View
98
Download
7
Category
Preview:
Citation preview
Soenandar Djojosoemarto Arief Goeritno NIDN: 0430016301
PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE-2(A)HOMOGEN dan (B) TAK HOMOGEN
HOMOGEN
A.1 Homogen Bentuk SederhanaUntuk kondisi dimana terdapat persamaan bentuk:
A y '+By+C=0.
Dinamakan homogen, karena sama dengan nol, dengan: A, B, dan C adalah konstanta, maka dapat diambil misal: y=A est, sehingga:
( A s'+Bs+C ) Aest=0≫≫ As '+Bs+C=0≫≫adalah persamaan karakteristik
Berdasarkan persamaan karakteristik, diperoleh akar-akar s1 dan s2.(1) s1≠s2 >>>>> Keduanya bilangan riil, maka: y=a1 e
s1x+a2 es2x
1
Soenandar Djojosoemarto Arief Goeritno NIDN: 0430016301
(2) s1=s2 >>>>> Keduanya bilangan riil, maka: y=a1 es1x+a2 xe
s2x
(3) s1 dan s2>>>>> Keduanya bilangan kompleks (s1,2=R e+ j I m dan s1 conjugate dari s2), maka:y=eRe [ (a1+a2 )cos I m. t+ j (a1+a2 )sin I m. t ]
CONTOH SOAL #akar-akar riil dan tidak samaCONTOH#1#akar-akar riil dan tidak samaSelesaikan persamaan berikut!
3 y ' '−8 y '−3 y=0
Penyelesaian:
3 y ' '−8 y '−3 y=0≫≫3 s2−8 s−3=0≫≫RUMUS ABC
s1,2=−b±√b2−4ac
2a
s1=8+√64−36
6=86+ 106
=43+ 53=93=3
s2=8−√64−36
6=8−10
6=−26
=−13
2
Soenandar Djojosoemarto Arief Goeritno NIDN: 0430016301
y=a1 e3 x+a2 e
−13
x
CONTOH#2#akar-akar riil dan tidak samaSelesaikan persamaan berikut!
y ' '−4 y'+3 y=0; dengan : y (0 )=−1dan y ' (0 )=1
Penyelesaian:
y ' '−4 y'+3 y=0≫≫ s2−4 s+3=0≫≫RUMUS ABC
s1,2=−b±√b2−4ac
2a
s1=4+√16−12
2=42+ 22=2+1=3
s2=8−√64−36
6=42−22=2−1=1
y=a1 e3 x+a2 e
x
3
Soenandar Djojosoemarto Arief Goeritno NIDN: 0430016301
y '=3a1e3x+a2 e
x
Substitusi syarat awal……
y (0 )=−1≫≫−1=a1+a2≫≫a1=−1−a2
y ' (0 )=1≫≫1=3a1+a2≫≫3a1=1−a2
≫≫3 (−1−a2 )=1−a2≫≫−3−3a2=1−a2
≫≫−3−1=3a2−a2≫≫−4=2a2
≫≫a2=−42
=−2
≫≫a1=−1−a2=−1−(−2 )=−1+2=1
y=a1 e3 x+a2 e
x≫≫ y=e3x−2ex
CONTOH SOAL #akar-akar riil dan samaCONTOH#1#akar-akar riil dan samaSelesaikan persamaan berikut!
4
Soenandar Djojosoemarto Arief Goeritno NIDN: 0430016301
y ' '+8 y '+16 y=0
Penyelesaian:
y ' '+8 y '+16 y=0≫≫ s2+8 s+16=0≫≫ (s+4 ) (s+4 )=0s1=s2=−4
y=a1 e−4x+a2 ∙ x ∙ e
−4 x
CONTOH#2#akar-akar riil dan samaSelesaikan persamaan berikut!
y ' '+4 y '+4 y=0 ;dengan : y (0 )=3 dan y ' (0 )=1
Penyelesaian:
y ' '+4 y '+4 y=0≫≫ s2−4 s+4=0≫≫ (s+2 ) (s+2 )=0s1=s2=−2
y=a1 e−2x+a2 xe
−2 x
y '=−2a1 e−2x+a2e
−2x−2a2 xe−2x
5
Soenandar Djojosoemarto Arief Goeritno NIDN: 0430016301
Substitusi syarat awal……
y (0 )=3≫≫3=a1+a2≫≫a1=3−a2
y ' (0 )=1≫≫1=−2a1+a2≫≫1=−2 (3−a2 )+a2
≫≫1=−6+2a2+a2=≫≫1+6=3a2
≫≫a2=73
≫≫a1=3−a2=3−73=93−73=9−7
3=23
y=a1 e3 x+a2 xe
x≫≫ y=23e3 x+ 7
3xex
CONTOH SOAL #akar-akar complex conjugateCONTOH#1#akar-akar complex conjugateSelesaikan persamaan berikut!
y ' '−2 y '+10 y=0
6
Soenandar Djojosoemarto Arief Goeritno NIDN: 0430016301
Penyelesaian:
y ' '−2 y '+10 y=0≫≫ s2−2 s+10=0≫≫RUMUS ABC
s1,2=−b±√b2−4ac
2a
s1=2+√4−40
2=22+ √−36
2=1+ √36 ∙√−1
2=1+ 6 ∙√−1
2≫≫ s1=1+ j3
s2≫≫complex conjugate s1
s2=1− j 3
y=a1 e(1+ j3 ) t+a2 e
(1− j3 )t
y=a1 e1 t+ j3 t+a2 e
1 t− j3 t
y=et [a1 e j3t+a2 e− j3 t ]
Ingat, persamaan Euler!!! >>> e ix=cos x+ isin x dan e−ix=cos x−i sin x
y=et [a1 (cos 3 t+ jsin 3 t )+a2 (cos3 t− j sin 3 t ) ]
7
Soenandar Djojosoemarto Arief Goeritno NIDN: 0430016301
y=et [ (a1+a2)cos 3t+ j (a1−a2 ) sin 3 t ]
y=et [b1cos 3t+ jb2sin 3 t ]Diketahui:
b1=a1+a2b2=a1−a2
CONTOH#2#akar-akar complex conjugateSelesaikan persamaan berikut!
y ' '−6 y '+25 y=0 ;dengan : y (0 )=4dan y ' (0 )=1
Penyelesaian:
y ' '−6 y '+25 y=0≫≫ s2−6 s+25=0≫≫RUMUS ABC
s1,2=−b±√b2−4ac
2a
s1=6+√36−100
2=62+ √−64
2=3+ √64 ∙√−1
2=3+ 8 ∙√−1
2≫≫ s1=3+ j4
s2≫≫complex conjugate s1
8
Soenandar Djojosoemarto Arief Goeritno NIDN: 0430016301
s2=3− j 4
y=a1 e(3+ j4) t+a2 e
(3− j4 ) t
y=a1 e3 t+ j4 t+a2e
3 t− j4 t
y=e3 t [a1 e j4 t+a2e− j4 t ]
Ingat, persamaan Euler!!! e ix=cos x+ isin x dan e−ix=cos x−i sin x
y=e3 t [a1 (cos 4 t+ j sin 4 t )+a2 (cos 4 t− jsin 4 t ) ]
y=e3 t [ (a1+a2 )cos 4 t+ j (a1−a2 ) sin 4 t ]
y '=3e3 t [−4 (a1+a2 )sin 4 t+ j 4 (a1−a2)cos 4 t ]
Substitusi syarat awal……y (0 )=4≫≫4=a1+a2≫≫a1=4−a2
y ' (0 )=1≫≫1=3 j 4 (a1−a2 )≫≫1= j12 (a1−a2 )
9
Soenandar Djojosoemarto Arief Goeritno NIDN: 0430016301
≫≫ 1j 12
=a1−a2=≫≫− 112
j=4−a2−a2
≫≫−2a2=−112
j−4≫≫2a2=112
j+4
≫≫2a2=12 ( 112 j+4)≫≫a2=
124
j+2
a2=2+ j124
≫≫a1=4−a2=4−(2+ j124 )=2− j
124
a1=2− j124
y=e3 t ¿
y=e3 t [(2− j124
+2+ j124 )cos 4 t+ j(2− j
124
−2− j124 )sin 4 t ]
y=e3 t [4cos 4 t+ j(− j224 )sin 4 t ]
10
Soenandar Djojosoemarto Arief Goeritno NIDN: 0430016301
y=e3 t [4cos 4 t+ j(− j112 )sin 4 t ]
y=e3 t [4cos 4 t+ 112 sin 4 t ]
A.2 Homogen dengan Penggunaan Persamaan Cauchy/EulerUntuk kondisi dimana terdapat persamaan bentuk:
x2 y ' '+ax y'+by=0, maka diambil:
y=c ∙ xm; y '=cm ∙xm−1; dan y ' '=cm (m−1 ) xm−2;
sehingga persamaan menjadi:
c ∙ x2 ∙m (m−1 ) ∙ xm−2+c ∙a ∙ x ∙m∙ xm−1+c ∙b ∙ xm=0
Bentuk lain:c ∙ x2 ∙m (m−1 ) ∙ x
m
x2+c ∙a ∙ x ∙m ∙
xm
x+c ∙b ∙ xm=0
11
Soenandar Djojosoemarto Arief Goeritno NIDN: 0430016301
[dikalikan 1c], maka:x2 ∙m (m−1 ) ∙ x
m
x2+a ∙ x ∙m∙
xm
x+b ∙ xm=0
m (m−1 ) ∙ xm+am ∙xm+b ∙ xm=0
[dikalikan 1xm], maka:m (m−1 )+am+b=0
Bentuk lain:m2+(a−1 )m+b=0
m2+(a−1 )m+b=0 #yang digunakan; #adalah persamaan karakteristik
Berdasarkan persamaan karakteristik, kemudian dicari akar-akar m1 dan m2. ## m1 dan m2 selalu riil.
(1) m1≠m2 >>>>> y=c1 xm1+c2 x
m2
(2) m1=m2 >>>>> y=c1 xm1+ (c2 ∙ ln x ) xm2
>>>>> y=(c1+c2 ln x ) xm2
12
Soenandar Djojosoemarto Arief Goeritno NIDN: 0430016301
CONTOH#1Selesaikan persamaan berikut!
( z+1 )2 y ' '+5 (z+1 ) y '+3 y=0
Penyelesaian:
Dimisalkan: ( z+1 )=x
x2 y ' '+5x y '+3 y=0≫≫a=5danb=3
m2+4m+3=0≫≫m1=−1danm2=−3
(#akar-akarnya riil dan tidak sama……), selanjutnya disubstitusikan ke:
y=c1 xm1+c2 x
m2
y=c1 x−1+c2 x
−3
y=c1 ( z+1 )−1+c2 ( z+1 )−3
CONTOH#2Selesaikan persamaan berikut!
13
Soenandar Djojosoemarto Arief Goeritno NIDN: 0430016301
x2 y ' '−3 y '+4=0 ;dengan : y (1 )=1dan y ' (1 )=1
Penyelesaian:
x2 y ' '−3 y '+4=0≫≫a=−3danb=4
Substitusikan ke:m2+(a−1 )m+b=0m2+(−3−1 )m+4=0
m2−4m+4=0≫≫ (m−2 ) (m−2 )=0≫≫m1=m2=2
Jawaban sementara:y=(c1+c2 ln x ) x2
y '=c21xx2+2x (c1+c2 ln x )
Substitusikan syarat awal:
y (1 )=1≫≫1=(c1+c2 ln 1 )12
#diketahui: ln 1=0
14
Soenandar Djojosoemarto Arief Goeritno NIDN: 0430016301
y (1 )=1≫≫1=(c1+c20 )≫≫1=c1≫≫c1=1
y ' (1 )=1≫≫1=c21112+2 ∙1 (c1+c2 ln1 )
≫≫1=c2+2 (c1+c2 ∙0 )
≫≫1=c2+2c1≫≫1=c2+2 ∙1≫≫c2=−1
Nilai c1=1 dan c2=−1, disubstitusikan ke:y=(c1+c2 ln x ) x2
Diperoleh jawaban akhir:y= (1−ln x ) x2
TAK HOMOGEN15
Soenandar Djojosoemarto Arief Goeritno NIDN: 0430016301
Untuk kondisi dimana terdapat persamaan bentuk:
y ' '+a y '+by=r ( x )., maka jawabannya:
y= yh+ y p
yh=A esx. y p ditentukan sesuai penjelasan sebelumnya, metode penjumlahan jawaban homogen dan parsial/partikuler.
CONTOH#1Selesaikan persamaan berikut!
y ' '+5 y '+6 y=9x4−x
Jawaban homogen:
yh' '+5 yh
' +6 yh=0; yh=A esx
s2+5 s+6=0≫≫ ( s+3 ) ( s+2 )=0≫≫ s1=−3 ; s2=−2
yh=A1e−3 x+A2e
−2 x
16
Soenandar Djojosoemarto Arief Goeritno NIDN: 0430016301
Penentuan jawaban parsial, y p:
y p' '+5 y p
' +6 y p=9 x4−x
f ( x )=9x 4−x=eax ∙ Pn (x ) ;a=0 ;n=4
y p=B x4+C x3+D x2+Ex+F
y p' =4 B x3+3C x2+2Dx+E
y p' '=12B x2+6Cx+2D
Substitusikan ke persamaan, y p:(12B x2+6Cx+2D )+5 (4B x3+3C x2+2Dx+E )+6 (B x4+C x3+D x2+Ex+F )=9 x4−x
12B x2+6Cx+2D+20B x3+15C x2+10Dx+5E+6B x4+6C x3+6D x2+6 Ex+6 F=9 x4−x
6 B x4+(20B+6C ) x3+ (12 B+15C+6D ) x2+ (6C+10D+6 E ) x+(12D+5E+6F )=9 x4−x
Suku x4: 6 B=9≫≫≫B=32
Suku x3: 20 B+6C=0≫≫20 ∙32=−6C≫≫C=−5
17
Soenandar Djojosoemarto Arief Goeritno NIDN: 0430016301
Suku x2: 12B+15C+6D=0≫≫12∙32+15 (−5 )+6D=0≫≫18−75+6D=0≫≫D=75−18
6=576
=192
Suku x1: 6C+10D+6 E=−1≫≫6 (−5 )+10∙ 192
+6 E=−1≫≫ E=−1+30−956
=−666
=−11
Suku x0: 12D+5E+6F=0≫≫12∙192
+5 (−11)+6 F=0≫≫F=−114+556
=−596
Nilai-nilai B=32, C=−5, D=19
2 , E=−11, dan F=−596 disubstitusikan ke y p=B x4+C x3+D x2+Ex+F, diperoleh:
y p=32x 4−5 x3+ 19
2x2−11 x−59
6
y= yh+ y p
y=A1e−3 x+A2e
−2 x+ 32x4−5 x3+ 19
2x2−11 x−59
6
18
Recommended