View
161
Download
15
Category
Preview:
Citation preview
Rekayasa Sipil Volume II1, Nomor 2, Oktober 2007 ISSN : 1858-3695
68
PENERAPAN METODE BISECTION DAN METODE SECANT DALAM REKAYASA SIPIL
(Studi Kasus Pembuatan Diagram Interaksi Kolom Beton Bertulang)
Oleh :
Oni Guspari
Jurusan Teknik Sipil Politeknik Negeri Padang Kampus Limau Manis Padang
ABSTRAK Terdapat banyak cara yang dapat digunakan dalam menyelesaikan persamaan non linier, antara lain metode bisection dan metode secant yang dapat dipakai untuk menyelesaikan beberapa persamaan rekayasa sipil. Pada tulisan ini akan di tinjau sebuah kolom beton bertulang dengan dimensi 30 x 50 cm yang diberi tulangan 625, yaitu 3 pada masing-masing sisi yang kecil.Tegangan leleh baja tulangan dan tegangan beton masing-masing adalah 4000 dan 300 kg/cm
2. Metode bisection dan metode secant akan digunakan untuk mencari akar fungsi
gaya dalam normal P(c) yang bekerja pada penampang beton sehingga dapat ditenentukan letak garis netral penampang kolom (c), selanjutnya harga c tersebut digunakan untuk membuat diagram interaksi kolom. Setelah dikalkulasikan, jarak garis netral (c)pada penampang tersebut adalah 64.959 mm . Hasilnya sama untuk kedua metoda, akan tetapi dengan jumlah iterasi yang berbeda
PENDAHULUAN
Didalam usaha mendapatkan penyelesaian
matematika yang menjabarkan model dari
suatu persoalan nyata bidang rekayasa, sering
solusi yang dicari berupa suatu nilai variabel x
sedemikian rupa sehingga terpenuhi
persamaan f(x) = 0 yang digunakan dalam
model. Dalam beberapa kasus, melalui
faktorisasi f(x) = 0 dapat diperoleh
penyelesaian seperti yang diinginkan, akan
tetapi lebih banyak jabaran persamaan dalam
model mempunyai bentuk yang rumit, sehingga
teknik analisa matematika murni tidak dapat
memberikan solusi
Persamaan non linier sebagai model
matematika bagi solusi masalah rekayasa sipil
dengan menggunakan metode numerik
merupakan salah satu alternatif prosedur
pemecahan yang digunakan apabila tidak
dimungkinkan perolehan bentuk closed form
dari pemodelan. Persamaan non linier akan
selalu ditemui pada hampir seluruh bidang
kekhususan rekayasa sipil, sebagai contoh:
Persamaan frekuensi alami dari getaran
balok uniform yang terjepit pada salah satu
ujungnya dan bebas pada ujungnya yang
lain untuk bidang teknik struktur
Persamaan kelengkungan jalan untuk
bidang teknik transportasi
Persamaan koefisien gesek untuk aliran
turbulen dalam sebuah pipa untuk bidang
teknik tumber air
Persamaan untuk menentukan kedalaman
pemancangan akibat pengaruh tekanan
tanah aktif dan pasif untuk bidang
geoteknik
Perhitungan tentang kebutuhan akan
produksi optimal suatu komponen struktur
untuk bidang manajemen konstruksi
Metode bisection dan metode secant
merupakan salah satu alternatif untuk
menyelesaikan persamaan-persamaan non
linier pada bidang rekayasa sipil
Rekayasa Sipil Volume II1, Nomor 2, Oktober 2007 ISSN : 1858-3695
69
TINJAUAN PUSTAKA
Metode Bisection
Metoda bisection adalah salah satu cara
mencari akar persamaan non linier yang
termasuk kategori pengelompokan. Akar suatu
fungsi f(x) pada suatu interval yang
diperkirakan ada akar diperkirakan dahulu
dengan dua bilangan a dan b, syarat pemilihan
ini adalah nilai fungsi di a, f(a) dan nilai fungsi di
b, f(b) harus berbeda tanda ( f(a) * f(b) < 0 ).
Syarat ini wajar sebab dengan kondisi demikian
tentunya ada suatu nilai dimana f(x) = 0.
Langkah berikutnya adalah memasukkan
harga diantara [a,b], (dinamakan m) atau m =
(a-b)/2. Jika f(m) = 0 maka x = m adalah akar
yang dicari. Jika f(m) = 0 maka di cek apakah
nilai m berada dalam interval [a,m] atau interval
[m,b]
Jika f(a) dan f(m) berbeda tanda maka akar
ada di [a,m], jadi m menggantikan b untuk
proses selanjutnya
Jika f(a) dan f(m) tandanya sama maka
akar ada di [m,b], jadi m menggantikan a
untuk proses selanjutnya
Proses diteruskan sampai memenuhi toleransi
yang ditentukan. Toleransi dapat dinyatakan
sebagai nilai absolut (a-b) dan nilai f(m),
misalnya toleransi 0,1% (0,001)
Suplemen dari metoda ini untuk mempercepat
proses dikenal dengan nama regula falsi.
Regula falsi adalah suatu sarana untuk mencari
nilai m dengan capat yang didefinisikan sebagai
)()(
)(*)(
afbf
bfabbm
Proses selanjutnya dilakukan dengan metode
bisection
Metode Secant
Metoda secant yang diawali dengan
metoda Newton Rhapson adalah metoda
pencarian akar suatu fungsi yang termasuk
golongan iterasi. Jika kita mempunyai fungsi
f(x) yang ingin dicari akarnya maka metoda
iterasi mengharuskan fungsi tersebut ditulis
sebagai:
f(x) = x g(x) = 0, sehingga = g()
x k-1 = g(xk)
k = 0,1,2,.....sampai memenuhi iterasi
Pada metode Newton Rhapson fungsi g(x)
tersebut dinyatakan sebagai
')(
x
x
f
fxg
Sehingga nilai percobaan berikutnya adalah
,......2,1,0...........)(
)('1
kxf
xfxx
k
k
kk
Kekurangan metode ini adalah harus mencari
f(x) serta ada kemungkinan divergen.
Suplemen dari metode ini adalah Metode
Secant, dimana setelah didapat nilai pertama
dari metode Newton Rhapson, nilai ketiga dan
seterusnya dapat ditentukan dengan formula:
)]()([
][*)(
1
11
12
kk
kkk
kkxfxf
xxxfxx
Bagan alir metoda bisection dan metoda secant
dapat ditampilkan sebagai berikut:
Rekayasa Sipil Volume II1, Nomor 2, Oktober 2007 ISSN : 1858-3695
70
Tulis
Fa*Fb >0
BAGAN ALIR METODA BISECTION
MULAI
DEFINISIKAN
FUNGSI
Baca
a, b, tol
iter_max
Iter =0
Fa = f(a)
Fb = f(b)
Fa * Fb > 0
Iter =Iter + 1
M = (a+b)/2
Fm = f(m)
Im-aI < tol Iter > Iter_max
Fa * Fm < 0
Tulis hasil
m, F(m)
a = m
Fa = Fm
b = m
Fb = Fm
Ya
Tidak
Tidak
Tidak
Ya
Ya
SELESAI
MULAI
DEFINISIKAN FUNGSI
Baca
x0, x1, tol
Iter_max
Iter = 0
Iter = Iter + 1
xb = x1 f(x1) . [x1 x0] / [f(x1) f(x0)]
lxb-x0l < tol Iter > Iter_max
x0 = xb
Tulis hasil
xb, F(xb)
SELESAI
Tidak
Ya
BAGAN ALIR METODA SECANT
Rekayasa Sipil Volume II1, Nomor 2, Oktober 2007 ISSN : 1858-3695
71
Diagram Interaksi Kolom Beton Bertulang
Diagram interaksi kolom mendeskripsikan
kekuatan nominal kolom terhadap beban
sentris dan eksentris dengan menggunakan
grafik/diagram, yang biasa disebut diagram P-M
dan secara umum dapat di deskripsikan
sebagai berikut:
Gambar 1 Diagram Interaksi
Masing-masing titik pada kurva mewakili satu
kombinasi nominal load strength (Pn) dan
nominal moment strength (Mn) yang tergantung
pada letak garis netral. Diagram interaksi
terbagi atas bagian tension control dan
compression control yang dibatasi oleh
balanced condition pada titik C.
Studi Kasus
Akan ditentukan letak garis netral pada sebuah
kolom pendek dengan menggunakan metode
bisection dan metode secant . Setelah letak
garis netral diperoleh dilanjutkan dengan
pembuatan gambar diagram interaksi. Dimensi
kolom adalah 30 x 50 cm dan diberi tulangan
625 seprti pada gambar 2. Tegangan leleh
baja direncanakan fy = 4000 kg/cm2, sedangkan
tegangan tekan beton fc = 300 kg/cm2. Jarak
tepi luar beton ke inti tulangan adalah 5 cm.
Gambar 2 Penampang kolom, Regangan dan Tegangan
Dalam perumusan, notasi-notasi yang dipakai
adalah sebagaiberikut:
b : lebar penampang (mm)
h : tinggi penampang (mm)
c : lokasi garis netral dari serat atas (mm)
dcs : jarak tulangan tekan dari serat atas (mm)
dts : jarak tulangan tarik dari serat atas (mm)
ecs : regangan tulangan tekan
ets : regangan tulangan tarik
ey : regangan leleh baja (0.002)
a : kedalaman stress block (mm)
Cc :gaya tekan yang disumbangkan
penampang beton (N)
Cs :gaya tekan yang disumbangkan tulangan
tekan (N)
Ts :gaya tekan yang disumbangkan tulangan
tarik (N)
Acs : luas tulangan tekan (mm2)
Ats : luas tulangan tarik (mm2)
lcc : jarak titik berat stress block ke plastic
centre penampang (mm)
lcs : jarak tulangan tekan ke plastic centre
penampang (mm)
lts : jarak tulangan tarik ke plastic centre
penampang (mm)
fy : tegangan leleh tulangan (MPa)
fc : tegangan karakteristik penampang (MPa)
P : gaya dalam normal yang bekerja pada
penampang (N)
A
D
C
E
B
Mn
Compressi
on
failure Tension
failure
Y
X
0.003 0.85 fc
Cs
Cc
Ts
c
b
h
Rekayasa Sipil Volume II1, Nomor 2, Oktober 2007 ISSN : 1858-3695
72
M : momen lentur yang bekerja pada
penampang (Nmm) terhadap plastic centroid
kolom
E : modulus elastisitas baja (= 200000 MPa)
Gaya dalam P dan M pada penampang dapat
diturunkan sebagai fungsi dari c. Komponen
komponen yang menyumbangkan P dan M
berasal dari gaya tekan beton serta gaya
tulangan tekan dan tarik. Sera umum
perumusannya adalah
P = Cc + Cs + Ts
M = Cc*lcc + Cs*lcs + Ts*lts
Komponen Cc, Cs, Ts dan lcc merupakan fungsi
dari c, sedangkan lcs dan lts merupakan
konstanta, sehingga persamaan tersebut dapat
juga ditulis:
P = Cc ( c ) + Cs ( c ) + Ts ( c )
M = Cc ( c )*lcc ( c ) + Cs*lcs + Ts*lts
Asumsi-asumsi yang dipakai pada kondisi
batas adalah:
1. Regangan tekan batas adalah 0.003
2. Hukum Navier-Bernauli berlaku,
sehingga diagram regangan berbentuk
segitiga dapat dipakai
3. Distribusi tegangan beton pada kondisi
batas berbentuk segi empat, yang
besarnya adalah 0.85fc dengan tinggi
block a
Perumusan gaya sumbangan beton Cc (c),
gaya sumbangan tulangan tarik Ts(c), gaya
sumbangan tulangan tekan Cs(c) dan jarak titik
berat stress block ke plastic centre penampang
(lcc) dapat di formulasikan berdasarkan kondisi-
kondisi yang lazim. Formula yang didapat
adalah sebagai berikut:
P (c) = 6502 c + (c-50)/c * (882000) 625485
M (c) = (6502 c 37845 ) ( 250 0.85c/2) + (c-
50)/c * (882000)(200) (-588200)(200)
PENCARIAN AKAR DENGAN METODE
BISECTION + REGULA FALSI
P( c ) = 6502 c + ( c - 50 )/c * (882000) -
625485
P'( c ) = 6502 c + 44100000/ c^2
M( c ) = (6502 c - 37845)( 250 - 0.85c/2) + ( c-
50)/c * (882000)*(200) - (-
588200)*(200)
PENCARIAN AKAR DENGAN METODE
NEWTON RAPHSON + SECANT
P( c ) = 6502 c + ( c - 50 )/c * (882000)
625485
P'( c ) = 6502 c + 44100000/ c^2
M( c ) = (6502 c - 37845) 250 - 0.85c/2) + ( c-
50)/c * (882000)*(200) - (-
588200)*(200)
c = 64.959 mm
M(c ) = 243.816 kNm
Rekayasa Sipil Volume II1, Nomor 2, Oktober 2007 ISSN : 1858-3695
73
Setelah terdefinisinya komponen komponen
Cc(c), Ts(c), Cs(c) dan lcc(c) sebagai fungsi c,
maka P(c) dan M(c) dapat didefinisikan sebagai
fungsi c. Masing-masing komponen mempunyai
pernyataan fungsi yang interval domainnya
terbagi-bagi, sehingga jika digabungkan. P(c)
dan M(c) pun mempunyai interval domain yang
terbagi-bagi. Ada 9 interval c yang
menghasilkan formulasi fungsi yang berbeda-
beda, hasilnya ditabelkan sebagai berikut:
No a b m P(a) P(b) P(m) P(a)*P(b) P(a)*P(m) a-b
Rem
ark
s:
(b-a
)
Recommended