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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS
Programa de Pós-Graduação em Ensino de Matemática
Área de Concentração: Ensino de Ciências e Matemática
Eixo Temático: Ensino de Matemática
Rosimara Mesquita Miranda Bicalho
CONSTRUINDO O CONCEITO DE ÁREA DE FIGURAS PLANAS A PARTIR DE
PRÁTICAS INVESTIGATIVAS
Belo Horizonte
2020
Rosimara Mesquita Miranda Bicalho
CONSTRUINDO O CONCEITO DE ÁREA DE FIGURAS PLANAS A PARTIR DE
PRÁTICAS INVESTIGATIVAS
Dissertação apresentada à Pontifícia Universidade
Católica de Minas Gerais, como exigência parcial
para obtenção do título de Mestre em Ensino de
Matemática.
Área de concentração: Ensino de Ciências e
Matemática
Orientadora: Profa. Dra. Eliane Scheid Gazire.
Belo Horizonte
2020
FICHA CATALOGRÁFICA
Elaborada pela Biblioteca da Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais
Bicalho, Rosimara Mesquita Miranda
B583c Construindo o conceito de área de figuras planas a partir de práticas
investigativas / Rosimara Mesquita Miranda Bicalho. Belo Horizonte, 2020.
225 f. : il.
Orientadora: Eliane Scheid Gazire
Dissertação (Mestrado) – Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais.
Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática
1. Matemática (Ensino fundamental) - Estudo e ensino. 2. Geometria - Estudo
e ensino. 3. Geometria plana. 4. Cálculo. 5. Estratégias de aprendizagem. 6.
Prática de ensino. I. Gazire, Eliane Scheid. II. Pontifícia Universidade Católica de
Minas Gerais. Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática.
III. Título.
CDU: 513:373
Ficha catalográfica elaborada por Fabiana Marques de Souza e Silva – CRB 6/2086
Rosimara Mesquita Miranda Bicalho
CONSTRUINDO O CONCEITO DE ÁREA DE FIGURAS PLANAS A PARTIR DE
PRÁTICAS INVESTIGATIVAS
Dissertação apresentada à Pontifícia Universidade
Católica de Minas Gerais, como exigência parcial
para obtenção do título de Mestre em Educação
Matemática.
Área de concentração: Ensino de Ciências e
Matemática
_____________________________________________________________
Profa. Dra. Eliane Scheid Gazire – PUC/MG (Orientadora)
_____________________________________________________________
Prof. Dr. Dimas Felipe de Miranda– PUC/MG (Banca examinadora)
______________________________________________________________
Prof. Dra Cláudia de Vilhena Schayer Sabino – PUC/ MG (Banca examinadora)
Belo Horizonte, 24 abril de 2020.
Dedico este trabalho:
Ao meu amado esposo, Geraldo, por todo apoio, companheirismo, motivação e carinho
dedicados a mim, sem os quais não seria possível a concretização deste.
Aos meus filhos, Lucas Daniel e Larissa Manuela (ainda no meu ventre), presentes que Deus
me concedeu, razão de todos os meus planos e objetivos de vida.
Ao meu pai, Rafael, e à minha tia, Maria Ísis, pelo carinho e incentivo.
À minha mãe, pelo incentivo ao magistério.
Aos meus sogros, D. Margarida e Sr. Sebastião, pelo apoio incondicional.
AGRADECIMENTOS
Agradeço a Deus, por me guiar e me fortalecer a cada obstáculo.
À minha família, base fortalecedora, pelo apoio incondicional. Em especial ao meu marido,
que jamais me deixou desistir.
À professora Eliane Scheid Gazire, pela sua orientação e apoio, tornando possível a
concretização desta pesquisa.
Aos professores que, delicadamente, aceitaram o convite para participarem da minha banca.
Aos professores do mestrado: Mariana Veríssimo Soares de Aguiar e Silva, Amauri Carlos
Ferreira, Elenice de Souza Lodron Zuin, João Bosco Laudares, Lídia Maria Luz Paixão
Ribeiro de Oliveira, Eliane Scheid Gazire e Tânia Fernandes Bogutchi, por todos os
ensinamentos, pela prestatividade, apoio e amparo. A ajuda de vocês foi importantíssima para
a construção de todo esse trabalho.
Aos colegas do mestrado, pelas discussões e aprendizagens compartilhadas, e pelo apoio nas
horas difíceis.
Aos alunos que participaram desta pesquisa, por contribuírem com meu aprimoramento
profissional e pela minha realização pessoal, na conquista deste sonho.
A todos os que contribuíram direta ou indiretamente na concretização desta pesquisa.
RESUMO
Buscou-se, por meio desta pesquisa, verificar as contribuições que emergem, no processo de
ensino/aprendizagem, ao se estimular a construção de conceitos e a dedução de fórmulas de
áreas de algumas figuras geométricas planas, a partir da experimentação e da (de)composição
dessas figuras. Os sujeitos da pesquisa foram alunos do 6º Ano do Ensino Fundamental Anos
Finais, regularmente matriculados na Escola Estadual Ministro Edmundo Lins, em Serro/
MG, no ano de 2019. Diante de uma constante defasagem no conceito e conteúdo de cálculo
de áreas e das dificuldades percebidas pela pesquisadora em sua trajetória, como professora,
ao resolver questões que tinham esse assunto como pré-requisito, tanto no Ensino
Fundamental como no Médio, ficou claro que esse seria um tema relevante e motivador a ser
tratado nessa pesquisa. Para tanto, essa pesquisa inicia, apontando as origens históricas da
Geometria, tendo, como referência, Boyer e Merzbach (2012); formata um conjunto de
atividades didáticas com suporte na abordagem e conteúdos desenvolvidos por Van de Walle
(2009), sobre áreas de figuras geométricas planas, que é o foco desta pesquisa. A
pesquisadora tomou a liberdade de organizar essas atividades didáticas, em conformidade
com os elementos da teoria da Investigação Matemática, desenvolvida por Ponte, Brocardo e
Oliveira (2009), separando-as, então, em Momentos, e aplicando-as aos sujeitos dessa
pesquisa. Como resultado, foi percebido, durante a aplicação, um grande envolvimento dos
alunos, com muitos diálogos, conjecturas e interessante produção de dados para análise.
Como Produto dessa pesquisa, após as atividades aplicadas e revisadas, foi feita a elaboração
de um caderno com essas atividades investigativas, voltadas à prática de sala de aula. Este
caderno encontra-se no Apêndice dessa dissertação e, também, está no Site do Mestrado,
disponível para professores de Matemática, estudantes e interessados, que busquem
proporcionar experiências que possam contribuir para a construção/dedução/ressignificação
dos conceitos de áreas de figuras geométricas planas, em especial os triângulos e
quadriláteros, através da (de)composição dessas figuras e experimentação.
Palavras-chave: Investigação, (de)composição, experimentação, dedução, conceito de áreas,
figuras planas.
ABSTRACT
It was sought, through this research, to verify the contributions that emerge, in the teaching /
learning process, when stimulating the construction of concepts and the deduction of formulas
of areas of some flat geometric figures, from the experimentation and (de)composition of
these figures. The research subjects were students of the 6th Year of Elementary School Final
Years, regularly enrolled at the State School Ministro Edmundo Lins, in Serro/MG, in 2019.
Faced with a constant gap in the concept and content of calculating areas and difficulties
perceived by the researcher in her trajectory, as a teacher, when solving questions that had this
subject as a prerequisite, both in elementary and high school, it was clear that this would be a
relevant and motivating topic to be addressed in this research. To this end, this research
begins, pointing out the historical origins of Geometry, having Boyer and Merzbach (2012) as
a reference; formats a set of didactic activities supported by the approach and content
developed by Van de Walle (2009), on areas of flat geometric figures, which is the focus of
this research. The researcher took the liberty of organizing these didactic activities, in
accordance with the elements of the Mathematical Investigation theory, developed by Ponte,
Brocardo and Oliveira (2009), separating them, then, in Moments, and applying them to the
subjects of this research. As a result, it was noticed, during the application, a great
involvement of the students, with many dialogues, conjectures and interesting production of
data for analysis. As a Product of this research, after the applied and revised activities, a
notebook was made with these investigative activities, aimed at classroom practice. This
notebook can be found in the Appendix of this dissertation and is also available on the
Master's Website, available to Mathematics teachers, students and interested parties, who seek
to provide experiences that can contribute to the construction/deduction/reframing of the
concepts of geometric figures areas flat, especially triangles and quadrilaterals, through the
(de)composition of these figures and experimentation.
Keywords: Investigation, (de)composition, experimentation, deduction, concept of areas, flat
figures.
LISTA DE FIGURAS
Figura 1 – Imagem do Tangram .................................................................................. 31
Figura 2 - Imagem de um retângulo quadriculado .................................................... 39
Figura 3 - Foto da fachada da Escola Estadual Ministro Edmundo Lins ................ 44
Figura 4 – Modelo de atividade do produto e suas características – Parte 1 ........... 49
Figura 5 – Modelo de atividade do produto e suas características – Parte 2 ........... 50
Figura 6 – Modelo de atividade do produto e suas características – Parte 3 ........... 51
Figura 7 – Tarefa da atividade para imprimir para o aluno ..................................... 52
Figura 8 - Medindo a altura da carteira com o palmo da mão ................................. 57
Figura 9 - Medindo a largura da porta com os pés .................................................... 58
Figura 10 - Medindo o lado mais comprido da carteira usando palitos de picolé ... 58
Figura 11 - Comparando o comprimento da mesa do professor em relação à tira de
cartolina recebida .......................................................................................................... 61
Figura 12 - Caminhos curvos e dobrados .................................................................... 62
Figura 13 - Construção das réguas não padrões ......................................................... 67
Figura 14 - Medindo os objetos da sala de aula .......................................................... 67
Figura 15 - Construção da régua do Aluno A1 ........................................................... 68
Figura 16 - Medindo os objetos da sala usando a régua padrão ............................... 69
Figura 17 - Preenchimento das figuras com feijão ..................................................... 74
Figura 18 – Registro da resolução da Aluna A2 da Atividade 7 ............................... 78
Figura 19 - Quadrado Azul, Grupo 1 .......................................................................... 82
Figura 20 - Quadrado Rosa, Grupo 2 .......................................................................... 83
Figura 21 - Quadrado salmão, Grupo 3 ...................................................................... 84
Figura 22 - Resposta da Atividade 9 – Item 2(a) ........................................................ 89
Figura 23 - Resposta da Atividade 9 – Item 2(b) ........................................................ 91
Figura 24 - Resposta da Atividade 9 – Item 2(c) ......................................................... 92
Figura 25 - Resposta da Atividade 9 – Item 2(d) ........................................................ 93
Figura 26 - Resposta da Atividade 9 – Item 2(f) ......................................................... 94
Figura 27 - (De)compondo a folha de jornal (retângulo) em um quadrado ............. 98
Figura 28 - (De)compondo a folha retangular em um paralelogramo.................... 103
Figura 29 - (De)compondo a folha retangular em um triângulo ............................. 107
Figura 30 - Imagem do ângulo reto, feito pela professora no triângulo e na lousa109
Figura 31 - (De)compondo a folha retangular em um losango ................................ 113
Figura 32 - (De)compondo a folha retangular em um Trapézio ............................. 118
Figura 33 - Trapézio dividido em três partes sugerido pelo Aluno A5 ................... 120
Figura 34 - Diagonal no trapézio feita pelos alunos ................................................. 121
Figura 35 - Esboço da altura no triângulo menor feito pelo aluno M .................... 121
Figura 36 - Esboço da altura do triângulo ABC feito na lousa pela professora .... 122
Figura 37 - Esboço dos triângulos ACD e ABC, feitos pelos alunos no trapézio ... 123
Figura 38 – Registro da Resolução da Atividade 16 - Item 1(a) .............................. 131
Figura 39 - Registro da Resolução da Atividade 16 - Item 1(b) .............................. 131
Figura 40 – Registro da Resolução da Atividade 16 - Item 1(c) .............................. 132
Figura 41 – Registro da Resolução da Atividade 16 - Item 1(d).............................. 133
LISTA DE TABELAS
Tabela 1 - Unidades de medida comumente encontradas .......................................... 37
LISTA DE QUADROS
Quadro 1 – Título da atividade “Maior, menor, igual” ............................................. 25
Quadro 2 – Título da atividade “Caçada dos comprimentos (ou unidades)” .......... 26
Quadro 3 – Título da atividade “Caminhos dobrados” ............................................. 26
Quadro 4 – Título da atividade “Qual a altura do professor?” ................................ 27
Quadro 5 – Título da atividade “Faça sua própria régua”........................................ 28
Quadro 6 – Título da atividade “Comparar retângulos – sem unidades” ............... 30
Quadro 7 – Título da atividade “Áreas no Tangram”. .............................................. 32
Quadro 8 – Título da atividade “Preencher e comparar” ......................................... 33
Quadro 9 – Título da atividade “Comparação de retângulos: unidades quadradas”
.................................................................................................................................... 33
Quadro 10 – Título da atividade “Perímetros fixos”.................................................. 35
Quadro 11 – Título da atividade “Áreas fixas” .......................................................... 35
Quadro 12 – Título da atividade “Sobre uma unidade” ............................................ 36
Quadro 13 – Título da atividade “Adivinhe a unidade” ............................................ 37
Quadro 14 – Título da atividade “Área de um paralelogramo” ............................... 40
Quadro 15 – Título da atividade “Área de um triângulo” ......................................... 41
Quadro 16 – Análise das questões ................................................................................ 46
Quadro 17 – Descrição da Atividade 1 ........................................................................ 56
Quadro 18 – Enunciado da atividade 1 ....................................................................... 56
Quadro 19 – Descrição da Atividade 2 ........................................................................ 59
Quadro 20 – Enunciado da atividade 2 ....................................................................... 60
Quadro 21 – Descrição da Atividade 3 ........................................................................ 61
Quadro 22 – Enunciado da Atividade 3....................................................................... 62
Quadro 23 – Descrição da Atividade 4 ........................................................................ 63
Quadro 24 – Enunciado da Atividade 4....................................................................... 64
Quadro 25 – Descrição da Atividade 5 ........................................................................ 65
Quadro 26 – Enunciado da Atividade 5....................................................................... 66
Quadro 27 – Descrição da Atividade 6 ........................................................................ 71
Quadro 28 – Enunciado da Atividade 6....................................................................... 72
Quadro 29 – Descrição da Atividade 7 ........................................................................ 75
Quadro 30 – Enunciado da Atividade 7....................................................................... 76
Quadro 31 – Descrição da Atividade 8 ........................................................................ 79
Quadro 32 – Enunciado da Atividade 8....................................................................... 79
Quadro 33 – Descrição da Atividade 9 ........................................................................ 85
Quadro 34 – Passo a passo na construção do Tangram (material entregue aos
alunos) ............................................................................................................................. 86
Quadro 35 – Enunciado da Atividade 9....................................................................... 88
Quadro 36 – Descrição da Atividade 10 ...................................................................... 95
Quadro 37 – Enunciado da Atividade 10..................................................................... 96
Quadro 38 – Descrição da Atividade 11 .................................................................... 101
Quadro 39 – Enunciado da Atividade 11................................................................... 101
Quadro 40 – Descrição da Atividade 12 .................................................................... 106
Quadro 41 – Enunciado da Atividade 12................................................................... 106
Quadro 42 – Descrição da Atividade 13 .................................................................... 112
Quadro 43 – Enunciado da Atividade 13................................................................... 112
Quadro 44 – Descrição da Atividade 14 .................................................................... 117
Quadro 45 – Enunciado da Atividade 14................................................................... 117
Quadro 46 – Descrição da Atividade 15 .................................................................... 127
Quadro 47 – Enunciado da Atividade 15................................................................... 127
Quadro 48 – Descrição da Atividade 16 .................................................................... 129
Quadro 49 – Enunciado da Atividade 16................................................................... 129
LISTA DE SIGLAS
Cm2 Centímetro quadrado
IEC Instituto de Educação Continuada
Km Quilômetro
Mm Milímetro
PCN Parâmetros Curriculares Nacionais
PUC/MG Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais
SI Sistema Internacional de Unidades de Medidas
SUMÁRIO
1. INTRODUÇÃO ......................................................................................................... 17
2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA ............................................................................ 21
2.1 Um pouco de História… .......................................................................................... 21
2.2 Geometria e investigação ........................................................................................ 22
2.3 Conceito de área....................................................................................................... 29
2.4 Unidades de área e seu uso...................................................................................... 32
2.5 Fazendo a escolha de unidades apropriadas ......................................................... 37
2.6 Estimativa de medidas e dicas para este ensino .................................................... 38
2.7 Desenvolvendo fórmulas para áreas ...................................................................... 39
2.7.1 Área de retângulos, paralelogramos, triângulos e trapézios ............................... 39
2.7.1.1 Área do retângulo ............................................................................................... 39
2.7.1.2 Área do paralelogramo ....................................................................................... 40
2.7.1.3 Área do triângulo ................................................................................................ 41
2.7.1.4 Área do trapézio.................................................................................................. 41
2.7.1.5 Área do quadrado................................................................................................ 42
3. ETAPAS DA PESQUISA .......................................................................................... 43
3.1 Público-alvo desta pesquisa .................................................................................... 43
3.2 Elaboração das atividades....................................................................................... 45
3.3 Elaboração do produto ............................................................................................ 46
4. ANÁLISE E RESULTADOS DA APLICAÇÃO DAS ATIVIDADES
INVESTIGATIVAS....................................................................................................... 55
4.1 Análise a priori e a posteriori das atividades.......................................................... 55
4.1.1 Atividade 1 ............................................................................................................. 56
4.1.1.1 Análise a priori da atividade 1 ........................................................................... 56
4.1.1.2 Análise a posteriori da atividade 1. .................................................................... 57
4.1.2 Atividade 2 ............................................................................................................. 59
4.1.2.1 Análise a priori da atividade 2 ........................................................................... 59
4.1.2.2 Análise a posteriori da atividade 2 ..................................................................... 60
4.1.3 Atividade 3 ............................................................................................................. 61
4.1.3.1 Análise a priori da atividade 3 ........................................................................... 61
4.1.3.2 Análise a posteriori da atividade 3 ..................................................................... 62
4.1.4 Atividade 4 ............................................................................................................. 63
4.1.4.1 Análise a priori da atividade 4 ........................................................................... 63
4.1.4.2 Análise a posteriori da atividade 4 ..................................................................... 64
4.1.5 Atividade 5 ............................................................................................................. 65
4.1.5.1 Análise a priori da atividade 5 ........................................................................... 65
4.1.5.2 Análise a posteriori da atividade 5 ..................................................................... 67
4.1.6 Atividade 6 ............................................................................................................. 71
4.1.6.1 Análise a priori da atividade 6 ........................................................................... 71
4.1.6.2 Análise a posteriori da atividade 6 ..................................................................... 73
4.1.7 Atividade 7 ............................................................................................................. 75
4.1.7.1 Análise a priori da atividade 7 ........................................................................... 75
4.1.7.2 Análise a posteriori da atividade 7 ..................................................................... 77
4.1.8 Atividade 8 ............................................................................................................. 79
4.1.8.1 Análise a priori da atividade 8 ........................................................................... 79
4.1.8.2 Análise a posteriori da atividade 8 ..................................................................... 80
4.1.9 Atividade 9 ............................................................................................................. 85
4.1.9.1 Análise a priori da atividade 9 ........................................................................... 85
4.1.9.2 Análise a posteriori da atividade 9 ..................................................................... 89
4.1.10 Atividade 10 ......................................................................................................... 95
4.1.10.1 Análise a priori da atividade 10 ....................................................................... 95
4.1.10.2 análise a posteriori da atividade 10 .................................................................. 96
4.1.11 Atividade 11 ....................................................................................................... 101
4.1.11.1 Análise a priori da atividade 11 ..................................................................... 101
4.1.11.2 Análise a posteriori da atividade 11 ............................................................... 103
4.1.12 Atividade 12 ....................................................................................................... 106
4.1.12.1 Análise a priori da atividade 12 ..................................................................... 106
4.1.12.2 Análise a posteriori da atividade 12 ............................................................... 107
4.1.13 Atividade 13 ....................................................................................................... 112
4.1.13.1 Análise a priori da atividade 13 ...................................................................... 112
4.1.13.2 Análise a posteriori da atividade 13 ............................................................... 113
4.1.14 Atividade 14 ....................................................................................................... 116
4.1.14.1 Análise a priori da atividade 14 ..................................................................... 117
4.1.14.2 Análise a posteriori da atividade 14 ............................................................... 118
4.1.15 Atividade 15 ....................................................................................................... 126
4.1.15.1 Análise a priori da atividade 15 ..................................................................... 126
4.1.15.2 Análise a posteriori da atividade 15 ............................................................... 128
4.1.16 Atividade 16 ....................................................................................................... 128
4.1.16.1 Análise a priori da atividade 16 ..................................................................... 129
4.1.16.2 Análise a posteriori da atividade 16 ............................................................... 130
5. CONSIDERAÇÕES FINAIS ................................................................................. 138
REFERÊNCIAS........................................................................................................... 142
APÊNDICES ................................................................................................................ 144
Apêndice A – Produto ................................................................................................. 144
17
1. INTRODUÇÃO
Ninguém começa a ser educador numa certa terça–feira, às quatro da tarde.
Ninguém nasce educador ou marcado para ser educador. A gente se faz educador, a
gente se forma, como educador, permanentemente, na prática e na reflexão sobre a
prática.
Paulo Freire (1991, p.58).
Desde minha infância, inspirada pelos exemplos familiares de mãe, tias e avó, sonhava
em ser professora. Colocava minhas bonecas e irmãos mais novos sentados e dava aulas para
eles. Este sonho não foi passageiro. Sempre gostei de ensinar irmãos, vizinhos. Quem
quisesse e precisasse, estava à disposição para atendê-los. Até mesmo quando não sabia,
pesquisava e tentava, de alguma forma, ajudar. A docência é minha vocação.
Dentre todas as disciplinas, a que mais me interessava era a Matemática. Em 1999, me
formei no magistério, pelo Colégio Nossa Senhora da Conceição, em Serro/ MG. No ano
seguinte, ingressei na licenciatura em Matemática, na Faculdade de Filosofia e Letras de
Diamantina, Diamantina/ MG, terminando meu curso em 2004. Durante o período em que
cursava a faculdade, além dos estágios de observação e regência, também lecionava em
contratos de escolas estaduais, os quais foram de grande valia para minha prática profissional,
e, assim, continuei minhas experiências como professora de Matemática. Em 2015, senti a
necessidade de aprimorar minha prática docente, ir além dos cursos de curta duração
promovidos pelo governo do estado. Precisava de algo mais. Foi, então, que decidi ingressar
na Especialização de Matemática Ensino Fundamental II e Ensino Médio, no Instituto de
Educação Continuada, IEC pela PUC Minas, onde encontrei profissionais altamente
qualificados na arte da docência e agucei ainda mais minha vontade de estudar. Em 2017,
ingressei no Mestrado em Ensino de Matemática, pela PUC Minas, na busca constante por
aperfeiçoamento e prática profissional, onde encontrei, novamente, professores que
conseguiram instigar e afiar a pesquisa em minha mente.
Atualmente, leciono na rede estadual de ensino, no Ensino Fundamental anos finais e
Ensino Médio. Percebo, em todas as séries, uma dificuldade de calcular área de figuras
planas. Quando os alunos se deparam com questões que exigem esta habilidade, como
conteúdos pré-requisitos, mesmo fazendo lembretes, eles não se sentem seguros quanto à sua
resolução. Acredito que essa defasagem possa ser consequência de um estudo mecânico,
advindo de fórmulas prontas e acabadas, sem possibilitar o entendimento de sua essência.
Sempre me deparei com esta dificuldade dos alunos, foi, então, que surgiu a ideia de trabalhar
18
no 6º Ano do Ensino Fundamental, turma que inicia os primeiros contatos com a área de
figuras planas, com a construção dos seus conceitos, em especial os triângulos e quadriláteros.
De acordo com o desenvolvimento do ensino-aprendizagem da Geometria e dos Parâmetros
Curriculares Nacionais (PCN), a problemática desta pesquisa baseia-se na seguinte pergunta:
Quais contribuições são verificadas no processo de ensino/ aprendizagem, ao se estimular a
construção de conceitos e a dedução de fórmulas de área de figuras geométricas planas, a
partir da experimentação/investigação e da (de) composição dessas figuras, com alunos do 6º
Ano do Ensino Fundamental Anos Finais?
Para responder à questão que norteia esta pesquisa, serão desenvolvidos os seguintes
objetivos:
Verificar como se dá a construção de conceitos e a dedução de fórmulas de
áreas de algumas figuras planas por alunos do 6º Ano do Ensino Fundamental a
partir da experimentação e da (de)composição dessas figuras.
Elaborar atividades nas quais os alunos terão a oportunidade de explorar os
triângulos e quadriláteros, e, a partir daí, descobrir os conceitos que serão
validados.
Aplicar as atividades e analisar os resultados.
A fim de atingir os objetivos definidos, esta pesquisa se constitui em 6 capítulos:
No primeiro capítulo, a introdução, é feita a descrição da trajetória da pesquisadora e
dos motivos que a levaram a definir a escolha do tema.
No segundo capítulo, é apresentada uma revisão bibliográfica, explanando brevemente
sobre a história da Geometria, de acordo com Boyer e Merzbach (2012). Trata, ainda, da
abordagem de Van de Walle, no livro “Matemática no Ensino Fundamental: Formação de
Professores e Aplicação em Sala de Aula” (2009), principalmente em seu capítulo 20,
“Desenvolvendo Conceitos de Medida”, sobre perímetros e áreas de figuras planas, foco desta
pesquisa, por meio do qual a pesquisadora toma a liberdade de relacionar as atividades
desenvolvidas por ele às ideias de investigação desenvolvidas por Ponte, Brocardo e Oliveira,
em seu livro “Investigações Matemática na Sala de Aula” (2009).
No terceiro capítulo, são apresentadas: as etapas da pesquisa, a escolha da metodologia
adotada, trazendo o perfil dos participantes da pesquisa e, ainda, descrição da elaboração das
atividades. A título de exemplos, modelos de algumas atividades, parte integrante deste
trabalho, ali são apresentadas e comentadas.
19
No quarto capítulo, é realizada a análise a priori e a posteriori das atividades
investigativas e de toda sua aplicação.
No quinto capítulo são apresentadas as considerações finais, contendo todo o percurso
do trabalho até suas conclusões, os pontos positivos e negativos, a perspectiva em ensino de
áreas de figuras planas, na abordagem de composição e decomposição, e da investigação.
Nos apêndices, o leitor poderá verificar o produto elaborado a partir da pesquisa
realizada. Trata-se de um caderno de atividades, cujo principal objetivo é fornecer atividades
investigativas para professores da Educação Básica, a fim de proporcionar, em suas práticas,
experiências que possam contribuir para a construção/dedução/ ressignificação dos conceitos
e fórmulas de áreas de figuras planas, em especial os triângulos e quadriláteros, através da
(de)composição dessas figuras e da experimentação.
21
2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
Nem todas as pessoas pensam sobre as ideias geométricas da mesma maneira.
Certamente, nós não somos todos iguais, mas somos todos capazes de crescer e
desenvolver nossa habilidade de pensar e raciocinar em contextos geométricos.
John A. Van de Walle (2009, p.439).
2.1 Um pouco de História…
Segundo Boyer e Merzbach (2012), afirmava-se, usualmente, que os babilônios eram
melhores que os egípcios na álgebra, mas contribuíram menos na Geometria. Tábuas foram
encontradas desenterradas em Susa, no Irã de final do quarto milênio a.C., a uns trezentos
quilômetros da Babilônia, no ano de 1936, com resultados geométricos significativos.
Fazendo tabelas e listas, gosto mesopotâmico, um grupo de Susa compara as áreas e os
quadrados dos lados dos polígonos regulares de três, quatro, cinco, seis e sete lados, sendo tal
tábua de Susa considerada um exemplo de comparação sistemática de figuras geométricas.
Vale lembrar que, para eles, “a geometria não era uma disciplina matemática no nosso
sentido, mas uma espécie de álgebra ou aritmética aplicada em que números são ligados a
figuras” (BOYER; MERZBACH, 2012, p. 48). Há um desacordo em relação aos babilônios,
se sabiam ou não o conceito de figuras semelhantes, apesar de transparecer que sim, quando
se evidencia a semelhança de todos os círculos na Mesopotâmia, como no Egito. Já sobre
valores exatos e aproximados no cálculo de área, os autores explicam que,
Medidas eram o ponto central da geometria algebrizada do vale mesopotâmio, mas
um defeito grave, como na geometria egípcia, era que a distinção entre medidas
exatas a aproximadas não era tomada clara. A área de um quadrilátero era achada
tomando o produto das médias aritméticas dos pares de lados opostos, sem nenhum
aviso de que isso na maior parte dos casos era apenas uma aproximação grosseira.
(BOYER; MERZBACH, 2012, p. 49).
Boyer e Merzbach também relatam que os textos antigos em cuneiforme forneciam
muitos problemas no sentido da Geometria, mas que os babilônios consideravam-na
provavelmente como aritmética aplicada. Além das relações citadas, os babilônios antigos
bem como os egípcios conheciam outras importantes relações geométricas, como, por
exemplo, ângulo inscrito em semicírculo ser reto. Também a proposição geralmente
conhecida como Teorema de Tales é considerada como uma denominação errônea, por não
saberem avaliar a influência matemática pré-helênica sobre culturas posteriores. As tábuas
22
cuneiformes não podiam ser comparadas com documentos de outras civilizações, pois o
papiro e o pergaminho são menos resistentes ao tempo.
É importante, por isso, ter em mente as características gerais da Matemática egípcia
e babilônica, de modo que seja possível fazer conjecturas plausíveis quanto às
aparentes analogias entre as contribuições pré-helênicas e as atividades e atitudes de
povos de período posterior. (BOYER; MERZBACH, 2012, p. 50).
Boyer e Merzbach (2012, p.53) citam, ainda, que nos arquivos encontrados dos povos
pré-helênicos faltam enunciados explícitos de regras e de distinções claras entre resultados
exatos e aproximados; não se investiga a natureza da demonstração, que significa “várias
coisas em diferentes níveis e épocas”. Também não se constata que haja a necessidade de
demonstração e/ou preocupação com questões de princípios lógicos. Em relação às dimensões
das figuras para o cálculo de área, “nos problemas da Mesopotâmia, as palavras
“comprimento” e “largura” deveriam, talvez, ser interpretadas como o fazemos com as letras
x e y, pois os escribas de tábuas cuneiformes podem bem ter passado de exemplos específicos
a abstrações gerais”. No Egito, a abstração como hoje, não era usual, além de os problemas de
Matemática terem características de recreação bem como na Mesopotâmia, atribuindo certo
humor nesses problemas. Acredita-se que muito da Matemática pré-helênica era prática, mas,
certamente, não toda.
No século dezesseis, a geometria, em comparação com a álgebra e a trigonometria,
obteve menos avanços, mas teve alguns representantes, sendo, na Alemanha: Johannes
Werner (1468-1528) e Albrecht Dürer (1471-1528), e na Itália: Francesco Maurolico (1494-
1575) e Pacioli (1445-1517), observando a predominância destes dois países nas
contribuições à Matemática durante o Renascimento.
2.2 Geometria e investigação
Hoje em dia, com muita tecnologia e atividades diferentes para os alunos fora da
escola, a geometria pode tornar-se insignificante. Portanto, o docente não pode dar tudo
pronto e acabado. Estudos mecânicos não são mais bem-vindos para essa geração. Por isso, o
discente deve ser estimulado/desafiado a construir seus conceitos através da
experimentação/investigação. Só assim a aprendizagem será concretizada.
Bruno D’Amore, em seu livro “Elementos de Didática da Matemática” (2007), explica
que:
23
Aulas não concluídas, repetitivas, enfadonhas, cansativas, têm consequências
negativas nos alunos e, portanto, sobre todos os outros componentes do mundo da
escola, contribuindo em dar, ao próprio professor, uma imagem negativa da
Matemática. (D'AMORE, 2007, p. 38).
Em especial sobre a geometria, enfatizada nesta pesquisa, os documentos dos
Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) recomendam que esta subsidia a habilidade de
argumentação, possibilitando:
[…] ao aluno desenvolver um tipo de pensamento particular para compreender,
descrever e representar, de forma organizada, o mundo em que vive. Também é fato
que as questões geométricas costumam despertar o interesse dos adolescentes e
jovens de modo natural e espontâneo. Além disso, é um campo fértil de situações-
problema que favorece o desenvolvimento da capacidade para argumentar e
construir demonstrações. (BRASIL, 1998, p. 122).
No entanto, segundo Thompson e Preston (2004), citados por Van de Walle (2009), os
estudantes estão mais fracos na área de medidas do que em qualquer em outro tópico
curricular, existindo, segundo eles, várias hipóteses para isso. Dentre elas, destaca-se de como
o assunto é ensinado. Ao invés de experiências manipulativas, confiam-se muito nas figuras e
exercícios.
Van de Walle (2009, p.406) faz referências às ideias importantes sobre medidas e as
suas conexões aos conteúdos matemáticos. Trata-se da forma como o instrumento a ser
medido tem que ser vista: como “um atributo a ser medido”. Sendo assim compreendido,
reconhece-se os instrumentos de medidas como mecanismos para se obter a unidade de
medidas reais.
Para medir qualquer coisa, o estudante deve executar três passos:
Decidir qual atributo específico do objeto (ou fenômeno) deve ser medido.
Escolher uma unidade de medida que tenha aquele atributo e seja adequada.
Comparar as unidades, enchendo, cobrindo, emparelhando ou com algum outro
método, com o atributo do objeto que está sendo medido. (VAN DE WALLE, 2009,
p. 406).
Para Van de Walle estabelece que a medida esteja interligada aos conteúdos
matemáticos, fazendo uma conexão que deve ser integrada, como segue:
Números - associa ao mundo real, ampliando o senso numérico, muito significativo
para contar;
Valor posicional - construído no sistema de numeração decimal;
Álgebra - as funções usadas para estudo e descrição das relações entre vários
fenômenos, onde as fórmulas de medidas são também funções;
24
Raciocínio proporcional - usa-se escala e proporções em desenhos para obtenção de
medidas desconhecidas de figuras semelhantes, promovendo o senso multiplicativo;
Frações - necessidade de aumento com precisão, levando às partes fracionárias das
unidades;
Geometria - auxilia no desenvolvimento e compreensão das fórmulas para perímetro,
área e volume, solicitando, assim, entendimento das formas e relações abrangidas;
Dados - os gráficos e medidas são, naturalmente, mesclados nas mesmas unidades.
No desenvolvimento dos conceitos e habilidades de medidas, é necessário, segundo
Van de Walle (2009), fazer comparações. Muitos objetos podem ser comparados, por
exemplo, colocando-os alinhados um com o outro; usando modelos de unidades, sendo muito
benéfico medir o mesmo objeto com unidades diferentes; construindo e usando instrumentos
de medida. Também os alunos podem construir e utilizar seus próprios instrumentos de
medidas, assim, ficam mais próximos de como usar e comparar, mesmo sendo unidade
informal. Ele explica que existem os motivos para usar os dois tipos de unidades, as informais
e a padrão. Para o autor, as unidades informais facilitam a compreensão direta do atributo a
ser medido, evita objetivos contraditórios, fornece uma boa base para a unidade padrão e,
ainda, pode ser divertido.
A unidade padrão deve ser familiarizada pelo estudante, bem como as relações entre
ela e a informal, não havendo regra para quando usar essa ou aquela unidade. Os autores dos
padrões defendem a ideia de que o aluno deve ter muitas oportunidades de usar a unidade
informal e vivenciar experiências, antes de aprenderem a unidade padrão e as fórmulas.
Há, pelo menos, quatro razões para inclusão da estimativa nas atividades de medidas.
Segundo Van de Walle (2009), as estimativas auxiliam os alunos a focar o atributo medido,
bem como o processo de medida, fornecem motivação essencial e, aproximação com a
unidade padrão, quando usada; promovem o raciocínio multiplicativo. Em relação às medidas
de comprimento, ele sugere atividades que funcionam como centro de aprendizagens em sala
de aula, para as quais os alunos precisam se familiarizar com instrumentos de medidas, como,
por exemplo, a régua, para aprofundarem, assim, os conceitos de áreas, já que as medidas de
comprimentos são pré-requisito para as construções dos conceitos de áreas, onde estes devem
estar dissociados um do outro para que não haja uma confusão na hora da sistematização dos
conceitos. Isso indica que as atividades relacionadas devem seguir a linha de investigação, por
meio das quais os próprios alunos descobrem, por si só, os saberes.
25
Os quadros 1, 2 e 3, a seguir, especificam algumas sugestões de atividades, segundo
Van de Walle (2009), para a compreensão de medidas de comprimento. Estas atividades são
divididas em quatro momentos pela pesquisadora, seguindo a linha de raciocínio de
investigação que tratam Ponte, Brocardo e Oliveira:
Sobre investigação, Ponte, Brocardo e Oliveira (2009), em seu livro “Investigações
Matemática na Sala de Aula”, explicitam os momentos na realização de uma investigação,
sendo esses:
Momento 1 “exploração e formulação de momentos de questões”, no qual o aluno
deve: reconhecer uma situação problemática, explorar a situação problemática, e
formular questões;
Momento 2, “conjecturas”, no qual o discente deve: organizar dados, formular
conjecturas (e fazer afirmações sobre uma conjectura);
Momento 3: “testes e formulações”, no qual a tarefa, para o educando, é: realizar
testes, refinar uma conjectura;
Momento 4 “justificação e avaliação”, tal que o aprendiz deve: justificar uma
conjectura e avaliar o raciocínio ou o resultado do raciocínio. (PONTE; BROCARDO;
OLIVEIRA, 2009, p. 21).
Quadro 1 – Título da atividade “Maior, menor, igual”
Exploração e
formulação de
questões
Conjectura Testes e
reformulação
Justificação e
avaliação
Monte um centro de
Aprendizagem sobre
classificação de
comprimento, no qual os
alunos ordenem objetos
como maior, menor ou
igual a um objeto
específico.
O objeto de
referência poderá ser
modificado
ocasionalmente para
produzir diferentes
comparações.
Uma tarefa
semelhante será
colocar os objetos
em ordem do de
menor comprimento
ao de maior
comprimento.
As crianças
deverão começar
com comparações
diretas de dois ou
mais
comprimentos.
Fonte: Adaptado pela pesquisadora a partir de Van de Walle (2009, p.408) e Ponte, Brocardo e
Oliveira (2009, p.21).
26
Quadro 2 – Título da atividade “Caçada dos comprimentos (ou unidades)”
Exploração e formulação
de questões
Conjectura Testes e
reformulação
Justificação e
avaliação
Dê às duplas de alunos uma
tira de cartolina, uma vara,
um comprimento de corda,
ou algum outro objeto com
uma dimensão de
comprimento óbvia.
A tarefa em um dia poderá
ser achar cinco coisas na sala
que sejam menores, maiores
ou com cerca de mesmo
comprimento de seus
objetos.
Eles poderão
fazer desenhos
ou escrever os
nomes das
coisas que eles
encontrarem.
Usarão, como
comprimento
designado, uma
unidade padrão
(por exemplo,
uma vara de
um metro ou
uma corda com
um metro de
comprimento).
A atividade poderá ser
repetida para
familiaridade com
importantes unidades
padrão.
Fonte: Adaptado pela pesquisadora a partir de Van de Walle (2009, p.408-409) e Ponte, Brocardo
e Oliveira (2009, p.21).
Quadro 3 – Título da atividade “Caminhos dobrados”
Exploração e formulação
de questões
Conjectura Testes e
reformulação
Justificação e
avaliação
Construa alguns caminhos
tortos ou curvos no chão com
fita adesiva.
A tarefa será determinar qual
caminho é o mais longo e
assim por diante.
Os alunos
deverão achar
um modo de
fazer caminhos
retos que tenham
o mesmo
comprimento que
os caminhos
dobrados de
modo que
possam ser
facilmente
comparados.
Forneça às
duplas de
alunos um
longo pedaço
de corda. A
tarefa será mais
fácil se a corda
for maior que
os caminhos
dobrados.
Eles poderão
desenhar seus
caminhos diretos no
quadro-negro, marcá-
los no chão com fita
ou usar algum outro
método que o
docente invente. Peça
a eles que expliquem
como resolveram o
problema.
Fonte: Adaptado pela pesquisadora a partir de Van de Walle (2009, p.409) e Ponte, Brocardo e
Oliveira (2009, p.21).
27
Van de Walle (2009) afirma que o uso de medidas informais para começar a medir
comprimentos, como, por exemplo: pegadas gigantes, recortes em cartolinas simulando
pegadas; cordas de medida, corte de fios de algodão do tamanho de um metro, são úteis para
medir as linhas encurvadas e a circunferência de grandes objetos como a mesa do professor;
canudos de plásticos, que podem ser cortados facilmente em unidades menores, podendo ser
ligados com um fio longo, sendo, segundo ele, uma excelente ponte para uma régua ou fita
métrica; pequenas unidades, tais como: palitos de dente, cubos encaixantes de brinquedos ou
de madeira, e clipes de papel. Porém, a explicação de como usar tais unidades deve ser feita,
para que seja praticado.
As atividades sugeridas até aqui estimulam as ideias corretas sobre medidas de
comprimento, sendo desenvolvidas através das discussões sobre os resultados obtidos. O
quadro 4, apresenta uma atividade sugerida por Van de Walle (2009) que relaciona as
unidades exemplificadas por ele novamente com os momentos de uma investigação sugeridos
por Ponte, Brocardo e Oliveira (2009):
Quadro 4 – Título da atividade “Qual a altura do professor?”
Exploração e
formulação de
questões
Conjectura Testes e
reformulação
Justificação e
avaliação
Explique que você
recebeu há pouco um
pedido importante da
Diretora da Escola:
ela precisa saber
exatamente a altura de
cada professor.
Os alunos deverão
decidir como medir os
professores e escrever
uma nota à Diretora
explicando qual é a
altura de seu professor
e como eles chegaram
a essa medida.
Explique que pode
ser mais fácil se
você se deitar e
eles medirem o seu
comprimento
deitado em vez de
sua altura.
Organize essa ideia
em vários Centros
de Aprendizagem
ao redor da sala.
Peça que os
alunos façam
marcas na
posição de seus
pés e de sua
cabeça e
estiquem uma
linha reta entre
essas marcas.
Fonte: Adaptado pela pesquisadora a partir de Van de Walle (2009, p.409) e Ponte, Brocardo e
Oliveira (2009, p.21).
28
Para a atividade citada no quadro 4, solicita-se o fornecimento às duplas de alunos
qualquer uma das unidades de comprimento, apresentando-se várias opções, onde estes
selecionarão a unidade com a qual farão as medidas. Esta é uma atividade para uma boa
discussão, sugerindo-se questões, tais como: “Como você obteve sua medida? Os alunos que
mediram com a mesma unidade obtiveram os mesmos resultados? Por quê? Como a Diretora
poderá desenhar uma linha que tenha o mesmo comprimento que o professor?”. (VAN DE
WALLE, 2009, p.409).
O enfoque desta atividade é alinhar as unidades cuidadosamente de ponta a ponta, não
se esquecendo de sempre mencionar a tarefa básica e repetir o título “Qual é a altura do
professor?”. A utilidade de se usar os mesmos comprimentos (alturas, distância ao redor)
medidos por várias duplas facilita a discussão, ocorrendo possíveis erros, a fim de que o
processo medir fique refinado.
A régua é um instrumento para traçar e medir linhas retas, e esta deve ser um objeto
escolar essencial. Van de Walle (2009) afirma que o salto de usar unidades de medidas para o
uso de régua é desafiador, e considera que, para sua melhor compreensão, deve-se fazer com
que os alunos construam suas próprias réguas, e, sugere, para tal, que discentes as usem para
medirem objetos menores que ela, induzindo-os à sua compreensão correta, se contarem os
espaços entre as marcas, que indicam as unidades de comprimento. Quando já compreendem
o seu uso, é importante fazer uso de “réguas quebradas” para medir, assim entenderão que
qualquer unidade pode indicar o ponto de partida, e não somente o zero.
O quadro 5 esboça a atividade que o autor sugere para construção da régua pelos
alunos, sendo esta adaptada aos momentos na realização de uma investigação proporcionados
por Ponte, Brocardo e Oliveira (2009), conforme já exposto anteriormente.
Quadro 5 – Título da atividade “Faça sua própria régua”
Exploração e
formulação de
questões
Conjectura Testes e
reformulação
Justificação e
avaliação
Recorte previamente
finas tiras de cartolina
com 5 cm de
comprimento e cerca
de 2 cm de largura.
Use duas cores
Forneça longas tiras
de cartolina com cerca
de 3 cm de largura.
Sem orientações
explícitas, faça os
alunos construírem
Estabeleça uma
lista de algumas
coisas a serem
medidas. Os
alunos deverão
usar suas novas
É muito provável
que haja
discrepâncias
devido às réguas
que não foram
feitas corretamente
29
diferentes de papel.
Discuta como as tiras
poderiam ser usadas
para medir,
colocando-as lado a
lado, de ponta a
ponta.
sua própria régua,
colando as unidades
sobre a cartolina.
réguas para
medir as coisas
na lista. Discuta
os resultados.
ou à falha na
compreensão de
como a régua
funciona.
Fonte: Adaptado pela pesquisadora a partir de Van de Walle (2009, p.411) e Ponte, Brocardo e
Oliveira (2009, p.21).
Deve-se aproveitar a construção das réguas feitas pelos próprios alunos e transferir
para a régua padrão, pois a atividade pode ficar sem nexo se essa ligação não for feita.
Algumas questões são sugeridas por Van de Walle, para direcionamento do uso da régua, tais
como: “Quais são as unidades? Você poderia fazer uma régua com unidades de papel igual a
essa? [...] O que os números nas réguas sugerem? Para que são as outras marcas? Onde as
unidades começam?” (VAN DE WALLE, 2009, p. 412).
2.3 Conceito de área
Sobre o conceito de área no glossário do livro “Tudo é Matemática”, para sexto ano do
Ensino Fundamental, de Dante (2009), é dito que: “Área: medida de uma superfície”, e
complementa exemplificando com um quadrado de 2 cm de lado, explicitando que “a área da
região quadrada da figura é 4 centímetros quadrados” (DANTE, 2009, p. 315). Para Martin e
Strutchens (2000, p.82), citados por Van de Walle (2009) “é o espaço bidimensional dentro de
uma região. Como com outros atributos, primeiro os estudantes devem compreender o
atributo de área antes de medi-lo”. Seguindo a linha de raciocínio desta pesquisa, para melhor
entendimento de área, o estudante deve fazer atividades de comparação, para, então, entender
o atributo área, a fim de saber medi-lo, calculá-lo. Van de Walle (2009) afirma ser difícil fazer
comparações de figuras com dimensões diferentes, podendo haver falha no atributo área. Ele
acredita que, trabalhando pelo menos uma dimensão igual de duas figuras, os estudantes
podem entender melhor este atributo, através da sua sobreposição, com recortes e montagens,
deixando a comparação mais clara e mais concreta.
O quadro 6 apresenta uma atividade sugerida por Van de Walle, que, por
sobreposição, os alunos podem comparar a área de alguns retângulos. Esta, assim como
30
ocorreu com as anteriores, foi adaptada pela autora aos momentos de investigação seguindo a
linha de pesquisa.
Quadro 6 – Título da atividade “Comparar retângulos – sem unidades”
Exploração e formulação de
questões
Conjectura Testes e
reformulação
Justificação e avaliação
Forneça aos alunos pares de
retângulos como os abaixo:
Par A: A1 de 2*9 e A2 de
3*6; Par B: B1 de 1*10 e B2
de 3*5; Par C: C1 de 3*8 e
C3 de 4*5
Os retângulos deverão ser
brancos com exceção dos
rótulos.
A tarefa dos
alunos será
decidir em
cada par qual
retângulo tem
a maior área
ou se os dois
têm a mesma
área.
Os alunos poderão
cortar ou dobrar os
retângulos de
qualquer forma
que desejarem,
mas terão de
incluir uma
explicação para
sua decisão em
cada par.
Nos primeiros dois pares, o
retângulo mais fino pode ser
dobrado e recortado para ou
emparelhar (Par A) ou ser
facilmente comparado (Par
B) ao segundo retângulo.
Para o par C, um retângulo
poderá ser sobreposto ao
outro e, então, os pedaços
serem comparados.
Fonte: Adaptado pela pesquisadora a partir de Van de Walle (2009, p.414) e Ponte, Brocardo e
Oliveira (2009, p.21).
Sobre esta atividade, Van de Walle faz a seguinte observação: “o par C causará maior
dificuldade e você pode preferir reservá-lo para um desafio”. Acredita-se que isso aconteça
pelo fato de este ser mais complexo e desafiador.
Sugere-se, ainda, o uso do Tangram para trabalhar o conceito de área. Sobre o
Tangram, Hamze (2019) afirma, que:
Não se conhece ao certo a origem, a data de criação, nem o seu autor. O tangram é
um quebra-cabeça de origem chinesa, praticado há muitos séculos em todo o
Oriente. Segundo a lenda, o jogo surgiu quando um monge chinês deixou cair uma
porcelana quadrada, que se partiu em sete pedaços – daí seu nome, que significa “
tábua das sete sabedorias” ou “tábua das sete sutilezas”. A origem é de um painel em
madeira, de 1780 de Utamaro com a figura de duas senhoras chinesas a resolver um
tangram. A mais antiga publicação com exercícios de tangram é do início do século
XIX. Seu nome original: Tch´ i Tch´ iao Pan, significa as sete tábuas da argúcia.
(HAMZE, 2019).
31
Figura 1 – Imagem do Tangram
Fonte: Elaborada pela pesquisadora.
O jogo Tangram, ilustrado na figura 1, é composto por um quadrado dividido em sete
peças, sendo dois triângulos grandes, dois pequenos, um médio, um quadrado e um
paralelogramo, o que fornece meios de se calcular áreas por sobreposição de figuras. Van de
Walle (2009) sugere o uso dos dois triângulos pequenos sobrepostos, que podem formar o
paralelogramo, o quadrado e o triângulo grande, o que provoca muita discussão a respeito e
satisfaz o processo de investigação sobre o conceito de áreas. O quadro 7 esboça uma
atividade feita por Van de Walle usando o Tangram e seguindo a linha de pesquisa de
investigação:
32
Quadro 7 – Título da atividade “Áreas no Tangram”
Exploração e
formulação de
questões
Conjectura Testes e
reformulação
Justificação e avaliação
Desenhe o contorno
de várias formas
feitas com peças de
Tangram.
Deixe os alunos
usarem o
Tangram para
decidirem quais
são maiores e
quais são
menores.
As formas
poderão ser
duplicadas em
papel e as
crianças poderão
trabalhar em
grupos.
Deixe os alunos
explicarem como
chegaram às suas
conclusões. Há várias
abordagens diferentes para
essa tarefa, sendo melhor
se os alunos terminarem
suas próprias soluções em
vez de seguirem
cegamente suas
orientações.
Fonte: Adaptado pela pesquisadora a partir de Van de Walle (2009, p.414) e Ponte, Brocardo e
Oliveira (2009, p.21).
Van de Walle (2009) aconselha que se peguem as peças do Tangram para fazer
comparações de áreas de algumas formas. A ideia é verificar a área formada pela união de
peças do Tangram e fazer comparações de uma área em relação à outra. Trata-se da
criatividade e inspiração de quem o faz, na arte da aprendizagem.
2.4 Unidades de área e seu uso
Para se ter a noção de medir áreas, Van de Walle (2009) sugere o uso de
preenchimentos, citando exemplos, tais como: círculos uniformes, fatias redondas de plástico,
moedas, feijões, azulejos coloridos, quadrados cortados de papelão, folhas de jornal para áreas
maiores. Todos estes objetos podem ser sugestões de preenchimento de áreas, como indicado
no quadro 8:
33
Quadro 8 – Título da atividade “Preencher e comparar”
Exploração e
formulação de
questões
Conjectura Testes e
reformulação
Justificação e
avaliação
Desenhe dois
retângulos e uma forma
de gota em uma folha
de papel. Faça isso de
modo que não tenham a
mesma área, mas sem
nenhuma área que seja
visivelmente maior ou
menor do que as outras.
A primeira tarefa
dos alunos será
fazer uma
suposição sobre
qual é a menor e
qual é a maior das
três formas.
Depois de registrar
suas suposições, eles
deverão usar um
“preenchedor” de sua
escolha para verificar
e decidir. Forneça
pequenas unidades,
como discos, azulejos
coloridos ou feijões.
Os alunos deverão
explicar, por
escrito, o que
descobrirem.
Fonte: Adaptado pela pesquisadora a partir de Van de Walle (2009, p.415) e Ponte, Brocardo e
Oliveira (2009, p.21).
A ideia inicial de Van de Walle é desenvolver a medida de área através da cobertura,
ou seja, da sobreposição, sem introduzir fórmulas. É provável que os grupos proponham
medidas diferentes para a mesma região. Essa diferença deve ser discutida e apontadas as
dificuldades envolvidas em fazer estimativas ao redor da extremidade. Por isso, deve-se evitar
a ideia de que existe uma resposta certa. A única meta desta atividade é compreender o
sentido de área, estando distante do conceito de multiplicação das dimensões para se obter o
resultado de uma área.
A próxima atividade sugere a relação de multiplicação usando arranjos geométricos
para a área de retângulos, indicada pelo quadro 9:
Quadro 9 – Título da atividade “Comparação de retângulos: unidades quadradas”
Exploração e
formulação de
questões
Conjectura Testes e
reformulação
Justificação e
avaliação
Os alunos receberão
um par de retângulos
que ou são de mesma
área ou de áreas muito
próximas. Eles também
receberão um modelo
A tarefa será usar
as suas réguas
para determinar,
de qualquer
modo, qual é o
maior retângulo
Eles deverão usar
palavras, desenhos e
números para explicar
as suas conclusões.
Alguns pares de
retângulos sugeridos
A meta desta
atividade será
aplicar os conceitos
em
desenvolvimento
dos alunos de
34
ou desenho de uma
única unidade quadrada
e uma régua
apropriada. Não será
permitido que eles
recortem os retângulos.
Eles poderão desenhar
sobre os mesmos se
desejarem.
ou se eles
possuem a mesma
área.
são:
4*10 (40) e 5*8 (40)
5*10 (50) e 7*7 (49)
4*6 (24) e 5*5 (25)
multiplicação para
o cálculo das áreas
dos retângulos.
Fonte: Adaptado pela pesquisadora a partir de Van de Walle (2009, p.415) e Ponte, Brocardo e
Oliveira (2009, p.21).
O objetivo da atividade do quadro 9 é instigar os alunos a associarem o cálculo de área
do retângulo à ideia de multiplicação. Quando acontece a socialização das ideias entre os
participantes da resolução da atividade, o raciocínio fica satisfeito e o conceito de área
refinado.
O uso de malhas é um importante aliado no cálculo de áreas. Como sugerido por Van
de Walle (2009), funcionam como “régua” para seu cálculo, não importando o tipo de malha:
triangulares, quadrangulares, hexagonais. O interessante é fazer o aluno pensar e entender a
fundamentação do conceito. A atividade “Áreas fixas”, apresentada no quadro 11, mais a
frente, será uma sugestão de seu uso, para este conceito.
Área ou perímetro? Van de Walle (2009) aponta que uma possível causa da confusão
dos alunos sobre os conceitos de área e perímetro se deve ao envolvimento de regiões a serem
medidas de ambos, ou pelo ensino de fórmulas, antes mesmo de entender a fundamentação.
Por isso, há uma tendência a confundir fórmulas. A seguir, nos quadros 10 e 11, serão
apresentadas atividades que podem contribuir para que essa confusão seja organizada, e, mais
uma vez, dividida em momentos de uma investigação.
35
Quadro 10 – Título da atividade “Perímetros fixos”
Exploração e formulação
de questões
Conjectura Testes e
reformulação
Justificação e
avaliação
Dê aos alunos um laço de
fio que tenha, exatamente,
24 unidades de
comprimento (Use um fio
não elástico. Dobre o fio e
marque a distância de um
pé do laço. Amarre um nó
justo acima das marcas, de
modo que o laço resultante
tenha 24 polegadas).
A tarefa será
decidir que
retângulos de
diferentes
tamanhos
podem ser
feitos com um
perímetro de
24 polegadas.
Os alunos poderão
querer usar uma malha
de 1 polegada para
colocar os seus fios.
Cada retângulo
diferente poderá ser
registrado em papel
quadriculado com a
área anotada.
Fonte: Adaptado pela pesquisadora a partir de Van de Walle (2009, p.416) e Ponte, Brocardo e
Oliveira (2009, p.21).
Com relação à atividade apresentada no quadro 10, uma alternativa para o laço de fio é
usar uma malha de papel quadriculado com 1 centímetro e desafiar os estudantes a
encontrarem retângulos com um perímetro de 24 unidades.
Quadro 11 – Título da atividade “Áreas fixas”
Exploração e formulação de
questões
Conjectura Testes e
reformulação
Justificação e
avaliação
Forneça aos alunos 36 ladrilhos
quadrados tais como os ladrilhos
coloridos. A tarefa será ver
quantos retângulos podem ser
feitos com uma área de 36 – isto
é, usando todos os 36 ladrilhos
para preencher todo o retângulo e
não apenas as suas bordas.
Cada retângulo
novo deverá ser
registrado,
desenhando o
contorno e suas
dimensões em
papel
quadriculado.
Malhas
quadradas de
um ou de meio
centímetro
serão bons
recursos para o
registro.
Em cada
retângulo, os
alunos deverão
determinar e
registrar o
perímetro.
Fonte: Adaptado pela pesquisadora a partir de Van de Walle (2009, p.416) e Ponte, Brocardo e
Oliveira (2009, p.21).
Van de Walle (2009), em sua sistematização da atividade “Áreas fixas”, acredita ter
surpreendido o leitor, quando este descobre com a experimentação/investigação a conclusão
36
de que “dois triângulos com a mesma área não têm, necessariamente, o mesmo perímetro”
(VAN DE WALLE, 2009, p.416), reiterando que o fato não se restringe somente a triângulos,
como acontece no caso da atividade acima, com retângulos. Ainda sobre as atividades “Áreas
fixas” e “Perímetros fixos” é sugerido por ele o registro dos testes e reformulação, através de
tabelas e gráficos (comprimento versus largura para perímetro e comprimento versus área dos
retângulos).
Como citado anteriormente, as unidades não formais contribuem, de maneira
significativa, para se chegar à identificação e refinamento das unidades padrão. Segundo Van
de Walle (2009), existem três metas educacionais relativas à unidade padrão, que são: 1)
familiaridade com a unidade; 2) habilidade para selecionar uma unidade apropriada; 3)
conhecimento de algumas relações importantes entre as unidades. No quadro 12 será posta
uma atividade que auxilia na familiaridade com as unidades, e para melhor apresentação, está
dividida em momentos de uma investigação.
Quadro 12 – Título da atividade “Sobre uma unidade”
Exploração e formulação
de questões
Conjectura Testes e reformulação Justificação e
avaliação
Dê aos alunos um modelo
de uma unidade padrão e
desafie-os a encontrar
coisas que tenham
medidas aproximadamente
daquela unidade. Por
exemplo, para desenvolver
familiaridade com o
metro, dê aos alunos um
pedaço de fita com um
metro de comprimento.
Peça que
eles façam
listas de
coisas que
tenham
aproxima-
damente 1
metro.
Mantenha listas separadas
para as coisas que são um
pouco menores (ou maiores)
ou duas vezes o comprimento
(ou metade do comprimento).
Encoraje os alunos a
descobrir artigos familiares
em suas vidas diárias. No
caso de comprimentos,
certifique-se de incluir
comprimentos circulares.
Depois, eles
poderão tentar
predizer se um
determinado
objeto é maior,
menor ou
próximo de 1
metro.
Fonte: Adaptado pela pesquisadora a partir de Van de Walle (2009, p.425) e Ponte, Brocardo e
Oliveira (2009, p.21).
37
2.5 Fazendo a escolha de unidades apropriadas
Segundo Van de Walle (2009), para que os alunos saibam quais unidades apropriadas
a cada objeto, perguntas devem ser feitas a eles. Por exemplo: “A sala de aula deve ser
medida em metros ou centímetros?”. A resposta a esta questão envolve um amplo saber sobre
medidas e dimensões a serem adotadas. A atividade seguinte incentiva a escolha adequada de
unidades apropriadas pelo aluno, por meio de descoberta e debates.
Quadro 13 – Título da atividade “Adivinhe a unidade”
Exploração e formulação
de questões
Conjectura Testes e
reformulação
Justificação e
avaliação
Encontre exemplo de
medidas de todos os tipos
em jornais, em cartazes ou
em outras situações
cotidianas.
Apresente o
contexto e as
medidas, mas
sem as unidades.
A tarefa será
identificar quais
unidades de medida
foram usadas.
Oriente os alunos
a discutir as
escolhas de
unidade.
Fonte: Adaptado pela pesquisadora a partir de Van de Walle (2009, p.426) e Ponte, Brocardo e
Oliveira (2009, p.21).
Van de Walle lembra que os livros didáticos trazem uma excessiva informação de
subunidades e múltiplos de unidades, pela necessidade de satisfazer a necessidade de muitos
estados, não sendo capazes de determinar a unidade mais adequada a cada currículo.
Apresenta, ainda, em uma tabela, importantes unidades padrão e suas relações, conforme
tabela 1. Porém, aqui, esta se encontra adaptada, restringindo-se somente às unidades de
comprimento e área, para dar continuidade a esta linha de pesquisa.
Tabela 1 - Unidades de medida comumente encontradas
Sistema Imperial Sistema métrico
Comprimento Polegada
Pé
Jarda
Milha
Milímetro
Centímetro
Metro
Quilômetro
Área Polegada quadrada
Pé quadrado
Jarda quadrada
Centímetro quadrado
Metro quadrado
Fonte: Adaptada pela pesquisadora a partir de Van de Walle (2009, p.426).
38
2.6 Estimativa de medidas e dicas para este ensino
Van de Walle explica que “a estimativa de medidas é o processo de informação mental
e visual para medir ou fazer comparações, sem o uso de instrumentos de medida” (VAN DE
WALLE, 2009, p.427) e considera uma habilidade prática e também valiosa para a vida. Ele
estabelece algumas técnicas para estimar medidas, bem como sugere dicas para o ensino de
estimativa. As técnicas são as seguintes:
1. Desenvolver e usar referenciais ou referentes para unidades importantes, pois os
alunos que construíram suas próprias referências têm mais domínios de fazer
estimativas;
2. Usar “blocos menores”, quando apropriado. Por exemplo, o peso de uma pilha de
livros fica mais fácil de ser estimada se já houver alguma estimativa para um livro
“médio”;
3. Usar subdivisões, estratégia semelhante aos blocos menores, com os blocos
impostos ao objeto pelo estimador;
4. Iterar uma unidade mental ou fisicamente, sendo as larguras das mãos e dos dedos
úteis para medidas menores.
A melhor abordagem para o cálculo de estimativas é a prática, e são sugeridas por Van
de Walle algumas dicas que, para ele, devem estar em mente para o ensino de estimativa, quer
sejam:
a) Os alunos devem ser ajudados a aprender estratégias utilizando uma abordagem
específica, para, a partir de então, criarem suas próprias estratégias;
b) Deve haver uma discussão de como os vários alunos o fizeram, pois entenderão que
há vários caminhos e estratégias para a estimativa;
c) Deve ser aceita uma variedade de estimativas;
d) Os alunos são estimulados a apresentarem uma variedade de medidas que acreditam
incluir medida real. Trabalha-se, assim, a prática da vida real bem como ajuda a focar
sobre a natureza aproximada da estimativa;
e) A medida de estimativa deve ser tomada como uma atividade permanente e
contínua.
39
2.7 Desenvolvendo fórmulas para áreas
Van de Walle enfatiza que o uso de fórmulas origina em um estudo mecânico,
resultando em uma possível aprendizagem momentânea, mas que, quando se fundamenta na
criação de seus próprios conceitos, o aluno consegue lembrar/associar a relação/conta a ser
feita, fluindo, assim, em um processo natural de aprendizagem. Ele explica que:
Os resultados dos testes da Avaliação Nacional do Progresso Educacional (NAEP)
norte-americano indicam claramente que os estudantes não têm uma boa
compreensão das fórmulas [...]. Um erro muito comum é confundir as fórmulas para
área e para perímetro [...]. Simplesmente dizer aos alunos como uma fórmula foi
derivada não funciona. (VAN DE WALLE, 2009, p.429).
2.7.1 Área de retângulos, paralelogramos, triângulos e trapézios
Van de Walle (2009, p.430) cita que “a formulação de base vezes altura pode ser
generalizada para todos os paralelogramos (não só retângulos) e é útil para desenvolver as
fórmulas de áreas para triângulos e trapézios”, bem como ajuda a conectar uma ampla família
de fórmulas, que devem ser dominadas independentemente, conforme discriminado a seguir.
2.7.1.1 Área do retângulo
Deve haver uma compreensão clara sobre área para começar a pensar em fórmulas
para retângulos, segundo Van de Walle, que também explica que há certa confusão na mente
dos alunos sobre o conceito de área, e que deve ser revisada a multiplicação como visto nos
arranjos geométricos. Ele ainda exemplifica que se deve mostrar aos alunos filas e colunas de
objetos ou de quadrados, discutindo por que a multiplicação informa uma quantidade total.
Figura 2 - Imagem de um retângulo quadriculado
Fonte: Elaborada pela pesquisadora.
40
Sobre a área de um retângulo como o da figura 2, Van de Walle explica que:
Quando os alunos formularem uma abordagem para a área, baseada na ideia de uma
fileira de quadrados (determinado pelo comprimento de um lado) multiplicado pelo
número dessas fileiras que se ajustam ao retângulo (determinado pelo comprimento
do outro lado), é o momento certo para consolidar essas ideias. [...]. Certifique-se de
que os estudantes concluam que qualquer lado pode ser a base. Se você usar a
fórmula A = b*h, então a mesma área resultará usando qualquer um dos lados como
a base. (VAN DE WALLE, 2009, p. 431).
2.7.1.2 Área do paralelogramo
A ideia sugerida por Van de Walle para área dos paralelogramos é que os alunos
transformem os retângulos em paralelogramos, uma vez que já entenderam a fórmula de
retângulo, de base vezes altura, sugerindo, então, a atividade do quadro 14.
Quadro 14 – Título da atividade “Área de um paralelogramo”
Exploração e formulação
de questões
Conjectura Testes e
reformulação
Justificação e
avaliação
Forneça aos alunos de
dois a três paralelogramos
desenhados em papel
quadriculado ou para um
desafio ligeiramente
maior, utilize um papel
liso.
Se for utilizado
papel liso,
forneça todas as
dimensões – os
comprimentos
de todos os
quatro lados e a
altura.
A tarefa dos alunos
será usar o que eles
aprenderam sobre a
área de retângulos
para determinar a
área desses
paralelogramos.
Eles deverão
encontrar um
método que funcione
para qualquer
paralelogramo, até
mesmo se não
utilizarem um papel
quadriculado.
Fonte: Adaptado pela pesquisadora a partir de Van de Walle (2009, p.431) e Ponte, Brocardo e
Oliveira (2009, p.21).
Van de Walle (2009) detalha que se os alunos “ficarem desorientados”, o professor
deve pedir a eles que, de alguma forma, transformem o paralelogramo em retângulo. Eles
devem saber, através de suas construções/conclusões, que um paralelogramo sempre pode ter
as mesmas dimensões do retângulo, base, altura e área, e, assim, a fórmula de área de um
paralelogramo fica evidente, que é exatamente a área de um retângulo: base vezes altura.
41
2.7.1.3 Área do triângulo
Baseado em uma abordagem de resolução de problemas, Van de Walle, exemplifica,
com uma atividade, a área do triângulo, sugerindo o conceito de área dos paralelogramos para
se chegar ao conceito de área dos triângulos, como verificado no quadro 15:
Quadro 15 – Título da atividade “Área de um triângulo”
Exploração e formulação
de questões
Conjectura Testes e
reformulação
Justificação e
avaliação
Forneça aos alunos pelo
menos dois triângulos
desenhados em papel
quadriculado.
Evite triângulos
retângulos,
porque eles são
um caso especial
mais fácil.
O desafio para os
alunos será usar o
que eles
aprenderam sobre a
área de
paralelogramos
para encontrarem a
área de cada um
dos triângulos.
Eles deverão estar
seguros de que o seu
método funciona
para todos os
triângulos que lhes
forem apresentados,
como também em
pelo menos mais um
que eles devem
desenhar.
Fonte: Adaptado pela pesquisadora a partir de Van de Walle (2009, p.431) e Ponte, Brocardo e
Oliveira (2009, p.21).
Neste ínterim, Van de Walle (2009) oferece, ainda, algumas estratégias que o
professor pode utilizar com seus alunos, se “ficarem desorientados”, conforme segue:
Você pode achar um paralelogramo que se relaciona de alguma maneira a seu
triângulo? Se isso não é suficiente, sugira que eles dobrem um pedaço de papel e o
recortem fazendo duas cópias idênticas. Eles devem usar as cópias para descobrir
como um triângulo se relaciona a um paralelogramo. [...] A área de um triângulo
será então, metade da área do paralelogramo formado. (VAN DE WALLE, 2009, p.
431).
2.7.1.4 Área do trapézio
Van de Walle acredita que os alunos terão curiosidade de investigar a construção de
área dos trapézios, depois de terem desenvolvido as construções de áreas anteriores, sem
qualquer auxílio adicional. Ele afirma a existência de dez métodos para se chegar a este
42
conceito, relacionando-o à área do triângulo ou do paralelogramo, sendo todas essas fórmulas
conectadas, com o uso de métodos semelhantes. Eis sugestões de como conduzir diferentes
abordagens:
Construção de um paralelogramo dentro do determinado trapézio usando três de seus
lados;
Construção de um paralelogramo usando três lados que cercam o trapézio;
Desenho de uma diagonal formando dois triângulos;
Desenho de um segmento de reta pelos pontos médios dos lados não paralelos. O
comprimento desse segmento é a média dos comprimentos dos dois lados paralelos;
Desenho de um retângulo dentro do trapézio, deixando dois triângulos e, então,
reunindo esses triângulos.
Ao revisar as fórmulas, Van de Valle conclui sobre área de trapézios, como segue:
Trapézios também estão relacionados a paralelogramos e triângulos. Por exemplo
todos os trapézios podem formar dois triângulos. As alturas de cada um deles são a
mesma. Use B para o lado paralelo mais longo e b para o menos e a área do trapézio
será ½ (B*h) + ½ (b*h) (Embora isso possa ser simplificado, essa versão da fórmula
é um modo mais fácil de ser lembrado e reforça o processo utilizado). (VAN DE
WALLE, 2009, p. 434).
2.7.1.5 Área do quadrado
Para área dos quadrados, Van de Walle convida o leitor a fazer uma pausa e refletir:
“Você acredita que os alunos devem aprender fórmulas especiais para a área de um quadrado?
Por que sim ou por que não? Você pensa que eles precisam de fórmulas para os perímetros de
quadrados e de retângulos?”
No decorrer desta pesquisa, acredita-se que, com aplicação das atividades, se possa
chegar às respostas a estas perguntas. Para tanto, o percurso deste trabalho encontra-se no
próximo capítulo.
43
3. ETAPAS DA PESQUISA
Não é no silêncio que os homens se fazem, mas na palavra, no trabalho, na ação-
reflexão.
Paulo Freire (1987, p. 24).
A presente pesquisa desenvolveu-se na modalidade de pesquisa-ação, em que a
pesquisadora, ao observar e estimular a investigação, também se fez presente, no sentido de
orientar os alunos, quando necessário, para direcioná-los na dedução dos conceitos de áreas
das figuras planas, embasada nas ideias de Van de Walle (2009) e nas investigações de Ponte,
Brocardo e Oliveira (2009). Para isso, houve, ainda, a criação do caderno de atividades e sua
aplicação, com o intuito de alcançar uma melhoria da prática pedagógica dos professores de
Matemática em conceitos de áreas de figuras planas.
De acordo com Fiorentini:
A pesquisa-ação é um tipo especial de pesquisa participante, em que o pesquisador
se introduz no ambiente a ser estudado não só para observá-lo e compreendê-lo,
mas, sobretudo, para mudá-lo em direções que permitam a melhoria das práticas e
maior liberdade de ação e de aprendizagem dos participantes. Ou seja, é uma
modalidade de atuação e observação centrada na reflexão-ação. (FIORENTINI,
2004, p.65).
Assim, segundo Fiorentini e Lorenzato (2012), sobre pesquisa-ação, afirmam que “ela
também pode ser vista como uma modalidade de pesquisa que torna o participante da ação um
pesquisador de sua própria prática e o pesquisador um participante que intervém nos rumos da
ação, orientado pela pesquisa que realiza”. (FIORENTINI; LORENZATO, 2012, p. 114).
3.1 Público-alvo desta pesquisa
A Escola Estadual Ministro Edmundo Lins (FIGURA 3), mantida pelo Governo do
Estado de Minas Gerais, na sede da cidade de Serro, estado de Minas Gerais, ao Largo do
Pelourinho, Centro, tem sua organização administrativa, didática, técnica e disciplinar regida
pelo Regimento Escolar – 2017.
O prédio foi construído no século XIX, para residir a família do Barão de Diamantina,
Francisco Vasconcelos Lessa, quando, então, este passou a abrigar várias instituições. Em
1943, o prédio foi adaptado para a escola Ginásio Edmundo Lins, a princípio uma instituição
municipal, que atendia toda a região, recebendo meninos em regime de internato, funcionando
44
no segundo andar do prédio. Em 1965, o ginásio passou a ser estadual; na década de 70,
passou a ser uma escola mista; e, em 1990, foi criado o Ensino do 2º grau. Localizado na área
central do município de Serro, não pode sofrer alterações em sua fachada, por ser tombado
pelo Patrimônio Histórico, conservando sua característica de residência do século XIX,
embora tenha sua estrutura interior adaptada.
Figura 3 - Foto da fachada da Escola Estadual Ministro Edmundo Lins
Fonte: Arquivo da instituição (2017).
Atualmente, a escola funciona em dois turnos, manhã e tarde, oferecendo o Ensino
Fundamental Anos Finais e Ensino Médio, e conta com um público de, aproximadamente,
700 alunos.
A turma escolhida para a pesquisa é composta por vinte e cinco alunos, com idades
entre 11 e 15 anos, do sexto ano, turma A, da referida escola. O motivo que levou à escolha
desta turma foi um desafio para a pesquisadora, pois os alunos deste nível estão saindo de um
45
ciclo e iniciando outro, para descobrir o que trouxeram na bagagem a respeito do conteúdo e o
que absorveram a partir das experiências que vivenciaram e/ou compartilharam.
Os encontros aconteceram no mês de novembro de 2019. Os alunos foram convidados
a desenvolver, em 16 momentos, num total de 57 aulas de 50 minutos, investigações
matemáticas, por meio de dezesseis atividades investigativas, que tinham, por objetivo,
compor e decompor figuras planas através da investigação/argumentação. Baseada nos
momentos de uma investigação proporcionados por Ponte, Brocardo e Oliveira (2009), essa
construção dos conceitos de área era proposta que fosse realizada de maneira dedutiva a partir
de atividades investigativas compondo e decompondo figuras, por meio de manipulação de
figuras.
3.2 Elaboração das atividades
As atividades foram todas elaboradas de acordo com as ideias de Van de Walle
(2009). Em algumas delas foram aproveitadas suas ideias originais e outras foram adaptadas
pela autora, porém, sem fugir do objetivo das atividades investigativas.
A seguir é apresentada cada atividade em sua ordem de aplicação, bem como a
habilidade a ser alcançada e sua breve descrição:
As atividades 1, 2 e 3 basearam-se na comparação de comprimentos, utilizando os
recursos do próprio corpo humano, como pés, mãos e palmos. Também foram
utilizados pedaços de barbantes e cartolinas para os alunos fazerem as medições e
comparações.
Na atividade 4, os próprios alunos se compararam através de suas estaturas.
Na atividade 5, com o material entregue pelo professor, eles criaram suas próprias
réguas e mediram os mesmos objetos da atividade 2. Mas a régua informal, construída
por eles próprios, só teve validade quando, após seu desenvolvimento, foi apresentada
a régua padrão. Ou seja, a partir desta atividade, eles já tiveram noção de medir
comprimentos utilizando as unidades padrão.
A atividade 6 começou a definir o conceito de áreas. Nela, foram usados objetos para
preenchimento das figuras definidas, e, ao mesmo tempo, comparadas as suas áreas.
Na atividade 7, com o uso do papel quadriculado, os alunos tiveram a noção de áreas
de retângulos, através da contagem dos quadradinhos e/ou através da ideia de
multiplicação de duas dimensões.
46
Na atividade 8, com o auxílio de quadradinhos, os grupos de alunos formaram seus
quadrados e souberam determinar suas áreas, definindo, assim, o cálculo de área do
quadrado.
Na atividade 9, com a construção do Tangram, houve uma comparação de áreas das
figuras que o compõem.
Na atividade 10, com o uso da folha de jornal, houve uma fixação do cálculo de área
do retângulo. Posteriormente, transformando esta folha em quadrado, fixaram,
também, o cálculo de área do quadrado.
As atividades 11, 12, 13 e 14, com o auxílio da folha retangular, trouxeram a
decomposição do paralelogramo, triângulo, losango e trapézio, respectivamente, sendo
uma complementar à outra e os conceitos assim se definiram.
As atividades 15 e 16 foram de fixação dos conceitos pré-definidos, objetivando-se
avaliar a aprendizagem de maneira informal.
3.3 Elaboração do produto
Sobre dissertação, Fiorentini e Lorenzato (2012, p.151) afirmam que “é um relato de
trabalho de pesquisa realizada mediante um processo metódico de construção e tratamento de
um problema ou questão de investigação, versando sobre um tema único e delimitado”.
Assim, propusemo-nos, nesta pesquisa, seguir fielmente essa linha de raciocínio, desde a
escolha do tema até a elaboração e aplicação das atividades. E verificamos que não há como
aprender os conceitos de área sem antes verificar os conceitos de medidas de comprimento.
Para que isso ficasse bem claro na mente dos alunos, montamos atividades investigativas de
acordo, também, com os pré-requisitos dos conceitos de área. O quadro 16 faz uma análise
das atividades, descrevendo seus títulos, objetivos e recursos utilizados em cada uma delas.
Quadro 16 – Análise das questões
Atividades Objetivos Recursos
1. Medindo objetos da sala
de aula.
Estimar e comparar
comprimentos, utilizando
unidades não padrões, como
palmos de mão, pés e palitos
de picolé.
Atividade impressa em papel
A4, palitos de picolé, objetos
da sala de aula.
47
Atividades Objetivos Recursos
2. Comparação de
medidas de comprimento.
Comparar objetos utilizando
uma unidade de medida dada.
Começar com comparações
diretas de dois ou mais
comprimentos.
Cartolina, atividade impressa
em papel A4, objetos da sala
de aula: lápis, caderno,
carteira, mesa do professor.
3. Comparação de
caminhos – comprimento.
Estimar e comparar
caminhos.
Calcular perímetro.
Barbante, fita adesiva colorida,
atividade impressa em papel
A4.
4. Comparação da altura
dos alunos.
Começar a fazer comparações
diretas de dois ou mais
comprimentos, e entre as
próprias estaturas dos alunos.
Atividade impressa em papel
A4.
5. Construção de suas
próprias réguas.
Construir réguas não padrões. Cartolina, papéis coloridos,
atividade impressa em papel
A4, régua escolar.
6. Noção intuitiva de área
através da comparação e,
posteriormente, do seu
preenchimento.
Construir a noção de área
através da comparação de
figuras e do seu
preenchimento.
Atividade impressa em papel
A4, feijão/ milho.
7. O uso do papel
quadriculado na intuição
do conceito de área do
retângulo.
Construir retângulos
determinados e calcular sua
área.
Atividade impressa em papel
A4, papel quadriculado.
8. Noção intuitiva do
conceito de área do
quadrado.
Construir o conceito de área
do quadrado através de
ladrilhos quadrados.
Papel emborrachado, atividade
impressa em papel A4.
9. Noção intuitiva do
conceito de área do
quadrado, a partir das
peças do Tangram.
Construir um Tangram.
Construir quadrados com as
peças do Tangram
comparando suas áreas.
Papel A4 colorido, atividade
impressa em papel A4, tesoura.
10. O uso do jornal na
construção do conceito de
área do retângulo e do
quadrado.
Medir as dimensões do jornal
e calcular a área do retângulo.
(De)compor o jornal em um
quadrado com recorte, medir
as dimensões e calcular sua
área.
Jornal, atividade impressa em
papel A4, tesoura.
48
Atividades Objetivos Recursos
11. Construção do
conceito de área do
paralelogramo.
(De)compor o retângulo em
paralelogramo.
Construir o conceito de área
do paralelogramo e seu
cálculo.
Folha A4 colorida, atividade
impressa em papel A4, tesoura,
régua padrão.
12. Construção do
conceito de área do
triângulo.
(De)compor o retângulo em
triângulo.
Construir o conceito de área
do triângulo e seu cálculo.
Folha A4 colorida, atividade
impressa em papel A4, tesoura,
régua padrão.
13. Construção do
conceito de área do
losango.
(De)compor o retângulo em
losango.
Construir o conceito de área
do losango e seu cálculo.
Folha A4 colorida, atividade
impressa em papel A4, tesoura,
régua padrão.
14. Construção do
conceito de área do
trapézio.
(De)compor o retângulo em
trapézio.
Construir o conceito de área
do trapézio e seu cálculo.
Folha A4 colorida, atividade
impressa em papel A4, tesoura,
régua padrão.
15. Praticando o que
aprendemos sobre áreas de
figuras planas.
Calcular a área das figuras
planas de acordo com o que o
aluno aprendeu.
Atividade impressa em papel
A4.
16. (De)composição de
figuras planas no conceito
de área
Calcular a área das figuras
planas de acordo com a sua
(de)composição.
Atividade impressa em papel
A4.
Fonte: Elaborado pela pesquisadora.
Cada atividade apresentada no produto foi iniciada pelo seu ícone respectivo, seu
número e título, seguidos de um quadro com as orientações metodológicas ao professor e dos
quatro momentos de investigação com sua linha de raciocínio, como proposto por Ponte,
Brocardo e Oliveira (2009), já citados no capítulo anterior. A parte da atividade a ser entregue
aos alunos vem em seguida. Ela foi formatada, buscando possibilitar, ao docente, a sua
impressão e posterior aplicação aos alunos. Algumas atividades são acompanhadas, ainda, de
um passo a passo para recortes e construção das figuras planas a partir de retângulo. Essas
podem também ser impressas e entregues aos alunos ou utilizadas em projeção na sala de aula
a depender dos recursos disponíveis. As figuras a seguir mostram um exemplo de atividades
com as formatações explicadas anteriormente.
49
Figura 4 – Modelo de atividade do produto e suas características – Parte 1
Número
da
atividade
Título da
atividade
Indicativo de
direcionamento ao
professor
Ícone da
atividade
Quadro
metodológico
No desenvolvimento, é colocado como a atividade deve ser
desenvolvida pelo professor, trazendo algumas considerações que a
pesquisadora julgou pertinente, após a revisão da sua prática, no
decorrer da aplicação primeira da atividade.
50
Figura 5 – Modelo de atividade do produto e suas características – Parte 2
Fonte: Dados da pesquisa.
Com relação aos momentos de investigação, como o exposto na figura 5, esses,
conforme já dito, foram elaborados pela pesquisadora, inclusive para as atividades formuladas
e/ou adaptadas de Van de Walle (2009) presentes no produto, a partir dos momentos de
investigação propostos por Ponte, Brocardo e Oliveira (2009).
Momentos
da
investigação
dentro da
atividade
Sugestões de
Van de Walle
(2009) para a
atividade
proposta
51
Figura 6 – Modelo de atividade do produto e suas características – Parte 3
Fonte: Dados da pesquisa.
Título da
construção
Passos da
construção
Construção
Pronta
Imagem
ligada ao
tema
central da
atividade
principal.
52
Figura 7 – Tarefa da atividade para imprimir para o aluno
Fonte: Dados da pesquisa.
Vale ressaltar, também, que precedem as atividades o sumário, na ordem em que essas
se encontram no caderno, a apresentação, a introdução, capítulo que traz informações teóricas
importantes ao professor, a fim de embasar todo o trabalho a ser realizado. Ao final, são
colocadas as referências utilizadas no caderno de atividades.
Portanto, se faz valer este caderno de atividades com orientações ao professor, para
que ele possa ser o pesquisador participante que intervém nos rumos da ação, orientado pela
Indicativo de
direcionamento ao
aluno
Espaço para o
aluno fazer
contas ou
colocar
dimensões.
Normalmente
possuem o
mesmo
formato ao
qual a
atividade está
direcionada, a
fim de que o
aluno possa
consolidar a
ligação visual
da forma ao
seu respectivo
nome.
Local para
respostas
discursivas
.
53
pesquisa que realiza. Isso significa que é importante estar sempre aberto à pesquisa, a fim de
tornar a prática didática mais prazerosa, tanto para professor como para os alunos.
A seguir, encontram-se as análises a priori e a posteriori de cada uma das atividades
aplicadas, lembrando que após esta aplicação, o caderno de atividades, para ser concluído,
passou pelos processos de revisão (inclusive conceitual e da própria prática em sala de aula),
além de formatação para fins de produto e sua publicação.
55
4. ANÁLISE E RESULTADOS DA APLICAÇÃO DAS ATIVIDADES
INVESTIGATIVAS
As investigações geométricas contribuem para perceber aspectos essenciais da
atividade matemática, tais como a formulação e teste de conjecturas e a procura e
demonstração de generalizações. A exploração de diferentes tipos de investigação
geométrica pode também contribuir para concretizar a relação entre situações da
realidade e situações matemáticas, desenvolver capacidades, tais como a
visualização espacial e o uso de diferentes formas de representação, evidenciar
conexões matemáticas e ilustrar aspectos interessantes da história e da evolução da
Matemática.
Ponte, Brocardo e Oliveira (2009, p. 71).
A partir das teorias e da experiência vivida, pode-se considerar esta pesquisa na
modalidade de pesquisa-ação, conforme já exposto, cuja professora-pesquisadora vivenciou
exatamente as constatações feitas pelos autores estudados, bem como se percebeu a essência
do espírito investigativo geométrico na prática em sala de aula. A seguir, as análises das
atividades aplicadas a priori, a qual é feita antes da aplicação, e a posteriori, feita depois das
atividades, à turma de 6º Ano do Ensino Fundamental.
4.1 Análise a priori e a posteriori das atividades
São expostos, a partir desta parte da pesquisa, quadros que descrevem as atividades,
observando os objetivos, material utilizado, organização da turma, duração e metodologia
utilizada. São observados, também, seus enunciados, bem como os registros das resoluções
das atividades dos alunos, com a apresentação das respostas mais significativas para esta linha
de pesquisa.
56
4.1.1 Atividade 1
4.1.1.1 Análise a priori da atividade 1
Quadro 17 – Descrição da Atividade 1
Atividade 1 – Medindo objetos da sala de aula
Objetivo: Estimar e comparar comprimentos, utilizando unidades não padrões, como palmos,
pés e palitos de picolé.
Material utilizado: Atividade impressa em papel A4, palitos de picolé, objetos da sala de
aula, tais como: carteira, porta (largura).
Organização da turma: Duplas ou trios.
Duração: 3 aulas.
Fonte: Elaborado pela pesquisadora.
O objetivo desta atividade era fazer com que os alunos tivessem a noção de
comprimento usando seu próprio corpo ou outros objetos que não fossem padrões, para que, a
partir de então, passassem a ter noção de comprimento/perímetro. Os alunos, organizados em
duplas, cada qual na sua vez, mediu os objetos definidos, responderam à atividade e, por fim,
compararam com as medidas dos colegas. Toda a observação feita por eles foi registrada na
folha impressa da atividade.
Quadro 18 – Enunciado da atividade 1
Descubra as medidas dos objetos que existem na sala de aula. Faça o que se pede:
1. Usando seu palmo, meça a altura da sua carteira. Minha carteira mede
aproximadamente, _____ palmos de altura.
2. Usando seu pé, meça a largura de uma porta. A porta tem, aproximadamente,
_____ pés de largura.
3. Usando palitos de picolé, meça o lado mais comprido de sua carteira. A
medida do lado mais comprido da minha carteira é de, aproximadamente,
_____ palitos.
Agora, compare as medidas que você obteve com aquelas obtidas por alguns dos seus
colegas. Essas medidas são iguais ou diferentes? Por quê?
Fonte: Teixeira, Nunes e Rizotto (2013).
57
4.1.1.2 Análise a posteriori da atividade 1.
As medidas encontradas pelos alunos ao item 1 da atividade 1 variaram entre 4, 4,5 e 5
palmos, como medida aproximada da altura da carteira. Eles acharam muito interessante e
divertida a atividade.
Figura 8 - Medindo a altura da carteira com o palmo da mão
Fonte: Arquivo da pesquisadora.
Os alunos perceberam que as medidas encontradas foram diferentes, e constataram que
alguns tinham as mãos maiores do que os outros, detectando, assim, o motivo da diferença.
Foi percebido que muitos alunos tiveram facilidade em fazer a medida utilizando a própria
mão, o que transpareceu que já têm este costume, cultura já adquirida por eles.
Da mesma forma, quanto ao item 2 da atividade 1, os alunos se prontificaram a medir
a porta da sala de aula. Interessante que colaram os pés nas portas e pediram a dois colegas
para ajudarem como apoio para não saírem do lugar e nem perderem o equilíbrio, mas houve,
posteriormente, a orientação de que não era necessário andarem colados à porta, ou podiam
fazer a medida com as portas abertas. Mesmo assim, preferiram deixar a porta fechada, mas
não mais ficaram tão rente à porta para tirarem suas medidas. Os valores encontrados,
também como esperado, variaram entre 4 e até 5,5 pés, sendo constatado novamente por eles
que quanto maior o pé, menor vai ser a medida encontrada, já indicando terem, também, uma
ideia de proporção.
58
Figura 9 - Medindo a largura da porta com os pés
Fonte: Arquivos da pesquisadora.
Houve muito interesse em fazerem esta atividade, tanto que os alunos fizeram filas
perto da porta para tirarem suas medidas, indicando que a atividade foi um sucesso.
Durante o desenvolvimento da atividade, houve muitas conversas, os alunos estavam
empolgados.
Já para responderem ao item 3 da atividade 1, foram oferecidos diferentes palitos de
picolés, o colorido e o comum, de medidas diferentes, sendo o primeiro especificado aqui
menor que o segundo. Como o instrumento para medir não era mais corporal, não houve
tantas divergências de medidas, as quais foram encontradas por eles, sendo 5,5 palitos
coloridos ou 5 palitos comuns. Os alunos constataram que não tinha como mudar muito
porque só tinham dois tipos de palitos, e até verificaram fazendo as trocas de palitos com os
colegas. Assim, os que receberam coloridos trocaram com os que receberam os palitos
comuns.
Figura 10 - Medindo o lado mais comprido da carteira usando palitos de picolé
Fonte: Arquivos da pesquisadora.
59
No momento da aplicação, foi percebido que a pergunta final, quanto à comparação de
medidas, devia ser feita após cada item, para que as respostas fossem separadas, específicas
de cada item, pois em cada um deles foi utilizado um instrumento de medida diferente do
outro. Logo, esta questão requer uma alteração em sua elaboração. Sendo assim, após cada
item terá a pergunta “Essas medidas são iguais ou diferentes? Por quê?”. No decorrer da
aplicação, automaticamente esta questão já foi feita pela pesquisadora e respondida oralmente
pelos alunos.
4.1.2 Atividade 2
4.1.2.1 Análise a priori da atividade 2
Quadro 19 – Descrição da Atividade 2
Atividade 2 – Comparação de medidas de comprimento
Objetivo: Comparar objetos utilizando uma unidade de medida dada.
Começar com comparações diretas de dois ou mais comprimentos.
Material utilizado: Cartolina, atividade impressa em papel A4, objetos da sala de aula: lápis,
caderno, carteira, mesa do professor.
Organização da turma: Duplas.
Duração: 2 aulas.
Fonte: Elaborado pela pesquisadora.
Nesta atividade, cada dupla de alunos recebeu uma tira de cartolina. Eles deviam
comparar com objetos na sala e anotar se são maiores, menores ou iguais à tira de cartolina
recebida, para, então, alcançarem os objetivos da questão.
60
Quadro 20 – Enunciado da atividade 2
Compare os objetos da sala de aula, marque com um X seu tamanho: maior, menor ou
igual à tira de cartolina recebida.
OBJETO (NOME) MAIOR MENOR IGUAL
Lápis
Caderno
Carteira (lado maior)
Altura da carteira
Mesa do professor
Fonte: Adaptada pela pesquisadora de Van de Walle (2009).
4.1.2.2 Análise a posteriori da atividade 2
Na atividade 2, os alunos, inicialmente, tiveram dificuldade na interpretação do
enunciado, que era para comparar o comprimento do objeto em relação à tira de cartolina
recebida. Alguns fizeram o contrário, mas discutindo entre si e perguntando à professora,
conseguiram, posteriormente, interpretá-lo corretamente. Pelo fato de haver empolgação de se
fazer atividades usando instrumentos diferentes dos comuns, não concentraram na leitura e na
interpretação do enunciado, necessitando da intervenção para que a confusão fosse desfeita.
Outro fato que pode ter contribuído para essa confusão foi a falta do termo “comprimento” no
lugar de “tamanho” neste enunciado, ao que foi alterado posteriormente.
Uma observação dos alunos foi relacionada à mesa do professor. Eles mediram os dois
lados e ficaram na dúvida se era pedida a medição do lado maior ou menor da mesa do
professor. Lembraram que na atividade anterior, quando usaram os palitos de picolé, foi
definido que era o lado maior da carteira do aluno, mas da mesa do professor não ficou
definido na questão. Houve, assim, duas constatações feitas pelos alunos, “em relação ao lado
maior, a mesa é maior, se for em relação ao lado menor, a mesa é menor”. (FIGURA 11).
61
Figura 11 - Comparando o comprimento da mesa do professor em relação à tira de
cartolina recebida
Fonte: Arquivos da pesquisadora.
Após essa constatação, a pesquisadora interviu, definindo que fosse o lado mais
comprido da mesa do professor, mas considerou interessantes as observações feitas por eles.
Outra alteração que foi feita na elaboração da questão, tratava-se da importância de se aplicar
atividades com o intuito de pesquisa e constatar o olhar de quem o faz. Dessa forma, ficaram
claras para a pesquisadora as alterações que podiam/deviam ser feitas para melhor
desenvolvimento da aprendizagem.
4.1.3 Atividade 3
4.1.3.1 Análise a priori da atividade 3
Quadro 21 – Descrição da Atividade 3
Atividade 3 – Comparação de caminhos – comprimento.
Objetivos: Estimar e comparar caminhos.
Calcular perímetro.
Material utilizado: Barbante, fita adesiva colorida, atividade impressa em papel A4.
Organização da turma: Dupla.
Duração: 3 aulas.
Fonte: Elaborado pela pesquisadora.
A professora construiu, no chão, caminhos curvos, dobrados, tortos, utilizando fita
adesiva colorida. Cada dupla recebeu um comprimento de barbante maior do que os caminhos
feitos no chão. Os alunos foram incentivados a medirem os caminhos da maneira como
62
preferirem, encontrando um modo de fazer caminhos retos que tivessem o mesmo
comprimento que os caminhos apresentados, de modo que pudessem ser facilmente
comparados. Por fim, eles deviam responder às perguntas de comparação de comprimento dos
caminhos, como demonstrado a seguir.
Quadro 22 – Enunciado da Atividade 3
Após a dupla receber um pedaço de barbante, compare-o com os 3 caminhos que
estão feitos no chão, os quais estarão em diferentes cores para melhor identificação.
A partir disso, responda:
Qual o caminho mais longo?
Qual o caminho mais curto?
Existe algum caminho com igual distância do outro?
O que você fez para descobrir esta(s) informação(ões)?
Escreva suas observações sobre a atividade:
Fonte: Adaptada pela pesquisadora de Van de Walle (2009).
4.1.3.2 Análise a posteriori da atividade 3
Como descrito no enunciado da atividade 3, foram feitos três caminhos diferentes, um
verde todo reto, um vermelho com pequenas curvas, e um amarelo com algumas partes
dobradas, como mostra a figura 12.
Figura 12 - Caminhos curvos e dobrados
Fonte: Arquivo da pesquisadora.
63
Foi pedido aos alunos que lessem a atividade e respondessem à primeira pergunta,
“Qual o caminho mais longo?”. As respostas foram imediatas. Unanimemente, disseram que
era o caminho verde. Continuando a investigação, houve a segunda pergunta “Qual o caminho
mais curto?”. Alguns responderam amarelo e outros, vermelho. Quando foi feita a terceira
pergunta: “Existe algum caminho com igual distância do outro?”, os alunos responderam que
sim: o amarelo e o vermelho.
Este primeiro momento foi feito apenas por meio de observação e respostas orais.
Então, foi dito a eles se queriam algum instrumento para medir, um aluno disse que tinham
que usar a régua, sendo oferecido a eles o barbante para medirem. Os alunos vieram correndo
para pegar, muito entusiasmados com a atividade. Mediram, colocando o barbante em linha
reta do lado dos caminhos, fizeram segurando um de um lado outro de outro, por cima
mesmo. Tentaram, mas não ficaram satisfeitos. Então, uma dupla, enfim, decidiu colocar o
barbante por cima dos caminhos e foram segurando até que ponto iria cada caminho. As
próximas duplas gostaram da ideia e também o fizeram. Sendo assim, conseguiram constatar
que o caminho mais longo era o amarelo, e o mais curto era o verde. Eles ficaram surpresos
com os resultados. Uma aluna disse que “o que faz o caminho ficar mais longo são as curvas”.
Outra aluna afirmou: “Pensei que o caminho reto era o maior”. Outro, disse: “O que pensamos
que era o mais longo era o mais curto” e, ainda outro constatou que: “Antes de medir com o
barbante, era uma resposta e agora é outra”. A pesquisadora afirmou a eles que estavam certos
em suas observações e estratégias para responderem às questões e que estavam de parabéns.
4.1.4 Atividade 4
4.1.4.1 Análise a priori da atividade 4
Quadro 23 – Descrição da Atividade 4
Atividade 4 – Comparação da altura dos alunos
Objetivo: Começar a fazer comparações diretas de dois ou mais comprimentos, e as suas
próprias estaturas
Material utilizado: Atividade impressa em papel A4.
Organização da turma: Toda a turma.
Duração: 2 aulas.
Fonte: Elaborado pela pesquisadora.
64
Os alunos, com intervenção da pesquisadora, se colocaram em fila em ordem
crescente, fazendo, primeiramente, uma fila das meninas, depois uma fila dos meninos e, por
fim, uma fila para ambos os sexos. Os alunos deviam começar fazendo comparações diretas
de dois ou mais comprimentos, de suas próprias estaturas. Para trabalhar o respeito mútuo, a
pesquisadora orientou sobre a influência da genética, explicando porque um aluno era mais
alto que o outro ou vice-versa, e também a respeito da idade, a fase em que eles estão, que é
de crescimento, “adolescência”.
Quadro 24 – Enunciado da Atividade 4
Tarefas:
1) Fazer uma fila das meninas em ordem crescente.
2) Fazer uma fila dos meninos em ordem crescente.
3) Unir as duas filas em ordem crescente.
4) Verificar que aluno/alunos estão no meio certinho da fila.
5) Responder às perguntas.
Perguntas:
Qual aluno ficou no meio da fila?
Quem é maior que este aluno?
Quem é menor que este aluno?
Têm alunos com mesma altura?
Fonte: Adaptada pela pesquisadora de Van de Walle (2009).
4.1.4.2 Análise a posteriori da atividade 4
A atividade 4 foi desenvolvida com muita movimentação na sala de aula. Para os
alunos, essa foi uma excelente tarefa, pois estavam cansados de ficarem sentados em aulas
anteriores. O momento foi de descontração e, ao mesmo tempo, de aprendizagem. Eles tinham
a consciência disso, portanto, se mediram, se olharam, se compararam, discutiram para saber
quem era maior, quem era menor. Alguns menores já sabiam que eram os primeiros da fila e,
da mesma forma, os maiores também já sabiam que eram maiores, se enxergaram através da
atividade. Curioso é que estar em fila não é comum para eles no sexto ano, pois a escola não
65
oferece espaço suficiente para fazê-lo, portanto não é rotina deles. Para desenvolverem os
itens 1 e 2 da atividade, não tiveram nenhuma dificuldade, mas na hora de unir as duas filas, a
das meninas com a dos meninos, já pensaram e demoraram um pouquinho mais. Para analisar
o aluno que estava no meio da fila certinho, tiveram dificuldade, pois perceberam que tinha
número par de alunos, além de existirem alunos com mesma estatura. No momento da dúvida
foi sugerido escrever o nome dos dois alunos com mesma estatura, até porque havia essa
pergunta. Quanto a isso, facilmente resolveram o problema e responderam à atividade
entregue a eles.
4.1.5 Atividade 5
4.1.5.1 Análise a priori da atividade 5
Quadro 25 – Descrição da Atividade 5
Atividade 5 – Construção de suas próprias réguas
Objetivo: Construir réguas não padrões.
Material utilizado: Cartolina, papéis coloridos, atividade impressa em papel A4, régua
escolar.
Organização da turma: Duplas.
Duração: 5 aulas.
Fonte: Elaborado pela pesquisadora.
Nesta atividade, a pesquisadora recortou, previamente, finas tiras de cartolina com 5
cm de comprimento e cerca de 2 cm de largura, usando duas cores diferentes de papel.
Depois, discutiu com a turma sobre como as tiras podiam ser usadas para medir, colocando-as
lado a lado, de ponta a ponta. Após, forneceu longas tiras de cartolina com cerca de 3 cm de
largura. Sem orientações explícitas, fez os alunos construírem sua própria régua, colando as
unidades sobre a cartolina, estabelecendo uma lista de algumas coisas a serem medidas. Os
alunos deviam usar suas novas réguas para medirem as coisas da lista, discutindo os
resultados. Houve algumas discrepâncias devido às réguas não terem sido feitas corretamente
ou à falha na compreensão de como a régua funciona. Depois de utilizarem a régua construída
por eles mesmos, deviam usar a régua padrão e medirem os objetos previamente definidos
novamente, assim fazendo uma validação da construção da régua informal e aprendendo a
usar a régua padrão.
66
Quadro 26 – Enunciado da Atividade 5
I) Depois de construir suas próprias réguas, meça objetos da sala de aula, anote
no quadro abaixo, e compare com as medidas obtidas pelo seu colega, marcando ser a
do seu colega maior, menor ou igual à sua.
OBJETO
MINHAS
MEDIDAS
MEDIDAS DO
MEU COLEGA
COMPARAÇÃO:
MAIOR,
MENOR OU
IGUAL
Lápis
Caderno
Carteira (lado
maior)
Altura da carteira
Mesa do professor
As medidas obtidas por você e seu colega são iguais ou diferentes? Porque isso
acontece?
II) Agora, com uso de uma régua padrão, anote as medidas reais dos objetos desta
atividade:
Lápis _______cm
Caderno _______cm
Carteira (lado maior) ______ cm
Altura da carteira ______ cm
Mesa do professor ______ cm
O que você observou nesta atividade, usando a régua feita por você e depois a régua
padrão?
Fonte: Adaptada pela pesquisadora de Van de Walle (2009).
67
4.1.5.2 Análise a posteriori da atividade 5
A atividade 5 foi desenvolvida com bastante aceitação. Cada dupla recebeu o material
e foi orientada a construir suas próprias réguas (FIGURA 13). Colaram os papéis nas tiras
recebidas, recortando os pedaços que sobraram.
Figura 13 - Construção das réguas não padrões
Fonte: Arquivo da pesquisadora.
No item I, houve divergências de valores, até mesmo entre as duplas, que deviam ser
os mesmos, mas ao conversar com os alunos, disseram que mediram cada qual seus próprios
objetos.
Figura 14 - Medindo os objetos da sala de aula
Fonte: Arquivo da pesquisadora.
68
Antes de desenvolverem o item II da atividade, houve a socialização do item I:
Professora: O que vocês acabaram de fazer?
Aluna A2: Uma régua diferente.
Professora: Diferente por quê?
Aluna A: Porque os centímetros desta régua são maiores.
Professora: Não são considerados centímetros, mas sim unidades de medidas. Vocês
encontraram as mesmas medidas dos objetos?
Aluno V: Não, professora, o meu lápis era menor do que o do meu colega, a mesa da
professora eu medi o lado maior e meu colega o lado menor.
Aluno G1: A minha régua não precisou recortar nada no papelzinho, professora.
Professora: Porque você acha que você não precisou recortar e alguns dos seus
colegas recortaram?
Aluna A2: Eu sei, é porque na régua do G, ele deixou espaços entre os papeizinhos.
Mas o número de papéis que ele usou foi menor que o meu.
Aluno A1: Professora esta régua pode ser usada? Quero medir alguns objetos do meu
quarto.
Professora: Vocês podem usar somente contando as unidades, ou seja, cada
pedacinho, cada parte deste papel, mas depois de responder ao item II, vamos concluir se
esta régua pode ou não pode ser usada como você quer, A1.
Observação: O aluno A1, empolgado com a atividade, construiu sua própria régua não
padrão, como mostra a figura 15. Após a discussão, foi pedido que usasse a régua padrão e ele
mesmo constatou que eram diferentes.
Figura 15 - Construção da régua do Aluno A1
Fonte: Arquivo da pesquisadora.
De acordo com Van de Walle (2009), a atividade proposta só tem valor se após o seu
desenvolvimento for usada a régua padrão. Portanto, seguindo a linha de raciocínio, com o
69
apoio da direção da escola que disponibilizou o material, foi emprestada aos alunos a régua
padrão, régua escolar.
Professora: (Continuando) A régua considerada padrão é a que estou emprestando
para vocês agora, e que será utilizada neste momento para medirem e responderem ao item II
desta atividade. Façam as medidas do que se pede e, depois, vamos socializar novamente o
que houve.
O item II foi desenvolvido pelos alunos, fazendo-se o uso da régua padrão. Nesta parte
da atividade não podia haver divergências de medidas como no item I, mas, mesmo assim,
houve, por diferenças de 1 centímetro. Após conversas entre os próprios alunos, alguns
chegaram à conclusão de que houve equívoco na hora de utilizarem o instrumento, pois
deviam começar a medir a partir do 0 e não a partir do 1 como alguns o fizeram.
Figura 16 - Medindo os objetos da sala usando a régua padrão
Fonte: Arquivo da pesquisadora.
Socializando a atividade depois de desenvolvida pelos alunos, houve o seguinte
diálogo:
Professora: Vocês agora encontraram as mesmas medidas?
Aluna G2: Não, professora, os lápis eram de tamanhos diferentes.
Professora: Agora meça os mesmos lápis e me responda se têm o mesmo comprimento.
Aluna G2: Realmente, professora, têm o mesmo comprimento.
Professora: Algum de vocês encontrou comprimentos diferentes, medindo os mesmos
objetos?
70
Aluna A2: Sim, professora, mas é porque estava medindo a partir do 1, mas depois vi
que estava errada, tem que medir a partir do 0, pois do 0 até 1, já vale 1 centímetro.
Professora: Muito bem! Além disso, o que vocês observaram nesta atividade, usando a
régua construída por vocês e depois a régua padrão?
Aluno A1: Descobri que não posso utilizar minha régua para medir os objetos do meu
quarto.
Professora: Porque você chegou a esta conclusão A1?
Aluno A1: Porque fica diferente, tenho três réguas nas mãos, a que a senhora propôs,
a que eu fiz e a da escola, cada uma quando usada tem medidas diferentes.
Aluno V: A régua da escola é em centímetro e a nossa régua cada unidade é maior
que o centímetro, por isso que os objetos mediram mais em centímetros, que é a régua
padrão, do que na régua que fizemos.
Professora: Isso mesmo, gente! A régua da escola é a régua padrão. Todos devemos
utilizá-la para obtermos uma medida certa do que queremos medir. Por exemplo, precisamos
de uma linha para soltar pipas. Então, medimos a quantidade que queremos, vamos à loja e
lá eles utilizam a régua padrão, e nos fornecem a medida exata do que precisamos. Na
verdade, a linha de papagaio, devemos contar em metros, o que equivale a 100 centímetros.
Vocês já ouviram falar no SI.
Alunos: (Em coro). Não!
Professora: A sigla SI significa Sistema Internacional de Medidas, ou seja, em
qualquer parte do mundo utilizamos as medidas padrão. Para medirmos o comprimento de
uma cidade até outra, ou seja, a distância, é utilizado o quilômetro. Para medir o
comprimento dos nossos materiais, utilizamos o centímetro. Para medir a quantidade de
linha utilizada para soltar pipas é em metros, e assim por diante. Em outro momento
estudaremos sobre estas medidas e suas transformações separadamente.
Aluna G3: Transformações? Como assim, professora?
Professora: Sim, G3. As unidades são convertidas uma na outra de acordo com sua
necessidade. Por exemplo, 1 metro tem 100 centímetros, 1 Km tem 1000 metros e assim por
diante. (A pesquisadora, aproveitando a oportunidade, fez a escala no quadro de Km até mm
e expliquei a eles que eram unidades de comprimento e suas conversões).
71
4.1.6 Atividade 6
4.1.6.1 Análise a priori da atividade 6
Quadro 27 – Descrição da Atividade 6
Atividade 6 – Noção intuitiva de área através da comparação e, posteriormente, do
preenchimento
Objetivo: Construir a noção de área através da comparação de figuras e do preenchimento.
Material utilizado: Atividade impressa em papel A4, feijão/milho ou outro material
“preenchedor”.
Organização da turma: Duplas.
Duração: 3 aulas.
Fonte: Elaborado pela pesquisadora.
Os alunos receberam dois retângulos e uma forma de gota impressos em folhas de
papel A4, de modo que não tivessem a mesma área, mas sem nenhuma área que fosse
visivelmente maior ou menor do que as outras. A primeira tarefa dos alunos foi fazer uma
suposição sobre qual é a menor e qual é a maior das três formas. Depois de registrarem suas
suposições/observações, eles deviam usar um “preenchedor” de sua escolha para verificar e
tomar a decisão que responde à situação-problema. Para isso, foram fornecidas pequenas
unidades como discos, azulejos coloridos ou feijões/ milho, pequenos ladrilhos feitos de papel
cartão. Os alunos precisavam explicar, por escrito, o que descobriram. Ao final da atividade,
esperava-se que o aluno soubesse compreender o conceito de área, bem como comparar,
através do uso de preenchimento de pequenos objetos, áreas de retângulos e de figuras
irregulares.
72
Quadro 28 – Enunciado da Atividade 6
Noção intuitiva de área através da comparação e posteriormente do preenchimento.
Figura 1: Desenho de silhueta de gota para preencher
Figura 2: Imagem do retângulo
73
Figura 3: Imagem do retângulo
Tarefa:
Você recebeu três formas, identificadas como figura 1, figura 2 e figura 3.
1. Qual é maior, menor ou são iguais? Anote, no espaço abaixo, suas observações
iniciais.
2. Agora, você deve preencher as figuras com feijão e verificar qual das figuras é
realmente a maior, a menor, ou se elas são iguais. Explique, por escrito, o que e
como descobriu.
Fonte: Adaptada pela pesquisadora de Van de Walle (2009).
4.1.6.2 Análise a posteriori da atividade 6
Os alunos, agrupados em duplas, receberam as folhas referentes à atividade 6. Nela,
estavam a figura 1, uma gota e as figuras 2 e 3, ambas composta de retângulos, porém um na
forma vertical e outro na horizontal, comparando-se as dimensões. A ideia era de que, antes
de usarem qualquer preenchimento, respondessem intuitivamente qual das imagens era maior,
menor ou até mesmo iguais. Cada aluno respondeu aleatoriamente:
Professora: Qual figura é maior?
Aluna G2: As figuras 2 e 3 são iguais.
Aluno P1: A figura 1 é a menor de todas.
Aluno G1: Eu acho que a figura 1 é a maior de todas.
Aluna A2: Eu acho que a figura 3 é a maior de todas.
Professora: Como vocês sabem qual é maior?
Aluno P2: Eu medi com a régua.
74
Professora: Como assim? Como foi feita essa medida? Me mostra?
Aluno P2: Coloquei a régua a partir do zero e medi seu comprimento.
Professora: Mas o objetivo desta atividade é saber qual é maior, por exemplo, qual
sala é maior, a nossa ou a do outro sexto ano.
Alunos: (Em coro) A nossa.
Professora: Porque vocês sabem que é a nossa?
Aluno G1: Porque a nossa tem mais alunos do que a outra.
Professora: Isso, a nossa tem mais alunos porque cabem mais alunos. Portanto, o
espaço da nossa sala é maior. O espaço aqui definido chama-se área. Temos que olhar duas
dimensões, o lado maior e o lado menor, e avaliar como um todo, a sala completa.
Aluno P1: O chão da sala, professora, onde pisamos?
Professora: Sim P1, o espaço é tudo que comporta, é a área.
Aluna G3: Mas, professora, como vamos saber certo qual figura é maior?
Aluno P2: Temos que ver quantas coisas cabem dentro de cada figura, igual nas
nossas salas, comparamos o número de alunos que cabem em cada uma. E agora, o que
vamos usar?
Professora: Leiam ao item 2 da atividade e façam o que se pede.
Aluna G3: Então, vamos usar o feijão e contar quantos cabem em cada figura?
Professora: Trouxe os feijões para vocês usarem. Mãos à obra.
Figura 17 - Preenchimento das figuras com feijão
Fonte: Arquivo da pesquisadora.
Os alunos usaram os feijões para preencherem as figuras facilmente, apertando daqui e
dali, e, rapidinho, as figuras já estavam preenchidas. Mas na hora de comparar, começaram a
contar os feijões de cada figura separadamente. No momento do desenvolvimento desta parte
da atividade, houve algumas falas para decidirem quem iria contar, como iriam fazer para
separarem e etc.
75
Professora: Como vocês estão fazendo para comparar as figuras?
Aluno V: Estamos contando os feijões, professora. Eu conto da figura 1, o G1 conta o
da figura 2, e quem terminar primeiro conta o da figura 3, e um vai ajudando o outro.
Aluna T: Eu e a G2, professora, preenchemos com os feijões a figura 1, a gota.
Depois, pegamos os feijões e colocamos na figura 2, sobraram alguns feijões, por isso
percebemos que a figura 1 é maior que a 2. E agora, pegando os feijões da figura 2 e
colocando na figura 3, percebemos que sobraram mais feijões.
Aluna G2: Então, descobrimos que a figura 1 é a maior, segundo lugar a 2 e a menor
de todas é a figura 3.
Aluno G1: Mas professora, as meninas não podem fazer isso, porque têm que contar
para saber.
Professora: Mas G1, leia novamente ao enunciado da atividade 6, item II. Ela quer
saber quantos feijões ou somente comparar as figuras?
Aluno G1: Ah, professora! Nós aqui perdendo tempo, enquanto as meninas já
descobriram!
Professora: Não estão perdendo tempo, são vários caminhos para se chegar a um
resultado. Chamam-se estratégias. Cada um segue a sua e, juntos, chegam a uma conclusão.
Então, qual caminho vocês acharam melhor?
Aluno V: O que as meninas fizeram, pois não precisa de contar; é somente comparar.
E, assim, toda a turma utilizou a estratégia que mais gostava e achava mais fácil, mas
sem perder o objetivo principal da questão, que se tratava de espaço, área, para se obter a
noção intuitiva de área.
4.1.7 Atividade 7
4.1.7.1 Análise a priori da atividade 7
Quadro 29 – Descrição da Atividade 7
Atividade 7 – O uso do papel quadriculado na intuição do conceito de área do retângulo
Objetivo: Construir retângulos determinados e calcular sua área.
Material utilizado: Atividade impressa em papel A4/ papel quadriculado.
Organização da turma: Individual.
Duração: 3 aulas.
Fonte: Elaborado pela pesquisadora.
76
Os alunos foram orientados a seguir o enunciado da atividade, que pedia que fizessem,
no papel quadriculado, 3 retângulos com 24 quadradinhos, preenchendo a parte interna. Ao
final da tarefa cumprida, responderam às três perguntas, tendo, como objetivo principal, a
criação dos seus próprios conceitos de área do retângulo.
Quadro 30 – Enunciado da Atividade 7
Faça, no papel quadriculado abaixo, 3 retângulos com 24 quadradinhos, preenchendo,
inclusive, as suas partes internas.
77
Agora, responda:
1 – Qual é a área dos retângulos?
2 – Como você fez para descobrir o resultado das áreas?
3 – O que você pode concluir sobre o cálculo da área do retângulo?
Fonte: Elaborado pela pesquisadora.
4.1.7.2 Análise a posteriori da atividade 7
Os alunos receberam a folha contendo, na metade dela, uma malha quadriculada e
foram orientados a fazer o que se pediu no enunciado. No desenvolvimento da atividade 7,
item 1, houve algumas observações feitas pelos alunos, como indicado no diálogo a seguir:
Aluno P1: A área de todos os retângulos tem que dar 24, professora.
Professora: Como você sabe disso?
Aluno P1: A atividade pediu. Então, não podemos fugir do que está pedindo. Todos os
retângulos têm 24 quadradinhos. Então, todos os retângulos terão 24 de área.
Professora: Alguém discorda do P1?
Alunos: Em silêncio.
Eles estavam apenas começando a atividade, enquanto o aluno P1, estava constatando
a informação por ele obtida ao ler o enunciado.
Aluna T: É verdade P1, não tem como dar diferente de 24.
Professora: Como vocês fizeram para descobrir o resultado das áreas?
Aluno P3: Eu contei os quadradinhos.
Aluna A2: Eu multipliquei o número de quadradinhos de um lado pelo número de
quadradinhos do outro lado. Por exemplo, 6 vezes 4 que deu 24. Está certo, professora?
Professora: Está certíssima A2, mas os meninos também fizeram certo, apesar de ter
sido mais trabalhoso. Na Matemática, existem vários caminhos para se chegar a um
resultado. Devemos encontrar o caminho mais fácil e utilizá-lo.
A seguir, a figura 18 mostra a atividade resolvida pela aluna A2. Os retângulos feitos
por ela tinham as seguintes dimensões: rosa, 6 por 4; azul, 8 por 3; e o da cor laranja, 2 por
12, satisfazendo, assim, o enunciado da atividade.
78
Figura 18 – Registro da resolução da Aluna A2 da Atividade 7
Fonte: Dados da pesquisa.
Continuando a conversa com os alunos:
Aluna G2: Professora, eu não consegui fazer o retângulo 1 vezes 24, por quê?
Professora: Vocês não conseguiram porque a malha era menor que 24 quadradinhos,
ou seja, não tinha, em nenhuma de suas dimensões, o valor 24.
Aluno G1: É verdade, professora. As dimensões da malha são 20 de um lado e 15 do
outro.
Professora: Sim, G1. Então, qual a área do retângulo formado pela malha?
Aluno G1: Agora tem que multiplicar 15 vezes 20, dá 300 quadradinhos, professora.
Professora: Isso, muito bem G1! Você entendeu direitinho o conceito de área do
retângulo.
O aluno G1 foi além do enunciado da atividade, mas não fugiu ao objetivo, que era
criar o conceito de área do retângulo, associando muito bem a própria malha quadriculada ao
retângulo e ao cálculo da sua área.
Professora: O que vocês podem concluir sobre o cálculo de área do retângulo?
Aluna A2: Que é o resultado de uma multiplicação de dois números?
Professora: Sim A2. É o resultado da multiplicação de duas dimensões.
Aluna T: O que é dimensão, professora?
Professora: É como se fosse o comprimento de dois lados do retângulo, não tem o lado
maior e o menor? Então, um lado é considerado largura e o outro comprimento, ou
simplesmente dois comprimentos, duas dimensões, que, multiplicados, formam a área do
retângulo.
A atividade foi satisfeita e atingiu o objetivo, que era construir retângulos e calcular
sua área. Os alunos estavam, cada vez mais, entusiasmados com as atividades aplicadas a eles.
Eles reconheceram uma situação problemática, exploraram tal situação e formularam
79
questões. Em seguida, organizaram dados, formularam conjecturas, realizaram testes e
refinaram a conjectura de cálculo de área do retângulo. Por fim, justificaram e avaliaram o
resultado, conforme proposto por Ponte, Brocardo e Oliveira (2009).
4.1.8 Atividade 8
4.1.8.1 Análise a priori da atividade 8
Quadro 31 – Descrição da Atividade 8
Atividade 8 – Noção intuitiva do conceito de área do quadrado
Objetivo: Construir o conceito de área do quadrado através de ladrilhos quadrados.
Material utilizado: Papel emborrachado, atividade impressa em papel A4.
Organização da turma: Grupos.
Duração: 5 aulas.
Fonte: Elaborado pela pesquisadora.
Nesta atividade foram entregues, a cada aluno, quadradinhos feitos com papel
emborrachado, de modo que, ao final da distribuição, fossem feitos três grupos na sala
separados pelas cores dos quadradinhos recebidos, sendo Grupo 1: Cor azul; Grupo 2: Cor
rosa; Grupo 3: Cor salmão. Cada grupo foi estimulado a juntar os quadradinhos de mesma cor
para formar uma única forma geométrica regular, sendo cada grupo a sua. Montados os
quadrados maiores, deviam responder aos questionamentos, de forma que, intuitivamente,
construíssem o conceito de área do quadrado.
Quadro 32 – Enunciado da Atividade 8
Você recebeu quadradinhos feitos com papel emborrachado de uma determinada cor.
Verifique seu grupo conforme a distribuição feita:
Grupo 1: Cor azul
Grupo 2: Cor rosa.
Grupo 3: Cor salmão.
Agora, junto ao seu grupo, vocês devem juntar os quadradinhos de mesma cor para
formar uma única forma geométrica regular, cada grupo a sua.
Ao final, vocês devem responder aos questionamentos, um por grupo:
80
1. Qual figura o grupo formou?
2. Quantos quadradinhos tem a sua forma geométrica?
3. Qual é a área da sua forma geométrica? Como foi feito o cálculo para
descobrir o resultado?
4. Compare a sua forma geométrica com a dos outros grupos. Qual a forma eles
construíram e qual a diferença entre elas?
5. Qual o conceito que acabamos de descobrir?
Fonte: Elaborado pela pesquisadora.
4.1.8.2 Análise a posteriori da atividade 8
Iniciando a Atividade 8, houve a distribuição dos quadradinhos feita pela professora.
Alguns receberam mais de um quadradinho, mas da mesma cor, para ficarem em um só grupo
e não fugir da atividade proposta. Assim, os grupos foram formados a partir da cor dos
quadradinhos que receberam:
Professora: Cada um de vocês está recebendo um ou mais quadradinhos. Vocês
deverão unir aos alunos que receberam os quadradinhos de mesma cor.
Aluno G1: Professora, são quantos grupos?
Professora: Serão 3 grupos, separados da seguinte forma: Grupo 1, alunos que
receberam os quadradinhos azuis; Grupo 2, os alunos que receberam os quadradinhos rosas;
e Grupo 3, os alunos que receberam os quadradinhos na cor salmão.
Então, os alunos receberam as coordenadas da pesquisadora e se uniram de acordo
com as cores.
Aluna G3: Professora, mas o que iremos fazer com estes quadradinhos?
Professora: Boa pergunta. Todos querem saber?
Alunos: Sim! (em coro).
Professora: Cada grupo vai unir estes quadradinhos montando uma forma geométrica.
Podem começar.
A professora circulou pela sala, assistindo a todos os grupos, observando suas ideias e
conversas.
Grupo 1: Quadrado Azul.
Aluno V: Professora, o nosso grupo tem 25 quadradinhos azuis, nossa forma
geométrica será a maior.
Professora: Sim V, qual forma geométrica vocês pensaram?
81
Aluna A2: Penso em um retângulo, mas não sei se vai dar certo!
Professora: Mas vocês têm que tentar montar a forma que pensaram. Se não der certo,
tentar outra, e assim por diante.
Aluno V: Mas A2, para formar um retângulo têm que conter número par de
quadradinhos.
Aluna A3: Não V, se fizermos uma fileira bem grande, formará um retângulo com 25
quadradinhos de comprimento, por 1 de largura.
Aluno V: Sim, vamos montar. Mas... A resposta já está na cara, a professora nos
entregou 25 quadradinhos no total, para simplesmente contá-los? Será?
Professora: A resposta é óbvia sim, mas vou dar uma dica, vocês já construíram
retângulos e calcularam suas áreas em atividades anteriores, não é?
Alunos do Grupo 1: Sim.
Professora: Agora use a imaginação e construa uma forma geométrica regular.
Aluna G3: Forma geométrica regular? Um quadrado, gente? Ele tem os quatro lados
iguais, ele é uma forma geométrica regular.
Alunos: Isso! Vamos montar?
Aluna A2: Professora, conseguimos pensar em uma forma geométrica regular, um
quadrado tem os quatro lados iguais.
Aluna G3: Isso, o nosso originou em um quadrado de 5 quadradinhos de cada lado,
totalizando os 25 quadradinhos.
Aluno V: Mas um triângulo equilátero também é uma forma geométrica regular. Mas
para construirmos um triângulo, devemos recortar os quadradinhos. Pode recortar os
quadradinhos, professora?
Professora: Vocês podem recortar sim, mas a ideia inicial é usar os quadradinhos
somente, sem modificá-los.
Aluna G3: Então, nossa forma geométrica já está montada, podemos responder aos
itens da atividade.
Professora: Podem continuar sim, depois que o fizerem, se quiserem podem montar
outras formas; até mesmo recortando os quadradinhos.
82
Figura 19 - Quadrado Azul, Grupo 1
Fonte: Arquivo da pesquisadora.
O Grupo 1, composto pelos alunos V, A2, A3, G3, I2, R1, T1, souberam reconhecer,
explorar e formular a situação problemática. Quando pensaram na forma geométrica a ser
formada, organizaram dados e formularam conjecturas. Ao formarem a figura, realizaram
testes, avaliaram o resultado do raciocínio, quando perceberam que o quadrado 5 por 5
totalizavam em 25 quadradinhos.
O grupo 2, por sua vez, composto pelos alunos: A1, A4, G1, G2, M, R2, T2,
participaram ativamente do desenvolvimento da atividade, com todos interessados em usar os
quadradinhos para formarem sua figura geométrica. Prontificaram-se a unir e começar. Como
todo trabalho de investigação deve ser, houve a conversa entre professora e alunos do grupo:
Professora: Grupo 2, então? Conseguiram pensar em alguma forma geométrica para
se formar?
Aluno A1: Vamos colocar um quadradinho do lado do outro e ver o que vai dar?
Aluna A4: Vamos, mas acho que vai ficar uma fila de quadradinhos.
Aluno G1: Claro que vai ficar uma fila, formando, assim, um retângulo bem
comprido.
Aluna G2: Como são quadrados, juntos com certeza não formarão uma forma
circular.
Aluno M: Ah, gente, é claro que formará um retângulo.
Professora: Isso mesmo, alunos. Mas o retângulo nós já fizemos em atividades
anteriores. Agora a ideia é fazer uma forma diferente do retângulo.
Aluno M: Vamos colocar mais fileiras e ver no que vai dar.
Aluno R2: Sim, vamos!
Aluno T2: Gente, vai dar outro retângulo.
E assim fizeram outro retângulo, 2 por 8, totalizando os 16 quadradinhos rosas.
83
Aluno T2: Vamos fazer mais fileiras.
Alunos: Sim.
Ao final, de tanto testarem, conseguiram, enfim, formar o quadrado.
Aluno G1: Mas o que acabamos de formar é um quadrado. Um quadrado também é
um retângulo. Não é professora?
Professora: Sim, mas o conceito de área de um quadrado é que vocês deverão
construir a partir desta figura.
Aluna A4: A área do quadrado também deve ser multiplicada.
Aluno A1: Mas o quadrado não tem lado maior e menor, como no retângulo.
Aluno M: Mas é só multiplicar os dois valores. A professora fala as duas dimensões.
Aluna G2: As duas dimensões são iguais, e quando dois valores multiplicados são
iguais, quer dizer que está elevado ao quadrado.
Aluna T2: Então a área do quadrado é uma dimensão elevada ao quadrado!
Aluno M: É isso, professora?
Professora: Vocês concordam com o que a aluna T2 disse?
Alunos do Grupo 2: Sim! (em coro).
Aluno A1: O quadrado também é um retângulo, mas a diferença de calcular área é
porque podemos elevar a dimensão ao quadrado.
Professora: Isso mesmo, A1! Os lados do quadrado são iguais, por isso podemos
elevar seu lado ao quadrado, calculando, assim, sua área. Agora vocês já conseguem
responder aos itens da atividade.
Figura 20 - Quadrado Rosa, Grupo 2
Fonte: Arquivo da pesquisadora.
Os alunos do grupo 2 conseguiram reconhecer e explorar a situação-problema, quando
testaram as construções das formas; formularam questões, quando associaram o retângulo ao
quadrado; e realizaram testes, quando fizeram as contas, ao montarem os retângulos iniciais.
84
Eles ainda justificaram a conjectura, ao final, quando descobriram o conceito de área do
quadrado.
O grupo 3, composto pelos alunos A5, I1, P1, P2, P3, R3, demonstrou, também, muito
interesse pela atividade. Houve, como em todos os grupos, discussões para construção da
forma e do conceito:
Professora: Grupo 3, vocês devem montar uma forma geométrica regular com os
quadradinhos que receberam.
Aluno A5: Forma geométrica regular significa que tem todos os lados iguais.
Aluna I1: Isso! Mas o nosso grupo tem menos quadradinhos, não acho que dá para
formar não.
Aluno P1: Mas vamos tentar!
E eles tentaram, até conseguirem formar o quadrado.
Aluna I1: Mas não é que deu certo? Achei que por serem menos quadradinhos não
daria certo.
Aluno P2: O nosso quadrado tem 9 quadradinhos.
Aluno P3: Se em cada lado tem 3 quadradinhos, 3 ao quadrado dá 9.
Aluno R3: Porque 3 ao quadrado?
Aluno P3: Porque são dois valores iguais sendo multiplicados. Então, podemos elevar
este valor ao quadrado.
Aluno P2: Então, a área do quadrado é o lado do quadrado elevado ao quadrado?
Professora: Isso mesmo, alunos. Qual conceito vocês acabaram de descobrir?
Aluno A5: Área do quadrado, professora.
Figura 21 - Quadrado salmão, Grupo 3
Fonte: Arquivo da pesquisadora.
Os alunos do grupo 3 conseguiram satisfazer a proposta de uma investigação,
exploraram e formularam questões, na formação da figura, organizaram dados e formularam
85
conjecturas e, ao construírem o conceito de área, realizaram testes e justificaram uma
conjectura.
Ao final do desenvolvimento das atividades pelos grupos, houve a comparação das
formas geométricas de cada grupo, como proposto pela atividade, item 4. Todos verificaram
as formas geométricas construídas pelos outros grupos. Cada grupo verificou a sua forma e
criatividade, e conseguiram construir o conceito de área do quadrado, ou seja, atingiram o
objetivo da questão, que era construir, através de ladrilhos, o conceito de área do quadrado.
4.1.9 Atividade 9
4.1.9.1 Análise a priori da atividade 9
Quadro 33 – Descrição da Atividade 9
Atividade 9 – Noção intuitiva do conceito de área do quadrado a partir do Tangram
Objetivos: Construir o Tangram.
Construir quadrados com as peças do Tangram, comparando suas áreas.
Material utilizado: Papel A4 colorido, atividade impressa em papel A4, tesoura.
Organização da turma: Duplas.
Duração: 6 aulas.
Fonte: Elaborado pela pesquisadora.
Nesta atividade os alunos foram orientados a construírem o Tangram, seguindo o
passo a passo do quadro 34, material entregue a eles.
86
Quadro 34 – Passo a passo na construção do Tangram (material entregue aos alunos)
Passo 1: Com uma folha de papel A4, obtenha um quadrado, através das seguintes
dobragens e recorte.
Passo 2: Dobre o quadrado ao meio e recorte-o de modo a obter 2 triângulos (A e B).
Passo 3: Dobre o triângulo A ao meio para obter 2 triângulos menores (1 e 2).
.
87
Passo 4: No triângulo B, marque o meio, dobre o vértice oposto e recorte-o para obter
o triângulo 3.
Passo 5: Dobre o trapézio ao meio, volte a dobrar uma das partes e recorte-o de modo
a obter o triângulo 4 e o quadrado 5.
88
Passo 6: Dobre o trapézio e recorte para obter o triângulo 6 e o paralelogramo 7.
Passo 7: No fim, junte as figuras do Tangram e tente construir outras figuras.
Fonte: Busetti (2008).
Depois de construírem o Tangram, os alunos receberam a Atividade 9 impressa em
folha A4, para responderem-na:
Quadro 35 – Enunciado da Atividade 9
Depois da construção do Tangram, cada dupla de alunos deve analisar e identificar
todas as suas peças.
1. Complete corretamente as frases:
a) O Tangram é formado por ________ peças, são elas:
b) ______ triângulos grandes,
c) ______ triângulo médio
d) ______ triângulos pequenos;
e) ______ quadrado;
f) ______ paralelogramo.
89
2. Com o Tangram, formar um quadrado usando:
a) Só duas peças.
b) Só três peças.
c) Só quatro peças.
d) Só cinco peças.
e) Só seis peças.
f) As sete peças.
Fonte: Elaborado pela pesquisadora.
4.1.9.2 Análise a posteriori da atividade 9
Na atividade 9, bem como nas outras, os alunos aceitaram-na e fizeram-na com
entusiasmo. Todos receberam o passo a passo da construção do Tangram, mas quando
surgiam dúvidas, se solicitada, havia a explicação da professora. Algumas duplas fizeram sem
intervenção, outras tiveram mais dificuldades. Mas, de modo geral, as crianças dessa
fase/idade têm bastante facilidade em desenvolver atividades com materiais manipulativos.
Depois de construído, responderam ao item 1, cujo objetivo era verificar as peças e completar
o número delas.
Respondendo ao item 2(a), os alunos verificaram que existiam duas soluções para
construírem um quadrado, utilizando os dois triângulos pequenos, ou os dois triângulos
grandes. A diferença entre eles era apenas o tamanho.
Figura 22 - Resposta da Atividade 9 – Item 2(a)
Fonte: Arquivo da pesquisadora.
90
Aluno A1: Professora! As duas formas construídas são quadrados, mas não têm a
mesma área.
Professora: Sim, A1. Qual é a área de cada um?
Aluno A1: Eu não sei, porque tenho que medir o lado do quadrado maior e do menor
e elevar ao quadrado para então calcular suas áreas.
Professora: Isso, vocês podem fazer. Vou emprestar a régua para vocês.
E, assim, eles calcularam e constataram que realmente eram diferentes suas áreas.
Aluna A4: Professora! Quando colocamos quatro quadrados menores corresponde ao
quadrado maior!
Professora: Como vocês descobriram isso?
Aluna A4: Colocamos em cima e deu certinho.
Professora: O que é, então, a área do quadrado menor em relação à área do quadrado
maior?
Aluno V: Se o quadrado maior é 4 vezes o menor, então, o quadrado menor é um
quarto do quadrado maior.
Professora: Muito bem V! Vocês fizeram uma importante observação.
Aluno R2 completou: Isso é uma fração.
Professora: Isso mesmo! Ainda lembraram das aulas de frações!
Os alunos reconheceram e exploraram a situação problemática do item. Quando
montaram os quadrados, formularam questões, organizando dados, ao sobreporem os
quadrados menores ao maior, realizando, assim, os testes. Por fim, avaliaram o raciocínio e o
seu resultado.
Já respondendo ao Item 2(b), depois de muito tentarem, os alunos verificaram que
existia uma única solução para construírem um quadrado utilizando apenas três peças,
satisfazendo, assim, ao objetivo do item. Conseguiram reconhecer e explorar a situação-
problema, quando descobriram que existia uma única solução; formularam questões, quando
associaram e sobrepuseram os dois triângulos pequenos no triângulo médio, realizando, para
isso, vários testes; e, por fim, avaliaram o raciocínio e o resultado. Houve discussões, como
todo trabalho investigativo, até chegarem aos resultados e conclusões, como se pode notar no
seguinte diálogo:
Aluna I1: Quando respondemos ao item 2(a), verificamos que existiam duas soluções,
e agora, ao resolver ao item 2 (b), verificamos uma única solução.
Aluna T1, completa: Mas percebemos que os dois triângulos pequenos, sobrepostos
ao triângulo médio, ficam com a mesma área.
91
Professora: Então, o que é o triângulo médio em relação ao triângulo pequeno?
Aluna T1: O triângulo médio é o dobro do triângulo pequeno.
Aluna T2 completa: Então, o triângulo pequeno é a metade do triângulo médio.
Professora: Muito bem! Vocês estão ótimos investigadores. Conseguem reconhecer e
explorar uma situação problema, formular questões, realizar testes, e justificar e avaliar o
raciocínio.
Figura 23 - Resposta da Atividade 9 – Item 2(b)
Fonte: Arquivo da pesquisadora.
Já com relação ao item 2(c), os alunos verificaram que havia três soluções para
construírem um quadrado utilizando 4 peças. Eles, então, discutiram a respeito das áreas
constituídas pelas peças:
Aluno M: Em todas as três soluções, a metade do quadrado é composta pelo triângulo
maior.
Aluno R2 completou: Na minha primeira solução, os dois triângulos pequenos, e o
triângulo médio, formam a metade do quadrado e corresponde ao triângulo grande.
Aluno M completou o aluno R2: Então, dois triângulos pequenos equivalem ao
triângulo médio.
Aluna T2: Na minha solução, o quadrado e os dois triângulos pequenos compõem a
metade do quadrado, que corresponde ao triângulo maior.
Aluno P1 completou a aluna T2: Constatamos que, dois triângulos pequenos
equivalem ao quadrado.
92
Aluna I1: Na minha solução, o paralelogramo mais os dois triângulos formam a
metade do quadrado, que corresponde ao triângulo maior.
Aluna R1 completou a aluna I1: Então, dois triângulos equivalem, também, ao
paralelogramo.
Professora: Isso mesmo, turma. Vocês estão descobrindo vários dados em relação às
peças do Tangram, que tal anotarem essas informações?
Figura 24 - Resposta da Atividade 9 – Item 2(c)
Fonte: Arquivo da pesquisadora.
Os alunos organizaram os dados, anotaram no caderno suas constatações, e foram
respondendo, também, oralmente:
Aluno P3: Então, dois triângulos pequenos formam um quadrado, um triângulo
médio, e um paralelogramo.
Professora: E o que forma o triângulo grande?
Aluna T1: Dois triângulos pequenos e um médio, dois triângulos pequenos e o
quadrado, dois triângulos pequenos e o paralelogramo.
Os alunos conseguiram corresponder e satisfazer a uma atividade investigativa quando
responderam ao item c, reconheceram e exploraram a situação-problema, ao tentarem montar
o quadrado utilizando apenas quatro peças; formularam questões ao compararem as peças
relacionando sua área; realizaram testes e refinaram a conjectura, avaliando o raciocínio e o
resultado deste raciocínio.
Respondendo ao item 2(d), os alunos, ao identificarem e explorarem a situação-
problema, reconheceram que havia uma única solução:
93
Aluno A5: Professora! Diante desta situação, eu e meu colega P1, conseguimos
encontrar apenas uma única solução.
Professora: Alguma dupla conseguiu encontrar mais de uma solução?
Alunos responderam em coro: Não!
Professora: Mas vocês já tentaram?
Alunos novamente em coro: Sim!
Professora: Realmente turma, existe apenas uma única solução.
Aluno A1: Professora! Coincidência ou não, com três peças e com cinco peças, deu
para montar somente um quadrado, será que por ser número ímpar só existiu uma única
solução?
Professora: Excelente comparação, A1. Vamos verificar isso para todos os números
ímpares de peças do Tangram? Vamos continuar respondendo a esta atividade e verificar os
resultados, voltaremos a esta descoberta depois.
Figura 25 - Resposta da Atividade 9 – Item 2(d)
Fonte: Arquivo da pesquisadora.
Aluno P2: Antes de verificar com 7 peças, temos que verificar com seis peças,
professora.
Professora: Isso mesmo. Agora, o próximo item quer que construamos um quadrado
com as sete peças do Tangram. Em duplas continuem tentando.
Como esperado, os alunos não conseguiram montar um quadrado com seis peças. Eles
reconheceram e exploraram a situação-problema, realizaram testes, mas não conseguiram uma
única solução para o item. Era esperado, e ao mesmo tempo intrigante para eles, terem
encontrado solução para 2, 3, 4 e 5 peças, mas não conseguirem para 6 peças.
94
Aluno M: Mas, professora! Até agora isso não tinha acontecido. Será que ninguém
vai conseguir montar?
Professora: Todos já tentaram todas as possibilidades?
Aluna A3: Professora, eu já até cansei de tanto tentar! Não conseguimos. Por quê?
Professora: A solução para este item é impossível de ser resolvida turma.
Aluna G3: Mas porque tinha esta atividade para responder senão tem resposta?
Professora: Porque G3, na Matemática existem problemas de impossíveis soluções, e
este item é um deles. Coloquei para vocês tentarem responder, justamente para saberem que
isso acontece.
Os alunos ficaram muito intrigados com este item, mas aceitaram a impossibilidade,
por constatarem que, de fato, não existia solução. Apesar disso, eles justificaram a conjectura,
ao fazerem essa descoberta.
Figura 26 - Resposta da Atividade 9 – Item 2(f)
Fonte: Arquivo da pesquisadora.
Respondendo ao item 2(f), os alunos, ao reconhecerem e explorarem a situação-
problema, verificaram, novamente, que existia uma única solução.
Aluno A1: Está vendo, professora! Com sete peças também só existe uma única
solução!
Professora: O que vocês descobriram?
Aluno A1: Estava ansioso para chegar neste item. Então eu estava certo. Quando for
número ímpar de peças do Tangram, só existe uma única solução.
95
Professora: Verdade! Você e seus colegas, A1, conseguiram, diante de reconhecerem e
explorarem uma situação-problema, realizando testes, justificaram que para um número
ímpar de peças do Tangram só existe uma única solução, na construção do quadrado.
Aluna A4: O quadrado obtido, professora, é o que forma o Tangram todo desde o
início.
Professora: Isso mesmo A4, as sete peças usadas formam o Tangram, o jogo completo.
Vocês, com sua criatividade, souberam responder aos itens e irem além deles. Compararam,
realizaram testes, refinaram conjecturas.
Como visto, a Atividade 9 foi um sucesso, e até foram além das expectativas e
objetivos da questão.
4.1.10 Atividade 10
4.1.10.1 Análise a priori da atividade 10
Quadro 36 – Descrição da Atividade 10
Atividade 10 – O uso do jornal na construção do conceito de área do retângulo e
do quadrado
Objetivos: Medir as dimensões do jornal e calcular a área do retângulo.
(De)compor o jornal em um quadrado com recorte, medir as dimensões e
calcular sua área.
Material utilizado: Jornal, atividade impressa em papel A4, tesoura.
Organização da turma: Duplas.
Duração: 4 aulas.
Fonte: Elaborado pela pesquisadora.
Nesta atividade, com auxílio de uma folha de jornal, os alunos mediram suas
dimensões. Em seguida, fizeram o cálculo de sua área, com o objetivo de colocar em prática a
construção do conceito de área do retângulo, já feito em atividades anteriores. Depois de fazer
o cálculo da área do retângulo, os alunos foram instruídos a recortar o jornal, fazendo dele um
quadrado, a fim de calcular sua área, para colocarem em prática o conceito de área do
quadrado.
96
Quadro 37 – Enunciado da Atividade 10
Você recebeu uma folha de jornal. Agora, faça o que se pede:
1. Meça o perímetro desta folha, utilizando a régua padrão. Qual a medida
encontrada? Mostre o cálculo feito.
2. Calcule a área da folha do jornal. Qual a medida encontrada? Mostre o cálculo feito.
3. Recorte a folha de jornal, formando, assim, um quadrado. Como você fez para
transformar o jornal em um quadrado?
4. Qual o perímetro do quadrado formado? Mostre o cálculo feito.
5. Qual a área do quadrado? Mostre o cálculo feito.
6. O que há de semelhante entre o perímetro das figuras?
7. O que há de semelhante entre as áreas das figuras?
Fonte: Elaborado pela pesquisadora.
4.1.10.2 Análise a posteriori da atividade 10
Cada aluno recebeu uma folha de jornal, além da atividade 10 impressa em folha A4, e
foram orientados a lerem e responderem, em duplas, aos itens da atividade. Como em todas as
atividades, eles se propuseram a resolver a questão.
No item 1 da atividade 10, o objetivo era medir o perímetro da folha de jornal,
utilizando a régua padrão.
Professora: Qual a medida vocês encontraram do perímetro desta folha de jornal?
Aluna G2: Nós achamos 189, professora.
Professora: A resposta é 189? Não tem nenhuma unidade de comprimento que
acompanha a este número.
Aluna G2: 189 centímetros.
Professora: Qual o cálculo que vocês fizeram?
Aluno G1: Nós medimos com a régua o lado maior e o lado menor, depois
multiplicamos cada lado por 2 e, por fim, somamos os dois valores.
Professora: Porque vocês multiplicaram cada lado por 2?
Aluno G1: Por que o jornal tem o formato de um retângulo, e o retângulo tem dois
pares de lados iguais, ou seja, o lado maior tem dois e o lado menor tem dois, professora.
Professora: Isso mesmo! Vocês estão afiados nas formas geométricas!
Aluna I1: O nosso também deu 189 centímetros, professora.
97
Professora: Muito bem. Por favor, I1, fale detalhadamente: o que fizeram?
Aluna I1: Olha, professora, medimos o lado maior, que deu 54,5 centímetros e
multiplicamos por 2, deu 109 centímetros, depois medimos o lado menor, 40 centímetros, e
multiplicamos por 2, deu 80 centímetros, então, somamos tudo, totalizando em 189
centímetros.
Professora: Está certíssimo I1! Podem continuar e respondam, agora, ao item 2 da
atividade.
Ao responderem ao item 2 da atividade, perceberam que era só multiplicar os valores
encontrados, pois já sabiam as suas dimensões.
Aluna I2: Professora, neste item ficou fácil. É só multiplicar 54,5 vezes 40.
Aluno V: Isso mesmo, porque o cálculo de área do retângulo é feito através da
multiplicação das duas dimensões. Já fizemos isto antes, quando construímos o conceito de
área do retângulo.
Professora: Correto! Agora vocês estão usando o conceito aprendido nas atividades
anteriores, em relação ao cálculo de área do retângulo.
Aluno V: O resultado desta conta é 2180 centímetros, professora.
Professora: O valor está correto, mas a unidade não. A unidade de medida será
centímetros quadrados.
Aluno V: Mas por que, professora?
Professora: Quando multiplicamos as duas dimensões, estamos também multiplicando
as duas unidades, ou seja, 54,5 centímetros vezes 40 centímetros, os valores multiplicados
totalizam em 2180, e a unidade de medida multiplicada fica elevada ao quadrado, ou seja,
centímetros quadrados.
Aluno V: Verdade, professora, mas não sabia disso.
O item 3 da Atividade 10 foi tranquilo para os alunos. Eles reconheceram a situação-
problema e logo já fizeram as duplas e se dispuseram a trabalhar:
98
Figura 27 - (De)compondo a folha de jornal (retângulo) em um quadrado
Fonte: Arquivo da pesquisadora.
Professora: Como vocês fizeram para transformar a folha de jornal que era retangular
em um quadrado?
Aluno M: Fazendo um triângulo, recortando a parte que sobrou, e fizemos um
quadrado.
Aluna T2: Eu medi o lado menor com a régua, depois marquei o mesmo tamanho no
lado maior, aí recortei e formei um quadrado.
Aluno R2: Começamos a dobrar como um papagaio e recortamos a parte que sobrou.
Aluno P2: Eu fiz no formato de uma pipa.
Professora: Percebi que vocês conseguiram resolver a situação-problema, e fizeram o
quadrado com a folha de jornal que era inicialmente retangular, satisfazendo o objetivo do
item. Agora continuem respondendo às questões da atividade.
Notou-se que alguns alunos tiveram mais facilidade para fazer o quadrado utilizando o
próprio jornal, por terem a noção da construção de pipas. Outros fizeram medindo, usando,
para isso, a régua padrão. Ou seja, cada um escolheu a maneira que achou mais conveniente,
mas todos conseguiram reconhecer a situação-problema, explorá-la e resolvê-la
satisfatoriamente.
Respondendo ao item 4 da atividade 10, os alunos tiveram facilidade em fazê-lo, uma
vez que estavam preparados para medirem e fazerem o cálculo de perímetro, decorrente das
questões anteriores realizadas referentes a esta habilidade:
Professora: Qual o perímetro do quadrado formado?
Aluno P1: Ora, professora, muito fácil! É só multiplicar a medida do lado do
quadrado por 4, pois os quatro lados são iguais.
99
Aluno V completou: Já sabemos quanto vale o lado do quadrado, não é o lado menor
do retângulo, então, já medimos, vale 40 centímetros.
Aluna A4: Então, 40 vezes 4, dá 160 centímetros.
Aluno A1: Isso, e é centímetro somente, porque é medida de comprimento.
Professora: Parabéns! Vocês já responderam ao item 4, souberam reconhecer e
avaliar o resultado do raciocínio feito. Vamos continuar. Agora é o item 5.
Os alunos, sempre entusiasmados, atenderam prontamente aos enunciados das
atividades, desenvolveram a habilidade, mais uma vez, e conseguiram satisfazer ao objetivo
da questão. Eles reconheceram e exploraram a situação-problema e avaliaram o resultado do
raciocínio.
Continuando a Atividade 10, item 5, agora o objetivo da questão era calcular a área do
quadrado formado:
Professora: Vocês calcularam a área do quadrado formado?
Aluno I1: Sim professora, deu 1600.
Aluno A1 corrigiu o aluno I1: Deu 1600 centímetros quadrados I1.
Aluna A4 completou o aluno A1: Isso. Porque agora são unidades de área, e
multiplicamos as unidades, por isso ficou a unidade ficou elevada ao quadrado.
Professora: Muito bem! Vocês estão atentos às unidades de medidas! O cálculo
também está correto. Todos chegaram a este resultado?
Alunos em coro: Sim!
Neste item, os alunos souberam reconhecer a situação-problema e avaliaram o
resultado do raciocínio.
Já respondendo ao item 6 da Atividade 10, os alunos conseguiram vencer a habilidade
e se mostraram aptos para falarem sobre perímetro:
Professora: O que há de semelhante entre o perímetro das figuras, do retângulo e do
quadrado que vocês acabaram de fazer?
Aluna R1: O perímetro é a soma dos lados professora.
Aluna G2: O perímetro do quadrado tem que ser multiplicado o lado do quadrado por
4. E o perímetro do retângulo tem que ser multiplicado de dois a dois depois somados os
resultados.
Professora: Porque isso acontece, G2? Então a R1 está errada?
Aluna G2: A R1 está certa, professora. Mas é que já sabemos multiplicar e quando há
repetição de números é melhor multiplicar do que somar uma a um.
Aluna G3: O perímetro é a soma dos lados sim, é o contorno da figura.
100
Professora: Todos concordam com os colegas?
Alunos em coro: Sim!
Professora: Muito bem, turma! Agora vamos ao item 7 da atividade.
Os alunos demonstraram, ao responder ao item 6, dominar a habilidade de perímetro,
sabendo calculá-lo e defini-lo. Ou seja, nesta atividade, eles já estavam realizando testes e
refinando a conjectura de perímetro.
Continuando a atividade 10, item 7, cujo objetivo era saber se os alunos dominavam o
conceito de área do retângulo e do quadrado, bem como o conceito de perímetro, houve o
seguinte diálogo:
Professora: O que há de semelhante entre as áreas das figuras quadrado e retângulo?
Aluno V: Professora! Perímetro é o contorno e área é que está dentro. Então, a
semelhança entre áreas do quadrado e do retângulo é que calculamos a parte de dentro das
duas figuras.
Aluno A1, completando o aluno V: Isso! O cálculo foi feito pela multiplicação das
duas dimensões, e a unidade de medida ficou elevada ao quadrado nas duas contas.
Professora: Alguém mais quer falar a respeito da semelhança?
Aluna A4: Eu concordo com o A1, mas na conta de área do quadrado elevamos o
valor da dimensão ao quadrado, porque os lados dos quadrados são iguais.
Aluna G3: Mas elevar ao quadrado é multiplicar duas vezes o mesmo valor, é uma
potência de expoente 2, ou seja, o valor do lado do quadrado elevado ao quadrado mesmo.
Professora: Estou gostando muito da participação de vocês nas aulas de investigação.
Investigando, vocês conseguem chegar ao resultado e avaliar o resultado do raciocínio.
Diante da aplicação da atividade 10, e comparando com o que foi realizado até aqui,
percebeu-se que os alunos formaram os conceitos em suas mentes, a aprendizagem se
efetivou, e quaisquer dúvidas que possam ter existido, ou até mesmo confusão entre perímetro
e área, passou a ser sanada. Além disso, a habilidade de identificação de perímetro e área foi
realmente entendida, sem haver mais confusão entre os dois.
101
4.1.11 Atividade 11
4.1.11.1 Análise a priori da atividade 11
Quadro 38 – Descrição da Atividade 11
Atividade 11 – Construção do conceito de área do paralelogramo
Objetivos: (De) compor o retângulo em paralelogramo.
Construir o conceito de área do paralelogramo e seu cálculo.
Material utilizado: Folha A4 colorida, atividade impressa em papel A4, tesoura,
régua padrão.
Organização da turma: Duplas.
Duração: 3 aulas.
Fonte: Elaborado pela pesquisadora.
Nesta atividade, os alunos receberam uma folha A4 e foram instruídos a fazerem o
corte e a montagem, como orientado na folha impressa, onde se encontrava o passo a passo da
(de)composição do retângulo em paralelogramo. Feito o paralelogramo, em duplas, deviam
pensar em uma maneira intuitiva de calcular sua área, respondendo aos itens da atividade.
Quadro 39 – Enunciado da Atividade 11
Você recebeu uma folha tamanho A4. Agora construa um paralelogramo:
Faça o corte como indicado na figura abaixo:
Figura – Recorte no retângulo para a montagem do paralelogramo.
102
O triângulo originado com o corte deve ser colocado no lado oposto da figura, vide
figura abaixo.
Figura – Montagem do paralelogramo.
Figura - Paralelogramo formado
Tarefas:
1. Usando uma régua padrão, meça as dimensões do paralelogramo, base (b) e
altura (h) e escreva-as.
2. Calcule a área do paralelogramo que você construiu. Mostre a conta no espaço
abaixo.
3. Como você fez o cálculo da área do paralelogramo? Explique.
4. O que você pode concluir sobre o cálculo de área do paralelogramo?
Fonte: Elaborado pela pesquisadora.
103
4.1.11.2 Análise a posteriori da atividade 11
Ao receberem a folha de papel A4 e também a folha com a orientação da atividade 11,
os alunos começaram a fazê-la: dobraram, recortaram na linha de dobra e, por fim, colaram
em uma folha de jornal, como apresentado na figura 28.
Figura 28 - (De)compondo a folha retangular em um paralelogramo
Fonte: Arquivo da pesquisadora.
Depois de terem feito a (de)composição do retângulo em paralelogramo, os alunos
começaram a responder à folha de atividades. Porém, a professora-pesquisadora, levando em
consideração o que enfatizam Ponte, Brocardo e Oliveira (2009), iniciou uma conversa com
os seus alunos. Para os autores: “Muitas vezes a tarefa é fornecida aos alunos por escrito, que,
sem dúvida, é vantajoso, mas não dispensa uma pequena introdução oral por parte do
professor”. (PONTE; BROCARDO; OLIVEIRA, 2009, p.82). Eis o diálogo:
Professora: Hoje, vocês irão decompor como mostra a orientação da folha que
acabaram de receber. Que forma geométrica é essa?
Aluno A5: Antes era um retângulo, agora transformamos em um paralelogramo.
Professora: O que é um paralelogramo?
Aluno V: É um quadrilátero composto por dois pares de lados paralelos, assim o
nome já diz.
Professora: Todos têm consciência disso?
Alunos (em coro): Sim!
Professora: Vamos fazer a leitura oral e conjunta da atividade 11 até o item 1, e
pararmos para respondermos a ele?
Alunos (em coro): Sim!
104
E assim foi feita a leitura oral da atividade 11, até o item 1, como proposto pela
professora.
Respondendo ao primeiro item da Atividade 11, os alunos mediram as duas dimensões
pré-definidas na questão, considerando que a base foi indicada pela letra b e a altura foi
indicado pela letra h, como na maioria da literatura encontrada, justamente para que, quando
surgissem questões com essa nomenclatura, não se confundissem e/ ou até lembrassem que já
viram e associassem-na de forma correta, mesmo sem tanta importância essa definição, já que
podiam ser consideradas duas dimensões, independentemente das letras que as
representassem:
Professora: Quanto vocês encontraram para as medidas ou dimensões indicadas?
Aluno G1: Olha, professora! Para a base, medi o lado maior e encontrei 30
centímetros, e para altura, medi a linha que recortei e encontrei 21 centímetros.
Aluno R2: Eu também encontrei estas mesmas medidas para as dimensões.
Professora: Algum de vocês encontrou medidas diferentes dos meninos?
Alunos (em coro): Não!
Professora: Ótimo! Então, vamos continuar respondendo aos itens? Leiam ao item 2,
vamos continuar fazendo a leitura oral!
E assim foi feita a leitura oral do item 2 da atividade 11.
Professora: Vocês calcularam a área do paralelogramo?
Aluna T1: Nossa! Agora complicou! Como fazer isso?
Aluno V respondeu: Ora... Têm duas dimensões, então multiplicamos as duas
dimensões, a base vezes a altura.
Aluna T1: Mas como você sabe disso? A professora nem explicou ainda? Isso nós
fizemos com o quadrado e o retângulo. Mas não com o paralelogramo.
Aluno V respondeu à aluna T1: Porque no paralelogramo também tem duas
dimensões, é só multiplicar que encontramos o valor da sua área.
Aluna T1 retrucou: Mas não concordo com isso.
Aluno M complementou o aluno V para explicar à aluna T1: Você está confusa, T1,
porque o paralelogramo é inclinado, mas lembra que antes era um retângulo? Então nós
recortamos e mudamos seu lado. Pede à professora outra folha e mede, vamos fazer todo o
processo para você mesma ver.
Então, os alunos refizeram a (de)composição da folha A4, mas, antes disso, mediram a
base e a altura do retângulo, ou seja, da folha A4, para constatarem suas medidas:
105
Aluna T1: Agora entendi, nós só mudamos a posição da figura, as medidas das
dimensões são as mesmas.
Aluno M respondeu: Sim, T1. Isso se chama decomposição da figura. Melhor ainda:
decomposição do retângulo em paralelogramo.
Professora: Muito bem! Vocês já estão entendendo o conceito de área do
paralelogramo. Agora vocês já podem continuar.
Aluno V: Então, podemos calcular a área do paralelogramo. A base deu 30
centímetros, e a altura deu 21 centímetros. Total: 630 centímetros quadrados.
Aluno A5: O meu também deu 630 centímetros quadrados!
Sobre a resolução do item 3, houve os seguintes comentários:
Professora: Como vocês fizeram para encontrar este total?
Aluno V: Multiplicando 21 vezes 30, professora!
Aluno A5: Isso mesmo, multiplicando as duas dimensões.
Professora: Todos fizeram isso?
Alunos (em coro): Sim!
Professora: Então, podem continuar e responder ao último item.
Sobre o item 4, o diálogo foi o seguinte:
Professora: O que vocês podem concluir sobre o cálculo de área do paralelogramo?
Aluna A4: Calcular a área do paralelogramo é igual calcular a área do retângulo:
devemos multiplicar as duas dimensões.
Aluna A2 completou: Sim, e do quadrado também, ou seja, sempre deve haver a
multiplicação das duas dimensões.
Professora: Isso mesmo alunos! Vocês conseguiram entender o conceito de área do
paralelogramo!
Nesta atividade, conforme visto, houve as três fases de investigação: a introdução da
tarefa feita pela professora; houve a fase de investigação em duplas, na qual os alunos
reconheceram e exploraram a situação-problema, realizaram testes, refinaram a conjectura,
avaliaram o raciocínio e, também, o resultado deste raciocínio. Por fim, houve a discussão dos
relatos entre todos os alunos e a professora.
106
4.1.12 Atividade 12
4.1.12.1 Análise a priori da atividade 12
Quadro 40 – Descrição da Atividade 12
Atividade 12 – Construção do conceito de área do triângulo
Objetivos: (De)compor o retângulo em triângulo.
Construir o conceito de área do triângulo e seu cálculo.
Material utilizado: Folha A4 colorida, atividade impressa em papel A4, tesoura,
régua padrão.
Organização da turma: Duplas.
Duração: 4 aulas.
Fonte: Elaborado pela pesquisadora.
Na atividade 12, os alunos receberam uma folha A4 e foram instruídos a fazerem o
corte e a montagem como orientado na folha impressa, onde se encontrava o passo a passo da
(de)composição do retângulo em triângulo. Feito o triângulo, em duplas, deviam pensar em
uma maneira intuitiva de calcular sua área, respondendo aos itens da atividade, conforme se
segue:
Quadro 41 – Enunciado da Atividade 12
Você recebeu uma folha retangular. Faça recortes nela de acordo com a figura abaixo,
obtendo o triângulo formado:
Figura: Recorte no retângulo para montagem do triângulo
107
Figura: Triângulo formado
Tarefas:
1. Usando uma régua padrão, meça as dimensões do triângulo, base (b) e altura
(h).
2. Calcule a área da figura formada. Apresente, no espaço abaixo, a conta feita.
3. O que é a área do triângulo em relação à área do retângulo?
4. Qual o conceito que acabamos de descobrir? Explique e anote, no espaço
abaixo, suas conclusões.
Fonte: Elaborado pela pesquisadora.
4.1.12.2 Análise a posteriori da atividade 12
Cada aluno recebeu uma folha retangular, escolhendo as cores que quiseram.
Receberam, também, a folha contendo a atividade 12. Para isso, houve a orientação da
professora, que pediu para que lessem oralmente e, depois, fazerem a (de)composição da
folha retangular em um triângulo, como proposto. A figura 29 mostra uma (de)composição
feita pelo aluno A1, o qual colocou, ao lado do triângulo originado, as partes que sobraram,
verificando que deu para formar outro triângulo, do mesmo tamanho. Ele ainda comprovou
essa informação quando sobrepôs as partes que sobraram em cima do triângulo original.
Figura 29 - (De)compondo a folha retangular em um triângulo
108
Fonte: Arquivo da pesquisadora.
Aluno A1: Professora! Olha meu triângulo! Deu para formar dois triângulos com a
folha que a senhora me deu!
Professora: Olha que lega! Ótima observação, A1.
Aluno A1, continuando: Olha! Quando coloco em cima as partes que sobraram,
formamos exatamente um novo triângulo do mesmo tamanho.
Professora: Que legal! Todos vocês fizeram o mesmo? Conseguiram perceber o que o
A1, percebeu? Ótimo. Agora vamos ao item 1 da atividade? Podem começar.
Sobre a resolução do item 1, o diálogo que se sucedeu foi o seguinte:
Professora: Vocês usaram a régua e mediram as dimensões do triângulo?
Aluna A2: A base deu 21 centímetros e a altura deu 31 centímetros.
Aluno A5: A altura da minha folha de 30 centímetros!
Aluno P1: A minha altura deu 31 centímetros.
Aluna G3 questionou: Mas as folhas têm o mesmo tamanho? Porque estão com
medidas diferentes?
Aluno P2: É claro! Estamos medindo os lados errados.
Aluno A5: Eu medi da quina do meio até a base, fiz uma linha dobrando ao meio!
Aluna A2: Eu medi o lado inclinado da figura!
Aluno P1: Eu medi o lado inclinado também!
Aluna G3 perguntou novamente: Professora, mas porque isso aconteceu? Tanto faz?
Podemos considerar qualquer uma das duas medidas?
Professora: Vocês devem considerar apenas uma das medidas para a altura. Discutam
entre vocês sobre qual vocês acham que deve ser considerada.
Aluna G3: Mas nós não sabemos!
Aluno V: Vamos pensar um pouquinho!
Aluno P2: Colocando a base na parte debaixo, percebo que a altura não pode estar
inclinada.
109
Aluno V: Verdade! Olhando por esse lado, parece que devemos considerar a parte
reta, mas está no meio da figura, em todos os outros casos, medimos algum lado da figura.
Aluno A1: Não V! No paralelogramo medimos a linha que recortamos, ela significou
a altura do paralelogramo. Não consideramos a parte inclinada.
Aluno V respondeu ao aluno A1: É mesmo A1! No paralelogramo, consideramos a
linha reta.
Aluna G3: Agora concordo com vocês. No paralelogramo consideramos a linha que
recortamos.
Aluno V: Professora! Então, devemos considerar a linha dobrada ao meio como fez o
A5?
Professora: Olha, V, vocês discutiram certinho. Lembraram da altura do
paralelogramo e associaram certo. A altura deve ser considerada a linha reta, aquela dobra
do A5, porque forma com a base um ângulo reto. Vocês lembram o que é um ângulo reto?
Aluno A1: Eu lembro! É o ângulo que vale 90°.
Professora, mostrando no transferidor e usando o triângulo: Sim, olha aqui, essa linha
dobrada mede 90° em relação à base. Mas o ângulo de 90° é notável.
Figura 30 - Imagem do ângulo reto, feito pela professora no triângulo e na lousa
Fonte: Dados da Pesquisa.
Aluna A4: Mas o que é um ângulo notável mesmo, professora?
Professora: Ele é notável, pois sem mesmo termos o transferidor em mãos,
identificamos seu valor, por isso denominado ângulo notável, A4. Toda vez que formar este
quadrado aqui no meio, mesmo que oculto, devemos considerar que este ângulo é reto, ou
seja, vale 90°. Isso acontece porque a altura do triângulo encontrando com a base formam,
entre si, retas perpendiculares. Ou seja, formam entre si 90°. Entenderam agora qual
dimensão deve ser considerada?
110
Aluno V: Sim, professora! Toda vez que aparecer medida inclinada, temos que
considerar a linha reta formando o ângulo reto.
Professora: Sim, V! Todos entenderam?
Alunos (em coro): Sim!
Professora: Ótimo! Agora podemos passar para o item 2 da atividade.
Professora: O que pede no item 2, alunos? Leiam oralmente.
Aluno P3: Pede para calcularmos a área do triângulo e que mostremos no espaço a
nossa conta.
Professora: Isso mesmo! Então, qual foi o resultado encontrado por vocês?
Aluno I1: Meu resultado foi 630 centímetros quadrados.
Aluno P1: O meu também deu 630 centímetros quadrados.
E, assim, todos os alunos responderam e repetiram o mesmo valor. Então, houve a
necessidade de intervenção da professora:
Professora: Mas vocês acreditam ser este o valor? Qual é o total da área do
retângulo, da folha que vocês receberam?
Aluno A1: Então, temos que montar novamente o retângulo para calcularmos a sua
área. Vamos fazer isso?
Aluno V: Sim! Medindo aqui, as dimensões são as mesmas do triângulo e também do
paralelogramo da atividade anterior.
Aluna A4: Então, o resultado também será igual! 630 centímetros quadrados.
Aluno A5: Mas algo está errado! O retângulo e o paralelogramo não sobram partes,
por isso concordo de serem as mesmas áreas, mas o triângulo não!
Aluna A4 complementou o aluno A5: É verdade! A folha retangular dá para formar
dois triângulos.
Aluno P1 concluiu as verificações de A4 e A5: Então, o resultado não pode ser o
mesmo!
Aluno M: Se a folha dá para formar dois triângulos, quer dizer que a área do
retângulo é duas vezes a área do triângulo.
Aluno A5: Então, se o triângulo é a metade da folha, sua área também será a metade
da área do retângulo.
Aluno A4 completou o aluno A5: Isso, A5. Então, será a metade de 630 centímetros
quadrados que resulta em 315 centímetros quadrados.
Professora: Muito bem observado! Agora vocês entenderam porque são resultados
diferentes para as áreas.
111
Aluna A2: São as mesmas dimensões, mas devem ser observadas as figuras também.
Como o triângulo é a metade, sua área também será a metade. Portanto, temos que dividir o
resultado por dois.
Professora: Correto A2. Todos conseguiram entender este raciocínio?
Alunos (em coro): Sim!
Professora: No item 3 da atividade vocês irão formalizar, sistematizar esta informação
que acabaram de descobrir.
Após fazerem o item 3, a professora questionou:
Professora: Agora vocês já sabem responder o que é a área do triângulo em relação à
do retângulo?
Aluna G2: A área do triângulo é a metade da área do retângulo, professora.
Aluna A2: Isso mesmo. Constatamos isso com a própria figura.
Professora: Correto! Já discutimos muito sobre esta conjectura anteriormente e vocês
já estão cientes disso. Agora vamos ao item 4 da atividade.
Professora: Qual o conceito que acabamos de descobrir?
Aluno G1: Conseguimos calcular a área do triângulo, professora!
Aluna I2: O conceito de cálculo de área do triângulo professora! Muito legal!
Aluno M: Através da área do retângulo, descobrimos a área do triângulo, porque
decompomos a figura, de uma transformamos na outra.
Professora: Todos concordam com as afirmações dos colegas?
Alunos (em coro): Sim!
Professora: Assim, podemos responder ao item 5 da atividade.
Professora: O que vocês anotaram e explicaram no item 5?
Aluna R1: Que acabamos de aprender o conceito de área do triângulo. Que o que
virou novidade para mim é que devemos dividir o resultado por 2, por serem as mesmas
dimensões do retângulo, mas a figura é a metade, ou seja, o triângulo é a metade. Então, sua
área também será a metade.
Aluno P3: Anotei mais ou menos igual à R1, mas achei novidade também medir a
altura do triângulo, devemos formar um ângulo reto com a base, para, então, medirmos a
altura.
Professora: Gostei das explicações e anotações de vocês. Mais alguém tem algo a
falar?
Aluno A1: Não, professora, eles resumiram e falaram tudo que eu falei.
Professora: Alguém tem alguma explicação diferente das dos meninos?
112
Alunos (em coro): Não!
Professora: Vocês estão sobressaindo muito bem nas atividades! Está havendo
interesse e bastante diálogo, em duplas, em grupos… As exposições que estão sendo feitas
são muito válidas para nossa aprendizagem! Mesmo que sejam dúvidas ou equívocos, tudo
faz parte da investigação, para que aprendizagem se concretize.
Ao finalizarem a análise da atividade 12, verificou-se que o amadurecimento, através
das vivências das atividades, tornou os alunos cada vez mais interessados pela aula
investigativa e a aprendizagem aconteceu de forma efetiva. Dessa maneira, eles já sabiam
reconhecer e explorar uma situação-problema, formular questões, organizar dados, apesar de
não haver muitos dados para organizar, visto que o trabalho de (de)composição de figuras
para a construção dos conceitos do cálculo de área não necessitou de muitos dados. Eles
também descobriram, de maneira intuitiva, através da manipulação das figuras, realizaram
testes, refinaram e justificaram uma conjectura, avaliaram o raciocínio e o seu resultado.
4.1.13 Atividade 13
4.1.13.1 Análise a priori da atividade 13
Quadro 42 – Descrição da Atividade 13
Atividade 13 – Construção do conceito de área do losango
Objetivos: (De)compor o retângulo em losango.
Construir o conceito de área do losango e seu cálculo.
Material utilizado: Folha A4 colorida, atividade impressa em papel A4, tesoura,
régua padrão.
Organização da turma: Duplas.
Duração: 4 aulas.
Fonte: Elaborado pela pesquisadora.
Na atividade 13, os alunos receberam uma folha A4 e foram instruídos a fazer o corte
e a montagem, como orientado na folha impressa, onde se encontrava o passo a passo da
(de)composição do retângulo em losango. Feito o losango, em duplas, os alunos deviam
pensar em uma maneira intuitiva de calcular sua área, respondendo aos itens da atividade.
Quadro 43 – Enunciado da Atividade 13
113
Figura: Recorte no retângulo para construção do losango
Figura: Losango formado
Tarefas:
1. Calcule a área da figura formada. Apresente no espaço abaixo a conta que
feita.
2. O que é a área do losango em relação à área do retângulo?
3. Qual o conceito que acabamos de descobrir?
4. Explique e anote, no espaço abaixo, suas conclusões.
Fonte: Elaborado pela pesquisadora.
4.1.13.2 Análise a posteriori da atividade 13
Cada aluno recebeu a folha A4 para (de)composição da folha retangular em um
losango, como indicado na folha de atividades, também entregue a eles. Houve, novamente, a
orientação da professora, embasada na folha impressa de atividades. A figura 31 mostra a
atividade feita pelo aluno V, que colocou as partes que sobraram ao lado da figura recortada,
afirmando serem iguais os losangos.
Figura 31 - (De)compondo a folha retangular em um losango
114
Fonte: Arquivo da pesquisadora.
Professora: Vamos ler as orientações da folha?
Assim, os alunos fizeram a leitura oral e já começaram a fazer a (de)composição do
retângulo em losango.
Aluno R2: Como fazer esse (de)composição?
Aluno V respondeu ao aluno R2: Eu comecei a marcar ao meio com uma pequena
dobra cada lado da folha, assim liguei as marcas e dobrei, depois recortei em cima das
dobras e montei o losango.
Aluno R2 respondeu ao aluno V: Ah, entendi! Então vou fazer assim. Obrigado!
Aluno A5: Eu dobrei mesmo a folha ao meio, e fiz como você falou V, deu certinho,
mas ficou a linha marcada pela dobra.
Aluno V: Olha meu losango, professora! As partes que sobraram formaram outro
losango do mesmo tamanho! (FIGURA 31).
Professora: Sim, V. Como você sabe que formou outro losango do mesmo tamanho?
Aluno V: Porque sobrepus as partes em cima do losango e verifiquei que formou o
mesmo losango, do mesmo tamanho, ou seja, têm a mesma área.
E, assim, todos fizeram a (de)composição do retângulo em losango.
Professora: Todos conseguiram fazer a (de)composição? Montar o retângulo?
Alunos (em coro): Sim!
Professora: Agora, com a régua, meçam as dimensões do losango.
Aluno A5: O meu já ficou fácil, minha linha está marcada, as alturas de cada lado.
Professora: Sim, A5. Essas alturas são também conhecidas como diagonais do
losango. Note que tem uma diagonal maior e uma diagonal menor.
Aluna G2: Mas o que é exatamente uma diagonal?
115
Professora: São as linhas que ligam um vértice a outo da figura. No caso, o losango
tem duas diagonais, a diagonal maior podem indicar por (D) e a diagonal menor podem
indicar por (d).
Aluno G1: Mas no caso, continua do mesmo jeito: duas dimensões, né, professora?
Professora: Sim G1.
Aluna A3: Medi aqui professora e encontrei 21 centímetros e 30 centímetros.
Aluna A4: Também encontrei isso. Então a diagonal menor mede 21 centímetros e a
diagonal maior mede 30 centímetros.
Professora: Todos conseguiram medir as duas diagonais e encontraram as mesmas
medidas?
Alunos (em coro): Sim!
Professora: Agora vocês podem responder ao item 1 da atividade.
Professora: Qual o resultado da área do losango?
Aluna T1 respondeu: Professora, a minha deu 630 centímetros quadrados, mas já vi
que está errado, porque sobraram partes.
Aluno R3 completou a aluna T1: E estas partes formam outro losango igualzinho!
Aluna G3 afirmou: Então, a área do losango formado será igual à área do triângulo
formado da questão anterior, teremos que dividir seu valor por 2.
Aluno A1 concordou com a aluna G3: Sim, G3. Então, a área do losango será a
multiplicação das diagonais dividido por 2.
Aluno V: Agora encontrei o resultado da área do losango, deu 315 centímetros
quadrados.
Aluna G2: Sim, 315 centímetros quadrados.
E, assim, aos poucos, os alunos foram respondendo oralmente o resultado encontrado
no item 1 da atividade. Todos conseguiram chegar ao mesmo raciocínio e conseguiram avaliar
o resultado encontrado:
Professora: Todos conseguiram chegar ao mesmo resultado?
Alunos (em coro): Sim!
Professora: Que bom! Agora podemos passar ao item 2 da atividade.
Professora: O que é a área do losango em relação à área do retângulo?
Aluna A2 respondeu: A área do losango é a metade da área do retângulo, professora!
Aluna A3 complementou a aluna A2: Igual à área do triângulo, também é a metade
da área do retângulo. Então os dois têm as mesmas áreas.
116
Aluno M concordou com as colegas A2 e A3: Isso mesmo, colegas. Verificamos isso e
tivemos a prova de que é verdade. Encontramos o mesmo resultado para os dois, tanto para o
triângulo como para o losango.
Aluno A1 fez uma observação: O que vocês falaram é verdade! Estou lembrando aqui
que o retângulo e o paralelogramo, como não sobraram nenhuma parte, só multiplicamos, e
como eram as mesmas dimensões, o resultado também foi o mesmo.
Aluna A4: Essas atividades estão cada vez mais interessantes!
Professora: Agora vamos passar para o item 3 da atividade?
Alunos (em coro): Vamos!
Professora: Qual o conceito que acabamos de descobrir?
Aluna I2 respondeu: O conceito de cálculo de área do losango.
Aluna R1completou a aluna I2: Este cálculo é feito através da multiplicação das
diagonais, e seu resultado é dividido por 2.
Os alunos estavam muito seguros de suas respostas, afinal, eles descobriam os
significados dos conceitos, e cada vez se mostravam mais entusiasmados com as atividades.
Aluno V: Área do losango, professora!
Aluna T1: Isso, o conceito de área do losango.
Professora: Isso mesmo! Vocês descobriram o conceito de área do losango,
aprenderam a calcular intuitivamente a área desta figura. Todos concordam?
Alunos (em coro): Sim!
Professora: Agora vamos responder ao item 4 da atividade.
Professora: Qual conclusão vocês chegaram ao término desta atividade?
Aluna R1: Eu cheguei ao cálculo de área do losango, percebi que divide por dois,
igual ao triângulo, porque o retângulo é o dobro do losango.
Professora: A cada atividade que conseguimos desenvolver, fico mais admirada pelo
empenho e dedicação de vocês, e percebo que, investigando, estão realmente aprendendo.
Ao final da Atividade 13, os alunos demonstraram, em todos os momentos,
curiosidade, o que uma aula investigativa realmente deve provocar: vontade de aprender, de
desafiar, de buscar a aprendizagem. Eles souberam reconhecer e explorar a situação-
problema, formularam, refinaram e justificaram uma conjectura, através da realização de
testes; avaliaram o raciocínio e o resultado deste raciocínio.
4.1.14 Atividade 14
117
4.1.14.1 Análise a priori da atividade 14
Quadro 44 – Descrição da Atividade 14
Atividade 14 – Construção do conceito de área do trapézio.
Objetivos: (De)compor o retângulo em trapézio.
Construir o conceito de área do trapézio e seu cálculo.
Material utilizado: Folha A4 colorida, atividade impressa em papel A4, tesoura,
régua padrão.
Organização da turma: Duplas.
Duração: 6 aulas
Fonte: Elaborado pela pesquisadora.
Na atividade 14, os alunos receberam uma folha A4 e foram instruídos a fazerem o
corte e a montagem como orientado na folha impressa, onde se encontrava o passo a passo da
(de)composição do retângulo em trapézio. Feito o trapézio, em duplas, os alunos deviam
pensar em uma maneira intuitiva de calcular sua área, respondendo aos itens da atividade.
Quadro 45 – Enunciado da Atividade 14
Figura: Recorte no retângulo para montagem do trapézio.
Faça o corte na folha retangular como indicado na figura acima. Depois, vire um dos
pedaços e alinhe-os como na figura abaixo.
Figura: Montagem do trapézio
118
Figura: Trapézio formado
Tarefas:
1. Calcule a área da figura formada. Apresente, no espaço abaixo, a conta que foi
feita.
2. O que é a área do trapézio em relação à área do retângulo?
3. Qual o conceito que acabamos de descobrir?
4. Explique e anote, no espaço abaixo, suas conclusões.
Fonte: Elaborado pela pesquisadora.
4.1.14.2 Análise a posteriori da atividade 14
Na atividade 14, todos os alunos receberam a folha A4 da cor de preferência e
começaram a desenvolver a atividade. Como de costume, com o apoio do material impresso,
houve a orientação da professora:
Figura 32 - (De)compondo a folha retangular em um Trapézio
119
Fonte: Arquivo da pesquisadora.
Professora: Vamos ler oralmente as orientações da folha, que irão mostrar a
(de)composição da folha retangular em um trapézio.
E assim houve a leitura e, imediatamente, os alunos começaram a fazer, seguindo a
orientação por escrito.
Aluna A2: O meu não formou um trapézio, formou um paralelogramo.
Aluno M ensinou à aluna A2: É porque você não virou um dos lados, tem que virar
senão, não forma um trapézio.
Aluna A2: Agora sim, formei um trapézio.
Aluna A3: O trapézio é um quadrilátero como os outros, mas estou vendo mais de
duas dimensões.
Aluno V perguntou à aluna A3: Quais as dimensões que você está vendo?
Aluna A3 respondeu ao aluno V: Olha para você ver! Em cima, tem um lado menor,
embaixo tem um lado maior e ainda tem duas inclinações. No caso, devemos considerar a
altura no meio, esta linha que ligamos um corte ao outro?
Os alunos já foram logo querendo calcular a área do trapézio, para responderem ao
item 1 da atividade.
Sobre a resolução do item 1, houve o seguinte diálogo:
Aluna A4: Mas são três dimensões e temos que multiplicar apenas duas dimensões
para ser calculada a área da figura. Como iremos fazer isso?
Aluno A5: Pensei em fazer assim: dobrar as partes extremas formando dois
triângulos, e no meio um retângulo, medimos suas dimensões e calculamos suas áreas.
120
Aluna A4 perguntou ao aluno A5: No caso, formarão três figuras. E depois somamos
as três áreas?
Aluno A5 respondeu ao aluno A4: Isso, vamos começar então!
Figura 33 - Trapézio dividido em três partes sugerido pelo Aluno A5
Fonte: Dados da pesquisa.
E assim começaram a fazer as contas, de acordo com a figura 33: transformaram o
trapézio em três partes e calcularam, assim, três áreas.
Aluno A5: Os meus dois triângulos formados são iguais, base 10,5 centímetros, altura
21 centímetros, total 110,25 centímetros quadrados. O meu retângulo deu 21 centímetros de
altura e base 19 centímetros, total 399 centímetros quadrados. Total da área do trapézio
110,25 + 110,25 + 399 = 619,5 centímetros quadrados.
Aluna A4: O que o aluno A5 fez está certo, professora?
A professora respondeu à aluna A4: Está correto A4 e A5, mas o conceito de área do
trapézio é único, estamos quase chegando a ele. O aluno A5 pensou em três partes e, assim,
calculou três áreas e as somou. Está de parabéns! Mas eu desafio a vocês em transformá-lo
em duas partes, porque quanto menos conta a se fazer, melhor entenderemos.
Aluno V: Se usarmos a linha que recortamos, formarão dois novos trapézios. Então,
não será possível calcular sua área ainda, porque estamos deduzindo seu conceito.
Aluno A1 dupla com o aluno V: Verdade! Dois trapézios não iremos conseguir fazer!
Aluno V completou: Já sei! Para conseguirmos dividir o trapézio em duas partes,
temos que traçar uma diagonal, como fizemos no losango, mas apenas uma diagonal, porque
senão formaremos quatro partes, e com apenas uma diagonal formaremos duas partes como
a professora sugeriu.
E, então, a dupla formada pelos alunos A1 e V traçou a diagonal e dividiu o trapézio
em dois triângulos. As outras duplas também começaram a traçar a diagonal no trapézio,
como mostra a figura 34.
121
Figura 34 - Diagonal no trapézio feita pelos alunos
Fonte: Dados da pesquisa.
Aluno V: Olha! Conseguimos formar, com a diagonal traçada, dois triângulos.
Aluno A1: Verdade! A área do triângulo conseguimos fazer. Vamos calcular as duas
áreas e somar seus resultados. Assim, encontraremos a área do trapézio.
Aluno V: Meu triângulo maior deu 40 centímetros de base e 21 centímetros de altura,
total 420 centímetros quadrados.
Aluno A1 questionou seu colega de dupla V: Mas este triângulo menor, qual será sua
altura? Para base mediu 19 centímetros.
Aluno V respondeu: Para altura, tem que formar um ângulo de 90°, ângulo reto,
como aprendemos.
Aluno A1: Professora! Não sabemos medir a altura do triângulo menor. O que você
nos sugere?
A professora, antes de explicar, perguntou à turma: Algum de vocês conseguiu medir a
altura do triângulo menor?
Alunos respondem: Não!
Mas o aluno M respondeu que sim e mostrou o que fez, como na figura 35.
Figura 35 - Esboço da altura no triângulo menor feito pelo aluno M
Fonte: Dados da pesquisa.
122
Professora: Vou sugerir a vocês fazer o cálculo da área deste triângulo e somar com a
área do triângulo já calculada. Depois comparem seus resultados e verifiquem se foi igual ao
que o aluno A5 encontrou, quando calculou usando três partes, três áreas.
Aluno A5: Quando fiz aquele cálculo, encontrei 619,5 centímetros quadrados.
Então, os alunos fizeram seus cálculos e cada um encontrou valores aproximados a
627 centímetros quadrados. Cada um falou seus valores, porque os traçados para formação do
trapézio inicial não foram iguais, cada qual fez o seu, até mesmo entre as duplas houve
divergência de valores para a área total do trapézio.
Aluna A4: Porque isso acontece, professora?
Professora: Porque na hora de medir, se não ligarmos os pontos corretamente, não
ficará igual, vou sugerir para vocês uma forma de medir a altura do triângulo em questão.
Vamos chamá-lo de triângulo ABC. Vou desenhar no quadro como podemos medir esta
altura.
A professora desenhou na lousa a sugestão de altura do triângulo questionada,
apresentada na figura 36:
Figura 36 - Esboço da altura do triângulo ABC feito na lousa pela professora
Fonte: Dados da pesquisa.
Aluna R1: Mas esta altura é a mesma do outro triângulo! Agora ficou mais fácil!
Aluno V: Não tinha pensado por esse lado. Quer dizer que o lado inclinado é o lado
AC deste triângulo?
Aluno A1: Então, a altura mede 21 centímetros como no outro. Fica 19 vezes 21
dividido por 2. Deu 199,5 centímetros quadrados.
123
Aluno V completou seu colega A1: Somados a 420 do triângulo maior, totalizam em
619,5 centímetros quadrados.
Aluno A5: Isso! Igual ao meu resultado encontrado! Desta vez, sem dúvida!
Aluna A4: Então, para não deixar dúvidas e até para facilitar o cálculo, é melhor
usar a mesma altura para ambos os triângulos.
Professora: Ótimo, turma! Agora vocês conseguiram entender o conceito de área do
trapézio, mas sugiro que organizem os dados para generalizarmos este conceito.
Aluna T1: Professora! Até agora este foi o mais difícil de descobrir!
Professora: Mas vocês conseguiram entendê-lo?
Aluno M: Temos que organizar os dados para este conceito, assim vai ficar mais
entendido.
Aluna T2: Vamos começar. Como vamos fazer isso?
Aluno V: Ficou mais fácil identificar os triângulos como a professora fez. Já começou
com o triângulo ABC. Vamos completar e assim fazer a organização dos dados.
Assim, os alunos fizeram os triângulos ACD e ABC, como apresentado na figura 37.
Figura 37 - Esboço dos triângulos ACD e ABC, feitos pelos alunos no trapézio
.
Fonte: Dados da pesquisa.
A partir do esboço feito na figura 36, os alunos começaram a organizar os dados para,
então, construírem o conceito de área do trapézio.
Aluno R2: Calculamos a área do trapézio ABC, sendo:
Aluno P3, continuando os dados: Calculamos a área do triângulo ACD, sendo:
124
Aluna A2: Adicionamos os totais das duas áreas dos triângulos: 199,5 +420 = 619,5
centímetros quadrados.
Professora: Muito bem! Vocês souberam organizar os dados direitinho! Esta
organização é fundamental para terminarmos o conceito de cálculo de área do trapézio.
Aluna I2: Mas o conceito já está construído, professora!
Professora: Sim. Nós já entendemos seu fundamento, sua construção, mas temos que
terminar sua organização. Notem que as duas áreas calculadas são multiplicadas por 21
centímetros. Vocês sabem por que isso acontece?
Aluna A3: Porque em todos os dois triângulos a altura é a mesma e vale 21
centímetros, professora!
Professora: Correto, A3, e vocês sabem por que nos dois cálculos também dividimos
por 2?
Aluna A4: Porque no conceito de área do triângulo, descobrimos que dividimos o
resultado da multiplicação por 2.
Professora: Correto também, Aluna A4. Estes dois valores estão repetidos, por isso
podemos usá-los apensa uma vez e montarmos um único conceito. Vejam:
.
Notem que os dois valores que estão sendo multiplicados por 21 podem ser somados entre si.
Para isso, colocamos o 21 em evidência. Vejam:
.
Enquanto a professora explicava, resolvia, também, na lousa, para melhor
entendimento da turma.
Aluno A1: Nunca vi este termo “colocar em evidência”, professora!
Professora respondeu ao aluno A1: Vocês vão ouvir e usar muito este termo. Isso
acontece quando duas multiplicações estão sendo feitas por um igual fator e somados
simultaneamente seus resultados. Por isso, em vez de repetir, colocamos este fator em
evidência e os termos somados entre parênteses, e o resultado desta soma multiplicada uma
única vez pelo fator que se repete, sem alterar o resultado da conta. É um artifício
matemático, para facilitar as contas, A1.
Aluno V: O mesmo acontece para o 2 que está dividindo, professora?
Professora: Sim, V. Também colocamos o 2 uma única vez, porque ele repete nas duas
contas. Quando colocamos apenas uma vez, o seu resultado não é alterado. Lembram de
adição de frações com mesmo denominador?
125
Aluna A3: Sim, professora! Conservamos o denominador e adicionamos os
numeradores.
Professora: Esta conta ficou entendida?
Alunos (em coro): Sim!
Professora: Que tal definirmos por uma letra o lado maior e o lado menor do trapézio
para terminarmos a construção do conceito?
Aluno P3: Sim, professora, quando definimos os triângulos usando letras, ficou mais
fácil para identificarmos. Agora, se definirmos as dimensões do trapézio facilitará bastante
quando formos resolver novamente.
Professora: Sabemos que o trapézio tem duas bases: a maior e a menor. Podemos
definir B por base maior e b por base menor.
Aluna T1 completou: A altura já foi definida por h.
Professora: Sim, aluna T1! Agora, montem o conceito de área do trapézio, turma.
Aluno P2: De acordo com a conta que fizemos, fica então definida por:
.
Professora: Correto, P2.
Aluno G1: Eu fiz o contrário. Coloquei o b antes do B, mas não tem problema né,
professora?
Professora: Não, aluno G1, a ordem das parcelas não altera a soma.
Aluno G1: Sim!
Professora: Todos entenderam o conceito do cálculo de área do trapézio?
Alunos (em coro): Sim!
Aluno A5 completou: Entendi, professora, mas este foi o mais trabalhoso de se
construir, agora não esqueço mais!
Professora: Que bom que vocês entenderam! Enfim, terminamos o item 1 da atividade.
Agora vamos para o item 2.
Professora: O que é a área do trapézio em relação à área do triângulo?
Aluno R2: Dois triângulos formam o trapézio.
Aluno I1: As áreas dos dois triângulos serviram de base para construção da área do
trapézio.
Aluno A5: Se a professora chegasse e falasse do nada que tinha que ser resolvida
daquela maneira, sem construirmos seu conceito, iria fazer, mas não iria entender o motivo.
Aluna A4: As aulas de Matemática estão cada dia mais show! Estou conseguindo
entender tudo!
126
Professora: Vocês estão corretos quanto às suas construções, mostra que entenderam
de verdade a construção do conceito do cálculo de área do trapézio.
Professora: Vamos responder ao item 3 da atividade. Qual o conceito que acabamos
de descobrir?
Alunos (em coro): Área do trapézio.
Professora: Sim! Cálculo da área do trapézio. Isso ficou bem explorado e fixado.
Agora vamos ao item 4 da atividade.
Professora: Quais conclusões vocês escreveram a respeito desta atividade?
Aluno V: Que a construção do cálculo de área do trapézio foi a mais difícil de ser
feita, mas muito bem explorada. Acredito que não terei dúvida quanto à sua resolução.
Aluna G2: Gostei de construir este conceito, através de área do triângulo chegamos a
ele, nunca iria imaginar isso. Por isso que as aulas investigativas são muito importantes.
Aluna A2: O Interessante é que aprendemos todos uns com os outros, discutindo e
aprendendo, construímos juntos os conceitos.
Professora: Que bom que vocês gostaram desta construção como em todas as outras.
Esperamos sempre o melhor com aulas investigativas, onde os sujeitos da construção são
vocês alunos. A minha função é só auxiliar, mas a ideia é que vocês, por si só, aprendam.
Aluno V: Mas, professora! Não é melhor para a senhora entregar o conceito pronto
para fazermos?
Professora: Com certeza, aluno V. Mas a aprendizagem não teria significado algum
para vocês. Vocês iriam calcular mecanicamente, através da repetição de fórmulas, mas não
ficaria entendido.
Esta atividade, bem como todas as outras, foi um sucesso, como os próprios alunos
perceberam. Apesar de o conceito do cálculo de área do trapézio ter sido o mais trabalhoso
para a sua construção, houve conteúdos, como “fator em evidência” que realmente os alunos
não sabiam, nunca o fizeram, por não ser habilidade daquela série/ ano, mas não serviu como
empecilho para o desenvolvimento da habilidade. Os alunos, nesta questão, reconheceram,
exploraram e formularam questões, organizaram dados, formularam, refinaram e justificaram
uma conjectura, apresentando, para isso, vários testes, além de terem avaliado o raciocínio e o
resultado deste.
4.1.15 Atividade 15
4.1.15.1 Análise a priori da atividade 15
127
Quadro 46 – Descrição da Atividade 15
Atividade 15 – Praticando o que aprendemos sobre áreas de figuras planas
Objetivo: Calcular a área das figuras planas, de acordo com a aprendizagem sobre a
construção dos seus conceitos.
Material utilizado: Atividade impressa em papel A4.
Organização da turma: Individual.
Duração: 2 aulas.
Fonte: Elaborado pela pesquisadora.
A proposta da Atividade 15 era verificar a aprendizagem do aluno, após o
desenvolvimento das atividades, para que pudesse fazer a constatação da aprendizagem ou da
defasagem do aluno nos conceitos de área de figuras planas. A partir dos resultados aqui
obtidos, havia a orientação de se criar novas atividades, caso os objetivos não sejam
alcançados.
Quadro 47 – Enunciado da Atividade 15
Identifique cada figura geométrica plana abaixo, nomeie-as, e calcule sua área no
espaço abaixo.
Fonte: Elaborado pela pesquisadora.
128
4.1.15.2 Análise a posteriori da atividade 15
A atividade 15 teve, por objetivo, avaliar os conceitos de áreas de figuras planas,
verificando se esses ficaram entendidos entre os alunos da turma, justificando-se, assim, ser
uma atividade individual. Foi entregue aos alunos o material impresso para que fizessem
individualmente as atividades. Eles o receberam e começaram a desenvolver.
Professora: Nesta atividade, vocês deverão identificar a figura, reconhecer o conceito
a ser utilizado, e fazerem o cálculo. Cada aluno pode falar o cálculo de uma figura,
designando, também, suas dimensões.
Aluno A5: O retângulo tem as dimensões 4 por 7, resultado 28. Qual unidade de
medida professora?
Professora: Cada quadradinho representa uma unidade de comprimento, não
identificada, e o resultado da conta, que é o resultado da área, definimos como unidades de
área.
Aluno R3: O paralelogramo tem as mesmas dimensões do retângulo, base 7 unidades
de comprimento e altura 4 unidades de comprimento, resultando em 28 unidades de área.
Aluna A4: O quadrado tem 4 unidades de comprimento, que, elevado ao quadrado,
resulta em 16 unidades de área.
Aluno G1: O triângulo tem 6 unidades de comprimento de base e 3 unidades de
comprimento de altura, resulta em 18 dividido por 2, que é igual a 9 unidades de área.
Aluno M: O losango tem a diagonal maior medindo 6 unidades de comprimento e a
diagonal menor 4 unidades de comprimento. Totalizam em 12 unidades de área, porque
dividimos 24 por 2.
Aluno P3: O trapézio tem a base maior medindo 9 unidades de comprimento, a base
menor medindo 5 unidades de comprimento e a altura medindo 4 unidades de comprimento.
Fazendo o cálculo, fica 9+5 que dá 14 vezes 4, que dá 56 unidades de área, e que dividimos
por 2, totalizando em 28 unidades de área.
Os alunos mostraram-se eficientes no cálculo de área das figuras planas definidas na
atividade, o que se conclui que a construção do conceito feita por eles, juntamente com a
orientação e intervenção da professora, ficou bem explorada. Eles não tiveram dúvidas quanto
às dimensões, nem tampouco quanto ao seu cálculo. O objetivo da questão, que era avaliá-los,
foi satisfeito.
4.1.16 Atividade 16
129
4.1.16.1 Análise a priori da atividade 16
Quadro 48 – Descrição da Atividade 16
Atividade 16 - (De)composição de figuras planas no conceito de área
Objetivo: Calcular a área das figuras planas de acordo com a (de)composição.
Material utilizado: Atividade impressa em papel A4.
Organização da turma: Dupla.
Duração: 2 aulas.
Fonte: Elaborado pela pesquisadora.
A Atividade 16 se propôs a avaliar novamente os alunos, no cálculo de área das
figuras planas, através da sua (de)composição. Esperava-se que o aluno concluísse e
formalizasse tais conceitos estudados no decorrer das atividades, foco desta pesquisa.
Quadro 49 – Enunciado da Atividade 16
1. Em cada forma geométrica abaixo, complete, usando o quadriculado,
formando, assim, um retângulo:
a)
130
b)
c)
d)
2. Calcule a área do retângulo formado e da figura inicial. Faça comparações dos
resultados de cada item separadamente.
3. O que você pode concluir a respeito dos conceitos de áreas estudados até
agora?
Fonte: Elaborado pela pesquisadora.
4.1.16.2 Análise a posteriori da atividade 16
Na atividade 16, os alunos sobressaíram muito bem. Eles fizeram as atividades em
duplas, mas cada aluno recebeu sua folha impressa com as atividades para serem
131
desenvolvidas. As figuras 38, 39, 40 e 41 apresentam a resolução do item 1 desta atividade,
que era formar o retângulo inicial, antes de ser (de)composto nas figuras esboçadas no item.
Ou seja, este era o “caminho de volta” da resolução dos conceitos de área das figuras planas.
Figura 38 – Registro da Resolução da Atividade 16 - Item 1(a)
Fonte: Dados da pesquisa.
O item 1(a) foi facilmente entendido pelos alunos, que fizeram o retângulo inicial.
Aluno V: Olha aqui, professora, a parte triangular que sobrou foi a que completei
para formar o retângulo! A (de)composição desta forma fica nítida!
Aluno A completou: Sim! A (de)composição fica clara nesta atividade.
Professora: Vocês estão bons observadores! É assim que se faz mesmo. Para
aprender, temos que resolver, realizar testes, observar, fazer comparações.
Figura 39 - Registro da Resolução da Atividade 16 - Item 1(b)
Fonte: Dados da pesquisa.
132
Continuando o item 1(b), os alunos comentaram:
Aluna A4: Fazendo o corte no meio, dá para ver que a parte que foi colorida do lado
de fora do triângulo, se dobrada e sobreposta, veremos os dois triângulos formados.
Aluna A2: Isso, A4! O que justifica o conceito que construímos.
Aluno G1: Nossa! Essa atividade é muito legal, porque estamos revendo o que
aprendemos, ao contrário, porque antes fizemos o retângulo virar as figuras e agora as
figuras estão sendo transformadas no retângulo.
Professora: Isso, G1. A ideia é essa mesmo! Vocês fazendo o caminho de volta
verificam e fixam o que aprenderam ao fazerem as (de)composições e composições.
Figura 40 – Registro da Resolução da Atividade 16 - Item 1(c)
Fonte: Dados da pesquisa.
Aluno V: No losango, se dobramos os lados PR, RS, SQ e PQ, iremos verificar
também e constatar o conceito construído de área do losango. Fica claro que o retângulo
forma dois losangos.
Aluna T2: Por isso mesmo que dividimos sua área por 2.
E assim, os alunos foram constatando suas construções dos conceitos através da
composição do retângulo.
133
Já ao fazerem o item 1(d) da atividade 16, ao construírem o retângulo inicial no
trapézio, para satisfazer a questão, muitos alunos tiveram dificuldade:
Aluno A5: Professora! Eu completei as partes inclinadas no trapézio, mas parece que
deu errado, ficou maior. Pelo cálculo da área pude perceber.
Aluna T2: Verdade! Eu também fiz assim. Mas eu mesma não concordei.
Professora: Pensem em como fizemos a (de)composição do retângulo em trapézio.
Aluna A2: Nós fizemos o corte e depois viramos um dos lados e encaixamos no outro
lado da parte que ficou.
Aluno P2: É mesmo! Se virarmos a folha, então, o caminho de volta para transformá-
lo em retângulo, temos que virar novamente.
Aluno M: Sim! Vamos imaginar então! Para isso temos que traçar uma linha no meio
do trapézio para começar a transformá-lo em retângulo novamente.
Figura 41 – Registro da Resolução da Atividade 16 - Item 1(d)
Fonte: Dados da pesquisa.
Na figura 41, o registro da atividade do aluno M. Ao explicar o registro, ele relatou o
que fez:
Aluno M (continua): Comecei a colorir de vermelho o lado direito do trapézio, depois
analisei e comparei a parte que ficou sem colorir. Então pensei: dois quadradinhos em cima,
se virar a folha fica dois quadradinhos embaixo, do lado direito por fora do trapézio,
continuando minha ideia, vejam! São quatro quadradinhos embaixo sem colorir, e completei
os quatro quadradinhos em cima da figura como se fosse o inverso, do lado de fora do
134
trapézio, lado direito. Assim montei meu retângulo, mas não esquecendo que deveria ter
virado a folha.
Aluno V: Ótima ideia M. Fiz como você disse, e agora deu certo meu retângulo antes
da (de) composição!
Aluna A2: Sim! Agora deu certo! Nossa! Tinha me esquecido deste detalhe, de virar.
Aluna T2: Agora sim! Também consegui.
Aluno A5: Do jeito que tinha feito antes, o retângulo tinha ficado com as dimensões 9
por 4, e agora ficou 7 por 4, sabia que estava diferente. Agora consegui entender! O meu deu
certo também.
E assim todos foram descobrindo seus erros e começaram a imaginar e a fazer à parte,
como se estivesse virando a folha.
Professora: Muito bem, turma. Todos se certificaram disso? Desta transformação?
Alunos (em coro): Sim!
Professora: Agora vamos ao item 2 da atividade! Leiam oralmente, por favor!
E todos leram o item 2 da atividade 16, cujo objetivo era calcular o retângulo formado
e das figuras planas iniciais, fazendo, assim, as comparações dos resultados.
Eis alguns comentários sobre a resolução do item 2(a):
Professora: Vamos calcular a área do retângulo e do paralelogramo?
Aluna I2: Tanto faz, professora! Os dois têm as mesmas dimensões! São 4
quadradinhos por 6, ou vice-versa. Total 24 unidades de área.
Aluno V: 24 unidades de área! Os dois!
Aluna G3: As duas 24 unidades de área!
Professora: Correto! Bom, todos encontraram este valor?
Alunos (em coro): Sim!
Professora: Que bom! Então, podemos responder ao item 2 (b)!
Professora: Agora temos que calcular a área do retângulo e do triângulo.
Aluna G2: Para o retângulo, temos as duas dimensões do retângulo, que são 3
quadradinhos por 6. Total 18 quadradinhos, ou seja, 18 unidades de área, como a professora
explicou. Para o triângulo é só dividir este valor por 2, que fica 9 unidades de área.
Aluna A4 perguntou a aluna G2: Mas porque você simplesmente dividiu por 2?
Aluna G2 respondeu à aluna A4: Porque a área do triângulo é a área do retângulo
dividido por 2!
Aluna A4 retrucou: Mas tem de fazer as contas separadas, para satisfazer a questão!
135
Aluna G2: Mas eu fiz, escrevi separados os nomes, primeiro retângulo e multipliquei
6 por 4, depois escrevi triângulo e multipliquei novamente 6 por 4, e o resultado dividi por 2,
apesar de que poderia pegar simplesmente o resultado e dividir por 2.
Aluna A4 respondeu: Pensei que você não tinha feito isso.
Professora perguntou: Lembraram, então, através desta conta, o conceito de área do
triângulo?
Alunos: Sim!
Aluno V: É base vezes altura dividido por 2, professora!
Professora: Sim, V. Todos concordam?
Alunos (em coro): Sim!
Professora: Vamos ao próximo item então?
Professora: Façam o cálculo das áreas do retângulo e do losango, depois comparem
seus resultados!
Aluno M: Muito fácil, professora! São as mesmas dimensões. A diferença é que no
losango temos que depois que multiplicarmos dividirmos seu resultado por 2.
Aluno A1 completou o aluno M: Sim M, mas as dimensões são com nomes diferentes,
no retângulo conhecemos como base e altura, ou largura e comprimento, já no losango são
as diagonais, maior e menor.
Aluna M respondeu ao aluno A1: Sim A1, mas no final das contas dá no mesmo. Ficou
6 vezes 4, que de 24 unidades de área para o retângulo, e este resultado dividido por 2, deu
12 unidades de área para o losango.
Aluno V: Retângulo 24 e losango 12!
Aluna T2: Losango 12 e retângulo 24!
Aluno I1: 24 e 12, retângulo e losango.
E todos foram falando os mesmos resultados, indicando que conseguiram calcular
corretamente a área do retângulo e do losango.
Professora: Que bom que conseguiram resolver este item corretamente!
Professora certificou-se de que todos conseguiram encontrar os resultados sem
dúvidas: Todos conseguiram encontrar 24 unidades de área para o retângulo e 12 para o
losango?
Alunos (em coro): Sim!
Professora: Ótimo! Agora podemos passar ao próximo item, 2(d).
Professora: Agora vocês devem calculara a área do retângulo e do trapézio e
compararem seus resultados.
136
Aluna A3: O retângulo tem as dimensões de 7 quadradinhos por 4, total 28
quadradinhos, ou seja, 28 unidades de área.
Aluna A4, dupla com A3, completou: O trapézio tem 5 quadradinhos de base menor e
9 quadradinhos de base maior, sendo sua altura 4 quadradinhos. Então fica 9+5, deu 14
vezes 4, que resulta em 56, e que dividido por 2, totalizam em 28 quadradinhos, 28 unidades
de área, como no retângulo.
Aluno V: Percebemos que mesmo virando a folha para transformar o trapézio em
retângulo, os resultados de suas áreas permaneceram o mesmo. Ou seja, suas áreas são
iguais.
Professora: Assim vocês verificaram a área do trapézio em relação à área do
retângulo. Todos conseguiram perceber isso?
Alunos (em coro): Sim!
Aluno P3: Apesar de fazermos mais contas para o trapézio seu resultado ficou o
mesmo do retângulo.
Professora: Isso P3, agora podemos passar ao item 3 da atividade.
Professora: O que vocês concluíram a respeito dos conceitos de áreas estudados até
agora?
Aluno V: Professora! Confesso que achei bem fácil da forma como fizemos, através
de muita conversa e de (de)compormos as figuras, ajudou e muito.
Aluno P3 completou o aluno V: Eu percebi que todas são (de)composições do
retângulo. Através do retângulo, conseguimos chegar em todas as formas que fizemos, e, com
isso também aos conceitos!
Professora: Parabéns pelas observações, alunos V e P3! Alguém mais quer falar sobre
suas observações e/ ou conclusões a respeito desta atividade?
A turma permaneceu em silêncio.
Professora: Parabéns a todos vocês pela participação no desenvolvimento desta
questão. Vocês amadureceram muito desde o primeiro dia de atividade até chegarmos nesta
última. Espero que no decorrer das próximas continuem assim, mostrando-se interessados
sempre com o espírito investigativo, na construção dos saberes matemáticos.
138
5. CONSIDERAÇÕES FINAIS
Pretendeu-se, nesta pesquisa, investigar, através da (de)composição e experimentação,
investigar a construção de conceitos de áreas de algumas figuras planas e a partir dessa
construção, a dedução de suas fórmulas por alunos do 6º Ano do Ensino Fundamental. Surgiu
a ideia de trabalhar com esta turma, visto que ela inicia os primeiros contatos com a área de
figuras planas, com a construção dos seus conceitos, em especial de um triângulo qualquer e
dos quadriláteros, a partir de experimentação, investigação e da (de)composição dessas
figuras.
Para tanto, fundamentou-se na história da Geometria de acordo com Boyer e
Merzbach (2012), complementando com a abordagem de Van de Walle (2009)
“Desenvolvendo Conceitos de Medida” sobre perímetros e áreas de figuras planas, foco desta
pesquisa, onde a autora dessa pesquisa toma a liberdade de relacionar as atividades
desenvolvidas por ele às ideias de investigação, separando-as em momentos na realização de
uma investigação sobre o olhar da própria autora, desenvolvidos por Ponte, Brocardo e
Oliveira (2009), em seu livro “Investigações Matemática na Sala de Aula”.
De acordo com o desenvolvimento do ensino-aprendizagem da Geometria e dos
Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN), a problemática desta pesquisa baseia-se na
seguinte pergunta: Quais contribuições são verificadas no processo de ensino/ aprendizagem,
ao se estimular a construção de conceitos e a dedução de fórmulas de área de figuras
geométricas planas, a partir da experimentação/investigação e da (de)composição dessas
figuras, com alunos do 6º Ano do Ensino Fundamental Anos Finais?
Para responder a esta questão que norteou esta pesquisa, foram desenvolvidas as
seguintes ações/ objetivos:
Construção/ dedução dos conceitos de áreas de um triângulo qualquer e dos
quadriláteros (retângulo, quadrado, paralelogramo, losango e trapézio) a partir
da experimentação e da (de)composição das figuras planas;
Elaboração de atividades por meio das quais os alunos tiveram a oportunidade
de explorar os triângulos e quadriláteros, e a partir daí, descobrirem os
conceitos a partir de então validados;
Aplicação das atividades e análise dos resultados.
Com o objetivo de responder à questão diretriz desta pesquisa, elaboramos atividades
investigativas de acordo com as ideias de Van de Walle (2009). Em algumas delas, foram
139
aproveitadas suas ideias originais, outras foram adaptadas pela pesquisadora, lembrando que
não teria como montar essas atividades somente com habilidades sobre os conceitos das áreas.
Para isso se fez necessária a elaboração/adaptação de atividades investigativas introdutórias
sobre de comprimento, pois alunos se confundem entre perímetros e áreas, sendo que a noção
de medida de comprimento serve como pré-requisito para noção de área.
Ao analisar a aplicação das atividades investigativas, constatou-se que:
Cada aluno é único, tem seu modo de agir e pensar; e cada indivíduo tem seu tempo.
Portanto, o tempo de duração de cada atividade nunca será o mesmo para diferentes
turmas e pessoas, mesmo sendo de mesmo nível de escolaridade e mesma faixa etária;
Alguns alunos têm mais maturidade para atividades investigativas, outros têm mais
facilidade para tarefas com materiais manipulativos;
A maioria desses alunos participou ativamente destas atividades diversificadas, dando
seus depoimentos, questionando, conversando, comparando;
Os momentos de uma investigação proporcionados por Ponte, Brocardo e Oliveira
(2009) são sempre válidos, uma vez que possibilitam ao aluno pensar e criar suas
próprias conclusões e definições;
A atividade 2 teve que ser reformulada no quesito de medida sobre a mesa do
professor, na qual devia ser especificado lado maior ou lado menor, bem como a
palavra "tamanho" substituída pelo atributo "comprimento", pois aqui se fez
necessário este termo, para que não houvesse confusão entre os alunos;
A atividade 9, sobre a construção do Tangram e comparação de áreas, foi a mais
trabalhosa para os alunos. Tomou muito tempo, mas foi muito válida para a
aprendizagem;
A atividade 14 foi a mais difícil para os alunos, além de ter, também, tomado muito
tempo. Eles quase desistiram pelo nível mais elevado na construção de seu conceito.
Uma vez que tal conceito deve ser trabalhado em nível mais avançado de escolaridade,
talvez isso possa ter dificultado.
Acredita-se que, em séries posteriores, esta turma participante da pesquisa sofrerá
menos a defasagem dos conceitos de áreas das figuras planas, sabendo e lembrando mais
facilmente, visto que eles próprios, com orientação ou não, criaram seus próprios conceitos.
Além disso, vale ressaltar que a pesquisa-ação torna o participante da ação um
pesquisador de sua própria prática. Entendido isso e tendo como hábito o trabalho
investigativo, torna-se mais fácil a possibilidade de que o estudo mecânico, advindo de
140
fórmulas prontas e acabadas, se extinga. Para tanto, se faz valer o caderno de atividades
investigativas com orientações aos professores, para que estes possam ser os pesquisadores
participantes que intervêm nos rumos da ação, orientados pela pesquisa que realiza. Isso
significa que devem estar sempre abertos à pesquisa, a fim de tornar a prática didática mais
prazerosa, tanto para professor como para alunos. Entende-se, pois, que os objetivos desta
pesquisa foram alcançados e, ainda, podem ser utilizados por todos na construção do saber
geométrico.
142
REFERÊNCIAS
BOYER, Carl B.; MERZBACH, Uta C. (Trad. Helena Castro). História da Matemática. São
Paulo: Editora Blucher, 2012.
BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros
Curriculares Nacionais: Matemática. (3o e 4o ciclos do ensino fundamental). Brasília:
MEC, 1998.
BUSETTI, Adilson. Brincando e aprendendo com o Tangram. In: Caderno Pedagógico.
Curitiba: SEE-PR, 2008. Disponível em:
http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/pde/arquivos/1725-6.pdf. Acesso em: 21 out.
2019.
D'AMORE, Bruno. Elementos de Didática da Matemática. São Paulo: Editora Livraria da
Física, 2007.
DANTE, Luiz Roberto. Tudo é Matemática. 3. ed. São Paulo: Ed. Ática, 2009. Vol. 1.
FIORENTINI, D. Pesquisar práticas colaborativas ou pesquisar colaborativamente? In:
BORBA, M. C.; ARAÚJO, J. L. (Org.) Pesquisa qualitativa em Educação Matemática.
Belo Horizonte: Autêntica, 2004. p.47-76.
FIORENTINI, Dario; LORENZATO, Sergio. Investigação em educação matemática. 3.ed.
Ren. Campinas, SP: Autores associados, 2012.
FREIRE, Paulo. Pedagogia da Autonomia. São Paulo: Editora Paz e Terra, 2006.
FREIRE, Paulo. Pedagogia do Oprimido. 17.ed. Rio de janeiro: Paz e Terra, 1987.
HAMZE, Amélia. A configuração geométrica do Tangram. In: Brasil Escola. S.d. Disponível
em: https://educador.brasilescola.uol.com.br/trabalho-docente/a-configuracao-geometrica-
tangram.htm. Acesso em: 31 ago. 2019.
PONTE, João Pedro da; BROCARDO, Joana; OLIVEIRA; Hélia. Investigações
Matemáticas na Sala de Aula. Belo Horizonte: Autêntica Editora, 2009.
TEIXEIRA, Priscila Gervásio; NUNES, Ana Maria Ferola da Silva; RIZZOTTO, Denize
Donizeti Campos. Medidas de comprimento: comparando objetos e altura. 2013.
Disponível em: <http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=50514>.
Acesso em: 08 ago. 2019.
VAN DE WALLE, John A. O pensamento e os conceitos geométricos. In: VAN DE WALLE,
John A. Matemática no ensino fundamental: formação de professores e aplicação em sala
de aula. São Paulo: Papirus, 2009. p. 437-484.
144
APÊNDICES
Apêndice A – Produto
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS
Programa de Pós-Graduação em Ensino de Matemática
Área de Concentração: Ensino de Ciências e Matemática
Eixo temático: Ensino de Matemática
Rosimara Mesquita Miranda Bicalho
Eliane Scheid Gazire
2020
145
APRESENTAÇÃO ...................................................................................................... 145
INTRODUÇÃO ........................................................................................................... 145
ATIVIDADE 1 ............................................................................................................. 145
ATIVIDADE 2 ............................................................................................................. 145
ATIVIDADE 3 ............................................................................................................. 145
ATIVIDADE 4 ............................................................................................................. 145
ATIVIDADE 5 ............................................................................................................. 145
ATIVIDADE 6 ............................................................................................................. 145
ATIVIDADE 7 ............................................................................................................. 145
ATIVIDADE 8 ............................................................................................................. 145
ATIVIDADE 9 ............................................................................................................. 145
ATIVIDADE 10 ........................................................................................................... 145
ATIVIDADE 11 ........................................................................................................... 145
ATIVIDADE 12 ........................................................................................................... 145
ATIVIDADE 13 ........................................................................................................... 145
ATIVIDADE 14 ........................................................................................................... 145
ATIVIDADE 15 ........................................................................................................... 145
ATIVIDADE 16 ........................................................................................................... 145
REFERÊNCIAS........................................................................................................... 145
146
Caro professor!
Este caderno, composto por atividades investigativas, é produto da minha dissertação
de mestrado “Construindo o conceito de área de figuras planas a partir de práticas
investigativas”, que através da pesquisa-ação me tornei a participante da ação e pesquisadora
da minha própria prática.
Diante de uma constante defasagem no cálculo de área de figuras planas, detectada em
minha trajetória como professora, ao aplicar atividades rotineiras para os alunos do Ensino
Fundamental Anos Finais e Ensino Médio, percebi uma dificuldade em resolver questões que
necessitavam deste conteúdo como pré-requisito, constatando-se, pois, que dar as fórmulas
prontas e acabadas não contribuem para concretizar a aprendizagem, por serem feitas de
maneira mecânica, o que não fica aprendido realmente. Entendido isso e tendo como hábito o
trabalho investigativo, surgiu, então, a ideia de construir o conceito de área das figuras planas
através da experimentação/ investigação e da sua (de)composição e, consequentemente,
dedução de suas fórmulas.
Meu objetivo principal com este material é fornecer atividades para você, professor da
Educação Básica, a fim de proporcionar, em suas práticas, experiências que possam contribuir
para a construção/dedução/ressignificação dos conceitos de áreas de figuras planas, em
especial os triângulos e quadriláteros, através da (de)composição e experimentação, e que
sirva de apoio e complemento às suas práticas cotidianas para os alunos de 6º ano do Ensino
Fundamental Anos Finais.
Para você entender melhor o que foi feito, vou explicar um pouco do desenvolvimento
da minha dissertação. Após definir o tema e escolhidos os sujeitos participantes da pesquisa,
comecei a escrever. Com o apoio de um pouco de história para que entendesse a origem da
geometria, fiz uma breve pesquisa em Boyer e Merzbach (2012) e, embasada em Van de
Walle (2009), houve a criação/ adaptação das atividades direcionadas aos alunos desta fase, às
quais tomei a liberdade de relacioná-las aos momentos na realização de uma investigação,
desenvolvidos por Ponte, Brocardo e Oliveira, em seu livro “Investigações Matemática na
Sala de Aula” (2009).
147
Aplicadas as atividades, que foram analisadas a “priori” e a “posteriori”, percebi que
as práticas investigativas realmente contribuem, e muito, para que a aprendizagem se
concretize e sugiro que faça parte do cotidiano escolar.
Para tanto, se faz valer este caderno de atividades investigativas com orientações ao
professor, para que você possa ser o pesquisador participante que intervém nos rumos da
ação, orientado pela pesquisa que realiza. Isso significa que é importante estar sempre aberto
à pesquisa, a fim de tornar a prática didática mais prazerosa, tanto para professor como para
alunos. Entende-se, pois, que os objetivos da pesquisa foram alcançados e, ainda, podem ser
úteis a todos na construção do saber geométrico.
Bom trabalho!
As autoras
148
Atualmente, com tanta tecnologia e atividades diferentes para os alunos fora da escola,
a geometria pode tornar-se insignificante para alguns, principalmente quando o docente
oferece tudo pronto e acabado. Portanto, estudos mecânicos não são mais bem- vindos para
essa geração. Por isso, o discente deve ser estimulado/desafiado a construir seus conceitos
através da experimentação/investigação. Só assim a aprendizagem será concretizada.
Bruno D’Amore, em seu livro “Elementos de Didática da Matemática” (2007), explica
que:
Aulas não concluídas, repetitivas, enfadonhas, cansativas, têm consequências
negativas nos alunos e, portanto, sobre todos os outros componentes do mundo da
escola, contribuindo em dar, ao próprio professor, uma imagem negativa da
Matemática. (D'AMORE, 2007, p. 38).
Em especial sobre a geometria, os documentos dos Parâmetros Curriculares Nacionais
(PCN) recomendam que esta subsidia a habilidade de argumentação, possibilitando:
[…] ao aluno desenvolver um tipo de pensamento particular para compreender,
descrever e representar, de forma organizada, o mundo em que vive. Também é fato
que as questões geométricas costumam despertar o interesse dos adolescentes e
jovens de modo natural e espontâneo. Além disso, é um campo fértil de situações-
problema que favorece o desenvolvimento da capacidade para argumentar e
construir demonstrações. (BRASIL, 1998, p. 122).
Ainda neste sentido, segundo Thompson e Preston (2004), citados por Van de Walle
(2009), os estudantes estão mais fracos na área de medidas do que em qualquer em outro
tópico curricular, existindo, segundo eles, várias hipóteses para isso, dentre as quais destaca-
se a forma como o assunto é ensinado: no lugar de experiências manipulativas, confiam-se
muito nas figuras e exercícios.
Van de Walle (2009, p.406) faz referências às ideias importantes sobre medidas e as
suas conexões aos conteúdos matemáticos. Trata-se da forma como o instrumento a ser
medido tem que ser visto, como “um atributo a ser medido”. Sendo assim compreendido,
reconhece-se os instrumentos de medidas como mecanismos para se obter a unidade de
medidas reais. Para ele:
149
Para medir qualquer coisa, o estudante deve executar três passos:
Decidir qual atributo específico do objeto (ou fenômeno) deve ser medido.
Escolher uma unidade de medida que tenha aquele atributo e seja adequada.
Comparar as unidades, enchendo, cobrindo, emparelhando ou com algum outro
método, com o atributo do objeto que está sendo medido. (VAN DE WALLE, 2009,
p. 406).
Van de Walle (2009) afirma que o uso de medidas informais para começar a medir
comprimentos, como, por exemplo: pegadas gigantes, recortes em cartolinas simulando
pegadas; cordas de medida, corte de fios de algodão do tamanho de um metro, são úteis para
medir as linhas encurvadas e a circunferência de grandes objetos como a mesa do professor;
canudos de plásticos, que podem ser cortados facilmente em unidades menores, podendo ser
ligados com um fio longo, sendo, segundo ele, uma excelente ponte para uma régua ou fita
métrica; pequenas unidades, tais como: palitos de dente, cubos encaixantes de brinquedos ou
de madeira, e clipes de papel. Porém, a explicação de como usar tais unidades deve ser feita,
para que seja praticada.
No desenvolvimento dos conceitos e habilidades de medidas, é necessário, ainda
segundo Van de Walle (2009), fazer comparações. Muitos objetos podem ser comparados, por
exemplo, colocando-os alinhados um com o outro; usando modelos de unidades, sendo muito
benéfico medir o mesmo objeto com unidades diferentes; construir e usar instrumentos de
medida. Os alunos, então, podem, ainda, construir e utilizar seus próprios instrumentos de
medidas, assim ficando mais próximos de como usar e comparar, mesmo sendo unidade
informal.
Van de Walle (2009) explica que existem os motivos para usar os dois tipos de
unidades, as informais e a padrão. Para ele, as unidades informais facilitam a compreensão
direta do atributo a ser medido, evita objetivos contraditórios, fornece uma boa base para a
unidade padrão e, ainda, pode ser divertido. A unidade padrão deve ser familiarizada pelo
estudante, bem como as relações entre ela e a informal, não havendo regra para quando usar
essa ou aquela unidade. Os autores dos padrões defendem a ideia de que o aluno deve ter
muitas oportunidades de usar a unidade informal e vivenciar experiências, antes de
aprenderem a unidade padrão e as fórmulas.
Há, pelo menos, quatro razões para inclusão da estimativa nas atividades de medidas.
Segundo Van de Walle (2009), as estimativas auxiliam os alunos a focar o atributo medido,
bem como o processo de medida, fornecem motivação essencial e, aproximação com a
unidade padrão, quando usada; promovem o raciocínio multiplicativo. Em relação às medidas
de comprimento, ele sugere atividades que funcionam como centro de aprendizagens em sala
150
de aula, para as quais os alunos precisam se familiarizar com instrumentos de medidas, como,
por exemplo, a régua, para aprofundarem, assim, os conceitos de áreas.
Segundo Van de Walle (2009), existem três metas educacionais relativas à unidade
padrão, que são: 1) familiaridade com a unidade; 2) habilidade para selecionar uma unidade
apropriada; 3) conhecimento de algumas relações importantes entre as unidades.
Vale lembrar que as medidas de comprimentos são pré-requisitos para as construções
dos conceitos de áreas, onde estes devem estar dissociados um do outro a fim de que não haja
uma confusão na hora da sistematização dos conceitos. Isso indica que as atividades
relacionadas devem seguir a linha de investigação, por meio das quais os próprios alunos
descobrem, por si só, os saberes.
Ainda para Van de Walle, as fórmulas de área e volume são os artifícios para medir
tais atributos, e, para isso, usam-se as medidas de comprimento, cuja área, perímetro e volume
estão relacionados um ao outro. Ele estabelece que a medida está interligada aos conteúdos
matemáticos, fazendo uma conexão que deve ser integrada, como segue:
Números - associa ao mundo real, ampliando o senso numérico, muito significativo
para contar;
Valor posicional - construído no sistema de numeração decimal;
Álgebra - as funções usadas para estudo e descrição das relações entre vários
fenômenos, onde as fórmulas de medidas são também funções;
Raciocínio proporcional - usa-se escala e proporções em desenhos para obtenção de
medidas desconhecidas de figuras semelhantes, promovendo o senso multiplicativo;
Frações - necessidade de aumento com precisão levando às partes fracionárias das
unidades;
Geometria - auxilia no desenvolvimento e compreensão das fórmulas para perímetro,
área e volume, solicitando, assim, entendimento das formas e relações abrangidas;
Dados - os gráficos e medidas são naturalmente mesclados nas mesmas unidades.
Van de Walle explica, também, que “a estimativa de medidas é o processo de
informação mental e visual para medir ou fazer comparações, sem o uso de instrumentos de
medida” (VAN DE WALLE, 2009, p.427) e considera uma habilidade prática e também
valiosa para a vida. Ele estabelece algumas técnicas para estimar medidas, bem como sugere
dicas para o ensino de estimativa. As técnicas são as seguintes:
1. Desenvolver e usar referenciais ou referentes para unidades importantes, pois os alunos
que constroem suas próprias referências têm mais domínios de fazer estimativas;
151
2. Usar “blocos menores”, quando apropriado. Por exemplo, o peso de uma pilha de livros
fica mais fácil de ser estimada se já houver alguma estimativa para um livro “médio”;
3. Usar subdivisões, estratégia semelhante aos blocos menores, com os blocos impostos ao
objeto pelo estimador;
4. Iterar uma unidade mental ou fisicamente, sendo as larguras das mãos e dos dedos úteis
para medidas menores.
A melhor abordagem para o cálculo de estimativas é a prática, e são sugeridas por Van
de Walle (2009) algumas dicas que, para ele, devem estar em mente para o ensino de
estimativa, quer sejam:
a) Os alunos devem ser ajudados a aprender estratégias utilizando uma abordagem
específica, para, a partir de então, criarem suas próprias estratégias;
b) Deve haver uma discussão de como os vários alunos o fizeram, pois entenderão que há
vários caminhos e estratégias para a estimativa;
c) Deve ser aceita uma variedade de estimativas;
d) Os alunos são estimulados a apresentar uma variedade de medidas que acreditam incluir
medida real. Trabalha-se, assim, a prática da vida real bem como ajuda a focar sobre a
natureza aproximada da estimativa;
e) A medida de estimativa deve ser tomada como uma atividade permanente e contínua.
Pensando assim, este caderno possui atividades investigativas elaboradas/adaptadas a
partir das propostas por Van de Walle (2009), tendo, como principal viés, o direcionamento
para a experimentação e investigação, como propõe o autor. Além disso, cada uma das
atividades vem acompanhada dos momentos de investigação pertinentes a ela, a fim de buscar
facilitar a compreensão dos percursos a serem realizados pelo professor.
Sobre investigação, Ponte, Brocardo e Oliveira (2009), em seu livro Investigações
Matemática na Sala de Aula, explicitam os momentos na realização de uma investigação,
sendo esses:
Momento 1 “exploração e formulação de momentos de questões”, no qual o aluno
deve: reconhecer uma situação problemática, explorá-la, e formular questões;
Momento 2, “conjecturas”, no qual o discente deve: organizar dados, formular
conjecturas (e fazer afirmações sobre uma conjectura);
Momento 3: “testes e formulações”, no qual a tarefa para o educando é: realizar testes,
refinar uma conjectura;
152
Momento 4 “justificação e avaliação”, tal que o aprendiz deve: justificar uma
conjectura e avaliar o raciocínio ou o resultado do raciocínio. (PONTE; BROCARDO;
OLIVEIRA, 2009, p. 21).
Sobre o conceito de área, no glossário do livro “Tudo é Matemática”, para sexto ano do
Ensino Fundamental, de Dante (2009), é dito: “Área: medida de uma superfície”, e
complementa exemplificando com um quadrado de 2 cm de lado, explicitando que “a área da
região quadrada da figura é 4 centímetros quadrados” (DANTE, 2009, p. 315). Para Martin e
Strutchens (2000, p.82), citados por Van de Walle (2009) “é o espaço bidimensional dentro de
uma região. Como com outros atributos, primeiro os estudantes devem compreender o
atributo de área antes de medi-lo”.
Seguindo esta linha de raciocínio, para melhor entendimento de área, sugere-se que o
estudante deva fazer atividades de comparação, para, então, entender o atributo área, a fim de
saber medi-lo, calculá-lo. Van de Walle (2009) afirma ser difícil fazer comparações de figuras
com dimensões diferentes, podendo haver falha no atributo área. Ele acredita que, trabalhando
pelo menos uma dimensão igual de duas figuras, os estudantes podem entender melhor este
atributo, através da sua sobreposição, com recortes e montagens, deixando a comparação mais
clara e mais concreta.
Sugere-se, ainda, o uso do Tangram para trabalhar o conceito de área. Sobre o
Tangram, Hamze (2019) afirma, que:
Não se conhece ao certo a origem, a data de criação, nem o seu autor. O tangram é
um quebra-cabeça de origem chinesa, praticado há muitos séculos em todo o
Oriente. Segundo a lenda, o jogo surgiu quando um monge chinês deixou cair uma
porcelana quadrada, que se partiu em sete pedaços – daí seu nome, que significa
“tábua das sete sabedorias” ou “tábua das sete sutilezas”. A origem é de um painel
em madeira, de 1780 de Utamaro com a figura de duas senhoras chinesas a resolver
um tangram. A mais antiga publicação com exercícios de tangram é do início do
século XIX. Seu nome original: Tch´ i Tch´ iao Pan, significa as sete tábuas da
argúcia. (HAMZE, 2019).
O jogo Tangram é composto por um quadrado dividido em sete peças, sendo dois
triângulos grandes, dois pequenos, um médio, um quadrado e um paralelogramo, o que
fornece meios de se calcular áreas por sobreposição de figuras.
Sobre área ou perímetro, Van de Walle (2009) aponta que uma possível causa da
confusão dos alunos sobre esses conceitos se deve ao envolvimento de regiões a serem
153
medidas de ambos, ou pelo ensino de fórmulas antes mesmo de entender a fundamentação.
Por isso, há uma tendência a confundir fórmulas.
Também segundo Van de Walle (2009), para que os alunos saibam quais unidades
apropriadas a cada objeto, perguntas devem ser feitas a eles. Por exemplo: “A sala de aula
deve ser medida em metros ou centímetros?”. A resposta a esta questão envolve um amplo
saber sobre medidas e dimensões a serem adotadas.
Já especificamente sobre o uso de fórmulas, o autor enfatiza que, quando esta se
origina em um estudo mecânico, resulta em uma possível aprendizagem momentânea, mas
que, quando se fundamenta na criação de seus próprios conceitos, o aluno consegue
lembrar/associar a relação/conta a ser feita, fluindo, assim, em um processo natural de
aprendizagem. Ele ainda explica que:
Os resultados dos testes da Avaliação Nacional do Progresso Educacional (NAEP)
norte-americano indicam claramente que os estudantes não têm uma boa
compreensão das fórmulas [...]. Um erro muito comum é confundir as fórmulas para
área e para perímetro [...]. Simplesmente dizer aos alunos como uma fórmula foi
derivada não funciona. (VAN DE WALLE, 2009, p.429).
Sobre esse assunto, Van de Walle (2009, p.430) cita que “a formulação de base vezes
altura pode ser generalizada para todos os paralelogramos (não só retângulos) e é útil para
desenvolver as fórmulas de áreas para triângulos e trapézios”, bem como ajuda a conectar
uma ampla família de fórmulas, que devem ser dominadas independentemente, conforme
poderá ser visto nas atividades pertinentes.
As atividades aqui colocadas, conforme já exposto, foram todas elaboradas de acordo
com as ideias de Van de Walle (2009). Em algumas delas foram aproveitadas suas ideias
originais e outras foram adaptadas, porém, sem fugir do objetivo da investigação. Não havia
como elaborar atividades somente com habilidades sobre os conceitos das áreas. Por isso, fez-
se necessária a criação de atividades iniciais sobre perímetros, pois alunos se confundem entre
perímetros e áreas, como já visto nas palavras de Van de Walle (2009).
A seguir são apresentadas cada atividade em sua ordem de aplicação, bem como a
habilidade a ser alcançada e sua breve descrição:
As atividades 1, 2 e 3 baseiam-se na comparação de comprimentos, utilizando os
recursos do próprio corpo humano, como pés, mãos e palmos. Também foram
utilizados pedaços de barbantes e cartolinas para os alunos fazerem as medições e
comparações.
Na atividade 4, os próprios alunos se comparam através de suas estaturas.
154
Na atividade 5, com o material entregue pelo professor, eles criam suas próprias
réguas e medem os mesmos objetos da atividade 2. Mas a régua informal, construída
por eles próprios, só tem validade se, após seu desenvolvimento, for apresentada a
régua padrão. Ou seja, a partir desta atividade eles já terão noção de medir
comprimentos utilizando-se as unidades padrão.
A atividade 6 começa a definir o conceito de áreas. Nela, são usados objetos para
preenchimento das figuras definidas, e, ao mesmo tempo, comparadas as suas áreas.
Na atividade 7, com o uso do papel quadriculado, os alunos têm a noção de áreas de
retângulos, através da contagem dos quadradinhos e/ou através da ideia de
multiplicação de duas dimensões.
Na atividade 8, com o auxílio de quadradinhos, os grupos de alunos formam seus
quadrados e sabem determinar suas áreas, definindo, assim, o cálculo de área do
quadrado.
Na atividade 9, com a construção do Tangram, há uma comparação de áreas das
figuras, a partir das peças que o compõem.
Na atividade 10, com o uso da folha de jornal, há uma fixação do cálculo de área do
retângulo. Posteriormente transformando esta folha em quadrado, fixam, também, o
cálculo de área do quadrado.
As atividades 11, 12, 13 e 14, com o auxílio da folha retangular, trazem a
decomposição do paralelogramo, triângulo, losango e trapézio, respectivamente, sendo
uma complementar à outra e os conceitos assim se definem.
As atividades 15 e 16 são de fixação dos conceitos pré-definidos, objetivando-se
avaliar a aprendizagem de maneira informal.
A seguir, o quadro contendo cada uma das atividades e seus objetivos, além dos materiais
necessários para sua aplicação em sala de aula:
ATIVIDADES OBJETIVOS RECURSOS
1.Medindo objetos da sala de
aula.
Estimar e comparar comprimentos,
utilizando unidades não padrões,
como palmos de mão, pés e palitos
de picolé.
Atividade impressa
em papel A4, palitos
de picolé, objetos da
sala de aula.
2. Comparação de medidas
de comprimento.
Comparar objetos utilizando uma
unidade de medida dada.
Começar com comparações diretas
Cartolina, atividade
impressa em papel
A4, objetos da sala de
aula: lápis, caderno,
155
ATIVIDADES OBJETIVOS RECURSOS
de dois ou mais comprimentos. carteira, mesa do
professor.
3. Comparação de caminhos
– comprimento.
Estimar e comparar caminhos.
Calcular perímetro.
Barbante, fita adesiva
colorida, atividade
impressa em papel
A4.
4. Comparação da altura dos
alunos.
Começar a fazer comparações diretas
de dois ou mais comprimentos, e
entre as próprias estaturas dos
alunos.
Atividade impressa
em papel A4.
5. Construção de suas
próprias réguas.
Construir réguas não padrões. Cartolina, papéis
coloridos, atividade
impressa em papel
A4, régua escolar.
6. Noção intuitiva de área
através da comparação e,
posteriormente, do seu
preenchimento.
Construir a noção de área através da
comparação de figuras e do seu
preenchimento.
Atividade impressa
em papel A4, feijão/
milho.
7. O uso do papel
quadriculado na intuição do
conceito de área do
retângulo.
Construir retângulos determinados e
calcular sua área.
Atividade impressa
em papel A4, papel
quadriculado.
8. Noção intuitiva do
conceito de área do
quadrado.
Construir o conceito de área do
quadrado através de ladrilhos
quadrados.
Papel emborrachado,
atividade impressa em
papel A4.
9. Noção intuitiva do
conceito de área do
quadrado, a partir das peças
do Tangram.
Construir quadrados com as peças do
Tangram comparando suas áreas.
Papel A4 colorido,
atividade impressa em
papel A4, tesoura.
10. O uso do jornal na
construção do conceito de
área do retângulo e do
quadrado.
Medir as dimensões do jornal e
calcular a área do retângulo.
(De)compor o jornal em um
quadrado com recorte, medir as
dimensões e calcular sua área.
Jornal, atividade
impressa em papel
A4, tesoura.
11. Construção do conceito
de área do paralelogramo.
(De)compor o retângulo em
paralelogramo.
Construir o conceito de área e seu
cálculo.
Folha A4 colorida,
atividade impressa em
papel A4, tesoura,
régua padrão.
156
ATIVIDADES OBJETIVOS RECURSOS
12. Construção do conceito
de área do triângulo.
(De)compor o retângulo em
triângulo.
Construir o conceito de área e seu
cálculo.
Folha A4 colorida,
atividade impressa em
papel A4, tesoura,
régua padrão.
13. Construção do conceito
de área do losango.
(De)compor o retângulo em losango.
Construir o conceito de área e seu
cálculo.
Folha A4 colorida,
atividade impressa em
papel A4, tesoura,
régua padrão.
14. Construção do conceito
de área do trapézio.
(De)compor o retângulo em trapézio.
Construir o conceito de área e seu
cálculo.
Folha A4 colorida,
atividade impressa em
papel A4, tesoura,
régua padrão.
15. Praticando o que
aprendemos sobre áreas de
figuras planas.
Calcular a área das figuras planas de
acordo com o que o aluno aprendeu.
Atividade impressa
em papel A4.
16. (De)composição de
figuras planas no conceito de
área
Calcular a área das figuras planas de
acordo com a sua (de)composição.
Atividade impressa
em papel A4.
Cada atividade apresentada no produto é iniciada pelo seu ícone respectivo, seu
número e título, seguido dos quatro momentos de investigação e sua linha de raciocínio, como
proposto por Ponte, Brocardo e Oliveira (2009), já citados no capítulo anterior, e de um
quadro com as orientações metodológicas ao professor. A folha de atividade a ser entregue
aos alunos vem em seguida. Ela foi formatada, buscando possibilitar, ao docente, a sua
impressão e posterior aplicação aos alunos. Algumas atividades são acompanhadas, ainda, de
um passo a passo para recortes e construção das figuras planas a partir de retângulo. Estas
podem também ser impressas e entregues aos alunos ou utilizadas em projeção na sala de
aula, a depender dos recursos disponíveis.
Um modelo de atividade encontra-se nas próximas páginas com suas partes específicas
e as informações pertinentes a ela, para melhor entendimento do professor:
157
Figura – Modelo de atividade do produto e suas características – Parte 1
Número
da
atividade
Título da
atividade
Indicativo de
direcionamento ao
professor
Ícone da
atividade
Quadro
metodológico
No desenvolvimento, é colocado como a atividade deve ser
desenvolvida pelo professor, trazendo algumas considerações que a
pesquisadora julgou pertinente, após a revisão da sua prática, no
decorrer da aplicação primeira da atividade.
158
Figura – Modelo de atividade do produto e suas características – Parte 2
Com relação aos momentos de investigação, como o exposto na figura acima, estes,
conforme já dito, foram elaborados pela pesquisadora, inclusive para as atividades formuladas
e/ou adaptadas de Van de Walle (2009) presentes no produto, a partir dos momentos de
investigação propostos por Ponte, Brocardo e Oliveira (2009).
Momentos
da
investigação
dentro da
atividade
Sugestões de
Van de Walle
(2009) para a
atividade
proposta
Ícone de
sugestões
159
Figura - Modelo de atividade – Parte 3
Título da
construção
Passos da
construção
Construção
Pronta
Imagem
ligada ao
tema
central da
atividade
principal.
160
Figura - Modelo de tarefa da atividade para imprimir para o aluno
A seguir, as atividades investigativas. Agora, mãos à obra!
Indicativo de
direcionamento ao
aluno
Espaço para o
aluno fazer
contas ou
colocar
dimensões.
Normalmente
possuem o
mesmo
formato ao
qual a
atividade está
direcionada, a
fim de que o
aluno possa
consolidar a
ligação visual
da forma ao
seu respectivo
nome.
Local para
respostas
discursivas
.
161
Estimando medidas de comprimento com unidades não padrões
ORIENTAÇÕES AO PROFESSOR:
Atividade 1 – Estimando medidas de comprimento com unidades não padrões
Objetivo
Estimar e comparar comprimentos utilizando unidades não padrões, como palmos, pés e
palitos de picolé.
Material utilizado
Atividade impressa em papel A4, palitos de picolé, objetos da sala de aula, tais como:
carteira, porta (largura).
Organização da turma
Duplas ou trios.
Duração
3 aulas (aproximadamente).
Desenvolvimento
Fazer os alunos terem a noção de comprimento usando seu próprio corpo ou outros objetos
que não sejam padrões, para que, a partir de então, passem a ter noção de comprimento/
perímetro. Os alunos podem ser organizados em duplas. Cada qual na sua vez mede os
objetos definidos, respondem à atividade e, por fim, comparam com as medidas dos colegas.
Toda a observação feita por eles é importante que seja registrada na folha impressa da
atividade.
162
Exploração e
formulação de questões
Conjectura Testes e
reformulação
Justificação e
avaliação
Questione os alunos sobre
o que pode ser medido na
sala de aula e, sem régua,
e de que forma eles podem
medir esses objetos.
Podem ser
entregues aos
alunos palitos de
picolé de
diferentes
tamanhos (um
tipo para cada
um), para que
eles percebam a
diferença entre
unidades não
padrões.
A tarefa dos alunos é
medir os objetos
pedidos com o palmo
e os pés, além de
palitos de picolé
distribuídos.
Eles devem
compreender e
conseguir explicar
as diferenças
entre os palmos e
os pés e verificar
as diferenças
entre os palitos de
picolé utilizados,
percebendo que
medidas não
padrão não são
únicas.
Fonte: Adaptado pela pesquisadora a partir de Van de Walle (2009) e Ponte, Brocardo e Oliveira
(2009, p.21).
163
TAREFA
Descubra as medidas dos objetos que existem na sala de aula. Faça o que se pede:
1. Usando seu palmo, meça a altura da sua carteira. Minha carteira mede,
aproximadamente, ________ palmos meus de altura e ________ palmos do meu
colega. Essas medidas são iguais ou diferentes? Por quê?
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
2. Usando seu pé, meça a largura de uma porta. A porta tem, aproximadamente,
________ pés meus de largura e ________ pés do meu colega. Essas medidas são
iguais ou diferentes? Por quê?
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
3. Usando palitos de picolé, meça o lado mais comprido de sua carteira. A medida
do lado mais comprido da minha carteira é de, aproximadamente, ________ palitos. A
medida do meu colega foi de ________ palitos. Essas medidas são iguais ou
diferentes? Por quê?
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
164
Comparação de medidas de comprimento
ORIENTAÇÕES AO PROFESSOR:
Atividade 2 – Comparação de medidas de comprimento
Objetivos
Comparar objetos utilizando uma unidade de medida dada.
Começar com comparações diretas de dois ou mais comprimentos
Material utilizado
Cartolina, atividade impressa em papel A4, objetos da sala de aula: lápis, caderno, carteira,
mesa do professor.
Organização da turma
Duplas.
Duração
2 aulas.
Desenvolvimento
Cada dupla de alunos recebe uma tira de cartolina, a qual é utilizada para comparar os objetos
na sala e ir anotando se são maiores, menores ou iguais à tira de cartolina, para, então,
alcançar os objetivos da questão.
165
Exploração e
formulação de questões
Conjectura Testes e
reformulação
Justificação e
avaliação
Dar aos alunos a tira de
cartolina e mostrar objetos
que possam ser medidos,
pedindo ajuda dos alunos
para essa averiguação
inicial.
Os alunos
deverão fazer as
suas medições,
cada um a sua
vez, medindo
cada qual seu
objeto.
Usando o
comprimento
designado como
unidade (no caso a
cartolina, mas poderá
ser outro objeto, como
uma vara, um
barbante etc.), eles
fazem a medição,
comparando-a com as
realizadas pelos outros
alunos e fazendo as
marcações na folha de
respostas.
O debate
incentivado
pelo(a)
professor(a) deve
ser direcionado
para o fato de que
cada objeto tem
seu próprio
tamanho, mesmo,
por exemplo,
sendo um lápis
(uns podem estar
mais usados do
que outros).
Fonte: Adaptado pela pesquisadora a partir de Van de Walle (2009) e Ponte, Brocardo e Oliveira
(2009, p.21).
166
TAREFA
Compare os objetos da sala de aula, marque com um X seu comprimento: maior,
menor ou igual à tira de cartolina recebida:
OBJETO (NOME) MAIOR MENOR IGUAL
Lápis
Caderno
Carteira (lado maior)
Altura da carteira
Mesa do professor
(lado menor)
167
Comparação de caminhos - comprimento
ORIENTAÇÕES AO PROFESSOR:
Atividade 3 – Comparação de caminhos – comprimento
Objetivo
Estimar e comparar caminhos.
Calcular perímetro.
Material utilizado
Barbante, fita adesiva colorida, atividade impressa em papel A4.
Organização da turma
Dupla.
Duração
3 aulas.
Desenvolvimento
O(a) professor(a) deve construir, no chão, caminhos curvo, dobrado e torto, utilizando, para
isso, fita adesiva colorida. Cada dupla recebe um comprimento de barbante maior do que os
caminhos feitos no chão. Os alunos são incentivados a medirem os caminhos da maneira
como preferirem, encontrando um modo de fazer caminhos retos que tenham o mesmo
comprimento que os caminhos apresentados, de maneira que possam ser comparados. Por
fim, eles devem responder às perguntas de comparação de comprimento dos caminhos.
168
Exploração e
formulação de questões
Conjectura Testes e
reformulação
Justificação e
avaliação
Construa alguns caminhos
retos, tortos, curvos, com
pontas etc. no chão com
fitas adesivas coloridas. A
tarefa é determinar qual o
caminho mais longo, mais
curto, por exemplo. Para
isso, deverá ser entregue
aos alunos um pedaço de
barbante, sem dar-lhes
mais explicações.
Os alunos
deverão pensar
para tomar a
melhor decisão
sobre como
conseguir
descobrir o que
se pede com um
barbante. Caso o
professor queira
desafiar os
alunos, poderá
entregar a eles
um pedaço de
barbante menor
do que os
caminhos
traçados.
Os alunos deverão
entender que o
barbante precisa ser
colocado em cima do
caminho, para que
consigam medir toda a
sua extensão e não de
forma reta.
Os alunos
deverão explicar a
forma como
fizeram para
chegar às
respostas pedidas
e entender as
explicações de
outros colegas,
verificando as
estratégias
escolhidas e qual
será a melhor
forma de fazer as
medições.
Fonte: Adaptado pela pesquisadora a partir de Van de Walle (2009) e Ponte, Brocardo e Oliveira
(2009, p.21).
169
TAREFA
Após sua dupla receber um pedaço de barbante, compare-o com os 3 caminhos com diferentes
cores que estão feitos no chão.
Agora, responda:
Qual o caminho mais longo?
_________________________________________________________________________
Qual o caminho mais curto?
__________________________________________________________________________
Existe algum caminho com igual distância do outro?
__________________________________________________________________________
O que você fez para descobrir essas informações?
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
Após discussão com a turma e ao verificar as estratégias utilizadas por seus colegas, escreva
suas observações sobre a atividade:
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
170
Comparação de estatura dos alunos
ORIENTAÇÕES AO PROFESSOR:
Atividade 4 – Comparação da altura dos alunos.
Objetivo
Começar a fazer comparações diretas entre dois ou mais comprimentos, e as suas próprias
estaturas.
Material utilizado
Atividade impressa em papel A4.
Organização da turma
Toda a turma.
Duração
2 aulas.
Desenvolvimento
Os alunos, com intervenção da professora, devem se colocar em fila em ordem crescente ou
decrescente, fazendo, primeiramente, uma fila das meninas e uma fila dos meninos e, por fim,
uma fila para ambos os sexos. Para tanto, os alunos devem começar com comparações diretas
entre dois ou mais comprimentos, de suas próprias estaturas.
Para trabalhar o respeito mútuo, a professora precisa orientar sobre a influência da genética,
explicando porque um aluno é mais alto que o outro e vice-versa, e também a respeito da
idade, a fase em que eles estão, que é de crescimento, “adolescência”.
171
Exploração e
formulação de questões
Conjectura Testes e
reformulação
Justificação e
avaliação
Os meninos e as meninas
da turma, separadamente,
deverão fazer uma fila
(que pode ser crescente ou
decrescente) dos alunos
em relação à sua altura.
Após
conseguirem
fazer as duas
filas, eles
deverão criar
estratégias para
juntar as duas
filas em apenas
uma, mantendo-
a crescente ou
decrescente em
relação às
alturas.
Inicialmente, os
alunos poderão fazer
as medições por
comparações diretas
dois a dois, facilitando
o ordenamento.
O(a) professor(a)
deverá incentivar
a discussão entre
os colegas para
que façam as suas
observações sobre
a atividade e as
estratégias
escolhidas para a
sua resolução.
Fonte: Adaptado pela pesquisadora a partir de Van de Walle (2009) e Ponte, Brocardo e Oliveira
(2009, p.21).
172
TAREFA
1) Fazer uma fila das meninas da sala em ordem crescente.
2) Fazer uma fila dos meninos da sala em ordem crescente.
3) Unir as duas filas em ordem crescente.
4) Verificar que aluno/alunos estão no meio certinho da fila.
5) Responder às perguntas:
Qual(is) aluno(s) ficou/ficaram no meio da fila?
__________________________________________________________________________
Quem é maior que este aluno?
__________________________________________________________________________
Quem é menor que este aluno?
__________________________________________________________________________
Têm alunos com mesma altura?
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
Após a realização da tarefa e da discussão com os seus colegas e professor(a), escreva, aqui,
suas observações sobre a atividade:
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
173
Construção de suas próprias réguas
ORIENTAÇÕES AO PROFESSOR:
Atividade 5 – Construção de suas próprias réguas
Objetivo
Construir réguas não padrões.
Material utilizado
Cartolina, papéis coloridos, atividade impressa em papel A4, régua escolar.
Organização da turma
Duplas.
Duração
5 aulas.
Desenvolvimento
Nesta atividade, o professor deve recortar, previamente, finas tiras de cartolina com 5 cm de
comprimento e cerca de 2 cm de largura, usando duas cores diferentes de papel. Discuta com
os alunos como as tiras podem ser usadas para medir, colocando-as lado a lado, de ponta a
ponta. Forneça longas tiras de cartolina com cerca de 3 cm de largura. Sem orientações
explícitas, faça os alunos construírem sua própria régua, colando as unidades sobre a
cartolina. Estabeleça uma lista de algumas coisas a serem medidas. Os alunos devem usar
suas novas réguas para medirem as coisas da lista, discutindo os resultados. É muito provável
que haja discrepâncias devido às réguas que não foram feitas corretamente ou à falha na
compreensão de como a régua funciona. Depois de utilizarem a régua construída por eles
mesmos, peça-lhe para usarem a régua padrão e medirem os mesmos objetos novamente,
assim haverá uma validação da construção régua informal e o aprendizado de como usar a
régua padrão.
174
Exploração e
formulação de questões
Conjectura Testes e reformulação Justificação e
avaliação
Recorte previamente finas
tiras de cartolina com 5
cm de comprimento e
cerca de 2 cm de largura.
Use duas cores diferentes
de papel. Discuta como as
tiras poderão ser usadas
para medir, colocando-as
lado a lado, de ponta a
ponta.
Forneça longas
tiras de
cartolina com
cerca de 3 cm
de largura.
Sem
orientações
explícitas, faça
os alunos
construírem
sua própria
régua, colando
as unidades
sobre a
cartolina.
Estabeleça uma lista de
algumas coisas a serem
medidas. Os alunos
devem usar suas novas
réguas para medir as
coisas na lista. Discuta
os resultados. É muito
provável que haja
discrepâncias devido às
réguas que não foram
feitas corretamente ou à
falha na compreensão
de como a régua
funciona.
A seguir, eles podem
ser orientados a fazer as
medições com a régua
padrão.
Os alunos
deverão entender,
por meio de
discussão e
observação,
porque as
medidas podem
ter sido
diferentes,
quando utilizadas
as unidades não
padrão e iguais
quando se utiliza
a régua padrão.
Fonte: Adaptado pela pesquisadora a partir de Van de Walle (2009) e Ponte, Brocardo e Oliveira
(2009, p.21).
175
A régua é um instrumento para traçar e medir linhas retas, e esta deve ser um
objeto escolar essencial. Van de Walle (2009) afirma que o salto de usar unidades de medidas
para o uso de régua é desafiador, e considera que, para sua melhor compreensão, deve-se
fazer com que os alunos construam suas próprias réguas, e, sugere, para tal, que discentes as
usem para medirem objetos menores que ela, induzindo-os à sua compreensão correta, se
contarem os espaços entre as marcas, que indicam as unidades de comprimento. Quando já
compreendem o seu uso, é importante fazer uso de “réguas quebradas” para medir. Assim,
entenderão que qualquer unidade pode indicar o ponto de partida, e não somente o zero.
Deve-se aproveitar a construção das réguas feitas pelos próprios alunos e transferir
para a régua padrão, pois a atividade pode ficar sem nexo se essa ligação não for feita.
Algumas questões são sugeridas por Van de Walle, para direcionamento do uso da régua, tais
como: “Quais são as unidades? Você poderia fazer uma régua com unidades de papel igual a
essa? [...] O que os números nas réguas sugerem? Para que são as outras marcas? Onde as
unidades começam?” (VAN DE WALLE, 2009, p. 412).
176
TAREFA
Construa suas próprias réguas.
I) Depois de construírem suas próprias réguas, meça objetos da sala de aula, anote no
quadro abaixo, e compare com as medidas obtidas pelo seu colega, marcando ser a do seu
colega maior, menor ou igual à sua.
OBJETO MINHAS
MEDIDAS
MEDIDAS DO
MEU COLEGA
COMPARAÇÃO:
MAIOR, MENOR
OU IGUAL
Lápis
Caderno
Carteira
(lado maior)
Altura da
carteira
Mesa
do professor (lado
menor)
As medidas obtidas por você e seu colega são iguais ou diferentes? Porque você acha que isso
acontece?
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
177
II) Agora com uso de uma régua padrão, anote as medidas reais dos objetos desta
atividade:
Lápis _______cm
Caderno _______cm
Carteira (lado maior) ______ cm
Altura da carteira ______ cm
Mesa do professor ______ cm
O que você observou nesta atividade, usando a régua feita por você e depois a régua padrão?
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
178
Noção intuitiva de área através da comparação e, posteriormente, do
preenchimento
ORIENTAÇÕES AO PROFESSOR:
Atividade 6 – Noção intuitiva de área através da comparação e posteriormente do
preenchimento
Objetivo
Construir a noção de área através da comparação de figuras e do seu preenchimento.
Material utilizado
Atividade impressa em papel A4, feijão/milho ou outro(s) material(is) preenchedor(es).
Organização da turma
Duplas.
Duração
3 aulas.
Desenvolvimento
Os alunos recebem dois retângulos e uma forma de gota impressos em folhas de papel A4, de
modo que não tenham a mesma área, mas sem nenhuma área que seja visivelmente maior ou
menor do que as outras. A primeira tarefa dos alunos é fazer uma suposição sobre qual é a
menor e qual é a maior das três formas. Depois de registrar suas suposições/observações, eles
devem usar um “preenchedor” de sua escolha para verificar e decidir. Para isso, são
fornecidas pequenas unidades como discos, azulejos coloridos, feijões/milhos, pequenos
ladrilhos feitos de papel cartão. Os alunos devem explicar, por escrito, o que descobrirem. Ao
final da atividade, espera-se que o aluno saiba compreender o conceito de área, bem como
comparar, através do uso de preenchimento de pequenos objetos, áreas de retângulos e de
figuras irregulares.
179
Exploração e
formulação de questões
Conjectura Testes e
reformulação
Justificação e
avaliação
Desenhe dois retângulos
(um na horizonta e outro
na vertical) e uma forma
irregular (pode ser uma
gota, por exemplo) em
uma folha de papel. Faça
isso de modo que não
tenham a mesma área, mas
sem nenhuma área que
seja visivelmente maior ou
menos do que as outras.
A primeira
tarefa dos
alunos será fazer
a suposição
sobre qual área é
a menor e a
maior ou igual
das três formas
dadas.
Depois de registrar
suas suposições, eles
deverão usar um
“preenchedor” para
verificar e decidir.
Esses “preenchedores”
podem ser milho,
feijão, discos de
emborrachado, entre
outros materiais.
Os alunos
deverão explicar,
por escrito, o que
descobrirem, após
haver a discussão
entre os alunos
que contarão
sobre as
estratégias
utilizadas para
realizar a
atividade.
Fonte: Adaptado pela pesquisadora a partir de Van de Walle (2009) e Ponte, Brocardo e Oliveira
(2009, p.21).
Para se ter a noção de medir áreas, Van de Walle (2009) sugere o uso de
preenchimentos, citando exemplos, tais como: círculos uniformes, fatias redondas de plástico,
moedas, feijões, azulejos coloridos, quadrados cortados de papelão, folhas de jornal para áreas
maiores.
180
Figura 1 - Silhueta de gota
Figura 2 - Retângulo 1
181
Figura 3 – Retângulo 2
182
TAREFA
Você recebeu três formas, identificadas como figura 1, figura 2 e figura 3.
1. Qual é maior, menor ou são iguais? Anote, no espaço abaixo, suas observações iniciais:
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
2. Agora, você deve preencher as figuras com um dos materiais cedidos
pelo(a) professor(a) e verificar qual das figuras é realmente a maior, a menor, ou se são
iguais. Explique, por escrito, o que e como descobriu:
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
183
O uso do papel quadriculado na intuição do conceito de área do retângulo
ORIENTAÇÕES AO PROFESSOR:
Atividade 7 – O uso do papel quadriculado na intuição do conceito de área do retângulo
Objetivo
Construir retângulos determinados e calcular sua área.
Material utilizado
Atividade impressa em papel A4/ papel quadriculado.
Organização da turma
Individual.
Duração
3 aulas.
Desenvolvimento
Os alunos devem ser orientados a seguir o enunciado da atividade, onde farão, no papel
quadriculado, 3 retângulos com 24 quadradinhos, preenchendo a parte interna. Ao final da
tarefa cumprida, eles respondem a três perguntas, tendo, como objetivo principal, a criação
dos seus próprios conceitos de área do retângulo.
184
Exploração e
formulação de questões
Conjectura Testes e
reformulação
Justificação e
avaliação
Os alunos deverão
construir os retângulos no
papel quadriculado
fornecido na atividade,
entendendo que utilizarão,
para cada um, 24
quadradinhos em cada um
dos retângulos e que estes
deverão ser totalmente
preenchidos.
Os alunos
precisarão
perceber que a
situação trata-se
de área e não
perímetro de
figuras planas,
desenhando na
malha
quadriculada
corretamente.
Eles serão orientados
a verificar esta
diferenciação por
meio de debates entre
eles e, caso seja
necessário, reformular
a resposta da primeira
questão.
Os alunos
deverão deduzir,
por meio do
exercício, como
se dá a fórmula da
área do retângulo.
Fonte: Adaptado pela pesquisadora a partir de Van de Walle (2009) e Ponte, Brocardo e Oliveira
(2009, p.21).
185
O uso de malhas é um importante aliado no cálculo de áreas. Como sugerido
por Van de Walle (2009), funcionam como “régua” para seu cálculo, não importando o tipo
de malha: triangulares, quadrangulares, hexagonais. O interessante é fazer o aluno pensar e
entender a fundamentação do conceito.
Van de Walle (2009) acredita que alguns alunos podem se surpreender, quando este
descobre com a experimentação/investigação a conclusão de que “dois triângulos com a
mesma área não têm, necessariamente, o mesmo perímetro” (VAN DE WALLE, 2009,
p.416), reiterando que o fato não se restringe somente a triângulos, mas acontece, no caso da
atividade estudada, com retângulos. Ainda sobre as atividades, é sugerido, por ele, o registro
dos testes e reformulação, através de tabelas e gráficos (comprimento versus largura para
perímetro e comprimento versus área dos retângulos).
Deve haver uma compreensão clara sobre área para começar a pensar em fórmulas
para retângulos, segundo Van de Walle, que também explica que há certa confusão na mente
dos alunos sobre o conceito de área, e que deve ser revisada a multiplicação. Ele ainda
exemplifica que se deve mostrar aos alunos filas e colunas de objetos ou de quadrados,
discutindo por que a multiplicação informa uma quantidade total.
Sobre a área de um retângulo, Van de Walle explica que:
Quando os alunos formularem uma abordagem para a área, baseada na ideia de uma
fileira de quadrados (determinado pelo comprimento de um lado) multiplicado pelo
número dessas fileiras que se ajustam ao retângulo (determinado pelo comprimento
do outro lado), é o momento certo para consolidar essas ideias. [...]. Certifique-se de
que os estudantes concluam que qualquer lado pode ser a base. Se você usar a
fórmula A = b*h, então a mesma área resultará usando qualquer um dos lados como
a base. (VAN DE WALLE, 2009, p. 431).
O mesmo ocorre para a construção da área do quadrado, que será a atividade seguinte
a essa.
186
TAREFA
Faça, no papel quadriculado abaixo, 3 retângulos com 24 quadradinhos, preenchendo as suas
partes internas.
187
Agora responda:
1 – Qual é a área dos retângulos feitos por você?
__________________________________________________________________________
2 – Como você fez para descobrir o resultado das áreas?
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
3 – O que você pode concluir sobre o cálculo da área do retângulo?
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
188
Noção intuitiva do conceito de área do quadrado
ORIENTAÇÕES AO PROFESSOR:
Atividade 8 – Noção intuitiva do conceito de área do quadrado
Objetivo
Construir o conceito de área do quadrado através de ladrilhos quadrados.
Material utilizado
Papel emborrachado, atividade impressa em papel A4.
Organização da turma
Grupos.
Duração
5 aulas.
Desenvolvimento
Nesta atividade são entregues a cada aluno quadradinhos feitos com papel emborrachado, de
modo que, ao final da distribuição, sejam feitos três grupos na sala separados pelas cores dos
quadradinhos recebidos. Sendo:
Grupo 1: Cor azul
Grupo 2: Cor rosa.
Grupo 3: Cor salmão.
Cada grupo é estimulado a juntar os quadradinhos de mesma cor para formarem uma única
forma geométrica regular, cada grupo a sua. Montado os quadrados maiores, devem responder
aos questionamentos, de forma que intuitivamente construam o conceito de área do quadrado.
189
Exploração e
formulação de questões
Conjectura Testes e
reformulação
Justificação e
avaliação
Recorte, previamente, em
material emborrachado
(EVA), 20 quadradinhos
azuis, 16 cor de rosa e 9
de cor salmão (ou outras
cores que convierem) e
distribuir aos alunos. Cada
aluno receberá somente
uma das cores, pois isso
indicará a sua participação
em um grupo.
Os alunos de
cada grupo serão
motivados a
construir, com a
junção de todos
os
quadradinhos,
sem
sobreposição de
peças, uma
forma
geométrica
regular.
Os alunos deverão
perceber que, por já
terem sido estudados
os retângulos, haverá
a possibilidade de
construção de
quadrados. A partir
deste entendimento,
cada grupo fará a
construção do seu
quadrado.
Com o debate e a
verificação dos
quadrados
construídos pelos
outros grupos, os
alunos poderão
formular o
conceito de área
do quadrado.
Fonte: Adaptado pela pesquisadora a partir de Van de Walle (2009) e Ponte, Brocardo e Oliveira
(2009, p.21).
A ideia inicial de Van de Walle (2009) é desenvolver a medida de área através
da cobertura, ou seja, da sobreposição, sem introduzir fórmulas. É provável que os grupos
proponham medidas diferentes para a mesma região. Essa diferença deve ser discutida e
apontadas as dificuldades envolvidas em fazer estimativas ao redor da extremidade. Por isso,
deve-se evitar a ideia de que existe uma resposta certa. A única meta desta atividade é
compreender o sentido de área, estando distante do conceito de multiplicação das dimensões
para se obter o resultado de uma área.
190
TAREFA
A) Você recebeu quadradinhos de material emborrachado de uma cor determinada. Verifique se
você é do Grupo 1: Azul; Grupo 2: Rosa; ou Grupo 3: Salmão.
B) Agora, junto ao seu grupo, vocês devem juntar os quadradinhos para formarem uma única
forma geométrica regular, cada grupo a sua.
C) Ao final, vocês devem responder aos questionamentos, um por grupo:
1. Qual figura o grupo formou?
________________________________________________________________________________
2. Quantos quadradinhos tem a sua forma geométrica?
________________________________________________________________________________
3. Qual é a área da sua forma geométrica? Como foi feito o cálculo para descobrir o resultado?
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
4. Compare a sua forma geométrica com a dos outros grupos, qual a forma que construíram e
qual a diferença entre elas?
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
5. Qual o conceito que acabamos de descobrir?
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
1 2
3
191
Noção intuitiva do conceito de área do quadrado, a partir das peças do
Tangram
ORIENTAÇÕES AO PROFESSOR:
Atividade 9 – Noção intuitiva do conceito de área do quadrado, a partir das peças do
Tangram
Objetivos
Construir o Tangram.
Construir quadrados com as peças do Tangram, comparando as suas áreas.
Material utilizado
Papel A4 colorido, atividade impressa em papel A4, tesoura.
Organização da turma
Duplas.
Duração
6 aulas.
Desenvolvimento
Nesta atividade, os alunos são orientados a construírem o Tangram, seguindo o passo a passo
do material entregue a eles. A professora pode fazer junto com eles o passo a passo dessa
construção. Depois da construção do Tangram, cada dupla de alunos deve analisar e
identificar todas as suas peças. A seguir, os alunos respondem à folha de tarefa entregue a
eles. Para isso, o professor deve, a cada questão, desenvolver o debate em sala de aula,
buscando ampliar os conhecimentos obtidos e socializar as descobertas entre as duplas.
192
Exploração e
formulação de
questões
Conjectura Testes e
reformulação
Justificação e avaliação
Os alunos deverão
seguir o passo a passo
para a construção do
Tangram
Os alunos irão
reconhecer
cada uma das
peças que o
compõem,
verificando a
relação entre
elas.
A partir do
reconhecimento
feito, eles
deverão formar
quadrados, cada
vez com uma
peça a mais do
Tangram,
iniciando a
partir de duas
delas.
Como haverá construção
com mais de uma
possibilidade, será
interessante haver um
debate entre cada uma das
construções para que os
alunos verifiquem as
estratégias criadas pelos
colegas para essa
formulação. O professor
ainda poderá pedir que os
alunos meçam com a régua
padrão, os perímetros e as
áreas dos quadrados
formados em cada um dos
itens da atividade, fazendo
com que haja uma
consolidação sobre o
conceito de área do
quadrado.
Fonte: Adaptado pela pesquisadora a partir de Van de Walle (2009) e Ponte, Brocardo e Oliveira
(2009, p.21).
Van de Walle (2009) aconselha que se peguem as peças do Tangram para fazer
comparações de áreas de algumas formas. A ideia é verificar a área formada pela união de
peças do Tangram e fazer comparações de uma área em relação à outra. Trata-se da
criatividade e inspiração de quem o faz, na arte da aprendizagem.
193
Passo 1: Com uma folha de papel A4, obtenha um quadrado, através das seguintes dobragens
e recorte.
Passo 1 da construção do Tangram
Passo 2: Dobre o quadrado ao meio e recorte-o de modo a obter 2 triângulos (A e B).
Passo 2 da construção do Tangram
194
Passo 3: Dobre o triângulo A ao meio para obter 2 triângulos menores (1 e 2).
Passo 3 da construção do Tangram.
Passo 4: No triângulo B, marque o meio, dobre o vértice oposto e recorte-o para obter o
triângulo 3.
Passo 4 da construção do Tangram
Passo 5: Dobre o trapézio ao meio, volte a dobrar uma das partes e recorte-o de modo a obter
o triângulo 4 e o quadrado 5.
Passo 5 da construção do Tangram
195
Passo 6: Dobre o trapézio e recorte para obter o triângulo 6 e o paralelogramo 7.
Passo 6 da construção do Tangram
Passo 7: No fim, junte as figuras do Tangram e tente construir outras figuras.
Passo 7 da construção do Tangram
196
TAREFA
Complete corretamente as frases:
a) O Tangram é formado por ________ peças, são elas:
b) ______ triângulos grandes,
c) ______ triângulo médio
d) ______ triângulos pequenos;
e) ______ quadrado;
f) ______ paralelogramo
Com o Tangram, formar um quadrado usando:
a) Só duas peças.
________________________________________________________________________
b) Só três peças.
________________________________________________________________________
c) Só quatro peças.
________________________________________________________________________
d) Só cinco peças.
________________________________________________________________________
e) Seis peças.
________________________________________________________________________
f) Sete peças.
________________________________________________________________________
197
O uso do jornal na construção do conceito de áreas do retângulo e do
quadrado
ORIENTAÇÕES AO PROFESSOR:
Atividade 10 – O uso do jornal na construção do conceito de área do retângulo e
do quadrado
Objetivos
Medir as dimensões do jornal e calcular a área do retângulo.
(De) compor o jornal em um quadrado com recorte, medir as dimensões e calcular
sua área.
Material utilizado
Jornal, atividade impressa em papel A4, tesoura.
Organização da turma
Duplas.
Duração
4 aulas.
Desenvolvimento
Nesta atividade, com auxílio de uma folha de jornal, os alunos medem suas
dimensões, em seguida fazem o cálculo de sua área, com o objetivo de colocar em
prática a construção do conceito de área do retângulo, já feita em atividades
anteriores. Depois de fazer o cálculo da área do retângulo, os alunos são instruídos a
recortar o jornal fazendo dele um quadrado, para calcular sua área, colocando em
prática o conceito de área do quadrado.
198
Exploração e
formulação de questões
Conjectura Testes e
reformulação
Justificação e
avaliação
Os alunos deverão,
primeiramente, receber
uma folha de jornal para
medir suas dimensões.
Após, farão o cálculo da
sua área e de seu
perímetro.
Eles serão
incentivados e
fazer da folha de
jornal retangular
um quadrado.
Para isso
deverão pensar
em uma
estratégia que
seja adequada
para resolver ao
que foi pedido.
Os alunos irão dobrar
e/ou recortar o jornal,
da maneira como
preferirem, sendo que,
a partir disso,
calcularão a área do
quadrado construído e
seu perímetro.
Deixe os alunos
explicarem quais
as estratégias
serão usadas para
construírem o
quadrado e, por
meio de discussão
entre eles,
resolver sobre a
semelhança entre
o perímetro e a
área das duas
figuras, além da
relação entre elas.
Fonte: Adaptado pela pesquisadora a partir de Van de Walle (2009) e Ponte, Brocardo e Oliveira
(2009, p.21).
O objetivo da atividade é instigar os alunos a associarem o cálculo de áreas do
retângulo e do quadrado à ideia de multiplicação. Para Van de Walle (2009), quando acontece
a socialização das ideias entre os participantes da resolução da atividade, o raciocínio fica
satisfeito e o conceito de área refinado.
199
TAREFA
Você recebeu uma folha de jornal. Agora, faça o que se pede:
1. Meça o perímetro desta folha, utilizando a régua padrão. Qual a medida encontrada? Mostre o
cálculo feito.
2. Calcule a área da folha do jornal. Qual a medida encontrada? Mostre o cálculo feito.
3. Recorte a folha de jornal, formando, assim, um quadrado. Como você fez para transformar o
jornal em um quadrado?
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
4. Qual o perímetro do quadrado formado? Mostre o cálculo feito.
5. Qual a área do quadrado? Mostre o cálculo feito.
6. O que há de semelhante entre o perímetro das figuras?
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
7. O que há de semelhante entre as áreas da figura?
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
200
Construção do conceito de área do paralelogramo
ORIENTAÇÕES AO PROFESSOR:
Atividade 11 – Construção do conceito de área do paralelogramo
Objetivos
(De)compor o retângulo em paralelogramo.
Construir o conceito de área e seu cálculo.
Material utilizado
Folha A4 colorida, atividade impressa em papel A4, tesoura, régua padrão.
Organização da turma
Duplas.
Duração
3 aulas.
Desenvolvimento
Nesta atividade, os alunos recebem uma folha A4 e são instruídos a fazerem o corte e
a montagem como orientado na folha impressa contendo o passo a passo da
(de)composição do retângulo em paralelogramo. Feito o paralelogramo, em duplas,
devem pensar em uma maneira intuitiva de calcular sua área, respondendo aos itens
da atividade.
201
Exploração e
formulação de questões
Conjectura Testes e
reformulação
Justificação e
avaliação
Forneça aos alunos uma
folha de papel A4
orientando-os para que
construam, a partir dela,
um paralelogramo.
Para a
construção será
fornecido um
passo a passo.
Os alunos deverão
criar estratégias para
entender a relação
entre as áreas do
retângulo e do
paralelogramo.
A tarefa dos
alunos será
determinar a área
desse
paralelogramo.
Incentive o debate
entre os alunos a
fim de verificar as
conjecturas a
partir do passo a
passo realizado
Fonte: Adaptado pela pesquisadora a partir de Van de Walle (2009) e Ponte, Brocardo e Oliveira
(2009, p.21).
A ideia sugerida por Van de Walle para área dos paralelogramos é que os
alunos transformem os retângulos em paralelogramos, uma vez que já entenderam a fórmula
de retângulo, de base vezes altura,
Van de Walle (2009) detalha que, se os alunos “ficarem desorientados”, o professor
deve pedir a eles que, de alguma forma, transformem o paralelogramo em retângulo. Eles
devem saber, através de suas construções/conclusões, que um paralelogramo sempre pode ter
as mesmas dimensões do retângulo, base, altura e área, e, assim, a fórmula de área de um
paralelogramo fica evidente, que é exatamente a área de um retângulo: base vezes altura.
202
Você recebeu uma folha tamanho A4. Agora construa um
paralelogramo:
Faça o corte como indicado na figura abaixo:
Passo 1: Recorte no retângulo para a montagem do
paralelogramo.
O triângulo originado com o corte deve ser colocado no lado oposto da figura, conforme
figura a seguir:
Passo 2: Montagem do paralelogramo.
Passo 3: Paralelogramo formado
203
TAREFA
Agora, responda ao que se pede:
1. Usando uma régua padrão, meça as dimensões do paralelogramo construído por você por
meio dos recortes, base (b) e altura (h), e escreva-as abaixo:
2. Calcule a área do paralelogramo que você construiu. Mostre a conta no espaço abaixo.
3. Como você fez o cálculo da área do paralelogramo? Explique.
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
4. O que você pode concluir sobre o cálculo de área do paralelogramo?
_______________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
204
Construção do conceito de área do triângulo
ORIENTAÇÕES AO PROFESSOR:
Atividade 12 – Construção do conceito de área do triângulo
Objetivos
(De)compor o retângulo em triângulo.
Construir o conceito de área do triângulo e seu cálculo.
Material utilizado
Folha A4 colorida, atividade impressa em papel A4, tesoura, régua padrão.
Organização da turma
Duplas.
Duração
4 aulas.
Desenvolvimento
Nessa atividade, os alunos recebem uma folha A4 colorida e são instruídos a fazer o
corte e a montagem como orientado na folha impressa, onde se encontra o passo a
passo da (de)composição do retângulo em triângulo. Feito o triângulo, em duplas,
devem pensar em uma maneira intuitiva de calcular sua área, respondendo aos itens
da atividade.
205
Exploração e
formulação de questões
Conjectura Testes e
reformulação
Justificação e
avaliação
Forneça aos alunos uma
folha de papel A4
orientando-os para que
construam, a partir dela,
um triângulo.
Para a
construção será
fornecido um
passo a passo.
Os alunos deverão
criar estratégias para
entender a relação
entre as áreas do
retângulo e do
triângulo construído.
A tarefa dos
alunos será
determinar a área
desse triângulo.
Incentive o debate
entre os alunos, a
fim de verificar as
conjecturas a
partir do passo a
passo realizado.
Fonte: Adaptado pela pesquisadora a partir de Van de Walle (2009) e Ponte, Brocardo e Oliveira
(2009, p.21).
Baseado em uma abordagem de resolução de problemas, Van de Walle,
exemplifica, com uma atividade, a área do triângulo, sugerindo o conceito de área dos
paralelogramos para se chegar ao conceito de área dos triângulos.
Neste ínterim, Van de Walle (2009) oferece, ainda, algumas estratégias que o
professor pode utilizar com seus alunos, caso “fiquem desorientados”, conforme segue:
Você pode achar um paralelogramo (retângulo) que se relaciona de alguma maneira
a seu triângulo? Se isso não é suficiente, sugira que eles dobrem um pedaço de papel
e o recortem fazendo duas cópias idênticas. Eles devem usar as cópias para descobrir
como um triângulo se relaciona a um paralelogramo. [...] A área de um triângulo
será então, metade da área do paralelogramo formado. (VAN DE WALLE, 2009, p.
431). (Grifo nosso).
206
Você recebeu uma folha tamanho A4. Faça recortes nela, de acordo com a figura abaixo:
Figura 1: Recorte no retângulo para montagem do triângulo
Figura 2: Triângulo formado
207
TAREFA
1. Usando uma régua padrão, meça as dimensões do triângulo construído por você,
base (b) e altura (h), inserindo-as aqui:
2. Calcule a área da figura formada. Apresente, no espaço abaixo, a conta que foi feita.
3. O que é a área do triângulo em relação à área do retângulo?
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
4. Qual o conceito que acabamos de descobrir?
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
5. Explique e anote, no espaço abaixo, suas conclusões.
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
208
Construção do conceito de área do losango
ORIENTAÇÕES AO PROFESSOR:
Atividade 13 – Construção do conceito de área do losango.
Objetivos
(De)compor o retângulo em losango.
Construir o conceito de área do losango e seu cálculo.
Material utilizado
Folha A4 colorida, atividade impressa em papel A4, tesoura, régua padrão.
Organização da turma
Duplas.
Duração
4 aulas.
Desenvolvimento
Nesta atividade, os alunos recebem uma folha A4 e são instruídos a fazerem o corte e
a montagem, como orientado na folha impressa, do losango. Ela apresenta o passo a
passo da (de)composição do retângulo em losango. Feito isso, em duplas, devem
pensar em uma maneira intuitiva de calcular sua área, respondendo aos itens da
atividade.
209
Exploração e
formulação de questões
Conjectura Testes e
reformulação
Justificação e
avaliação
Forneça aos alunos uma
folha de papel A4
orientando-os para que
construam, a partir dela,
um losango.
Para a
construção será
fornecido um
passo a passo.
Os alunos deverão
criar estratégias para
entender a relação
entre as áreas do
retângulo e do losango
construído.
A tarefa dos
alunos será
determinar a área
desse losango.
Incentive o debate
entre os alunos, a
fim de verificar as
conjecturas a
partir do passo a
passo realizado.
Fonte: Adaptado pela pesquisadora a partir de Van de Walle (2009) e Ponte, Brocardo e Oliveira
(2009, p.21).
210
Você recebeu uma folha tamanho A4. Faça recortes nela, de acordo com a figura abaixo:
Figura 1: Recorte no retângulo para construção do losango
Figura 2: Losango formado
211
TAREFA
1. Calcule a área da figura formada por você após o recorte. Apresente, no espaço abaixo,
a conta que foi feita.
2. O que é a área do losango em relação à área do retângulo?
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
3. Qual o conceito que acabamos de descobrir?
__________________________________________________________________________
4. Explique e anote, no espaço abaixo, suas conclusões.
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
212
Construção do conceito de área do trapézio
ORIENTAÇÕES AO PROFESSOR:
Atividade 14 – Construção do conceito de área do trapézio
Objetivos
(De)compor o retângulo em trapézio.
Construir o conceito de área do trapézio e seu cálculo.
Material utilizado
Folha A4 colorida, atividade impressa em papel A4, tesoura, régua padrão.
Organização da turma
Duplas.
Duração
6 aulas
Desenvolvimento
Na atividade 14, os alunos recebem uma folha A4 e são instruídos a fazerem o corte e
a montagem do trapézio como orientado na folha impressa, na qual se encontra o
passo a passo da (de)composição do retângulo em trapézio. Feito isso, em duplas,
devem pensar em uma maneira intuitiva de calcular sua área, respondendo aos itens
da atividade.
Nesta atividade, os alunos podem ter mais dificuldade que as demais, por ser um
conceito mais complexo para a idade-série deles. Mesmo assim, por meio de debates
em conjunto com a turma, o professor pode desafiar e construir junto com seus alunos
o conceito da área do trapézio, socializando informações e ampliando os
conhecimentos.
213
Exploração e
formulação de questões
Conjectura Testes e
reformulação
Justificação e
avaliação
Forneça aos alunos uma
folha de papel A4
orientando-os para que
construam, a partir dela,
um trapézio.
Para a
construção será
fornecido um
passo a passo.
Os alunos deverão
criar estratégias para
entender a relação
entre as áreas do
retângulo e do
trapézio construído.
A tarefa dos
alunos será
determinar a área
desse trapézio.
Incentive o debate
entre os alunos, a
fim de verificar as
conjecturas a
partir do passo a
passo realizado.
Como esta é uma
figura que pode
trazer um pouco
mais de
dificuldade do
que as demais até
o momento,
convém a maior
socialização de
informações entre
colegas e
professor(a).
Fonte: Adaptado pela pesquisadora a partir de Van de Walle (2009) e Ponte, Brocardo e Oliveira
(2009, p.21).
214
Van de Walle acredita que os alunos terão curiosidade de investigar a
construção de área dos trapézios, depois de desenvolverem as construções de áreas anteriores,
sem qualquer auxílio adicional. Ele afirma a existência de dez métodos para se chegar a este
conceito, relacionando-o à área do triângulo ou do paralelogramo, sendo todas essas fórmulas
conectadas, com o uso de métodos semelhantes. Eis sugestões de como conduzir diferentes
abordagens:
Construção de um paralelogramo dentro do determinado trapézio usando três de seus
lados;
Construção de um paralelogramo usando três lados que cercam o trapézio;
Desenho de uma diagonal formando dois triângulos;
Desenho de um segmento de reta pelos pontos médios dos lados não paralelos. O
comprimento desse segmento é a média dos comprimentos dos dois lados paralelos;
Desenho de um retângulo dentro do trapézio, deixando dois triângulos e então
reunindo esses triângulos.
Ao revisar as fórmulas, Van de Valle conclui sobre área de trapézios, como segue:
Trapézios também estão relacionados a paralelogramos e triângulos. Por exemplo
todos os trapézios podem formar dois triângulos. As alturas de cada um deles são a
mesma. Use B para o lado paralelo mais longo e b para o menos e a área do trapézio
será ½ (B*h) + ½ (b*h) (Embora isso possa ser simplificado, essa versão da fórmula
é um modo mais fácil de ser lembrado e reforça o processo utilizado). (VAN DE
WALLE, 2009, p. 434).
215
Você recebeu uma folha tamanho A4. Faça recortes nela, de acordo com a figura abaixo:
Figura 1: Recorte no retângulo para montagem do trapézio.
Faça o corte na folha retangular como indicado na figura acima. Depois vire um dos pedaços e
alinhe-os como na figura abaixo.
Figura 2: Montagem do trapézio
Figura 3: Trapézio formado
216
TAREFA
1. Após o recorte realizado, calcule a área da figura formada por você. Apresente, no espaço
abaixo, a conta que foi feita.
2. O que é a área do trapézio em relação à área do retângulo?
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____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
3. Qual o conceito que acabamos de descobrir?
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
4. Explique e anote, no espaço abaixo, suas conclusões.
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
217
Praticando o que aprendemos sobre áreas de figuras planas
ORIENTAÇÕES AO PROFESSOR:
Atividade 15 – Praticando o que aprendemos sobre áreas de figuras planas
Objetivo
Calcular a área das figuras planas de acordo com a aprendizagem sobre construção
dos seus conceitos.
Material utilizado
Atividade impressa em papel A4.
Organização da turma
Individual.
Duração
2 aulas.
Desenvolvimento
A proposta da Atividade 15 é verificar a aprendizagem do aluno, após o
desenvolvimento das demais atividades e debates em sala de aula, permitindo a(o)
professor(a) fazer a constatação da aprendizagem ou da defasagem do aluno nos
conceitos de área de figuras planas. A partir dos resultados aqui obtidos, tem-se a
orientação de se criar novas atividades, caso os objetivos não tenham sido alcançados.
218
Exploração e
formulação de questões
Conjectura Testes e
reformulação
Justificação e
avaliação
Reveja oralmente com os
alunos sobre as formas
estudadas e os conceitos
de cada uma de suas áreas,
relembrando as atividades
anteriores.
Com uma régua
padrão, ou
utilizando o
quadriculado da
malha da
atividade onde
se encontram as
figuras da
atividade
(considerando-
as como unidade
de medida), o
aluno deverá
conjecturar
formas de
encontrar as
medidas das
áreas das
figuras.
O aluno determinará
as medidas das áreas
das figuras ali
colocadas. Outra
possibilidade será o
professor pedir, ainda,
que os alunos
encontrem seus
respectivos
perímetros.
Os resultados aqui
encontrados
permitirão ao
professor a
verificação da
aprendizagem dos
alunos relacionada
à formulação do
conceito de áreas
de figuras planas
estudadas até o
momento e,
consequentemente,
a necessidade de
novas atividades,
sanando as dúvidas
que, por ventura,
existam.
Fonte: Adaptado pela pesquisadora a partir de Van de Walle (2009) e Ponte, Brocardo e Oliveira
(2009, p.21).
219
TAREFA
Identifique cada figura geométrica plana abaixo, nomeie-as, e calcule sua área nos
espaços ao lado de cada uma delas:
a)
b)
c)
d)
220
Orientações ao professor:
Fonte: Elaborado pela autora.
e)
f)
221
(De)composição de figuras planas no conceito de área
ORIENTAÇÕES AO PROFESSOR:
Atividade 16 - (De)composição de figuras planas no conceito de área
Objetivo
Calcular a área das figuras planas de acordo com a (de)composição.
Material utilizado
Atividade impressa em papel A4.
Organização da turma
Dupla.
Duração
2 aulas.
Desenvolvimento
A Atividade 16 se propõe a avaliar novamente os alunos, no cálculo de área das
figuras planas, através da sua (de)composição, e espera-se que o aluno conclua e
formalize tais conceitos estudados no decorrer das atividades investigativas, foco da
pesquisa realizada.
222
Exploração e
formulação de questões
Conjectura Testes e
reformulação
Justificação e
avaliação
Reveja com os alunos
sobre as formas estudadas
e suas (de)composições a
partir do retângulo.
Utilizando o
quadriculado da
malha da
atividade onde se
encontram as
figuras da
atividade, os
alunos precisarão
traçar os
retângulos,
pensando nas
(de)composições
realizadas nas
atividades
anteriores.
O aluno determinará
as medidas das áreas
das figuras ali
colocadas, assim
como dos retângulos
desenhados a partir
dessas figuras.
Por meio de um
debate, o
professor poderá
incentivar que os
alunos deduzam
as fórmulas das
áreas das figuras
estudadas, a partir
dos conceitos
construídos.
Ainda para
finalizar o rol de
atividades, será
interessante que
os alunos façam
uma avaliação das
atividades
investigativas
realizadas,
oferecendo a(o)
professor(a) um
feedback a
respeito de todo o
trabalho
realizado.
Fonte: Adaptado pela pesquisadora a partir de Van de Walle (2009) e Ponte, Brocardo e Oliveira
(2009, p.21).
223
TAREFA
1. Em cada forma geométrica abaixo, complete usando o quadriculado, formando, assim,
um retângulo:
A)
B)
C)
224
D)
2. Calcule a área do retângulo formado e da figura inicial. Faça comparações dos
resultados de cada item separadamente, nos retângulos ao lado.
A) Área do retângulo:
Área da figura inicial:
B) Área do retângulo:
Área da figura inicial:
C) Área do retângulo:
Área da figura inicial:
D) Área do retângulo:
Área da figura inicial:
3. O que você pode concluir a respeito dos conceitos de áreas estudados até agora?
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
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225
D'AMORE, Bruno. Elementos de Didática da Matemática. São Paulo: Editora Livraria da
Física, 2007.
PONTE, João Pedro da; BROCARDO, Joana; OLIVEIRA; Hélia. Investigações
Matemáticas na Sala de Aula. Belo Horizonte: Autêntica Editora, 2009.
VAN DE WALLE, John A. O pensamento e os conceitos geométricos. In: VAN DE WALLE,
John A. Matemática no ensino fundamental: formação de professores e aplicação em sala
de aula. São Paulo: Papirus, 2009. p. 437-484.
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