UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE CENTRO DE TECNOLOGIA PROGRAMA DE PS-GRADUAO EM ENGENHARIA SANITRIA

MANOEL BARRTO JUNIOR

OTIMIZAO DE UM SISTEMA DE DISTRIBUIO PREDIAL DE GUA FRIA

ESTUDO DE CASO

Natal RN 2006

MANOEL BARRTO JUNIOR

OTIMIZAO DE UM SISTEMA DE DISTRIBUIO PREDIAL DE GUA FRIA

ESTUDO DE CASO

Dissertao apresentada ao Programa de Ps-graduao em Engenharia Sanitria da Universidade Federal do Rio Grande do Norte, como requisito parcial obteno do ttulo de Mestre em Engenharia Sanitria.

Orientador: Prof. Dr. Manoel Lucas Filho

Co-orientador: Prof. Dr. Ada Cristina Scudelari

Natal 2006

MANOEL BARRTO JUNIOR

OTIMIZAO DE UM SISTEMA DE DISTRIBUIO PREDIAL DE GUA FRIA

ESTUDO DE CASO

Dissertao apresentada ao Programa de Ps-graduao em Engenharia Sanitria da Universidade Federal do Rio Grande do Norte, como requisito parcial obteno do ttulo de Mestre em Engenharia Sanitria.

BANCA EXAMINADORA

______________________________________________________

Dr. Manoel Lucas Filho Orientador

____________________________________________________________ Dr. Joo Abner Guimares Junior Examinador UFRN

____________________________________________________________

Dr. Marco Aurlio Holanda de Castro, Ph.D. Examinador Externo UFC

Natal, 21 de dezembro de 2006.

A Deus pelos muitos dons. A minha esposa Belva e minhas filhas Manoela e Marina pelo amor, carinho e incentivo fundamentais durante o desenvolvimento deste trabalho e em todos os dias da minha vida.

Dedico.

AGRADECIMENTOS

Ao meu orientador, Prof. Manoel Lucas Filho, pelo incentivo inicial, confiana

depositada e valiosa orientao durante a realizao deste trabalho. Sua experincia

de pesquisador, seu entusiasmo e profissionalismo muito contriburam para o bom

desenvolvimento do mesmo.

Aos professores membros da banca examinadora, pela disponibilidade em participar

da Defesa de Dissertao.

Prof. Ada Cristina Scudelari, pela importante orientao na elaborao da

presente Dissertao.

Ao coordenador do Programa de Ps-graduao em Engenharia Sanitria da

Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Prof. Antonio Marozzi Righetto, pelo

apoio e compreenso.

Aos professores do Programa de Ps-graduao em Engenharia Sanitria da

Universidade Federal do Rio Grande do Norte, pelo conhecimento e experincia

transmitidos ao longo do curso.

Aos colegas do Curso de Ps-graduao, aos funcionrios e colaboradores do

Laboratrio de Recursos Hdricos e Saneamento Ambiental da UFRN e aos colegas

da A. R. Projetos & Construes Ltda., pelo apoio e amizade.

Aos amigos e scios Adolfo Mesquita e Rmulo Cirne, pelo apoio recebido e por

terem compreendido as minhas ausncias durante a realizao da Ps-graduao.

Aos meus pais Manoel Barrto e Dorinha (in memoriam), pelo amor, dedicao e

cujos ensinamentos ficaro guardados para sempre em minha mente e no meu

corao.

Aos demais familiares e amigos, que sempre me incentivaram e estiveram ao meu

lado me apoiando e depositando sua confiana.

RESUMO Esta Dissertao apresenta uma metodologia para a otimizao de um sistema de distribuio predial de gua fria. Trata-se de um estudo de caso aplicado ao Condomnio Residencial Bzios Tropical, localizado na Praia de Bzios, municpio de Nsia Floresta, litoral leste do Estado do Rio Grande do Norte, distante vinte quilmetros de Natal. O dimensionamento de redes de distribuio predial de gua fria segundo os critrios da Norma NBR 5626 da ABNT - Associao Brasileira de Normas Tcnicas, no garante que a soluo encontrada seja a soluo tima de menor custo. necessria a utilizao de uma metodologia para otimizao, que nos fornea, entre todas as solues possveis, a soluo de custo mnimo. No processo de otimizao do sistema de distribuio predial do Condomnio Bzios Tropical, utilizado o Mtodo Granados, que um algoritmo iterativo de otimizao, baseado na Programao Dinmica, que fornece a rede de custo mnimo, em funo da cota piezomtrica do reservatrio. Para a aplicao desse Mtodo a redes ramificadas, utilizado um programa de computador em linguagem C. Esse processo dividido em duas etapas: obteno da soluo prvia e reduo da cota piezomtrica de cabeceira. Na obteno da soluo prvia so utilizados os menores dimetros possveis que garantam o limite de velocidade mxima e os requisitos de presses mnimas. A cota piezomtrica de cabeceira elevada ficticiamente para garantir esses requisitos. Na segunda etapa do Mtodo Granados utilizado um processo iterativo, cujo objetivo reduzir gradualmente a cota de cabeceira, considerando a substituio de trechos da tubulao da rede pelos dimetros subseqentes, considerando um acrscimo mnimo de custo para a rede. A mudana de dimetro feita no trecho timo que apresenta o menor Gradiente de Cmbio. O processo se encerra quando atingida a cota de cabeceira desejada. So calculados os custos com materiais da rede otimizada e feita a anlise dos mesmos, atravs da comparao com os custos da rede convencional.

Palavras-chave: Sistema de distribuio predial. Dimensionamento de redes. Otimizao. Mtodo Granados.

ABSTRACT This dissertation presents a methodology to the optimization of a predial system of cold water distribution. Its about a study of a case applied to the Tropical Buzios Residential Condominium, located in the Bzios Beach, Nsia Floresta city, the east coast of the Rio Grande do Norte state, twenty kilometers far from Natal. The design of cold water distribution networks according to Norm NBR 5626 of the ABNT - Brazilian Association of Techniques Norms, does not guarantee that the joined solution is the optimal solution of less cost. Its necessary the use of an optimization methodology, that supplies us, between all the possible solutions, the minimum cost solution. In the optimization process of the predial system of water distribution of the Tropical Bzios Condominium, is used Method Granados, that is an iterative algorithm of optimization, based on the Dynamic Programming, that supplies the minimum costs network, in function of the piezometric quota of the reservoir. For the application of this Method in ramifies networks, is used a program of computer in C language. This process is divided in two stages: attainment of the previous solution and reduction of the piezometric quota of headboard. In the attainment of the previous solution, the minors possible diameters are used that guarantee the limit of maximum speed and the requirements of minimum pressures. The piezometric quota of headboard is raised to guarantee these requirements. In the second stage of the Granados Method, an iterative process is used and it objective is to reduce the quota of headboard gradually, considering the substitution of stretches of the network pipes for the subsequent diameters, considering a minimum addition of the network cost. The diameter change is made in the optimal stretch that presents the lesser Exchange Gradient. The process is locked up when the headboard quota of desired is reached. The optimized networks material costs are calculated, and is made the analysis of the same ones, through the comparison with the conventional networks costs. Keywords: Predial system of water distribution. Design of networks. Optimization. Granados Method.

LISTA DE ILUSTRAES FIGURA 1 Dimetro das tubulaes e vazes em funo da soma dos

pesos.......................................................................................................................................... 22FIGURA 2 Perda de carga localizada. Tabela com sua equivalncia em

metros de tubulao retilnea de PVC rgido ou cobre................. 25QUADRO 1 Planilha com tabela de presses. Modelo de planilha segundo a

NBR 5626 ABNT (1998)............................................................. 26DESENHO 1 Rede de distribuio de gua com n trechos................................ 38DESENHO 2 Rede de distribuio de gua com n trechos e pontos terminais

A e B.............................................................................................. 40DESENHO 3 Rede de distribuio de gua ramificada com pontos terminais

A, B e C......................................................................................... 41DESENHO 4 Rede de distribuio de gua com grfico das presses

mnimas nos pontos terminais e linha piezomtrica..................... 44MAPA 1 Mapa de situao da Praia de Bzios, municpio de Nsia

Floresta RN................................................................................ 49FOTOGRAFIA 1 Fotografia area do Condomnio Residencial Bzios Tropical..... 50FOTOGRAFIA 2 Fotografia do Bloco de Apartamentos Tipo 01 do Condomnio

Residencial Bzios Tropical.......................................................... 51FOTOGRAFIA 3 Fotografia do Bloco de Apartamentos Tipo 02 do Condomnio

Residencial Bzios Tropical....................................................................................... 51FOTOGRAFIA 4 Fotografia dos Bangals do Condomnio Residencial Bzios

Tropical.......................................................................................... 52QUADRO 2 Trechos da Rede de Distribuio Predial de gua Fria do

Condomnio Bzios Tropical......................................................... 57DESENHO 5 Isomtrico do sub-ramal de alimentao do chuveiro................... 66FLUXOGRAMA 1 Fluxograma para determinao do cmbio timo e do nmero

de trechos timos.......................................................................... 75FLUXOGRAMA 2 Fluxograma para seleo dos trechos timos.............................. 77FLUXOGRAMA 3 Fluxograma para determinao da folga de presso mnima, do

trecho com folga de presso mnima e do decrscimo de presso................................................................................................................. 79

FLUXOGRAMA 4 Fluxograma para o decrscimo de presso em todos os trechos da rede aps a substituio do dimetro do trecho timo............ 80

FLUXOGRAMA 5 Fluxograma para correo das folgas de presso no trecho timo e nos trechos localizados a jusante do mesmo................... 81

GRFICO 1 Relao entre as perdas de carga nos trechos retos e conexes em funo das cotas piezomtricas de cabeceira.................................. 83

FLUXOGRAMA 6 Fluxograma para o clculo da perda de carga disponvel e do gradiente de cmbio aps a substituio do dimetro do trecho timo.............................................................................................. 86

DESENHO 6 Rede de distribuio de gua a ser otimizada para verificao do programa................................................................................. 89

LISTA DE TABELAS TABELA 1 Vazes e pesos atribudos aos aparelhos sanitrios.............. 20

TABELA 2 Vazo de projeto e pesos relativos Apartamento Tipo 01 Coluna de gua Fria AF 01..................................................... 53

TABELA 3 Vazo de projeto e pesos relativos Apartamento Tipo 01 Coluna de gua Fria AF 02............................................................... 53

TABELA 4 Vazo de projeto e pesos relativos Apartamento Tipo 01 Coluna de gua Fria AF 03..................................................... 54

TABELA 5 Vazo de projeto e pesos relativos Apartamento Tipo 02 Coluna de gua fria AF 01 e AF 04......................................... 54

TABELA 6 Vazo de projeto e pesos relativos Apartamento Tipo 02 Coluna de gua Fria AF 02 e AF 03....................................... 54

TABELA 7 Vazo de projeto e pesos relativos Bangal Banheiro...... 55TABELA 8 Vazo de projeto e pesos relativos Bangal Cozinha....... 55TABELA 9 Vazo de projeto e pesos relativos rea de Lazer e Apoio

da Piscina................................................................................ 55TABELA 10 Vazo de projeto e pesos relativos Guarita.......................... 56TABELA 11 Custos unitrios (R$) de tubos e conexes de PVC Marca

Tigre Linha Soldvel dimetros 20 100 mm e Linha PBS dimetros 160 200 mm......................................................... 68

TABELA 12 Variveis utilizadas no clculo da perda de carga unitria...... 73TABELA 13 Dados da rede de distribuio de gua para o arquivo de

entrada do Programa de Otimizao....................................... 89TABELA 14 Custos unitrios dos dimetros da rede de distribuio

expressos em pesetas (Pts).................................................... 90TABELA 15 Resultados obtidos aps otimizao da rede de distribuio

de gua utilizando o Mtodo Granados................................... 92

SUMRIO

1 INTRODUO............................................................................................................... 11

1.1 GENERALIDADES..................................................................................................... 111.2 JUSTIFICATIVAS........................................................................................................ 131.3 OBJETIVOS..................................................................................................................... 141.3.1 Objetivo geral............................................................................ 141.3.2 Objetivos especficos................................................................ 141.4 ORGANIZAO DO TRABALHO............................................. 15

2 REVISO BIBLIOGRFICA............................................................................... 16

2.1 GENERALIDADES..................................................................................................... 162.2 PROJETO DE SISTEMAS DE DISTRIBUIO PREDIAL DE

GUA FRIA............................................................................... 182.3 OTIMIZAO UTILIZANDO PROGRAMAO LINEAR E

NO LINEAR............................................................................ 272.4 OTIMIZAO UTILIZANDO PROGRAMAO DINMICA..... 312.5 MTODO GRANADOS............................................................. 332.5.1 Obteno da Soluo Prvia.................................................... 342.5.2 Reduo da cota piezomtrica de cabeceira............................ 372.5.3 Caracterizao do Sistema Granados...................................... 42

3 DESCRIO DO CASO EM ESTUDO.................................... 48

3.1 GENERALIDADES................................................................... 483.2 APRESENTAO DO CONDOMNIO EM ESTUDO............... 493.3 PROJETO DE INSTALAES PREDIAIS DE GUA FRIA

DO CONDOMNIO BZIOS TROPICAL.................................. 523.3.1 Clculo das vazes de projeto.................................................. 533.3.2 Trechos da rede de distribuio predial de gua fria do

Condomnio Bzios Tropical..................................................... 563.3.3 Verificao das presses nos pontos terminais da rede de

distribuio predial de gua fria do Cond. Bzios Tropical....... 65

3.3.4 Custo dos tubos e conexes da rede de distribuio predial de gua fria do Condomnio Bzios Tropical............................ 67

4 APLICAO DO MTODO GRANADOS DE OTIMIZAO.. 70

4.1 PROGRAMA PARA OTIMIZAO DA REDE DE

DISTRIBUIO PREDIAL DE GUA FRIA PELO MTODO GRANADOS............................................................................. 70

4.1.1 Obteno da Soluo Prvia.................................................... 71

4.1.2 Reduo da cota piezomtrica de cabeceira............................ 744.1.3 Programa para otimizao da rede de distribuio predial de

gua fria do Condomnio Bzios Tropical utilizando o Mtodo Granados.................................................................................. 87

4.2 VERIFICAO DO PROGRAMA DE OTIMIZAO PELO MTODO GRANADOS............................................................. 88

4.3 APLICAO DO PROGRAMA DE OTIMIZAO UTILIZANDO O MTODO GRANADOS REDE DE DISTRIBUIO PREDIAL GUA FRIA DO CONDOMNIO.... 93

4.4 REDE DE DISTRIBUIO PREDIAL DE GUA FRIA OTIMIZADA.............................................................................. 101

5 APRESENTAO DOS RESULTADOS E CONCLUSES... 103 5.1 CUSTO DA REDE DE DISTRIBUIO DE GUA FRIA DO

CONDOMNIO.......................................................................... 1035.1.1 Rede dimensionada segundo a Norma NBR 5626................... 103

5.1.2 Rede otimizada segundo o Mtodo Granados......................... 1035.1.3 Anlise comparativa dos custos............................................... 104

5.2 CONCLUSES......................................................................... 105

REFERNCIAS........................................................................ 106 APNDICES............................................................................. 110

1 INTRODUO

O dimensionamento da tubulao de uma rede de distribuio predial de gua

fria requer, em primeiro lugar, que seja definido para a mesma um traado racional

que minimize os efeitos da perda de carga no interior dos tubos. necessrio

tambm, que sejam atendidos todos os critrios estabelecidos pela Norma NBR

5626 - 1998 da ABNT Associao Brasileira de Normas Tcnicas.

Entretanto, devido subjetividade presente no dimensionamento, so

possveis muitas solues para o problema. No presente trabalho, est apresentada

uma metodologia para otimizao da rede de distribuio predial de gua fria do

Condomnio Residencial Bzios Tropical, que fornece, entre todas as solues

possveis, a soluo de menor custo.

1.1 GENERALIDADES A disponibilidade de gua fria de qualidade em quantidade suficiente nas

edificaes residenciais fator fundamental para que sejam preservadas as

condies mnimas de habitabilidade, higiene e conforto. Embora todos reconheam

essa importncia, muitas vezes, observa-se que os sistemas de distribuio predial

de gua fria tm a sua eficincia comprometida pela reduo de custos, atravs do

mau dimensionamento de tubos e conexes e do uso inadequado de materiais.

Os problemas decorrentes de falhas na elaborao do projeto e

especificaes das instalaes prediais de distribuio de gua fria so, muitas

vezes, de soluo difcil e onerosa.

A rede de distribuio de gua de um prdio residencial, a partir do

reservatrio superior de acumulao, constituda de um sistema de tubos que

compreende o barrilete de distribuio, colunas de alimentao, ramais e sub-

ramais. Cada sub-ramal serve a uma pea de utilizao ou aparelho sanitrio, sendo

o mesmo dimensionado segundo ensaios realizados. Os ramais so dimensionados

a partir de suposio do consumo simultneo mximo provvel, baseado na hiptese

de que no haver o funcionamento simultneo dos aparelhos de um mesmo ramal

em prdios residenciais.

O principal objetivo no dimensionamento de redes de distribuio predial de

gua fria a busca de solues que sejam tcnica e economicamente viveis e que

reduzam o custo final do projeto. A norma da ABNT NBR 5626 - 1998 Instalao

Predial de gua Fria prev no captulo destinado economia de gua e

conservao de energia, que o projeto de instalaes deve ser elaborado de forma

que ocorra o uso mais eficiente e mais racional possvel de gua e energia. O custo

das redes de distribuio de gua deve apresentar valores mnimos necessrios e

suficientes ao bom funcionamento da instalao.

Com a popularizao dos computadores, as tcnicas para dimensionamento

de redes de distribuio de gua esto sendo mais aprimoradas, atravs de

mtodos mais eficientes, resultando na melhor qualidade dos projetos apresentados,

uma vez que vrias alternativas podem ser avaliadas com tempo e custo menores.

evidente que os diversos condicionantes de um projeto permitem um

grande nmero de solues para os problemas de dimensionamento e, portanto,

uma diferena de custos entre as possveis solues. Em funo da relao direta

entre soluo adotada e custo da rede, surgiu a necessidade de uma metodologia

de clculo que conduza para um custo mnimo da rede, sem deixar de atender aos

parmetros de projeto, tais como, dimetros comerciais, presses mnimas

necessrias nos pontos terminais e velocidades dentro de faixas adequadas.

Desta forma, nos ltimos 30 anos, tem-se utilizado tcnicas de otimizao

para o dimensionamento de redes de distribuio, ou seja, a determinao da rede

que corresponda ao menor custo.

O desenvolvimento de um algoritmo possibilita que, dentre as vrias opes

com as quais o projetista se depara no dimensionamento de uma rede de

distribuio de gua, ele possa encontrar a soluo tima de custo mnimo, que

atenda a todos os requisitos tcnicos estabelecidos para o projeto, com um tempo

de clculo reduzido pelo uso do computador.

1.2 JUSTIFICATIVAS

No processo de otimizao do sistema de distribuio predial de gua fria do

Condomnio Bzios Tropical, utilizado o Mtodo Granados de Otimizao,

metodologia baseada na Programao Dinmica, atravs da qual se far a

determinao da soluo de menor custo para a rede.

Como medida adicional, feita a substituio dos reservatrios individuais de

gua dos blocos de apartamentos e bangals, em nmero inicial de treze, por um

reservatrio superior nico, que atende a todas as unidades do condomnio.

A utilizao de um reservatrio nico possibilita a imediata reduo nos

custos de construo civil, notadamente, com a estrutura de concreto armado. Outro

aspecto importante ser a diminuio dos gastos com a limpeza e manuteno dos

reservatrios, que devero ser feitas em intervalos pr-determinados, a fim de que

sejam evitados os riscos de contaminao da gua.

Inicialmente, so levantados os custos de implantao do sistema de

distribuio de gua fria do Condomnio Bzios Tropical, considerando, a elaborao

do projeto de instalaes seguindo o dimensionamento da rede de acordo com a

Norma NBR 5626 (1998) da ABNT.

Posteriormente, a rede de distribuio de gua fria do condomnio

submetida ao Mtodo Granados de Otimizao, a fim de que se obtenha a rede de

custo mnimo.

feita uma anlise comparativa entre os valores dos custos de materiais das

duas solues, e desta forma, a verificao do percentual de reduo do custo de

aquisio de tubos e conexes para a rede otimizada, avaliando a eficincia da

metodologia sob o ponto de vista econmico.

1.3 OBJETIVOS

1.3.1 Objetivo Geral

O presente trabalho tem como objetivo apresentar uma metodologia que

promova a otimizao da rede de distribuio predial de gua fria de um condomnio

residencial multi-familiar com edifcios individualizados, com a adoo de um

reservatrio nico de gua, de modo que venha a induzir projetistas e construtores a

adotarem tais tecnologias em sistema de distribuio predial de gua.

1.3.2 Objetivos especficos

Aplicar o Mtodo Granados de Otimizao s redes condominiais de gua

sob presso.

Desenvolver uma ferramenta, que poder ser utilizada por projetistas de

redes de distribuio predial de gua fria, para obteno da rede de custo mnimo.

Fazer uma avaliao global dos custos, em funo da otimizao do sistema

de distribuio de gua condominial.

1.4 ORGANIZAO DO TRABALHO

Este trabalho apresenta a otimizao de uma rede de distribuio predial de

gua fria de um condomnio residencial multi-familiar com edifcios individualizados,

atravs da utilizao do Mtodo Granados de Otimizao, que baseado na

Programao Dinmica.

No captulo 1 feita uma breve apresentao do dimensionamento de uma rede

predial de distribuio de gua fria, da norma utilizada neste dimensionamento e da

metodologia para sua otimizao. Tambm so apresentados os objetivos, as

justificativas e a organizao do trabalho.

No captulo 2 apresentada uma reviso da bibliografia sobre projeto de sistemas

de distribuio predial de gua fria e de metodologias de otimizao utilizando a

Programao Linear, No Linear e Programao Dinmica.

No captulo 3 faz-se a descrio do condomnio residencial em estudo,

Condomnio Bzios Tropical, sua localizao, principais caractersticas e projeto de

instalaes prediais de gua fria.

No captulo 4 feita a aplicao do Mtodo Granados de Otimizao ao sistema

de distribuio predial de gua fria do condomnio. So apresentados os principais

fluxogramas e o programa para otimizao da rede.

No captulo 5 so apresentados e analisados os resultados. O custo da rede

otimizada calculado para avaliao da metodologia. So apresentadas as

concluses sobre a aplicao do Mtodo Granados na otimizao do sistema de

distribuio predial de gua fria do Condomnio Bzios Tropical.

2 REVISO BIBLIOGRFICA

Neste captulo so apresentados aspectos inerentes ao projeto de uma rede

predial de distribuio de gua fria, notadamente, quanto ao dimensionamento da

tubulao dos trechos da mesma, segundo critrios estabelecidos pela norma NBR

5626 (ABNT, 1998). Apresentam-se tambm, aspectos referentes otimizao desta

rede, com a utilizao de metodologias, tais como, a Programao Linear, a

Programao No Linear e a Programao Dinmica. Por fim, enfatiza-se o Mtodo

Granados de Otimizao, objeto deste estudo.

2.1 GENERALIDADES

Para elaborao do projeto de uma rede de distribuio predial de gua fria,

que conduza a rede de custo mnimo, deve-se, inicialmente, estabelecer para esta

rede um bom traado, que racionalize a utilizao de tubos e conexes e reduza a

perda de carga.

O dimensionamento dos dimetros dos tubos feito a partir do

estabelecimento da vazo de projeto para cada sub-ramal e ramal da rede de

distribuio de gua fria. Utiliza-se para tal, o Mtodo da Raiz Quadrada (Alemo),

(GONALVES, 1986), mtodo este recomendado pela ABNT Associao

Brasileira de Normas Tcnicas (NBR 5626, 1998). Os pesos relativos so

estabelecidos empiricamente em funo da vazo de projeto de cada pea de

utilizao. O somatrio total dos pesos convertido na demanda simultnea total do

grupo de peas de utilizao considerado, que expressa como uma estimativa da

vazo a ser usada no dimensionamento da tubulao. Considerando-se os limites de

vazo e velocidade da gua no interior da tubulao, ser feito o dimensionamento

da mesma para cada trecho da rede.

Definido o seu traado e estabelecidos os dimetros dos trechos da rede,

feita a verificao das presses nos diversos pontos de utilizao, a fim de que seja

observado se os requisitos de presso mnima foram atendidos.

Aps o dimensionamento da rede de distribuio predial de gua fria, a

mesma submetida ao processo de otimizao, para que, ao final, se possa

apresentar a soluo de menor custo.

O processo de otimizao de uma rede de distribuio predial de gua fria

consiste no dimensionamento econmico da mesma, atravs da aplicao de um

dos mtodos de otimizao existentes. A seguir, so apresentados mtodos de

otimizao que utilizam, respectivamente, a Programao Linear, Programao No

Linear e Programao Dinmica. So mostradas as particularidades, vantagens e

desvantagens de cada mtodo que ao final, possam justificar a opo feita, no

presente trabalho, pela utilizao do Mtodo Granados de Otimizao baseado na

Programao Dinmica.

A aplicao de processos de otimizao no projeto de redes de distribuio

de gua, tem sido utilizada desde a dcada de 1960. Os primeiros modelos para o

projeto de redes de distribuio de gua foram desenvolvidos para redes

ramificadas. KARMELI et al. (1968) desenvolveu um algoritmo em programao

linear para solucionar sistemas com vazes conhecidas. Esse modelo no

considerava a presena de acessrios como vlvulas, mas indicou que o impacto

dessas peas em termos de desempenho hidrulico e de custo, pode ser facilmente

avaliado quando o layout da estrutura de tubos da rede e o dimetro dos mesmos

so conhecidos. O modelo fornecia uma aproximao soluo tima, mas por ser

aplicado somente a redes ramificadas, no eram utilizados em projetos de redes

urbanas de distribuio de gua.

WATANADA (1973) promoveu estudo sobre a complexidade do desenho

timo de um sistema de distribuio de gua. Em virtude de variveis como

investimento inicial, custo de manuteno e operao, a soluo para o desenho de

custo mnimo obtida atravs de tentativas, pode ser uma soluo razovel e de baixo

custo, mas com certeza, distante da soluo tima.

Outros estudos para otimizao do desenho de custo mnimo de sistemas de

distribuio de gua, foram desenvolvidos por ALPEROVITS e SHAMIR (1977),

QUINDRY et al (1981), ROWELL e BARNES (1982), LANSEY e MAYS (1989) e

DUAN et al (1990).

2.2 PROJETO DE SISTEMAS DE DISTRIBUIO PREDIAL DE GUA FRIA

Inicialmente, apresentam-se as abordagens ao problema da determinao

das vazes de projeto nos trechos de sistemas de distribuio predial de gua fria.

Da anlise dos mtodos estudados destacam-se dois grupos segundo a forma de

abordagem: mtodos empricos e probabilsticos.

A preocupao com o estabelecimento de uma metodologia para a

determinao de vazes de projeto em sistemas prediais de distribuio de gua fria

tem sido, ao longo dos anos, evidenciada pelo trabalho de diversos pesquisadores.

No h, no entanto, o consenso em relao a uma metodologia geral que possa

atender de forma satisfatria s necessidades dos projetistas de instalaes

hidrulicas prediais. A insuficincia de dados de campo e/ou a fragilidade dos

modelos tericos dos mtodos em questo no possibilitam a escolha de um destes

mtodos como o mais adequado. Isto se deve ao fato de que os modelos no

consideram as especificidades relativas ao tipo de ocupao da edificao, a

disponibilidade e as caractersticas do equipamento sanitrio, as diferenas culturais

dos usurios e as condies climticas regionais (GONALVES, 1986).

Segundo GONALVES (1986), no primeiro grupo de mtodos, de natureza

emprica, incluem-se aqueles cuja tcnica de determinao das vazes de projeto

baseia-se na utilizao de tabelas, grficos e expresses matemticas,

estabelecidos a partir da experincia e julgamento de seus propositores. Entre eles

podemos relacionar os seguintes mtodos:

Timmis (1922)

Dawson e Kalinske (1932)

Raiz Quadrada Alemo (1940)

Francs (1942)

Britnico (1946)

RAE Repartio de guas e Esgotos de So Paulo (1949)

Macintyre (1966)

Fretwell (1972)

Raiz Quadrada Modificado (1978)

No segundo grupo de mtodos, de origem probabilstica, incluem-se aqueles

cuja tcnica de determinao das vazes de projeto baseia-se no emprego de

tabelas, grficos e expresses matemticas estabelecidas a partir de conceitos

probabilsticos, utilizando como ferramental bsico a funo de distribuio de

probabilidades binomial. Assim podemos destacar os seguintes mtodos

probabilsticos:

Hunter (1940)

Gallizio (1944)

Burberry / Wise (1969)

CP-310 British Standards Institution (1965 e 1970) / Howick (1972)

Webster (1972)

Courtney (1976)

Konen Hunter Modificado (1980 / 1984)

Murakawa (1985)

Em virtude da relevncia do estabelecimento das vazes de projeto neste

trabalho, feita a apresentao do mtodo emprico da Raiz Quadrada Alemo,

por ser o mtodo de utilizao recomendado pela Associao Brasileira de Normas

Tcnicas ABNT em sua norma NBR 5626 Instalao predial de gua fria

(ABNT, 1998).

Este mtodo apresenta uma expresso matemtica para o estabelecimento

da vazo de projeto de um trecho do sistema predial de distribuio de gua fria,

relacionando pesos associados a tipos de aparelhos sanitrios e o nmero total de

aparelhos de cada tipo, instalados a jusante do trecho (CREDER, 1987).

A expresso matemtica representada pela Equao 2.1:

( ) 212211 NNiirp PnPnPnPnqQ +++++= KK (2.1)

Sendo: 2

=

r

ii q

qP (2.2)

Onde:

pQ vazo de projeto do trecho considerado em litros por segundo (L/s);

rq vazo de referncia em litros por segundo (L/s);

in nmero de aparelhos sanitrios do tipo i, instalados a jusante do trecho

considerado;

iP peso atribudo ao aparelho sanitrio do tipo i;

iq vazo unitria do aparelho do tipo i em litros por segundo (L/s);

N nmero de tipos diferentes de aparelhos sanitrios.

O valor da vazo de referncia, rq , considerado na norma NBR 5626 de

0,30 litros por segundo (L/s) (ABNT, 1998).

A Tabela 1 apresenta os valores de vazes unitrias e pesos atribudos aos diversos tipos de aparelhos sanitrios (ABNT, 1998).

TABELA 1 Vazes e pesos atribudos aos aparelhos sanitrios (ABNT, 1998)

APARELHO SANITRIO E PEA DE UTILIZAO VAZO DE PROJETO (L/s) PESO (Pi)Bacia sanitria com caixa de descarga 0,15 0,30 Bacia sanitria com vlvula de descarga 1,70 32,00 Banheira (misturador gua fria) 0,30 1,00 Bebedouro com registro de presso 0,10 0,10 Bid (misturador gua fria) 0,10 0,10

APARELHO SANITRIO E PEA DE UTILIZAO VAZO DE PROJETO (L/s) PESO (Pi)Chuveiro (misturador gua fria) 0,20 0,40 Chuveiro eltrico 0,10 0,10 Lavatrio (torneira ou misturador) 0,15 0,30 Mquina de lavar roupa ou pratos 0,30 1,00 Mictrio cermico com vlvula de descarga 0,50 2,80 Mictrio cermico com cx. descarga ou reg. presso 0,15 0,30 Mictrio de descarga descontnua tipo calha 0,15 0,30 Pia/torneira ou misturador (gua fria) 0,25 0,70 Pia/torneira eltrica 0,10 0,10 Tanque de lavar torneira 0,25 0,70 Torneira de jardim ou lavagem geral 0,20 0,40

Fonte: NBR 5626 (ABNT, 1998)

Procurando uma soluo de fcil aplicao para o dimensionamento dos

ramais e colunas de alimentao dos prdios, a NBR 5626 adota um mtodo

baseado na probabilidade de uso simultneo dos aparelhos e peas, onde no faz

distino quanto natureza do prdio, tipo de ocupao e regime de horrio

(MACINTYRE, 1996). O mtodo consiste no seguinte:

Atribuem-se pesos s vrias peas de utilizao para definir suas

demandas, utilizando a Tabela 1.

Somam-se os pesos das diversas peas de utilizao: P

Calcula-se a raiz quadrada da soma de pesos: ( ) 21P

Multiplica-se o valor de ( ) 21P por um coeficiente de descarga C (vazo de referncia), sendo C = 0,30 litros por segundo ( L/s ), para

se obter a descarga em litros por segundo ( L/s ).

A vazo de projeto ser calculada pela Equao 2.3:

( ) 2130,0 = PQ (2.3) O peso funo apenas da demanda. No so levados em considerao os

tempos e os intervalos de funcionamento dos aparelhos ao estabelec-lo. Pelo

processo da norma, nunca se somam as vazes, mas sim, apenas pesos para todos

os ramais da rede de distribuio de gua fria. Somente depois de determinado o

peso correspondente a um dado trecho que se passa ao clculo da vazo

correspondente.

Conhecido o valor da vazo de projeto, pode-se usar o grfico da Figura 1 para obter o

dimetro da tubulao, diretamente, em funo da vazo e da soma dos pesos (MACINTYRE,

1996).

FIGURA 1 Dimetro das tubulaes e vazes em funo da soma dos pesos

(MACINTYRE, 1996).

A perda de carga a energia que o fluido ir despender para escoar ao longo

de um tubo. Ela depende do seu comprimento e dimetro interno, da rugosidade da

sua superfcie interna e da vazo.

Objetivando evitar o aumento das perdas de carga no interior da tubulao,

procura-se manter a velocidade da gua abaixo dos limites estabelecidos por norma.

Na NBR 5626 (1998) est colocado que as tubulaes devem ser dimensionadas

de modo que a velocidade da gua, em qualquer trecho de tubulao, no atinja

valores superiores a 3 m/s.

MACINTYRE (1996), afirma que ao se dimensionar o encanamento de uma

rede de distribuio de gua, deve-se considerar como velocidade mxima o valor

de 2,5 m/s.

Em projetos de instalaes prediais de gua fria, cuja topologia

caracterizada por trechos curtos de tubulaes, variao de dimetros (em geral

menores que 110mm) e presena de grande nmero de conexes, usual a

utilizao da frmula emprica de Fair-Whipple-Hsiao para o clculo da perda de

carga no interior da tubulao (PORTO, 2003).

A NBR 5626 (1998) recomenda para calcular o valor da perda de carga nos

tubos, a utilizao da equao universal, obtendo-se os valores das rugosidades

junto aos fabricantes dos tubos. Na falta dessa informao, a referida norma afirma

ainda, que pode ser utilizada a expresso de Fair-Whipple-Hsiao, indicada abaixo

(Equao 2.4):

75,475,1500.869 = DQJ (2.4)

Onde:

J perda de carga unitria, em metro por metro (m/m);

Q vazo estimada da seo considerada em litros por segundo (L/s);

D dimetro interno do tubo em milmetros (mm);

Alm da perda de carga que ocorre ao longo da tubulao retilnea

apresentada anteriormente, existe a perda de carga ocasionada pelas conexes que

ligam os tubos, vlvulas, curvas, registros, etc.

A presena de cada uma dessas peas, necessrias para a operao do

sistema, concorre para que haja alterao de mdulo ou direo da velocidade

mdia, e conseqentemente de presso, localmente. Isso se reflete em um

acrscimo de turbulncia que produz perdas de carga que devem ser agregadas s

perdas distribudas, devido ao atrito, ao longo dos trechos retilneos das tubulaes.

Tais perdas recebem o nome de perdas de carga localizadas ou singulares (PORTO,

2003).

Na prtica, as canalizaes no so constitudas exclusivamente por tubos

retilneos e de mesmo dimetro. Usualmente, incluem ainda peas especiais e

conexes que, pela forma e disposio, elevam a turbulncia, provocam atritos e

causam o choque de partculas, dando origem a perdas de carga. Alm disso,

apresentam-se nas canalizaes outras singularidades, como vlvulas, registros e

medidores, tambm responsveis por perdas dessa natureza (AZEVEDO NETTO,

1986).

O Mtodo dos comprimentos equivalentes indicado pela norma NBR 5626

(ABNT, 1998) para determinao da perda de carga em conexes e singularidades.

O mtodo consiste em substituir, para simples efeito de clculo, cada

acessrio da instalao por comprimentos de tubos retilneos, de igual dimetro, nos

quais a perda de carga seja igual provocada pelo acessrio, quando a vazo em

ambos a mesma. Assim cada comprimento equivalente adicionado ao

comprimento real da tubulao, a fim de simplificar o clculo, transformando o

problema em um problema de simples perda distribuda (PORTO, 2003).

A Figura 2 apresenta os comprimentos equivalentes de tubulao retilnea

para os diversos tipos de conexes em tubos lisos de plstico, cobre ou liga de

cobre. Esta tabela apresentada na NBR 5626 (1998) e retirada da publicao da

Crane Corporation (MACINTYRE, 1996).

FIGURA 2 Perda de carga localizada - Tabela com sua equivalncia em metros de tubulao retilnea de PVC rgido ou cobre (MACINTYRE, 1996).

A norma NBR 5626 (1998) sugere uma rotina para o dimensionamento das

tubulaes com base na planilha apresentada no Quadro 1, cujos passos

apresentamos a seguir:

1. Preparar o esquema isomtrico de rede e numerar

seqencialmente cada n ou ponto de utilizao desde o

reservatrio ou desde a entrada do cavalete;

2. Introduzir a identificao de cada trecho da rede na planilha;

3. Determinar a soma dos pesos relativos de cada trecho, usando

a Tabela 1;

4. Calcular para cada trecho a vazo estimada (Q), em litros por

segundo (L/s), com base na Equao 2.3;

5. Partindo da origem de montante da rede, selecionar o dimetro

interno da tubulao de cada trecho, considerando que a

velocidade da gua no deva ser superior a 3 m/s. Registrar o

valor da velocidade e o valor da perda de carga unitria

calculada pela Equao 2.4 em cada trecho;

6. Determinar a diferena de cotas geomtricas entre a entrada e a

sada de cada trecho (desnvel), considerando positiva quando a

entrada tem cota superior a da sada e negativa em caso

contrrio;

7. Determinar a presso disponvel na sada de cada trecho,

somando ou subtraindo presso residual na sua entrada o

valor da diferena de cota (desnvel);

8. Medir o comprimento real do tubo que compe cada trecho

considerado;

9. Determinar o comprimento equivalente de cada trecho somando

ao comprimento real os comprimentos equivalentes das

conexes e singularidades;

10. Determinar a perda de carga total de cada trecho, multiplicando

o valor da perda de carga unitria pelo comprimento equivalente

total do trecho;

11. Determinar a presso disponvel residual na sada de cada

trecho, subtraindo a perda de carga total da presso disponvel;

12. Se a presso residual for menor que a presso requerida no

ponto de utilizao, ou se a presso for negativa, repetir o

processo a partir do passo nmero 5, selecionando um dimetro

interno maior para a tubulao de cada trecho.

70

QUADRO 1 - Planilha com tabela de presses Modelo de Planilha segundo NBR 5626 ABNT (1998).

Em condies dinmicas (com escoamento), a presso da gua nos pontos

de utilizao deve ser estabelecida de modo a garantir a vazo de projeto indicada

na Tabela 1 e o bom funcionamento da pea de utilizao e do aparelho sanitrio.

Em qualquer caso, a presso no deve ser inferior a 10 KPa (1 m.c.a.), com exceo

do ponto da caixa de descarga onde a presso pode ser menor do que este valor,

at um mnimo de 5 KPa (0,5 m.c.a.) (ABNT, 1998).

2.3 OTIMIZAO UTILIZANDO PROGRAMAO LINEAR E NO LINEAR

A Programao Linear, tcnica mais conhecida na soluo de problemas de

otimizao, usa um modelo matemtico para descrever o problema em questo. O

adjetivo linear significa que requerido que todas as funes matemticas neste

modelo sejam funes lineares. A palavra programao no se refere

programao de computadores; ao contrrio, trata-se essencialmente de

planejamento. Assim a programao linear faz o planejamento de atividades para

obter um resultado timo, um resultado que alcance a melhor soluo especificada,

de acordo com o modelo matemtico, entre todas as solues viveis (HILLIER,

1988).

No modelo de busca do timo por programao linear se parte do princpio de

que cada um dos trechos da rede possui a vazo e comprimento conhecidos. Alm

disso, cada um dos trechos est coberto por uma gama de dimetros distintos, que

no so variveis explcitas do problema. Cada dimetro ocupa uma extenso de

71

comprimento desconhecida. Este comprimento de cada dimetro a varivel de

deciso ou incgnita do problema. Ao atuar deste modo, se consegue que a funo

objetivo e as restries do problema se tornem lineares, obtendo uma soluo

configurada por dimetros comercialmente disponveis (LUCAS FILHO, 1991).

Dentre as diversas tcnicas de programao linear para otimizao de

sistemas de distribuio de gua, o Gradiente de Programao Linear considerada

a tcnica de maior avano. Esta tcnica foi proposta inicialmente por ALPEROVITS

e SHAMIR (1977), consistindo em um dimensionamento de redes de distribuio de

gua onde so consideradas algumas variveis como constantes e outras como

variveis de deciso a serem dimensionadas atravs da programao linear.

No mtodo do Gradiente de Programao Linear feita uma distribuio

inicial de vazes, estando os trechos da rede divididos em segmentos de diferentes

dimetros, cujos comprimentos so determinados por um programa linear. De

acordo com o gradiente da funo objetivo, alterada a distribuio de vazes e

realizado novo dimensionamento. O processo iterativo transcorre at que ocorra a

convergncia. Este mtodo foi utilizado por QUINDRY et al (1981), BHAVE e LAM

(1983), FUJIWARA et al (1987) e EIGER et al (1994).

De acordo com GOMES (1999), no caso particular do dimensionamento de

redes de distribuio dos sistemas de irrigao sob presso, as variveis de deciso

implcitas so os dimetros das tubulaes, que devem ser dimensionados sob o

critrio de custo mnimo. Os dimetros no podem ser considerados variveis de

deciso explcitas no modelo, porque os custos das tubulaes no variam

linearmente com eles. Para superar esse inconveniente, se utiliza o artifcio de

adotar como variveis de deciso explcitas os comprimentos das tubulaes, j que

os custos das mesmas variam linearmente com seus comprimentos.

Destaca-se tambm, entre os mtodos para resoluo de um problema de

Programao Linear, o Mtodo Simplex, pela sua facilidade de implementao,

aplicabilidade, bem como, sua adaptao ao mtodo computacional. O Mtodo

Simplex um algoritmo de busca numrico e iterativo convergente, que pesquisa os

vrtices do poliedro convexo das restries e fornece a soluo exata de qualquer

sistema de equaes lineares, sujeito otimizao de uma funo objetivo, em um

nmero finito de passos.

A formulao matemtica de otimizao de uma rede coletiva por

programao linear muito simples. Isto tem favorecido a ampla difuso atual desta

72

metodologia, aliada a facilidade de acoplar o clculo a algum dos programas

existentes no mercado de computadores (LUCAS FILHO, 1991).

Para a resoluo do modelo de programao linear se emprega o algoritmo

simplex, do qual existem algumas verses disponveis em softwares comerciais. De

imediato na sua implementao em um computador pessoal, recomendvel utilizar

verses que otimizem tempo de clculo e memria, pois mesmo para redes

pequenas a magnitude do problema grande, se considerarmos que o nmero de

equaes se eleva a 3N, sendo N o nmero de ns da rede (LUCAS FILHO, 1991).

Baseados no mtodo de Programao Linear so destacados os trabalhos

cientficos desenvolvidos por KARMELI et al (1968), WOOD e CHARLES (1972) e de

PLEBAN et al (1984).

Utiliza-se a Programao Linear quando os problemas possuem grande

nmero de variveis independentes, e que os modelos podem ser descritos com a

preciso requerida mediante equaes lineares, onde a funo objetivo apresenta

comportamento linear em relao s variveis de deciso, e as restries sejam

lineares em relao a estas variveis (FIGUEIREDO JNIOR, 2001).

A principal desvantagem da utilizao da programao linear que as

equaes a serem otimizadas e que representam o sistema tm que ser lineares,

fato que, normalmente, no ocorre na prtica.

Se os modelos matemticos que representam os processos fsicos envolvidos

e/ou a funo objetivo podem ser caracterizados pela no linearidade em relao s

variveis de deciso, pode ser utilizada a Programao No Linear (FIGUEIREDO

JNIOR, 2001).

Neste mtodo, grande parte das caractersticas dos sistemas reais pode ser

includa no modelo matemtico, fornecendo uma maior riqueza de modelagem. Por

outro lado, causa uma maior complexidade matemtica, aumentando o tempo de

clculo computacional.

GUERCIO et al (1997) fizeram estudos comparativos entre a programao

linear e a programao no linear, chegando concluso de que o tempo de clculo

computacional na utilizao da programao linear significativamente menor.

A Programao No Linear com restries funo objetivo a ser minimizada

denominada programao no linear restrita, e caso a funo objetivo no possua

restries, ela denominada irrestrita.

73

As tcnicas de resoluo de problemas de programao no linear dividem-se

em analticas e de busca numrica.

As tcnicas analticas procuram determinar solues timas resolvendo

sistemas de equaes com apoio de derivadas. A otimizao pode ser reduzida

procura de razes desses sistemas. O Mtodo de Clculo Diferencial, o Mtodo dos

Multiplicadores de Lagrange e a Programao Geomtrica so exemplos de tcnicas

analticas (CIRILO, 1997).

As tcnicas de busca numrica so mtodos iterativos que melhoram as

solues do processo de otimizao, atravs de informaes obtidas ao longo das

iteraes realizadas. So baseadas no emprego de mtodos numricos para a

resoluo dos problemas, onde no possvel o emprego de solues analticas

(CIRILO, 1997).

Entre os mtodos de busca numrica, podemos citar o Mtodo de Newton-

Raphson, que um processo iterativo para busca da soluo de um conjunto de

equaes no lineares simultneas. Este mtodo uma extenso do mtodo de

Newton para busca unidirecional, onde aproxima a funo objetivo f(x), a ser

minimizada, a uma quadrtica. Enquanto no mtodo do gradiente ocorre uma

convergncia linear, neste mtodo tem-se uma convergncia quadrtica.

Pelo mtodo de Programao No Linear destacam-se as pesquisas feitas

por COLLINS et al (1978), CENEDESE et al (1987) e FUJIWARA et al (1990).

A busca de timos globais, deve ser feita atravs de algoritmos prprios para

este fim. O mtodo Branch and Bound baseado em seqncias convergentes de

limites inferiores e superiores para o timo global. Este mtodo foi utilizado por

EIGER et al (1994), SHERALI e SMITH (1997), SHERALI et al (1998) e KWANYUEN

et al (1998).

Por outro lado, os Algoritmos Genticos so mtodos de etapas de seleo

aleatria que permitem movimentos entre timos locais, porm, no possibilitam

determinar se a soluo encontrada um timo global. Entre os trabalhos

envolvendo Algoritmos Genticos podem ser citados: GOLDBERG (1989), MURPHY

et al (1992), WALTERS et al (1993), SIMPSON et al (1994) e SAVIC et al (1997).

WALSKI et al (1990) citam um mtodo desenvolvido pela U. S. Army Corps

of Enginneers denominado WADISO Water Distribution System Optimization, que

consiste na tcnica de enumerao exaustiva das possveis solues.

74

2.4 OTIMIZAO UTILIZANDO PROGRAMAO DINMICA A Programao Dinmica ou Planificao Dinmica um mtodo de otimizao muito especial de solues adaptado s chamadas operaes de

mltiplos passos ou de mltiplos estgios. Baseado em uma frmula recorrente,

permite otimizar de forma sucessiva os intervalos em que, normalmente, se divide

um processo seqencial (LUCAS FILHO, 1991).

Se for possvel formular um problema em etapas utiliza-se a Programao

Dinmica (FIGUEIREDO JNIOR, 2001).

O mtodo, mais que uma teoria matemtica, um princpio filosfico. Todo o

princpio terico e matemtico de sua formulao est baseado no Teorema de

Bellman: Uma poltica tima tem a propriedade de que, qualquer que seja seu

estado e deciso iniciais, as decises subseqentes devem constituir uma poltica

tima em relao ao estado resultante da deciso inicial. Ou seja, uma trajetria

tima tem a propriedade de que qualquer que tenha sido o primeiro passo, a

trajetria subseqente dever ser tima em relao ao estado resultante final dessa

primeira deciso (LUCAS FILHO, 1991).

De maneira mais simples, na Programao Dinmica cada etapa da

seqncia deve considerar somente os resultados das alternativas da etapa anterior.

Desta forma, a melhor soluo encontrada em cada alternativa da etapa

considerada e ao chegar ao final da seqncia, so conhecidos tanto a melhor

alternativa como o caminho seguido.

MARTIN (1980) faz uma abordagem ao conceito desenvolvido por R.

Bellman, e descreve um algoritmo para determinao do desenho e locao da rota

de menor custo para um sistema de transporte de gua.

Em contraste com a Programao Linear, para o problema da Programao

Dinmica no existe uma formulao matemtica padro. A Programao Dinmica

uma tcnica matemtica de utilidade freqente para se tomar uma seqncia de

decises inter-relacionadas. Ela fornece um procedimento sistemtico para

determinar a combinao de decises que maximizar a eficcia geral (HILLIER,

1988).

O uso da Programao Dinmica na resoluo de um problema qualquer

carece de um sistema operacional para a soluo do mesmo. necessrio em cada

75

caso, que ele se encaixe no princpio de otimizao de Bellman, ou seja, que o

problema possa ser modelado de maneira que seja efetivo o uso de tal metodologia

(LUCAS FILHO, 1991).

Na resoluo da programao dinmica o problema sub-dividido em vrias

etapas ou estgios. Determina-se o timo de cada etapa, relacionando o timo de

uma etapa com o de outra atravs da funo objetivo, at que percorrendo todas as

etapas se obtenha o timo global.

Segundo LUCAS FILHO (1991), o fato de que um problema qualquer possa

ser decomposto em etapas, artificial ou naturalmente, no significa que ser

resolvido com sucesso pela Programao Dinmica, apesar de ser uma condio

necessria, porm no suficiente. Tudo isto verdade, claro, quando estamos

falando de programao matemtica, ou seja, tentando encontrar o melhor ponto

que otimize o modelo econmico.

Ele finaliza, afirmando que a vantagem do uso de determinado mtodo de

otimizao em relao a outro, a possibilidade de poder obter uma melhor

aproximao da soluo tima de um tipo de problema, refletida, por exemplo, na

velocidade de clculo, facilidade de utilizao, compreenso e acompanhamento da

evoluo do clculo, etc.

Como exemplo desta metodologia, tem-se o Mtodo Granados descrito por

GOMES (1999), que um algoritmo iterativo de otimizao, que proporciona o custo

mnimo de uma rede de distribuio ramificada pressurizada, em funo da cota

piezomtrica de alimentao da mesma.

O Mtodo Granados, se caracteriza por seu sistema de otimizao de redes

de distribuio de gua, mediante o avano progressivo no sentido do final para o

incio da rede, reduzindo em cada interao, as folgas de presso disponveis na

mesma (GRANADOS, 1990).

Este mtodo parte de uma soluo prvia para a rede, com dimetros de

custo mnimo e uma cota do reservatrio de montante mxima, necessria para

obteno das presses mnimas nos pontos terminais de utilizao da rede. A

seguir, atravs de interaes sucessivas, so substitudos os dimetros das

tubulaes dos trechos timos, pelos dimetros consecutivos, reduzindo a perda de

carga, e desta forma, reduzindo de forma correspondente a cota de cabeceira do

reservatrio.

76

O Sistema Granados um mtodo de clculo baseado na programao

dinmica, mediante um procedimento iterativo de clculo no qual, seguindo uma rota

de timos, se vai eliminando gradualmente as folgas de presso disponveis nos

pontos terminais da rede, at que se alcana uma cota de cabeceira desejada. Seu

sistema operacional elementar, possibilitando abordar o clculo de redes de

grande tamanho com computadores pessoais (LUCAS FILHO, 1991).

WALTERS (1988) faz uma reviso dos conceitos e aplicaes das

programaes linear, no linear e dinmica e cita que a experincia mostra que os

desenhos otimizados de redes so, usualmente, 5 a 15 % mais econmicos que os

desenhos convencionais.

WALSKI (1985) e GOULTER (1992) fizeram uma extensa reviso dos

clssicos mtodos de otimizao aplicados na resoluo de problemas, sendo que

GOULTER analisou a distncia existente entre os mtodos de otimizao e a sua

utilizao pelos engenheiros projetistas, citando a dificuldade de aplicao para

problemas prticos.

Em 1985 foi realizada na cidade de Nova York uma conferncia onde foram

desenvolvidas vrias sees denominadas "The Battle of the Networks Models",

onde vrios grupos de pesquisa apresentaram seus modelos para otimizao de

uma rede preestabelecida. WALSKI et al. (1987), fez uma anlise dos resultados

obtidos pelas diferentes metodologias e algoritmos empregados, e verificou que as

diferentes solues otimizadas apresentavam custo total similar, isto , com a

mesma ordem de grandeza.

2.5 MTODO GRANADOS

No dimensionamento timo de uma rede de distribuio de gua fria, pode ser

utilizado, como ferramenta de otimizao, o MTODO GRANADOS. Este mtodo

desenvolvido por Alfredo Granados, Espanha, (1990), um algoritmo iterativo de

otimizao, baseado na programao dinmica, que fornece a rede de custo mnimo

de um sistema ramificado de distribuio de gua, em funo da cota piezomtrica

do reservatrio. Este mtodo tem como principal vantagem sobre os demais

mtodos de programao, a liberdade para que a funo objetivo e as respectivas

restries sejam no lineares ou at mesmo descontnuas.

77

Na aplicao do Mtodo Granados, so eliminados os excessos de presses

disponveis nos pontos terminais da rede de distribuio, at atingir a cota de

cabeceira de menor custo ou a cota desejada pelo projetista. Este mtodo de

otimizao muito vantajoso, pois considera a variao dos preos das tubulaes

em funo dos seus dimetros, classes e tipo de material.

A aplicao do Mtodo Granados, no processo de otimizao de uma rede de

distribuio de gua, pode ser dividida em duas etapas:

Obteno da soluo prvia;

Reduo da cota piezomtrica de cabeceira.

2.5.1 Obteno da soluo prvia

Na primeira etapa determinada uma soluo prvia ou soluo inicial que

fornecer o custo timo da rede de distribuio. Esta soluo prvia baseada no

critrio da velocidade mxima do fluxo de gua, e caracterizada pela utilizao dos

menores dimetros comerciais possveis, que atendam ao referido critrio.

Os limites restritivos de velocidade mxima admitida no interior dos tubos

obedecem s condies hidrulicas de trabalho mais desfavorveis, causadas pela

diminuio do dimetro dos mesmos, como por exemplo, os riscos correspondentes

aos eventuais golpes de aretes e os custos indiretos da proteo com

encarecimento de juntas, encaixes e materiais.

Por outro lado, a restrio de velocidade mnima somente est condicionada

por imperativos tcnicos, da prpria metodologia de clculo, que tem por objetivo

fixar um limite razovel para o dimetro mximo previsto para transportar uma dada

vazo. Isto permite acelerar a rapidez dos clculos de otimizao.

A soluo prvia dever atender aos requisitos de presses mnimas

suficientes para as solicitaes nos pontos de consumo e superar as perdas de

carga.

Segundo GRANADOS (1990), a escolha desta soluo prvia como ponto de

partida do processo de clculo, pode ser assim justificada:

- Se parte de uma soluo que est sistematicamente prxima da tima, para

que o nmero de iteraes para se chegar a mesma seja sempre curto;

78

- Nesta soluo inicial os dimetros selecionados para cada trecho so os

menores possveis. Seriam tambm os mais baratos, se no problema de otimizao

no interviesse a classe dos tubos;

- A obteno da soluo prvia de grande simplicidade, uma vez que se

fixam os limites de velocidade mxima para cada dimetro e classe comercial;

- Cada iterao aumentar o dimetro de alguns trechos com relao aos da

soluo precedente, e devido ao sistema de avano na busca do timo, nunca ser

preciso estabelecer um limite de velocidade mnima ou nenhuma outra restrio

destinada a limitar o nmero de dimetros selecionados por trecho.

Para determinao da soluo prvia so enumerados os trechos da rede

[ ]( )iTT , no sentido inverso ao fluxo, do ponto mais extremo da rede para a cabeceira. Em cada trecho devero ser conhecidos: o comprimento [ ]( )iL , a vazo [ ]( )iQF , a cota piezomtrica (presso) mnima exigida no ponto terminal do trecho, uma tabela

com os preos unitrios [ ]( )iPR das tubulaes em funo dos seus dimetros [ ]( )iD , alm dos critrios para determinao das perdas de carga. Os dimetros dos trechos

da soluo prvia [ ]( )iD sero escolhidos de forma que tenhamos as velocidades mximas admissveis no interior dos tubos. Com os dados acima feita a montagem

de uma tabela conforme modelo apresentado no Quadro 1.

Utilizando os dados dessa tabela, se calcula, para cada trecho com dimetro

[ ]iD , a velocidade [ ]iV e a perda de carga [ ]ihf produzida por esta velocidade, assim como, os valores de [ ]iD2 , dimetro comercial imediatamente superior a [ ]iD ,

[ ]iV2 , [ ]ihf 2 e a perda de carga que se recupera ao se substituir o dimetro [ ]iD por [ ]iD2 :

[ ] [ ] [ ]ihfihfihfdisp 2= (2.5)

A perda de carga [ ]ihf obtida a partir da perda de carga unitria [ ]iJ calculada pela Equao 2.4, atravs da expresso:

[ ] [ ] [ ]iLiJihf = (2.6)

79

O custo unitrio da tubulao adotada em cada trecho [ ]iPRC ser utilizado para se calcular o encarecimento que o mesmo sofrer ao substituirmos o seu

dimetro de [ ]iD para [ ]iD2 :

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]( )iLiPRCiLiPRCiPRC = 2 (2.7)

O custo total da soluo prvia igual a soma de todos os valores

[ ] [ ]( )iLiPRC dos trechos que a compem. Para o clculo da cota piezomtrica de cabeceira da soluo prvia CCABi ,

se supe uma cota piezomtrica de cabeceira fictcia igual a zero, e utilizando a

planilha conforme o modelo apresentado no Quadro 1, so calculadas as presses

de jusante de cada trecho da rede (cotas piezomtricas dos pontos terminais), todas

fictcias e negativas. A partir das quais, so calculadas as folgas de presso de cada

trecho, tambm fictcias e negativas.

O valor da menor de todas as folgas de presso fictcias FP , com o sinal

mudado, ser a cota de cabeceira da soluo prvia CCABi .

2.5.2 Reduo da cota piezomtrica de cabeceira

Na definio da soluo prvia, ponto de partida para o processo de

otimizao da rede, a cota piezomtrica de cabeceira, ou seja, a cota de fundo do

reservatrio de gua, foi elevada, de forma fictcia, de um valor suficiente para

possibilitar que a rede atendesse aos requisitos de presses mnimas.

Nesta segunda etapa do Mtodo Granados utilizado um processo iterativo

de operaes cujo objetivo reduzir gradualmente a cota de cabeceira,

considerando a substituio de trechos da tubulao da rede pelos dimetros

subseqentes, considerando um acrscimo mnimo de custo para a rede.

Este processo iterativo interrompido ao ser alcanada a cota piezomtrica

de cabeceira desejada (cota do reservatrio). Uma das aes mais importantes do

Mtodo Granados a associao da perda de carga a um custo e, para atingir este

objetivo, procura-se, a cada iterao, o trecho de gradiente timo entre aqueles que

80

esto compreendidos no trajeto que vai desde o ponto terminal de folga de presso

nula at a cabeceira.

Segundo GRANADOS (1990), o processo de seleo dos trechos nos quais

preciso, em cada iterao, aumentar o dimetro do tubo est fundamentado nos

seguintes princpios:

1. Para efeito de aumento da presso disponvel em um determinado

ponto terminal da rede, indiferente, sob o ponto de vista hidrulico, o

trecho no qual se consiga esta melhoria, entre todos os trechos

constituintes do trajeto que vai desde a cabeceira da rede at este

ponto terminal. Tomando como exemplo a rede do Desenho 1, para

melhoria da presso disponvel no ponto terminal A da rede, na qual

existem n trechos no trajeto desde a origem O at o referido ponto A,

contemplando exclusivamente o problema da melhoria de presso,

esta se pode conseguir aumentando o dimetro do tubo de qualquer

um dos trechos ou grupo de trechos, entre os n que compem o

trajeto.

DESENHO 1 Rede de distribuio de gua com n trechos

O nmero de opes que aumentem a presso disponvel em A

ocupar todo o campo de combinaes realizveis com os trechos do

trajeto e com os dimetros disponveis no mercado. Cada uma dessas

possveis combinaes est associada a uma determinada variao

do custo da rede, existindo entre todas elas, uma combinao na qual

81

a referida melhoria se realiza com menor custo que as demais e que,

portanto, nos interessa selecionar.

2. Define-se como Gradiente de Cmbio o custo marginal da melhoria da

perda de carga conseguida em um trecho, mediante a substituio de

um dimetro pelo seu imediatamente superior. o acrscimo de custo

relacionado com a diminuio de perda de carga, produzido pela

mudana de dimetro. Assim para um trecho de comprimento [ ]iL cujo dimetro inicial [ ]iD (com um custo unitrio [ ]iPRC e perda de carga [ ]ihf ), o Gradiente de Cmbio que expressa a substituio de [ ]iD pelo primeiro dimetro comercial superior ao mesmo [ ]iD2 (com

custo unitrio [ ]iPRC2 e perda de carga [ ]ihf 2 ) vem dado pela Equao 2.8:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]( )[ ] [ ]ihfihfiLiPRCiLiPRC

iCMBIO2

2

= (2.8)

Ou tambm por:

[ ] [ ][ ]ihfdispiPRCiCMBIO = (2.8)

3. Por razes de mercado, verificam-se os seguintes condicionantes nos

tubos comerciais existentes:

- Nos tubos que possuem caractersticas como tipo, classe e qualidade

iguais, o custo unitrio PRC aumenta diretamente com o dimetro D

dos mesmos.

- Para toda vazo QF dada, o valor do Gradiente de Cmbio sempre

crescente com o dimetro D .

4. O Gradiente de Cmbio o ndice que determina o encarecimento

unitrio (em reais / metro de perda de carga), que se produz quando

se efetua, em um trecho da rede de distribuio de gua, a

substituio de um dimetro por outro. Por ser crescente com o

aumento do dimetro, o cmbio timo de um dimetro ser sempre o

82

imediatamente superior, visto que qualquer outra combinao seria

economicamente mais desfavorvel.

5. Ainda que, sob o ponto de vista hidrulico, exista uma infinidade de

solues que permitem aumentar a presso disponvel em um

determinado ponto terminal de uma rede, analisando o problema sob

o ponto de vista hidrulico-econmico, a soluo nica, j que a

melhoria da presso dever ser levada a cabo no trecho, cujo

Gradiente de Cmbio seja menor, entre todos do trajeto que vai desde

a cabeceira (origem da rede) at o referido ponto terminal. Assim na

rede apresentada no Desenho 1, a cada trecho i existe um Gradiente

de Cmbio correspondente [ ]iCMBIO . A melhoria da presso no ponto A dever ser efetuada aumentando o dimetro do trecho, cujo

valor do Gradiente de Cmbio [ ]iCMBIO seja o menor de todos os trechos que compem o percurso AO.

6. Se em lugar de um, so vrios os pontos terminais com presso

insuficiente, o critrio de seleo do trecho para substituio do

dimetro o mesmo que o anterior (critrio de mxima economia),

porm com as seguintes particularidades:

- Quando todos os pontos terminais possuem os seus percursos desde a

cabeceira superpostos (disposio dos trechos em srie), a melhoria

hidrulica do conjunto conseguida modificando o dimetro de algum

dos trechos situados a montante de todos os pontos terminais com

presso insuficiente. Se na rede apresentada no Desenho 2, os pontos A

e B forem pontos com presses insuficientes, no teria sentido hidrulico

tentar solucionar o problema aumentando o dimetro de qualquer dos

trechos a jusante de B (trechos 4, 5 ... n). O percurso no qual se dever

selecionar o trecho com Gradiente de Cmbio mnimo ser o que vai

desde a cabeceira at alcanar o primeiro ponto com presso insuficiente

B (trechos 1, 2 e 3).

83

DESENHO 2 Rede de distribuio de gua com n trechos e pontos terminais A e B

- Quando os pontos terminais da rede com presso insuficiente

pertencem a ramais distintos (disposio em paralelo), a melhoria

hidrulica do conjunto obtida modificando o dimetro de algum dos

trechos comuns situados a montante da totalidade desses pontos, ou

modificando, simultaneamente, trechos no comuns pertencentes aos

percursos que partindo da cabeceira da rede, finalizam em cada um dos

pontos terminais. Tomando como exemplo a rede apresentada no

Desenho 3, para melhorar a presso nos pontos terminais A e B,

localizados em ramais distintos, pode-se aumentar o dimetro de um dos

trechos do percurso OC, ou, simultaneamente, aumentar o dimetro em

um dos trechos do percurso CA e em outro do percurso CB. Sob o ponto

de vista hidrulico, indiferente reduzir a perda de carga do percurso OC

em hf ou, simultaneamente, reduzi-la tambm de hf em CA e CB.

Em ambos os casos as presses nos pontos A e B seriam aumentadas

do mesmo valor hf .

84

DESENHO 3 Rede de distribuio de gua ramificada com pontos terminais A, B e C

No caso de pontos terminais com presso insuficiente dispostos em

paralelo, a melhoria de presso hf no percurso OC se efetuar ao

custo unitrio [ ]iCMBIO0 , enquanto que a mesma melhoria hf se

realizar ao custo unitrio [ ]iCMBIO1 no percurso CA e ao custo [ ]iCMBIO2 no percurso CB. Os valores [ ]iCMBIO0 , [ ]iCMBIO1 e

[ ]iCMBIO2 so os Gradientes de Cmbio mnimos do conjunto de trechos i que formam os percursos OC, CA e CB respectivamente.

Aplicando entre esses valores o critrio da mxima economia, a mudana

de dimetro dever ser feita no ramal OC se for verificada a

desigualdade:

[ ]

7. Em resumo, o critrio de seleo do(s) trecho(s) que em cada iterao

ter o seu dimetro aumentado, se efetuar sempre atendendo ao

objetivo de alcanar a diminuio da perda de carga necessria, com

o mximo de economia possvel. Para isto, se deve levar em conta

85

que, cada uma das possveis combinaes de trechos selecionados

deve melhorar a presso da totalidade dos pontos terminais, e que

entre essas possveis combinaes, se deve optar por aquela cuja a

soma dos Gradientes de Cmbio tenha o menor valor possvel. O

menor valor entre todos os Gradientes de Cmbio do(s) percurso(s)

que contm um ponto terminal com folga de presso igual a zero

chamado Gradiente de Cmbio timo ( )minC , e o trecho correspondente denominado Trecho timo ( )Ttimo .

2.5.3 Caracterizao do Sistema Granados A principal caracterstica do mtodo a otimizao mediante o avano

progressivo do final para o incio da rede, mantendo fixa a cota piezomtrica dos

pontos terminais que tenham alcanado a presso mnima ( )minP , reduzindo, em cada iterao, as folgas de presso disponveis em todos os pontos terminais

situados a montante dos primeiros, o que significa uma reduo do mesmo valor na

cota de cabeceira.

A diferena entre a cota piezomtrica do ponto terminal de cada trecho

da rede ( )CP e a cota piezomtrica mnima requerida de projeto para este ponto ( )minP , definida pelo sistema como folga de presso ( )FP . Se um n qualquer da rede no se constitui em um ponto terminal de utilizao, o valor da presso mnima

( )minP ser o mnimo necessrio para que ocorra o fluxo de gua no interior da tubulao.

O primeiro passo no processo de otimizao da rede a determinao do

dimetro inicial de cada trecho, de modo a propiciar uma velocidade dentro dos

limites fixados pela norma, em toda a extenso da rede. Logo ser necessria uma

presso mnima na cabeceira (origem) para garantir que todos os valores de folga de

presso nos ns da rede sejam positivos ( )0FP , o que significa que, pelo menos, um dos trechos ter folga de presso nula.

Para a obteno da presso mnima Z0 na origem da rede, basta supor a linha

piezomtrica da rede com velocidades de fluxo mximas flutuando com certo grau

de liberdade acima do traado da rede. No Desenho 4 est representada como a

86

linha tracejada ao longo do eixo Z. Acima de cada ponto terminal da rede, se ergue

um pilar fictcio representando o valor da presso mnima requerida neste ponto

( )PM . Qualquer variao da presso mnima na cabeceira ser transferida integralmente a todos os demais pontos terminais, desde que o conjunto de linhas

piezomtricas no sofra alteraes, ou seja, desde que a presso mnima de

nenhum ponto terminal seja modificada. Assim, pode-se ir rebaixando gradualmente

a cota de cabeceira at que em algum dos pontos terminais da rede (n de jusante

do trecho 3 do Desenho 4, por exemplo) a folga de presso seja nula ( )0=FP .

DESENHO 4 - Rede de distribuio de gua com grfico das presses mnimas nos pontos terminais e linha piezomtrica

Esta ser a Soluo Prvia que serve de ponto de partida do sistema

operacional do Mtodo Granados, definida pela presso na origem Z0, velocidades

prximas mxima admissvel em toda a rede e folga de presso nula em pelo

menos um ponto terminal da rede. A partir dessa soluo o objetivo do sistema

operacional ir reduzindo, gradualmente, a presso na origem (cota piezomtrica de

cabeceira) mediante um processo iterativo que avana sempre levando em

87

considerao o incremento mnimo de custo da rede at alcanar a cota de

cabeceira desejada.

Para se conseguir este objetivo se busca, em cada iterao, o trecho de

gradiente de cmbio timo, entre aqueles que esto compreendidos no percurso que

vai desde o ponto terminal com folga de presso nula at a cabeceira. Com isto se

pode garantir a reduo da cota de cabeceira a um custo menor, ou seja, se

substitui um dimetro pelo seu imediatamente superior, no trecho que proporcione o

menor aumento de custo. Essa troca de dimetro proporciona um aumento da

presso ( )hfdisp nos pontos da rede situados a montante do trecho timo, nos ramais que derivam desses pontos e na origem (cabeceira) da rede. O que equivale

a reduzir a cota piezomtrica de cabeceira e as folgas de presso desses trechos de

um valor igual ao hfdisp , sem que a presso nos trechos com folga de presso nula

seja reduzida. Devemos perceber que o valor de hfdisp nunca poder superar a

menor folga de presso minFP , diferente de zero, que corresponde aos trechos cuja

piezomtrica sofreu um rebaixamento. Este valor mnimo denominado de

decrscimo de presso DP e se define como o menor valor entre os hfdisp

disponveis nos trechos timos e a menor folga de presso positiva, excetuando-se

as que correspondam a trechos situados a jusante dos trechos timos.

De forma resumida, para ser feita a reduo da cota piezomtrica de

cabeceira o sistema dever seguir a cada iterao, a seqncia abaixo:

Determinao do(s) percurso(s) timo(s)

O percurso timo ser o percurso compreendido entre um ponto terminal da

rede com folga de presso nula at a cabeceira.

Determinao do(s) trecho(s) timo(s)

Para a determinao dos trechos timos devem ser obedecidas as seguintes

orientaes:

1. Rede com trechos em srie:

O trecho timo ser aquele que tenha o menor gradiente de cmbio

selecionado entre os trechos que vo desde o trecho de folga de presso nula at a

cabeceira.

88

Se nesse percurso timo houver mais de um trecho com folga de presso

nula, dever ser considerado, para a escolha do trecho timo, o gradiente de cmbio

a partir do trecho com folga de presso igual a zero mais prximo da cabeceira.

2. Rede com trechos ramificados:

Quando existem pontos terminais da rede com folga de presso igual a zero

em percursos timos distintos de uma rede ramificada, a escolha do(s) trecho(s)

timo(s) ser feita atravs da comparao entre o gradiente de cmbio do trecho

timo pertencente ao percurso da cabeceira at o entroncamento (ou ramificao

dos percursos com folga de presso nula) e a soma dos gradientes de cmbio dos

trechos timos de cada ramificao com 0=FP . O menor valor obtido ser a

indicao do(s) trecho(s) timo(s).

Clculo do decrscimo de presso DP

Ser adotado o menor valor entre a reduo de perda de carga disponvel no

trecho timo ( )hfdisp e a mnima folga de presso ( )minFP existente em toda a rede, exceto os valores das folgas de presso dos ns situados a jusante dos

trechos timos. Existiro, portanto, dois casos a serem observados:

1. minFPhfdisp

O decrscimo de presso ( )DP ser igual ao valor hfdisp e todo o trecho timo ser substitudo pelo dimetro imediatamente superior. A linha piezomtrica

ser rebaixada no valor hfdisp e as novas folgas de presso de toda rede sero

diminudas tambm do valor hfdisp , com exceo do trecho timo e daqueles

situados a jusante do mesmo.

2. minFPhfdisp >

Neste caso o decrscimo de presso ( )DP ser igual folga de presso mnima ( )minFP e o trecho timo ser substitudo parcialmente pelo dimetro imediatamente superior. O novo valor de hfdisp ser igual ao valor anterior menos o

valor de minFP .

A nova cota piezomtrica de cabeceira e as novas folgas de presso da

rede sero rebaixadas em minFP , com exceo ao do trecho timo e dos trechos

situados a jusante do mesmo.

89

Clculo do comprimento da tubulao do trecho timo a ser substitudo

Caso o trecho timo seja substitudo parcialmente conforme vimos no

pargrafo anterior, o comprimento do trecho a ser substitudo pelo dimetro

imediatamente superior [ ]iCTT ser calculado atravs da relao K entre a perda de carga disponvel aps a iterao, e a perda de carga disponvel antes da mesma,

conforme apresentado a seguir na Equao 2.9:

[ ][ ] [ ]( )ihfihf

ihfdispK2

= (2.9)

Onde:

hfdisp = perda de carga disponvel no trecho aps iterao

[ ]ihf = perda de carga para o dimetro [ ]iD [ ]ihf 2 = perda de carga para o dimetro [ ]iD2

O valor ( )K1 ao ser multiplicado pelo comprimento do trecho [ ]( )iL indicar o comprimento da tubulao a ser substituda pelo dimetro imediatamente superior,

conforme apresentado na Equao 2.10:

[ ] ( ) [ ]iLKiCTT = 1 (2.10)

Clculo do novo custo da rede O novo custo da rede ser igual ao custo anterior, mais a diferena de custo

causado pelo aumento do dimetro no trecho timo.

Clculo e verificao da nova cota piezomtrica da cabeceira O valor da nova cota piezomtrica de cabeceira ser calculado pela

diminuio da cota inicial da soluo prvia ( )CCABi , do valor correspondente ao decrscimo de presso ( )DP corrigido. A seguir este novo valor comparado com o valor da cota de cabeceira final

desejada. Enquanto essa nova cota de cabeceira for maior que o valor da cota final

de cabeceira desejado, deveremos continuar o processo iterativo at que esse

objetivo seja alcanado.

90

3 DESCRIO DO CASO EM ESTUDO No presente captulo, feito o dimensionamento das tubulaes da rede de distribuio predial de gua fria de um condomnio residencial, segundo os critrios

da norma NBR 5626 (ABNT, 1998). A rede projetada, embora atenda aos requisitos

de vazes e presses mnimas nos pontos terminais de utilizao, pode no ser a

soluo de menor custo. Por esta razo, no captulo seguinte, esta rede otimizada

atravs da aplicao do Mtodo Granados de Otimizao.

3.1 GENERALIDADES

A metodologia desenvolvida neste trabalho busca otimizar as instalaes

prediais de distribuio de gua fria de um condomnio residencial multifamiliar,

atravs da implementao das seguintes aes:

1. Adoo de um sistema de alimentao de gua com fluxo ascendente,

a partir de um nico reservatrio de gua que atende todas as

unidades do condomnio. Esse reservatrio, instalado no ponto de

maior cota topogrfica do terreno, a origem da rede de distribuio de

gua do condomnio;

2. Lanamento da rede de distribuio de gua do condomnio,

procurando racionalizar o seu traado, visando a economia de tubos e

conexes e reduo das perdas de carga;

3. Projeto da rede de distribuio de gua utilizando no dimensionamento

dos tubos os critrios da Norma NBR 5626. Aps a determinao do

dimetro de todos os trechos da rede, feita a verificao das

presses nos pontos terminais de utilizao da mesma.

4. Aplicao do Mtodo Granados de Otimizao rede projetada

segundo os critrios da NBR 5626, encontrando entre todas as

solues possveis, a soluo tima de menor custo, que atenda

completamente aos requisitos de vazo e presso mnima nos pontos

91

terminais da rede. Esta metodologia uma importante ferramenta que

visa facilitar o trabalho dos projetistas de instalaes prediais;

5. Anlise dos custos de materiais da rede de distribuio predial de gua

fria, a fim de que se possa fazer uma avaliar da sua reduo

percentual, aps a otimizao da mesma.

3.2 APRESENTAO DO CONDOMNIO EM ESTUDO

O sistema predial de distribuio de gua fria submetido ao Mtodo Granados

de Otimizao, objeto do presente estudo, pertence ao Condomnio Residencial

Bzios Tropical. Ele est localizado no litoral leste do Estado do Rio Grande do

Norte, na Praia de Bzios, municpio de Nsia Floresta, na Rua Coronel Paulo

Salema, S/N. O acesso Praia de Bzios feito pela Rodovia Rota do Sol, a uma

distncia de aproximadamente 20 Km ao sul de Natal, a capital do estado.

MAPA 1 Mapa de situao da Praia de Bzios, municpio de Nsia Floresta RN.

O empreendimento pode ser assim descrito e apresentado conforme planta

baixa de implantao geral apresentada no Apndice:

1 rea total do terreno: 7.362,57 m2;

rea total construda: 3.214,00 m2;

92

FOTOFRAFIA 1 Fotografia area do Condomnio Residencial Bzios Tropical

2 Quantidade e tipo dos apartamentos:

2.1 Apartamentos tipo 01:

Nmero de blocos: 03 (trs)

Nmero de apartamentos: 15 (quinze);

rea dos apartamentos: 12 apartamentos com 70 m2;

03 apartamentos cobertura com 140 m2;

FOTOGRAFIA 2 Fotografia do Bloco de Apartamentos Tipo 01 do Condomnio Residencial Bzios Tropical

93

2.2 Apartamentos tipo 02:

Nmero de blocos: 03 (trs)

Nmero de apartamentos: 18 (dezoito);

rea dos apartamentos: 55 m2;

FOTOGRAFIA 3 Fotografia do Bloco de Apartamentos Tipo 02 do Condomnio Residencial Bzios Tropical

2.3 Bangals:

Nmero de bangals: 07 (sete);

rea dos bangals: 78 m2

94

FOTOGRAFIA 4 Fotografia dos Bangals do Condomnio Residencial Bzios

Tropical

3.3 PROJETO DE INSTALAES PREDIAIS DE GUA FRIA DO CONDOMNIO BZIOS TROPICAL

Segundo os critrios da NBR 5626 (1998), para o dimensionamento dos sub-

ramais, ramais e colunas da rede de distribuio de gua fria do condomnio, adota-

se um mtodo baseado na probabilidade de uso simultneo de aparelhos e peas.

Atribuem-se pesos s vrias peas de utilizao para definir suas demandas e as

vazes de projeto que so utilizadas no dimensionamento das tubulaes.

A partir do Projeto Arquitetnico do condomnio e utilizando-se das tabelas

apresentadas a seguir, feito o clculo das vazes de projeto de cada coluna de

gua fria da rede. Os resultados so utilizados para a determinao dos dimetros

dos trechos da rede, obedecendo aos limites de velocidade estabelecidos pela

norma NBR 5626.

3.3.1 Clculo das vazes de projeto

Nas Tabelas 2 a 10 so apresentadas as vazes de projeto e os pesos

relativos das peas que compem os sub-ramais de cada uma das colunas de gua

fria da rede de distribuio (AF 01, AF 02, AF 03 e AF 04) de cada tipo de

apartamento (tipo 01 e tipo 02). Da mesma forma dos bangals, rea de lazer e

apoio da piscina e guarita. Ao final de cada tabela, apresentado o somatrio dos

pesos e a vazo de projeto por coluna em litros por segundo (L/s).

1. TABELA 2 Apartamento tipo 01 Coluna de gua fria AF 01 PEA DE UTILIZAO VAZO DE PROJETO / PEA

(L/s) PESO RELATIVO

02 pias de cozinha 0,25 1,40 03 lavatrios 0,15 0,90 03 duchas 0,10 0,30 03 caixas descarga acopladas 0,15 0,90 03 chuveiros 0,20 1,20

95

Somatrio dos pesos - 4,70 Vazo de projeto/coluna (L/s) 0,65 -

2. TABELA 3 Apartamento tipo 01 Coluna de gua fria AF 02 PEA DE UTILIZAO VAZO DE PROJETO / PEA

(L/s) PESO RELATIVO

03 pias de cozinha 0,25 2,10 03 lavatrios 0,15 0,90 03 duchas 0,10 0,30

PEA DE UTILIZAO VAZO DE PROJETO / PEA (L/s)

PESO RELATIVO

03 caixas descarga acopladas 0,15 0,90 03 chuveiros 0,20 1,20 Somatrio dos pesos - 5,40 Vazo de projeto/coluna (L/s) 0,70 -

3. TABELA 4 Apartamento tipo 01 Coluna de gua fria AF 03 PEA DE UTILIZAO VAZO DE PROJETO / PEA

(L/s) PESO RELATIVO

01 banheira de hidromassagem 0,30 1,00 Somatrio dos pesos - 1,00 Vazo de projeto/coluna (L/s) 0,30 -

4. TABELA 5 Apartamento tipo 02 Colunas de gua fria AF 01 e AF 04 PEA DE UTILIZAO VAZO DE PROJETO / PEA

(L/s) PESO RELATIVO

03 lavatrios 0,15 0,90 03 duchas 0,10 0,30 03 caixas descarga acopladas 0,15 0,90 03 chuveiros 0,20 1,20 Somatrio dos pesos - 3,30 Vazo de projeto/coluna (L/s) 0,54 -

5. TABELA 6 Apartamento tipo 02 Colunas de gua fria AF 02 e AF 03 PEA DE UTILIZAO VAZO DE PROJETO / PEA

(L/s) PESO RELATIVO

03 pias de cozinha 0,25 2,10 Somatrio dos pesos - 2,10

PEA DE UTILIZAO VAZO DE PROJETO / PEA (L/s)

PESO RELATIVO

96

Vazo de projeto/coluna (L/s) 0,43 -

6. TABELA 7 Bangal Banheiro PEA DE UTILIZAO VAZO DE PROJETO / PEA

(L/s) PESO RELATIVO

01 lavatrio 0,15 0,30 01 ducha 0,10 0,10 01 caixa descarga acoplada 0,15 0,30 01 chuveiro 0,20 0,40 Somatrio dos pesos - 1,10 Vazo de projeto/coluna (L/s) 0,31 -

7. TABELA 8 Bangal C