Panorama de l’astronomie 6. Gravitation

1

Panorama de l’astronomie

6. Gravitation

Karl-Ludwig Klein, Observatoire de ParisGrégory Desvignes, Lab Phys. & Chimie de

l’Environement, Orléans

Ludwig.klein@obspm.fr, Tél. 01 45 07 77 61http://lpce.cnrs-orleans.fr/~theureau/PANORAMA/PANORAMA.html

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Panorama de l’astronomieKarl-Ludwig Klein, Gilles Theureau, Grégory Desvignes

• Introduction : les objets de l’Univers (KLK)• Les étoiles : formation, évolution (GT)• Distances dans l’Univers, galaxies, l’Univers dans son ensemble (GT)• TP : Distances dans l’Univers (GT)• TP : Soleil, Terre, Lune, lois de Kepler (GT)• Planètes, formation du système solaire (GD)• Gravitation : orbites des planètes, Kepler, Newton, étoiles et galaxies

(KLK)• Spectroscopie : l’outil de l’astrophysique (KLK)• Les étoiles : composition, fonctionnement (KLK)• Soleil : atmosphère et vent (KLK)

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Gravitation

Les débuts : orbites des planètesdu système solaire et lois de

Newton

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Orbites des planètes

toutes (sauf Pluton) dans le même plan: écliptique

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Mouvement des planètes dans le ciel

• Les positions dans le ciel des planètes et du Soleil suiventessentiellement la même trajectoire, parce que les orbites se situentpresque dans le même plan: écliptique = plan de l’orbite de la Terre

• Le zodiaque est l’ensemble des constellations traversées parl’écliptique

• Changement des positions des planètes au cours des jours/semaines:plus rapide pour Mercure et Vénus (planètes proches) que pour Jupiteret Saturne (planètes lointaines)

http://www.astrosurf.com/saf/

6

Les lois de Kepler (1)

Source: M. Harwit, Astrophysical Concepts

1. Les orbites desplanètes sont desellipses. Le Soleilest immobile dansl’un des foyers.

Lois empiriques,fondées sur lesobservations des orbitesdes planètes (TychoBrahe, en particulierMars) :

7

L’orbite de Mars : une ellipse14,93 cm

15,00 cm

15,00 cm

Excentricité :ε=0,0934

8

2. La droite Soleil-planètebalaye dans des tempségaux des surfaceségales.

3. (Période orbitale)2 ∝(demi-grand axe)3

Terre

Source: R.H. Giese, Einführung in die Astronomie

Soleil

SatelliteHelios

Mercure : r=0,387 UA, P=0,241 a, P2/r3=0,998Vénus : r=0,723 UA, P=0,615 ans, P2/r3=1,00

Terre : r=1,00 UA, P=1,00 ans, P2/r3=1,00Jupiter : r=5,203 UA, P=11,9 ans, P2/r3=1,01

Les lois de Kepler (2)

9

Application : l’inégalité des saisons

• Calendrier actuel(1) :– Hiver

22/12/06 00:21 TU– Printemps

21/03/07 00:07 TU– Eté

21/06/07 18:06 TU– Automne

23/09/07 09:50 TU– Hiver

22/12/07 06:07 TU

Hiver

89 j

Automne89 j 20 h

Printem

ps

92 j 1

8 h Eté

93 j 16 h

Solstice d’hiver

Solstice d’été

Equinoxe

d’automneE

quin

oxe

de

prin

tem

ps

(1) http://www.imcce.fr/page.php?nav=fr/ephemerides/astronomie/saisons/index.php

10

Solstice d’hiver

Solstice d’été

Equinoxe

d’automneE

quin

oxe

de

prin

tem

ps Hiver

89 j

Automne89 j 20 h

Printem

ps

92 j 1

8 h Eté

93 j 16 h

Application : l’inégalité des saisons

• Calendrier actuel(1) :– Hiver

22/12/06 00:21 TU– Printemps

21/03/07 00:07 TU– Eté

21/06/07 18:06 TU– Automne

23/09/07 09:50 TU– Hiver

22/12/07 06:07 TU

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Mouvement sur un cercle : de A à B en unlaps de temps Δt :– angle θ = 2π Δt / P (P=période orbitale)– AB = θ r = 2π r Δt / P– Vitesse tangentielle au cercleυ = AB / Δt = 2π r / P

– La vitesse change de direction, maispas de module :

• υ = cte. = υ′• accélération vers le centre du cercle →

« accélération centripète »

r

A

r

υ

Bυ'

θ

Quelle force agit sur les planètes/satellites… ?

12

• Accélération : pendant Δt, le corps sedéplace de A à B (angle θ=2π Δt / P, siP = période du mvt circulaire).

υ

υ' θΔυ

r

A

r

υ

Bυ'

θ

θ

!

" # =# $ %# = &# =2'

P%t#

# =2'r

P$2'

P=#

r$%# =

#

r%t# =

# 2

r%t

Accélération requise pour maintenir l’orbite circulaire :

!

"#

"t=# 2

r

90°-θ

!

" = 360°#t

P

$2%

P#t

Quelle force agit sur les planètes/satellites… ?

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• Force centripète + troisième loi de Kepler :

• Si M exerce force F sur m, m exerce mêmeforce sur M :

• Newton : deux corps exercent l’un sur l’autreune force donnée par

!

F =GmM

r2

!

F = m"#

"t= m

# 2

r=m

r

2$r

P

%

& '

(

) *

2

+mr

P2+mr

r3

=m

r2

!

F "M

r2

et F "m

r2

Newton : loi de la gravitation universelle

14

Combinaison de deuxmouvements :

1) Gravitation : tous les corpschutent vers la Terre, à lamême vitesse(« apesanteur »).

2) La station spatiale et tout soncontenu effectuent unmouvement rectiligne àvitesse constante.

© NASA, http://spaceflight.nasa.gov/station/ (1)(2)

Newton : loi de la gravitation universelle :illustration par l’orbite d’un satellite artificiel

15

• Généralisation de la troisième loi de Kepler :

• Illustration : orbite d’un satellite artificiel :

!

F = m" 2

r=GMm

r2

# r" 2=GM ; " 2

=4$ 2

r2

P2

# P2

=4$ 2

GMr

3

!

P2

=4" 2

GMr

3

M # 6,0$1024 kg (Terre), r = RT

+ 500 km = 6900 km = 6,9$106 m, G = 6,7$10%11 N m2

kg2

& P = 5700 s # 1h30m , ' =2"r

P# 8 km/s

Newton : loi de la gravitation universelle -généralisation des lois de Kepler

16

• Généralisation de la troisième loi de Kepler :

• Mesure de la masse des astres. P. ex. Terre : orbite dela Lune r =384×106 m, P=27,3 j =2,36×106 s

• Soleil ?– orbite de la Terre r=1,50×1011 m, P=365,25 j =31,5×106 s

!

F = m" 2

r=GMm

r2

# r" 2=GM ; " 2

=4$ 2

r2

P2

# P2

=4$ 2

GMr

3

!

P2

=4" 2

GMr

3# M =

4" 2

GP2r

3 (G = 6,710$11 N m2

kg2)

# M % 6,0 &1024 kg

Newton : loi de la gravitation universelle -généralisation des lois de Kepler

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• Newton : si le Soleil exerce uneforce sur les planètes, celles-cidoivent également exercer uneforce sur le Soleil

• Conséquence des attractionsmutuelles Soleil-planètes :Trajet du centre du Soleil parrapport au centre de masse(CM) du système solaire, sousl’influence des planètes

• Perturbations multiples(planètes)

• Mouvement complexe du centresolaire

• Amplitude du mvt > rayonsolaireP. Lantos, Le Soleil en Face

Newton : loi de la gravitation universelle -généralisation des lois de Kepler

18

Gravitation universelle

Au-delà de notre systèmeplanétaire : étoiles doubles, amas

de galaxies

19

• Étoile proche, mouvement sur fond des étoileslointaines

• Observation: le mouvement dévie de la ligne droite• Conclusion : gravitation; compagnon « invisible »• Mesure des masses d’étoiles 3 & 1 MS

Une étoile binaire :Sirius

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Groupe degalaxies

• Ensemble maintenupar la gravitation

• « amas » de galaxies

• « super amas » degalaxies

21

• Chaque point est unegalaxie

• Observateur terrestreau centre de l’image

• Galaxies se groupenten amas, espace videentre les amas

• ⇒ gravitation structureaussi l’Univers à grandeéchelle

Répartition spatiale des galaxies « proches »

22

Gravitation

Les marées : Terre, planètes,galaxies

Pour plus de détails :http://www.imcce.fr/page.php?nav=en/ephemerides/astronomie/Promenade/debutweb.php

« Concepts fondamentaux »

23

Les marées (1) :système Terre-Lune

• Newton : on peut traiter le mouvement desastres (sphériques) comme s’il s’agissait de points

• Terre, Lune en orbites autour du centre de masse• Centre Terre: équilibre gravitation-centrifuge• Mais: l’attraction gravitationnelle est différente selon le

point considéré sur la surface de la Terre et sadistance à la Lune ⇒ accélération différentielle

L

T

Lune!

GML

r2

!

GML

r + RT( )2

!

GML

r " RT( )2

rRT

24

Les marées (2) :système Terre-Lune

• Newton : on peut traiter le mouvement desastres (sphériques) comme s’il s’agissait de points

• Terre, Lune en orbites autour du centre de masse• Centre Terre: équilibre gravitation-centrifuge; point

sub-lunaire : excès gravitation; point opposé : déficitgravitation

• Conséquence : bourrelet de la Terre dans le plan del’orbite de la Lune (de même : Soleil), surtout océans

L

T

Lune

25

• Période : 24h52m, induite par la Lune; un peu pluslongue que rotation Terre (23h56m) ⇒ frottementocéans-fonds marins

• Conséquence : ralentissement de la rotation de laTerre (1 s / 600 ans) & éloignement de la Lune

• Analogue: bourrelet Lune induit par la Terre. Rotationde la Lune synchronisée avec son mouvement orbital(nous voyons toujours la même « face »)

Lune

Les marées (3) :système Terre-Lune

26

• Particule (1) : accélération → P

• Centre en (2) : accélération → P

!

"GM

P

r " d( )2

!

"GM

P

r2

Force(1) < force (2).Accélération nette de(1) vers la planète

http://www.jpl.nasa.gov/solar_system/

r2d

P

(2)

(1) +

Les marées (4) :anneaux planétaires

27

• Particule en (1) :

• Particule en (2) :

!

"GM

P

r " d( )2

!

"GM

P

r2

Accélération de (1) vers la planète :

!

"GM

P

r " d( )2

+GM

P

r2

# "2GM

Pd

r3

r2d

P

(2)

(1) +

Un corps en orbite autour d’une planète ne maintient sacohésion que si l’accélération (1) →(2) est plus grande quel’accélération (1) → P. Exemple : cohésion par gravitation,accélération (1)→(2)

!

Gm

d2

!

"Gm

d2

>2GM

Pd

r3

Les marées (5) :anneaux planétaires

!

"GM

P

r2

r

r " d

#

$ %

&

' (

2

"1#

$ % %

&

' ( ( = "

GMP

r2

1

1" dr

#

$

% %

&

'

( (

2

"1

#

$

% %

&

'

( ( ) "

GMP

r21+ 2d

r"1( )

• Particule en (1) :

• Particule en (2) :

!

"GM

P

r " d( )2

!

"GM

P

r2

Accélération de (1) vers la planète :

!

"GM

P

r " d( )2

+GM

P

r2

# "2GM

Pd

r3

r2d

P

(2)

(1) +

Les marées (6) :anneaux planétaires

Si corps (masse m) en orbite autourd’une planète lié par sa gravitation : Stable si elle est plusforte que la force séparant (1) de (2):

!

Gm

d2

>2GM

Pd

r3

"m

d3

>2M

P

r3

!

" r >2M

P

#

$

% &

'

( )

13

!

m

d3" #

!

" # >2M

P

r3

29

!

R =2M

P

"

#

$ %

&

' (

13

(limite de Roche)

• Corps à r<R se brise ou ne peut se constituer que par lesforces électromagnétiques.

• Satellites (Jupiter, Saturne), comètes : ρ≈300 kg/m3

– Jupiter (Mp=1,9×1027 kg): R≈3 RJ, anneau (1,3-2,1) RJ,satellite Io 5,9 RJ

– Saturne (Mp=5,7×1026 kg): R≈3 RS, anneau (1,1-8) RS,satellite Mimas 3,1 RS

Voir aussi :http://www.imcce.fr/fr/ephemerides/astronomie/Promenade/pages4/446.html

Les marées (7) :anneaux planétaires

30

• Comète en orbite autour de Jupiter, période env 2 ans• Passage proche 7/7/1992 : env 1,3 rayons joviens du centre• Rupture en 21 morceaux env 2 heures plus tard• Modification des trajectoires par le Soleil → impact 1994

http://nssdc.gsfc.nasa.gov/planetary/comet_body.html :

Les marées (8) :rupture de la comète Shoemaker-Lévy

31

32

• Les anneaux planétaires ne sont pas des disques homogènes, mais desensembles de structures minces

• Interruptions dues aux résonances des satellites. P. ex. Mimas (Saturne):(PM=0,94 j, rM=185500 km) - division Cassini rC=120000 km PM/PC≈2

http://www.jpl.nasa.gov/solar_system/

1 1′

2

2′

3

3′

4

4′

5′ 5

6′

6

7′

7

8′8

9 9′

Division deCassini

Les marées :structure des anneaux planétaires

33

Marées dans un couple de galaxies

• Collision de deux galaxies -formation de deux bras étendus

• Observation (droite) et simulationnumérique (durée : 500 millionsd’années)

http://hubblesite.org/newscenter/newsdesk/archive/releases/2002/09/video/a

34

Gravitation

Newton a-t-il le dernier mot ?

35

• Tous les corps chutent à lamême vitesse, indépendantede leur masse (astronaute,boite conserves, …).

• Raison : masse inerte =masse pesante.

• Conforme aux expériences.Mais pourquoi la même m ?© NASA

!

ma =GmM

r2

" a =GM

r2

• Quelle différence entre les deux expériences suivantes, faites parun observateur enfermé dans un ascenseur ou un vaisseau spatial :– la chute d’un corps vers la Terre, acc. -g, ascenseur au repos– le mouvement accéléré de l’ascenseur (g) en direction du même corps,

en l’absence de toute gravitation ?

m m

Un constat simple sur la gravitation :la chute des corps

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Gravitation et accélération

Quelle différence entre les deuxexpériences suivantes faitespar un observateur enfermédans un ascenseur ou unvaisseau spatial :1) la chute d’un corps vers la

Terre, accélération -g,ascenseur au repos.

2) Corps en l’absence de toutegravitation (très loin d’objetscomme la Terre…) +mouvement accéléré del’ascenseur (g) en direction dumême corps.

Ascenseurau repos, l’objet chute

Objet flotte librement dansl’espace, ascenseur monte

⇒ aucune ! Et cela aune conséquenceétonnante :

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Une expérience virtuelle

• Rayon lumineux émis par unobservateur en l’absence degravitation

• (1) Ascenseur au repos : obs. àl’extérieur voit une trajectoire enligne droite.

• (2) Ascenseur accéléré : obs. àl’ext. voit que le faisceau entre dansl’ascenseur (acc. a) à la hauteur h1à t=0, et le quitte à la hauteur h2=h1-1/2at2, où t=l/c.

• (3) Observateur dans l’ascenseur:trajectoire droite du faisceau siascenseur au repos, courbe siascenseur accéléré.

Faisceaulumineux

Ascenseurau repos

h1 h2

⇒ h1=h2

Ascenseuraccéléré

Faisceaulumineux

h1

⇒ h1>h2

l

h1h1h1h1

h2

Equivalence accélération -gravitation : conclusion quegravitation courbe trajet de lalumière.

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• Principe d’équivalence (A. Einstein 1907): Il estimpossible de distinguer entre l’action de lagravitation et celle de l’accélération d’un référentiel.

• Conséquence (entre autres): la gravitation courbe letrajet de la lumière.

• Eclipse du soleil 1919: confirmation de la déviationde la lumière par la masse du Soleil

Gravitation = accélération - une conséquenceinattendue sur le parcours de la lumière

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La confirmation par l’observation

• Eclipse du soleil 1919: confirmation de la déviationde la lumière par la masse du Soleil

• Observation d’une étoile lointaine dont le trajet de lalumière passe près du Soleil

Ecart angulaire de la position des étoiles proches du Soleil- elles doivent paraître plus loin du Soleil lors de l’éclipse.

Observateur

40 http://www.americanscientist.org/template/AssetDetail/assetid/45939

The original caption for the graphicalexplanation of the experiment on the facingpage read as follows:

The results obtained by the Britishexpeditions to observe the total eclipse ofthe sun last May verified Professor Einstein'stheory that light is subject to gravitation.Writing in our issue of November 15 [1919],Dr. A. C. Crommelin, one of the Britishobservers, said: "The eclipse was speciallyfavourable for the purpose, there being nofewer than twelve fairly bright stars near thelimb of the sun. The process of observationconsisted in taking photographs of thesestars during totality, and comparing themwith other plates of the same region takenwhen the sun was not in theneighbourhood. Then if the starlight is bentby the sun's attraction, the stars on theeclipse plates would seem to be pushedoutward compared with those on the otherplates…. The second Sobral camera and theone used at Principe agree in supportingEinstein's theory…. It is of profoundphilosophical interest. Straight lines inEinstein’s space cannot exist; they are partsof gigantic curves."

From the Illustrated London News ofNovember 22, 1919.

Eclipse du Soleil 1919

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• Effet semblable à la courbure du trajet de la lumièrepar une lentille convergente : « lentillegravitationnelle » ou « mirage gravitationnel »

• Conséquence : courbure des trajets de lumièred’étoiles ou galaxies lointaines par desconcentrations de masse sur le trajet

Observateur

La vérification par l’observation

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Mirages gravitationnels

Déformation des images de galaxies lointaines (anneaux) parune galaxie elliptique sur le trajet de la lumière (centre).

http://hubblesite.org/newscenter/archive/releases/2005/32/image/a/

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Résumé du cours

• La loi de la gravitation universelle de Newton explique les mouvementsdes astres sous l’influence de la gravitation : Terre-Lune, Soleil-planètes, étoiles doubles, groupes de galaxies …

• Les lois de Kepler décrivent les mouvements orbitaux des planètes defaçon empirique. La loi de Newton permet de les généraliser : mesuredes masses des astres à partir de la 3ème loi, identification desperturbations des orbites en présence de >2 corps et d’astres étendus.

• L’étendue des astres et l’accélération différentielle (gravitation-centrifuge) sont à l’origine des marées : les mêmes processusexpliquent les marées terrestres, les anneaux planétaires et lesdéformations de galaxies s’approchant l’une de l’autre.

• Sur un plan général, la théorie de la gravitation de Newton s’est révéléeperfectible : relativité générale (Einstein), gravitation et géométrie …