View
59
Download
3
Category
Preview:
DESCRIPTION
Polinom dan Bangun Geometris. Mononom dan Polinom. Mononom. 0. x. -. 5. -. 4. -. 3. -. 2. -. 1. 0. 1. 2. 3. 4. 5. -20. -40. -60. -80. y. -100. Mononom. Mononom adalah pernyataan tunggal yang berbentuk kx n. Karena x 2 0 ,maka jika k > 0 y > 0 - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
Polinom dan
Bangun Geometris
Mononom
Mononom
Mononom adalah pernyataan tunggal yang berbentuk kxn
Mononom Pangkat Dua: 2kxy
y = x2
y = 3x2y = 5x2y
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
-3 -2 -1 0 1 2 3x-100
-80
-60
-40
-20
0 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
y
x
210xy
22xy
Contoh:
y memiliki nilai maksimum
Karena x2 0,maka jika k > 0 y > 0 jika k < 0 y < 0
y memiliki nilai minimum
y1 = 10x2
y2 = 10(x2)2
y3 = 10(x2)2 + 30
Pergeseran kurva mononom pangkat dua
-5 -3 3 5x0
50
100
-1 1
y
Pergeseran ke arah sumbu-x positif
Pergeseran ke arah sumbu-y positif
Mononom Pangkat Genap pada umumnya
y2 = 2x4
y3 = 2x6
y1 = 2x2
0
1
2
3y
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5x
0
2
4
6
8
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
y = x6
y = 3x4
y = 6x2 y
x
Pada mononom berpangkat genap, makin besar pangkat makin melandai
kurva di sekitar titik puncak
Jika kurva-kurva ini memiliki nilai k yang sama maka mereka
berpotongan di titik P[1,k]
Koordinat titik potong antara kurva
1223dan 2
236
3dan 6 :Kurva
4
242
42
yx
xxx
xyxy
813dan 3
33
3dan :Kurva
6
246
46
yx
xxx
xyxy
Contoh:
Kurva mononom pangkat genap simetris terhadap sumbu-y
Mononom Pangkat Ganjil
-3
-2
-1
0
1
2
3
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
y = 2x y = 2x5
y = 2x3
y
x
Pangkat ganjil terendah: linier
Jika kurva-kurva ini memiliki nilai k yang sama maka mereka
berpotongan di titik P[1,k]
Makin tinggi pangkat mononom, makin landai kurva di sekitar titik [0,0] yaitu titik yang merupakan
titik belok
Kurva mononom pangkat ganjil simetris terhadap titik [0,0]
Mononom Pangkat Tiga
-500
-400
-300
-200
-100
0
100
200
300
400
500
-2 -1 0 1
y
-5 -4 -3 2 3 4 5x
33xy 32xy
Mononom pangkat tiga
Simetris terhadap [0,0]
y = 10(x2)3
y = 10(x2)3 + 100
y = 10x3
-5 -3 3 5x
-600
-400
-200
0
200
400
600
-1 1
y
Pergeseran mononom pangkat tiga ke arah
sumbu-x positif
Pergeseran ke arah sumbu-y positif
Polinom
Polinom Pangkat Dua cbxaxy 2
y1=2x2
y3=13
y2=15x
x-10
y
-150
0
150
0 10
13152 2 xxy
y1=2x2
y4 = 2x2+15x
y2=15xx = 15/2
y
-150
0
150
0 x-10 10
Kurva masing-masing komponen (mononom)
dari polinom:
Penjumlahan mononom pertama dan ke-dua: xxy 152 2
Perpotongan dengan sumbu-x
2
151520 2 xxx
y4 = 2x2+15x
15/2
x
y
-150
0
150
-10 0
sumbu simetri
15/4
10
y4 = 2x2+15x
x
y
-150
0
150
-10 0
sumbu simetri y5 = 2x2+15x+13
10
Sumbu simetri dari xxy 152 2
memotong sumbu-x di: 4
15x
Penambahan komponen y3 = 13 memberikan:
13152 2 xxy
Koordinat titik puncak:
125,15134
1515
4
152
75,34/152
y
x
y = ax2 +bx +c
y = ax2
y
x0
0
Polinom Pangkat Dua secara umum
x2x1
Sumbu simetri:
a
bx
2
a
acb
a
bxa
ca
b
a
bxa
cxa
bxay
4
4
2
42
22
22
2
Pergeseran ke arah kiri sumbu-x
Pergeseran ke arah negatif sumbu-y
a
acb
4
42
Penjumlahan: y3 = y1 + y2
-2000
0
2000
-10 0 10x
y
y1
y2
20080194 233 xxxy
Polinom Pangkat Tiga: mononom pangkat tiga + polinom pangkat dua
dcxbxaxy 23
Mononom pangkat tiga (y1)Dan
Polinom pangkat dua (y2)
-2000
0
2000
-10 0 10
y
x
y1 = 4x3
2008019 22 xxy
y3 memotong sumbu-x di 3 titik
Hal ini tidak selalu terjadiTergantung dari nilai koefisien y1
2000
-10 10
y2
y1
y3 = y1 + y2
-2000
Kasus: a kurang positifPenurunan kurva y1 di daerah x
negatif tidak terlalu tajam Kurva terlihat hanya memotong
sumbu-x di 2 titikTitik potong ke-3 jauh di sumbu-x
negatif
-2000
2000
-10 15
y1
y2
y3 = y1+y2
Kasus: a terlalu positif Penurunan y1 di daerah negatif
sangat tajamTak ada titik potong dengan sumbu
di daerah x negatifHanya ada satu titik potong di x
positif
31 axy
dcxbxaxy 23
31 axy
y3 = y1 + y2
y1
y2
-2000
0-10 0 15
2000
dcxbxaxy 23
y3 = y1 + y2
-2000
0
2000
-10 0 15
331 kxaxy
dcxbxy 22
a < 0Kurva y3 berpotongan dengan sumbu-x di tiga tiga tempat. Akan tetapi perpotongan yang ke-tiga berada jauh di daerah x positif
Jika a terlalu negatif kurva berpotongan dengan sumbu-x di satu tempat
• jika fungsi tidak berubah apabila x kita ganti dengan x maka kurva fungsi tersebut simetris terhadap sumbu-y;
• jika fungsi tidak berubah apabila x dan y dipertukarkan, kurva funsi tersebut simetris terhadap garis-bagi kuadran I dan III.
• jika fungsi tidak berubah apabila y diganti dengan y, kurva funsi tersebut simetris terhadap sumbu-x.
• jika fungsi tidak berubah jika x dan y diganti dengan x dan y, kurva fungsi tersebut simetris terhadap titik-asal [0,0].
Simetri
Nilai Peubah
Dalam melihat bentuk-bentuk geometris hanya nilai-nyata dari y dan x yang kita perhatikan
Kita menganggap bahwa bilangan negatif tidak memiliki akar, karena kita belum membahas bilangan kompleks
Contoh: 122 xy
21 xy
Apabila |x| > 1, maka (1 - x2) < 0
11 y
Karena kurva ini simetris terhadap garis y = x, maka ia memiliki nilai juga terbatas pada rentang
11 x
Dalam hal demikian ini kita membatasi x hanya pada rentang
Titik Potong Dengan Sumbu Koordinat
Koordinat titik potong dengan sumbu-x dapat diperoleh dengan memberi nilai y = 0, sedangkan koordinat titik potong dengan sumbu-y diperoleh dengan memberi nilai x = 0. Apabila dengan cara demikian tidak diperoleh nilai y ataupun x maka kurva tidak memotong sumbu-x maupun sumbu-y
Contoh:
122 xy
Titik potong dengan sumbu-x adalah P[1,0] dan Q[1,0]. Titik potong dengan sumbu-y adalah R[0,1] dan S[0,1]
xy = 1
Kurva fungsi ini tidak memotong sumbu-x maupun sumbu-y
Asimptot
Suatu garis yang didekati oleh kurva namun tidak mungkin menyentuhnya, disebut asimptot
Contoh:
10)( 222 xxxy)1(
102
xx
xy
tidak boleh < 0 agar x(x1) > 0
haruslah x < 0 atau x > 1
Tidak ada bagian kurva yang berada antara x = 0 dan x = 1. Garis vertikal x = 0 dan x = 1 adalah asimptot dari kurva
-4
0
4
-4 0 4
y
x
Jarak Antara Dua Titik
Jika P[xp,yp) dan Q[xq,yq], maka
22 )()(PQ qpqp yyxx
Contoh:
-4
-2
2
4
6
8
-1 0 1 2 3 4x
y
0
[1,4]
[3,8]
20)48()13(PQ 22
Parabola Bentuk kurva 2kxy disebut parabola
[0,0]
y
x
y=kx2
P terletak pada kurva Q terletak di sumbu-yy = p garis sejajar sumbu-x R terletak pada garis y
ada suatu nilai k sedemikian rupa sehingga PQ = PR
Q disebut titik fokus parabola Garis y disebut direktrik
Titik puncak parabola berada di tengah antara titik fokus dan direktriknya
xppyy
xpy
xp
222
22
22
2
)(
)PR(PQ
py )(PR
pyxppyy 222 2p
xy
4
2
pk
4
1
kp
4
1
2
4
1x
py
P[x,y]
Q[0,p]
R[x,p]
Contoh:
Parabola 25,0 xy
dapat kita tuliskan
22
5,04
1
2
1xxy
Direktrik: 5,0 py
Titik fokus: Q[0,(0,5)]
Lingkaran
Lingkaran merupakan tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap satu titik tertentu
yang disebut titik pusat lingkaran
Jika titik pusat lingkaran adalah [0,0] dan jari-jari lingkaran adalah r
22 yxr 222 ryx
persamaan lingkaran berjari-jari r
berpusat di [0.0]
222 )()( rbyax Pergeseran titikpusat lingkaran sejauh a kearah sumbu-xdan sejauh b ke arah sumbu-y
Persamaan umum lingkaranberjari-jari r berpusat di (a,b)
-1
1
-1 1
0,5
0,5
[0,0] x
y
r = 1
122 yx
r
222 )5,0()5,0( ryx
Contoh:
Elips Elips adalah tempat kedudukan titik yang jumlah jarak terhadap dua titik tertentu adalah konstan
Dua titik tertentu tersebut merupakan dua titik fokus dari elips
X[x,y]
P[-c, 0] Q[c, 0] x
y22)(XP ycx
22)(XQ ycx
aycxycx
a
2)()(
misalkan kita 2XQXP
2222
22)( ycxxa
ca
2222222 )()(44)( ycxycxaaycx
2222 )(2)( ycxaycx
22222
22 22 yccxxx
a
ccxa 1
22
2
2
2
ca
y
a
x
kwadratkan
kwadratkan
sederhanakan
22 2 2XQXP :PXQ segitiga di caca
12
2
2
2
b
y
a
x
222 cab
12
2
2
2
b
y
a
x
X[x,y]
P[-c, 0] Q[c, 0] x
y[a,0] [a,0]
[0,b]
[0,b]
sumbu panjang = 2a
sumbu pendek = 2b
Elips tergeser
1)()(
2
2
2
2
b
qy
a
px 122 aa
5,012 bb1
-1
0-1 0 1 2x
y
15,0
)25,0(
1
)5,0(2
2
2
2
yx
5,0p
25,0q
Hiperbola Hiperbola merupakan tempat kedudukan titik-titik yang selisih jaraknya antara dua titik tertentu adalah konstan
X(x,y)
P[-c,0] Q[c,0]
y
x
22)(XP ycx 22)(XQ ycx
aycxycx
XQXP
2)()( 2222
2222 )(2)( ycxaycx
22)()/( ycxaxac
122
2
2
2
ac
y
a
x
Dalam segitiga PXQ, selisih (XPXQ) < PQ
2c < 2a c2 a2 = b2
12
2
2
2
b
y
a
x
kwadratkan dan sederhanakan kwadratkan
persamaan hiperbola
12
2
2
2
b
y
a
x
+
X(x,y)
-c c
y
x
[-a,0] [a,0]
Kurva tidak memotong sumbu-y
Tidak ada bagian kurva yang terletak antara x = a dan x = a
222 acb
Kurva Berderajat Dua
Parabola, lingkaran, elips, dan hiperbola adalah bentuk-bentuk khusus kurva berderajat dua, atau kurva pangkat dua
Bentuk umum persamaan berderajat dua adalah
022 FEyDxCyBxyAx
Persamaan parabola: pEAFDCB 4 ;1 ;0
Lingkaran: ;1 ;1 ;0 CAEDB F = 1
Bentuk Ax2 dan Cy2 adalah bentuk-bentuk berderajat dua yang telah sering kita temui pada persamaan kurva yang telah kita bahas.
Namun bentuk Bxy yang juga merupakan bentuk berderajat dua, belum kita temui dan akan kita lihat berikut ini
Perputaran Sumbu Koordinat
Hiperbola dengan titik fokus tidak pada sumbu-x
aayaxayax 2)()()()( 2222
22 )()( ayaxayx
22 axy
Mempetukarkan x dengan y tidak mengubah persamaan ini. Kurva persamaan ini simetris terhadap garis y = x,
2222 )()(2)()( ayaxaayax
Kurva hiperbola ini memiliki sumbu simetri yang terputar 45o berlawanan dengan arah perputaran jarum jam, dibandingkan dengan sumbu simetri hiperbola sebelumnya, yaitu sumbu-x. -5
0
5
-5 0 x
y
P[-a,-a]
Q[a,a]
y
x
X[x,y]
CourseWare
Polinom dan Bangun GeometrisSudaryatno Sudirham
Recommended