View
60
Download
5
Category
Preview:
DESCRIPTION
sstatika ,metoda pomaka
Citation preview
METODA POMAKA Metoda pomaka je metoda proračuna statički neodređenih sustava u kojoj su nepoznanice translacijski i rotacijski pomaci odabranih točaka nosača koje nazivamo čvorovima. Čvor - točka u kojoj se spajaju dva ili više štapova, ili kraj štapa
4
5
qF1 F21
6
32
Y
X Svaki čvor u ravnini ima tri neovisna pomaka:
iU - pomak čvora i na pravcu osi X
iV - pomak čvora i na pravcu osi Y
iΦ - zaokret poprečnog presjeka u čvoru i oko osi Z Svi štapovi koji su kruto spojeni u jednom čvoru imaju u njemu jednake pomake.
ij
k
lϕij
ϕik
ϕil
iilikij Φ=ϕ=ϕ=ϕ
− Točna metoda pomaka: sva tri pomaka čvora uzimaju se kao nepoznanice
− Inženjerska metoda pomaka (približna metoda pomaka): broj nepoznanica se smanjuje jer se zanemaruju uzdužne deformacije ravnih grednih elemenata. Metoda je pogodna za konstrukcije kod kojih deformacije nastaju dominantno od savijanja.
Stupanj kinematičke neodređenosti sustava: ukupan broj međusobno neovisnih pomaka U inženjerskoj metodi pomaka nepoznanice su:
− kutovi zaokreta slobodnih (nepridržanih) čvorova − neovisni translacijski pomaci (ako ih ima)
Vedrana Kozulić Tehnička mehanika 2 – Metoda pomaka 1
Oblik deformirane konstrukcije Prije početka analize statički neodređenih sustava metodom pomaka, potrebno je imati predodžbu o očekivanom ponašanju konstrukcije pod djelovanjem zadanog opterećenja.
Primjer: Deformacijski oblici i momentni dijagrami za portalni okvir sa zglobnim osloncima
a)
M
b)
M
c)
M
slučajevi opterećenja a) i b): - simetrični deformacijski oblici i dijagrami momenata
- za analizu su potrebne četiri varijable pomaka: zaokreti u oslonačkim točkama i na svakom kraju horizontalne grede
slučaj opterećenja c): - antisimetrični deformacijski oblik i dijagram momenata
- za analizu je potrebno pet varijabli pomaka: četiri zaokreta čvorova i horizontalni pomak gornje grede
Vedrana Kozulić Tehnička mehanika 2 – Metoda pomaka 2
Primjer: Deformacijski oblici i momentni dijagrami za portalni okvir s upetim osloncima
a)
M
b)
M
c)
M
Osnovne razlike u odnosu na nosač sa zglobnim osloncima:
• Budući da nema zaokreta u osloncima, broj nepoznatih pomaka se reducira za dva
• Kako bi bio ispunjen uvjet da je zaokret u osloncu jednak nuli, na svakom stupu se javlja promjena zakrivljenosti odnosno točka infleksije
• Dodatno ograničenje pomaka na osloncima povećava cjelokupnu krutost konstrukcije, te su općenito pomaci točaka manji
Vedrana Kozulić Tehnička mehanika 2 – Metoda pomaka 3
Princip metode pomaka Razmatra se konstrukcija na crtežu a).
PA B
C
A B
C
A B
C
P PM M M1
M2(c)(b)(a)
svi čvorovi su upeti čvor B se otpušta
− Zamislimo da su postavljene veze koje spriječavaju zaokrete u svim čvorovima (crtež b) → svaki element sustava se ponaša kao obostrano upeta greda.
− Javljaju se momenti upetosti M
− Otpušta se veza u čvoru B koja spriječava zaokret
− U čvoru B javlja se neravnoteža momenata
− Čvor B se zaokreće sve dok se ne postigne ravnotežni položaj (crtež c)
− Zaokretom čvora B postignuta je ravnoteža momenata u tom čvoru, ali se istovremeno javljaju dodatni momenti u čvorovima A i C. Time je neuravnoteženi moment u čvoru B preraspodijeljen na ostale dijelove konstrukcije.
Konačne vrijednosti momenata dobivaju se superpozicijom momenata za stanje spriječenih pomaka čvorova (stanje pune upetosti) i momenata za stanje slobodnih pomaka:
mMM +=
Postupak proračuna statički neodređenih sustava metodom pomaka:
1) razmatranjem geometrije konstrukcije i opterećenja koje na nju djeluje, identificiraju se nepoznati pomaci čvorova koji će biti osnovne varijable u analizi;
2) korištenjem svojstava krutosti pojedinih elemenata konstrukcije, formuliraju se jednadžbe koje povezuju djelujuće opterećenje i pomake čvorova s momentima na krajevima štapova;
3) iz uvjeta ravnoteže momenata u čvorovima dobiva se sustav jednadžbi čije rješenje predstavlja tražene pomake čvorova;
4) uvrštavanjem vrijednosti pomaka čvorova u jednadžbe krutosti formirane u 2), određuju se momenti na krajevima štapova;
5) reakcije, poprečne sile i uzdužne sile nalaze se korištenjem uvjeta ravnoteže pojedinih elemenata ili dijelova konstrukcije.
Vedrana Kozulić Tehnička mehanika 2 – Metoda pomaka 4
Konvencija o predznacima i označavanje
Identifikacija štapova kao elemenata konstrukcije koji spajaju čvorove: i jm
Konvencija o predznacima:
Momenti savijanja na krajevima štapa, kutovi zaokreta krajeva štapa i relativni pomak jednog kraja štapa u odnosu na drugi kraj uzimaju se kao pozitivni ako imaju smjer suprotno od kretanja kazaljke na satu.
KUT ZAOKRETA ČVORA
x
y
ji ϕi
ϕj
+
POMACI KRAJEVA ŠTAPA
δj
ji
δiψ
+
ij
ψ
+
MOMENTI SAVIJANJA NA KRAJEVIMA ŠTAPA POPREČNE SILE NA KRAJEVIMA ŠTAPA
i
Mij Mji
j
i
Tij
Tjij
+ +
LijLij
ij
jiijjiij L
MMTT
+==
MOMENTI SAVIJANJA U ČVORU i
j
k
lMij
Mik
Mil
+
Sile na kraju štapa – sile kojima čvor djeluje na kraj štapa; Sile u čvoru – sile kojima kraj štapa djeluje na čvor. Označavanje momenata:
ijM označava moment na štapu ij u čvoru i
jiM označava moment na štapu ij u čvoru j
Vedrana Kozulić Tehnička mehanika 2 – Metoda pomaka 5
Proračun unutarnjih sila Ukupne sile na krajevima štapa mogu se dobiti superpozicijom partikularnih rješenja. Prvo partikularno rješenje: određivanje momenata savijanja na obostrano upetom štapu za zadano opterećenje (momenti upetosti ABM i BAM , crtež b) Drugo partikularno rješenje: određivanje sila na krajevima neopterećenog štapa koji na krajevima ima pomake - zaokrete krajeva štapa ( Aϕ i Bϕ ) i njihov relativni pomak (δ) (crtež c).
ϕA
ϕB
δA B
P1 P2
MAB
TAB
MBA
TBA
ϕA
ϕB
δA B
mAB
tAB
mBA
tBA
A BMAB
MBAP1 P2
a)
b)
c)
Konačne vrijednosti momenata na krajevima štapa (crtež a) dobivaju se:
ABABAB mMM += ; BABABA mMM += Pomaci krajeva štapa su nepoznate veličine koje će se naknadno odrediti.
Vedrana Kozulić Tehnička mehanika 2 – Metoda pomaka 6
Sile na krajevima štapa od pomaka čvorova. Koeficijenti krutosti. Sile na krajevima neopterećenog štapa za stanje slobodnih pomaka čvorova su poprečne sile ( i ) i momenti savijanja ( i ). ABt BAt ABm BAm
ϕA
ϕB
δA B
mAB
tAB
mBA
tBA
L
x
Štap između čvorova A i B za ravnotežno stanje zadovoljava diferencijalnu jednadžbu:
Mdx
vdIE 2
2=
Moment na udaljenosti x od kraja A može se napisati kao: xtmM ABAB −−=
Rješavanjem jednadžbe xtmdx
vdIE ABAB2
2−−= dobiva se veza između momenta savijanja na
kraju štapa ( ) i pomaka na krajevima štapa (ABm Aϕ , Bϕ i δ):
δ+ϕ+ϕ= 2BAAB LEI6
LEI2
LEI4m
Analognim postupkom se dobiva izraz i za moment na drugom kraju štapa:
δ+ϕ+ϕ= 2ABBA LEI6
LEI2
LEI4m
Općenito, za štap koji spaja čvorove i i j, analitički izrazi za momente na krajevima štapa su:
δ⋅+ϕ⋅+ϕ⋅=
δ⋅+ϕ⋅+ϕ⋅=
jijjiijiji
ijjijiijij
cabm
cbam
Relativni pomak krajeva štapa:
jiij vv −=δ - razlika apsolutnih pomaka krajeva štapa okomitih na os štapa Koeficijenti koji uspostavljaju vezu između momenata na krajevima štapa i pomaka zovu se koeficijenti krutosti:
LIE4aa jiij == ;
LIE2bb jiij == ; 2jiij L
IE6cc ==
ija → moment u čvoru i štapa ij koji se javlja usljed djelovanja jediničnog kuta zaokreta u
čvoru i dok je istovremeno spriječen zaokret čvora j
Vedrana Kozulić Tehnička mehanika 2 – Metoda pomaka 7
ijb → moment u čvoru i štapa ij koji se javlja usljed djelovanja jediničnog kuta zaokreta u
čvoru j dok je istovremeno spriječen zaokret čvora i
Štap koji je na jednom kraju kruto, a na drugom zglobno vezan
Za zglobnu vezu na kraju (i) štapa (i)-(j):
( )ij
ijjiji
ijjijiijij
acb
0cbam
δ⋅+ϕ⋅−=ϕ→
=δ⋅+ϕ⋅+ϕ⋅=
ji
Uvrštavanjem izraza za iϕ u izraz za dobiva se: jim
δ⋅+ϕ⋅=
−=−=
δ⋅⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−+ϕ⋅⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
cjij
cjiji
ij
ijijji
cji
ij
2ij
jicji
ij
ijijjij
ij
2ij
jiji
cam
acb
cc ; ab
aa
acb
cab
am
Koeficijenti krutosti: 2cji
cji L
IE3c ; LIE3a ==
δ⋅+ϕ⋅=→ 2jji LIE3
LIE3m
Vedrana Kozulić Tehnička mehanika 2 – Metoda pomaka 8
Momenti upetosti To su momenti koji se javljaju na upetim krajevima štapa usljed zadanog opterećenja. Mogu se odrediti pomoću diferencijalne jednadžbe elastične linije nosača:
Mdx
vdEI 2
2=
Npr. greda opterećena koncentriranom silom na udaljenosti a od kraja A.
A B
a b
P
L
MABMBA
VA VBx
PMAB
M
VA
Diferencijalna jednadžba elastične linije nosača je:
)ax(PxVMdx
vdEI AAB2
2−−+−=
Rješavanjem jednadžbe dobiva se: 2
2AB
LbaPM +=
Sličnim postupkom dobilo bi se:
x
M
BP MBA
VB
2
2BA
LbaPM −=
Za djelovanje koncentrirane sile u sredini raspona:
2Lba == →
8LPMAB += ;
8LPMBA −=
Analognim postupkom, za jednoliko distribuirano opterećenje q:
12LqM
2AB += ;
12LqM
2BA −=
Greda koja je na jednom kraju upeta a na drugom slobodno oslonjena
A BMab Mba
Za poznatu veličinu aktivnog krajnjeg momenta abMmoment na upetom kraju iznosi:
abba M21M =→ (prijenosni moment)
Vedrana Kozulić Tehnička mehanika 2 – Metoda pomaka 9
Momenti upetosti usljed pomaka oslonaca Usljed pomicanja oslonca, greda se rotira kao kruto tijelo (rotacija ψ ). Ako se oslonac A slegne za veličinu δ:
δ ψ
Mab MbaA B
L
Lδ=ψ
slijedi:
ψ−=δ
−== LIE6
LIE6MM 2baab
Ako se oslonac B slegne za veličinu δ:
A BMab Mba
δψ
L
Lδ=ψ
slijedi:
ψ=δ
== LIE6
LIE6MM 2baab
Momenti upetosti za štap koji je na jednom kraju kruto, a na drugom zglobno vezan
ji q
ij
jiijjiji
uiji
cji
ij
ijuiij
uiij
cij
abM
MMbM
aM
0MaM
⋅−=+ϕ⋅=
−=ϕ⇒=+ϕ⋅=
Za štap konstantnog poprečnog presjeka:
LIE4aij = ;
LIE2bij = ; jiij bb = →
21
ab
ij
ji = ⇒ ijjicji M
21MM −=
Npr. za jednoliko raspodjeljeno opterećenje q:
A B
q Mbac
L
Momenti upetosti za obostrano upeti štap:
12LqM
2ab += ;
12LqM
2ba −=
12Lq
21
12LqM
22cba −−=
8LqM
2cba −=→
Vedrana Kozulić Tehnička mehanika 2 – Metoda pomaka 10
Za opterećenje koncentriranom silom u polovini raspona:
A BL/2
P
L/2
Mbac
Momenti upetosti za obostrano upeti štap:
8LPMab += ;
8LPMba −=
8LP
21
8LPM c
ba −−=
16LP3M c
ba −=→
Pomaci oslonaca:
A B
δψ
L
Mbac
ψ=δ
=L
IE3L
IE3M 2c
ba
A B
δ ψ
L
Mbac
ψ−=δ
−= LIE3
LIE3M 2
cba
Vedrana Kozulić Tehnička mehanika 2 – Metoda pomaka 11
TABLICA MOMENATA UPETOSTI
L
jiq
Mij
q L /8 2
Mji
Mij Mji
12LqM
2ij = ;
12LqM
2ji −=
L
jiq
qL /8 2
Mij
Mij
8LqM
2ij = ; 0M ji =
L/2
ji
P
P L/4
L/2
Mij
Mij Mji
Mji
8LPMij = ;
8LPM ji −=
ji
P
L/2 L/2
P L/4
Mij
Mij
16LP3Mij = ; 0M ji =
Vedrana Kozulić Tehnička mehanika 2 – Metoda pomaka 12
Uvjeti ravnoteže Izrazi za ukupne veličine momenata savijanja na krajevima štapa (i)-(j):
jiij
ij
iji
ijj
ijji
ijij
ij
ijj
iji
ijij
MLLIE6
LIE2
LIE4M
MLLIE6
LIE2
LIE4M
+δ
+ϕ+ϕ=
+δ
+ϕ+ϕ=
Uvodeći oznaku za fleksijsku krutost štapa i zaokret štapa kao krutog tijela : ijk ijψ
ijij L
IEk = ; ij
ijij L
δ−=ψ
može se pisati:
jiijijiijjijji
ijijijjijiijij
Mk6k2k4M
Mk6k2k4M
+ψ−ϕ+ϕ=
+ψ−ϕ+ϕ=
Nepomični sustavi: translacijski pomaci imaju zanemariv utjecaj na rezne sile
Pomični sustavi: translacijski pomaci su bitni; oni su funkcija neovisnih translacijskih pomaka Uvjeti ravnoteže momenata u čvorovima nepomičnog konstruktivnog sustava Za svaki slobodni čvor postavlja se po jedan uvjet ravnoteže momenata. Za čvor (i):
0)Mm(0M)j(
ijij)j(
ij =+→= ∑∑
ijm − moment na kraju (i) štapa (i)-(j) za stanje slobodnih pomaka
ijM − moment upetosti na kraju (i) štapa (i)-(j)
∑∑ −=δ⋅+ϕ⋅+ϕ⋅→)j(
ij)j(
ijijjijiij M)cba(
Rješenje sustava jednadžbi ravnoteže su vrijednosti zaokreta čvorova. Momenti na krajevima štapova su: ijijij MmM +=
Konačne poprečne sile na krajevima štapova:
ij
jiij0ijij L
MMTT
++=
ij
jiij0jiji L
MMTT
++=
ji
Tij0 Tji
0
Uzdužne sile - određuju se iz uvjeta ravnoteže čvorova ili dijelova konstrukcije. ijN
Vedrana Kozulić Tehnička mehanika 2 – Metoda pomaka 13
Primjer: GREDNI NOSAČ PREKO TRI OSLONCA
- jedan neovisni kut zaokreta
Momenti upetosti:
L
1
q
L
2
3EI EIϕ2
12LqM
12LqM
12LqM
12LqM
2
32
2
23
2
21
2
12
−==
−==
Momenti na krajevima štapova:
12Lq
LIE4M
12Lq
LIE2M
2
223
2
212
+ϕ⋅=
+ϕ⋅=
12Lq
LIE2M
12Lq
LIE4M
2
232
2
221
−ϕ⋅=
−ϕ⋅=
Jednadžba ravnoteže čvora (2): 0MM0M 23212 =+→=∑
12Lq
12Lq
LIE4L
IE422
22 −=ϕ⋅+ϕ⋅
Jednadžba ravnoteže cijelog sistema ima oblik:
00LIE8 22 =ϕ⇒=ϕ⋅
Slijedi: 12LqM ,
12LqM ,
12LqM ,
12LqM
2
32
2
23
2
21
2
12 −==−==
Poprečne sile: 012
211212 T
LMM
T ++
= 2Lq
2Lq
L12Lq
12Lq
T
22
12 =+−
=
Dijagrami unutrašnjih sila:
qL/2qL /122
qL /242
qL /122
qL /122
qL /242M12
M21 M23 M32
Mx
+− −
+qL/2
qL/2
qL/2
Tx
Vedrana Kozulić Tehnička mehanika 2 – Metoda pomaka 14
Primjer: GREDNI NOSAČ OPTEREĆEN POMAKOM OSLONCA
Nosač ima konstantnu fleksijsku krutost . Usljed diferencijalnog slijeganja tla nastaje pomak oslonca 4 u odnosu na oslonce 1, 2 i 3 za 30 mm.
23 kNm100.25EI ⋅=
6.0 m 6.0 m 6.0 m
1
2
4
EI
3
δ4 = 30 mm
Momenti upetosti:
kNm125)03.0(0.6
100.256MM
0M , 0M , 0M , 0M
2
34334
32232112
=−⋅⋅⋅−==
====
Momenti na krajevima štapova:
125LIE4ML
IE4M
LIE2L
IE4M
LIE2M
334
34334
34
323
223
23
212
12
+ϕ⋅=+ϕ⋅=
ϕ⋅+ϕ⋅=
ϕ⋅=
125LIE2ML
IE2M
LIE2L
IE4M
LIE4M
334
43334
43
223
323
32
212
21
+ϕ⋅=+ϕ⋅=
ϕ⋅+ϕ⋅=
ϕ⋅=
Jednadžba ravnoteže čvora (2): 0MM0M 23212 =+→=∑
0LIE2
LIE8 32 =ϕ⋅+ϕ⋅
Jednadžba ravnoteže čvora (3): 0MM0M 34323 =+→=∑
125LIE8L
IE2 32 −=ϕ⋅+ϕ⋅
Rješenje sustava jednadžbi:
004.0;001.0IE30L500;IE30
L1253232 −=ϕ=ϕ⇒−=ϕ=ϕ
Vedrana Kozulić Tehnička mehanika 2 – Metoda pomaka 15
Slijedi:
kNm6.91M , kNm3.58M
kNm3.58M , kNm7.16M , kNm7.16M , kNm3.8M
4334
32232112
==
−=−===
6.0 m 6.0 m 6.0 m
1
2
4
EI
3
δ4 = 30 mm
Mx
8.3 16.7 58.3 91.6
vx
Vedrana Kozulić Tehnička mehanika 2 – Metoda pomaka 16
Jednadžbe ravnoteže kod pomičnih konstruktivnih sustava Pomični sustavi - sustavi s neovisnim translatornim pomacima 1) Uvjeti ravnoteže momenata Za svaki slobodni čvor postavlja se po jedan uvjet ravnoteže momenata. Za čvor (i):
0)Mm(0M)j(
ijij)j(
ij =+→= ∑∑
2) Dodatne jednadžbe ravnoteže broj dodatnih jednadžbi ravnoteže = broj neovisnih translatornih pomaka čvorova Dodatne jednadžbe dobivaju se iz uvjeta ravnoteže pogodno odabranih dijelova konstrukcije.
Npr., za portalni okvir opterećen horizontalnim opterećenjem:
A
B C
MABD
P
h
HA
VA
MBA HB
VB
MDC HD
VD
MCD HC
VC
iz uvjeta ravnoteže momenata oko točke B na stupu AB i oko točke C na stupu CD dobiva se:
BAABA MMhH += , DCCDD MMhH +=
Iz uvjeta ravnoteže horizontalnih sila za cijeli okvir slijedi jednadžba:
hMM
hMM
HHP DCCDBAABDA
++
+=+=
Ista jednadžba bi se dobila i iz uvjeta ravnoteže sila u horizontalnom smjeru dijela konstrukcije prikazanog na crtežu (jednadžba posmičnih sila):
B CP
TBA TCD
hMM
hMM
TTP DCCDBAABCDBA
++
+=+=
Vedrana Kozulić Tehnička mehanika 2 – Metoda pomaka 17
Umjesto jednadžbi posmičnih sila, dodatne jednadžbe formiraju se i korištenjem principa virtualnih pomaka. Primjena principa virtualnih pomaka za kruto tijelo:
• spriječe se svi neovisni translatorni pomaci
• na spojevima štapova i čvorova ubacuju se zglobovi
• oslobađa se pojedina veza koja spriječava translatorne pomake - dio konstrukcije pretvara se u mehanizam
• dobivenom mehanizmu daje se virtualni pomak , čvorovi se pomiču translatorno 1W =∗
• formira se jednadžba virtualnog rada; rad vrši vanjsko opterećenje i momenti na krajevima štapova
Jednadžba virtualnog rada predstavlja uvjet ravnoteže dijela konstrukcije.
Za k-ti neovisni translatorni pomak jednadžba virtualnog rada glasi:
[ ] 0Pdx)k()x(q)k(F)k()MM( iixmmijjiij =δ⋅+⋅δ⋅+δ⋅+ψ⋅+∑ ∫
)k(ijψ − zaokret štapa (i)-(j) pri virtualnom pomaku
mF − koncentrirana sila na štapu )k(mδ − pomak točke na pravcu sile
iP − koncentrirana sila u čvoru
∫ ⋅δ⋅ dx)k()x(q x − rad kontinuiranog opterećenja na štapu
Sumacija se vrši preko svih štapova i čvorova koji imaju pomake uzrokovane virtualnim pomakom . 1Wk =∗
Rješenje sustava jednadžbi ravnoteže su:
- vrijednosti zaokreta čvorova ϕ - vrijednosti neovisnih translatornih pomaka čvorova W
Vedrana Kozulić Tehnička mehanika 2 – Metoda pomaka 18
Primjer ravninskog pomičnog sustava bez kutova zaokreta (nema nepoznanica ϕ, samo translatorni pomak W)
Jednokatni okvir s krutom prečkom izložen djelovanju horizontalne sile
→ ∞
kruta prečka
1
2 3
4
L
EI EI h
H
EI
W=1
hψ12 ψ34
Nema savijanja prečke (nema rotacijskih pomaka); jedan nezavisni translatorni pomak W horizontalni pomak čvora 2 = horizontalni pomak čvora 3 ⇒ ψ=ψ=ψ 3412
Za pomak W u pozitivnom smjeru globalne osi X je: Wh1
⋅−=ψ
Momenti upetosti su jednaki nuli.
Momenti na krajevima štapova:
Wh
IE6hIE6MMMM 243342112 ⋅+=ψ⋅−====
Jednadžba virtualnog rada na pomacima koji nastaju pri virtualnom pomaku glasi: 1W =∗
Hh1W
hIE64
01H)MM()MM(
2
344334122112
−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⋅⋅⋅
=⋅+ψ⋅++ψ⋅+ ∗∗
Jednadžba ravnoteže sustava ima oblik:
IE24hHWHWIE
h24 3
3⋅=⇒=⋅
4hHMMMM 43342112
⋅====⇒
H h/4
Mx Txh/2
H h/4
H h/4
H h/4
H h/4
+
−
H/2 H/2
H h 2 L
+
Vedrana Kozulić Tehnička mehanika 2 – Metoda pomaka 19
Pomični sustavi s kutovima zaokreta Primjer 1: Odrediti dijagram momenata za F = 100 kN.
1
2
3
4
3.0
EI
3.0
4.0
EI
2EI
F
Nepoznanice su: - kut zaokreta čvora 2, 2ϕ - horizontalni translacijski pomak grede 1-2-3, W Svi momenti upetosti su jednaki nuli ijij mM =⇒ Veza između momenata na krajevima štapa i pomaka za obostrano upetu gredu:
ijijiijjijji
ijijjijiijij
k6k2k4m
k6k2k4m
ψ−ϕ+ϕ=
ψ−ϕ+ϕ=
gdje je ij
ijij L
δ−=ψ kut zaokreta grednog elementa kao krutog tijela; jiijij vv −=δ
ijv i su komponente pomaka čvorova (i) i (j) elementa (i)-(j) na pravcima okomitim na njegovu os.
jiv
Za jednostrano upetu gredu sa zglobom u čvoru (j) je:
ijijiijij k3k3m ψ−ϕ=
Vedrana Kozulić Tehnička mehanika 2 – Metoda pomaka 20
Plan pomaka zglobne sheme za : 1W =∗
3/4.
ψ12 ψ32
ψ42
W=1 1 15/4
0)W(v12 =∗ 43)W(v21 −=∗
41
3)43(0
L)W(v)W(v
)W(12
211212 −=
−−−=
−−=ψ
∗∗∗
43)W(v23 −=∗ 0)W(v32 =∗
41
3043
L)W(v)W(v
)W(23
322323 =
−−−=
−−=ψ
∗∗∗
0)W(v42 =∗ 45)W(v24 −=∗
41
5)45(0
L)W(v)W(v
)W(24
244224 −=
−−−=
−−=ψ
∗∗∗
Pomak i kut zaokreta pri translacijskom pomaku : i 1W =∗ )W(vij∗ )W(ij
∗ψ
Pomak i kut zaokreta pri općem pomaku W: i W)W(vv ijij ⋅= ∗ W)W(ijij ⋅ψ=ψ ∗
Proračunski koeficijenti fleksijske krutosti:
52
IE1
LIE2k ,
31
IE1
LIEk ,
31
IE1
LIEk
2424
2323
1212 ======
Momenti na krajevima grednih elemenata kao funkcije kuta zaokreta ϕ2 i pomaka W:
WWkk2k6k2M
WWkk4k6k4M
WWkk3k3k3M
WWkk3k3k3M
53
254
2423
224242422442
53
258
2423
224242422424
41
22343
223232322323
41
21243
212121221221
+ϕ=+ϕ=ψ−ϕ=
+ϕ=+ϕ=ψ−ϕ=
−ϕ=−ϕ=ψ−ϕ=
+ϕ=+ϕ=ψ−ϕ=
Uvjet ravnoteže momenata u čvoru 2:
0MMMM 242321)j(
j2 =++=∑ ⇒ 0W53
518
2 =+ϕ
Druga jednadžba - jednadžba virtualnog rada na pomacima pri virtualnom pomaku : 1W =∗
{ } 043F)W(M
)ik(ikik =⋅+ψ∑ ∗
( ){ } 043F)W(MM)W(M)W(M 24422423231221 =⋅+ψ++ψ+ψ ∗∗∗
Vedrana Kozulić Tehnička mehanika 2 – Metoda pomaka 21
→ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ){ } 0FWWWW43
41
53
254
53
258
41
41
241
41
2 =⋅+−⋅+ϕ++ϕ+⋅−ϕ+−⋅+ϕ
⇒ 075W4017
53
2 =+−ϕ−
Sustav jednadžbi za određivanje 2ϕ i W je:
0W53
2518 =+ϕ
75W4017
253 =+ϕ
Rješenje sustava:
462.3813500
2 −=−=ϕ 769.230W13
3000 ==
Veličine momenata na krajevima grednih elemenata:
kNm69.107WM
kNm92.76WM
kNm15.96WM
kNm23.19WM
53
254
42
53
258
24
41
223
41
221
=+ϕ=
=+ϕ=
−=−ϕ=
=+ϕ=
Momentni dijagram:
107.69
Mx
76.92
96.15
19.23
Vedrana Kozulić Tehnička mehanika 2 – Metoda pomaka 22
Primjer 2: Odrediti dijagram momenata savijanja za okvirnu konstrukciju. .konstEI =
L
L/2 L/2
P
A
B C
D
P
A
B C
D
W W
ψAB ψCD
Nepoznanice su: - kutovi zaokreta čvorova B i C, Bϕ i Cϕ - horizontalni translacijski pomak grede B-C, W
Usljed translacijskog pomaka W, vertikalni elementi imaju zaokrete: LW
CDAB −=ψ=ψ
Momenti upetosti:
8LPM , 8
LPM
0M , 0M , 0M , 0M
CBBC
DCCDBAAB
−==
====
Momenti na krajevima štapova:
WL
IE3L
IE3M
8LP
LIE2
LIE4M
WL
IE6L
IE2M
2CCD
CBBC
2BAB
⋅+ϕ⋅=
+ϕ⋅+ϕ⋅=
⋅+ϕ⋅=
0M
8LP
LIE2
LIE4M
WL
IE6L
IE4M
DC
BCCB
2BBA
=
−ϕ⋅+ϕ⋅=
⋅+ϕ⋅=
Jednadžba ravnoteže čvora B: 0MM0M BCBAB =+→=∑
08LPW
LIE6
LIE2
LIE8
2CB =+⋅+ϕ⋅+ϕ⋅ (1)
Jednadžba ravnoteže čvora C: 0MM0M CDCBC =+→=∑
08LPW
LIE3
LIE7
LIE2
2CB =−⋅+ϕ⋅+ϕ⋅ (2)
Jednadžba virtualnog rada na pomacima koji nastaju pri virtualnom pomaku : 1W =∗
0M)MM( CDCDABBAAB =ψ⋅+ψ⋅+ ∗∗
Vedrana Kozulić Tehnička mehanika 2 – Metoda pomaka 23
0LM
LMM
L1 CDBAAB
CDAB =−+
−→−=ψ=ψ ∗∗
Ili, iz uvjeta ravnoteže sila u smjeru pomaka:
B C
TBA TCD 0L
ML
MM0TT:0F CDBAAB
CDBAx =++
→=+=∑
⇒ 0WL
IE15L
IE3L
IE63C2B2 =⋅+ϕ⋅+ϕ⋅ (3)
Rješenje sustava jednadžbi (1)-(2)-(3) je:
IELP0256.0IE352
LP9 22
B −=−=ϕ ; IELP0227.0IE44
LP 22
C ==ϕ ; IELP00568.0IE176
LPW33
==
Uvrštavanjem dobivenih vrijednosti pomaka u izraze za momente na krajevima greda, slijedi:
LP017.0176LP3MAB −=−= ; LP068.0176
LP12MBA −=−= ; LP068.0176LP12MBC ==
LP085.0176LP15MCB −=−= ; LP085.0176
LP15MCD == ; 0MDC =
M
0.085 PLP
0.068 PL
0.017 PL 0.017 PL
Msr
0.085 P
0.483 P
HA
VA
HD
VD
0.085 PL0.068 PL
0.173 PL
0.017 PL
Reakcije oslonaca
Uvjet ravnoteže momenata oko točke B na stupu AB:
P085.0LMM
HMMLH BAABABAABA =
+=→+=
Uvjet ravnoteže momenata oko točke D za cijeli okvir:
P483.0LM
2PV02
LPMLV ABAABA =−=→=−+
Moment u sredini raspona:
LP173.0MLHM2LVM srAABAsr =→−+=
Vedrana Kozulić Tehnička mehanika 2 – Metoda pomaka 24
Recommended