tubulao, no atinja
valores superiores a 3 m/s.
MACINTYRE (1996), afirma que ao se dimensionar o encanamento de uma
rede de distribuio de gua, deve-se considerar como velocidade mxima o valor
de 2,5 m/s.
Em projetos de instalaes prediais de gua fria, cuja topologia
caracterizada por trechos curtos de tubulaes, variao de dimetros (em geral
menores que 110mm) e presena de grande nmero de conexes, usual a
utilizao da frmula emprica de Fair-Whipple-Hsiao para o clculo da perda de
carga no interior da tubulao (PORTO, 2003).
A NBR 5626 (1998) recomenda para calcular o valor da perda de carga nos
tubos, a utilizao da equao universal, obtendo-se os valores das rugosidades
junto aos fabricantes dos tubos. Na falta dessa informao, a referida norma afirma
ainda, que pode ser utilizada a expresso de Fair-Whipple-Hsiao, indicada abaixo
(Equao 2.4):
75,475,1500.869 = DQJ (2.4)
Onde:
J perda de carga unitria, em metro por metro (m/m);
Q vazo estimada da seo considerada em litros por segundo (L/s);
D dimetro interno do tubo em milmetros (mm);
Alm da perda de carga que ocorre ao longo da tubulao retilnea
apresentada anteriormente, existe a perda de carga ocasionada pelas conexes que
ligam os tubos, vlvulas, curvas, registros, etc.
A presena de cada uma dessas peas, necessrias para a operao do
sistema, concorre para que haja alterao de mdulo ou direo da velocidade
mdia, e conseqentemente de presso, localmente. Isso se reflete em um
acrscimo de turbulncia que produz perdas de carga que devem ser agregadas s
perdas distribudas, devido ao atrito, ao longo dos trechos retilneos das tubulaes.
Tais perdas recebem o nome de perdas de carga localizadas ou singulares (PORTO,
2003).
Na prtica, as canalizaes no so constitudas exclusivamente por tubos
retilneos e de mesmo dimetro. Usualmente, incluem ainda peas especiais e
conexes que, pela forma e disposio, elevam a turbulncia, provocam atritos e
causam o choque de partculas, dando origem a perdas de carga. Alm disso,
apresentam-se nas canalizaes outras singularidades, como vlvulas, registros e
medidores, tambm responsveis por perdas dessa natureza (AZEVEDO NETTO,
1986).
O Mtodo dos comprimentos equivalentes indicado pela norma NBR 5626
(ABNT, 1998) para determinao da perda de carga em conexes e singularidades.
O mtodo consiste em substituir, para simples efeito de clculo, cada
acessrio da instalao por comprimentos de tubos retilneos, de igual dimetro, nos
quais a perda de carga seja igual provocada pelo acessrio, quando a vazo em
ambos a mesma. Assim cada comprimento equivalente adicionado ao
comprimento real da tubulao, a fim de simplificar o clculo, transformando o
problema em um problema de simples perda distribuda (PORTO, 2003).
A Figura 2 apresenta os comprimentos equivalentes de tubulao retilnea
para os diversos tipos de conexes em tubos lisos de plstico, cobre ou liga de
cobre. Esta tabela apresentada na NBR 5626 (1998) e retirada da publicao da
Crane Corporation (MACINTYRE, 1996).
FIGURA 2 Perda de carga localizada - Tabela com sua equivalncia em metros de tubulao retilnea de PVC rgido ou cobre (MACINTYRE, 1996).
A norma NBR 5626 (1998) sugere uma rotina para o dimensionamento das
tubulaes com base na planilha apresentada no Quadro 1, cujos passos
apresentamos a seguir:
1. Preparar o esquema isomtrico de rede e numerar
seqencialmente cada n ou ponto de utilizao desde o
reservatrio ou desde a entrada do cavalete;
2. Introduzir a identificao de cada trecho da rede na planilha;
3. Determinar a soma dos pesos relativos de cada trecho, usando
a Tabela 1;
4. Calcular para cada trecho a vazo estimada (Q), em litros por
segundo (L/s), com base na Equao 2.3;
5. Partindo da origem de montante da rede, selecionar o dimetro
interno da tubulao de cada trecho, considerando que a
velocidade da gua no deva ser superior a 3 m/s. Registrar o
valor da velocidade e o valor da perda de carga unitria
calculada pela Equao 2.4 em cada trecho;
6. Determinar a diferena de cotas geomtricas entre a entrada e a
sada de cada trecho (desnvel), considerando positiva quando a
entrada tem cota superior a da sada e negativa em caso
contrrio;
7. Determinar a presso disponvel na sada de cada trecho,
somando ou subtraindo presso residual na sua entrada o
valor da diferena de cota (desnvel);
8. Medir o comprimento real do tubo que compe cada trecho
considerado;
9. Determinar o comprimento equivalente de cada trecho somando
ao comprimento real os comprimentos equivalentes das
conexes e singularidades;
10. Determinar a perda de carga total de cada trecho, multiplicando
o valor da perda de carga unitria pelo comprimento equivalente
total do trecho;
11. Determinar a presso disponvel residual na sada de cada
trecho, subtraindo a perda de carga total da presso disponvel;
12. Se a presso residual for menor que a presso requerida no
ponto de utilizao, ou se a presso for negativa, repetir o
processo a partir do passo nmero 5, selecionando um dimetro
interno maior para a tubulao de cada trecho.
70
QUADRO 1 - Planilha com tabela de presses Modelo de Planilha segundo NBR 5626 ABNT (1998).
Em condies dinmicas (com escoamento), a presso da gua nos pontos
de utilizao deve ser estabelecida de modo a garantir a vazo de projeto indicada
na Tabela 1 e o bom funcionamento da pea de utilizao e do aparelho sanitrio.
Em qualquer caso, a presso no deve ser inferior a 10 KPa (1 m.c.a.), com exceo
do ponto da caixa de descarga onde a presso pode ser menor do que este valor,
at um mnimo de 5 KPa (0,5 m.c.a.) (ABNT, 1998).
2.3 OTIMIZAO UTILIZANDO PROGRAMAO LINEAR E NO LINEAR
A Programao Linear, tcnica mais conhecida na soluo de problemas de
otimizao, usa um modelo matemtico para descrever o problema em questo. O
adjetivo linear significa que requerido que todas as funes matemticas neste
modelo sejam funes lineares. A palavra programao no se refere
programao de computadores; ao contrrio, trata-se essencialmente de
planejamento. Assim a programao linear faz o planejamento de atividades para
obter um resultado timo, um resultado que alcance a melhor soluo especificada,
de acordo com o modelo matemtico, entre todas as solues viveis (HILLIER,
1988).
No modelo de busca do timo por programao linear se parte do princpio de
que cada um dos trechos da rede possui a vazo e comprimento conhecidos. Alm
disso, cada um dos trechos est coberto por uma gama de dimetros distintos, que
no so variveis explcitas do problema. Cada dimetro ocupa uma extenso de
71
comprimento desconhecida. Este comprimento de cada dimetro a varivel de
deciso ou incgnita do problema. Ao atuar deste modo, se consegue que a funo
objetivo e as restries do problema se tornem lineares, obtendo uma soluo
configurada por dimetros comercialmente disponveis (LUCAS FILHO, 1991).
Dentre as diversas tcnicas de programao linear para otimizao de
sistemas de distribuio de gua, o Gradiente de Programao Linear considerada
a tcnica de maior avano. Esta tcnica foi proposta inicialmente por ALPEROVITS
e SHAMIR (1977), consistindo em um dimensionamento de redes de distribuio de
gua onde so consideradas algumas variveis como constantes e outras como
variveis de deciso a serem dimensionadas atravs da programao linear.
No mtodo do Gradiente de Programao Linear feita uma distribuio
inicial de vazes, estando os trechos da rede divididos em segmentos de diferentes
dimetros, cujos comprimentos so determinados por um programa linear. De
acordo com o gradiente da funo objetivo, alterada a distribuio de vazes e
realizado novo dimensionamento. O processo iterativo transcorre at que ocorra a
convergncia. Este mtodo foi utilizado por QUINDRY et al (1981), BHAVE e LAM
(1983), FUJIWARA et al (1987) e EIGER et al (1994).
De acordo com GOMES (1999), no caso particular do dimensionamento de
redes de distribuio dos sistemas de irrigao sob presso, as variveis de deciso
implcitas so os dimetros das tubulaes, que devem ser dimensionados sob o
critrio de custo mnimo. Os dimetros no podem ser considerados variveis de
deciso explcitas no modelo, porque os custos das tubulaes no variam
linearmente com eles. Para superar esse inconveniente, se utiliza o artifcio de
adotar como variveis de deciso explcitas os comprimentos das tubulaes, j que
os custos das mesmas variam linearmente com seus comprimentos.
Destaca-se tambm, entre os mtodos para resoluo de um problema de
Programao Linear, o Mtodo Simplex, pela sua facilidade de implementao,
aplicabilidade, bem como, sua adaptao ao mtodo computacional. O Mtodo
Simplex um algoritmo de busca numrico e iterativo convergente, que pesquisa os
vrtices do poliedro convexo das restries e fornece a soluo exata de qualquer
sistema de equaes lineares, sujeito otimizao de uma funo objetivo, em um
nmero finito de passos.
A formulao matemtica de otimizao de uma rede coletiva por
programao linear muito simples. Isto tem favorecido a ampla difuso atual desta
72
metodologia, aliada a facilidade de acoplar o clculo a algum dos programas
existentes no mercado de computadores (LUCAS FILHO, 1991).
Para a resoluo do modelo de programao linear se emprega o algoritmo
simplex, do qual existem algumas verses disponveis em softwares comerciais. De
imediato na sua implementao em um computador pessoal, recomendvel utilizar
verses que otimizem tempo de clculo e memria, pois mesmo para redes
pequenas a magnitude do problema grande, se considerarmos que o nmero de
equaes se eleva a 3N, sendo N o nmero de ns da rede (LUCAS FILHO, 1991).
Baseados no mtodo de Programao Linear so destacados os trabalhos
cientficos desenvolvidos por KARMELI et al (1968), WOOD e CHARLES (1972) e de
PLEBAN et al (1984).
Utiliza-se a Programao Linear quando os problemas possuem grande
nmero de variveis independentes, e que os modelos podem ser descritos com a
preciso requerida mediante equaes lineares, onde a funo objetivo apresenta
comportamento linear em relao s variveis de deciso, e as restries sejam
lineares em relao a estas variveis (FIGUEIREDO JNIOR, 2001).
A principal desvantagem da utilizao da programao linear que as
equaes a serem otimizadas e que representam o sistema tm que ser lineares,
fato que, normalmente, no ocorre na prtica.
Se os modelos matemticos que representam os processos fsicos envolvidos
e/ou a funo objetivo podem ser caracterizados pela no linearidade em relao s
variveis de deciso, pode ser utilizada a Programao No Linear (FIGUEIREDO
JNIOR, 2001).
Neste mtodo, grande parte das caractersticas dos sistemas reais pode ser
includa no modelo matemtico, fornecendo uma maior riqueza de modelagem. Por
outro lado, causa uma maior complexidade matemtica, aumentando o tempo de
clculo computacional.
GUERCIO et al (1997) fizeram estudos comparativos entre a programao
linear e a programao no linear, chegando concluso de que o tempo de clculo
computacional na utilizao da programao linear significativamente menor.
A Programao No Linear com restries funo objetivo a ser minimizada
denominada programao no linear restrita, e caso a funo objetivo no possua
restries, ela denominada irrestrita.
73
As tcnicas de resoluo de problemas de programao no linear dividem-se
em analticas e de busca numrica.
As tcnicas analticas procuram determinar solues timas resolvendo
sistemas de equaes com apoio de derivadas. A otimizao pode ser reduzida
procura de razes desses sistemas. O Mtodo de Clculo Diferencial, o Mtodo dos
Multiplicadores de Lagrange e a Programao Geomtrica so exemplos de tcnicas
analticas (CIRILO, 1997).
As tcnicas de busca numrica so mtodos iterativos que melhoram as
solues do processo de otimizao, atravs de informaes obtidas ao longo das
iteraes realizadas. So baseadas no emprego de mtodos numricos para a
resoluo dos problemas, onde no possvel o emprego de solues analticas
(CIRILO, 1997).
Entre os mtodos de busca numrica, podemos citar o Mtodo de Newton-
Raphson, que um processo iterativo para busca da soluo de um conjunto de
equaes no lineares simultneas. Este mtodo uma extenso do mtodo de
Newton para busca unidirecional, onde aproxima a funo objetivo f(x), a ser
minimizada, a uma quadrtica. Enquanto no mtodo do gradiente ocorre uma
convergncia linear, neste mtodo tem-se uma convergncia quadrtica.
Pelo mtodo de Programao No Linear destacam-se as pesquisas feitas
por COLLINS et al (1978), CENEDESE et al (1987) e FUJIWARA et al (1990).
A busca de timos globais, deve ser feita atravs de algoritmos prprios para
este fim. O mtodo Branch and Bound baseado em seqncias convergentes de
limites inferiores e superiores para o timo global. Este mtodo foi utilizado por
EIGER et al (1994), SHERALI e SMITH (1997), SHERALI et al (1998) e KWANYUEN
et al (1998).
Por outro lado, os Algoritmos Genticos so mtodos de etapas de seleo
aleatria que permitem movimentos entre timos locais, porm, no possibilitam
determinar se a soluo encontrada um timo global. Entre os trabalhos
envolvendo Algoritmos Genticos podem ser citados: GOLDBERG (1989), MURPHY
et al (1992), WALTERS et al (1993), SIMPSON et al (1994) e SAVIC et al (1997).
WALSKI et al (1990) citam um mtodo desenvolvido pela U. S. Army Corps
of Enginneers denominado WADISO Water Distribution System Optimization, que
consiste na tcnica de enumerao exaustiva das possveis solues.
74
2.4 OTIMIZAO UTILIZANDO PROGRAMAO DINMICA A Programao Dinmica ou Planificao Dinmica um mtodo de otimizao muito especial de solues adaptado s chamadas operaes de
mltiplos passos ou de mltiplos estgios. Baseado em uma frmula recorrente,
permite otimizar de forma sucessiva os intervalos em que, normalmente, se divide
um processo seqencial (LUCAS FILHO, 1991).
Se for possvel formular um problema em etapas utiliza-se a Programao
Dinmica (FIGUEIREDO JNIOR, 2001).
O mtodo, mais que uma teoria matemtica, um princpio filosfico. Todo o
princpio terico e matemtico de sua formulao est baseado no Teorema de
Bellman: Uma poltica tima tem a propriedade de que, qualquer que seja seu
estado e deciso iniciais, as decises subseqentes devem constituir uma poltica
tima em relao ao estado resultante da deciso inicial. Ou seja, uma trajetria
tima tem a propriedade de que qualquer que tenha sido o primeiro passo, a
trajetria subseqente dever ser tima em relao ao estado resultante final dessa
primeira deciso (LUCAS FILHO, 1991).
De maneira mais simples, na Programao Dinmica cada etapa da
seqncia deve considerar somente os resultados das alternativas da etapa anterior.
Desta forma, a melhor soluo encontrada em cada alternativa da etapa
considerada e ao chegar ao final da seqncia, so conhecidos tanto a melhor
alternativa como o caminho seguido.
MARTIN (1980) faz uma abordagem ao conceito desenvolvido por R.
Bellman, e descreve um algoritmo para determinao do desenho e locao da rota
de menor custo para um sistema de transporte de gua.
Em contraste com a Programao Linear, para o problema da Programao
Dinmica no existe uma formulao matemtica padro. A Programao Dinmica
uma tcnica matemtica de utilidade freqente para se tomar uma seqncia de
decises inter-relacionadas. Ela fornece um procedimento sistemtico para
determinar a combinao de decises que maximizar a eficcia geral (HILLIER,
1988).
O uso da Programao Dinmica na resoluo de um problema qualquer
carece de um sistema operacional para a soluo do mesmo. necessrio em cada
75
caso, que ele se encaixe no princpio de otimizao de Bellman, ou seja, que o
problema possa ser modelado de maneira que seja efetivo o uso de tal metodologia
(LUCAS FILHO, 1991).
Na resoluo da programao dinmica o problema sub-dividido em vrias
etapas ou estgios. Determina-se o timo de cada etapa, relacionando o timo de
uma etapa com o de outra atravs da funo objetivo, at que percorrendo todas as
etapas se obtenha o timo global.
Segundo LUCAS FILHO (1991), o fato de que um problema qualquer possa
ser decomposto em etapas, artificial ou naturalmente, no significa que ser
resolvido com sucesso pela Programao Dinmica, apesar de ser uma condio
necessria, porm no suficiente. Tudo isto verdade, claro, quando estamos
falando de programao matemtica, ou seja, tentando encontrar o melhor ponto
que otimize o modelo econmico.
Ele finaliza, afirmando que a vantagem do uso de determinado mtodo de
otimizao em relao a outro, a possibilidade de poder obter uma melhor
aproximao da soluo tima de um tipo de problema, refletida, por exemplo, na
velocidade de clculo, facilidade de utilizao, compreenso e acompanhamento da
evoluo do clculo, etc.
Como exemplo desta metodologia, tem-se o Mtodo Granados descrito por
GOMES (1999), que um algoritmo iterativo de otimizao, que proporciona o custo
mnimo de uma rede de distribuio ramificada pressurizada, em funo da cota
piezomtrica de alimentao da mesma.
O Mtodo Granados, se caracteriza por seu sistema de otimizao de redes
de distribuio de gua, mediante o avano progressivo no sentido do final para o
incio da rede, reduzindo em cada interao, as folgas de presso disponveis na
mesma (GRANADOS, 1990).
Este mtodo parte de uma soluo prvia para a rede, com dimetros de
custo mnimo e uma cota do reservatrio de montante mxima, necessria para
obteno das presses mnimas nos pontos terminais de utilizao da rede. A
seguir, atravs de interaes sucessivas, so substitudos os dimetros das
tubulaes dos trechos timos, pelos dimetros consecutivos, reduzindo a perda de
carga, e desta forma, reduzindo de forma correspondente a cota de cabeceira do
reservatrio.
76
O Sistema Granados um mtodo de clculo baseado na programao
dinmica, mediante um procedimento iterativo de clculo no qual, seguindo uma rota
de timos, se vai eliminando gradualmente as folgas de presso disponveis nos
pontos terminais da rede, at que se alcana uma cota de cabeceira desejada. Seu
sistema operacional elementar, possibilitando abordar o clculo de redes de
grande tamanho com computadores pessoais (LUCAS FILHO, 1991).
WALTERS (1988) faz uma reviso dos conceitos e aplicaes das
programaes linear, no linear e dinmica e cita que a experincia mostra que os
desenhos otimizados de redes so, usualmente, 5 a 15 % mais econmicos que os
desenhos convencionais.
WALSKI (1985) e GOULTER (1992) fizeram uma extensa reviso dos
clssicos mtodos de otimizao aplicados na resoluo de problemas, sendo que
GOULTER analisou a distncia existente entre os mtodos de otimizao e a sua
utilizao pelos engenheiros projetistas, citando a dificuldade de aplicao para
problemas prticos.
Em 1985 foi realizada na cidade de Nova York uma conferncia onde foram
desenvolvidas vrias sees denominadas "The Battle of the Networks Models",
onde vrios grupos de pesquisa apresentaram seus modelos para otimizao de
uma rede preestabelecida. WALSKI et al. (1987), fez uma anlise dos resultados
obtidos pelas diferentes metodologias e algoritmos empregados, e verificou que as
diferentes solues otimizadas apresentavam custo total similar, isto , com a
mesma ordem de grandeza.
2.5 MTODO GRANADOS
No dimensionamento timo de uma rede de distribuio de gua fria, pode ser
utilizado, como ferramenta de otimizao, o MTODO GRANADOS. Este mtodo
desenvolvido por Alfredo Granados, Espanha, (1990), um algoritmo iterativo de
otimizao, baseado na programao dinmica, que fornece a rede de custo mnimo
de um sistema ramificado de distribuio de gua, em funo da cota piezomtrica
do reservatrio. Este mtodo tem como principal vantagem sobre os demais
mtodos de programao, a liberdade para que a funo objetivo e as respectivas
restries sejam no lineares ou at mesmo descontnuas.
77
Na aplicao do Mtodo Granados, so eliminados os excessos de presses
disponveis nos pontos terminais da rede de distribuio, at atingir a cota de
cabeceira de menor custo ou a cota desejada pelo projetista. Este mtodo de
otimizao muito vantajoso, pois considera a variao dos preos das tubulaes
em funo dos seus dimetros, classes e tipo de material.
A aplicao do Mtodo Granados, no processo de otimizao de uma rede de
distribuio de gua, pode ser dividida em duas etapas:
Obteno da soluo prvia;
Reduo da cota piezomtrica de cabeceira.
2.5.1 Obteno da soluo prvia
Na primeira etapa determinada uma soluo prvia ou soluo inicial que
fornecer o custo timo da rede de distribuio. Esta soluo prvia baseada no
critrio da velocidade mxima do fluxo de gua, e caracterizada pela utilizao dos
menores dimetros comerciais possveis, que atendam ao referido critrio.
Os limites restritivos de velocidade mxima admitida no interior dos tubos
obedecem s condies hidrulicas de trabalho mais desfavorveis, causadas pela
diminuio do dimetro dos mesmos, como por exemplo, os riscos correspondentes
aos eventuais golpes de aretes e os custos indiretos da proteo com
encarecimento de juntas, encaixes e materiais.
Por outro lado, a restrio de velocidade mnima somente est condicionada
por imperativos tcnicos, da prpria metodologia de clculo, que tem por objetivo
fixar um limite razovel para o dimetro mximo previsto para transportar uma dada
vazo. Isto permite acelerar a rapidez dos clculos de otimizao.
A soluo prvia dever atender aos requisitos de presses mnimas
suficientes para as solicitaes nos pontos de consumo e superar as perdas de
carga.
Segundo GRANADOS (1990), a escolha desta soluo prvia como ponto de
partida do processo de clculo, pode ser assim justificada:
- Se parte de uma soluo que est sistematicamente prxima da tima, para
que o nmero de iteraes para se chegar a mesma seja sempre curto;
78
- Nesta soluo inicial os dimetros selecionados para cada trecho so os
menores possveis. Seriam tambm os mais baratos, se no problema de otimizao
no interviesse a classe dos tubos;
- A obteno da soluo prvia de grande simplicidade, uma vez que se
fixam os limites de velocidade mxima para cada dimetro e classe comercial;
- Cada iterao aumentar o dimetro de alguns trechos com relao aos da
soluo precedente, e devido ao sistema de avano na busca do timo, nunca ser
preciso estabelecer um limite de velocidade mnima ou nenhuma outra restrio
destinada a limitar o nmero de dimetros selecionados por trecho.
Para determinao da soluo prvia so enumerados os trechos da rede
[ ]( )iTT , no sentido inverso ao fluxo, do ponto mais extremo da rede para a cabeceira. Em cada trecho devero ser conhecidos: o comprimento [ ]( )iL , a vazo [ ]( )iQF , a cota piezomtrica (presso) mnima exigida no ponto terminal do trecho, uma tabela
com os preos unitrios [ ]( )iPR das tubulaes em funo dos seus dimetros [ ]( )iD , alm dos critrios para determinao das perdas de carga. Os dimetros dos trechos
da soluo prvia [ ]( )iD sero escolhidos de forma que tenhamos as velocidades mximas admissveis no interior dos tubos. Com os dados acima feita a montagem
de uma tabela conforme modelo apresentado no Quadro 1.
Utilizando os dados dessa tabela, se calcula, para cada trecho com dimetro
[ ]iD , a velocidade [ ]iV e a perda de carga [ ]ihf produzida por esta velocidade, assim como, os valores de [ ]iD2 , dimetro comercial imediatamente superior a [ ]iD ,
[ ]iV2 , [ ]ihf 2 e a perda de carga que se recupera ao se substituir o dimetro [ ]iD por [ ]iD2 :
[ ] [ ] [ ]ihfihfihfdisp 2= (2.5)
A perda de carga [ ]ihf obtida a partir da perda de carga unitria [ ]iJ calculada pela Equao 2.4, atravs da expresso:
[ ] [ ] [ ]iLiJihf = (2.6)
79
O custo unitrio da tubulao adotada em cada trecho [ ]iPRC ser utilizado para se calcular o encarecimento que o mesmo sofrer ao substituirmos o seu
dimetro de [ ]iD para [ ]iD2 :
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]( )iLiPRCiLiPRCiPRC = 2 (2.7)
O custo total da soluo prvia igual a soma de todos os valores
[ ] [ ]( )iLiPRC dos trechos que a compem. Para o clculo da cota piezomtrica de cabeceira da soluo prvia CCABi ,
se supe uma cota piezomtrica de cabeceira fictcia igual a zero, e utilizando a
planilha conforme o modelo apresentado no Quadro 1, so calculadas as presses
de jusante de cada trecho da rede (cotas piezomtricas dos pontos terminais), todas
fictcias e negativas. A partir das quais, so calculadas as folgas de presso de cada
trecho, tambm fictcias e negativas.
O valor da menor de todas as folgas de presso fictcias FP , com o sinal
mudado, ser a cota de cabeceira da soluo prvia CCABi .
2.5.2 Reduo da cota piezomtrica de cabeceira
Na definio da soluo prvia, ponto de partida para o processo de
otimizao da rede, a cota piezomtrica de cabeceira, ou seja, a cota de fundo do
reservatrio de gua, foi elevada, de forma fictcia, de um valor suficiente para
possibilitar que a rede atendesse aos requisitos de presses mnimas.
Nesta segunda etapa do Mtodo Granados utilizado um processo iterativo
de operaes cujo objetivo reduzir gradualmente a cota de cabeceira,
considerando a substituio de trechos da tubulao da rede pelos dimetros
subseqentes, considerando um acrscimo mnimo de custo para a rede.
Este processo iterativo interrompido ao ser alcanada a cota piezomtrica
de cabeceira desejada (cota do reservatrio). Uma das aes mais importantes do
Mtodo Granados a associao da perda de carga a um custo e, para atingir este
objetivo, procura-se, a cada iterao, o trecho de gradiente timo entre aqueles que
80
esto compreendidos no trajeto que vai desde o ponto terminal de folga de presso
nula at a cabeceira.
Segundo GRANADOS (1990), o processo de seleo dos trechos nos quais
preciso, em cada iterao, aumentar o dimetro do tubo est fundamentado nos
seguintes princpios:
1. Para efeito de aumento da presso disponvel em um determinado
ponto terminal da rede, indiferente, sob o ponto de vista hidrulico, o
trecho no qual se consiga esta melhoria, entre todos os trechos
constituintes do trajeto que vai desde a cabeceira da rede at este
ponto terminal. Tomando como exemplo a rede do Desenho 1, para
melhoria da presso disponvel no ponto terminal A da rede, na qual
existem n trechos no trajeto desde a origem O at o referido ponto A,
contemplando exclusivamente o problema da melhoria de presso,
esta se pode conseguir aumentando o dimetro do tubo de qualquer
um dos trechos ou grupo de trechos, entre os n que compem o
trajeto.
DESENHO 1 Rede de distribuio de gua com n trechos
O nmero de opes que aumentem a presso disponvel em A
ocupar todo o campo de combinaes realizveis com os trechos do
trajeto e com os dimetros disponveis no mercado. Cada uma dessas
possveis combinaes est associada a uma determinada variao
do custo da rede, existindo entre todas elas, uma combinao na qual
81
a referida melhoria se realiza com menor custo que as demais e que,
portanto, nos interessa selecionar.
2. Define-se como Gradiente de Cmbio o custo marginal da melhoria da
perda de carga conseguida em um trecho, mediante a substituio de
um dimetro pelo seu imediatamente superior. o acrscimo de custo
relacionado com a diminuio de perda de carga, produzido pela
mudana de dimetro. Assim para um trecho de comprimento [ ]iL cujo dimetro inicial [ ]iD (com um custo unitrio [ ]iPRC e perda de carga [ ]ihf ), o Gradiente de Cmbio que expressa a substituio de [ ]iD pelo primeiro dimetro comercial superior ao mesmo [ ]iD2 (com
custo unitrio [ ]iPRC2 e perda de carga [ ]ihf 2 ) vem dado pela Equao 2.8:
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]( )[ ] [ ]ihfihfiLiPRCiLiPRC
iCMBIO2
2
= (2.8)
Ou tambm por:
[ ] [ ][ ]ihfdispiPRCiCMBIO = (2.8)
3. Por razes de mercado, verificam-se os seguintes condicionantes nos
tubos comerciais existentes:
- Nos tubos que possuem caractersticas como tipo, classe e qualidade
iguais, o custo unitrio PRC aumenta diretamente com o dimetro D
dos mesmos.
- Para toda vazo QF dada, o valor do Gradiente de Cmbio sempre
crescente com o dimetro D .
4. O Gradiente de Cmbio o ndice que determina o encarecimento
unitrio (em reais / metro de perda de carga), que se produz quando
se efetua, em um trecho da rede de distribuio de gua, a
substituio de um dimetro por outro. Por ser crescente com o
aumento do dimetro, o cmbio timo de um dimetro ser sempre o
82
imediatamente superior, visto que qualquer outra combinao seria
economicamente mais desfavorvel.
5. Ainda que, sob o ponto de vista hidrulico, exista uma infinidade de
solues que permitem aumentar a presso disponvel em um
determinado ponto terminal de uma rede, analisando o problema sob
o ponto de vista hidrulico-econmico, a soluo nica, j que a
melhoria da presso dever ser levada a cabo no trecho, cujo
Gradiente de Cmbio seja menor, entre todos do trajeto que vai desde
a cabeceira (origem da rede) at o referido ponto terminal. Assim na
rede apresentada no Desenho 1, a cada trecho i existe um Gradiente
de Cmbio correspondente [ ]iCMBIO . A melhoria da presso no ponto A dever ser efetuada aumentando o dimetro do trecho, cujo
valor do Gradiente de Cmbio [ ]iCMBIO seja o menor de todos os trechos que compem o percurso AO.
6. Se em lugar de um, so vrios os pontos terminais com presso
insuficiente, o critrio de seleo do trecho para substituio do
dimetro o mesmo que o anterior (critrio de mxima economia),
porm com as seguintes particularidades:
- Quando todos os pontos terminais possuem os seus percursos desde a
cabeceira superpostos (disposio dos trechos em srie), a melhoria
hidrulica do conjunto conseguida modificando o dimetro de algum
dos trechos situados a montante de todos os pontos terminais com
presso insuficiente. Se na rede apresentada no Desenho 2, os pontos A
e B forem pontos com presses insuficientes, no teria sentido hidrulico
tentar solucionar o problema aumentando o dimetro de qualquer dos
trechos a jusante de B (trechos 4, 5 ... n). O percurso no qual se dever
selecionar o trecho com Gradiente de Cmbio mnimo ser o que vai
desde a cabeceira at alcanar o primeiro ponto com presso insuficiente
B (trechos 1, 2 e 3).
83
DESENHO 2 Rede de distribuio de gua com n trechos e pontos terminais A e B
- Quando os pontos terminais da rede com presso insuficiente
pertencem a ramais distintos (disposio em paralelo), a melhoria
hidrulica do conjunto obtida modificando o dimetro de algum dos
trechos comuns situados a montante da totalidade desses pontos, ou
modificando, simultaneamente, trechos no comuns pertencentes aos
percursos que partindo da cabeceira da rede, finalizam em cada um dos
pontos terminais. Tomando como exemplo a rede apresentada no
Desenho 3, para melhorar a presso nos pontos terminais A e B,
localizados em ramais distintos, pode-se aumentar o dimetro de um dos
trechos do percurso OC, ou, simultaneamente, aumentar o dimetro em
um dos trechos do percurso CA e em outro do percurso CB. Sob o ponto
de vista hidrulico, indiferente reduzir a perda de carga do percurso OC
em hf ou, simultaneamente, reduzi-la tambm de hf em CA e CB.
Em ambos os casos as presses nos pontos A e B seriam aumentadas
do mesmo valor hf .
84
DESENHO 3 Rede de distribuio de gua ramificada com pontos terminais A, B e C
No caso de pontos terminais com presso insuficiente dispostos em
paralelo, a melhoria de presso hf no percurso OC se efetuar ao
custo unitrio [ ]iCMBIO0 , enquanto que a mesma melhoria hf se
realizar ao custo unitrio [ ]iCMBIO1 no percurso CA e ao custo [ ]iCMBIO2 no percurso CB. Os valores [ ]iCMBIO0 , [ ]iCMBIO1 e
[ ]iCMBIO2 so os Gradientes de Cmbio mnimos do conjunto de trechos i que formam os percursos OC, CA e CB respectivamente.
Aplicando entre esses valores o critrio da mxima economia, a mudana
de dimetro dever ser feita no ramal OC se for verificada a
desigualdade:
[ ]
7. Em resumo, o critrio de seleo do(s) trecho(s) que em cada iterao
ter o seu dimetro aumentado, se efetuar sempre atendendo ao
objetivo de alcanar a diminuio da perda de carga necessria, com
o mximo de economia possvel. Para isto, se deve levar em conta
85
que, cada uma das possveis combinaes de trechos selecionados
deve melhorar a presso da totalidade dos pontos terminais, e que
entre essas possveis combinaes, se deve optar por aquela cuja a
soma dos Gradientes de Cmbio tenha o menor valor possvel. O
menor valor entre todos os Gradientes de Cmbio do(s) percurso(s)
que contm um ponto terminal com folga de presso igual a zero
chamado Gradiente de Cmbio timo ( )minC , e o trecho correspondente denominado Trecho timo ( )Ttimo .
2.5.3 Caracterizao do Sistema Granados A principal caracterstica do mtodo a otimizao mediante o avano
progressivo do final para o incio da rede, mantendo fixa a cota piezomtrica dos
pontos terminais que tenham alcanado a presso mnima ( )minP , reduzindo, em cada iterao, as folgas de presso disponveis em todos os pontos terminais
situados a montante dos primeiros, o que significa uma reduo do mesmo valor na
cota de cabeceira.
A diferena entre a cota piezomtrica do ponto terminal de cada trecho
da rede ( )CP e a cota piezomtrica mnima requerida de projeto para este ponto ( )minP , definida pelo sistema como folga de presso ( )FP . Se um n qualquer da rede no se constitui em um ponto terminal de utilizao, o valor da presso mnima
( )minP ser o mnimo necessrio para que ocorra o fluxo de gua no interior da tubulao.
O primeiro passo no processo de otimizao da rede a determinao do
dimetro inicial de cada trecho, de modo a propiciar uma velocidade dentro dos
limites fixados pela norma, em toda a extenso da rede. Logo ser necessria uma
presso mnima na cabeceira (origem) para garantir que todos os valores de folga de
presso nos ns da rede sejam positivos ( )0FP , o que significa que, pelo menos, um dos trechos ter folga de presso nula.
Para a obteno da presso mnima Z0 na origem da rede, basta supor a linha
piezomtrica da rede com velocidades de fluxo mximas flutuando com certo grau
de liberdade acima do traado da rede. No Desenho 4 est representada como a
86
linha tracejada ao longo do eixo Z. Acima de cada ponto terminal da rede, se ergue
um pilar fictcio representando o valor da presso mnima requerida neste ponto
( )PM . Qualquer variao da presso mnima na cabeceira ser transferida integralmente a todos os demais pontos terminais, desde que o conjunto de linhas
piezomtricas no sofra alteraes, ou seja, desde que a presso mnima de
nenhum ponto terminal seja modificada. Assim, pode-se ir rebaixando gradualmente
a cota de cabeceira at que em algum dos pontos terminais da rede (n de jusante
do trecho 3 do Desenho 4, por exemplo) a folga de presso seja nula ( )0=FP .
DESENHO 4 - Rede de distribuio de gua com grfico das presses mnimas nos pontos terminais e linha piezomtrica
Esta ser a Soluo Prvia que serve de ponto de partida do sistema
operacional do Mtodo Granados, definida pela presso na origem Z0, velocidades
prximas mxima admissvel em toda a rede e folga de presso nula em pelo
menos um ponto terminal da rede. A partir dessa soluo o objetivo do sistema
operacional ir reduzindo, gradualmente, a presso na origem (cota piezomtrica de
cabeceira) mediante um processo iterativo que avana sempre levando em
87
considerao o incremento mnimo de custo da rede at alcanar a cota de
cabeceira desejada.
Para se conseguir este objetivo se busca, em cada iterao, o trecho de
gradiente de cmbio timo, entre aqueles que esto compreendidos no percurso que
vai desde o ponto terminal com folga de presso nula at a cabeceira. Com isto se
pode garantir a reduo da cota de cabeceira a um custo menor, ou seja, se
substitui um dimetro pelo seu imediatamente superior, no trecho que proporcione o
menor aumento de custo. Essa troca de dimetro proporciona um aumento da
presso ( )hfdisp nos pontos da rede situados a montante do trecho timo, nos ramais que derivam desses pontos e na origem (cabeceira) da rede. O que equivale
a reduzir a cota piezomtrica de cabeceira e as folgas de presso desses trechos de
um valor igual ao hfdisp , sem que a presso nos trechos com folga de presso nula
seja reduzida. Devemos perceber que o valor de hfdisp nunca poder superar a
menor folga de presso minFP , diferente de zero, que corresponde aos trechos cuja
piezomtrica sofreu um rebaixamento. Este valor mnimo denominado de
decrscimo de presso DP e se define como o menor valor entre os hfdisp
disponveis nos trechos timos e a menor folga de presso positiva, excetuando-se
as que correspondam a trechos situados a jusante dos trechos timos.
De forma resumida, para ser feita a reduo da cota piezomtrica de
cabeceira o sistema dever seguir a cada iterao, a seqncia abaixo:
Determinao do(s) percurso(s) timo(s)
O percurso timo ser o percurso compreendido entre um ponto terminal da
rede com folga de presso nula at a cabeceira.
Determinao do(s) trecho(s) timo(s)
Para a determinao dos trechos timos devem ser obedecidas as seguintes
orientaes:
1. Rede com trechos em srie:
O trecho timo ser aquele que tenha o menor gradiente de cmbio
selecionado entre os trechos que vo desde o trecho de folga de presso nula at a
cabeceira.
88
Se nesse percurso timo houver mais de um trecho com folga de presso
nula, dever ser considerado, para a escolha do trecho timo, o gradiente de cmbio
a partir do trecho com folga de presso igual a zero mais prximo da cabeceira.
2. Rede com trechos ramificados:
Quando existem pontos terminais da rede com folga de presso igual a zero
em percursos timos distintos de uma rede ramificada, a escolha do(s) trecho(s)
timo(s) ser feita atravs da comparao entre o gradiente de cmbio do trecho
timo pertencente ao percurso da cabeceira at o entroncamento (ou ramificao
dos percursos com folga de presso nula) e a soma dos gradientes de cmbio dos
trechos timos de cada ramificao com 0=FP . O menor valor obtido ser a
indicao do(s) trecho(s) timo(s).
Clculo do decrscimo de presso DP
Ser adotado o menor valor entre a reduo de perda de carga disponvel no
trecho timo ( )hfdisp e a mnima folga de presso ( )minFP existente em toda a rede, exceto os valores das folgas de presso dos ns situados a jusante dos
trechos timos. Existiro, portanto, dois casos a serem observados:
1. minFPhfdisp
O decrscimo de presso ( )DP ser igual ao valor hfdisp e todo o trecho timo ser substitudo pelo dimetro imediatamente superior. A linha piezomtrica
ser rebaixada no valor hfdisp e as novas folgas de presso de toda rede sero
diminudas tambm do valor hfdisp , com exceo do trecho timo e daqueles
situados a jusante do mesmo.
2. minFPhfdisp >
Neste caso o decrscimo de presso ( )DP ser igual folga de presso mnima ( )minFP e o trecho timo ser substitudo parcialmente pelo dimetro imediatamente superior. O novo valor de hfdisp ser igual ao valor anterior menos o
valor de minFP .
A nova cota piezomtrica de cabeceira e as novas folgas de presso da
rede sero rebaixadas em minFP , com exceo ao do trecho timo e dos trechos
situados a jusante do mesmo.
89
Clculo do comprimento da tubulao do trecho timo a ser substitudo
Caso o trecho timo seja substitudo parcialmente conforme vimos no
pargrafo anterior, o comprimento do trecho a ser substitudo pelo dimetro
imediatamente superior [ ]iCTT ser calculado atravs da relao K entre a perda de carga disponvel aps a iterao, e a perda de carga disponvel antes da mesma,
conforme apresentado a seguir na Equao 2.9:
[ ][ ] [ ]( )ihfihf
ihfdispK2
= (2.9)
Onde:
hfdisp = perda de carga disponvel no trecho aps iterao
[ ]ihf = perda de carga para o dimetro [ ]iD [ ]ihf 2 = perda de carga para o dimetro [ ]iD2
O valor ( )K1 ao ser multiplicado pelo comprimento do trecho [ ]( )iL indicar o comprimento da tubulao a ser substituda pelo dimetro imediatamente superior,
conforme apresentado na Equao 2.10:
[ ] ( ) [ ]iLKiCTT = 1 (2.10)
Clculo do novo custo da rede O novo custo da rede ser igual ao custo anterior, mais a diferena de custo
causado pelo aumento do dimetro no trecho timo.
Clculo e verificao da nova cota piezomtrica da cabeceira O valor da nova cota piezomtrica de cabeceira ser calculado pela
diminuio da cota inicial da soluo prvia ( )CCABi , do valor correspondente ao decrscimo de presso ( )DP corrigido. A seguir este novo valor comparado com o valor da cota de cabeceira final
desejada. Enquanto essa nova cota de cabeceira for maior que o valor da cota final
de cabeceira desejado, deveremos continuar o processo iterativo at que esse
objetivo seja alcanado.
90
3 DESCRIO DO CASO EM ESTUDO No presente captulo, feito o dimensionamento das tubulaes da rede de distribuio predial de gua fria de um condomnio residencial, segundo os critrios
da norma NBR 5626 (ABNT, 1998). A rede projetada, embora atenda aos requisitos
de vazes e presses mnimas nos pontos terminais de utilizao, pode no ser a
soluo de menor custo. Por esta razo, no captulo seguinte, esta rede otimizada
atravs da aplicao do Mtodo Granados de Otimizao.
3.1 GENERALIDADES
A metodologia desenvolvida neste trabalho busca otimizar as instalaes
prediais de distribuio de gua fria de um condomnio residencial multifamiliar,
atravs da implementao das seguintes aes:
1. Adoo de um sistema de alimentao de gua com fluxo ascendente,
a partir de um nico reservatrio de gua que atende todas as
unidades do condomnio. Esse reservatrio, instalado no ponto de
maior cota topogrfica do terreno, a origem da rede de distribuio de
gua do condomnio;
2. Lanamento da rede de distribuio de gua do condomnio,
procurando racionalizar o seu traado, visando a economia de tubos e
conexes e reduo das perdas de carga;
3. Projeto da rede de distribuio de gua utilizando no dimensionamento
dos tubos os critrios da Norma NBR 5626. Aps a determinao do
dimetro de todos os trechos da rede, feita a verificao das
presses nos pontos terminais de utilizao da mesma.
4. Aplicao do Mtodo Granados de Otimizao rede projetada
segundo os critrios da NBR 5626, encontrando entre todas as
solues possveis, a soluo tima de menor custo, que atenda
completamente aos requisitos de vazo e presso mnima nos pontos
91
terminais da rede. Esta metodologia uma importante ferramenta que
visa facilitar o trabalho dos projetistas de instalaes prediais;
5. Anlise dos custos de materiais da rede de distribuio predial de gua
fria, a fim de que se possa fazer uma avaliar da sua reduo
percentual, aps a otimizao da mesma.
3.2 APRESENTAO DO CONDOMNIO EM ESTUDO
O sistema predial de distribuio de gua fria submetido ao Mtodo Granados
de Otimizao, objeto do presente estudo, pertence ao Condomnio Residencial
Bzios Tropical. Ele est localizado no litoral leste do Estado do Rio Grande do
Norte, na Praia de Bzios, municpio de Nsia Floresta, na Rua Coronel Paulo
Salema, S/N. O acesso Praia de Bzios feito pela Rodovia Rota do Sol, a uma
distncia de aproximadamente 20 Km ao sul de Natal, a capital do estado.
MAPA 1 Mapa de situao da Praia de Bzios, municpio de Nsia Floresta RN.
O empreendimento pode ser assim descrito e apresentado conforme planta
baixa de implantao geral apresentada no Apndice:
1 rea total do terreno: 7.362,57 m2;
rea total construda: 3.214,00 m2;
92
FOTOFRAFIA 1 Fotografia area do Condomnio Residencial Bzios Tropical
2 Quantidade e tipo dos apartamentos:
2.1 Apartamentos tipo 01:
Nmero de blocos: 03 (trs)
Nmero de apartamentos: 15 (quinze);
rea dos apartamentos: 12 apartamentos com 70 m2;
03 apartamentos cobertura com 140 m2;
FOTOGRAFIA 2 Fotografia do Bloco de Apartamentos Tipo 01 do Condomnio Residencial Bzios Tropical
93
2.2 Apartamentos tipo 02:
Nmero de blocos: 03 (trs)
Nmero de apartamentos: 18 (dezoito);
rea dos apartamentos: 55 m2;
FOTOGRAFIA 3 Fotografia do Bloco de Apartamentos Tipo 02 do Condomnio Residencial Bzios Tropical
2.3 Bangals:
Nmero de bangals: 07 (sete);
rea dos bangals: 78 m2
94
FOTOGRAFIA 4 Fotografia dos Bangals do Condomnio Residencial Bzios
Tropical
3.3 PROJETO DE INSTALAES PREDIAIS DE GUA FRIA DO CONDOMNIO BZIOS TROPICAL
Segundo os critrios da NBR 5626 (1998), para o dimensionamento dos sub-
ramais, ramais e colunas da rede de distribuio de gua fria do condomnio, adota-
se um mtodo baseado na probabilidade de uso simultneo de aparelhos e peas.
Atribuem-se pesos s vrias peas de utilizao para definir suas demandas e as
vazes de projeto que so utilizadas no dimensionamento das tubulaes.
A partir do Projeto Arquitetnico do condomnio e utilizando-se das tabelas
apresentadas a seguir, feito o clculo das vazes de projeto de cada coluna de
gua fria da rede. Os resultados so utilizados para a determinao dos dimetros
dos trechos da rede, obedecendo aos limites de velocidade estabelecidos pela
norma NBR 5626.
3.3.1 Clculo das vazes de projeto
Nas Tabelas 2 a 10 so apresentadas as vazes de projeto e os pesos
relativos das peas que compem os sub-ramais de cada uma das colunas de gua
fria da rede de distribuio (AF 01, AF 02, AF 03 e AF 04) de cada tipo de
apartamento (tipo 01 e tipo 02). Da mesma forma dos bangals, rea de lazer e
apoio da piscina e guarita. Ao final de cada tabela, apresentado o somatrio dos
pesos e a vazo de projeto por coluna em litros por segundo (L/s).
1. TABELA 2 Apartamento tipo 01 Coluna de gua fria AF 01 PEA DE UTILIZAO VAZO DE PROJETO / PEA
(L/s) PESO RELATIVO
02 pias de cozinha 0,25 1,40 03 lavatrios 0,15 0,90 03 duchas 0,10 0,30 03 caixas descarga acopladas 0,15 0,90 03 chuveiros 0,20 1,20
95
Somatrio dos pesos - 4,70 Vazo de projeto/coluna (L/s) 0,65 -
2. TABELA 3 Apartamento tipo 01 Coluna de gua fria AF 02 PEA DE UTILIZAO VAZO DE PROJETO / PEA
(L/s) PESO RELATIVO
03 pias de cozinha 0,25 2,10 03 lavatrios 0,15 0,90 03 duchas 0,10 0,30
PEA DE UTILIZAO VAZO DE PROJETO / PEA (L/s)
PESO RELATIVO
03 caixas descarga acopladas 0,15 0,90 03 chuveiros 0,20 1,20 Somatrio dos pesos - 5,40 Vazo de projeto/coluna (L/s) 0,70 -
3. TABELA 4 Apartamento tipo 01 Coluna de gua fria AF 03 PEA DE UTILIZAO VAZO DE PROJETO / PEA
(L/s) PESO RELATIVO
01 banheira de hidromassagem 0,30 1,00 Somatrio dos pesos - 1,00 Vazo de projeto/coluna (L/s) 0,30 -
4. TABELA 5 Apartamento tipo 02 Colunas de gua fria AF 01 e AF 04 PEA DE UTILIZAO VAZO DE PROJETO / PEA
(L/s) PESO RELATIVO
03 lavatrios 0,15 0,90 03 duchas 0,10 0,30 03 caixas descarga acopladas 0,15 0,90 03 chuveiros 0,20 1,20 Somatrio dos pesos - 3,30 Vazo de projeto/coluna (L/s) 0,54 -
5. TABELA 6 Apartamento tipo 02 Colunas de gua fria AF 02 e AF 03 PEA DE UTILIZAO VAZO DE PROJETO / PEA
(L/s) PESO RELATIVO
03 pias de cozinha 0,25 2,10 Somatrio dos pesos - 2,10
PEA DE UTILIZAO VAZO DE PROJETO / PEA (L/s)
PESO RELATIVO
96
Vazo de projeto/coluna (L/s) 0,43 -
6. TABELA 7 Bangal Banheiro PEA DE UTILIZAO VAZO DE PROJETO / PEA
(L/s) PESO RELATIVO
01 lavatrio 0,15 0,30 01 ducha 0,10 0,10 01 caixa descarga acoplada 0,15 0,30 01 chuveiro 0,20 0,40 Somatrio dos pesos - 1,10 Vazo de projeto/coluna (L/s) 0,31 -
7. TABELA 8 Bangal C
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