View
417
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
7/30/2019 PDF Vektor Evi
1/82
1
MODUL MATEMATIKA
VEKTOR
Kementerian Pendidikan NasionalUniversitas Negeri Manado
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan AlamJurusan Pendidikan Matematika
2007
7/30/2019 PDF Vektor Evi
2/82
2
Modul pembelajaran ini dirancang untuk membimbing peserta didik SMA dalam memaham
kompetensi konsep eksponen melalui penerapan belajar tuntas.
Pada permulaan tahun 1975, penduduk dunia diperkirakan sebanyak 4 milyar, menjelang tahu
2000 penduduk dunia akan mencapai 6,6 milyar. Bagaimana orang dapat meramalkannya? Ternya
pertumbuhan penduduk dapat dinyatakan sebagai fungsi dari waktu, yang dapat dimodelkan seca
metematika mengikuti aturan vektor
Vektor telah dikenal sejak SMP dan ketika dikelas 1 SMA materi awal yang dipelajari adalah mate
aljabar linear (vektor). Dalam pembahasan modul ini, akan dikaji lebih dalam tentang . Ekspresi Vekto
Operasi Aijabar Vektor, Rumus Jarak, Perbandingan, Perkalian Skalar, Proyeksi, dan Perkalian Silan
Vektor, Pembagian dalam Bentuk Koordinat.
Tondano, 12 Oktober 200
Penyusun,
7/30/2019 PDF Vektor Evi
3/82
3
Daftar Isi
Halaman
Halaman Francis .................1
Kata Pengantar................ 2
Daftar Isi................ 3
Peta kedudukan Modul..................................................................... 4
Glosarium......................................................................................... 6
Bab I Pendahuluan
A. Deskripsi................................................................................ 7
B. Prasyarat............................................................................... 7
C. Petunjuk Penggunaan Modul.................................................8
D. Tujuan Akhir.......................................................................... 9 - 11
E. Kompetensi............................................................................ 11 - 13
F. Cek Kemampuan................................................................... 13
Bab II Pembelajaran
A. Rencana Belajar Peserta Didik..............................................14 - 15
B. Kegiatan Belajar
1. Kegiatan Belajar 1............................................................. 16 - 31
2. Kegiatan Belajar 2............................................................ 32 - 41
3. Kegiatan Belajar 3............................................................ 42 - 52
4. Kegiatan Belajar 4 ........................................................... 53 - 72
Bab III Evaluasi
A. Evaluasi Kompetensi............................................................. 73 - 74
B. Kunci Evaluasi/Sistem Penilaian............................................ 75 - 80
Bab IV Penutup............................................................................ 81
Daftar Pustaka................................................................................ 82
7/30/2019 PDF Vektor Evi
4/82
4
Pembagian dalam Bentuk Koordinat
Rumus Jarak, Perbandingan, Perkalian
Skalar, Proyeksi, dan Perkalian Silang
Vektor
Ekspresi Vektor
Operasi Aijabar Vektor
7/30/2019 PDF Vektor Evi
5/82
5
Rumus Jarak, Perbandingan, Perkalian Skalar,
Proyeksi, dan Perkalian Silang Vektor
Pembagian dalam BentukKoordinat
Ekspresi Vektor
Aplikasi
Memecahkan masalah dengan
Menggunakan Konsep Vektor
Matriks
Operasi Aijabar Vektor
7/30/2019 PDF Vektor Evi
6/82
6
Vektor adalah besaran yang mempunyai besar dan arah.
Notasi VektorPQ dapat dituliskan a atau a
Kesamaan Dua Vektor jika AB # CD dibaca : ruas garis AB sama (panjang) dan sejajar ruas gar
CD maka AB =CD .
Jika titik Padalah sebuah titik pada bidang datar, vektorOP= p disebut vektor posisi dari titik P.
Vektor satuan adalah vektor yang panjangnya satu satuan.
Hasil kali bilangan real kdengan vektor a adalah suatu vektor yang panjangnya k kali panjan
vektor a dan arahnya adalah
a. sama dengan arah vektor a jika k> 0
b. berlawanan dengan arah vektor a jika k< 0
c. sama dengan nol jika k= 0
Jarak antara titikA(x1 + y1 + z1) dan B(x2 + y2 + z2) pada R3 sama dengan panjang vektorAB yait
AB
7/30/2019 PDF Vektor Evi
7/82
7
Bab I
PENDAHULUAN
A. DESKRIPSI
Modul vektor terdiri atas 4 bagian proses pembelajaran sesuai dengan subkompetensinya yaitu :
1. Ekspresi vektor, sebagai kegiatan belajar 1 akan membahas tentang : pengertian vektokesamaan dua vektor, vektor nol, vekktor posisi, vektor satuan, vektor dalam ruang , vektor bas
panjang suatu vektor.
2. Operasi aljabar vektor, sebagai kegiatan belajar 2 akan membahas tentang penjumlahan vekto
pengurangan vektor, hasil kali bilangan dengan vektor.
3. Rumus jarak, perbandingan, perkalian skalar, proyeksi, dan perkalian silang vektor, sebag
kegiatan belajar 3 akan membahas tentang rumus jarak, rumus pembagian.
4. Pembagian dalam bentuk koordinat, sebagai kegiatan belajar 4 akan membahas tentang has
kali skalar dua vektor, bentuk komponen perkalian skalar, besar sudut antara dua vektor, sifat
sfaat perkalian skalar, proyeksi ortogonal suatu vektor pada vektor lain, perkalian silang du
vektor.
B. PRASYARAT
Kemampuan dasar yang harus dimiliki untuk mempelajari modul ini adalah :
Memahami bentuk dan ciri matriks
Memahami invers matrik
Terampil dalam operasi hitung bilangan real
7/30/2019 PDF Vektor Evi
8/82
8
C. PETUNJUK PENGGUNAAN MODUL
a. Penjelasan Bagi Peserta Didik
1. Bacalah modul ini dengan seksama mulai dari kata pengantar sampai dengan ce
kemampuan, kemudian pahami benar seluruh informasi yang termuat di dalamnya.
2. Setelah Anda mengisi cek kemampuan, pastikan apakah Anda termasuk kategori orang yan
masih harus mempelajari modul ini atau orang yang tidak lagi mempelajarinya karena suda
menguasainya.
3. Laksanakan semua tugas-tugas yang terdapat di dalam modul ini agar kompetensi And
berkembang dengan baik.
4. Setiap mempelajari satu sub kompetensi, Anda harus mulai dari menguasai pengertia
pengertian dalam uraian materi, melaksanakan tugas-tugas dan mengerjakan lembar latihan
5. Dalam mengerjakan lembar latihan, Anda tidak diperkenankan melihat kunci jawaban terleb
dahulu, sebelum Anda menyelesaikan lembar latihan.
6. Cocokkan jawaban Anda dengan kunci jawaban, hitung nilai yang Anda peroleh. Kemudia
kerjakan saran-saran sesuai dengan hasil latihan Anda.
b. Peranan Guru
1. membantu siswa dalam merencanakan proses belajar.
2. menegaskan kembali tentang tujuan akhir yang harus dicapai setelah mempelajari modul ini.
3. membantu peserta didik dalam menentukan dan mengakses sumber tambahan lain yan
diperlukan untuk belajar.
4. melaksanakan penilaian serta mencatat pencapaian kemajuan peserta didik
5. menjelaskan kepada peserta didik mengenai bagian yang perlu untuk dibenahi da
merundingkan rencana pembelajaran selanjutnya.
7/30/2019 PDF Vektor Evi
9/82
9
D. TUJUAN AKHIR
Standar Kompetensi : - Menggunakan konsep vektor dalam pemecahan masalah.
Kompetensi Dasar :
Kognitif : - Dapat memahami dan menentukan ekspresi vektor dalam pemecaha
masalah
- Dapat memahami dan menentukan operasi aljabar vektor dala
pemecahan masalah.
- Dapat memahami dan menentukan rumus jarak, perbandingan, perka
an skalar, proyeksi, dan perkalian silang vektor dalam pemecaha
masalah.
- Dapat memahami dan menentukan pembagian dalam bentuk koordin
dalam pemecahan masalah.
Afektif : Siswa dengan senang menunjukkan kesiapan belajar matematika seca
bertanggung-jawab sehingga menunjukkan sikap yang positif dala
mempelajari materi tentang vektor
Psikomotor : Siswa selalu menunjukkan kemahirannya setiap kali mengerjakan tugas
tugas yang membutuhkan keterampilan dalam mempelajari materi
tentang vektor.
Indikator Hasil Belajar:
Kognitif : - Menjelaskan dan menentukan ekspresi vektor
- Menentukan penyelesaian ekspresi vektor
- Menjelaskan dan menentukan operasi aljabar vektor
- Menentukan penyelesaian operasi aljabar vektor
- Menjelaskan dan menentukan rumus jarak, perbandingan, perkalian
skalar, proyeksi, dan perkalian silang vektor
- Menentukan penyelesaian rumus jarak, perbandingan, perkalian skalar,
proyeksi, dan perkalian silang vektor.
- Menjelaskan dan menentukan pembagian dalam bentuk koordinat
- Menentukan penyelesaian pembagian dalam bentuk koordinat.
7/30/2019 PDF Vektor Evi
10/82
10
Afektif : - Siswa menunjukan sikap yang positif dalam kegiatan pembelajaran.
- Siswa menenjukan kesiapan belajar.
- Siswa selalu smemperhatikan pejelasan guru.
- Siswa dengan serius mengikuti semua kegiatan pembelajaran.
- Siswa selalu menanyakan apa yang belum di mengerti.
- Siswa dengan kritis menanyakan pertanyaan pada guru.
- Siswa merasa senang mengerjakan tugas.
- Siswa dengan tekun mengukuti proses belajar mengajar.
- Siswa dengan teliti mencermati penjelasan guru dalam mengerjakan
soal.
- Siswa selalu berusaha mencari solusi sebelum memperoleh
pemecahan.
- Siswa berusaha mau bertanya kepada teman yang tidak di mengerti.
- Siswa memberi diri mau bekerja sama dengan teman.
- Siswa dapat mencari soal yang sulit dan mampu memecahkanya.
- Siswa berinisiatif untuk membuat soal sendiri.
- Siswa selalu berusaha mencari buku sumber sesuai materi.
- Siswa selalu aktif mengikuti kegiatan mengenai
Psikomotor : - Menuliskan simbol matematika seperti akar, ruang dimensi dua dan tiga
- Menunjukan posisi badan yang baik dalam mengikuti kegiatan pembelajaran
Matematika
- Melakukan pekerjaan dalam menyelesaikan soal secara teliti
- Terbiasa menampilkan keterampilan gerakan fisik yang baik setiap belajar
matematika
7/30/2019 PDF Vektor Evi
11/82
11
E. KOMPETENSI : Menerapkan Ekspresi vektor
Sub
kompeten
si
Kriteria
kinerja
Lingkup
belajar
Materi pokok Pembelajaran
Kognitif Afektif Psikomotor
Mendeskri
psikan
ekspresi
vektor
- Pengertian
vektor,
Kesamaan
dua vektor,
Vektor nol,
Vektor
posisi,
Vektor
satuan,
Vektor
dalam
ruang ,
Vektor
basis,
Panjang
suatu vektor
1.Mengetahui
dan
memahami
pengertian
ekspresi
vektor
2.Menentukan
penyelesaian
ekspresi
vektor
1. Memperlihatkan
kesiapan dalam
mengikuti
pembelajaran
2. memperhatikan
dengan baik
setiap materi yang
diberikan
3. bertanya jika
belum dimengerti
1. Dapat
menuliskan
simbol-simbol
(Notasi)
khususnya dalam
materi vektor
tepat
2. Dapat
menggambar
ruang berdimensi
dua dan tiga.
Mendeskri
psikan
operasi
aljabar
vektor
penjumlahan
vektor,
pengurangan
vektor, hasil
kali bilangan
dengan
vektor
1. Mengetahui
dan
memahami
operasi vektor
2. Menentukan
penyelesaian
operasi
aljabar vektor
1 Mengikuti
pembelajaran
dengan serius
2. Dengan antusias
bertanya apabila
ada materi yang
belum dimengerti
3. mengerjakan
latihan soal yang
diberikan guru
1. Dapat
menggambar
cara segitiga dan
jajaran genjang
Mendeskri - Rumus 1. Menjelaskan 1.Selalu Berpikir 1. Dapat
7/30/2019 PDF Vektor Evi
12/82
12
psikan
rumus
jarak,
perbandin
gan,
perkalian
skalar,
proyeksi,
dan
perkalian
silang
vektor
jarak,
Rumus
pembagian.
rumus jarak,
perbandingan
, perkalian
skalar,
proyeksi, dan
perkalian
silang vektor
2. Menentukan
penyelesaian
rumus jarak,
perbandingan
, perkalian
skalar,
proyeksi, danperkalian
silang vektor
Kritis Ketika
pembelajaran
berlangsung
apabila di dalam
Materi Yang
disampaikan ada
yang keliru
2. Mau bertanya
kepada teman jika
ada yang belum
dimengerti
menggambar
pembagian ruas
garisAB dengan
perbandingan m :
n
2. Dapat
menggambar
pembagian ruas
garisAB dalam
bentuk vektor.
Mendeskri
psikan
pembagia
n dalam
bentuk
vektor
- Hasil kali
skalar dua
vektor,
bentuk
komponen
perkalian
skalar,
besar sudut
antara dua
vektor, sifat
sfaat
perkalian
skalar,
proyeksi
ortogonal
suatu vektor
pada vektor
lain,
1. Menentukan
Pembagian
dalam Bentuk
Koordinat
1. Selalu berpikir
kritis ketika
pembelajaran
berlangsung
apabila di dalam
materi yang
disampaikan ada
yang keliru
2. Mau bertanya
kepada guru jika
tidak dimengerti.
1
7/30/2019 PDF Vektor Evi
13/82
13
perkalian
silang dua
vektor.
F. CEK KEMAMPUAN
No Pertanyaan Ya Tidak
1 Apakah Anda telah memahami pengertian vektor ?
3 Apakah anda telah memahami definisi dan vektor ?
4 Apakah anda telah mengetahui langkah-langkah
penyelesaian vektor ?
5 Apakah anda telah memahami definisi vektor ?
6 Apakah anda telah mengetahui langkah-langkah
penyelesaian definisi vektor ?
BAB II
Jika Anda menjawab TIDAK pada salah satu pertanyaan di atas, maka
pelajarilah materi tersebut dalam modul ini. Apabila Anda menjawab
YA pada semua pertanyaan, maka lanjutkanlah dengan mengerjakan
tugas, tes formatif dan evaluasi yang ada pada modul ini.
7/30/2019 PDF Vektor Evi
14/82
14
BAB II
PEMBELAJARAN
A. RANCANGAN BELAJAR SISWA
Sebagaimana telah diinformasikan dalam pendahuluan, bahwa modul ini hanya sebagia
dari sumber belajar yang dapat Anda pelajari untuk menguasai kompetensi menerapkan konse
aljabar. Untuk mengembangkan kompetensi anda dalam Substansi Non Instruksional,Anda per
latihan. Aktivitas-aktivitas yang dirancang dalam modul ini selain mengembangkan kompeten
matematika, juga mengembangkan kompetensi Substansi Non Instruksional. Untuk itu, mak
dalam menggunakan modul ini Anda harus melaksanakan tugas-tugas yang telah dirancang.
1. Buatlah rencana belajar Anda berdasarkan rancangan pembelajaran yang telah disusun ole
guru, untuk menguasai kompetensi Konsep vektor dengan menggunakan format sebag
berikut.
No
Kegiatan Pencapaian AlasanPerubahan bila
diperlukan
ParafTgl Jam Tempat Siswa Guru
Mengetahui .............., ............ 20
Guru pembimbing Peserta Diklat
(..............................) (................................)
2. Rumuskan hasil belajar Anda sesuai standar bukti belajar yang telah ditetapkan.
a. Untuk penguasaan pengetahuan, Anda dapat membuat suatu ringkasan menur
pengertian Anda sendiri terhadap konsep-konsep yang berkaitan dengan kompetensi yan
telah dipelajari. Selain ringkasan, Anda juga dapat melengkapinya dengan klipingterhada
informasi-informasi yang relevan dengan kompetensi yang sedang Anda pelajari.
7/30/2019 PDF Vektor Evi
15/82
15
b. Tahapan pekerjaan Anda dapat dituliskan/digambarkan dalam diagram alir yang dilengka
dengan penjelasannya (siapa penanggung jawab setiap tahapan pekerjaan, siapa yan
terlibat, kapan direncanakan, kapan direalisasikan, dan hasilnya apa).
c. Produk hasil praktek dalam kegiatan ini dapat Anda kumpulkan berupa contoh bend
kerja, atau dalam bentuk visualisasinya (gambar, foto, dan lain-lain).
d. Setiap tahapan proses akan diakhiri dengan penilaian, lakukanlah diskusi dengan gu
pembimbing untuk mendapatkan persetujuan, dan apabila ada hal-hal yang haru
diperbaiki/dilengkapi, maka Anda harus melaksanakan saran guru pembimbing Anda.
7/30/2019 PDF Vektor Evi
16/82
16
B. KEGIATAN BELAJAR
1. Kegiatan Belajar 1 : Ekspresi Vektor
a. Tujuan Kegiatan Belajar 1
Setelah mempelajari uraian kegiatan belajar ini, Anda diharapkan :
1. Dapat mengetahui pengertian vektor,
2. Dapat menentukan kesamaan dua vektor,
3. Dapat memahami vektor nol,
4. Dapat memahami vekktor posisi,
5. Dapat memahami vektor satuan,
6. Dapat memahami vektor ruang ,
7. Dapat memahami vektor basis.
8. Dapat menentukan suatu vektor.
.
b. Uraian Materi
EKSPRESI VEKTOR
1. Pengertian Vektor
Kita telah mengenal arti perpindahan, misalnya titik A kita pindahkan ke posisi yang la
menjadi titik B. Pada perpindahan itu terkandung beberapa makna.
a. berapa jauh perpindahannya (jarak);
b. ke arah mana perpindahannya.
Perpindahan dari titikA ke titik B tersebut dapat digambarkan dengan suatu anak panah yan
berpangkal di A dan berujung di B. Panjang ruas garis AB menyatakan jauh perpindahanny
sedangkan mata panah menyatakan arah perpindahan.
Anak panah yang menyatakan perpindahan itu disebut vektor. Jadi, vektor adalah besara
yang mempunyai besar dan arah. Besaran seperti ini misalnya kecepatan, gaya, momen, da
sebagainya.
A
Ganbar 5.1 perpindahan dari titik A ke titik B
7/30/2019 PDF Vektor Evi
17/82
17
Notasi Vektor
Suatu vektor secara geometri disajikan dengan ruas garis berarah. Panjang ruas gar
berarah menyatakan panjang (besar vektor), sedangkan arah panah menunjukkan arah vekto
Vektor diberi nama menurut pangkal dan ujungnya, misalnyaPQ .
PQ dapat dituliskan dengan menggunakan lambang huruf kecil yang dicetak tebal ata
dengan huruf kecil yang dibubuhi tanda panah di atas huruf itu, misalnya a atau a atau dibe
topi,misalnya
Q
a
P a
Gambar 5.2 Notasi Vektor
Untuk vektorPQ dari gambar 5.2, titik P disebut titik pangkal (titik asal), sedangkan titik
disebut titik ujung(titik terminal).
2. Kesamaan Dua Vektor
a. Dua buah vektor dikatakan sama apabila panjang dan arahnya sama. Jika AB # CD dibaca
ruas garis AB sama (panjang) dan sejajar ruas garis CD maka AB =CD . Dari pengertian i
dapat disimpulkan bahwa sebuah vektor dapat digeser ke tempat lain dan tidak beruba
asalkan panjang dan arahnya sama dengan besar dan kedudukan vektor semula.
B
D
A
C
Gambar 5.3 Kesamaan dua vektor
Tanda # artinya sama dengan dan sejajar (bukan tidak samadengan)
In at !
7/30/2019 PDF Vektor Evi
18/82
18
b. Pandang dua buah vektor yang arahnya sama, tetapi panjangnya berlainan. Dalam hal in
salah satu vektor dapat dinyatakan dengan vektor yang lain. Perhatikan Gambar 5.4 AB
2CD . atau CD =2
1AB
B
A D
C
Gambar 5.4 vektor dengan arah yang sama tapi besarnya beda.
c. Pada Gambar 5.5, tampak AB sama panjang denganEF, tapi arahnya berlawanan. Du
buah vektor disebut berlawanan apabila panjangnya sama, tetapi arahnya berlawanan. AB
-EFatau EF= - AB
B
E
A
F
Gambar 5.5 Dua buah vektor yang berlawanan
d. Jika dua buah vektor yang arahnya berlawanan dan panjangnya tidak sama maka vektor yan
satu dapat dinyatakan dengan yang lain. Pada Gambar 5.6 tampak AB = - 3EFatau EF
3
1AB
B
E
A F
Gambar 5.6 Dua vektor yang berlawanan dengan panjang yang berbeda
3. Vektor Nol
Suatu vektor disebut vektor not apabila panjangnya not. Arah dari vektor not tak tent
misalnya AA , BB , CC, dan semacamnya disebut vektor nol. Vektor not dilambangkan dengan
7/30/2019 PDF Vektor Evi
19/82
19
4. Vektor Posisi
Jika titik Padalah sebuah titik pada bidang datar, vektor OP= p disebut vektor posisi dari tit
P. Jika koordinat titik Padalah (x1, y1) maka vektor posisi dari titik Padalah p = OP =
1
1
y
x
Y
P (x1, y1)
p y1
O x1 X
Gambar 5.7 Vektor posisi titik P
Hal ini berarti vektro p mempunyai komponen arah mendatar x1 dan komponen ara
vertikalnya adalah y1.Jika titikA di R
3dengan koordinatA adalah (x1, y1, z1) maka vektor pasisi titikA adalah
Gambar 5.8 Vektor posisi titikA
a = OA=
1
1
1
z
y
x
sebaliknya, jika a =
1
1
1
z
y
x
merupakan vektor posisi dari titik A, maka titik
berkoordinat (x1, y1, z1)
5. Vektor Satuan
Vektor satuan adalah vektor yang panjangnya satu satuan.
Vektor satuan dengan arah sumbu X, dinotasikan dengan i
Vektor satuan dengan arah sumbu Y, dinotasikan dengan j
Vektor satuan dengan arah sumbu Z, dinotasikan dengan k
7/30/2019 PDF Vektor Evi
20/82
20
Sehingga untuk vektor di R2
adalah
i =
0
1 j =
1
0
Y
B (0,1)
j A (1,0)
O i X
Gambar 5.9 Vektor satuan pada R2
Sedangkan untuk di R3adalah
i =
0
0
1
; j =
0
1
0
; k=
1
0
0
Gambar 5.10 Vektor satuan pada R3
Kita sudah mengenal tentang vektor satuan, yaitu vektor yang
panjangnya satu satuan. Vektor satuan dari suatu vektora adalah
vektor yang arahnya sama dengan arah vektor a dan panjangnyaa1
Catatan :
7/30/2019 PDF Vektor Evi
21/82
21
6. Vektor dalam Ruang
a. Vektor di R2
Vektor dalam ruang berdimensi dua ditulis dengan R2
atau R2. Untuk menyajikan vektor di R
diperlukan susunan sumbu-sumbu koordinat. Untuk memudahkan perhitungan dipilih susuna
sumbu-sumbu yang saling tegak lurus, yaitu sumbu mendatar atau sumbu X dan sumbu vertik
atau sumbu Y.
Vektor di R2 ditandai dengan berapa jauh perpindahan ke kanan atau ke kiri dan berapa jau
perpindahan ke atas atau ke bawah. Perpindahan ke kanan diberi tanda positif, ke kiri dibe
tanda negatif, perpindahan ke atas diberi tanda positif, dan ke bawah diberi tanda negat
Dengan demikian vektor pada R2
dinyatakan dalam dua komponen mendatar dan vertikal.
AB artinya perpindahan dari titik A ke titik B. Pada Gambar 5.11 terlihat titik A (1, 1) da
dituliskan sebagai vektor kolom a =
1
1dan titik B (4, 3) dengan- vektor kolom b =
3
4
Gambar 5.11 Vektor dalam ruang dimensi dua
AB = b - a
=
3
4-
1
1=
2
3
Dengan cara yang sama kita dapatkan:
CD =
1
4
EF =
40
GH =
2
4
7/30/2019 PDF Vektor Evi
22/82
22
b. Vektor di R3
Vektor dalam ruang berdimensi tiga ditulis dengan R3
atau R3. R3
ditandai dengan tiga bua
sumbu yang saling berpotongan. Untuk memudahkan dalam perhitungan, dipilih tiga sumbu yan
berpotongan saling tegak lurus (ortogonal) yang dikenal dengan:
1) arah ke depan atau ke belakang disebut sumbu X;
2) arah ke kanan atau ke kiri disebut sumbu Y;
3) arah ke atas atau ke bawah disebut sumbu Z.
Seperti Gambar 5.12 (i). Kemudian sumbu koordinat seperti Gambar 5.12 (i) diputar k
kanan diperoleh sumbu koordinat Gambar 5.12 (ii).
Gambar 5.12 Vektor dalam ruang dimensi tiga
Contoh :
ABCD.EFGH adalah sebuah balok dengan AB = 4; AD = 2; AE = 6, dan sisi-sisinya sejaj
dengan sumbu
koordinat dengan koordinatA (0, 1, 0), B (4, 1, 0), E(0, 1, 6), F (4, 1, 6), G (4, 3 6) H (0, 3, 6) da
titik koordinat lainnya dapat ditentukan (perhatikan Gambar5.13).
Misalkan titikA (0, 1, 0) dituliskan sebagai a =
0
1
0
dan titik E(0, 1, 6) dituliskan sebagai e =
6
1
0
maka
AE= e - a
=
6
1
0
-
0
1
0
=
6
0
0
Z Z
Y
YO
O X
7/30/2019 PDF Vektor Evi
23/82
23
Z
Gambar 5.13 Balok ABCD.EFGH
Dengan cara yang sama didapatkan:
AF=
6
0
4
; AG =
6
2
4
; BH=
6
2
4
7. Vektor Basis
a. Vektor Basis di R2
Diberikan titik P (x1, y1) seperti tampak pada Gambar 5.14. OPmerupakan titik terminal/ujun
dari vektor posisi yang titik pangkalnya di pusat koordinat. Dari gambar tampak bahwa:
OP = OQ + QP
di mana OP = P
OQ = x1 i
QP = y1 j
sehingga dapat dituliskan :
P= x1 i + y1 j
Bentuk vektor ini disebut vektor basis i dan j
Gambar 5.14 Vektor basis pada R2
7/30/2019 PDF Vektor Evi
24/82
24
Jadi, setiap vektor di R2
dapat disajikan sebagai kombinasi lineardari dua vektor
basis i dan j dalam bentuk
:
x1 dan y1 berturut-turut disebut komponen-komponen mendatardan vertikaldari vektorP.
b. Vektor Basis di R3
Jika R (x1, y1, z1) adalah sembarang titik dan radalah vektor posisi R, maka kompone
komponen r dapat dinyatakan sebagai:
x1 i (searah denganOX)
y1 j (searah dengan OY)
z1 k(searah dengan OZ)Z
Gambar 5.15 Vektor basis pada R3
dan dari Gambar 5.15 tampak bahwa bentuk vektor ini merupakan kombinasi linear dari vekto
vektor basis i , j , k
OR = OP+ PR
OR = OQ + QP+ PR , sehingga
P= x1 i + y1 j
Vektor dapat disajikan dalam bentuk :
a. vektor basia, yaitu P= (x1, y1)
b. vektor kolom, yaitu P=
1
1
y
x
catatan
7/30/2019 PDF Vektor Evi
25/82
25
OR = r= x1 i + y1 j + z1 k
Jadi, setiap vektor F dalam ruang (di R3) dapat disajikan sebagai kombinasi linear dari tig
vektor basis i , j , dan k yang tidak sebidang dalam bentuk:
8. Panjang Suatu Vektor
Besar vektorP , apabila digambarkan akan membentuk ruas garis berarah dengan panjan
ruas garis yang mewakili besar vektor itu. Panjang vektorPditulis dengan P.
a. Vektor di R2
Jikap adalah titik (x1, y1) makaOP= P=
1
1
yx
Y
P(x1, y1)
P
O Q X
Gambar 5.16 Panjang vektorP di R2
Dengan menggunakan pythagoras maka
2OP =
2OQ +
2QP (perhatikan Gambar 5.16)
2
P = x12 + y1
2 ( karena OP= P)
2
P =2
1
2
1 yx
r= x1 i + y1 j + z1 k
Sebuah vektor dalam ruang dapat disajikan dalam
bentuk:
a. vektor baris, yaitu r= (x1, y1, z1)
b. vektor kolom, yaitu r=
1
1
1
z
y
x
Catatan :
7/30/2019 PDF Vektor Evi
26/82
26
Jadi, jika P=
1
1
y
xmaka panjang vektorPadalah
2
P =2
1
2
1 yx
b. Vektor di R3
Misalkan OR = r=
1
1
1
z
y
x
adalah vektor
Gambar 5.17 panjang vektorrdi R3
posisi di R3 seperti pada Gambar 5.17. Dengan menggunakan pythagoras, maka
2OR =
2OP +
2RP
=2
OQ +2
QP +2
RP
2OR = x1
2 + y12
+ Z12 (perhatikan Gambar 5.17)
r =2
1
2
1
2
1 ZYX ( karena OR = r)
Jadi, r=
1
1
1
z
yx
, panjang vektor radalah r =2
1
2
1
2
1 ZYX
C Rangkuman Kegiatan Belajar 1
1. Pengertian Vektor
Kita telah mengenal arti perpindahan, misalnya titik A kita pindahkan ke posisi yang la
menjadi titik B. Pada perpindahan itu terkandung beberapa makna.
a. berapa jauh perpindahannya (jarak);
b. ke arah mana perpindahannya.
7/30/2019 PDF Vektor Evi
27/82
27
2. Kesamaan Dua Vektor
a. Dua buah vektor dikatakan sama apabila panjang dan arahnya sama. Jika AB # CD dibac
: ruas garis AB sama (panjang) dan sejajar ruas garis CD maka AB =CD .
b. Pandang dua buah vektor yang arahnya sama, tetapi panjangnya berlainan.
c. Pada Gambar 5.5, tampak AB sama panjang denganEF, tapi arahnya berlawanan.
d. Jika dua buah vektor yang arahnya berlawanan dan panjangnya tidak sama maka vekt
yang satu dapat dinyatakan dengan yang lain.
3. Vektor Nol
Suatu vektor disebut vektor not apabila panjangnya not. Arah dari vektor not tak tent
misalnya AA , BB , CC, dan semacamnya disebut vektor nol.
4. Vektor Posisi
Jika titik Padalah sebuah titik pada bidang datar, vektor OP= p disebut vektor posisi dari tit
P.
5. Vektor Satuan
Vektor satuan adalah vektor yang panjangnya satu satuan.
6. Vektor dalam Ruang
a. Vektor di R2
Vektor dalam ruang berdimensi dua ditulis dengan R2
atau R2.
b. Vektor di R3
Vektor dalam ruang berdimensi tiga ditulis dengan R3
atau R3. R3
ditandai dengan tig
buah sumbu yang saling berpotongan.
7. VektorBasis
a. Vektor Basis di R2
Diberikan titik P (x1, y1) seperti tampak pada Gambar 5.14. OPmerupakan titik terminal/ujun
dari vektor posisi yang titik pangkalnya di pusat koordinat.
b. Vektor Basis di R3
Jika R (x1, y1, z1) adalah sembarang titik dan radalah vektor posisi R, maka kompone
komponen r dapat dinyatakan sebagai:
7/30/2019 PDF Vektor Evi
28/82
28
x1 i (searah denganOX)
y1 j (searah dengan OY)
z1 k(searah dengan OZ)
8. Panjang Suatu Vektor
Besar vektor P , apabila digambarkan akan membentuk ruas garis berarah denga
panjang ruas garis yang mewakili besar vektor itu. Panjang vektorPditulis dengan P.
d. Tugas Kegiatan Belajar
Diskusikan soal-soal LKS tentang ekspresi vektor untuk dipresentasikan.
e. Tes Formatif1. Nyatakan titik-titik berikut dengan vektor posisi dalam bentuk komponen vektor kolom!
a.A (2, 3) dan B (-1, 4) b. P(2, 1, 4) dan Q (3, 2, -5)
2. Nyatakan vektor-vektor a =
1
3
2
dan c =
3
0
1
sebagai kombinasi linear dari i , j , dan k
3. Diketahui p = i - 2 j + 2k dan q = 3 i + j - 2 k carilah
a. P
b. Q
c. QP
d. Vektor satuan dari p
7/30/2019 PDF Vektor Evi
29/82
7/30/2019 PDF Vektor Evi
30/82
30
d. a + (b + c )
e. Apakah a + b = c + a , bila berlaku sifat apakah itu?
f. Apakah ( a + b ) + c = ( a + b ) + c , bila berlaku sifat apakah itu?
2. OABCDEFG adalah balok yang rusuk-rusuknya pada sumbuX, Y, dan Z. Jika OA = 4; OC
3, dan OD = 6, nyatakanlah vektor-vektor berikut sebagai kombinasi linear dari i , j , dan k
a. OB e. AF
b. AC f. BD
c. FC g. AG
d. EB
3. Jika p =
6
4
2
dan q =
7
4
4
Tentukan: a. P c. QP
b. Q d. vektor satuan dari p danq
4. Diketahui: a. 2 i - 3 j + 4k c. 3i + 2 j + 3k
b. - i + 5 k
Carilah:
a. a + b + c c. vektor satuan dari a + b + c
b. a + b + c
7/30/2019 PDF Vektor Evi
31/82
31
5. Diketahui vektor a = 4 i + 4 j + 2k dan b = 2 i + 3 j - 5 k
a. Carilah a dan b c. Apakah a +b = a + b
b. Carilah a b dan a +b
h. Tingkat Penguasaan
Rumus :
Saran-saran yang harus Anda lakukan, sesuai dengan tingkat pengusaan yang telah And
capai sebagai berikut:
1. > 80 % Bagus! Pertahankan prestasi yang telah Anda capai dan Anda dapat meneruska
dengan kegiatan belajar 3.
2. 60 80 % Anda masih perlu membaca kembali teks subkomptensi ini dengan leb
seksama, terutama bagian yang belum anda kuasai.
3. < 60 % Anda belum belajar bersungguh-sungguh, Anda harus mengejar ketinggalan da
bertanyalah pada guru mata pelajaran tentang kesulitan Anda.
Tingkat Penguasaan = %10015
xdiperolehyangSkorJumlah
7/30/2019 PDF Vektor Evi
32/82
32
2. Kegiatan Belajar 2 : Operasi Aljabar Vekto r
a. Tujuan Kegiatan Belajar 2
Setelah mempelajari uraian kegiatan belajar ini, Anda diharapkan :
1. Dapat menentukan penjumlahan vektor,
2. Dapat menetukan pengurangan vektor,
3. Dapat menentukan hasil kali bilangan dengan vektor
b. Uraian Materi
1 Penjumlahan Vektor
Diberikan dua vektor a dan vektor b . Vektor ketiga yaitu vektor c diperoleh denga
menjumlahkan vektor a dan vektor b . Jadi, c = a + b . Vektor c dapat ditentukan dengan ca
segitiga dan cara jajar genjang.
a. Cara Segitiga
Perhatikan Gambar 5.18
b b b
a
a a
(i) (ii)
Gambar 5.18 Penjumlahan vektor (i) cara segitiga (ii) cara jajar genjang
Jumlah vektor a dan vektor b yang merupakan vektor c dapat ditentukan denga
memindahkan vektorb (tanpa mengubah panjang dan arahnya) sehingga titik pangkal vektor
berimpit dengan titik ujung vektor a .
7/30/2019 PDF Vektor Evi
33/82
33
Vektor c diperoleh dengan menghubungkan titik pangkal vektor a dengan titik ujung vekt
b yang telah dipindahkan. Penjumlahan vektor ini dikenal dengan cara segitiga Gambar 5.18(i).
b. Cara Jajar Genjang
Jumlah dari vektor a dan vektorb adalah vektor c yang
dapat ditentukan dengan memindahkan vektor b (tanpamengubah panjang dan arahnya) sehingga titik pangkal
vektor b berimpit dengan titik pangkal vektor a .
Vektor c yang dimaksud adalah vektor yang titik
pangkalnya di titik pangkal persekutuan vektor a dan
vektor b , serta titik ujungnya adalah titik sudut keempat
dari jajar genjang yang dibentuk oleh a dan b .
Cara menjumlahkan vektor seperti ini dikenal
dengan cara jajar genjangGambar 5.18(ii).
Perhatikan Gambar 5.19 dari cara segitiga terlihat bahwa:
c = a + b
PR = PQ + QR
Gambar 5.19 Penjumlahan vektordengan cara segitiga
Dengan memperhatikan pola penjumlahan itu maka:
AB = AC+ CB (untuk titik-titik,A, C, dan B)
AB = AP + PB (untuk titik-titikA, P, dan B)
AB = AD + DL + LB (untuk titik-titikA, D, L, dan B), dan seterusnya.
Penjumlahan tiga vektor atau
lebih dapat dilakukan dengan
menggunakan aturan poligon
seperti berikut.
P4
P5 P3
Tugas
7/30/2019 PDF Vektor Evi
34/82
7/30/2019 PDF Vektor Evi
35/82
35
3) Mempunyai elemen identitas, yaitu vektorO (vektor nol) Sebab untuk semua vektor a berlak
a + o = o + a = a
4) Lawan suatu vektor
Lawan atau invers jumlah atau negatif dari suatu vektor a
adalah suatu vektor yang apabila dijumlahkan dengan vektor a a
menghasilkan vektor nol. Lawan dari vektor a ditulis - a
dengan -a . Apabila digambarkan dengan ruas garis berarah, Gambar 5. 22 Lawan da
sebuah vektor
lawan dari vektor a adalah vektor yang panj angnya
sama dengan vektor a , tetapi arahnya berlawanan dengan vektor a .
Jadi, setiap vektor a mempunyai invers jumlah (lawan).
Sebab: a + (-a ) = (- a ) + a = o
2. Pengurangan Vektor
Diberikan 2 buah vektor, yaitu vektor a dan vektor b . Misalkan selisih vektor a denga
vektor b adalah vektor c yang diperoleh dengan cara menjumlahkan vektor a dengan lawa
vektor b .
Jadi, c = a - b = a + (-b )
Secara geometris selisih (pengurangan) vektor a dengan vektor b dapat diperlihatkan pad
Gambar 5.23.
Gambar 5.23 Pengurangan vektor
7/30/2019 PDF Vektor Evi
36/82
36
a - b = a + (-b )
= PQ +PS
= PT= RQ
Dari PQRterlihat bahwa :
PQ - PR = RQ
3. Hasil Kali Bilangan dengan Vektor
Hasil kali bilangan real k dengan vektor a adalah suatu vektor yang panjangnya k ka
panjang vektor a dan arahnya adalah
a. sama dengan arah vektor a jika k> 0
b. berlawanan dengan arah vektor a jika k< 0
c. sama dengan nol jika k= 0
Gambar 5.24 Hasil kali bilangan dengan vektor
Jika a =
2
1, maka 2 a = 2
2
1=
4
2
Jika b =
4
3
2
, maka 3b = 3
4
3
2
=
12
9
6
Secara umum, bila a =
r
q
p
maka ka = k
r
q
p
=
kr
kq
kp
Sifat - Sifat Hasil Kali Bilangan dengan Vektor
Bila k dan l bilangan real, a dan b suatu vektor maka:
1 k(- a ) = - (ka )= - k a
2 k(la ) = (kl) a
3 (k+ l) a = ka + la
7/30/2019 PDF Vektor Evi
37/82
37
4 k( a +b ) = ka + kb
c. Rangkuman Kegiatan Belajar 2
OPERASI ALJABAR VEKTOR
1. Penjumlahan Vektor
Diberikan dua vektor a dan vektor b . Vektor ketiga yaitu vektor c diperoleh denga
menjumlahkan vektor a dan vektor b . Jadi, c = a + b . Vektor c dapat ditentukan denga
cara segitiga dan cara jajar genjang.
a. Cara Segitiga
b. Cara Jajar Genjang
Sifat - Sifat Penjumlahan pada Vektor
1) Komutatif
2) Asosiatif
3) Mempunyai elemen identitas, yaitu vektor O (vektor nol) Sebab untuk semua vektor
berlaku a + o = o + a = a
4) Lawan suatu vekto
2. Pengurangan Vektor
Diberikan 2 buah vektor, yaitu vektor a dan vektorb . Misalkan selisih vektor a denga
vektor b adalah vektor c yang diperoleh dengan cara menjumlahkan vektor a denga
lawan vektorb .
3. Hasil Kali Bilangan dengan Vektor
Hasil kali bilangan real kdengan vektor a adalah suatu vektor yang panjangnya k
kali panjang vektor a dan arahnya adalah
a. sama dengan arah vektor a jika k> 0
b. berlawanan dengan arah vektor a jika k< 0
c. sama dengan nol jika k= 0
Sifat - Sifat Hasil Kali Bilangan dengan Vektor
Bila k dan l bilangan real, a dan b suatu vektor maka:
1. k(- a ) = - (ka )= - k a
2. k(la ) = (kl) a
7/30/2019 PDF Vektor Evi
38/82
38
3. (k+ l) a = ka + la
4. k( a +b ) = ka + kb
d. Tugas Kegiatan Belajar
Diskusikan soal-soal yang ada di LKS tentang operasi aljabar vektor untuk dipresentasikan
e. Tes Formatif
1. ABCD adalah jajar genjang dengan AB = u , AD = v , titik Edan Fmasing-masing tit
tengah DC dan CB . Nyatakan vektor-vektor berikut dalam u dan v
a. AE b. EF c. AF
2. DiketahuiA(1, 1), B(4, 2), dan C(10, 4) tunjukkan titikA, B, dan Csegaris (kolinear) da
carilahAB : BC
3. Diketahui titik-titikA(-2, 5, 4), B(2, -1, -2), dan C(p, q, l). JikaA, B, dan Csegaris, carila
nilaip dan q.
f. Kunci Jawaban
1. a. AE = AD + DE D E C
= v +2
1u =
2
1u + v
b. EF = CE +CF v F
=2
1u -
2
1v A u B
c. AF = AB + FB Gambar 5.25 Jajaran genjangABCD
= u +2
1v
2. Langkah untuk menyelesaikan contoh soal 2 di atas adalah
1. Informasi dari soal memberikan tiga buah titik yang terletak pada sumbu - sumb
koordinatx- y, yaituA(1, 1), B(4, 2), dan C(10, 4)
7/30/2019 PDF Vektor Evi
39/82
39
2. Dari titik-titik koordinat yang diketahui tersebut akan ditunjukkan bila titik A, B, dan
segaris (kolinear) serta akan dicari perbandinganAB dan BC(AB: BC)
3. Untuk menunjukkan titik-titikA, B, dan Csegaris (kolinear) dan mengetahui perbandinga
AB : BC, dihitung nilai AB dan AC, yaitu
AB = b - a
=
2
4
-
1
1
=
1
3
AC= c - a
=
4
10-
1
1=
3
9
3. AB = b - a =
2
1
2
-
4
5
2
=
6
6
4
BC= c - b =
l
q
p
-
2
1
2
=
3
1
2
q
p
KarenaA,B, dan Csegaris maka:
AB = m BC
6
6
4
= m
3
1
2
q
p
, diperoleh m = -2
4 = -2 (p - 2) -6 = -2(q + 1)
4 = -2p + 4 3 = q + 1
2p = 0 q = 2
p = 0
7/30/2019 PDF Vektor Evi
40/82
7/30/2019 PDF Vektor Evi
41/82
41
h. Tingkat Penguasaan
Rumus :
Saran-saran yang harus Anda lakukan, sesuai dengan tingkat pengusaan yang telah And
capai sebagai berikut:
1. > 80 % Bagus! Pertahankan prestasi yang telah Anda capai dan Anda dapat meneruska
dengan kegiatan belajar 3.
2. 60 80 % Anda masih perlu membaca kembali teks subkomptensi ini dengan leb
seksama, terutama bagian yang belum anda kuasai.
3. < 60 % Anda belum belajar bersungguh-sungguh, Anda harus mengejar ketinggalan da
bertanyalah pada guru mata pelajaran tentang kesulitan Anda.
Tingkat Penguasaan = %10015
xdiperolehyangSkorJumlah
7/30/2019 PDF Vektor Evi
42/82
42
3. Kegiatan Belajar 3 : Rumus Jarak, Perbandingan, Perkalian Skalar, Proyeksi, da
Perkalian Silang Vektor.
a. Tujuan Kegiatan Belajar 3:
Setelah selesai mempelajari uraian kegiatan ini, anda diharapkan dapat :
1. Mengetahui dan memahami rumus jarak
2. Mengetahui rumus pembagian.
b. Uraian Materi :
1. Rumus Jarak
Diberikan titikA(x1 + y1 + z1) dengan vektor posisi a =
1
1
1
z
y
x
dan titik B(x2 + y2 + z2) denga
vektor posisi b =
2
2
2
z
yx
Jarak antara titik A dan titik B (perhatikan Gambar 5.25) adalah panjang vektor AB , yai
AB
AB = b - a
=
2
2
2
z
y
x
-
1
1
1
z
y
x
=
12
12
12
zz
yy
xx
Z
X
O
Gambar 5.26 Menentukan rumus jarak
AB = 2122
12
2
12 zzyyxx
Jarak antara titikA(x1 + y1 +z1) danB(x2 + y2 + z2) padaR
3
sama dengan panjang vektor
In at
7/30/2019 PDF Vektor Evi
43/82
43
Contoh :
1. Diketahui titikA(5, 7, -5), B(4, 7, -3), dan C(2, 7, -4). Perlihatkan dengan rumus jarak bahw
ABC siku-siku sama kaki!
Jawab:
Untuk menyelesaikan contoh di atas dilakukan langkah-langkah berikut
1. Contoh di atas memberikan informasi tersusunnya bangun segitiga sikusiku sama kaki ole
tiga buah titik, yaitu A (5, 7, -5), B (4, 7, -3), clan C (2, 7, -4).
2. Dari informasi tersebut, kita akan memperlihatkan dengan menggunakan rumus jarak bahw
segitigaABCyang disusun dari titik-titikA, B, dan Cmemang siku-siku sama kaki.
3. Sebuah segitiga dikatakan sama kaki jika ada dua sisinya yang sama panjang, Dan sebua
segitiga dikatakan siku-siku jika salah satu sudutnya 90, sehingga dalam segitiga terseb
berlaku teorema pythagoras. Untuk menghitung panjang sisi-sisi segitiga yang aka
dibuktikan bahwa segitiga itu siku-siku sama kaki, maka digunakan rumus jarak sebag
berikut.
r = 2122
12
2
12 zzyyxx
4. Dari persamaan rumus jarak yang terdapat di langkah 3 diperoleh sisi-sisi segitiga itu, yaitu
AB = 222 537754 = 401 = 5
AC= 222 547752 = 109 = 10
BC= 222
347742 = 104 = 5
5. Dari hasil yang diperoleh di langkah (4), dengan menerapkan teorema pythagoras diperoleh
AB2 = 5 BC2 = 5 AC2 = 10
Jika dilihat panjang kedua sisi segitiga itu yaitu AB dan BC, maka segitiga itu adalah sam
kaki, dan jika kita amati dalam segitiga tersebut berlaku teorema pythagoras yan
menyatakanAB2 + BC2 =AC2. Jadi, segitigaABCsiku-siku di B dan sama kaki.
2. Buktikan bahwa titik-titik A(1, 3, -1), B (3, 5, 0), dan C(-1, 4, 1) adalah titik-titik sudut segitig
siku-siku sama kaki.
Jawab:
Masalah ini dapat diselesaikan dengan langkah-langkah berikut.
1. Memahami masalah
Apa yang diketahui situasi ini, kita cari jarak dua titik dengan teorema pythagoras ata
dengan dot product.
7/30/2019 PDF Vektor Evi
44/82
44
2. Merencanakan penyelesaian
Dengan jarak dua titik = 2212
21
2
21 zzyyxx
atau cos x =ba
ba
3. Melaksanakan perhitungan
AB = 222 015331 = 144 = 3
AC= 222 114311 = 414 = 3
BC= 222 104513 = 1116 = 15 = 3 2
Hasil perhitungan: BC= AB 2+ AC2
Jadi, segitigaABCsiku-siku sama kaki dan siku-siku diA.
Cara lain AB = b - a =
0
5
3
-
1
3
1
=
1
2
2
AC= c - a =
1
4
1
-
1
3
1
=
2
1
2
A (1, 3, -1)
B(3, 5, 0) C(-1, 4, 1)
Gambar 5.27 Segitiga siku-siku sama kaki.
Cos A =33
224
= 0
Jadi A = 90
ABCsiku-siku diA.
7/30/2019 PDF Vektor Evi
45/82
45
2. Rumus Pembagian
Sebelum membahas tentang pembagian suatu ruas garis dengan menggunakan konse
vektor, terlebih dulu dibahas pembagian pada ruas garis dengan perbandingan m : n.
a. Pembagian Ruas Garis dalam Perbandingan m : n
Misalkan suatu titik Pmembagi ruas garisAB dalam perbandingan m: n sedemikian rup
sehinggaAP: PB = m : n.
a. Jika Pmembagi di dalam, AP dan PB mempunyai arah yang sama sehingga m dan
mempunyai tanda yang sama.
b. Jika P membagi di luar, APdan PB mempunyai arah yang berlawanan sehingga m dan
berlawanan tanda
A P B A B P
(a) (b)
Gambar 5.28 (a) Titik Pmembagi garisAB di dalam garis (b) Titik Pmembagi garisAB di lu
garis
Contoh :
Perhatikan gambar berikut ini, dari gambar tersebut dapat ditulis perbandingan ruas gari
sebagai berikut.
AP : PB = m : n m n
AP : AB = m : (m + n)
A P B
AP : PB = m : -n m
AP : AB = m: (m - n) n
A B P
AP : PB = 1 : 1
AP : AB = 1 : 2
A P B
7/30/2019 PDF Vektor Evi
46/82
46
AP : PB = 2 : 1
AP : AB = 2 : 3
A P B
AP : PB = 4 : -2 = 2 : -1
AP : AB = 4: 2 = 2 :1
A B P
Gambar 5.29 Pembagian ruas garis
b. Rumus Pembagian dalam Bentuk Vektor
Perhatikan Gambar 5.30!
Jika p adalah vektor posisi titik Pyang membagi AB dengan perbandingan m : n, Panta
A dan B, maka
p =nm
anbm
O
Gambar 5.30 Pembagian ruas garisAB dengan Perk.dingan m : n
Bukti:
AP : PB = m : n
Untuk semua letak P: AB , di dalam maupun di luar berlaku:
AP:PB = m : n
n (p - a ) = m (b - p)
n p - n a = mb - m p
m p + n p = mb + n a
(m + n) p = mb + n a
7/30/2019 PDF Vektor Evi
47/82
47
p =nm
anbm
(terbukti)
O
Gambar 5.31 Pembagian ruas garis AB dalam bentuk vektor
Contoh:
1. Bila a , b , dan c adalah vektor-vektor posisi dari titik A, B, dan Cdari ABC. Titik D pad
ACsehinggaAD : DC= l : 2. Titik Epada BCsehingga EC: EC = 3 : 1
Nyatakan DEdalam a , b , dan c
Jawab: C
d=21
21
ac=
3
1( c +2 a ) D E
e =13
13
bc=
4
1(3 c +b ) A B
Gambar 5.31 pembagi ruas garisAB dalam bentuk vektor
DE= e - d=4
1(3 c +b ) -
3
1( c +2 a )
=12
2433 acbc
=12
1(9 c +3b - 4 c - 8 a )
=12
1(-8 a + 3b - 5 c )
- Dalam hal ini untuk pembagian di luar,
rumus" akan lebih mudah digunakan
bila angka numerikm dan n yang lebih
besar diambil positif (misalnya 3 : -2
lebih mudah daripada -3 : 2).
- JikaPdi tengah-tengah AB, m : n =1 : 1
Catatan :
7/30/2019 PDF Vektor Evi
48/82
48
2. Carilah vektor letak titik Pdan Q yang membagi AB di dalam dan di luar dengan perbandinga
5:3
Jawab:
Untuk P, m : n = 5: 3 Untuk Q, m : n = 5 : -3
Maka p =nm
anbm
Maka q =
nm
anbm
=35
35
ab=
35
35
ab
=8
1(5b +3 a ) =
2
1(5b -3 a )
c. Rangkuman kegiatan belajar 3:
1. Rumus Jarak
Diberikan titikA(x1 + y1 + z1) dengan vektor posisi a =
1
1
1
z
y
x
dan titik B(x2 + y2 + z2) denga
vektor posisi b =
2
2
2
z
y
x
Jarak antara titik A dan titik B (perhatikan Gambar 5.25) adalah panjang vektor AB , yai
AB
AB = b - a
=
2
2
2
z
y
x
-
1
1
1
z
y
x
=
12
12
12
zz
yy
xx
2. Rumus Pembagian
a. Pembagian Ruas Garis dalam Perbandingan m : n
Misalkan suatu titik Pmembagi ruas garisAB dalam perbandingan m: n sedemikian rup
sehinggaAP: PB = m : n.
b. Rumus Pembagian dalam Bentuk Vektor
Jika p adalah vektor posisi titik Pyang membagi AB dengan perbandingan m : n, Panta
A dan B, maka
7/30/2019 PDF Vektor Evi
49/82
49
p =nm
anbm
d. Tugas Kegiatan Belajar
Kerjakan soal-soal yang terdapat dalam LKS tentang rumus jarak, perbandingan, perkalia
skalar, proyeksi, dan perkalian silang vektor untuk dipresentasikan.
e. Tes Formatif
1. Sebuah pesawat terbang tinggal landas dari bandaraAdi Sucipto menuju banda
Soekarno-Hatta. Berapakah jarak yang ditempuh pesawat terbang tersebut bila pesaw
tersebut bergerak dari titik x (100, 60, 8) km menuju kota Jakarta sebelum mendarat yan
berposisi di titiky (300, 30, 18) km?
2. Hitung jarak antara titik-titik berikut!
a. O (0,0,0) dan P(4, 4, 2)
3. Tunjukkan bahwa P(3, 4, -1), Q(-9, -2, 3), dan R(9, 8, 11) adalah titik-titik sudut segitig
sama kaki!
4. Pergunakan rumus p =nm
anbm
untuk menyatakan vektor-vektor posisi dari titik berik
dengan a dan b
a. C, membagi AB dengan perbandingan 3 : 2
b. D, membagi AB dengan perbandingan 3: -2
f. Kunci Jawaban
1. Jarak yang di tempuh pesawat terbang yang tinggal landas menuju Jakarta di hitun
dengan rumus jarak:
r = 2122
12
2
12 zzyyxx
Posisi awal pesawat terbang adalah x (100, 60, 8) km dengan titik tujuannya adalah
(300, 20, 8) km. Jadi jarak yang ditempuh pesawat tersebut adalah
r = 222 8106020100300
= 222 240200
= 4160040000
= 41604
7/30/2019 PDF Vektor Evi
50/82
50
= 203,97 km
2. O = 0 P = 4
0 4
0 4
OP= 4 0
4 - 0
4 0
OP= 222 040404
= 161616
OP = 48
3, Untuk menyelesaikan soal di atas dilakukan langkah-langkah berikut
1. Contoh di atas memberikan informasi tersusunnya bangun segitiga sikusiku sama ka
oleh tiga buah titik, yaitu P(3, 4, -1), Q(-9, -2, 3), dan R(9, 8, 11)
2. Dari informasi tersebut, kita akan memperlihatkan dengan menggunakan rumus jara
bahwa segitiga PQRyang disusun dari titik-titik P, Q, dan Rmemang siku-siku sam
kaki.
3. Sebuah segitiga dikatakan sama kaki jika ada dua sisinya yang sama panjang, Da
sebuah segitiga dikatakan siku-siku jika salah satu sudutnya 90, sehingga dala
segitiga tersebut berlaku teorema pythagoras. Untuk menghitung panjang sisi-s
segitiga yang akan dibuktikan bahwa segitiga itu siku-siku sama kaki, maka digunaka
rumus jarak sebagai berikut.
r = 2122
12
2
12 zzyyxx
4. Dari persamaan rumus jarak yang terdapat di langkah 3 diperoleh sisi-sisi segitiga it
yaitu
PQ =
222
134239
= 1636144
= 196 = 14
PR = 222 1114839 = 1441636 = 196 = 14
QR = 222 3112899 = 81100324 = 506 = 22. 49
5. Dari hasil yang diperoleh di langkah (4), dengan menerapkan teorema pythagora
diperoleh
PQ2 = 14 PR2 = 14 QR2 = 22, 5
7/30/2019 PDF Vektor Evi
51/82
51
Jika dilihat panjang kedua sisi segitiga itu yaitu AB dan BC, maka segitiga itu adala
sama kaki, dan jika kita amati dalam segitiga tersebut berlaku teorema pythagora
yang menyatakan PQ2
+ PR2
= QR2. Jadi, segitigaABCsiku-siku di B dan sama kak
4. a. Untuk C, m : n = 3: 2 b. Untuk D, m : n = 3 : -2
Maka p =nm
anbm
Maka q =
nm
anbm
=23
23
ab=
23
23
ab
=5
1(3b +2 a ) = (3b -2a )
g. Lembar Kerja Siswa (LKS)1. Tunjukkan bahwa A(3, 5, 7), B(8, 6, 1), C(7, 11, -5), dan D(2, 10, 1) merupakan bela
ketupat!
2. Tunjukkan bahwa A(1, 3,-1), B(3, 5, 0) dan C(-1, 4, 1) adalah titik sudut - titik sud
segitiga siku-siku sama kaki!
3. Diketahui A(-3, 0), B(6, 0), dan C(9, 0) adalah titik pada sumbu X. Carilah nil
perbandingan:
a. OB : BC c.AB : BC e. OB : BA
b. OC : CB d. OA : OB
4. Suatu ruas garisAEdibagi menjadi empat bagian yang sama oleh titik B, C, dan D. Carila
nilai-nilai perbandingan dari:
a.AB : BD c.AE : EC e. DA : AC
b.AB : AE d. BE : ED f. CE : EB
5. Titik-titik P, Q, dn Rberturut-turut titik-titik tengah BC , CA , dan AB dari ABC; a , b
dan c adalah vektor-vektor posisi dariA, B, C
Nyatakan p , q , dan rdengan a , b , dan c
Nyatakan bahwa AP, BQ , clan CR dengan a , b , dan c
Tunjukkan bahwa p + q + r= a + b + c
Tunjukkan bahwa AP+ BQ + CR = O
7/30/2019 PDF Vektor Evi
52/82
52
h. Tingkat Penguasaan
Rumus :
Saran-saran yang harus Anda lakukan, sesuai dengan tingkat pengusaan yang telah And
capai sebagai berikut:
1. > 80 % Bagus! Pertahankan prestasi yang telah Anda capai dan Anda dapat meneruska
dengan kegiatan belajar 3.
2. 60 80 % Anda masih perlu membaca kembali teks subkomptensi ini dengan leb
seksama, terutama bagian yang belum anda kuasai.
3. < 60 % Anda belum belajar bersungguh-sungguh, Anda harus mengejar ketinggalan da
bertanyalah pada guru mata pelajaran tentang kesulitan Anda.
Tingkat Penguasaan = %10015
xdiperolehyangSkorJumlah
7/30/2019 PDF Vektor Evi
53/82
53
4. Kegiatan Belajar 4 : Pembagian Dalam Bentuk Koordinat
a. Tujuan Kegiatan Belajar 4:
Setelah mempelajari uraian materi ini anda diharapkan dapat:
1) Dapat menentukan hasil kali skalar dua vektor,
2) Dapat memahami bentuk komponen perkalian skalar,
3) Dapat mengetahui besar sudut antara dua vektor,
4) Dapat menentukan sifat sifat perkalian skalar,
5) Dapat memahami proyeksi ortogonal suatu vektor pada vektor lain,
6) Dapat menentukan perkalian silang dua vektor.
b. Uraian Materi :
Jika P(xp, yp, zp) membagi ruas garis yang menghubungkanA (x1, y1, z1) dan B(x2, y2, z
dengan perbandingan m : n, maka :
xp =nm
nxmx
12 ; yp =nm
nymy
12 ; zp =nm
nzmz
12
Bukti :
Dari rumus pembagian dalam bentuk vektor, yaitu
p =nm
anbm
; di mana a =
1
1
1
z
yx
adalah vektor posisi dari titikA (x1, y1, z1)
b =
2
2
2
z
y
x
adalah vektor posisi dari titik B(x2, y2, z2)
dapat diubah menjadi:
7/30/2019 PDF Vektor Evi
54/82
54
A (x1, y1, z1 P(xp, yp, zp) B(x2, y2, z2)
p
p
p
z
y
x
=nm
z
y
x
n
z
y
x
m
1
1
1
2
2
2
m n
p
p
p
z
yx
=nm
1
12
12
12
nzmz
nymynxmx
a p b
Sehingga diperoleh , O
Gambar 5.35 titik Q membagi diluar
xp =nm
nxmx
12 ; yp =nm
nymy
12 ; zp =nm
nzmz
12 (terbukti)
contoh :
Carilah koordinat titik Pdan Q yang membagi garis yang menghubungkan A(1, 4, 6) dan B(1,
2) di dalam dan di luar dengan perbandingan 3 : 1
Jawab:
(i) Titik Pmembagi di dalam A(1, 4, 6) P(xp, yp, zp) B(1, 0, 2)
xp =13
1113
=
4
13= 1 3 -1
yp =13
4103
=
4
40= 1 a p b
zp =13
6123
=
4
66= 3
Jadi, koordinat P(1, 1, 3) O
Gambar 5.34 Titik P membagi di dalam
7/30/2019 PDF Vektor Evi
55/82
55
(ii) Titik Q membagi di luar Q (xq, yq, zq) A(1, 4, 6) B(1, 0, 2)
xq =
31
1113
=
2
2= 1 3 -1
yq =
31
4103
=
2
4= -2 q a b
zq =31
6)1(23
=
20 = 0 O
Jadi, koordinat Q (1, -2, 0)
Gambar 5.35 Titik Q membagi di luar
1. Hasil Kali Skalar Dua Vektor
Hasil kali skalar dari vektor a dan b yang masing-masing bukan vektor nol dinyatakan denga
a b (dibaca a dot b). Perkalian skalar dari vektor a dan b adalah suatu bilangan real yan
didefinisikan oleh:
a b = a b cos
adalah sudut antara a dan b , dengan 0 B
Jika a = 0 atau b = 0 maka a b = 0 dan sudut tidak tertentu.
Tanda dari a b ditentukan oleh besarnya
1. Jika 0 0
a
2. Jika = 21
, maka a b = 0
b
a
7/30/2019 PDF Vektor Evi
56/82
56
3. Jika2
1 < , maka a b < 0
a
Gambar 5.36 Tanda dari a b berdasarkan besarnya
2. Bentuk Komponen Perkalian Skalar
MisalkanA(a1, a2, a3) dan B(b1, b2, b3), maka:
OA =2
3
2
2
2
1 aaa
AB = 2332
22
2
11 )()()( ababab
Z
Y
B(b1, b2, b3)
b A(a1, a2, a3)
a
O X
Gambar 5.37 Bentuk komponen perkalian skalar
1. Karena cos = cos (-), maka arah pengukuran dari a ke b atau dari b ke a
tidak menjadi soal.
2. Bila a b , maka a b = 0
3. Hasil kali skalar dua vektor bukanlah suatu vektor melainkan suatu bilanga
(skalar).
Catatan
7/30/2019 PDF Vektor Evi
57/82
57
Dengan menggunakan aturan cosinus pada AOB, maka:2
AB =2
OA +2
OB - 2 OAOB cos
(b1 - a1)2 + (b2 a2)
2 + (b3 a3)2 = (a1
2 + a22 + a3
2) + (b12 + b2
2 + b32) 2 a b cos
-2 a1 b1 - 2 a2b2 - 2 a3 b3 = 2 a b cos
a1 b1 + a2b2 + a3 b3 = a b cos
a1 b1 + a2b2 + a3 b3 = a b atau a b = a1 b1 + a2b2 + a3 b3
Jika a =
3
2
1
a
a
a
dan b =
3
2
1
b
b
b
maka ;
a b =
3
2
1
a
a
a
3
2
1
b
b
b
= a1 b1 + a2b2 + a3 b3
Contoh :
JikaA(1, 5, 8), B(-2, 1, 3), dan C(1, -6, 0), AB = u dan BC= v , hitunglah u v
Jawab:
u = AB = b - a =
3
1
2
-
8
5
1
=
5
4
3
s
v = BC= c - b =
0
6
1
-
3
1
2
=
3
7
3
u v =
5
4
3
3
7
3
= -3(3) + (-4)(-7) + (-5)(-3)
= -9 + 28 + 15 = 34
7/30/2019 PDF Vektor Evi
58/82
58
3. Besar Sudut Antara Dua Vektor
Jika dua vektor a dan b bertemu pada satu titik, maka sudut antara dua vektor terseb
adalah sudut yang dibentuk oleh kaki vektor a dan kaki vektor b . Sudut yang diambil adala
sudut terkecil. Sudut
Dari rumus:
ab = a
1b
1+ a
2b
2+ a
3b
3
a b = a b cos
Gambar 5.38 Sudut antara dua vektor
Diperoleh:
cos =ba
ba =
2
3
2
2
2
1
2
3
2
2
2
1
332211
bbbaaa
bababa
Contoh:
Carilah besar sudut antara a dan b , bila a = i + j + 2 k dan b = - 2 i + j + k
Jawab:
Langkah penyelesaian untuk contoh di atas adalah
1. Contoh di atas memberikan informasi adanya dua vektor berarah a dan b yang memil
satuan-satuan a = i + j + 2 k dan b = - 2 i + j + k
2. Kedua vektor di atas akan diolah untuk memperoleh besar sudut antara a dan b
3. Untuk memperoleh besar sudut a dan b , maka digunakan rumus perkalian skalar antara
dan b , sehingga
a b = a b cos
cos =ba
ba
7/30/2019 PDF Vektor Evi
59/82
59
4. Dari langkah (1) kita memperoleh vektor satuan-vektor satuan dari vektora dan b , yaitu
a =
2
1
1
; b =
1
1
2
5. Dari langkah (4) didapatkan:
a b =
2
1
1
1
1
2
= -2 + 1 2 = -3
cos =ba
ba =
1144113
=
36
3
2
1
= arc cos 2
1
= 1200
4. Sifat-Sifat Perkalian Skalar
a. Sifat-Sifat yang Berlaku pada Perkalian Skalar
Misalkan a =
3
2
1
a
a
a
, b =
3
2
1
b
b
b
, dan c =
3
2
1
c
c
c
adalah vektor-vektor di R3
yang dinyataka
dalam bentuk vektor kolom di mana berlaku sifat-sifat sebagai berikut.
1. Komutatif, yaitu a b atau dari b a
2. Distributif perkalian skalar terhadap penjumlahan, yaitu
a (b + c ) =a b + a c
Bukti :
1. a b =
3
2
1
a
a
a
3
2
1
b
b
b
= a1 b1 + a2b2 + a3 b3
= b1 a1 + b2a2+ b3 a3
= b a
Jadi, a b = b a terbukti bahwa pada perkalian skalar bersifat komutatif.
7/30/2019 PDF Vektor Evi
60/82
7/30/2019 PDF Vektor Evi
61/82
61
= 16 + 12 2
b. b ( a + b ) = b a + b b
= b a cos4
1 + b 2
= 6 4 2
12 + 62
= 12 2 + 36
= 36 + 12 2
5. Proyeksi Ortogonal Suatu Vektor pada Vektor Lain
Salah satu kegunaan dari perkalian skalar adalah untuk menentukan proyeksi ortogonal da
suatu vektor pada vektor lain.
a. Proyeksi Skalar Ortogonal
Proyeksi skalar ortogonal biasanya disingkat dengan proyeksi skalar saja atau serin
dikatakan dengan panjang proyeksi vektor.
Misalkan proyeksi OA pada OB adalah OC (perhatikan Gambar 5.39).
A
O C
Gambar 5.39 Proyeksi skalar ortogonal
|OC| = | c | disebut proyeksi skalar ortogonal a pada b . | c | = a cos (perhatikan AO
pada Gambar 5.39 di mana cos =OA
OC=
a
c
Dari rumus:
a b = a b cos
Diperolah :
a b = a b cos (ruas kanan dan ruas kiri sama-sama dibagi dengan b )
7/30/2019 PDF Vektor Evi
62/82
62
a cos =b
ba pada gambar
| c | = a cos
Jadi, proyeksi skalar ortogonal a pada b adalah
c =b
ba
Nilai proyeksi skalar ortogonal mungkin positif, nol, atau negatif, tergantung dan besamya sudu
.
Jika:
1. 0 80 % Bagus! Pertahankan prestasi yang telah Anda capai dan Anda dapat meneruska
dengan kegiatan belajar 3.
2. 60 80 % Anda masih perlu membaca kembali teks subkomptensi ini dengan leb
seksama, terutama bagian yang belum anda kuasai.
3. < 60 % Anda belum belajar bersungguh-sungguh, Anda harus mengejar ketinggalan da
bertanyalah pada guru mata pelajaran tentang kesulitan Anda.
Tingkat Penguasaan = %10015
xdiperolehyangSkorJumlah
7/30/2019 PDF Vektor Evi
73/82
7/30/2019 PDF Vektor Evi
74/82
74
7. Diketahuhi vektora =
1
2
3
dan vektorb =
4
3
2
a) Tentukan a + b dan b + a
b) Periksalah apakah a + b = b + a
8. Vektor posisi titikA
dan titikB
berturut turut adalah a dan b . TitikC
dan titikD
pada ruas garisA
sehunggaAC : CB = 1 : 3 danAD : DC= 3 : -1
a) Tentukan vektor posisi titik C
b) Tentukan vektor posisi titik D
9. Diketahui ruas garis PQ dengan koordinat titik P(2, 3, -1) dan koordinat titik Q (7, -2, 9). Titik
membagi ruas garis PQ dengan perbandingan 1 : 4. tentukan koordinat titik R.
10.Panjang vektor a dan panjang vektor b masing masing adalah 4 satuan dan 5 satuan. Bes
sudut antara vektor a dan panjang vektorb sama dengan 60
0
Hitung hasil kali skalar antara vektor a dengan vektorb
7/30/2019 PDF Vektor Evi
75/82
75
SISTEM PENILAIAN
Mata Pelajaran : Matematika
Kompetensi : Menerapkan Vektor
Alokasi Waktu : 20 Jam
Sub
Kompetensi
(Kode)
Metode
Penilaian
Penilaian Total nilai
Instrumen Nilai
K.1 Pemberian
Tugas
LKS 1 10 20
Uraian
Objektif
Tes Formatif 1 10
K.2 Pemberian
Tugas
LKS 2 10 20
Uraian
Objektif
Tes Formatif 2 10
K.3 Pemberian
Tugas
LKS 3 10 20
Uraian
Objektif
Tes Formatif 3 10
K.4 Pemberian
Tugas
LKS 4 10 20
Uraian
Objektif
Tes Formatif
4
10
Ulangan Blok Evaluasi
belajar satu
kompetensi
20
Jumlah Nilai akhir 100
7/30/2019 PDF Vektor Evi
76/82
76
Kunci Jawaban Evaluasi
1. A (3,-2) xa = 3, ya = -2 dan B (-1,5) xb = -1, yb = 5
p = AB =
ab
ab
yy
xx=
25
31=
7
4
q = BA =
ba
ba
yy
xx=
52
13=
7
4
Jadi, vektorp = AB =
7
4dan vektor q = BA =
7
4
2. a). a + b =
1
3+
4
2=
41
23=
3
5
b + a =
4
2+
1
3=
14
32=
3
5
b). Berdasarkan hasil hasil perhitungan yang diperoleh pada a) ;
a + b =
3
5
b + a =
3
5jadi, a + b = b + a
Meskipun bukan merupakan bukti, tetapi hasil perhitungan ini menunjukkan bahw
penjumlahan vekor dalam bidang bersifat komutatif.
c). Dengan menggunakan hasil a) :
( a + b ) + c =
3
5+
3
1=
33
15=
6
4
Dihitung terlebih dahulu (b + c ) =
34
12=
7
1
a + (b + c ) =
3
1+
7
1=
71
13=
6
4
7/30/2019 PDF Vektor Evi
77/82
77
d). Dengan menggunakan hasil hasil perhitungan pada bagian c), diperoleh :
a + (b + c ) =
6
4
( a + b ) + c =
6
4jadi, ( a + b ) + c = a + (b + c )
Meskipun bukan merupakan bukti, tetapi hasil perhitungan ini menunjukkan bahwa penjumlaha
vektor dalam bidang bersifat asosiatif.
3.2
1p =
2
1
2
4=
22
1
42
1
=
1
2
3
1 q =
3
1
6
9=
631
93
1
=
2
3
4
1r =
4
1
8
4=
84
1
44
1
=
2
1
4. a). Koordinat titikA (1, 7), maka OA= a =
7
1
Koordinat titik B (4, 1), maka OB = b =
1
4
AB = b - a =
1
4-
7
1=
71
14=
6
3
Jadi, ruas garis berarah AB =
6
3
b). AC =31 AB =
31
63 =
21
jadi, ruas garis berarah AC=
2
1
c). Misalkan koordinat titik C adalah (x,y), maka OC= c =
y
x
7/30/2019 PDF Vektor Evi
78/82
78
AC= c - a =
y
x-
7
1=
7
1
y
x
Dengan menggunakan hasil perhitungan b), diperoleh hubungan ;
7
1
y
x=
2
1
Berdasarkan hubungan vektor di atas, diperolah :
x 1 = 1, menghasilkan x = 2
y 7 = -2, menghasilkan y = 5
jadi, koordinat titik Cadalah (2,5)
5. a). c = 22 )4()2( = 20 = 2 5
Jadi, panjang vektor c adalah c = 2 5 satuan panjang.
b). a + b =
32 +
11 =
43
ba = 22 )4()3( = 25 = 5
Jadi, panjang vektor a + b adalah ba = 5 satuan panjang.
6. Mula mula ditentukan terlebih dahulu panjangf dari vektora
a = 22 )3()4( = 25 = 5
Vektor satuan dari a adalah e =a
a=
5
1
3
4=
5
3
5
4
Jadi, vektor satuan dari a =
3
4adalah e =
5
3
5
4
7. a). a + b =
1
2
3
+
4
3
2
=
3
1
5
7/30/2019 PDF Vektor Evi
79/82
79
b + a =
4
3
2
+
1
2
3
=
3
1
5
b). Dengan menggunakan hasil hasil perhitungan pada bagian a), diperoleh :
a + b =
3
1
5
b + a =
3
1
5
jadi, a + b = b + a
Meskipun bukan merupakan bukti, tetapi hasil perhitungan ini menunjukkan bahwa
penjumlahan vektor dala ruang bersifat komutatif.
8. a). Titik C pada ruas garisAB sehinggaAC : CB = 1 : 3 atau m = 1 dan n = 3
Vektor posisi titik Cadalah vektor c ditentukan oleh:
c =nm
anbm
c =31
31
ab
c =4
1(b + 3 a ) =
4
1(3 a + b )
Jadi, vektor posisi titik Cadalah = c =4
1(3 a + b )
b). Titik D pada ruas garisAB sehinggaAD : DB = 3 : -1 atau m = 3 dan n = -1
vektor posisi titik D adalah vektor dditentukan oleh :
d=nm
anbm
d = 13
13
ab
d =2
1(3b - a )
Jadi, vektor posisi titik D adalah = d =2
1(3b - a )
7/30/2019 PDF Vektor Evi
80/82
80
9. Titik Rmembagi ruas garis PQ dengan P(2, 3, -1) Q(7, -2, 9)
perbandingan 1 : 4 atau PR: RQ = 1 : 4
sebagaimana diperlihatkan pada gambar di R
samping.
Misalkan koordinat titk R(x, y, z), maka berdasarkan rumus perbandingan koordinat titik titik di
ruang dengan m = 1 dan n = 4, diperoleh :
x =
41
2471 = 3
y =
41
3421= 2
z =
41
1491= 1
Jadi, koordinat titik Radalah (3. 2, 1)
10.Berdasarkan definisi, hasil kali skalar antara vektor a dengan vektorb ditentukan oleh :
a .b = a b cos
a .b = 4 x 5 x cos 600 , sebab (sudut antara vektor a dengan vektorb ) = 600
a .b = 4 x 5 x2
1= 10
Jadi, hasil kali skalar antara vektor a dengan vektorb adalah a .b =10
7/30/2019 PDF Vektor Evi
81/82
81
BAB IV
PENUTUP
Sebagai tindak lanjut seluruh kegiatan belajar dalam Modul Eksponen ini adalah :
1. Jika hasil evaluasi terhadap penguasaan kompetensi mencapai 75 % atau lebih, maka sisw
dapat melanjutkan ke modul berikutnya.
2. Siswa dapat melanjutkan ke modul berikutnya setelah memperoleh rekomendasi dari guru ma
pelajaran matematika.
3. Peserta didik yang masih belum mencapai penguasaan kompetensi 75 %, maka siswa haru
mengulang secara keseluruhan atau bagian-bagian tahap kegiatan belajar yang belum dikuas
dengan baik.
4. Kemungkinan diberikannya pembelajaran remedial bagi yang memperoleh nilai yang lebih kec
dari 6, terutama terhadap siswa yang memperoleh nilai terendah.
5. Pengayaan serta akselerasi bagi siswa yang berprestasi juga dimungkinkan sesuai denga
ketersediaan waktu
7/30/2019 PDF Vektor Evi
82/82
Daftar Pustaka
Sunardi, H. Dkk 2005. MATEMATIKA Untuk SMA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam
Jakarta : Bumi Akasara.
Wirodikromo, S. 2006. Matematika Untuk SMA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam.
Penerbit : Erlangga
Recommended