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Polinomios de Zernike para representar la
Aberración de un Frente de Onda
Daniel Malacara-Hernández
Centro de Investigaciones en Optica, A. C.
Junio, 2015
Frente de onda plano
Frente de onda esferico Frente de onda aberrado
Ojo ideal, perfecto Ojo con aberraciones
Aberraciones del Ojo Humano
Polinomios de Zernike • Los polinomios de Zernike para representar aberraciones del frente de onda se han usado durante muchos años. • En el año 2000 se adoptó su uso en optica oftálmica como el standard. • Hay muchas ventajas pero también desventajas en su representación.
Algunas ventajas y desventajas • Los polinomios de Zernike son ideales para extraer las características de orden bajo del frente de onda. • Fallan en preservar las componentes de alta de frecuencia espacial del frente de onda.
Representacion del frente de onda con polinomios de Zernike Zn(ρ, θ) es un polinomio de grado n
0
( , ) ( , )ρ θ ρ θ=
=∑M
n nn
W a Z
Minimización por mínimos cuadrados Los coeficientes a se obtienen minimizando las desviaciones dentro de la pupila con semi-diámetro unitario: haciendo:
22 1
00 0
( , ) d dπ
θ ρ
ε ρ θ ρ ρ θ== =
⎛ ⎞−⎜ ⎟
⎝ ⎠= ∑∫ ∫
M
n nna Z W'
2 1
00 0
2 ( , ) ( , ) d d 0π
θ ρ
ερ θ ρ θ ρ ρ θ
== =
∂ ⎛ ⎞− =⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠
= ∑∫ ∫M
n n knk
a Z W' Za
Sistema lineal de ecuaciones Sistema de M ecuaciones:
2 1 2 1
00 0 0 0
( , ) ( , ) d d ( , ) d dπ π
θ ρ θ ρ
ρ θ ρ θ ρ ρ θ ρ θ ρ ρ θ== = = =
=∑∫ ∫ ∫ ∫M
n n k kna Z Z W'Z
Orthogonalidad de los polinomios de Zernike Si los polinomios de Zernike satisfacen la condición de ortogonalidad: Por lo tanto, la matriz del sistema es diagonal.
2 1
,00 0
( , ) ( , ) d dπ
θ ρ
ρ θ ρ θ ρ ρ θ δ== =
=∑∫ ∫M
n k n n knZ Z C
Coeficientes de los polinomios Los coeficientes del polinomio quedarían dados por: evitando así una inversión del la matriz.
2 1
0 0
1 ( , ) d dπ
θ ρ
ρ θ ρ ρ θ= =
= ∫ ∫k kn
a W'ZC
Ventajas de los polinomios de Zernike 1.- Si los puntos de muestreo forman una base continua (muy densa y uniforme), la matriz es diagonal. 2.- Las aberraciones son independientes unas de otras. 3.- Tienen la misma base todas les medidas. 4.- Cada aberración está minimizada.
Problemas de los polinomios de Zernike en las medidas de Shack-Hartmann 1.- Los puntos de muestreo no estan uniformemente espaciados ni su densidad es muy alta. 2.- Se miden las pendientes (aberraciones transversales y no las deformaciones del frente de onda. 3.- Las aberraciones interaccionan una con otra. 4.- La matriz del sistema no es diagonal. 5.- Los ajustes polinómicos no pueden representar deformaciones locales.
Soluciones propustas en el pasado 1.- Se construye un conjunto de polinomios ortogonales vectoriales con una ortogonalización de Gram-Schmidt de los gradientes de los polinomios de Zernike (Zhao and Burge (2007 and 2008). Los polinomios vectoriales tienen que construirse para cada conjunto de datos. 2.- Dai (2006) propone análisis con componentes de Fourier. 3.- Iskander, Morelande et al (2002) estudiaron una representación con los polinomios de Bathia-Wolf. 4.- Treviño (2013) usa funciones circulares de Bessel. 5.- Montoya (1999) propuso el uso de funciones Gaussianas. 6.- Langenbucher et al (2002) usa wavelets. 7.- Iskander (2009) propone el uso de esféricos armónicos. etc., etc.
Propuesta El uso de términos monomiales en coordenadas polares para hacer el ajuste de mínimos cuadrados de los datos del patrón de Shack-Hartmann. Ventaja: Las expresiones para las aberraciones son más sencillas y la inversión de la matriz requiere menos cálculos numéricos. Desventaja: Las aberraciones no son ortogonales y la matriz del sistema no es diagonal.
Aberraciones Monomiales del Frente de onda
r n M Polynomial P o l a r coordinates
Aberra2on
1 0 0 1 Piston 2 1 1 ρ cos θ Tilt about y axis 3 2 ρ sin θ Tilt about x axis 4 2 1 ρ2 Focus shi7 5 2 ρ2 cos 2θ As9gma9sm; axis at 00 or 900
6 3 ρ2 sin 2θ As9gma9sm; axis at ± 450 7 3 1 ρ3 cos θ Primary coma along x axis 8 2 ρ3 sin θ Primary coma along y axis 9 3 ρ3 cos 3θ Triangular as9gma9sm; base on x axis 10 4 ρ3 sin 3θ Triangular as9gma9sm; base on y axis
11 4 1 ρ4 Primary spherical 12 2 ρ4 cos 2θ 5th order as9gma9sm; axis at 00 or 900 13 3 ρ4 sin 2θ 5th order as9gma9sm; axis at ± 450
14 4 ρ4 cos 4θ Ashtray at ± 450
15 5 ρ4 sin 4θ Ashtray at 220 ± 450
r n M Polynomial P o l a r coordinates
Aberra2on
16 5 1 ρ5 cos θ 5th order coma along x axis
17 2 ρ5 sin θ 5th order coma along y axis
18 3 ρ5 cos 3θ
19 4 ρ5 sin 3θ
20 5 ρ5 cos 5θ
21 6 ρ5 sin 5θ
r n M Polynomial Polar coordinates
Aberra2on
22 6 1 ρ6 5th order spherical 23 2 ρ6 cos 2θ 7th order as9gma9sm; axis at 00 or
900 24 3 ρ6 sin 2θ 7th order as9gma9sm; axis at ± 450
25 4 ρ6 cos 4θ 26 5 ρ6 sin 4θ 27 6 ρ6 cos 6θ 28 7 ρ6 sin 6θ 29 7 1 ρ7 cos θ 7th order coma along x axis 30 2 ρ7 sin θ 7th order coma along y axis 31 3 ρ7 cos 3θ 32 4 ρ7 sin 3θ 33 5 ρ7 cos 5θ 34 6 ρ7 sin 5θ 35 7 ρ7 cos 7θ 36 8 ρ7 sin 7θ 37 8 1 ρ8 7th order spherical
En conclusion: Los polinomios de Zernike son ideales para representar las aberraciones de un frente de onda de un sistema óptico en: a) Interferometría de desplazamiento de fase. b) Medidas directas del frente de onda con alta densidad. con algunas excepciones: a) Datos muy espaciados. b) Las medidas son las pendientes y no las desviaciones del frente de onda. c) Hay irregularidades locales no representables por polinomios.
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