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Parte 2
Aneis
R e f e r e n c i a s
Sobre a aritmetica dos
inteiros: Numeros-Uma
Introducao a Matematica de
Cesar Polcino Milies e Sonia
Pitta Coelho. Editado pela
Editora da Universidade de
Sao Paulo (Edusp), 2000.
Para saber mais sobre aneis
e o domınio principal dos
inteiros: Curso de Algebra,
Volume 1 de Abramo Hefez,
Colecao Matematica
Universitaria, Sociedade
Brasileira de Matematica
(SBM), 1998.
Sobre aneis, extensoes
algebricas de corpos e
grupos: Introducao a
Algebra de Adilson
Goncalves, Projeto Euclides,
IMPA, 2000.
A Matematica faz parte do nosso cotidiano e, em particular, recorremos
aos numeros para descrever diversas situacoes do dia a dia.
Contamos com os numeros naturais, repartimos um bolo usando os
numeros racionais, medimos comprimentos com os numeros reais, contabili-
zamos prejuızos com numeros negativos. Comparamos dois numeros inteiros,
dois numeros racionais e dois numeros reais. Calculamos raızes de polinomios
com coeficientes reais com numeros complexos.
Estamos familiarizados com numeros naturais, inteiros, racionais, reais
e complexos, que estao relacionados pelas seguintes inclusoes:
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C.
Esses conjuntos estao munidos com operacoes de adicao e multiplicacao,
que tem diversas propriedades.
Nosso objetivo e introduzir o estudo de estruturas algebricas, abor-
dando os conceitos de anel, domınio, domınio ordenado e domınio principal,
ideais de um anel comutativo, homomorfismo de aneis e a fatoracao unica
em domınios principais.
O conjunto dos inteiros e o primeiro exemplo de domınio principal, sera
estudado sobre o ponto de vista algebrico e aritmetico e faremos um estudo
detalhado das suas propriedades no contexto dos domınios principais.
Introduziremos o conceito de inducao, uma tecnica muito utilizada em
demonstracoes.
Nao faremos a construcao axiomatica dos numeros naturais, usaremos
apenas as nocoes intuitivas.
Instituto de Matematica
31 UFF
Mostraremos que Q e um corpo ordenado e e o corpo de fracoes de Z
e faremos a construcao dos numeros racionais a partir dos numeros inteiros
no contexto dos domınios ordenados.
Usaremos a divisao euclidiana para escrever os numeros inteiros nao-
negativos em uma base b > 1.
M.L.T.Villela
UFF 32
Conceito de anelPARTE 2 - SECAO 1
Conceito de anel
Vamos introduzir a estrutura algebrica de anel e dar exemplos. Veremos
os conceitos de anel comutativo e de anel com unidade, assim como diversos
exemplos.
Voces conhecem varios conjuntos, onde estao definidas operacoes de
adicao e multiplicacao entre seus elementos e essas operacoes tem diversas
propriedades. Lembramos algumas dessas estruturas algebricas:
• os numeros naturais N = { 0, 1, 2, 3, . . . }.
• os polinomios com coeficientes reais, denotados por R[x];
• as matrizes Mn×n(R);
• os numeros inteiros Z = { . . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . . };
• os numeros racionais Q ={
m
n| n, m ∈ Z e n 6= 0
};
• os numeros reais R;
• os numeros complexos C = { a + bi | a, b ∈ R e i2 = −1 };
• os numeros inteiros, racionais e reais podem ser comparados com uma
relacao de ordem ≤. Veremos que as operacoes de adicao e multi-
plicacao, a ordem e as propriedades que as relacionam caracterizarao
os numeros inteiros.
Definicao 1 (Operacao)
Dizemos que um conjunto A esta munido com operacoes de adicao ( + ) e
multiplicacao ( · ) se, e somente se, para todo par (a, b) ∈ A × A sabemos
associar um unico elemento c ∈ A e um unico elemento d ∈ A denotados,
respectivamente, por:
Lembre que uma associacao
desse tipo e uma funcao.
c = a + b e d = a · b.
Nesse caso, dizemos que as operacoes estao fechadas no conjunto A,
isto e, para quaisquer a, b ∈ A, temos a + b ∈ A e a · b ∈ A.
A adicao e a multiplicacao sao descritas por funcoes
+ : A × A −→ A
(a, b) 7−→ c = a + be
· : A × A −→ A
(a, b) 7−→ d = a · b
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33 UFF
Conceito de anel
Exemplo 1
Todos os conjuntos listados acima sao conjuntos munidos de operacoes de
adicao e multiplicacao.
Definicao 2 (Anel)
Um anel A e um conjunto munido com operacoes de adicao ( + ) e de
multiplicacao ( · ), tendo as seguintes propriedades:
A1 (Associativa) Para quaisquer a, b, c ∈ A, temos (a+b)+c = a+(b+c).
A2 (Comutativa) Para quaisquer a, b ∈ A, temos a + b = b + a.
A3 (Existencia de elemento neutro para a adicao)
Existe θ ∈ A, tal que a + θ = θ + a = a, para todo a ∈ A.
A4 (Existencia de simetrico)
Para cada a ∈ A, existe a′ ∈ A, tal que a + a′ = a′ + a = θ.
M1 (Associativa) Para quaisquer a, b, c ∈ A, temos (a · b) · c = a · (b · c).
AM (Distributiva) Para quaisquer a, b, c ∈ A, temos a ·(b+c) = a ·b+a ·ce (a + b) · c = a · c + b · c.
Exemplo 2
N nao e um anel.
A adicao e multiplicacao tem as propriedades A1, A2, A3, M1 e AM, mas
nao vale a propriedade A4.
Exemplo 3
Z, Q, R e C, respectivamente, inteiros, racionais, reais e complexos sao aneis,
onde o elemento neutro para a adicao e o numero inteiro 0.
Exemplo 4
Mn×n(R) = { X = (Xij) ; Xij ∈ R, onde 1 ≤ i, j ≤ n } e um anel, com as
operacoes usuais de adicao e multiplicacao de matrizes, definidas por:
Z = X + Y, onde Zij = Xij + Yij, para 1 ≤ i, j ≤ n;
Z = X · Y, onde Zij =
n∑
k=1
Xik · Ykj, para 1 ≤ i, j ≤ n,
para X, Y ∈ Mn×n(R).
De fato, a adicao e multiplicacao tem as propriedades A1, A2, A3, A4, M1 e
AM, conforme ja foi verificado em um curso basico de Algebra Linear.
Volte a um texto de Algebra
Linear, para recordar as
operacoes com matrizes e
suas propriedades.
M.L.T.Villela
UFF 34
Conceito de anelPARTE 2 - SECAO 1
Para ilustrar vamos verificar duas dessas propriedades: AM e M1.
Sejam X, Y, Z ∈ Mn×n(R). Para quaisquer i, j tais 1 ≤ i, j ≤ n, temos
Usamos a definicao da
multiplicacao e adicao de
matrizes e, sucessivamente,
as seguintes propriedades
das operacoes do anel R:
AM, A2, A1. Depois,
novamente, usamos a
definicao de multiplicacao e
adicao de matrizes.
(X · (Y + Z))ij =
n∑
r=1
Xir · (Y + Z)rj
=
n∑
r=1
Xir · (Yrj + Zrj)
=
n∑
r=1
(Xir · Yrj + Xir · Zrj)
=
n∑
r=1
Xir · Yrj +
n∑
r=1
Xir · Zrj
= (X · Y)ij + (X · Z)ij
= (X · Y + X · Z)ij,
mostrando que X · (Y + Z) = X · Y + X · Z e vale AM.
Usamos duas vezes a
definicao de multiplicacao de
matrizes e apos,
sucessivamente, as seguintes
propriedades das operacoes
do anel R: AM, M1, A2, A1.
Depois, novamente, usamos
duas vezes a definicao de
multiplicacao de matrizes.
(X · (Y · Z))ij =
n∑
r=1
Xir · (Y · Z)rj
=
n∑
r=1
Xir ·(
n∑
s=1
Yrs · Zsj
)
=
n∑
r=1
(
n∑
s=1
Xir · (Yrs · Zsj)
)
=
n∑
r=1
n∑
s=1
(Xir · Yrs) · Zsj
=
n∑
s=1
(
n∑
r=1
(Xir · Yrs)
)
· Zsj
=
n∑
s=1
(X · Y)is · Zsj
= ((X · Y) · Z)ij ,
mostrando que X · (Y · Z) = (X · Y) · Z e vale M1.
A matriz n por n com todos os elementos nulos, Xij = 0 para 1 ≤ i, j ≤ n,
denotada por O, e o elemento neutro da adicao.
Lembramos que o simetrico de X e a matriz Y, tal que Yij = −Xij, para todo
1 ≤ i, j ≤ n. Costumamos escrever Y = −X.
Exemplo 5
Consideremos o intervalo I = (−1, 1) e seja F(I) o conjunto de todas as
funcoes de I em R, isto e, Voce tem familiaridade com
as funcoes de variavel real e
valores reais.F(I) = { f : I −→ R | f e uma funcao }.
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35 UFF
Conceito de anel
Para quaisquer f, g ∈ F(I), as operacoes usuais de adicao e multiplicacao de
funcoes sao definidas por:
(f + g)(x) = f(x) + g(x), para todo x ∈ I e
(f · g)(x) = f(x) · g(x), para todo x ∈ I .
Com essas operacoes, F(I) e um anel.
De fato, vamos mostrar que valem as seis propriedades das operacoes da
Definicao 2.
Primeiramente, para quaisquer f, g, h ∈ F(I), temos:
((f + g) + h)(x)(1)= (f + g)(x) + h(x)(2)= (f(x) + g(x)) + h(x)(3)= f(x) + (g(x) + h(x))(4)= f(x) + (g + h)(x)(5)= (f + (g + h))(x), para todo x ∈ I,
implicando que (f + g) + h = f + (g + h), portanto vale a propriedade A1;
Em (1),(2),(4) e (5) usamos
a definicao da adicao de
funcoes e em (3) a
propriedade (A1) da adicao
de numeros reais.
substituindo a adicao pela multiplicacao, de modo analogo,
((f · g) · h)(x)(1)= (f · g)(x) · h(x)(2)= (f(x) · g(x)) · h(x)(3)= f(x) · (g(x) · h(x))(4)= f(x) · (g · h)(x)(5)= (f · (g · h))(x), para todo x ∈ I,
implicando que (f · g) · h = f · (g · h), portanto vale a propriedade M1;
Em (1),(2),(4) e (5) usamos
a definicao da multiplicacao
de funcoes e em (3) a
propriedade (M1) da
multiplicacao de numeros
reais.
((f + g) · h)(x)(1)= (f + g)(x) · h(x)(2)= (f(x) + g(x)) · h(x)(3)= f(x) · h(x) + g(x) · h(x)(4)= (f · h)(x) + (g · h)(x)(5)= ((f · h) + (g · h))(x), para todo x ∈ I,
implicando que (f + g) · h = f · h + g · h, portanto, vale a propriedade AM.
Em (1) e (4) usamos a
definicao da multiplicacao de
funcoes, em (2) e (5), a
definicao de adicao de
funcoes e em (3), a
propriedade distributiva
(AM) da multiplicacao
numeros reais.
Vale que (g + h) · f = g · f + h · f, porque a multiplicacao de funcoes e
comutativa (verifique).
Para quaisquer f, g ∈ F(I) e x ∈ I, temos:
(f + g)(x) = f(x) + g(x)
= g(x) + f(x)
= (g + f)(x)
Lembre que . . .
a adicao de numeros reais e
comutativa.
M.L.T.Villela
UFF 36
Conceito de anelPARTE 2 - SECAO 1
implicando que f + g = g + f e, assim, vale a propriedade A2.
O elemento neutro e a funcao o, tal que o(x) = 0, para cada x ∈ I. Note
que, para toda f ∈ F(I) e para todo x ∈ I,
(o + f)(x) = o(x) + f(x) = 0 + f(x) = f(x) ⇐⇒ o + f = f.
O numero real zero e
elemento neutro aditivo, no
anel R.
O elemento neutro aditivo e a funcao constante e igual a zero no intervalo I,
valendo a propriedade A3.
Vale, finalmente, a propriedade A4, pois o simetrico de f e a funcao g definida
por g(x) = −f(x), para cada x ∈ I. O grafico do simetrico de f e obtido
fazendo a simetria com respeito ao eixo x dos pontos do grafico de f .
Exemplo 6
Consideremos 2Z = { 2x | x ∈ Z }, o conjunto dos numeros inteiros pares.
Vamos mostrar que 2Z e um anel com a adicao e a multiplicacao de numeros
inteiros.
Primeiramente, observe que para quaisquer a, b ∈ 2Z, existem x, y ∈ Z, tais
que a = 2x, b = 2y e
a + b = 2x + 2y = 2(x + y) ∈ 2Z e a · b = 2x · 2y = 2(2x · y) ∈ 2Z.
Observe que
x+y ∈ Z e 2x · y∈ Z.
Logo, a adicao e a multiplicacao de numeros inteiros e fechada em 2Z.
As propriedades A1, A2, M1 e AM valem em 2Z, pois essas propriedades
valem em Z e 2Z e um subconjunto de Z.
Como 0 = 2 · 0 ∈ 2Z, entao 2Z tem elemento neutro aditivo.
Alem disso, o simetrico de a = 2x e a ′ = −2x = 2(−x) ∈ 2Z. x ∈ Z ⇐⇒ −x ∈ Z.
Portanto, valem as propriedades A3 e A4 e 2Z e um anel.
Observamos que a multiplicacao nos aneis dos Exemplos 3, 5 e 6 e
comutativa, enquanto no anel do Exemplo 4 e nao-comutativa sempre que a
ordem da matriz e maior do que 1.
O que e M1×1(R)?
De fato, e claro que a multiplicacao nos inteiros, nos racionais e nos
reais e comutativa.
Sejam x = a + bi, y = c + di ∈ C. Entao, a, b, c, d ∈ R, i2 = −1 e
Usamos aqui que
a multiplicacao de numeros
reais e comutativa.
x · y = (a + bi) · (c + di)
= (a · c − b · d) + (a · d + b · c)i= (c · a − d · b) + (d · a + c · b)i
= (c + di) · (a + bi)
= y · x ,
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37 UFF
Conceito de anel
mostrando que a multiplicacao de numeros complexos e comutativa.
Para verificar a comutatividade da multiplicacao em F(I), consideremos
f, g ∈ F(I) e x ∈ I, entao
(f · g)(x) = f(x) · g(x)
= g(x) · f(x)
= (g · f)(x)
Lembre que . . .
a multiplicacao de numeros
reais e comutativa.
implicando que f · g = g · f.Para n ≥ 2, o produto de matrizes n por n e nao-comutativo, pois
X · Y 6= Y · X para as seguintes matrizes:
X11 = 1, X12 = 1, X21 = 0 e X22 = 0 ; Y11 = 1, Yij = 0, para todo
(i, j) 6= (1, 1).
Temos que
X · Y =
(
1 1
0 0
)
·(
1 0
0 0
)
=
(
1 0
0 0
)
e
Y · X =
(
1 0
0 0
)
·(
1 1
0 0
)
=
(
1 1
0 0
)
A multiplicacao em 2Z e a multiplicacao de numeros inteiros, logo
tambem e comutativa.
Os fatos acima motivam a seguinte definicao.
Definicao 3 (Anel comutativo)
Dizemos que um anel A e comutativo se, e somente se, tem a propriedade:
M2 (Comutativa) Para quaisquer a, b ∈ A, a · b = b · a.
Exemplo 7
Nos aneis Z, Q, R, C, F(I) e 2Z vale M2.
No anel Mn×n(R), onde n ≥ 2 nao vale M2.
Os aneis dos Exemplos 3, 4 e 5 tem um elemento neutro multiplicativo,
a saber:
• o numero inteiro 1 satisfaz
para todo a ∈ A, temos a · 1 = 1 · a = a , nos casos A = Z, A = Q,
A = R ou A = C;
• A matriz identidade I ∈ Mn×n(R), com os elementos da diagonal iguais
a 1 e os elementos fora da diagonal iguais a 0, tem a propriedade
Matriz identidade I
Iij =
{1 , se i = j
0 , se i 6= j ,
para qualquer i,j com
1 ≤ i,j ≤ n.
M.L.T.Villela
UFF 38
Conceito de anelPARTE 2 - SECAO 1
para qualquer X ∈ Mn×n(R), X · I = I · X = X.
• a funcao constante e igual a 1 no intervalo I, isto e, e(x) = 1, para todo
x ∈ I, satisfaz
para qualquer f ∈ F(I) e para todo x ∈ I, temos
(f · e)(x) = f(x) · e(x) = f(x) · 1 = f(x), tambem
(e · f)(x) = e(x) · f(x) = 1 · f(x) = f(x),
mostrando que f · e = f · e = f.
Entretanto, o anel 2Z nao tem elemento neutro multiplicativo, moti-
vando a seguinte definicao.
Definicao 4 (Anel com unidade)
Dizemos que o anel A tem unidade, se e somente se, A tem a propriedade:
M3 (Existencia de elemento neutro multiplicativo)
Existe um elemento e ∈ A, tal que a · e = e · a = a, para todo a ∈ A.
Exemplo 8
Nos aneis Z, Q, R, C, Mn×n(R) e F(I) vale M3.
No anel 2Z nao vale M3.
Resumindo, ha aneis que tem propriedades adicionais e sao chamados
de nomes especiais: quando a multiplicacao e comutativa (M2) o anel e
chamado comutativo; quando o anel tem elemento neutro multiplicativo (M3)
e chamado de anel com unidade.
Exercıcios
1. Seja n um numero natural com n ≥ 2.
Mostre que nZ = { n · x | x ∈ Z } e um anel comutativo com as
operacoes de adicao e multiplicacao de numeros inteiros.
2. Seja Z[√
2] = { a + b√
2 | a, b ∈ Z }.
(a) Mostre que a adicao e multiplicacao de numeros reais e fechada
em Z[√
2], verificando que:
para qualquer a, b, c, d ∈ Z, x = a + b√
2 e y = c + d√
2
Instituto de Matematica
39 UFF
Conceito de anel
x + y = (a + c) + (b + d)√
2 ∈ Z[√
2]
x · y = (a · c + 2b · d) + (a · d + b · c)√
2 ∈ Z[√
2]
(b) Mostre que Z[√
2] e um anel.
(c) Mostre que Z[√
2] e um anel comutativo com unidade.
x+y e a adicao e x · y e a
multiplicacao de numeros
reais, apenas reescrevemos
as parcelas de modo
conveniente, usando as
propriedades comutativa,
associativa e distributiva das
operacoes dos numeros reais.3. Seja Z[i] = { a + bi | a, b ∈ Z e i2 = −1 }.
(a) Mostre que a adicao e multiplicacao de numeros complexos e fe-
chada em Z[i], verificando que:
para qualquer a, b, c, d ∈ Z, x = a + bi e y = c + di
x + y = (a + c) + (b + d)i
x · y = (a · c − b · d) + (a · d + b · c)ix+y e a adicao de numeros
complexos e
x · y e a multiplicacao de
numeros complexos.
Z[i] e conhecido como o anel
dos inteiros de Gauss.
(b) Mostre que Z[i] e um anel.
(c) Mostre que Z[i] e um anel comutativo com unidade.
4. Seja A =
{
X =
(
x11 x12
x21 x22
)
; xij ∈ Z, para todo 1 ≤ i, j ≤ 2
}
,
o conjunto das matrizes 2 por 2 com coeficientes inteiros.
Para X, Y, Z ∈ A, definimos a adicao e multiplicacao em A por:
Z = X + Y ⇐⇒ zij = xij + yij, com 1 ≤ i, j ≤ 2
Z = X · Y ⇐⇒ zij = xi1y1j + xi2y2j, com 1 ≤ i, j ≤ 2
Observe que as operacoes de
adicao e multiplicacao sao as
usuais.
Costumamos denotar A por
M2×2(Z).
(a) Mostre que A e um anel com as operacoes acima.
(b) Mostre que A e um anel nao-comutativo com unidade.
5. Seja F(R) = { f : R −→ R, f funcao }.
Para qualquer f, g ∈ F(R), as operacoes usuais de adicao e multi-
plicacao de funcoes sao definidas por:
(f + g)(x) = f(x) + g(x), para qualquer x ∈ R e
(f · g)(x) = f(x) · g(x), para qualquer x ∈ R .
(a) Mostre que com essas operacoes F(R) e um anel.
Copie o que foi feito no
Exemplo 5, fazendo as
modificacoes convenientes.
Na verdade, voce pode
verificar que F(I) e um anel,
para qualquer intervalo I da
reta real.
(b) Mostre que F(R) e um anel comutativo.
(c) Mostre que F(R) e um anel com unidade.
M.L.T.Villela
UFF 40
Propriedades elementaresPARTE 2 - SECAO 2
Propriedades elementares
Mostraremos agora algumas propriedades elementares, validas em um
anel, tais como: a unicidade do elemento neutro aditivo, do simetrico e,
quando existe, do elemento neutro multiplicativo.
Proposicao 1 (Unicidade)
Seja A um anel. Entao,
(i) o elemento neutro aditivo e unico;
(ii) o elemento neutro multiplicativo, se existe, e unico;
(iii) o simetrico e unico.
Demonstracao:
(i): Sejam θ e θ′
elementos neutros aditivos do anel A. Entao,
θ = θ′ + θ = θ′,
onde a primeira igualdade segue do fato de θ′ ser elemento neutro da adicao
e a segunda, de θ ser elemento neutro da adicao.
Logo, θ = θ′ e o elemento neutro aditivo e unico.
(ii): Seja A um anel com unidades e e e′. Entao,
e = e′ · e = e′,
onde a primeira igualdade segue do fato de e′ ser unidade e a segunda, de e
ser unidade.
Logo, e = e′ e o elemento neutro multiplicativo e unico.
(iii) Sejam a′ ∈ A e a′′ ∈ A simetricos de a ∈ A.
Entao, θ = a + a′′, θ = a′ + a e
a′ = a′ + θ = a′ + (a + a′′) = (a′ + a) + a′′ = θ + a′′ = a′′,
onde na terceira igualdade usamos a associatividade da adicao.
Logo, o simetrico e unico. �
Pela unicidade do elemento neutro aditivo, do simetrico e do elemento
neutro multiplicativo (se existe), daqui por diante, denotaremos num anel A:
• o elemento neutro da adicao pelo sımbolo 0;
Instituto de Matematica
41 UFF
Propriedades elementares
• o simetrico de a pelo sımbolo −a;
• a unidade ou elemento neutro multiplicativo, se existe, pelo sımbolo 1.
Alem disso, escrevemos
a − b = a + (−b),
e chamamos de subtracao.
A subtracao e a adicao com
o simetrico.
As seguintes propriedades sao muito uteis e importantes.
Proposicao 2 (Outras propriedades)
Seja A um anel. Entao, para quaisquer a, b e c ∈ A, temos:
(i) a · 0 = 0 e 0 · a = 0;
(ii) −(a · b) = (−a) · b = a · (−b);
(iii) a · (b − c) = a · b − a · c e (b − c) · a = b · a − c · a;
(iv) se A e um anel com unidade, entao (−1) · a = −a = a · (−1).
Demonstracao:
Lembre que . . .
Em um anel A a
multiplicacao nem sempre e
comutativa.
(i): Como 0 = 0 + 0, multiplicamos a esquerda, ambos os membros dessa
igualdade, pelo elemento a, e usamos a distributividade (AM), obtendo
a · 0 = a · (0 + 0) = a · 0 + a · 0,
que e equivalente a a · 0 = a · 0 + a · 0.
Somando o simetrico −(a ·0) de a ·0 a ambos os membros da igualdade
acima e usando em (1) a propriedade associativa da adicao (A1), temos:
0 = a · 0 − a · 0 = (a · 0 + a · 0) − a · 0(1)= a · 0 + (a · 0 − a · 0)
= a · 0 + 0
= a · 0,
Multiplicando por a a
direita, tomando o simetrico
−(0 · a) de 0 · a e fazendo as
modificacoes convenientes,
mostre que 0 · a = 0.
donde concluımos que 0 = a · 0.
(ii) Vamos mostrar que −(a · b) = (−a) · b.
Como 0 = a + (−a), multiplicando a direita ambos os membros dessa
igualdade por b, usando (i) e a distributividade AM, obtemos:
0 = 0 · b = (a + (−a)) · b= a · b + (−a) · b
Faca as modificacoes
convenientes para
demonstrar que
−(a · b) = a · (−b).A igualdade acima significa que (−a) · b e o simetrico de a · b.
M.L.T.Villela
UFF 42
Propriedades elementaresPARTE 2 - SECAO 2
Logo, −(a · b) = (−a) · b.
(iii): Vamos demonstrar a primeira igualdade e deixamos a segunda para
voce tentar, fazendo as modificacoes convenientes.
a · (b − c)(1)= a · (b + (−c))(2)= a · b + a · (−c)(3)= a · b − a · c.
Em (1) usamos a definicao
de subtracao, em (2), a
distributividade AM e em
(3), o item (ii).
(iv) Seja A um anel com unidade 1. Entao, 0 = 1 + (−1). Multiplicando a
direita ambos os membros dessa igualdade por a, usando (i) e a distributi-
vidade, obtemos:
O sımbolo −1 deve ser lido
como ”o simetrico da
unidade”.
0 = 0 · a = (1 + (−1)) · a = 1 · a + (−1) · a = a + (−1) · a,
significando que (−1) ·a e o simetrico de a. Como denotamos o simetrico de
a por −a, da unicidade do simetrico, temos −a = (−1) · a.
A igualdade −a = a · (−1) e analoga e voce deve tentar fazer repetindo
a ideia acima, mas fazendo a multiplicacao por a a esquerda. �
Vimos na Secao anterior que ha aneis sem unidade.
Quando um anel A tem unidade, escrevemos a sua unidade com o
sımbolo 1, propositadamente, diferente do sımbolo 0 do elemento neutro
aditivo. Por que?
Suponhamos que no anel A temos 1 = 0. A igualdade ao lado deve ser
lida como ”os elementos
neutros aditivo e
multiplicativo sao iguais”.
Entao, para todo a ∈ A, temos
a = a · 1 = a · 0 = 0,
onde a primeira igualdade e consequencia de 1 ser o elemento neutro multi-
plicativo e a ultima, do item (i) da Proposicao 2. Logo, A = { 0 }.
Nao tem a menor graca estudar esse anel.
Portanto, quando tratamos, teoricamente, de aneis com unidade supo-
mos sempre que os elementos neutros aditivo e multiplicativo sao diferentes,
isto e, 1 6= 0.
Definicao 5 (Divisores de zero)
Seja A um anel. O elemento nao-nulo a ∈ A e um divisor de zero se, e
somente se, existe um elemento nao-nulo b ∈ A tal que a ·b = 0 ou b ·a = 0.
Exemplo 9
a. No anel F(I), onde I = (−1, 1), sao divisores de zero as funcoes
f, g : I −→ R definidas por
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Propriedades elementares
f(x) =
{1, se x ∈ (−1, 0)
0, se x ∈ [0, 1)e g(x) =
{0, se x ∈ (−1, 0)
2, se x ∈ [0, 1)f · g = 0, pois f(x) · g(x) = 0,
para todo x ∈ (−1,1).
b. No anel M2×2(R) sao divisores de zero as seguintes matrizes
X =
(
1 0
0 0
)
e Y =
(
0 0
0 1
)
Os aneis comutativos com unidade sem divisores de zero sao chamados
de domınios.
Definicao 6 (Domınio)
Seja A um anel comutativo com unidade. A e um domınio se, e somente se,
tem a propriedade:
M4 se a · b = 0, entao a = 0 ou b = 0.
Observamos que a propriedade M4 e equivalente a:
Sejam P e Q propriedades e
∼P e ∼Q, respectivamente,
suas negacoes. Entao,
P =⇒ Q
e equivalente a
∼Q =⇒∼ P.
M4′ se a 6= 0 e b 6= 0, entao a · b 6= 0.
Exemplo 10
O anel dos numeros inteiros Z e um domınio, pois o produto de dois inteiros
nao-nulos e um inteiro nao-nulo.
Proposicao 3 (Lei do cancelamento)
Seja A um domınio. Se a · b = a · c com a 6= 0, entao b = c.
Demonstracao: Se a · b = a · c, entao somando −a · b a ambos os membros
dessa igualdade, obtemos 0 = a · b − a · b = a · c − a · b = a · (c − b). Como
a 6= 0, pela propriedade M4, 0 = c−b. Somando b, a essa ultima igualdade,
temos b = 0 + b = (c − b) + b(1)= c + (−b + b) = c + 0 = c. �
Em (1) usamos a
propriedade associativa da
adicao (A1).
Definicao 7 (Elemento invertıvel)
Seja A um anel com unidade. Um elemento a ∈ A e dito invertıvel se, e
somente se, existe um elemento a′ ∈ A, tal que a · a′ = a′ · a = 1.
Nesse caso, dizemos que a′ e inverso de a e a e inverso de a′.
Exemplo 11
No anel M2×2(Z) das matrizes 2 por 2 com coeficientes no anel dos inteiros,
a matriz X =
(
2 3
1 2
)
e invertıvel e X′ =
(
2 −3
−1 2
)
e seu inverso, pois
verificamos, facilmente, que X · X′ = X′ · X = I.
Volte ao Exercıcio 4 da
Secao anterior. Nesse anel, a
unidade, conhecida como
matriz identidade, e
I =
1 0
0 1
!
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Propriedades elementaresPARTE 2 - SECAO 2
Exemplo 12
Consideremos o anel comutativo com unidade Z[√
2] do Exercıcio 2, da Secao
anterior. O inverso de 1 +√
2 e −1 +√
2, pois
(1 +√
2)(−1 +√
2) = (−1 +√
2)(1 +√
2) = 1.
Exemplo 13
Os elementos invertıveis do anel Z sao 1 e −1.
Proposicao 4 (Unicidade do inverso)
Sejam A um anel com unidade e a ∈ A. Se a e invertıvel, entao seu inverso
e unico.
Demonstracao: Digamos que b e c sejam inversos de a, isto e,
a · b = b · a = 1 e a · c = c · a = 1.
Entao,
Em (1) usamos que a
multiplicacao e associativa
(M1).
b = b · 1 = b · (a · c) (1)= (b · a) · c = 1 · c = c. �
Da unicidade do inverso no anel A, costumamos denotar o inverso de
a por a−1.
Seja B = Mn×n(A), onde A
e um anel comutativo com
unidade. Entao, B e um anel
com unidade e, para
qualquer X ∈ B, temos
X · adj(X) = adj(X) · X =
det(X)In , onde adj(X) e a
adjunta classica de X. Alem
disso, X e invertıvel se, e
somente se, det(X) e
invertıvel em A.
Exemplo 14
a. Os elementos invertıveis no anel Mn×n(R) sao as matrizes X com deter-
minante nao-nulo, isto e, det(X) 6= 0.
b. Os elementos invertıveis no anel Mn×n(Z) sao as matrizes X com deter-
minante invertıvel em Z, isto e, det(X) ∈ {−1, 1}.
c. Todo numero racional nao-nulo e invertıvel.
d. Todo numero real nao-nulo e invertıvel.
Definicao 8 (Corpo)
Um anel comutativo com unidade e chamado de corpo se, e somente se, todo
elemento nao-nulo e invertıvel.
Exemplo 15
Q, R e C sao exemplos de corpos.
Definicao 9 (Subanel)
Um subconjunto nao-vazio B de um anel A e um subanel de A se, e somente
se, B e um anel com as operacoes de A.
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Propriedades elementares
Exemplo 16
a. Pelo exercıcio 1 da secao anterior, nZ e um subanel de Z.
b. Pelo exercıcio 2 da secao anterior, Z[√
2] e um subanel de R.
c. Pelo exercıcio 3 da secao anterior, Z[i] e um subanel de C.
d. Pelo exercıcio 4 da secao anterior, M2×2(Z) e um subanel de M2×2(R).
Proposicao 5
Um subconjunto nao-vazio B de um anel A e um subanel de A se, e somente
se,
(i) se a, b ∈ B, entao a + b ∈ B;
(ii) se a, b ∈ B, entao a · b ∈ B;
(iii) 0A ∈ B;
(iv) se b ∈ B, entao −b ∈ B.
Demonstracao : Suponhamos que B e um subanel de A. Entao, as operacoes
de A estao fechadas em B e logo, (i) e (ii) sao validas; alem disso, todo
elemento de B tem simetrico em B e vale (iv). Por outro lado, tomando
b ∈ B, por (iv), −b ∈ B e, por (i), 0A = b + (−b) ∈ B. Logo, 0B = 0A ∈ B.
Reciprocamente, suponhamos validas as propriedades (i) a (iv) em B.
Logo, as operacoes de A estao fechadas em B e valem A3 e A4. As propri-
edades A1, A2, M1 e AM valem em B porque sao validas em A e B ⊂ A.
Portanto, B e um anel com as operacoes de A. �
Exemplo 17
Z[√
3] e um subanel de R.
De fato, sejam a, b, c, d ∈ Z. Entao, com a adicao e multiplicacao de numeros
reais, temos:
(a + b√
3) + (c + d√
3)(1)= a + c + b
√3 + d
√3
(2)= (a + c) + (b + d)
√3;Em (1) usamos A1 e A2 e
em (2), A1 e AM do anel R.
Em (3) usamos AM, M2 e
em (4), A2 e A1 do anel R.(a + b
√3)(c + d
√3)
(3)= a · c + a · d
√3 + b · c
√3 + 3b · d
(4)= (a · c + 3b · d) + (a · d + b · c)
√3.
Alem disso,
a + b√
3 = 0, a, b ∈ Z se, e somente se, a = b = 0 e
−(a + b√
3) = (−a) + (−b)√
3 ∈ Z[√
3], para quaisquer a, b ∈ Z.
Definicao 10 (Subcorpo)
Sejam K e L corpos, com K ⊂ L. Dizemos que K e um subcorpo de L se, e
somente se, K e um corpo com as operacoes de L.
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Propriedades elementaresPARTE 2 - SECAO 2
Exemplo 18
(1) Q e um subcorpo de R.
(2) R e um subcorpo de C.
(3) Q e um subcorpo de Q(√
2).
(4) Q(√
2) e um subcorpo de R.
(5) Q(i) e um subcorpo de C.
Veja os exercıcios 12 e 13,
item (a)
Agora, para cada domınio D vamos construir um corpo K, chamado
corpo de fracoes de D, tal que
(i) D ⊂ K
(ii) as operacoes de adicao e multiplicacao de D sao as de K.
(iii) se L e um corpo contendo D como subanel, entao K ⊂ L.
As condicoes acima significam que todo domınio D e subanel de um
corpo e o menor corpo com as propriedades (i) e (ii) acima e o corpo de
fracoes de D.
Para isto, consideramos o conjunto
S = D × D\{0} = {(a, b) ; a, b ∈ D e b 6= 0}.
Para (a, b), (c, d) ∈ S, definimos
(a, b) ∼ (c, d) ⇐⇒ a · d = b · c.
Proposicao 6
A relacao binaria acima e uma relacao de equivalencia em S.
Demonstracao: De fato, para todo (a, b) ∈ S, temos a · b = b · a, logo
(a, b) ∼ (a, b).
Suponhamos que (a, b) ∼ (c, d). Entao, a · d = b · c e
d · a M2= a · d = b · c M2
= c · b. Logo, (c, d) ∼ (a, b).
Suponhamos que (a, b) ∼ (c, d) e (c, d) ∼ (e, f). Entao, a · d(1)= b · c
e c · f(2)= d · e. Multiplicando a igualdade (1) por f e a igualdade (2) por
b, obtemos a · d · f = b · c · f = b · d · e. Pelas propriedades M2 e M1 da
multiplicacao em D, temos d · (a · f) = d · (b · e). Como d 6= 0, pela lei do
cancelamento em D, temos a · f = b · e. Portanto, (a, b) ∼ (e, f). �
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Propriedades elementares
Consideremos o conjunto quociente K = S/ ∼. Entao,
K = D × D\{0}/ ∼ = { (a, b) ; (a, b) ∈ D × D\{0}}.
Denotamos por ab
a classe de equivalencia de (a, b), isto e, ab
= (a, b).
Desta maneira,
ab
= (a, b) = (c, d) = cd
⇐⇒ (a, b) ∼ (c, d) ⇐⇒ a · d = b · c .
K ={
ab
; a, b ∈ D e b 6= 0}, onde a
b= c
dse, e somente se, a · d = b · c.
Chamamos o elemento ab
de K de fracao e a e b 6= 0 em D, respectiva-
mente, de numerador e denominador da fracao.
Podemos dar a K uma estrutura de corpo.
Proposicao 7 (Corpo de fracoes de um domınio D)
Seja K ={
ab
; a, b ∈ D e b 6= 0}
com as operacoes
ab
+ cd
= a·d+b·cb·d
e ab· c
d= a·c
b·d,
onde no numerador e no denominador as operacoes sao as do domınio D.
Entao, valem as seguintes propriedades:
(i) K e um corpo,
(ii) D e um subanel de K,
(iii) se L e um corpo contendo D como subanel, entao K ⊂ L.
O corpo K e chamado corpo de fracoes do domınio D e, pelas proprie-
dades (iii) e (ii), e o menor corpo contendo D como subanel.
Demonstracao:
(i) Primeiramente, precisamos mostrar que a soma e o produto independem
do representante da classe, isto e, que as operacoes estao bem definidas.
De fato, suponhamos que ab
= a′
b′e c
d= c′
d′.
Entao, a · b′ (1)= b · a′, c · d′ (2)
= d · c′ eNao esqueca que todo
domınio e um anel
comutativo com unidade.
Em (3) usamos AM, M2,
M1. Em (4) usamos M2, (1)
e (2). Em (5) usamos M2,
M1, AM. Em (6) usamos M2
e M1. Em (7) usamos M2,
(1) e (2). Em (8) usamos
M2.
b′ · d′ · (a · d + b · c) (3)= (b′ · a) · (d′ · d) + (b′ · b) · (d′ · c)(4)= (a′ · b) · (d′ · d) + (b′ · b) · (c′ · d)(5)= b · d · (a′ · d′ + b′ · c′) .
Logo, a·d+b·cb·d
= a′·d′+b′·c′
b′·d′.
(a · c) · (b′ · d′)(6)= (a · b′) · (c · d′)(7)= (a′ · b) · (c′ · d)(8)= (b · d) · (a′ · c′)
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Propriedades elementaresPARTE 2 - SECAO 2
Logo, a·cb·d
= a′·c′
b′·d′.
Agora devemos mostrar: A1, A2, A3, A4, AM, M1, M2, M3, concluindo
que K e um anel comutativo com unidade. Observe que as propriedades das
operacoes de K sao induzidas das propriedades das operacoes de D.
Faremos algumas delas.
A2: ab
+ cd
= a·d+b·cb·d
= c·b+d·ad·b
= cd
+ ab
Em D valem M2 e A2.
A3: O elemento neutro da adicao e 01, pois para todo a
b∈ K temos
01
+ ab
= 0·b+1·a1·b
= ab.
M1:(
ab· c
d
)
· ef
= a·cb·d
· ef
=(a·c)·e
(b·d)·f=
a·(c·e)
b·(d·f)= a
b· c·e
d·f= a
b
(
cd· e
f
)
M3: O elemento neutro multiplicativo, a unidade de K, e 11, pois para todo
ab∈ K temos
11· a
b= 1·a
1·b= a
b
Falta verificar as
propriedades: A1, A4 e M2.Verifique as outras propriedades.
Observe que ab
= 01
se, e somente se, a = a · 1 = b · 0 = 0.
Assim, todo ab6= 0
1e invertıvel e b
a∈ K e seu inverso, pois a
b·ba
= a·bb·a
= 11.
(ii) Observamos que a1
= b1∈ K se, e somente se, a = b.
Podemos ver D como um subconjunto de K, identificando cada a ∈ D
com a1∈ K. Neste caso, D = {a
1; a ∈ D} e
a1
+ b1
= a·1+b·11·1
= a+b1
, a1
+ −a1
= 01
e a1· b
1= a·b
1·1= a·b
1.
A segunda igualdade
significa que
−a1
= −a1
.
Logo, D e um subanel de K.
(iii) Se L e um corpo que contem D como subanel, entao para quaisquer
a, b ∈ D com b 6= 0 temos: a · b−1 ∈ L e
a ·b−1 = c ·d−1 se, e somente se, a ·d = (a ·b−1)(b ·d) = (c ·d−1)(b ·d) = b ·c.
Logo, K ⊂ L. �.
Veja os Exercıcios 12 e 13,
item (d).
Exemplo 19
(1) O corpo dos numeros racionais Q ={
ab
; a, b ∈ Z e b 6= 0}
e o corpo de
fracoes do domınio Z.
(2) O corpo Q(√
2) e o corpo de fracoes do domınio Z[√
2].
(3) O corpo Q(i) e o corpo de fracoes do domınio Z[i].
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Propriedades elementares
Exercıcios
1. Mostre que num anel A valem as seguintes propriedades:
(a) Se a + c = b + c, entao a = b.
(b) Se a + b = a para algum a, entao b = 0.
(c) −(a + b) = −a − b.
(d) Se A tem unidade 1, entao −1 e invertıvel.
2. Seja A um domınio. Mostre que valem as seguintes propriedades:
(a) a2 = 0 se, e somente se, a = 0.
(b) se a · b = 0 e b 6= 0, entao a = 0.
(c) a2 = a se, e somente se, a = 0 ou a = 1.
3. Mostre que todo corpo e um domınio.
4. Sejam A e B aneis e A × B = {(a, b) ; a ∈ A, b ∈ B}.
(a) Mostre que A × B e um anel com as operacoes:
(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) e (a, b) · (c, d) = (a · c, b · d),
onde na primeira coordenada a adicao e a multiplicacao sao do
anel A e na segunda coordenada, do anel B.
(b) Mostre que se A e B sao aneis com unidades 1A e 1B, respectiva-
mente, entao A × B e anel com unidade.
(c) Mostre que A × B tem divisores de zero.
(d) Determine os elementos invertıveis de A × B, se A e B sao aneis
com unidades 1A e 1B, respectivamente.
5. Seja A um anel com unidade. Definimos A∗ = {a ∈ A ; a e invertıvel }.
Para cada anel A determine A∗:
(a) A = M2×2(Z).
(b) A = Z × Z.
(c) A = Z[i] = {a + bi ∈ C ; a, b ∈ Z}.
(d) A = Q.
6. Sejam A = Z × Z e B = Z × {0}. Mostre que:
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Propriedades elementaresPARTE 2 - SECAO 2
(a) A e um anel comutativo com unidade e nao e um domınio.
(b) B e um subanel de A.
(c) B e um domınio e 1B 6= 1A.
7. Mostre que se A e um domınio e B e um subanel de A tal que B tem
unidade 1B, entao 1B = 1A.
8. Mostre que B e um subanel do anel A:
(a) A = Q e B ={ x
2n; x ∈ Z e n = 0, 1, 2, . . .
}.
(b) A = F(R) e B = C(R) = { f ∈ F(R) ; f e contınua }.
(c) A = C(R) e B = { f ∈ C(R) ; f e derivavel }.
9. Sejam A um anel, a ∈ A e B = { x ∈ A ; x · a = 0 }.
(a) Mostre que B e um subanel de A.
(b) Se A = Z e a ∈ Z e nao-nulo, determine B.
(c) Se A = Z × Z e a = (b, 0) com b 6= 0, determine B.
(d) Se A = M2×2(Z) e a =
(
1 1
0 0
)
, determine B.
10. Mostre que todo numero racional pode ser representado por uma fracao
com denominador positivo.
11. Seja Q(√
3) = { x + y√
3 ; x, y ∈ Q }. Mostre que:
(a) Q(√
3) e um subanel de R.
(b) Q(√
3) e um corpo.
(c) Z[√
3] e um subanel de Q(√
3).
(d) Q(√
3) e o corpo de fracoes de Z[√
3].
12. Seja Q(√
2) = { x + y√
2 ; x, y ∈ Q }. Mostre que:
(a) Q(√
2) e um subanel de R.
(b) Q(√
2) e um corpo.
(c) Z[√
2] e um subanel de Q(√
2).
(d) Q(√
2) e o corpo de fracoes de Z[√
2].
13. Seja Q(i) = { x + yi ; x, y ∈ Q }. Mostre que:
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Propriedades elementares
(a) Q(i) e um subanel de C.
(b) Q(i) e um corpo.
(c) Z[i] e um subanel de Q(i).
(d) Q(i) e o corpo de fracoes de Z[i].
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Polinomios com coeficientes em um anel comutativo com unidadePARTE 2 - SECAO 3
Polinomios com coeficientes em um anel
comutativo com unidade
Nesta secao definiremos o anel dos polinomios com coeficientes em um
anel comutativo com unidade. Veremos que as propriedades das operacoes
dos polinomios estao relacionadas diretamente com as propriedades da adicao
e multiplicacao do anel, e aprenderemos a efetua-las na pratica.
Voces estao familiarizados com expressoes do tipo ax2 + bx + c e
ax + b, sendo a, b e c numeros reais fixados e a 6= 0, sob o ponto de vista
geometrico. Estas expressoes sao polinomios com coeficientes reais e vao ser
estudadas agora sob o ponto de vista algebrico, isto e, essas expressoes serao
manipuladas, usando operacoes de adicao e multiplicacao.
Seja A um anel comutativo com unidade 1A. Seja x um sımbolo nao
pertencente ao anel A, chamado uma indeterminada ou variavel sobre A.
Para cada numero natural j ≥ 1, designamos a j-esima potencia de x
por xj e escrevemos x1 = x.
Definicao 11 (Polinomio)
Um polinomio com coeficientes em A e uma expressao do tipo
O sımbolo∑
le-se como
somatorio ou soma e
convencionamos escrever
a0x0 = a0 .
f(x) = a0 + a1x + a2x2 + · · · + anxn =
n∑
j=0
ajxj,
onde n e um numero natural e aj ∈ A, para 0 ≤ j ≤ n.
Para 0 ≤ j ≤ n, os elementos aj sao chamados de coeficientes, as
parcelas ajxj de termos e os termos ajx
j tais que aj 6= 0 de monomios de
grau j do polinomio f(x). O coeficiente a0 e chamado de termo constante.
Convencionamos:
(a) Para cada numero natural n, chamar 0(x) = 0+0x+· · ·+0xn de polinomio
identicamente nulo e escrever 0(x) = 0.
(b) Chamar f(x) = a0 de polinomio constante.
(c) Escrever o polinomio f(x) com as j-esimas potencias de x em ordem
crescente ou em ordem decrescente, a saber, f(x) = a0+a1x+a2x2+· · ·+anxn
ou f(x) = anxn + · · · + a2x2 + a1x + a0.
(d) Nao escrever o termo ajxj sempre que aj = 0, quando houver algum
termo nao-nulo no polinomio.
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Polinomios com coeficientes em um anel comutativo com unidade
Exemplo 20
a. Dados os numeros reais a0 =3
2, a1 = −1, a2 =
√2 e a3 = 1, temos
f(x) =3
2− x +
√2x2 + x3 ∈ R[x].
b. Dados os numeros reais a0 = 2, a1 = −√
5, a2 = 0, a3 = −π, a4 = 0
e a5 = −2,4, temos g(x) = 2 −√
5x − πx3 − 2,4 x5 ∈ R[x].
c. Dados os numeros reais a0 = 0, a1 = −1, a2 = 3, a3 = 0 e a4 = −3,
temos h(x) = −x + 3x2 − 3x4 ∈ R[x].
d. Dados os numeros reais a0 = 5, a1 = −1 e a2 = 3, temos r(x) =
5 − x + 3x2 ∈ R[x].
e. Dados os numeros reais a0 = 2, a1 = −1, a2 = 3, a3 = 0 e a4 = −3,
temos s(x) = 2 − x + 3x2 − 3x4 ∈ R[x].
f. Dados os numeros reais a0 = 2, a1 = −1, a2 = 3, a3 = 0, a4 = −3
e a5 = a6 = 0, temos t(x) = 2 − x + 3x2 − 3x4 ∈ R[x].
g. As expressoes u(x) = x−2 + 3√
x + x5 e v(x) = 6√
x3 − 4x2 + 5
nao sao polinomios porque nem todos os expoentes da variavel x sao
numeros naturais.
O polinomio f(x) = a0 + a1x + · · · + anxn ∈ A[x] pode tambem ser
escrito como f(x) = a0+a1x+ · · ·+anxn+0xn+1+0xn+2+ · · ·+0xn+m, para
todo numero natural m ≥ 1. Portanto, quando comparamos dois polinomios
f(x), g(x) ∈ A[x], e possıvel assumir que os termos de ambos tem as mesmas
potencias de x.
Igualdade de polinomios:
Os polinomios f(x) = a0 + a1x1 + a2x
2 + · · · + anxn ∈ A[x] e
g(x) = b0 + b1x1 + b2x
2 + · · · + bnxn ∈ A[x] sao iguais se, e somente
se, aj = bj para todo j, tal que 0 ≤ j ≤ n. Escrevemos f(x) = g(x).
Isto e, f(x) e g(x) sao iguais apenas quando todos os coeficientes das
correspondentes potencias de x em f(x) e g(x) sao iguais.
Observe que, se f(x) e g(x) nao sao iguais, entao existe algum numero
natural j, com 0 ≤ j ≤ n e aj 6= bj. Neste caso, dizemos que f(x) e g(x) sao
diferentes e escrevemos f(x) 6= g(x).
No Exemplo 20, os coeficientes dos termos constantes dos polinomios
h(x) = −x + 3x2 − 3x4 e t(x) = 2 − x + 3x2 − 3x4 sao diferentes; logo
h(x) 6= t(x). Enquanto s(x) = t(x), pois todos os coeficientes das mesmas
potencias de x em s(x) e t(x) sao iguais.
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Polinomios com coeficientes em um anel comutativo com unidadePARTE 2 - SECAO 3
Exemplo 21
Os polinomios f(x) = x4−x5+4x2+3−2x e g(x) = 3+4x2−2x−x5 +x4
sao iguais, porque os seus coeficientes aj da j-esima potencia xj sao: a0 = 3,
a1 = −2, a2 = 4, a3 = 0, a4 = 1 e a5 = −1.
Escrevendo os polinomios com as potencias de x em ordem crescente, visua-
lizamos imediatamente a igualdade dos polinomios. Temos
f(x) = g(x) = 3 − 2x + 4x2 + x4 − x5.
O sımbolo 6≡ le-se como nao
e identico.
O sımbolo grau(f(x)) le-se
como grau de f de x.
Em todo polinomio nao identicamente nulo, f(x) 6≡ 0, algum coeficiente
deve ser diferente de zero, entao ha um maior numero natural n, tal que
an 6= 0. Definimos o grau de f(x) por grau(f(x)) = n e, nesse caso, an e
chamado de coeficiente lıder de f(x).
Os polinomios de grau n com coeficiente lıder an = 1 sao chamados de
polinomios monicos.
Importante: Nao definimos o grau do polinomio identicamente nulo, 0(x) ≡ 0.
Exemplo 22
O polinomio constante w(x) = 5 nao e identicamente nulo e grau(w(x)) =
0. Volte ao Exemplo 20 e observe que grau(f(x)) = 3, grau(g(x)) = 5,
grau(h(x)) = 4, grau(r(x)) = 2, grau(s(x)) = 4, grau(t(x)) = 4 e que f(x) e
o unico polinomio monico.
Note que:
grau(f(x)) = 0 se, e somente se, f(x) = a 6= 0, a ∈ A.
Denotamos o conjunto de todos os polinomios na variavel x com coefi-
cientes no anel comutativo com unidade 1A por A[x].
A[x] = { f(x) = a0 + a1x + · · ·+ anxn | n ∈ N, aj ∈ A, 0 ≤ j ≤ n }.
No conjunto A[x] estao definidas as operacoes de adicao e multiplicacao
de polinomios.
Definicao 12 (Adicao de polinomios)
Definimos a adicao dos polinomios f(x) =
n∑
j=0
ajxj e g(x) =
n∑
j=0
bjxj de
A[x] por
f(x) + g(x) =
n∑
j=0
cjxj, onde cj = aj + bj, para 0 ≤ j ≤ n.
O resultado da adicao de
dois polinomios e chamado
de soma.
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Polinomios com coeficientes em um anel comutativo com unidade
Exemplo 23
Sejam f(x) = 4x3 − 3x2+ 4x + 5, g(x) = 2x2 − 5x − 2 e h(x) = −4x3 + 5x2− 3x + 1
em Z[x]. Entao,
Lembre que
a−b = a+(−b),
para quaisquer a e b no anel
A.
f(x) + g(x) = (4 + 0)x3 + (−3 + 2)x2 + (4 + (−5))x + (5 + (−2))
= 4x3 − x2 − x + 3,
f(x) + h(x) = (4 − 4)x3 + (−3 + 5)x2 + (4 − 3)x + (5 + 1)
= 0x3 + 2x2 + x + 6
= 2x2 + x + 6.
No exemplo anterior, observamos que
grau(f(x)) = grau(h(x)) = 3 e grau(f(x)+h(x)) = 2, enquanto grau(g(x)) =
2 e grau(f(x) + g(x)) = 3 = maximo { grau(f(x)), grau(g(x)) }.
Na adicao de polinomios vale a seguinte propriedade do grau.
Propriedade do grau: (Adicao de polinomios)
Sejam f(x) =
n∑
j=0
ajxj, com an 6= 0, e g(x) =
m∑
j=0
bjxj, com bm 6= 0.
Se f(x) + g(x) 6≡ 0, entaoO sımbolo max significa o
maior ou o maximo dos
numeros.grau(f(x) + g(x)) ≤ max{ grau(f(x)), grau(g(x)) } = max { n, m }
valendo a igualdade sempre que grau(f(x)) = n 6= m = grau(g(x)).
A adicao de polinomios tem diversas propriedades, que sao
consequencia das propriedades da adicao no anel A, conforme veremos a
seguir.
Propriedades da adicao:
Sejam f(x) =
n∑
j=0
ajxj, g(x) =
n∑
j=0
bjxj e h(x) =
n∑
j=0
cjxj em A[x].
(A1) Associativa: (f(x) + g(x)) + h(x) = f(x) + (g(x) + h(x)) ,
Lembre que
a adicao no anel A e
associativa (A1) e
comutativa (A2).
pois para quaisquer aj, bj, cj ∈ A e 0 ≤ j ≤ n, temos que
(aj + bj) + cj = aj + (bj + cj) .
(A2) Comutativa: f(x) + g(x) = g(x) + f(x) ,
pois para quaisquer aj, bj ∈ A e 0 ≤ j ≤ n, temos aj + bj = bj + aj.
(A3) Existencia de elemento neutro:
Como o polinomio identicamente nulo 0 =
n∑
j=0
0xj, entao f(x) = 0+f(x),
pois para qualquer aj ∈ A, 0 ≤ j ≤ n, temos aj = 0 + aj.
Lembre que no anel A
0 e o elemento neutro
aditivo.
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Polinomios com coeficientes em um anel comutativo com unidadePARTE 2 - SECAO 3
(A4) Existencia de simetrico:
Dado f(x) =
n∑
j=0
ajxj, o polinomio −f(x) =
n∑
j=0
(−aj)xj e o simetrico de
f(x), sendo
f(x) + (−f(x)) =
n∑
j=0
0xj ,
Lembre que no anel A
−a e o simetrico de a.pois aj + (−aj) = 0 para qualquer aj ∈ A, 0 ≤ j ≤ n.
Exemplo 24
Consideremos os polinomios f(x) = 4x3 − 3x2 + 4x + 5, g(x) = 2x2 − 5x − 2
e h(x) = −4x3 + 5x2 − 3x + 1 do Exemplo 23.
a. No Exemplo 23 determinamos f(x) + g(x) = 4x3 − x2 − x + 3.
Assim, (f(x) + g(x)) + h(x) = (4x3 − x2 − x + 3) + (−4x3 + 5x2 − 3x + 1)
= (4−4)x3+(−1+5)x2+(−1−3)x+(3+1) = 0x3+4x2−4x+4 = 4x2−4x+4.
b. A adicao de polinomios pode ser feita facilmente se escrevemos os po-
linomios numa tabela, onde nas primeiras linhas estao cada um dos po-
linomios com as potencias xj em ordem decrescente, e na ultima linha o
resultado da adicao, de maneira similar a adicao de numeros reais. Calcula-
remos g(x) + h(x) desse modo.
2x2 − 5x − 2
(+) − 4x3 + 5x2 − 3x + 1
− 4x3 + 7x2 − 8x − 1
Nesse caso, g(x) + h(x) = −4x3 + 7x2 − 8x − 1.
c. Podemos usar este processo para calcular a soma de m polinomios,
construindo uma tabela com m + 1 linhas e tantas colunas quantas forem
necessarias. Por exemplo, para calcular f(x) + g(x) + h(x) a tabela tera
quatro linhas
4x3 − 3x2 + 4x + 5
2x2 − 5x − 2
(+) − 4x3 + 5x2 − 3x + 1
0x3 + 4x2 − 4x + 4
Logo, f(x) + g(x) + h(x) = 4x2 − 4x + 4.
Definicao 13 (Multiplicacao de polinomios)
Definimos a multiplicacao dos polinomios f(x) =
n∑
j=0
ajxj e g(x) =
m∑
j=0
bjxj
em A[x] por
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Polinomios com coeficientes em um anel comutativo com unidade
f(x) · g(x) =
n+m∑
j=0
cjxj
O resultado da multiplicacao
de dois polinomios e
chamado de produto.
sendoc0 = a0 · b0
c1 = a0 · b1 + a1 · b0
c2 = a0 · b2 + a1 · b1 + a2 · b0
...
cj = a0 · bj + a1 · bj−1 + · · ·+ aj · b0 =∑
λ+µ=j
aλ · bµ
...
cn+m = an · bm .
Propriedade do grau: (Multiplicacao de polinomios)
Sejam A um domınio e f(x) =
n∑
j=0
ajxj, com an 6= 0, e g(x) =
m∑
j=0
bjxj,
com bm 6= 0. Entao,
Lembre que
em um domınio
a · b = 0 ⇐⇒ a = 0 ou b = 0.
grau(f(x) · g(x)) = n + m
pois o coeficiente lıder de f(x) · g(x) e cn+m = an · bm 6= 0 .
A multiplicacao de polinomios tem as seguintes propriedades.
Propriedades da multiplicacao:
Sejam f(x) =
n∑
j=0
ajxj, g(x) =
m∑
j=0
bjxj e h(x) =
r∑
j=0
cjxj elementos
de A[x].
(M1) Associativa: (f(x) · g(x)) · h(x) = f(x) · (g(x) · h(x)) .
(M2) Comutativa: f(x) · g(x) = g(x) · f(x) ,Lembre que
no anel A a multiplicacao e
associativa e comutativa. pois para todo j com 0 ≤ j ≤ n + m , vale a identidade∑
λ+µ=j
aµbλ =∑
λ+µ=j
bλaµ .
Note que, em vista da definicao das operacoes:
• Para quaisquer j, k ∈ N, vale a identidade: xj · xk = xj+k.
• Se f(x) = a e g(x) = b0 + b1x + · · · + bmxm, entao
f(x) · g(x) = a · g(x) = a ·(
m∑
k=0
bkxk
)
=
m∑
k=0
(a · bk)xk
= (a · b0) + (a · b1)x + · · ·+ (a · bm)xm ,
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Polinomios com coeficientes em um anel comutativo com unidadePARTE 2 - SECAO 3
pois, nesse caso, a0 = a, n = 0, e cj = a0 · bj = a · bj, para todo j ∈ N.
Em particular, A[x] tem a propriedade M3:
(M3) Existencia de elemento neutro multiplicativo :
1A · f(x) = f(x), para qualquer f(x) ∈ A[x] e 1A[x] = 1A.
• Se f(x) = axj com j ≥ 1, e g(x) = b0 + b1x + · · ·+ bmxm, entao
f(x) · g(x) = (axj) · g(x) = (axj) ·(
m∑
k=0
bkxk
)
=
m∑
k=0
(a · bk)xk+j
= (a · b0)xj + (a · b1)x
j+1 + · · ·+ (a · bm)xj+m ,
pois, nesse caso, temos a0 = 0, . . . , aj−1 = 0 aj = a, n = j, n+m = j+m,
c0 = 0, . . . , cj−1 = 0, cj = aj · b0 = a · b0, cj+1 = aj · b1 = a · b1, . . .,
cj+m = aj · bm = a · bm.
Combinando as tres observacoes anteriores com o fato da adicao de
polinomios corresponder a adicionar os coeficientes das potencias de x de
mesmo expoente em ambos os polinomios, obtemos mais uma propriedade,
que envolve as duas operacoes.
Propriedade da adicao e multiplicacao:Lembre que
no anel A a adicao e a
multiplicacao tem a
propriedade distributiva:
a(b+c) = ab+ac .
Sejam f(x) =
n∑
j=0
ajxj, g(x) =
n∑
j=0
bjxj e h(x) =
m∑
j=0
cjxj.
(AM) Distributiva: (f(x) + g(x)) · h(x) = f(x) · h(x) + g(x) · h(x) .
Com as propriedades acima da adicao e multiplicacao de polinomios
em A[x], obtivemos a seguinte proposicao.
Proposicao 8
Seja A um anel comutativo com unidade 1A. Entao, A[x] e um anel co-
mutativo com unidade. Mais ainda, se A e um domınio, entao A[x] e um
domınio.
Demonstracao: So falta a ultima afirmacao. Suponhamos que A e um domınio
e sejam f(x), g(x) ∈ A[x] nao-nulos.
Digamos que grau(f(x)) = m e grau(g(x)) = n. Entao, pela proprie-
dade do grau, temos que grau(f(x) · g(x)) = m + n e logo, f(x) · g(x) 6= 0.
�
Exemplo 25
Sao aneis de polinomios muito importantes: Z[x], Q[x], R[x] e C[x].
Agora podemos fazer exemplos da multiplicacao de polinomios.
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Polinomios com coeficientes em um anel comutativo com unidade
Exemplo 26
Consideremos os polinomios f(x) = 4x3 − 3x2 + 4x + 5, g(x) = 2x2 − 5x − 2
e h(x) = −4x3 − 3x + 1 em Z[x].
a. Vamos calcular f(x) · g(x).
Usando a propriedade distributiva da multiplicacao de polinomios, temos
f(x) · g(x) = (4x3 − 3x2 + 4x + 5) · (2x2 − 5x − 2)(1)= 4x3·(2x2−5x−2)+(−3x2)·(2x2−5x−2)+4x·(2x2−5x−2)+5·(2x2−5x−2)(2)= (8x5−20x4−8x3)+(−6x4+15x3+6x2)+(8x3−20x2−8x)+(10x2−25x−10)(3)= 8x5 + (−20 − 6)x4 + (−8 + 15 + 8)x3 + (6 − 20 + 10)x2 + (−8 − 25)x − 10(4)= 8x5 − 26x4 + 15x3 − 4x2 − 33x − 10.
Observe que as igualdades acima foram obtidas:
(1) distribuindo as parcelas de f(x) na multiplicacao por g(x);
(2) distribuindo cada multiplicacao com respeito as parcelas de g(x);
(3) usando a definicao da adicao de polinomios
(4) fazendo a adicao dos coeficientes das potencias de x de mesmo expoente.
b. Vamos calcular h(x) · g(x).
Construiremos uma tabela, escrevendo h(x) na primeira linha e g(x) na se-
gunda, com as potencias de x em ordem decrescente. Fazemos a multiplicacao
usando a propriedade distributiva e calculando a multiplicacao dos termos
do polinomio g(x) por h(x), em ordem crescente das potencias de x e orga-
nizando na tabela os resultados parciais em ordem decrescente das potencias
de x. A ultima linha da tabela sera a adicao das multiplicacoes parciais.
− 4x3 − 3x + 1
(×) 2x2 − 5x − 2
8x3 + 0x2 + 6x − 2 −2 · (−4x3 −3x+1)
20x4 + 0x3 + 15x2 − 5x −5x · (−4x3 −3x+1)
−8x5 + 0x4 − 6x3 + 2x22x2 · (−4x3 −3x+1)
−8x5 + 20x4 + 2x3 + 17x2 + x − 2 adicao das 3 parcelas
Temos grau(h(x) · g(x)) = 5 = 3 + 2 = grau(h(x)) + grau(g(x)).
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Polinomios com coeficientes em um anel comutativo com unidadePARTE 2 - SECAO 3
Exercıcios
1. Sejam f(x) = 2x3 − 5x2 + 1, g(x) = x5 − x4 + x3 − 2x − 3,
h(x) = 2x3−2x2−x+2, r(x) = −2x3+3x2+5x−3 e s(x) = −x2+x−3
em Z[x]. Efetue a operacao e de o grau dos resultados nao identica-
mente nulos:
(a) f(x) + g(x) (b) x2 · f(x) − g(x) + x · h(x)
(c) g(x) + (3 − 2x2) · h(x) (d) g(x) + h(x) + r(x) + s(x)
(e) h(x) + r(x) (f) h(x) · s(x) + r(x) · s(x)
(g) (2x − 1) · r(x) − (3x + 2) · s(x) (h) (x2 − 1) · (x2 + 1) − (s(x))2
2. Determine em Z[x]:
(a) (x4 − 3x2 + 5)(2x + 3) + (x2 + 3x)(4x3 − 6x).
(b) 9x2(2x2 + 3) + 4x(3x3 − 2).
Se f(x) e um polinomio em
A[x], onde A e um anel e
n≥ 1 e um numero natural,
entao
(f(x))n = f(x) · f(x) · · · f(x)︸ ︷︷ ︸
n fatores
Convencionamos nao
escrever o sinal da operacao
de multiplicacao de
polinomios. Assim,
f(x)g(x) = f(x) · g(x).
3. Considere o anel Q[x]. Determine:
(a) (x2 + 2)(x2 − 2) (b) (x − 2)3 (c) (x − 1)2(x + 1)2
(d) (x + 3)(x + 1)(x − 4) (e) (x + 2)4 (f)(
1
2x − 4
)2
(g)(
1
3x + 3
)3
Lembre da formula do
binomio de Newton em Q
(a+b)n =
n∑
k=0
“n
k
”
an−kbk
4. Determine os numeros reais a, b, c e d para que as identidades de
polinomios sejam verdadeiras em R[x]:
(a) (a + 5)x3 + (1 − b)x2 + (2c − 1)x + (d + 2) ≡ 0.
(b 3ax7 − 2bx5 + 3cx4 + (d + 3) = x5 − x4 + 3.
(c) ax2 + bx + c = (ax − d)2.
(d) (b + d)x4 + (d + a)x3 + (a − c)x2 + (c + b)x = 4x4 + 2x2.
5. Determine numeros reais a, b, c e d tais que
f(x) + 2g(x) − 3h(x) = −3x4 + 5x3 − 3x2 + x + 2,
sabendo que f(x) = ax3 + 2x2 − x + d, g(x) = x3 + bx2 − 2x − 4 e
h(x) = x4 + 2x3 + dx2 + cx + c estao em R[x].
6. Dado o polinomio g(x) ∈ R[x], determine, em cada item, o polinomio
f(x) ∈ R[x], tendo a condicao indicada:
(a) f(x) + g(x) = 0, g(x) = x2 − x + 3.
(b) 2f(x)+3g(x) = 4x5+x3 +x2−x+1, g(x) = 2x4−x3−x2 +3x+5.
(c) 3f(x)−2g(x)+5x−3 = 6x3+5x2−3x−2, g(x) = 5ax3−bx2+2x+c.
7. Discuta, para a ∈ R, o grau do polinomio f(x) ∈ R[x]:
(a) f(x) = (a2 − 1)2x3 + (a2 − 3a + 2)x + a + 3
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Polinomios com coeficientes em um anel comutativo com unidade
(b) f(x) = ax2 + 2ax + 9
(c) f(x) = (a3 − a)x3 + a(a − 1)x2 + a3 − 1
8. Seja A um anel comutativo com unidade 1A. Mostre que:
(a) A e um subanel de A[x].
(b) A[x]∗ = A∗, se A e um domınio.
(c) Se A e um corpo, entao A[x]∗ = A\{0}.
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Aneis ordenados e aneis bem ordenadosPARTE 2 - SECAO 4
Aneis ordenados e aneis bem ordenados
Seja A um anel comutativo com unidade 1A.
Definicao 14 (Anel ordenado)
Um anel A, comutativo com unidade, e chamado de anel ordenado se existir
uma relacao binaria a ≤ b (menor ou igual), que tem as seguintes proprie-
dades:
Quando a≤ b, tambem
dizemos que b e maior ou
igual a a e escrevemos
b≥ a.
O1 (Reflexiva) Para qualquer a ∈ A, temos a ≤ a.
O2 (Antisimetrica) Para quaisquer a, b ∈ A, se a ≤ b e b ≤ a, entao a = b.
O3 (Transitiva) Para quaisquer a, b, c ∈ A, se a ≤ b e b ≤ c, entao a ≤ c.
O4 (Total) Dados a, b ∈ A, uma das afirmacoes e verdadeira:
a ≤ b ou b ≤ a.
OA (Compatıvel com a adicao) Para quaisquer a, b, c ∈ A,
se a ≤ b, entao a + c ≤ b + c.
OM (Compatıvel com a multiplicacao) Para quaisquer a, b, c ∈ A,
se a ≤ b e c ≥ 0, entao a · c ≤ b · c.
Usamos as seguintes notacoes:
a < b ⇐⇒ a ≤ b com a 6= b.
b > a (b maior do que a) ⇐⇒ a < b.
Observamos que num anel ordenado A, para cada a ∈ A vale uma das
seguintes propriedades: a > 0 ou a = 0 ou a < 0.
Definicao 15 (Positivo ou negativo)
Seja A um anel ordenado. Seja a ∈ A. Se a > 0 dizemos que a e positivo e
se a < 0 dizemos que a e negativo.
A ordem em Q e induzida
pela ordem de Z.
Exemplo 27
(1) Z e um domınio ordenado.
(2) Q ={
mn
; m, n ∈ Z, n 6= 0}
e um corpo ordenado, pois definimos:
a, b ∈ Q, a ≤ b ⇐⇒ b − a ≥ 0, onde
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Aneis ordenados e aneis bem ordenados
mn
> 0 ⇐⇒ m, n sao ambos positivos ou ambos negativos.
(3) R e um corpo ordenado.
Proposicao 9 (Propriedades de anel ordenado)
Seja A um anel ordenado e seja a ∈ A. Entao:
(i) Se a ≤ 0, entao −a ≥ 0.
(ii) Se a ≥ 0, entao −a ≤ 0.
(iii) a2 ≥ 0.
(iv) 1 > 0.
Demonstracao:
(i) a ≤ 0OA=⇒ a + (−a) ≤ 0 + (−a) =⇒ 0 ≤ −a ⇐⇒ −a ≥ 0.
(ii) a ≥ 0OA=⇒ a + (−a) ≥ 0 + (−a) =⇒ 0 ≥ −a ⇐⇒ −a ≤ 0.
(iii) a ≥ 0OM=⇒ a · a ≥ 0 · a =⇒ a2 ≥ 0.
a ≤ 0(i)
=⇒ −a ≥ 0OM=⇒ a · (−a) ≤ 0 · (−a) =⇒ −a2 ≤ 0
(i)=⇒ a2 ≥ 0.
(iv) 1 = 12 ≥ 0 e 1 6= 0 =⇒ 1 > 0. �
Atencao: Observamos que o corpo dos numeros complexos nao e um anel
ordenado pois, caso contrario, i 6= 0 e, pelo item (iii) da proposicao anterior,
−1 = i2 > 0 entao, pelo item (ii), 1 < 0, uma contradicao com o item (iv).
Proposicao 10
Se D e um domınio ordenado, entao o corpo de fracoes de D e um corpo
ordenado.
Demonstracao: Primeiramente, observe que se x = ab
∈ K, entao x pode
ser representado por uma fracao com denominador positivo. De fato, se
b > 0, nada ha a fazer. Suponhamos que b seja negativo. Entao, −b > 0 e
x = ab
= −a−b
.
A ordem em K e induzida pela ordem em D. Definimos
ab≤ c
d, com b > 0 e d > 0, se, e somente se, ad ≤ bc. (⋆)
Agora devemos verificar as seis propriedades da ordem em K.
O1 (Reflexiva): E claro que ab≤ a
b, pois ab − ba = 0.
O2 (Antisimetrica): Sejam ab≤ c
de c
d≤ a
b, com b > 0 e d > 0. Entao,
ad ≤ bc e bc ≤ ad. Pela propriedade O2 em D, temos ad = bc. Portanto,ab
= cd.
O3 (Transitiva): Dados ab≤ c
de c
d≤ e
fem K, com b > 0, d > 0 e f > 0,
entao ad ≤ bc e cf ≤ ed. Como f > 0 e b > 0, pela propriedade OM em
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Aneis ordenados e aneis bem ordenadosPARTE 2 - SECAO 4
D, temos que (ad)f ≤ (bc)f e b(cf) ≤ b(ed). Pela propriedade O3 em D,
obtemos que adf ≤ bed. Como d > 0, pela propriedade OM em D, temos
af ≤ be. Pela definicao (⋆) da ordem em K, temos ab≤ e
f.
O4 (Total): Dados ab
e cd
em K, com b > 0 e d > 0, temos que, pela
propriedade O4 em D, ad ≤ bc ou bc ≤ ad. Logo, ab≤ c
dou c
d≤ a
b.
OA (Compatıvel com a adicao): Dados ab
≤ cd
e ef
em K, com b > 0,
d > 0 e f > 0, entao ad ≤ bc, com b > 0, d > 0 e f > 0. Pela propriedade
OM em D, f2 > 0 e (ad)f2 ≤ (bc)f2. Pela propriedade OA em D, obtemos
(ad)f2 + bedf ≤ (bc)f2 + bedf. Logo,
(af + be)(df) ≤ (cf + de)(bf), com df > 0 e bf > 0,
que e equivalente a,
ab
+ ef
= af+bebf
≤ cf+dedf
= cd
+ ef.
OM (Compatıvel com a multiplicacao): Dados ab≤ c
de e
f≥ 0, com b > 0,
d > 0 e f > 0, entao ad ≤ bc, com b > 0, d > 0, f > 0 e e ≥ 0. Pela
propriedade OM em D, temos ef ≥ 0 e (ad)(ef) ≤ (bc)(ef), com b > 0,
d > 0. Logo, (ae)(df) ≤ (bf)(ce), com df > 0 e bf > 0, que e equivalente aaebf
≤ cedf
. �
Voce deve verificar OM e
OA.
Definicao 16 (Valor absoluto)
Seja A um anel ordenado. Definimos o valor absoluto de a ∈ A por
| a |=
{a, se a ≥ 0
−a, se a < 0
O valor absoluto tem as seguintes propriedades.
Proposicao 11
Sejam A um anel ordenado e a, b ∈ A. Entao:
(i) | a |≥ 0 e | a |= 0 se, e somente se, a = 0.
(ii) − | a |≤ a ≤| a |.
(iii) | −a |=| a |.
(iv) | a · b |=| a | · | b |.
A desigualdade ao lado e
conhecida como
desigualdade triangular.
(v) | a + b | ≤ | a | + | b |.
(vi) | | a | − | b | | ≤ | a ± b | ≤ | a | + | b |.
Demonstracao: Faca como exercıcio.
Agora vamos introduzir o conceito de anel bem ordenado.
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Aneis ordenados e aneis bem ordenados
Definicao 17 (Conjunto limitado inferiormente)
Seja S 6= ∅ um subconjunto de um anel ordenado A.
Dizemos que S e limitado inferiormente se existir um elemento a ∈ A,
tal que para todo s ∈ S temos s ≥ a.
Dizemos que S tem um menor elemento, se existir s0 ∈ S, tal que, para
todo s ∈ S, temos s ≥ s0.
Observacao (unicidade do menor elemento): O menor elemento, se existe, e
unico.
De fato, digamos que s0 e s1 sao menores elementos de um subconjunto
nao-vazio S de um anel ordenado A, entao:
s1 ≥ s0, pois s0 e um menor elemento de S e
s0 ≥ s1, pois s1 e um menor elemento de S,
logo, pela propriedade antisimetrica (O2) da relacao de ordem, s0 = s1. �
Definicao 18 (Domınio bem ordenado)
Um domınio ordenado A e chamado bem ordenado se, e somente se, todo
subconjunto nao-vazio de A limitado inferiormente tem menor elemento.
Exemplo 28
(1) Z, Q, R sao domınios ordenados.
(2) R nao e bem ordenado.
Consideremos o intervalo S = (0, +∞) ⊂ R. Entao, S e limitado inferior-
mente por 0 e S nao tem menor elemento.
(3) Q nao e bem ordenado.
Consideremos S ={
1n
; n = 1, 2, 3, . . .}⊂ Q. Temos
1 > 12
> 13
> 14
> · · · > 1n
> 1n+1
> · · · > 0.
S e limitado inferiormente por 0 e S nao tem menor elemento.
Para entender melhor um domınio bem ordenado, vamos ver mais pro-
priedades.
Proposicao 12
Seja A um domınio bem ordenado e seja a ∈ A. Se a > 0, entao a ≥ 1.
Demonstracao: Suponhamos, por absurdo, que existe um elemento a ∈ A,
tal que 0 < a < 1. Logo, o conjunto
S = {x ∈ A ; 0 < x < 1}
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Aneis ordenados e aneis bem ordenadosPARTE 2 - SECAO 4
e nao-vazio e limitado inferiormente.
Portanto, S tem um menor elemento s0 e 0 < s0 < 1.
Segue de OM que 0 = 0 · s0 < s0 · s0 < 1 · s0 = s0, isto e, 0 < s02 < s0.
Como s0 < 1, pela transitividade da relacao de ordem, temos 0 < s02 < 1 e
logo, s02 ∈ S com s0
2 < s0, contradizendo o fato de s0 ser o menor elemento
de S. �
Corolario 1
Sejam A um domınio bem ordenado e a, b ∈ A. Se a > b, entao a ≥ b + 1.
Demonstracao: Como a > b, de OA segue que a − b > b − b = 0. Da
proposicao anterior temos que a − b ≥ 1 e, de OA, a ≥ b + 1. �
Observacao: Seja A um domınio bem ordenado. Seja a ∈ A tal que a > 0.
Entao, a ≥ 1. Se a 6= 1, entao a > 1 e, do corolario anterior, obtemos
a ≥ 1+1. Se a 6= 1+1, entao a > 1+1 e, do corolario anterior, a ≥ 1+1+1.
Prosseguindo com esse processo, temos
0 < 1 < 1 + 1 < 1 + 1 + 1 < 1 + 1 + 1 + 1 < · · · .
A propriedade acima nos lembra o domınio bem conhecido dos inteiros.
O domınio dos inteiros Z tem a propriedade da boa ordenacao, a saber:
Axioma (Princıpio da Boa Ordenacao): Todo conjunto nao-vazio de inteiros
nao-negativos tem menor elemento.
Como consequencia do Axioma da Boa Ordenacao de Z, temos que Z
e um domınio bem ordenado.
Proposicao 13
Todo subconjunto nao-vazio de inteiros limitado inferiormente tem menor
elemento.
Demonstracao: Seja S ⊂ Z, S 6= ∅ e limitado inferiormente, digamos por
k ∈ Z.
Consideremos T = {x − k ; x ∈ S}. Entao, T ⊂ Z e T 6= ∅, pois S 6= ∅.Como x ≥ k, para todo x ∈ S, entao x − k ≥ 0 e logo, T e um subcon-
junto nao-vazio de inteiros nao-negativos. Pelo axioma da boa ordenacao,
existe t0 ∈ T o menor elemento de T . Afirmamos que s0 = t0 + k e o menor
elemento de S.
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Aneis ordenados e aneis bem ordenados
De fato, t0 ∈ T . Logo, existe s0 ∈ S tal que t0 = s0 − k. Assim,
s0 = t0 + k ∈ S. Precisamos apenas mostrar que se x ∈ S, entao x ≥ s0.
Com efeito, suponhamos, por absurdo, que existe y ∈ S, tal que y < s0.
Entao, y − k < s0 − k = t0, com y − k ∈ T , contradizendo o fato de t0 ser o
menor elemento de T . �
Na verdade, mostraremos adiante que Z e o unico domınio bem orde-
nado. Deve ser estudado com mais cuidado.
Proposicao 14 (Propriedade Arquimediana de Z)
Dados a, b ∈ Z com b 6= 0, existe n ∈ Z tal que n · b ≥ a.
Demonstracao: Como b 6= 0, entao | b |> 0 e logo | b |≥ 1.
Como | a |≥ 0, por OM, temos | a | · | b |≥| a | ·1 =| a |≥ a.
Se b > 0, tome n =| a |, entao n · b =| a | · | b |≥ a.
Se b < 0, tome n = − | a |, entao
n · b = − | a | ·b =| a | ·(−b) =| a | · | b |≥ a. �
Proposicao 15 (Propriedade Arquimediana de Q)
Dados a, b ∈ Q com b 6= 0, existe n ∈ Z tal que n · b ≥ a.
Demonstracao: Escrevemos a = cd
e b = rs
com c, d, r, s ∈ Z, d > 0, s > 0 e
r 6= 0.
Consideremos os inteiros r·d 6= 0 e c·s . Pela propriedade arquimediana
de Z, existe n ∈ Z tal que n · (r · d) ≥ c · s.Como s · d > 0, entao 1
s·d> 0 e
n · b = n · rs
= n · r·ds·d
= n · (r · d) · 1s·d
≥ c · s · 1s·d
= c·sd·s
= cd
= a. �
Exercıcios
1. Demonstre as propriedades do valor absoluto num anel ordenado A.
2. Seja A um anel ordenado. Mostre que:
(a) Se a + c ≤ b + c, entao a ≤ b.
(b) Se a ≤ b e c ≤ d, entao a + c ≤ b + d.
(c) Se a ≤ b e c ≤ 0, entao a · c ≥ b · c.
(d) Se a < b e b < c, entao a < c.
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Aneis ordenados e aneis bem ordenadosPARTE 2 - SECAO 4
(e) Se a < b e b ≤ c, entao a < c.
(f) Se a < b, entao a + c < b + c, para todo c.
(g) Se a ≥ 0 e b ≤ 0, entao a · b ≤ 0.
(h) Se a ≤ 0 e b ≤ 0, entao a · b ≥ 0.
3. Seja A um domınio ordenado. Mostre que:
(a) Se a < b e c > 0, entao a · c < b · c.
(b) Se a · c ≤ b · c e c > 0, entao a ≤ b.
(c) Se a · c ≤ b · c e c < 0, entao a ≥ b.
4. Seja A um domınio ordenado. Mostre que:
(a) Se a 6= 0, entao a2 > 0.
(b) 1 > 0 e −1 < 0.
5. Seja A um domınio ordenado.
(a) Mostre que para cada a ∈ A, | a | e o unico elemento x ≥ 0 tal
que x2 = a2.
(b) Para a ≥ 0, definimos o sımbolo√
a ∈ A como o unico x ∈ A, tal
que x ≥ 0 e x2 = a, se tal elemento existe.
Mostre que se a ≥ 0 e b ≥ 0 e√
a e√
b existem, entao√
a · bexiste e
√a · b =
√a ·
√b.
(c) Mostre que | a |=√
a2, para todo a ∈ A.
6. Seja A um domınio bem ordenado e sejam a, b ∈ A.
Mostre que se a · b = 1, entao a = b = 1 ou a = b = −1.
7. Seja A um domınio e suponhamos que existe P ⊂ A tendo as seguintes
propriedades:
(a) Para cada x ∈ A, temos x ∈ P, ou x = 0, ou −x ∈ P e essas tres
possibilidades sao mutuamente excludentes.
(b) Se x ∈ P e y ∈ P, entao x + y ∈ P e x · y ∈ P.
Mostre que A e um domınio ordenado com a seguinte relacao de ordem:
para a, b ∈ A, a < b ⇐⇒ b − a ∈ P.
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Aneis ordenados e aneis bem ordenados
8. Mostre que se A e um domınio ordenado, entao
P = {x ∈ A ; x > 0}
tem as propriedades (a) e (b) do exercıcio anterior.
Conclua que a relacao de ordem de um domınio ordenado esta perfei-
tamente determinada pelo conjunto dos elementos positivos.
9. Seja A um anel ordenado. Dizemos que um subconjunto T de A e
limitado superiormente se, e somente se, existe a ∈ A, tal que, para
todo t ∈ T , temos t ≤ a. Dizemos que um subconjunto T de A tem
maior elemento se, e somente se, existe t0 ∈ T , tal que, para todo t ∈ T ,
temos t ≤ t0.
Seja A um domınio ordenado. Mostre que A e bem ordenado se, e
somente se, todo subconjunto T de A limitado superiormente tem maior
elemento.
Sugestao: O conjunto S = {−t ; t ∈ T } e limitado inferiormente.
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InducaoPARTE 2 - SECAO 5
Inducao
Uma tecnica muito utilizada em demonstracoes e o Princıpio de
Inducao Finita.
Apresentaremos este conceito e mostraremos que e consequencia do
Axioma da Boa Ordenacao do domınio dos numeros inteiros Z.
Consideremos, para n ∈ N, a seguinte afirmacao P(n): 3n < 2n.
Observamos que:
0 = 3 · 0 < 1 = 20 =⇒ P(0) e verdadeira
3 = 3 · 1 > 2 = 21 =⇒ P(1) e falsa
6 = 3 · 2 > 4 = 22 =⇒ P(2) e falsa
9 = 3 · 3 > 8 = 23 =⇒ P(3) e falsa
12 = 3 · 4 < 16 = 24 =⇒ P(4) e verdadeira
15 = 3 · 5 < 32 = 25 =⇒ P(5) e verdadeira
Na verdade, para todo n ≥ 4 e valida a desigualdade 3n < 2n. Podemos
demonstrar essa desigualdade, usando o princıpio da inducao finita.
O metodo de demonstracao por inducao finita consiste de se especificar
uma afirmacao ou proposicao P(n), dependendo de numeros inteiros n ≥ n0,
tais que P(n) pode ser verdadeira ou falsa. O princıpio assegura que para a
validade de P(n), para todo n ≥ n0, basta mostrar que:
(i) P(n0) e verdadeira;
(ii) para cada n ≥ n0, se P(n) e verdadeira entao, P(n + 1) e verdadeira.
Proposicao 16 (Princıpio de Inducao Finita - 1a forma)
Suponhamos que para cada inteiro n ≥ n0 temos uma afirmacao P(n), tal
que:
(i) P(n0) e verdadeira;
(ii) para cada n ≥ n0, se P(n) e verdadeira, entao P(n + 1) e verdadeira.
Entao, para todo n ≥ n0, a afirmacao P(n) e verdadeira.
Demonstracao: Seja P(n) uma afirmacao, para n ≥ n0, tendo as propriedades
(i) e (ii) do enunciado. Consideremos
S = {n ∈ Z ; n ≥ n0 e P(n) e falsa }.
Vamos mostrar que S = ∅.
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Inducao
Suponhamos, por absurdo, que S 6= ∅. Como S e um subconjunto dos
inteiros limitado inferiormente, pelo axioma da boa ordenacao, existe s0 ∈ S,
o menor elemento de S. Entao, s0−1 6∈ S, s0 ≥ n0 e, como P(n0) e verdadeira,
temos que s0 > n0. Portanto, P(s0 − 1) e verdadeira com s0 − 1 ≥ n0 e, pela
propriedade (ii), concluımos que P(s0) e verdadeira, contradizendo o fato que
s0 ∈ S. �
Na verificacao da propriedade (ii), quando supomos a afirmacao P(n)
verdadeira, chamamos de hipotese de inducao.
Exemplo 29
Vamos mostrar a validade da desigualdade 3n < 2n, para todo n ≥ 4.
Seja P(n) : 3n < 2n, para n ≥ 4.
Ja vimos que P(4) e verdadeira.
Seja n ≥ 4 e suponhamos P(n) verdadeira. Vamos mostrar que P(n + 1)
tambem e verdadeira.
Temos
2n+1 = 2 · 2n(1)
> 2 · (3n) = 3n + 3n(2)
≥ 3n + 12OA> 3n + 3 = 3(n + 1).
Portanto, P(n + 1) e verdadeira. Logo, P(n) e verdadeira, para todo n ≥ 4.
Em (1) usamos a hipotese de
inducao: 2n > 3n e OM.
Em (2) usamos que n≥ 4 e,
por OM, 3n≥ 12.
Exemplo 30
A soma dos n primeiros numeros inteiros positivos e n(n+1)
2.
Seja P(n) a igualdade 1 + 2 + · · · + n =n(n+1)
2, para n ≥ 1.
Para n = 1 temos 1 = 1·22
. Logo, P(1) e verdadeira.
Seja n ≥ 1 e suponhamos P(n) verdadeira, isto e, 1 + 2 + · · · + n =n(n+1)
2.
Vamos mostrar que a igualdade vale para n + 1. Temos:
Em (1) usamos a hipotese de
inducao.(1 + · · · + n) + n + 1
(1)=
n(n+1)
2+ n + 1 =
n(n+1)+2(n+1)
2=
(n+1)(n+2)
2.
Portanto, P(n + 1) e verdadeira. Logo, P(n) e verdadeira para todo n ≥ 1.
Exemplo 31
Seja f(x) = 1x, para x ∈ R\{0}. Para todo n ≥ 1, temos f(n)(x) =
(−1)nn!
xn+1 .
De fato, para n = 1, a derivada de f(x) e f′
(x) = −1x2 =
(−1)1 ·1!
x1+1 e a igualdade
e verdadeira.
Seja n ≥ 1 e suponhamos que f(n)(x) =(−1)nn!
xn+1 . Entao,
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InducaoPARTE 2 - SECAO 5
f(n+1)(x)(1)= d
dx(f(n)(x))
(2)= d
dx
(
(−1)nn!
xn+1
)
(3)= (−1)nn!(−n − 1)x−n−2
=(−1)n+1(n+1)!
xn+2
Em (1) usamos a definicao
de derivada de ordem n+1,
em (2) usamos a hipotese de
inducao e em (3), as
formulas de derivacao.
Logo, a igualdade vale para n + 1.
Portanto, a igualdade vale para todo n ≥ 1.
Agora apresentamos a segunda formulacao do princıpio de inducao.
Proposicao 17 (Princıpio de inducao finita - 2a forma)
Suponhamos que para cada inteiro n ≥ n0 temos uma afirmacao P(n), tal
que:
(i) P(n0) e verdadeira;
(ii) Para cada n > n0, se P(k) e verdadeira para n0 ≤ k < n, entao P(n) e
verdadeira.
Entao, a afirmacao P(n) e verdadeira para todo inteiro n ≥ n0.
Demonstracao: Seja P(n) uma afirmacao, para n ≥ n0, tendo as propriedades
(i) e (ii) do enunciado.
Seja S = {n ∈ Z ; n ≥ n0 e P(n) e falsa}.
Vamos mostrar que S = ∅.Suponhamos, por absurdo, que S 6= ∅. Entao, S e um subconjunto nao-
vazio de inteiros limitado inferiormente e, pelo axioma da boa ordenacao, S
tem um menor elemento, digamos s0. Como s0 ≥ n0 e P(n0) e verdadeira,
entao s0 > n0. Portanto, s0 − 1 ≥ n0 e, pela escolha de s0, para todo inteiro
k com n0 < k ≤ s0 − 1, temos k 6∈ S, o que significa que P(k) e verdadeira.
Pela propriedade (ii), P(s0) e verdadeira, contradizendo o fato que s0 ∈ S.
�
Exemplo 32
Seja xn uma sequencia definida por:
x1 = 1, x2 = 3 e xn = xn−1 + xn−2, para todo n ≥ 3.
Vamos mostrar que xn <(
74
)n, para todo n ≥ 1.
De fato, x1 = 1 < 74
e x2 = 3 < 4916
=(
74
)2.
Seja n ≥ 3 e suponhamos xk <(
74
)k, para todo k tal que 1 ≤ k < n. Entao,
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Inducao
xn = xn−1 + xn−2
(1)
<(
74
)n−1+(
74
)n−2
=(
74
)n−2 (74
+ 1)
=(
74
)n−2 · 114
(2)
<(
74
)n−2 · 4916
=(
74
)n−2 ·(
74
)2
=(
74
)n
Em (1) usamos a hipotese de
inducao e em (2), a
desigualdade 114
< 4916
e OM.
Pela transitividade da relacao de ordem, temos xn <(
74
)n. Portanto, a
desigualdade e verdadeira para n.
Logo, a desigualdade e verdadeira para todo n ≥ 1.
Exercıcios
1. Para n ≥ 0 seja P(n) : n2 + 5 > 6n.
(a) Verifique que P(0) e verdadeira e P(1), P(2), P(3), P(4) e P(5) sao
falsas.
(b) Mostre, por inducao sobre n, que n2 + 5 > 6n, para todo n ≥ 6.
2. Mostre, por inducao sobre n:
(a) 1 + 3 + 5 + · · ·+ (2n + 1) = (n + 1)2;
(b) 12 + 22 + 32 + · · ·+ n2 =n(n+1)(2n+1)
6;
(c) 13 + 23 + 33 + · · ·+ n3 =(
n(n+1)
2
)2
;
(d) 14 + 24 + 34 + · · ·+ n4 =n(n+1)(2n+1)(3n2+3n−1)
30.
3. Mostre, por inducao sobre n:
(a) 2n ≥ 1 + n, para todo n ≥ 1;
(b) 2n3 − 3n2 + n + 31 ≥ 0, para todo n ≥ −2;
(c) n! ≥ 2n, para todo n ≥ 4;
(d) n! ≥ 3n, para todo n ≥ 7;
(e) n! ≥ 4n, para todo n ≥ 9;
(f) n + 3 < 5n2, para todo n ≥ 1;
(g) n2 < 2n, para todo n ≥ 5.
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UFF 74
InducaoPARTE 2 - SECAO 5
4. Seja A um anel comutativo com unidade 1A. Seja n ∈ N com n ≥ 1.
Definimos
an =
{a , se n = 1
a · an−1 , se n > 1
Para quaisquer a, b ∈ A\{0} e m, n ∈ N tais que m ≥ 1 e n ≥ 1,
mostre que:
(a) am · an = am+n.
(b) (am)n = am·n.
(c) an · bn = (a · b)n.
(d) Se a 6= 0, definimos a0 = 1A e se a e invertıvel e n < 0, definimos
an = (a−1)−n.
Mostre que se a, b sao invertıveis em A, entao as igualdades dos
itens anteriores valem em Z.
5. Seja x ∈ R. Mostre que xn − 1 = (x − 1)(xn−1 + xn−2 + · · · + x + 1),
para todo n ≥ 2.
6. Sejam a1, r ∈ R. Para cada n ≥ 2, definimos an = an−1 + r. A sequencia a1,...,an e
uma progressao aritmetica.
(a) Mostre, por inducao sobre n, que an = a1 + (n − 1)r.
(b) Se Sn = a1 + a2 + · · · + an mostre, por inducao sobre n, que
Sn =n(a1+an)
2.
7. Sejam a1, q ∈ R, com q 6= 0 e q 6= 1. Para cada n ≥ 2, definimos
an = an−1 · q.
A sequencia a1,...,an e
uma progressao geometrica.
(a) Mostre, por inducao sobre n, que an = a1 · qn−1.
(b) Se Sn = a1 + a2 + · · · + an mostre, por inducao sobre n, que
Sn = an·q−a1
q−1.
8. Para n, m ∈ N, com n ≥ m ≥ 1, temos(
n
m
)
= n!(n−m)!m!
, onde n ≥ 1,
n! = n(n − 1) · . . . · 1, 0! = 1 e(
n
0
)
= 1.
(a) Mostre a seguinte igualdade
(
n
m−1
)
+(
n
m
)
=(
n+1
m
)
, para todo n ≥ 1 e n ≥ m ≥ 1. Essa igualdade e conhecida
como relacao de Stifel.
(b) Mostre, por inducao sobre n, que(
n
m
)
e um numero natural, para
todo n ≥ 1, n ≥ m ≥ 0.
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Inducao
(c) Seja A um anel comutativo com unidade. Para quaisquer x, y ∈ A
e para todo n ≥ 1, mostre que
(x + y)n = xn +(
n
n−1
)
xn−1y1 +(
n
n−2
)
xn−2y2 + · · ·+(
n
1
)
x1yn−1 + yn
=
n∑
i=0
(
n
i
)
xn−iyi
Na expressao do somatorio
ao lado, convenciona-se
escrever yn = x0yn e
xn = y0xn.
9. Seja A um domınio ordenado e seja c ∈ A, tal que c ≥ −1.
Desigualdade de Bernoulli Mostre que, para todo numero natural positivo n, (1 + c)n ≥ 1 + nc.
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Divisao euclidianaPARTE 2 - SECAO 6
Divisao euclidiana
Vamos estudar propriedades especıficas do domınio bem ordenado dos
inteiros.
A divisao no domınio dos inteiros nem sempre e exata, e possıvel fazer
a divisao com “resto pequeno”.
Teorema 1 (Divisao euclidiana)
Dados inteiros a, b com b 6= 0 existem inteiros q e r, unicamente determina-
dos, tais que:
a = b · q + r, onde 0 ≤ r <| b |.
Demonstracao: Consideremos o conjunto
S = {x ∈ N ; x = a − b · n, para algum n ∈ Z}.
S e nao-vazio pois, pela propriedade arquimediana dos inteiros, existe
um inteiro n0 tal que n0 · (−b) ≥ −a, logo x = a − n0 · b ≥ 0 e x ∈ S. Alem
disso, S e limitado inferiormente pois, por construcao, S ⊂ N. Pelo princıpio
da boa ordenacao, S tem menor elemento r.
Portanto, r = a − b · q, para algum q ∈ Z e, como r ∈ S, temos r ≥ 0.
Vamos mostrar que r <| b |.
Suponhamos, por absurdo, que r ≥| b |.
Entao, r =| b | +m. E claro que 0 ≤ m < r, pois | b |> 0. Portanto,
a = b · q + r
= b · q+ | b | +m =
{b · q + b + m = b · (q + 1) + m, se b > 0
b · q − b + m = b · (q − 1) + m, se b < 0
Assim, 0 ≤ m = a− b(q± 1) ∈ S, com m < r, contradizendo o fato de
r ser o menor elemento de S.
Agora vamos mostrar a unicidade de q e r. Suponhamos que
a = b · q1 + r1 = b · q2 + r2, com 0 ≤ r1 <| b | e 0 ≤ r2 <| b |.
Entao, − | b |< −r2 ≤ r1 − r2 <| b | −r2 ≤| b |.
Portanto, − | b |< r1 − r2 <| b |, que e equivalente a | r1 − r2 |<| b |.
Como b(q1 −q2) = r2 − r1, entao | b | · | q1 −q2 |=| r1 − r2 |<| b |, com
| b |> 0. Logo, 0 ≤ | q1 − q2 |< 1. Portanto, | q1 − q2 |= 0, isto e, q1 = q2.
Daı, obtemos r1 = r2 �
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Divisao euclidiana
Na divisao euclidiana do inteiro a pelo inteiro b 6= 0, onde a = b ·q+ r
e 0 ≤ r <| b |, chamamos a de dividendo, b de divisor, q de quociente e r de
resto.
Exemplo 33
(1) Com a = 32 e b = 5, temos q = 6 e r = 2, pois 32 = 6 · 5 + 2.
(2) Com a = 27 e b = −4, temos q = −6 e r = 3, pois 27 = (−6) · (−4) + 3.
O nosso sistema de numeracao utiliza a base 10 e os algarismos 0, 1,
2,. . . , 9 para descrever os numeros inteiros. Por exemplo,
2.347.568 = 2×106+3×105 +4×104 +7×103 +5×102 +6×101 +8
Em geral, anan−1 . . . a1a0 = an10n+an−110n−1+ · · ·+a110+a0, onde
0 ≤ aj ≤ 9 e an 6= 0.
Podemos representar os inteiros em uma base b ≥ 2 e, de maneira
similar, usamos os algarismos 0, 1, . . . , b − 1.
Nos computadores e utilizado o sistema de numeracao de base 2, com
os algarismos 0, 1. Nesse sistema de numeracao temos que 101011 e a repre-
sentacao do numero 25 + 23 + 21 + 1 = 43.
Teorema 2
Dados inteiros a, b com a ≥ 0 e b > 1, existem naturais a0, a1, . . . , an, . . .,
determinados de modo unico, tendo as seguintes condicoes:
(i) existe um numero natural m tal que an = 0, para todo n ≥ m;
(ii) para todo n, temos que 0 ≤ an < b;
(iii) a = a0 + a1b + a2b2 + · · ·+ anbn + · · · .
Quando a > 0, escrevemos (a)b = amam−1 . . . a1a0, onde m e o maior
ındice tal que am 6= 0.
Demonstracao: Fixemos b > 1. Consideremos
S = {x ∈ N ; x tem as condicoes do enunciado }.
Vamos mostrar que S = N, que e equivalente a mostrar que S′, seu
complementar em N, e o conjunto vazio.
Suponhamos, por absurdo, que S′ 6= ∅. Como S′ ⊂ N, S′ e limitado
inferiormente. Pelo princıpio da boa ordenacao, S′ tem menor elemento c e
c > 0, pois 0 ∈ S.
Pela divisao euclidiana de c por b, temos c = b ·q+ r, onde 0 ≤ r < b.
Observamos que 0 < q < c e logo, q 6∈ S′, isto e, q ∈ S. Portanto,
q = a1 + a2b + · · · + ambm−1,
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com a1, . . . , am, unicamente determinados e 0 ≤ aj < b, para j = 1, . . . , m.
Tomando a0 = r, temos c = b · q + r = a0 + a1b + a2b2 + · · ·+ ambm,
com 0 ≤ aj < b e j = 0, 1, . . . , m.
Suponhamos que:
c = a′0 + q′b com 0 ≤ a′
0 < b e q′ = a′1 + a′
2b + · · · + a′nbn−1.
Pela unicidade do quociente e do resto na divisao euclidiana de c por b,
temos que a′0 = a0 e q′ = q. Como q ∈ S, temos a unicidade de a1, . . . , am.
Logo, n = m e a′j = aj, para j = 1, . . . , m. Portanto, c ∈ S, contradizendo
o fato de c ∈ S′ = N\S. Logo, S′ e vazio e S = N. �
Exemplo 34
Vamos escrever 26 na base 2, isto e, vamos determinar (26)2.
Procuramos a maior potencia de 2 que nao ultrapassa 26.
Temos que 16 = 24 < 26 < 32 = 25. Fazemos a divisao euclidiana de 26 por
24. Logo, 26 = 1 · 24 + 10.
Procuramos a maior potencia de 2 que nao ultrapassa 10.
Temos que 23 = 8 < 10 < 16 = 24. Fazemos a divisao euclidiana de 10 por
23. Logo, 10 = 1 · 23 + 2. Portanto,
26 = 1 · 24 + 1 · 23 + 0 · 22 + 1 · 21 + 0 =⇒ (26)2 = 11010
Exemplo 35
Qual o numero a, sabendo que (a)3 = 1021 ?
Temos que a = 1 · 33 + 0 · 32 + 2 · 31 + 1 = 27 + 6 + 1 = 34.
Exercıcios
1. Sejam a, b ∈ Z com a ≥ 0 e b > 0. Mostre, por inducao sobre a, que
existem inteiros q, r com 0 ≤ r < b, tais que a = q · b + r.
2. Determine q e r na divisao euclidiana:
(a) de a = 25 por b = 7.
(b) de a = 25 por b = −7.
(c) de a = −25 por b = 7.
(d) de a = −25 por b = −7.
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(e) de a = 32 por b = 6.
(f) de a = 32 por b = −6.
(g) de a = −32 por b = 6.
(h) de a = −32 por b = −6.
(i) de a = 9 por b = 11.
(j) de a = 9 por b = −11.
(k) de a = −9 por b = 11.
(l) de a = −9 por b = −11.
3. Se o quociente e o resto da divisao euclidiana de a por b sao, respecti-
vamente, q e r, determine o quociente e o resto da divisao euclidiana
de a por −b e de −a por b.
4. Quais os numeros inteiros que quando divididos por 4 dao resto igual
(a) a metade do quociente;
(b) ao quociente;
(c) ao dobro do quociente;
(d) ao triplo do quociente.
5. Mostre, usando a divisao euclidiana, que todo numero inteiro e da forma
2n ou 2n+1 com n ∈ Z. Os numeros da forma 2n sao chamados pares
e os da forma 2n + 1 sao chamados ımpares. Mostre que:
(a) a soma de dois numeros pares e par;
(b) a soma de dois numeros ımpares e par;
(c) a soma de um numero par com um ımpar e ımpar;
(d) o produto de dois numeros e par, se um deles e par;
(e) o produto de dois numeros ımpares e ımpar;
(f) o produto de dois inteiros consecutivos e par.
6. Seja a ∈ Z. Mostre que:
(a) se 2 divide a2 entao 2 divide a;
(b) se 3 divide a2 entao 3 divide a.
7. Mostre que se a, b, c sao tres inteiros consecutivos, entao apenas um
deles e divisıvel por 3.
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8. Mostre que se a, b, c, d sao quatro inteiros consecutivos, entao apenas
um deles e divisıvel por 4.
9. Escreva uma propriedade que generaliza os dois exercıcios anteriores e
demonstre esta propriedade.
10. Dado o natural n e a base b, determine (n)b:
(a) n = 123 e b = 8;
(b) n = 123 e b = 5;
(c) n = 123 e b = 3;
(d) n = 123 e b = 2.
11. Dada a base b e (n)b, determine o natural n:
(a) b = 2 e (n)2 = 11011;
(b) b = 3 e (n)3 = 21201;
(c) b = 5 e (n)5 = 1432;
(d) b = 4 e (n)4 = 1032.
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