2 2 Gravitation 09

2.2 Gravitationsmodelle

1

2.2 Gravitationsmodelle (2.2 Gravitationsmodelle (22) )

Stdte als Gravitationszentren am Beispiel der Penderstrme


Gravitationsmodell: Fragestellung

o Wovon hngt die Intensitt ab, mit der zwei oder mehr rumliche Einheiten (Regionen, Stdte) interagieren?

o Lsst sich in Analogie zur Gravitationstheorie von Newton ein konomischer Ansatz formulieren? Welche Modifikationen sind dabei erforderlich?

o Gibt es eine mikrotheoretische Fundierung des Gravitationsmodells?

o Wie ist das Modell empirisch nutzbar?

o Wovon hngt die Intensitt ab, mit der zwei oder mehr rumliche Einheiten (Regionen, Stdte) interagieren?

o Lsst sich in Analogie zur Gravitationstheorie von Newton ein konomischer Ansatz formulieren? Welche Modifikationen sind dabei erforderlich?

o Gibt es eine mikrotheoretische Fundierung des Gravitationsmodells?

o Wie ist das Modell empirisch nutzbar?


Newtons Gravitationslehre

Die Anziehungskraft aij, die zwischen Himmelskrpern mit Masse mi und mj wirkt, bestimmt sich als

wobei dij die Entfernung zwischen mi und mj bezeichnet.

Die Anziehungskraft ist also proportional zum Produkt der beiden Massen und umgekehrt proportional zum Quadrat der Entfernung; der Proportionalittsfaktor ? ist eine Naturkonstante

2,ij i j ija m m d=

Die Anziehungskraft aij, die zwischen Himmelskrpern mit Masse mi und mj wirkt, bestimmt sich als

wobei dij die Entfernung zwischen mi und mj bezeichnet.

Die Anziehungskraft ist also proportional zum Produkt der beiden Massen und umgekehrt proportional zum Quadrat der Entfernung; der Proportionalittsfaktor ? ist eine Naturkonstante


Die regionalkonomische Analogie:

o der Anziehungskraft in der Gravitationslehre entsprechen in der Regionalkonomie Stromgren (z.B. Handels-, Transport-, Pendlerstrme)

o der Masse der Himmelskrper entspricht ein Ma fr die Bedeutung von Ursprungs- und Zielregion (z.B. Summe der ein- oder ausgehenden Strme);

o der physikalischen Entfernung entspricht ein Ma fr die konomische Entfernung, die neben der Distanz auch die Leichtigkeit der Entfernungsberbrckung einschlieen kann

o der Anziehungskraft in der Gravitationslehre entsprechen in der Regionalkonomie Stromgren (z.B. Handels-, Transport-, Pendlerstrme)

o der Masse der Himmelskrper entspricht ein Ma fr die Bedeutung von Ursprungs- und Zielregion (z.B. Summe der ein- oder ausgehenden Strme);

o der physikalischen Entfernung entspricht ein Ma fr die konomische Entfernung, die neben der Distanz auch die Leichtigkeit der Entfernungsberbrckung einschlieen kann


Modifikationen:

Es gibt keinen Grund, die genaue funktionale Form des Gravitationsgesetzes auf die Regionalkonomie zu bertragen; z.B.:

o warum sollten z.B. die Stromgren zwischen konomischen Einheiten gerade mit dem Quadrat der Entfernung abnehmen? Sinnvoller ist eine allgemeinere Formulierung der Distanzabhngigkeit ber eine Entfernungsabschreckungsfunktion:

f(dij) mit f < 0;

Es gibt keinen Grund, die genaue funktionale Form des Gravitationsgesetzes auf die Regionalkonomie zu bertragen; z.B.:

o warum sollten z.B. die Stromgren zwischen konomischen Einheiten gerade mit dem Quadrat der Entfernung abnehmen? Sinnvoller ist eine allgemeinere Formulierung der Distanzabhngigkeit ber eine Entfernungsabschreckungsfunktion:

f(dij) mit f < 0;


Das Gravitationsmodell in der Regionalkonomie:

( )

: Summe der in entstehenden Strme

: Summe der in eintreffenden Strme

:Entfernung zwischen und

, , : unbekannte Parameter des Modells

( ) : Entfernungsabschreckungsfunk

ij i j ij

i

j

ij

ij

t u z f d

u i

z j

d i j

f d

=

tion

( )




, , : unbekannte Parameter des Modells

( ) : Entfernungsabschreckungsfunk

ij i j ij

i

j

ij

ij

t u z f d

u i

z j

d i j

f d

=

tion


Das Gravitationsmodell in der Regionalkonomie:

Mgliche spezielle Modellierung:




, , , : unbekannte Parameter de

ij i j ij

i

j

ij

t u z d

u i

z j

d i j

=

s Modells

( ) : spezielle Entfernungs-

abschreckungsfunktionij ijf d d

=

Mgliche spezielle Modellierung:




, , , : unbekannte Parameter de

ij i j ij

i

j

ij

t u z d

u i

z j

d i j

=

s Modells

( ) : spezielle Entfernungs-

abschreckungsfunktionij ijf d d

=


Ursprungs-/Zielmatrix:

Strme zwischen Ursprungs- und Zielregion

Ziel Ursprung R1 R2 ... Rn

R1 t11 t12 ... t1n u1

R2 t21 t22 ... t2n u2

Rn tn1 tn2 ... tnn un

z1 z2 ... zn

Strme zwischen Ursprungs- und Zielregion

Ziel

Ursprung R1 R2 ... Rn

R1 t11 t12 ... t1n u1

R2 t21 t22 ... t2n u2

M M M M M

Rn tn1 tn2 ... tnn un

z1 z2 ... zn


Distanzmatrix:

Ziel


R1 d11 d12 ... d1n

R2 d21 d22 ... d2n

Rn dn1 dn2 ... dnn

Ziel


R1 d11 d12 ... d1n

R2 d21 d22 ... d2n

M M M M

Rn dn1 dn2 ... dnn


Transformation des Modells in einen Regressionsansatz

Es liegen Beobachtungen fr die

sowie die vor;

Es soll der Ansatz

(1)

verwendet werden;

Wie lasse

Annahme:

Frage:n sich die unbekannten Parameter de

ij

ij

ij i j ij

t

d

t u z d =

Antwort:

s Modells (d.h.: , , , ) bestimmen?

Mit Hilfe der Regressionsanalyse!

Es liegen Beobachtungen fr die

sowie die vor;

Es soll der Ansatz

(1)

verwendet werden;

Wie lasse

Annahme:

Frage:n sich die unbekannten Parameter de

ij

ij

ij i j ij

t

d

t u z d =

Antwort:

s Modells (d.h.: , , , ) bestimmen?

Mit Hilfe der Regressionsanalyse!



0 1 2 2

2

... (2)

: abhngige Variable (Regressand)

: erklrende Variablen (Regr

Modell der Regre

essoren)

: st

ssionsanalyse:

Problem

ochastische Strung

mit E

:

( ) 0, var( )

W

i i k k i

i

i

i

i i

y x x x

y

x

= + + + + +

= =

ie kann das Gravitationsmodell in den Regressionsansatz berfhrt werden?

0 1 2 2

2

... (2)

: abhngige Variable (Regressand)

: erklrende Variablen (Regr

Modell der Regre

essoren)

: st

ssionsanalyse:

Problem

ochastische Strung

mit E

:

( ) 0, var( )

W

i i k k i

i

i

i

i i

y x x x

y

x

= + + + + +

= =

ie kann das Gravitationsmodell in den Regressionsansatz berfhrt werden?



1. Linearisierung durch Logarithmier

(1)

ln ln ln ln ln

ln ln

ung:

2. Hinzufgen eines Strterms:

3. Re-Parametrisie

ln ln ln

ij i j ij

ij i j ij

ij iji j ij

t u z d

t u z d

t u z d

=

= + +

= + + +

1 2 3 4

1 2 3 4

ln ln ln ln

mit : ln , : ,

r

: , : .

:ung

ij iji j ijt u z d = + + + +

= = = =

1. Linearisierung durch Logarithmier

(1)

ln ln ln ln ln

ln ln

ung:

2. Hinzufgen eines Strterms:

3. Re-Parametrisie

ln ln ln

ij i j ij

ij i j ij

ij iji j ij

t u z d

t u z d

t u z d

=

= + +

= + + +

1 2 3 4

1 2 3 4

ln ln ln ln

mit : ln , : ,

r

: , : .

:ung

ij iji j ijt u z d = + + + +

= = = =



( )( )

1 2 3 4

1 2

Regressionsmodell in

wobei hier : , , ,

vec ln : ln ',ln ', , ln '

:

Vektor- /Matrixs

te Spalte der Ursprungs-/ Zielmatrix

: Matrix der Reg

chreibweise:

ress

ni

= +

=

= =

i

y X? ??

y T t t t

t

X

L

oren besteht aus 4 Spalten:

Spalte 1: Vektor von EinsenSpalte 4: vektorisierte und logarithmierte DistanzmatrixSpalten 2 und 3 enthalten logarithmierte Werte von und i ju z

X

( )( )

1 2 3 4

1 2

Regressionsmodell in

wobei hier : , , ,

vec ln : ln ',ln ', , ln '

:

Vektor- /Matrixs

te Spalte der Ursprungs-/ Zielmatrix

: Matrix der Reg

chreibweise:

ress

ni

= +

=

= =

i

y X? ??

y T t t t

t

X

L

oren besteht aus 4 Spalten:

Spalte 1: Vektor von EinsenSpalte 4: vektorisierte und logarithmierte DistanzmatrixSpalten 2 und 3 enthalten logarithmierte Werte von und i ju z

X


Transformation des Modells in einen Regressionsansatz (ohne tii )

21 2 1 21

31 3 1 31

41 4 1 41

12 1 2 12

32 3 2 32

42 4 2 42

13 1

23

43

14

24

34

ln 1 ln ln lnln 1 ln ln lnln 1 ln ln lnln 1 ln ln lnln 1 ln ln lnln 1 ln ln ln

: ; :ln 1 ln lnlnlnlnlnln

t u z dt u z dt u z dt u z dt u z dt u z dt uttttt

= =

y X

21

31

41

12

32

42

3 13 13

2 3 23 23

4 3 43 43

1 4 14 14

2 4 24 24

3 4 34 34

; : ;ln

1 ln ln ln1 ln ln ln1 ln ln ln1 ln ln ln1 ln ln ln

z du z du z du z du z du z d

=

?1

2

3

4

:=

?

21 2 1 21

31 3 1 31

41 4 1 41

12 1 2 12

32 3 2 32

42 4 2 42

13 1

23

43

14

24

34

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t u z dt u z dt u z dt u z dt u z dt u z dt uttttt

= =

y X

21

31

41

12

32

42

3 13 13

2 3 23 23

4 3 43 43

1 4 14 14

2 4 24 24

3 4 34 34

; : ;ln

1 ln ln ln1 ln ln ln1 ln ln ln1 ln ln ln1 ln ln ln

z du z du z du z du z du z d

=

?1

2

3

4

:=

?


Table 1.3 Germany; 15 largest export markets, 1998

Exports from Germany GDP Distance to Germany

1 France 60.3 1,427 809

2 United States 51.1 8,230 7,836

3 United Kingdom 46.3 1,357 876

4 Italy 40.1 1,172 963

5 Netherlands 38.1 382 349

6 Belgium# 30.9 248 425

7 Austria 29.5 212 482

8 Switzerland 24.3 264 468

9 Spain 21.9 553 1,632

10 Poland 13.7 159 632

11 Sweden 12.5 226 1,259

12 Czech Republic 10.7 56 404

13 Japan 10.4 3,783 9,085

14 Denmark 9.4 175 556

15 Hungary 8.7 48 853

* Data sources: World Bank (GDP, 1998, in billion U.S. $), OECD (exports, 1998, in billion U.S. $), and Britannica Atlas (distance in kilometers between geographic centers). # Includes Luxembourg.



1 France 60.3 1,427 809

2 United States 51.1 8,230 7,836


4 Italy 40.1 1,172 963


6 Belgium# 30.9 248 425

7 Austria 29.5 212 482


9 Spain 21.9 553 1,632

10 Poland 13.7 159 632

11 Sweden 12.5 226 1,259


13 Japan 10.4 3,783 9,085

14 Denmark 9.4 175 556

15 Hungary 8.7 48 853





1 France 60.3 1,427 809

2 United States 51.1 8,230 7,836


4 Italy 40.1 1,172 963


6 Belgium# 30.9 248 425

7 Austria 29.5 212 482


9 Spain 21.9 553 1,632

10 Poland 13.7 159 632

11 Sweden 12.5 226 1,259


13 Japan 10.4 3,783 9,085

14 Denmark 9.4 175 556

15 Hungary 8.7 48 853




1 France 60.3 1,427 809

2 United States 51.1 8,230 7,836


4 Italy 40.1 1,172 963


6 Belgium# 30.9 248 425

7 Austria 29.5 212 482


9 Spain 21.9 553 1,632

10 Poland 13.7 159 632

11 Sweden 12.5 226 1,259


13 Japan 10.4 3,783 9,085

14 Denmark 9.4 175 556

15 Hungary 8.7 48 853




1 France 60.3 1,427 809

2 United States 51.1 8,230 7,836


4 Italy 40.1 1,172 963


6 Belgium# 30.9 248 425

7 Austria 29.5 212 482


9 Spain 21.9 553 1,632

10 Poland 13.7 159 632

11 Sweden 12.5 226 1,259


13 Japan 10.4 3,783 9,085

14 Denmark 9.4 175 556

15 Hungary 8.7 48 853



Figure 1.7 German exports and distance, 1998 monthly average

Panel a. German exports

y = -1.4172x + 15.07R2 = 0.2534

-4

-2

0

2

4

6

8

10

5 6 7 8 9 10 11

ln distance

ln e

xpo

rt

Panel b. German exports, income-adjusted

y = -0.8229x - 0.9695R2 = 0.5214

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

06 7 8 9 10 11

ln distance

ln a

dju

sted

exp

ort

s

Figure 1.7 German exports and distance, 1998 monthly average

Panel a. German exports

y = -1.4172x + 15.07R2 = 0.2534

-4

-2

0

2

4

6

8

10

5 6 7 8 9 10 11

ln distance

ln e

xpo

rt

Panel b. German exports, income-adjusted

y = -0.8229x - 0.9695R2 = 0.5214

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

06 7 8 9 10 11

ln distance

ln a

dju

sted

exp

ort

s


Germanys largest export markets

country GDP 98 million US $ Distance to Germany Export from Germany 1998 million US $1 France 1426967 809 50252 United States 8230397 7836 42603 United Kingdom 1357197 876 38564 Italy 1171865 963 33435 Netherlands 381819 349 31716 Belgium 248184 425 25757 Austria 211858 482 24568 Switzerland 263630 468 20279 Spain 553230 1632 1826

10 Poland 158574 632 1145

Gravity equation

-10

-8

-6

-4

5 10

ln(distance)

ln(e

xpor

t)-1

.033

*ln(

GD

P)

Japan

Belgium

Holland

Czech R. Austria

Switz.country GDP 98 million US $ Distance to Germany Export from Germany 1998 million US $

1 France 1426967 809 50252 United States 8230397 7836 42603 United Kingdom 1357197 876 38564 Italy 1171865 963 33435 Netherlands 381819 349 31716 Belgium 248184 425 25757 Austria 211858 482 24568 Switzerland 263630 468 20279 Spain 553230 1632 1826

10 Poland 158574 632 1145

-10

-8

-6

-4

5 10

ln(distance)

ln(e

xpor

t)-1

.033

*ln(

GD

P)

Japan

Belgium

Holland

Czech R. Austria

Switz.

926.0

ln(869.0)ln(033.1281.0)ln()77.12()86.34()40.0(

=

+=

2

iii

R

)distanceGDPexport

2.2 Gravitationsmodelle (2.2 Gravitationsmodelle (2121) ) MZ 05.11.02


Beschftigte durch Ansssige und Einpendler (Stadt und Landkreis Regensburg

3230020200

59500

11300

0

20000

40000

60000

80000

100000

Stadt Landkreis

Einpendler

AnsssigeBeschftigte

3230020200

59500

11300

0

20000

40000

60000

80000

100000

Stadt Landkreis

Einpendler

AnsssigeBeschftigte


Beschftigte durch Ansssige und Einpendler (Stadt und Landkreis Regensburg

32300

20100

1100043300

0

20000

40000

60000

80000

Stadt Landkreis

Auspendler

Arbeitsplatz am Ort

32300

20100

1100043300

0

20000

40000

60000

80000

Stadt Landkreis

Auspendler

Arbeitsplatz am Ort


Pendlersalden nach rumlicher Struktur


Pendlersalden in deutschen Regionen 2005

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2 2 Gravitation 09