P2 (PMQ311)

2aAvaliação (MV1) de Matemática I - Turma PMQ 311 - 2014/2

Professor Rafael de Freitas Lopes

Questão 01:

a) Desenvolva(

3√

+1)

2 e(

3√

− 1)

2, usando produtos notáveis.

b) O número x = 4 +2 3√√

− 4− 2 3√√

é racional ou irracional? Justifique cuidadosamentesua resposta.

Questão 02: O número de ouro (φ) é um número real que pode ser obtido tomando a soluçãopositiva da equação do 2o grau x2 =x + 1 (*).

a) Resolva a equação (*) e determine, sem usar aproximações, o valor exato de φ.

b) O número de ouro é racional ou irracional? Justifique cuidadosamente sua resposta.

c) Determine, sem usar aproximações, o valor de y = φ3− 2φ.

Questão 03: Cinco números racionais (A;B;C;D e E) são marcados sobre a reta real de modoque A < B < C < D < E. Sabe-se também que as diferenças B −A, C −B, D −C e E −D

são constantes.

a) Encontre os valores de A, B e D sabendo que C =−1

5e E =

1

4.

b) Dê exemplo de um número irracional compreendido entre A e B.

c) Dê exemplo de um número racional com um número finito de casas decimais compreendidoentre B e C.

d) Dê exemplo de um número racional com um número infinito de casas decimais compreendidoentre C e D.

e) Dê exemplo de um número racional cuja fração irredutivel tem numerador 3 e estejacompreendido entre D e E.

1

Questão 04: Em cada item, diga, justificando suas respostas, se as afirmações a seguir sãoVERDADEIRAS ou FALSAS.

a) o número π√

é racional.

b) 0, 49̄=1

2, onde 0, 49̄ é a dízima periódica 0, 4999

c) 18003√

> 12, 34.

d) se x e y são números reais positivos não nulos então x2 + y2√

<x + y.

e) o resultado da expressão−2−2 +

3

4− 0, 6̄

1−1

3

é igual a −0, 25.

f) se x é um número real compreendido entre 0 e 1 então dentre os números9x

10, x√

, x2 e x3,

o maior é x3.

g)1

(

2√

− 3√ )(

2√

− 5√ ) +

1(

3√

− 2√ )(

3√

− 5√ ) +

1(

5√

− 2√ )(

5√

− 3√ ) ∈Q.

Questão 05: Considere a expressão ax2 + bx + c (*), onde a, b e c são números reais e a� 0.

a) Usando o fato de que (α + β)2 = α2 + 2αβ + β2, mostre que é possível encontrar númerosreais k e h tais que a expressão ax2 + bx + c pode ser reescrita como (x + k)2 +h.

b) Com base no item a), encontre condições para que a equação ax2 + bx+ c=0 (onde a, b e c

são números reais e a� 0) admita solução em R. Aproveite, diga quais são essas soluções.

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