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4
Eindimensionale Bewegung
Einschränkungen
Wir betrachten zunächst nur Bewegungen entlang einer geraden Linie. Diese Linie kann horizontal (Auto auf Strasse )
vertikal (Fall eines Steines) oder auch schräg (Auto am Berg) sein.
Die Bewegung eines Objektes wird durch Kräfte verursacht. Diese Ursache für die Bewegung als auch die für die Änderung wird zunächst vernachlässigt.
Wir betrachten die Bewegung von Teilchen (z.B. Elektron) die punktförmig sind (Massenpunkte) oder von ausgedehnten Objekten, die sich bewegen
als wären sie Massenpunkte.
Einteilung der MechanikA) Kinematik: Beschreibung, wie sich Körper bewegenB) Dynamik: Welchen Einfluss haben Kräfte auf die Bewegung
5
Verschiebung und Abstand
Zur Beschreibung der Bewegung eines Objektes ist es notwendig seine Position in
Relation zu einem Referenzsystem oder Referenzpunkt zu kennen. In der Regel ist dies die Erde. Man kann aber auch
andere Referenzsysteme wählen(z.B. Flugzeug).
Man definiert Translation (Verschiebung) als die Änderung der Position eines
Objektes.
SI Einheit der Translation ist das Meter (m)
Symbolisch:
wobei x1: Anfangsposition x2: Endposition Δ: Allgemein Änderung einer Größe (hier des Ortes)
Die Translation ist ein Vektor.
12 xxx −=Δ
Translation: Δx=-10m
Abstand die die Größenordnung oder die Größe des Abstandes.
Mit Größenordnung ist gemeint eine Zahl mit einer Einheit.
Der Abstand hat keine Richtung und somit auch kein Vorzeichen. Der Abstand kann sehr viel größer als die Verschiebung
dr
6
Mittlere Geschwindigkeit
tx
ttxx
avg ΔΔ
=−−
=12
12v
Zeit / s
1 2 3 5
Mittlere Geschwindigkeit vavg ist die Steigung der roten
Linie, d.h. 0.5 m/s
x(t)Mittlere Geschwindigkeit
und Ortsverschiebung haben stets das gleiche Vorzeichen,
da t positiv ist.
4 6 7
1
2
3
Posi
tion
/ m
Einheit der Geschwindigkeit[v]=[m/s]
Schwimmer mit der höchsten Durchschnittsgeschwindigkeit gewinnt !
Definitionmittlere Geschwindigkeit
7
ThrustSSC 1997British duo sets first supersonic land-speed record
1 Meile
m 1609=Δx
s 740.4=Δ hint
s 695.4=Δ zurückt
sm 5.339
s 740.4m 1609v +==hin
sm 7.342
s 695.4m 1609v −==zurück
hkm 1228v
sm 1.341
2sm 7.342
sm 5.339
v
=
=+
=+
WR
zurückhin
8
Momentane Geschwindigkeit
dtdx
tx
t=
ΔΔ
=→Δ 0
limv
Zeit / s
1 2 3 5
Die Geschwindigkeit vist die Steigung der roten Linie zu einer bestimmten Zeit t
x(t)
4 6 7
1
2
3
Posi
tion
/ m
t1 t2
Die Geschwindigkeit ist eine Vektorgröße,
d.h. Betrag und Richtung
( )2z
2y
2x
zyx
vvvv
v,v,vv
++=
=r
rvr
Betrag des Vektors
Vektor
9
Mittlere Beschleunigung
tttavg ΔΔ
=−−
=vvva
12
12
Zeit / s
1 2 3 4 5 6 7
1
2
3
Gesc
hw
ind
igk
eit
/ m
/s
Mittlere Beschleunigung aavg ist die Steigung der roten
Linie, d.h. 0.42 m/s²
v(t)
Einheit [m/s²]
10
Momentane Beschleunigung
2
2
0
xxvvlimadtd
dtd
dtd
dtd
tt=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛==
ΔΔ
=→Δ
Zeit / s
1 2 3 5
Die Beschleunigung aist die Steigung der roten Linie zu einer bestimmten Zeit t
v(t)
4 6 7
1
2
3
Gesc
hw
ind
igk
eit
/ m
/s
t1 t2
Die Beschleunigung ist ebenfalls eine
Vektorgröße
( )222zyx
zyx
aaaa
,a,aaa
++=
=r
rar
11
Spezialfall: Konstante Beschleunigung
t
x
t
v
t
a
x(t)
v(t)
Steigung ändert sich
dx/dt
Steigung konstant
dv/dt= konst.
a(t)
x0
v0
keine Steigung da/dt= 0
In diesem Fall kann man die Bewegung eines Teilchens wie folgt beschreiben:
Der Einfachheit halber beginnt das Experiment bei t=0
0v-v 0
t-aa avg ==
at+= 0vv
a=vdtd
0vv0 =⇒=t
0vv 0
t-x-x
avg ==
txx vavg0 +=
avgxdtd v=
12
Spezialfall: Konstante Beschleunigung
atxdtd
+= 0v
at+= 0v v:I Gleichung
00 xxt =⇒=
txx avg0 v+=
00 v2vvv)(v21v −=⇒+= avgavg
einsetzen in
at+=− 00avg vv2v
at21vv 0avg +=
für v einsetzen in
200
200
21vxx
21vxx
:IIGleichung
att
att
+=−
++=
Check it out
In den beiden Gleichungen werden 5 Variablen verwendet:
t, x-x0, v, v0, ajeweils 4 in jeder Gleichung
13
Spezialfall: Konstante BeschleunigungZeitinformation t nicht vorhanden
t, x, v, a, x0, v0
at+= 0v v(I)
)(2vvIII Gleichung
020
2 xxa −+=
200 2
1v(II) attx x ++=
at )v-v( 0=a
aaxx ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++= 2
200
00)v-(v
21v-vv
aaxx
20
220
000
v2vv-v21v-vv +
++=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +++= 2
022
00 00v
21vv-v
21v-vv1
axx
axx
2vv 22
00
−+=
Zeit t
auflösen nach t
ordnen
14
Spezialfall: Konstante BeschleunigungWert der Beschleunigung a nicht vorhanden
t, x, v, a, x0, v0
at+= 0vv200 2
1v attxx ++=
ta )v-v( 0=t
ttxx ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛++= 0
00v-v
21v
Zeit t ( ) ttxttxx 000000 v-vt21vv-v
21v ++=++=
( )txx 00 v-v21
IV Gleichung
+=
auflösen nach a
15
Spezialfall: Konstante BeschleunigungAnfangsgeschwindigkeit v0 unbekannt
t, x, v, a, x0, v0
at+= 0vv200 2
1v attxx ++=
at-vv0 =2
0 21)-v( attatxx ++=
Zeit t 22
0 21-v atattxx ++=
20 2
1v
V Gleichung
att-xx +=
auflösen nach v0
16
Spezialfall: Konstante BeschleunigungZusammenfassung
Insgesamt ergeben sich fünf Gleichungen, die man im Fall einer konstanten Beschleunigung verwenden kann
at+= 0vv
200 2
1v attxx ++=
Zeit t
20 2
1-v attxx +=
)(2vv 020
2 xxa −+=
( )txx 00 v-v21
+=
)( 0xx −
v
t
a
0v
Nicht benötigte VariableGleichung
Gleichungen gelten nur bei konstanter Beschleunigung!
17
Schiefe EbeneWie viel Zeit vergeht beim Abrollen eines Balles, wenn man gleiche Abstände wählt?
at+= 0vv
200 2
1vxx att ++=
( )
xat
tx
at
atx
xxx
Δ=Δ
≈Δ⇓
+=
++=
⇓ ===
²
0v2100
1
21
)(0v,0
1
00
xat
tx
taatatxx
at
attxx
Δ=Δ
≈Δ⇓
=+=−
↓=
++=
32
²
² 23²
21²
v
21v
12
1
2112
Position 1 nach 2Position 1Anfangsbedingung
18
Schiefe Ebene
( )
xat
tx
atatatatatatxx
atatatt
attatatxxx
attxx
xx
Δ≈Δ
≈Δ⇓
=++⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++=−
==⇒+=
++⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++=−
++=
⇓ =
52
²
²25
21²²
21²
21
²21 xund vvv
21v²
21²
21v
2223
1112
22123
2223
3
Wie viel Zeit vergeht beim Abrollen eines Balles, wenn man gleiche Abstände wählt?
at+= 0vv
200 2
1vxx att ++=Position 2 nach 3
Zeitintervalle werden kürzerKugel beschleunigt
19
Schiefe EbeneWo muss man Marken anbringen, wenn man gleiche Zeiten wählt?
...
Einheiten 9293
21x
Einheiten 42221x
Einheiten 1211
21x
0v0xingungAnfangsbed
23s
22s
21s
0
0
≈==
≈==
≈==
==
aa
aa
aa
Beispielsweise jede Sekunde
200 2
1vxx att ++=
20
Baseball pitcher
Fans, researchers, historians and even the players argue all the time about who was the fastest pitcher of all-time. The most widely quotedresponse is Nolan Ryan, whose fastball was "officially" clocked by theGuinness Book of World Records at 100.9 miles per hour in a gameplayed on August 20, 1974 versus the Chicago White Sox. A record
that's still included in the book.
)(2vv 020
2 xxa −+=
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Baseball pitcher
Fans, researchers, historians and even the players argue all the time about who was the fastest pitcher of all-time. The most widely quotedresponse is Nolan Ryan, whose fastball was "officially" clocked by theGuinness Book of World Records at 100.9 miles per hour in a gameplayed on August 20, 1974 versus the Chicago White Sox. A record
that's still included in the book.
sm1.45
3600sh
milem 1609.34
hmiles9.100
hmiles9.100vBB ===
ga
xva
BB
BB
30
s²m290
m 3.52sm1.45
2v
2
20
2BB
=
=⋅
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
=−
=
)(2vv 020
2 xxa −+=
23
Airbag
Autounfall auf einer Landstrasse, d.h. bei einer Geschwindigkeit von 100 km/s.Bei Frontalkollision erfolgt die Abbremsung innerhalb eines Meters (Knautschzone)
Wie schnell muß der Airbag aufgeblasen sein?
sm 28
s 3600m 10100 100
hkm 100v
3
C =⋅
==
Geschwindigkeit des Autos
)(2vv 020
2 xxa −+=
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Airbag
Autounfall auf einer Landstrasse, d.h. bei einer Geschwindigkeit von 100 km/s.Bei Frontalkollision erfolgt die Abbremsung innerhalb eines Meters (Knautschzone)
Wie schnell muß der Airbag aufgeblasen sein?
sm 28
s 3600m 1000 100
hkm 100vC ===
Geschwindigkeit des Autos
( )
ga
xx
xxa
xxa
S
S
S
S
40s²m392
2msm28
m1
)(2v
0v)(2vv
2
2C
2C
2S
−=−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−=
=−⇓
−−=
⇓
=−+=
stark negative Beschleunigung 0.072s
s²m390
sm280v-v
0vvv
CS
cS
=−
−==
⇓
=+=
at
at
S
minimale Aufblaszeit des Airbags
at+= 0vv
typische Werte 50 ms
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