View
441
Download
16
Category
Preview:
Citation preview
KELOMPOK 1
RINU SETYAWATI
SITI KHOTIMATUL HUSNA
ABDUL MALIK
SYAIFUL LUTFI
AHMAD ZAKARIA
HARIS MAULIDI
NURUL HUSNA
Laili suaidah
TEORI DASAR GRAFTEORI DASAR GRAF
1.1 GRAF DAN DERAJAT TITIK
CONTOH:
APEL PISANG CERY KURMA
ERICA FRANK GREG HANK
San Francisco
Oakland
Half Moon Bay
Airport
Bay Bridge
80
PETA SAN JOSE – SAN FRANCISCO
Palo Alto
San Jose
Santa Cruz
Half Moon Bay 101
208
17
880
AIR (H2O)
H
O
H
CYCLOHEXENA (C6H12)
H H
H
HH
H
CC
CC
C
H
H
HH
H
H CC
C
C C
CCC
C
CC
C
C
C
C
C
C
C
C
C
CC
CO
VITAMIN A (C20H30O)
C CCC
CONTOH PADA PETA DARI JALAN JEND. SUDIRMANMENUJU VETERAN UNIVERSITY
Dalam mata kuliah latis dan aljabar Boolean, grafik-grafik
dapat membentuk sketsa dari sebuah bangunan.
Mereka yang telah mempelajari teori himpunan akan
mengenali diagram dari gambar 1.1.10 dan 1.1.11
sebagai pola-pola geometris dari himpunan bagian.
Untuk memudahkan, kita menggunakan notasi yang
lebih singkat untuk himpunan; contohnya, kita menulis
ABC untuk himpunan {A, B, C}.
ABC
AB AC BC
Gambar 1.10
B CA
Pola geometris dari himpunan bagian ABC
Diagram dari gambar 1.10 dan 1.11 menunjukkan
semua himpunan bagian dari himpunan diatasnya. Jika
satu himpunan diperoleh dari himpunan yang berbedasatu himpunan diperoleh dari himpunan yang berbeda
dengan menghapus satu elemen, maka dua himpunan
tersebut dihubungkan dengan garis dalam diagram.
60
3.20 5.12 6.104.152.30
Faktor yang berbeda dari bilangan bulat 60 ditunjukkandalam diagram gambar 1.1.12.
3.20 5.12 6.104.152.30
2.2.3.5
2.2.15 2.310 2.5.6 3.4.5
Gambar 1.12
Beberapa contoh graf yang lain adalah sebagai berikut:
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●Gambar 1.13
●●
●
●
●
●
Gambar 1.15
Gambar 1.13Gambar 1.14
●
●
●
●
●
●
●
● ● ● ●
Gambar 1.16
●
●
●
●
● ●
●
●
●
Gambar 1.17
Definisi Sebuah Graph : Graph G
Graph adalah sebuah himpunan (V,E), dimana V adalah
tak kosong atau bisa diartikan elemen-elemen yang
dinamakan verteks atau titik sedangkan E adalah
pasangan terurut dari verteks-verteks yang berbeda
dinamakan edgE (sisi). Sebagai contohnya seperti pada
permulaan tadi dimana verteks (titik) adalah buah dan
anak-anak pada contoh pertama sedangkan garis-garis
yang menghubungkan antara buah dan anak-anak
dinamakan edeg(sisi).
CERYAPEL PISANG KURMA
Vertex atau titik
Edge/sisi
ERICA FRANK GREG HANK
Perhatikan gambar 1.17 adalah gambar yang tidak utuh, yaitu takterhubung. Kemudian kita beri definisi yang tepat dari sebuahgrafik terhubung
●
●
●
●
● ●
●
●
●
● ● ● ● ●
Gambar 1.17
●
●
●
● Gambar 1.18
Dalam grafik tidak diperbolehkan 2 titikyang bergabung dengan lebih dari 1 sisi.Jika kita membiarkan hal tersebut maka,disebut multigraf. Seperti pada gambar1.18
●
●
●
●
Gambar 1.19
Dalam gambar 1.19 memiliki apayang disebut putaran (LOOP), yangmerupakan relasi yang hanyadengan 1 titik. Struktur ini disebutPseudograph.
●
● ● ●
●
Gambar 1.20
A CB
EDGambar 1.20
●
●
●
●
● ●
●
●
●
Gambar 1.17
Pada gambar 1.17 mempunyai 2 titik berderajat 0 yang kitasebut dengan titik yang terisolasi (isolated verteks). Dansebuah titik berderajat 1 yang disebut end verteks.
●
●
Gambar 1.16
●
●
●
●
●
sebuah titik berderajat 1 yang disebut end verteks.
Mari kita jumlahkan derajat-derajat dari titik-titik pada grafyang ditunjukkan pada gambar 1.16
5+4+3+3+2+2+1=20
Jumlah dari sisinya adalah q = 10.
Jadi pada sebuah graf khusus ketika kita menjumlahkansemua derajat dari titik-titik, kita peroleh 2 kali jumlahsisinya.
Teorema 1.1 misal v1,v2,……,vp adalah titik-titik dari graf G,dan d1,d2,………..dp adalah derajat dari titik. Misal q adalahjumlah sisi dari graf G
d1 + d2 +……………..+dp=2q
Teorema 1.1 dapat dimulai sebagai berikut:
Contoh :Apakah ada sebuah graf dengan 7 buah titik, masing-masing titik berderajat 5?
Jawab:Jika ada sebuah graf yang jumlah seluruh derajatnya ituadalah 7 X 5=35. menurut teorema 1.1 angka ini (35) harusmerupakan bilangan genap, sehingga titik ada graf yangmerupakan bilangan genap, sehingga titik ada graf yangdimaksud.
Kembali ke gambar 1.16
●
●
●
●
●
●
Kita daftar semua derajat titiknyasebagai berikut:
5,4,3,3,2,2,1
Dari rangkaian berikut manakah yang merupakan sebuah graf:i) 5,4,3,2,2,1ii) 5,5,4,4,0ii) 5,5,4,4,0iii) 6,5,5,4,3,3,2,2,2iv) 6,6,6,6,4,3,3,0
Untuk i) kita lihat dengan segera bahwa jumlah derajatnyaadalah bilangan ganjil, sehingga rangkaian i) bukanlahmerupakan graf.
Untuk rangkaian ii) derajatnya berjumlah genap. Perhatikanbahwa bilangan pertama adalah 5. hal ini berarti bahwa, jikaada sebuah graf dengan rangkaian seperti ini. Graf inimempunyai sebuah titik yang berkorelasi dengan 5 titik yanglainnya, tetapi kemudian graf harus mempunyai sekurang-kurangnya 6 titik, dan hanya ada 5 bilangan pada rangkaiantersebut. Sehingga rangkaian ii) bukanlah graf.
Pada kasus rangkaian iii) kita peroleh rangkaian berikut:Pada kasus rangkaian iii) kita peroleh rangkaian berikut:1) 6 5 5 4 3 3 2 2 22) 4 4 3 2 2 1 2 23) 4 4 3 2 2 2 2 14) 3 2 1 1 2 2 15) 3 2 2 2 1 1 16) 1 1 1 1 1 1Rangkaian 6) adalah sebuah grafik.
Teorema 1.2 (Havel, Hakimi) mempertimbangkan 2 rangkaianberikut dan mengasumsikan rangkaian (1) adalah secaramenurun.1) s , t1, t2, . . . , ts, d1, . . . , dn
2) t1 – 1, t2 – 1, . . . , ts – 1, d1, . . . , dn
Kemudian rangkaian (1) adalah graf jika dan hanya jikarangkaian (2) adalah graf.
Bukti:Bukti:Anggap rangkaian 2) adalah graf, kemudian ada graf G2 denganrangkaian derajat sama dengan rangkaian derajat (2), kitabangun G1 dari G2, dengan menambahkan suatu titik danmenghubungkannya kepada titik yang derajatnya adalah t1 – 1,t2 – 1, . . . , ts – 1.
Kemudian G1 adalah suatu grafik dengan rangkaian derajatsama dengan rangkaian (1), maka rangkaian (1) adalah grafis.
Kita anggap bahwa rangkaian 1) adalah graf. Kemudian ada
sebuah graf H dengan derajat sama dengan rangkaian 1).
Misal titik S mempunyai derajat s, Ti mempunyai derajat ti,
Dj berderajat dj. Jika S berkorelasi dengan T1,T2,…..,Ts
kemudian secara sederhana kita hilangkan titik ini dan garis
yang berhubungan dengannya sehingga memperolehyang berhubungan dengannya sehingga memperoleh
sebuah graf dengan derajat yang sama pada rangkaian 2).
●● ●S Ti Dj
●● ●S TiDj
T●●●●
●●●●
S
S
Dj
Dj
Ti
Ti w
w
Sekarang kita gunakan prosedur untuk menentukan apakah
rangkaian iv merupakan graph.
iv 66664330
5553220
442110
3100031000
Ketika tidak ada graf dengan satu titik berderajat 3, satu titik
berderajat 1 dan tiga buah garis berderajat 0, kita melihat
bahwa rangkaian terakhir bukan merupakan graf, begitu juga
rangkaian iv.
1. tujuh siswa pergi berlibur. Mereka memutuskan bahwamasing masing akan mengirim 3 kartu post kepada 3 siswayang lain. Apakah mungkin bahwa setiap siswa menerimakartu poat dari tiga siswa yang dia kirimi kartu post secaratepat?
2. a. Buktikan bahwa untuk setiap bilangan genap adasebuah graf dengan n titik yang kesemuanya berderajat 3,sebuah graf dengan n titik yang kesemuanya berderajat 3,tanpa menggunakan teorema 1.1.2
b. buktikan bahwa setiap bilangan ganjil ada sebuah grafdengan n+1 titik seperti yang secara tepat n titik berderajat 3.
3. Buktikan bahwa setiap bilangan ada sebuah graf dengan ntitik yang kesemuanya berderajat 4
4. Yang manakah dari rangkaian berikut ini yangmerupakan graf?a) 55443221b) 65432222c) 444433d) 76544321
5. Gambarlah graf dengan rangkaian derajata) (4, 3, 2, 2, 1)b) (4, 3, 3, 3, 1)
6. Gambar 1.1.12 menunjukkan diagram perkalianuntuk bilangan 60. Konsesikan diagram perkalianuntuk bilangan 48.
SEKIANDAN
TERIMAKASIHTERIMAKASIH
WASSALAMU’ALAIAKUM
Recommended