Planejamento e Otimização de Experimentos · planejamentos fatoriais em três níveis, sendo...

Planejamento e Otimização de Experimentos

Modelos de Regressão e

Planejamentos em três níveis

Prof. Dr. Anselmo E de Oliveira

anselmo.quimica.ufg.br

anselmo.disciplinas@gmail.com.br

Ajuste de modelos de regressão

em geral, tem-se uma variável dependente,

ou resposta, y, que depende de k variáveis

independentes x1, x2, ..., xk

relação matemática entre y e x1, x2, ..., xk

modelo de regressão

• polinômio de menor ordem

𝒚 = 𝒇 𝒙𝟏, 𝒙𝟐, … , 𝒙𝒌

Ajuste de modelos de regressão

conexão entre o modelo de regressão e o

planejamento dos experimentos

expressão quantitativa do experimento

modelos empíricos

Modelos de regressão linear

modelo de Regressão Linear Múltipla (MLR), com duas variáveis

independentes

erro

b0: intersecção do plano

b1, b2: coeficientes parciais da regressão

Modelos de regressão linear

com k variáveis independentes

hiperplano no espaço de dimensão k

Modelos de regressão linear

modelo mais complexo, incluindo um

termo de interação

Modelos de regressão linear

modelo quadrático de superfície de

resposta com duas variáveis

linear

Modelos de regressão linear

Objetivo: estimar os parâmetros do modelo

ajuste do modelo

Estimativas para o modelo linear

n medidas > k variáveis/observações y1, y2, ..., yn

xij = i-ésima observação da variável xj

y1

y2

⁞

yn

x11

x21

⁞

xn1

x12

x22

⁞

xn2

x1k

x2k

⁞

xnk

n medidas

k variáveis/observações

n > k dificulta a

aplicação da MLR em

medidas de espectros

Estimativas para o modelo linear

𝒚 = 𝒃 𝟎 + 𝒃 𝒊𝒙𝒊𝒊

+ 𝒃 𝒊𝒙𝒊𝒙𝒋𝒊≠𝒋

+ 𝒃 𝒊𝒙𝒊𝟐𝒊

𝒊

+⋯

𝐗𝐭𝐲 = 𝐗𝐭𝐗𝐛

𝐗−𝟏𝐲 = 𝐗−𝟏𝐗𝐛 𝐈 = 𝐗−𝟏𝐗

X tem que possuir inversa,

e ser quadrada

𝐲 = 𝐗𝐛

𝐛 = 𝐗𝐭𝐗 −𝟏𝐗𝐭𝐲

𝐛 = 𝐗−𝟏𝐲

se não...

Estimativas para o modelo linear

escrever a equação em termo das observações

o método dos mínimos quadrados escolhe os bs de modo

que a soma dos quadrados dos erros, L, em y seja mínima.

L é minimizado em relação aos bs

Estimativas para o modelo linear

a forma matricial da estimativa dos mínimos

quadrados é

Exemplos:

• Planejamentos Fatoriais 3k

• Box-Behnken

• Plackett-Burman

• De um modo geral

Exemplo

concentração sinal

0 0,2

1 3,6

2 7,5

3 11,5

4 15,0

5 17,0

6 20,4

7 22,7

8 25,9

9 27,6

10 30,2

𝒚 = 𝒃 𝟎 + 𝒃 𝟏𝒙𝟏

Estimativas para o modelo linear

se X for quadrada

Exemplos: Planejamentos Fatoriais 22 e 23

Exemplo

Observação Temperatura

(oC)

Veloc. de alim. do catalisador

(lb/h)

Viscosidade

(cP)

1 80 8 2256

2 93 9 2340

3 100 10 2426

4 82 12 2293

5 90 11 2330

6 99 8 2368

7 81 8 2250

8 96 10 2409

9 94 12 2364

10 93 11 2379

11 97 13 2440

12 95 11 2364

13 100 8 2404

14 85 12 2317

15 86 9 2309

16 87 12 2328

Planejamento Fatorial 3k

3 níveis:

0: baixo (-1)

1: intermediário (0)

2: alto (+1)

• poucos fatores e muitos experimentos

• regressão com termos quadráticos

• cada efeito tem uma componente linear e quadrática

• não é a forma mais eficiente de modelar uma relação quadrática

Fator A

0

Fato

r B

1 2

0

1

2

00 10

01

02

11

12

20

21

22

Combinações em um Planejamento 32

Combinações em um Planejamento 33

Regressão

32 = 9 experimentos

33 = 27 experimentos

• Modelo de regressão para 32

termos quadráticos:

adição de um terceiro

nível

𝒚 = 𝒃 𝟎 + 𝒃 𝟏𝒙𝟏 + 𝒃 𝟐𝒙𝟐 + 𝒃 𝟏𝟐𝒙𝟏𝒙𝟐 + 𝒃 𝟏𝟏𝒙𝟏𝟏𝟐 + 𝒃 𝟐𝟐𝒙𝟐𝟐

𝟐

Planejamento Box-Behnken, 1960

É o mais usado para

planejamentos fatoriais em

três níveis, sendo possível

para mais do que três

variáveis independentes

• 12 pontos nos centros das arestas

• 3 pontos centrais

Planejamento Box-Behnken

Ensaios

X1 X2 X3

-1 -1 0

1 -1 0

-1 1 0

1 1 0

-1 0 -1

1 0 -1

-1 0 1

1 0 1

0 -1 -1

0 -1 1

0 1 -1

0 1 1

0 0 0

0 0 0

0 0 0

pontos

centrais

X1

X2 X3

p1

Planejamento Box-Behnken

relação empírica para três variáveis,

assumindo o modelo quadrático

𝒚 = 𝒃 𝟎 + 𝒃 𝟏𝒙𝟏 + 𝒃 𝟐𝒙𝟐 + 𝒃 𝟑𝒙𝟑 + 𝒃 𝟏𝟐𝒙𝟏𝒙𝟐 + 𝒃 𝟏𝟑𝒙𝟏𝒙𝟑+ 𝒃 𝟐𝟑𝒙𝟐𝒙𝟑 + 𝒃 𝟏𝟏𝒙𝟏𝟏

𝟐 + 𝒃 𝟐𝟐𝒙𝟐𝟐𝟐 + 𝒃 𝟑𝟑𝒙𝟑𝟑

𝟐

Três Níveis; k = 3

Um experimento foi conduzido para

estudar o efeito de três diferentes

tipos de garrafas (B) de 900 g (32 oz)

em três diferentes tipos de

prateleiras (C), considerando o tempo

gasto para armazenar 10 pacotes de

12 garrafas nas prateleiras, com três

trabalhadores (A) envolvidos.

Três Níveis; k = 3

• Trabalhador (A)

o 1

o 2

o 3

• Prateleira (C)

o Permanente

o Fim do corredor

o Geladeira

• Garrafa (B)

o Plástica

o Vidro de 28 mm

o Vidro de 38 mm

Experimento Execução A B C Y

1 5 -1.00 -1.00 -1.00 3.45

2 15 0.00 -1.00 -1.00 4.8

3 11 1.00 -1.00 -1.00 4.08

4 3 -1.00 0.00 -1.00 4.04

5 17 0.00 0.00 -1.00 4.52

6 10 1.00 0.00 -1.00 4.3

7 27 -1.00 1.00 -1.00 4.2

8 12 0.00 1.00 -1.00 4.96

9 20 1.00 1.00 -1.00 4.17

10 13 -1.00 -1.00 0.00 4.14

11 6 0.00 -1.00 0.00 5.22

12 21 1.00 -1.00 0.00 3.94

13 22 -1.00 0.00 0.00 4.38

14 25 0.00 0.00 0.00 5.15

15 7 1.00 0.00 0.00 4.53

16 14 -1.00 1.00 0.00 4.26

17 1 0.00 1.00 0.00 5.17

18 16 1.00 1.00 0.00 4.86

19 18 -1.00 -1.00 1.00 5.8

20 26 0.00 -1.00 1.00 6.21

21 9 1.00 -1.00 1.00 5.14

22 8 -1.00 0.00 1.00 5.48

23 4 0.00 0.00 1.00 6.25

24 19 1.00 0.00 1.00 4.99

25 2 -1.00 1.00 1.00 5.67

26 23 0.00 1.00 1.00 6.03

27 24 1.00 1.00 1.00 4.85

3k completo • 27 experimentos

• Matriz X não é quadrada

𝐛 = 𝐗𝐓𝐗−𝟏𝐗𝐓𝐘

Box-Behnken • 14 experimentos (12 +2pc)

• sempre incluir pontos centrais: alias

• não considerar o efeito ABC na matriz X

Experimento Execução A B C Y

1 9 -1.00 -1.00 0.00 4.14

2 7 1.00 -1.00 0.00 3.94

3 14 -1.00 1.00 0.00 4.26

4 6 1.00 1.00 0.00 4.86

5 1 -1.00 0.00 -1.00 4.07

6 10 1.00 0.00 -1.00 4.3

7 8 -1.00 0.00 1.00 5.48

8 12 1.00 0.00 1.00 4.99

9 11 0.00 -1.00 -1.00 4.8

10 13 0.00 1.00 -1.00 4.96

11 4 0.00 -1.00 1.00 6.21

12 3 0.00 1.00 1.00 6.03

13 5 0.00 0.00 0.00 4.65

14 2 0.00 0.00 0.00 5.15

Três Níveis; k = 3

3k completo

Coeficientes

o C = 0,66

o AC = -0,24

o A2 = -0,80

o C2 = 0,31

Box-Behnken

Coeficientes

o C = 0,57

o A2 = -0,7

o C2 = 0,5