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Primitivas Integral Definida
Integrais
(21-04-2009 e 12/19-05-2009)
Integrais Matematica II 2008/2009
Primitivas Integral Definida
Ja estudamos a determinacao da derivada de uma funcao.
Revertamos agora o processo de derivacao, isto e, suponhamos quenos e dada uma funcao F e que pretendemos determinar a funcaof cuja derivada e F . O processo que consiste em determinar afuncao f , dada F , designa-se por primitivacao.
Integrais Matematica II 2008/2009
Primitivas Integral Definida
Vejamos o seguinte exemplo.
Seja F (x) = 2x. Pretendemos determinar f(x) tal que f ′(x) = 2x.
Uma funcao f que satisfaz esta condicao e f(x) = x2, pois(x2)′ = 2x.
Mas a funcao f(x) = x2 + 2 tambem satisfaz esta condicao, pois(x2 + 2)′ = 2x.
Somente as funcoes f(x) = x2 + C, com C uma constante,satisfazem a condicao F (x) = 2x.
Assim, dizemos que a primitiva geral de F (x) = 2x ef(x) = x2 + C, onde C e uma constante arbitraria.
Integrais Matematica II 2008/2009
Primitivas Integral Definida
O processo de determinar uma primitiva de uma funcao e tambemdenominado integracao. A funcao resultante da integracao edesignada por integral indefinida ou simplesmente integral.
Denotamos a primitiva geral (ou a integral indefinida) de umafuncao f(x) por ∫
f(x) dx
Escreve-se ∫2x dx
para indicar a primitiva geral da funcao f(x) = 2x e le-se”a integral de 2x em relacao a x”.
2x — integrando∫— sinal de integral (indica o processo de integracao)
dx — indica que a integral e tomada em relacao a x.
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Primitivas Integral Definida
Potencias de x∫xn dx =
xn+1
n + 1+ C ( para n 6= −1)
De facto,
(xn+1
n + 1+ C)′ = (
xn+1
n + 1)′ + (C)′ =
1
n + 1(n + 1)x(n+1)−1 + 0 = xn
Exemplos∫x4 dx =
x4+1
4 + 1+ C =
x5
5+ C
∫x− 1
3 dx =x− 1
3+1
−13 + 1
+ C =x
23
23
+ C =3x
23
2+ C
∫ √x dx =
∫x
12 dx =
x12+1
12 + 1
+ C =x
32
32
+ C =2x
23
3+ C
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Primitivas Integral Definida
Constante a ∫a dx = ax + C
De facto, (ax + C)′ = (ax)′ + (C)′ = a + 0 = a
Exemplos∫1 dx = 1x + C = x + C∫2 dx = 2x + C∫−2
3dx = −2
3x + C
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Primitivas Integral Definida
Constante a vezes uma funcao f∫af(x) dx = a
∫f(x) dx
De facto, (a∫
f(x) dx)′ = a(∫
f(x) dx)′ = af(x)
Exemplos∫3x4 dx = 3
∫x4 dx = 3[
x4+1
4 + 1+ C] = 3.
x5
5+ 3C = 3.
x5
5+ C1
∫−1
2x2 dx = −1
2
∫x2 dx = −1
2.[
x2+1
2 + 1+ C] = −1
2.x3
3− C
2
= −1
2.x3
3+ C1 = −x3
6+ C1
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Primitivas Integral Definida
Soma de funcoes f e g∫(f(x) + g(x)) dx =
∫f(x) dx +
∫g(x) dx
De facto, (∫
f(x) dx +∫
g(x) dx)′ =(∫
f(x) dx)′ + (∫
g(x) dx)′ = f(x) + g(x)
Exemplos∫(x3+4) dx =
∫x3 dx+
∫4 dx = x3+1
3+1 +C1+4x+C2 = x4
4 +4x+C3
∫(2x
14 + 5x − 1) dx =
∫2x
14 dx +
∫5x dx +
∫−1 dx =
2∫
x14 dx+5
∫x dx−x+C1 = 2[x
14 +1
14+1
+C2]+5[x1+1
1+1 +C3]−x+C1 =
2.x54
54
+ 2C2 + 5.x2
2 + 5C3 − x + C1 = 2.4x54
5 + 5x2
2 − x + C4 =
8x54
5 + 5x2
2 − x + C4
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Primitivas Integral Definida
Potencias de uma funcao f(x)
∫f ′(x).[f(x)]n dx =
[f(x)]n+1
n + 1+ C ( para n 6= −1)
De facto, ([f(x)]n+1
n + 1+ C)′ = (
[f(x)]n+1
n + 1)′ + (C)′ =
1
n + 1(n + 1)f ′(x)[f(x)](n+1)−1 + 0 = f ′(x).[f(x)]n
Exemplos∫3x2(x3 − 1)2 dx =
(x3 − 1)2+1
2 + 1+ C =
(x3 − 1)3
3+ C∫
x3(x4 + 2)5 dx =1
4
∫4x3(x4 + 2)5 dx =
1
4[(x4 + 2)5+1
5 + 1+ C] =
1
4.(x4 + 2)6
6+
C
4=
(x4 + 2)6
24+ C1
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Primitivas Integral Definida
Exponencial de uma funcao f(x)∫f ′(x).ef(x) dx = ef(x) + C
De facto,(ef(x) + C)′ = (ef(x))′ + (C)′ = f ′(x).ef(x) + 0 = f ′(x).ef(x)
Exemplos∫2xex2
dx = ex2+ C∫
cos xesin x dx = esin x + C
∫x2ex3
dx =1
3
∫3x2ex3
dx =1
3[ex3
+ C] =ex3
3+
C
3=
ex3
3+ c1
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Primitivas Integral Definida
Exponencial de base a de uma funcao f(x)∫
f ′(x).af(x) dx =af(x)
ln a+ C
De facto,(af(x)
ln a+C)′ = (af(x)
ln a)′+(C)′ = 1
ln af ′(x).af(x) ln a+0 = f ′(x).af(x)
Exemplos∫3x22x3
dx =2x3
ln 2+ C
∫sinx3cos x dx = −
∫− sinx3cos x dx = −3cos x
ln 3− C
= −3cos x
ln 3+ C1
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Primitivas Integral Definida
Quociente da derivada da funcao pela funcao∫f ′(x)
f(x)dx = ln |f(x)| + C
De facto, (ln |f(x)| + C)′ = (ln |f(x)|)′ + (C)′ = f ′(x)f(x) + 0 = f ′(x)
f(x)
Exemplos∫1
xdx = ln |x| + C
∫cos(x)
sin(x)dx = ln | sin(x)| + C
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Primitivas Integral Definida
Funcao seno ∫f ′(x) sin[f(x)] dx = − cos[f(x)] + C
De facto, (− cos[f(x)] + C)′ = (− cos[f(x)])′ + (C)′ =−[−f ′(x) sin[f(x)]] + 0 = f ′(x) sin[f(x)]
Exemplos∫2e2x sin(e2x) dx = − cos(e2x) + C
∫x sin(x2) dx =
1
2
∫2x sin(x2) dx =
1
2(− cos(x2) + C)
= −12 cos(x2) + C1
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Primitivas Integral Definida
Funcao cosseno∫f ′(x) cos[f(x)] dx = sin[f(x)] + C
De facto, (sin[f(x)] + C)′ = (sin[f(x)])′ + (C)′ =f ′(x) cos[f(x)] + 0 = f ′(x) cos[f(x)]
Exemplos∫3x2 cos(x3) dx = sin(x3) + C
∫cos(x + 1) dx = sin(x + 1) + C
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Primitivas Integral Definida
Primitivacao por partes∫f(x).g(x) dx = F (x).g(x) −
∫F (x).g′(x) dx
sendo F uma primitiva de f .
De facto,[F (x).g(x) −
∫F (x).g′(x) dx]′=[F (x).g(x)]′ − [
∫F (x).g′(x) dx]′
=F ′(x)g(x) +F (x)g′(x) −F (x).g′(x)=F ′(x)g(x)=f(x)g(x)
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Primitivas Integral Definida
Exemplo
Calculemos
∫x lnx dx
Fazendo f(x) = x e g(x) = lnx e atendendo a que F (x) = x2
2temos ∫
x lnx dx =x2
2lnx −
∫x2
2.(lnx)′ dx
=x2
2lnx −
∫x2
2.1
xdx
=x2
2lnx −
∫x
2dx
=x2
2lnx − 1
2
∫x dx
=x2
2lnx − 1
2(x2
2+ c)
=x2
2lnx − x2
4+ c1
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Primitivas Integral Definida
Aplicacao (Exercıcio)
Suponha que a receita marginal para um produto e dada por
RM(x) = 300 − 0, 2x
Determine a funcao de receita total R(x).
Uma vez que a receita marginal para um produto e a derivada dafuncao receita entaoR(x) =
∫(300 − 0, 2x) dx =
∫300 dx +
∫−0, 2x dx =
300x + c1 − 0, 2∫
x dx = 300x + c1 − 0, 2(x2
2 + c2) =300x − 0, 1x2 + c3.Sabemos que R(0) = 0, logo c3 = 0, e portanto,
R(x) = 300x − 0, 1x2
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Primitivas Integral Definida
Uma das motivacoes para o estudo dos integrais tem a ver com oproblema do calculo da area de uma regiao plana.
Suponhamos que pretendemos calcular a area da regiao limitadapelo grafico de f(x) = x2, o eixo dos xx e as rectas verticaisx = 0 e x = 2.
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Primitivas Integral Definida
A area desta regiao R, sera um numero. Para definir este numero,vamos considerar rectangulos (cuja area sabemos determinar)inscritos na regiao e rectangulos circunscritos na mesma regiao.Vamos comecar por dividir o intervalo [0, 2] em dois sub-intervalos[0, 1] e [1, 2].
Como f e crescente em [0, 2], temos que, em cada sub-intervalo, omaximo M e atingido no extremo superior do intervalo, e omınimo m e atingido no extremo inferior do sub-intervalo.
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Primitivas Integral Definida
A soma das areas dos rectangulos contidos na regiao R e
1 × 0 + 1 × 1 = 1
A soma das areas dos rectangulos que contem R e
1 × 1 + 1 × 4 = 5
Nestas condicoes, observamos que a area da regiao R e um valorcompreendido entre 1 e 5.
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Primitivas Integral Definida
Se em vez de dividirmos o intervalo [0, 2] em dois sub-intervalos[0, 1] e [1, 2], dividirmos em mais, por exemplo quatrosub-intervalos [0, 1
2 ], [12 , 1], [1, 32 ] e [32 , 2] obtemos o seguinte:
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Primitivas Integral Definida
A soma das areas dos rectangulos contidos na regiao R e
1
2× 0 +
1
2× 1
4+
1
2× 1 +
1
2× 9
4=
14
8
A soma das areas dos rectangulos que contem R e
1
2× 1
4+
1
2× 1 +
1
2× 9
4+
1
2× 4 =
30
8
Nestas condicoes temos que a area da regiao R e um valorcompreendido entre 14
8 e 308 .
Observamos que, se aumentarmos o numero de sub-intervalos emque dividimos o intervalo [0, 2], este processo leva-nos para umvalor mais aproximado do valor correcto da area da regiao R.
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Primitivas Integral Definida
Suponhamos agora um caso mais geral: pretendemos determinar aarea da regiao limitada pelo grafico de f(x), o eixo dos xx e asrectas verticais x = a e x = b.
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Primitivas Integral Definida
Podemos dividir o intervalo [a, b] em n sub-intervalos (naonecessariamente iguais), com as extremidades desses intervalos emx0 = a, x1, x2, ..., xn = b.
Agora escolhemos um ponto (qualquer) em cada sub-intervalo edenotamos os pontos por x∗
1, x∗2, ..., x
∗i , ..., x
∗n.
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Primitivas Integral Definida
Entao o i-esimo rectangulo (para qualquer i) tem altura f(x∗i ) e
largura xi − xi−1, de forma que a sua area e
f(x∗i )(xi − xi−1)
Assim, a soma das areas dos n rectangulos e
S = f(x∗1)(x1 − x0) + f(x∗
2)(x2 − x1) + ... + f(x∗n)(xn − xn−1)
=∑n
i=1 f(x∗i )(xi − xi−1)
=∑n
i=1 f(x∗i )∆xi, onde ∆xi = (xi − xi−1)
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Primitivas Integral Definida
Como os pontos nos sub-intervalos podem ser escolhidos emqualquer ponto do sub-intervalo, nao sabemos se os rectangulosirao superestimar ou subestimar a area sob a curva f(x). Contudo,se aumentarmos o numero de sub-intervalos (aumentando o valorde n) e garantirmos que cada sub-intervalo se torne menor, iremosmelhorar a aproximacao do valor da area.
Assim, para qualquer subdivisao de [a, b] e qualquer x∗i , a area e
dada por
A = limn→∞
max∆xi→0
n∑i=1
f(x∗i )∆xi
desde que esse limite exista.
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Primitivas Integral Definida
O estudo precedente ocorreu no contexto do calculo de uma areasob uma curva. Nao obstante, se f for uma funcao qualquer, naonecessariamente positiva, definida em [a, b], entao para cadasubdivisao de [a, b] e cada escolha de x∗
i , definimos a soma
S =
n∑i=1
f(x∗i )∆xi
como a soma de Riemann de f para a subdivisao de [a, b].
O limite da soma de Riemann (quando ∆xi → 0) designa-se porIntegral definida de f(x) sobre o intervalo [a, b] e denota-se por
∫ b
a
f(x) dx
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Primitivas Integral Definida
Integral definida
Se f for uma funcao no intervalo [a, b], entao a integral definida def de a ate b e
∫ b
a
f(x) dx = limn→∞
max∆xi→0
n∑i=1
f(x∗i )∆xi
Se f for contınua, x∗i for um ponto no i-esimo intervalo e ∆xi → 0
quando n → ∞, entao o limite existe e dizemos que f e integravelno intervalo [a, b].
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Primitivas Integral Definida
Qual a relacao entre integral indefinida e integral definida?
Vejamos o seguinte exemplo: Consideremos a funcao receitamarginal de um produto
RM(x) = R′(x) = 300 − 0, 2x
Ja vimos, num exercıcio anterior, que a funcao receita e
R(x) =
∫(300 − 0, 2x) dx = 300x − 0, 1x2
que e uma integral indefinida da funcao receita marginal.
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Primitivas Integral Definida
A receita da venda de 1.000 unidades do produto eR(1.000) = 200.000 euros.
A receita da venda de 500 unidades do produto eR(500) = 125.000 euros.
Assim, a receita adicional recebida pela venda de 500 unidadesadicionais e
200.000 − 125.000 = 75.000
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Primitivas Integral Definida
Se utilizarmos a definicao de integral definida para encontrar aarea sob o grafico da funcao receita marginal de x = 500 atex = 1.000, encontraremos que a area e 75.000. De facto, a area ea soma das areas a amarelo e a azul da figura seguinte.
Area do rectangulo amarelo = 500 × 100 = 50.000Area do triangulo azul = 500×100
2 = 25.000Assim, a area total e 75.000.
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Primitivas Integral Definida
Podemos, entao, determinar a receita adicional quando as vendasaumentam de 500 para 1.000, calculando a integral definida
∫ 1.000
500(300 − 0, 2x) dx
Em geral, a integral definida
∫ b
a
f(x) dx
pode ser utilizada para determinar a variacao na funcao F (x)quando x muda de a para b, onde f(x) e a derivada de F (x). Esteresultado e o Teorema Fundamental do Calculo.
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Primitivas Integral Definida
Teorema Fundamental do Calculo
Seja f uma funcao contınua no intervalo fechado [a, b]. Entao aintegral definida de f existe nesse intervalo, e
∫ b
a
f(x) dx = F (b) − F (a)
onde F e qualquer primitiva de f , isto e, qualquer funcao tal queF ′(x) = f(x), para todo os x em [a, b].
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Primitivas Integral Definida
Exemplos∫ 2
0(x + 1) dx = [
x2
2+ x]20 = (
22
2+ 2) − (
02
2+ 0) = 4 − 0 = 4
∫ π2
0cos x dx = [sinx]
π20 = sin
π
2− sin 0 = 1 − 0 = 1
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Primitivas Integral Definida
Propriedades∫ b
a
[f(x) ± g(x)] dx =
∫ b
a
f(x) dx ±∫ b
a
g(x) dx
∫ b
a
kf(x) dx = k
∫ b
a
f(x) dx onde k e uma constante∫ a
a
f(x) dx = 0∫ b
a
f(x) dx = −∫ a
b
f(x) dx
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Primitivas Integral Definida
Area sob uma curva
Se f for uma funcao contınua em [a, b] e f(x) ≥ 0 em [a, b] entaoa area entre f(x) e o eixo dos xx de x = a ate x = b e dada por
∫ b
a
f(x) dx
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Primitivas Integral Definida
Suponhamos que os graficos de y = f(x) e y = g(x) estao ambosacima do eixo dos xx e que o grafico de y = f(x) esta acima dografico de y = g(x) em todo o intervalo [a, b], isto e, f(x) ≥ g(x)para todo o x em [a, b].
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Primitivas Integral Definida
A integral
∫ b
a
f(x) dx fornece a area entre o grafico de y = f(x) e
o eixo dos xx
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Primitivas Integral Definida
A integral
∫ b
a
g(x) dx fornece a area entre o grafico de y = g(x) e
o eixo dos xx
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Primitivas Integral Definida
A area da regiao entre o grafico de y = f(x) e o grafico dey = g(x)
e dada pela diferenca entre as duas areas anteriores, isto e,
Area entre f(x) e g(x) e
∫ b
a
f(x) dx −∫ b
a
g(x) dx
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Primitivas Integral Definida
Este resultado e valido mesmo que os graficos das funcoes f(x) eg(x) nao estejam acima do eixo dos xx.
Temos o seguinte resultado.
Area entre duas curvas
Se f e g forem funcoes contınuas em [a, b] e se f(x) ≥ g(x) em[a, b], entao a area da regiao limitada por y = f(x), y = g(x),x = a e x = b e
A =
∫ b
a
[f(x) − g(x)] dx
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Primitivas Integral Definida
Exemplo
Determinemos a area da regiao limitada por x = 0, x = 1,y = x2 + 1 e y = −x + 1.
Comecemos por esbocar os graficos das funcoes
Como y = x2 + 1 esta acima de y = −x + 1 no intervalo [0, 1],
entao a area e A =
∫ 1
0[(x2 + 1) − (−x + 1)] dx =
∫ 10 (x2 + x) dx = [x3
3 + x2
2 ]10 = (13
3 + 12
2 ) − (03
3 + 02
2 ) = 13 + 1
2 =26 + 3
6 = 56
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Primitivas Integral Definida
Outro exemplo
Determinemos a area da regiao limitada por x = −1, x = 0,y = x2 + 1 e y = −x + 1.Comecemos por esbocar os graficos das funcoes
Como y = −x + 1 esta acima de y = x2 + 1 no intervalo [−1, 0],
entao a area e A =
∫ 0
−1[(−x + 1) − (x2 + 1)] dx =
∫ 0−1(−x2 − x) dx =
∫ 0−1 −(x2 + x) dx = −
∫ 0−1(x
2 + x) dx =
−[x3
3 + x2
2 ]0−1 = −[(03
3 + 02
2 ) − ( (−1)3
3 + (−1)2
2 )] =−[0 − (−1
3 + 12 )] = −1
3 + 12
−26 + 3
6 = 16
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Primitivas Integral Definida
Ja estudamos algumas tecnicas para integracao e usamos tabelaspara calcular algumas integrais. Contudo, algumas funcoes naopodem ser integradas usando formulas de primitivacao.
Vimos que, para qualquer funcao f(x) ≥ 0 no intervalo [a, b], aintegral definida pode ser entendida como uma area e que,geralmente, podemos aproximar a area e, portanto a integral. Umdesses metodos de aproximacao utiliza os rectangulos, como vimosanteriormente.
Agora, vamos considerar um metodo de integracao numerica paraaproximar a integral definida designado por Regra dos Trapezios.
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Primitivas Integral Definida
Suponhamos que f(x) ≥ 0 em [a, b] e subdividamos o intervalo
[a, b] em n partes iguais, cada uma de comprimentob − a
n= h.
Podemos aproximar a area em cada subdivisao utilizando umtrapezio. A area do trapezio
e
A1 = [B + b
2].h
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Primitivas Integral Definida
Podemos utilizar a formula para a area de um trapezio paraaproximar a area da primeira subdivisao e, continuar o processopara todas as outras subdivisoes.
A1 = [B + b
2]h = [
f(x0) + f(x1)
2]h
Assim,∫ b
a
f(x) dx ≃ A1 + A2 + ... + An−1 + An
= [f(x0) + f(x1)
2]h + [
f(x1) + f(x2)
2]h + ... + [
f(xn−1) + f(xn)
2]h
= h2 [f(x0) + f(x1) + f(x1) + f(x2) + f(x2) + ... + f(xn−1) +
f(xn−1) + f(xn)]
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Primitivas Integral Definida
Regra dos Trapezios
Se f for contınua no intervalo [a, b], entao
∫ b
a
f(x) dx ≃ h
2[f(x0) + 2f(x1) + 2f(x2) + ... + 2f(xn−1) + f(xn)]
onde h =b − a
ne n e o numero de subdivisoes do intervalo [a, b].
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Primitivas Integral Definida
Exemplo
Usemos a Regra dos Trapezios para aproximar o valor de∫ 31
1x
dx
com n = 4. Comecemos por dividir o intervalo [1, 3] em quatropartes iguais de comprimento h = 3−1
4 = 12 , como a seguir:
Pela Regra dos Trapezios, temos∫ 3
1
1
xdx ≃ h
2 [f(x0) + 2f(x1) + 2f(x2) + 2f(x3) + f(x4)]
=12
2[f(1) + 2f(1, 5) + 2f(2) + 2f(2, 5) + f(3)]
=1
4[1 + 2(
1
1, 5) + 2(
1
2) + 2(
1
2, 5) +
1
3]
≃ 0, 25(1 + 1, 333 + 1 + 0, 8 + 0, 3333)≃ 1, 117
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Primitivas Integral Definida
Observemos que:
O valor de
∫ 3
1
1
xdx = [lnx]31 = ln 3 − ln 1 = ln 3 ≃ 1, 099
enquanto que, utilizando a Regra dos trapezios com n = 4,
obtivemos
∫ 3
1
1
xdx ≃ 1, 117.
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Primitivas Integral Definida
Uma vez que, o valor exacto de uma integral raramente se obtemquando se utiliza uma aproximacao, torna-se necessario ter algumaforma de julgar a precisao de resposta. Enunciaremos a seguir umaformula (sem a demonstrarmos) que pode ser usada para limitar oerro que resulta da utilizacao da Regra dos Trapezios.
Erro da Regra dos Trapezios
O erro E na utilizacao da Regra dos Trapezios para aproximar∫ b
af(x) dx satisfaz
|E| ≤ (b − a)3
12n2[maxa≤x≤b|f ′′(x)|]
onde n e o numero de subdivisoes do intervalo [a, b] e f ′′(x) e afuncao derivada da funcao f ′(x).
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