View
261
Download
3
Category
Preview:
Citation preview
1
PREDAVANJE– 3. KINEMATIKA I DINAMIKA ROBOTA
Minimalna konfiguracija manipulacionog robota
Sl. 2.13. Minimalna konfiguracija i šaka robota
Minimalna konfiguracija podrazumeva mehanizam sa tri zgloba, odnosno tri
stepena slobode.
Na takvu minimalnu konfiguraciju nadovezuje se takozvani završni, mehanizam
robota koji demo uslovno nazivati šaka.
Na slici 2.13 shematski je predstavljena podela lanca na minimalnu konfiguraciju i
šaku. Sledi da minimalna konfiguracija obuhvata zglobove S1 ,S2 i S3 i segmente 1, 2
i 3, a šaka se nadovezuje i sadrži određeni broj zglobova i segmenata (na primer 4,
5 i 6).
Naziv minimalna konfiguracija potiče otuda što svaki manipulacioni robot poseduje
takav mehanizam. Minimalna konfiguracija često se definiše kao mehanizam sa tri
stepena slobode koji vrši pozicioniranje tj. dovođenje šake na željeno mesto u
radnom prostoru. Kasnije demo videti da se pod pojmom pozicioniranja obično
podrazumeva položaj samog vrha šake robota (tačka A na slici 2.13). Tako, na taj
položaj, pored minimalne konfiguracije, utiču i segmenti same šake. Otuda se može
redi da minimalna konfiguracija određuje položaj korena šake, (tačka C na slici
2.13), a zajedno sa šakom vrši pozicioniranje vrha (tačka A na slici 2.13).
2
Minimalna konfiguracija je mehanizam sa tri zgloba od kojih svaki može biti
rotacioni ili translatorni. Označimo sa R rotacioni, a sa T translatorni zglob. Sada
možemo uvesti označavanje mehanizma na slededi način: na primer RTT označava
mehanizam sa tri zgloba (i tri stepena slobode) od kojih je prvi rotacioni, a druga
dva translatorna.
Sada demo, koristedi uvedeno označavanje obraditi najčešde sheme minimalne
konfiguracije robota.
3
a) Pravougaona ili TTT shema. - Dekartova (Kartezijanska) konfiguracija
Minimalna konfiguracija pravougaone ili TTT sheme ima tri translatorna
zgloba.
Na slici 2.14 prikazan je primer ovakve minimalne konfiguracije i to izgled robota i
njegov shematski prikaz.
Sl 2.14. Pravougaona minimalna konfiguracija
Kako je na slici prikazano, minimalna konfiguracija se završava jednom pločicom (C
na slici 2.14) na koju se zavrtnjima ili nekako drugačije vezuje šaka robota. Podela
na minimalnu konfiguraciju i šaku robota ima smisla samo shematski, a ne i na
stvarnoj konstrukciji.
Pod radnim prostorom minimalne konfiguracije robota podrazumevamo onaj deo
prostora u čiju svaku tačku može da dođe vrh konfiguracije (tačka C na sl. 2.14).
4
Sl. 2.15. Radni prostor pravougaone minimalne konfiguracije
Posmatrajmo TTT-shemu prikazanu na slici 2.14 i razmotrimo šta je to što ograničava mogudnost da vrh C stigne u bilo koju tačku prostora. Ograničenje potiče otuda što pomeranje bilo kog segmenta kroz odgovarajudi zglob nije ograničeno. Na primer, kod klizanja zgloba S1 po šipki G1G2 uvedeni su mehanički graničnici (G1 i G2). I kod ostalih zglobova dužina izvlačenja ili uvlačenja segmenata ograničena je samom dužinom segmenata, pa se u konstrukciji uvode graničnici. S obzirom na ovakva ograničenja, radni prostor TTT-robota bio bi pravougaonik prikazan na slici 2. 15. Otuda i naziv pravougaona shema. Da bi bilo jasnije treba istadi da horizontalna šipka G1G2 nije segment, ved predstavlja deo nepomične podloge, a segment 1 je vertikalni stub.
Povoljna je za velike robote, velike nosivosti, koji se izvode kao portalni
(“gantry”) roboti. Može se postidi velika krutost konstrukcije, jednostavno je upravljanje (kao kod CNC mašina alatki).
Nedostaci:
teška i skupa izrada (linearno je uvek komplikovanije i skuplje od obrtnog),
manje su brzine nego kod robota sa obrtnom osnovom.
5
b) Cilindrična ili RTT-shema.
Minimalna konfiguracija cilindrične ili RTT-sheme ima tri zgloba od kojih je
prvi rotacioni, a druga dva translatorna.
Na slici 2.16 prikazan je primer ovakve minimalne konfiguracije i to izgled robota i
njegov shematski prikaz.
Sl. 2.16. Cilindrična minimalna konfiguracija Naziv cilindrična shema potiče otuda što pomeranja u zglobovima S1, S2 i S3 tačno
odgovaraju koordinatama ,z i cilindričnog koordinatnog sistema, što se vidi
upoređivanjem slike 2.16 i 2.17 (a). U daljem tekstu demo videti da je i radni
prostor ovakvog robota cilindričan.
6
Sl. 2.17. Cilindrični koordinatni sistem i radni prostor
Radni prostor: ograničenja se ovde javljaju zbog ograničene dužine segmenta 2 i 3,
jer se oni mogu izvlačiti (odnosno uvlačiti) iz odgovarajudih zglobova samo do
određene mere. Za obrtanje u zglobu S1 smatrademo da nije ograničeno, mada i tu
mogu da se pojave ograničenja.
7
c) Sferna ili RRT-shema
Minimalna konfiguracija sferne ili RRT- sheme ima tri zgloba od kojih su prva
dva rotaciona, a tredi translatorni.
Na slici 2.6 (b) prikazan je primer sfernog robota i njegova shema. Na slici 2.11 data je još jedna moguda shema sfernog robota. Treda moguda RRT- shema data je na slici 2.18 (a).
Sl. 2.18. Sferna minimalna konfiguracija
Pomeranja u zglobovima kod RRT-sheme približno odgovaraju koordinatama
sfernog koordinatnog sistema (slika 2.18 b), pa otuda naziv sferna shema.
Primedujemo da poklapanje nije potpuno. Na shemama slika 2.18 i 2.11 vidimo da
bi pomeranja u zglobovima S1, S2 i S3 odgovarala potpuno koordinatama i r
jedino ako bi dužina segmenta 2 bila jednaka nuli ili bar jako mala.
Odlike ove konfiguracije su:
niska i promenljiva rezolucija,
mali momenti inercije,
bolja fleksibilnost od prethodne dve. Razmotrimo radni prostor RRT-sheme robota. Ako uvedemo graničnike za maksimalno i minimalno izduženje u zglobu S3, a smatramo da su obrtanja u zglobovima S1 i S2 bez ograničenja, tada je radni prostor robota jedna šuplja lopta (slika 2.19 a). Ako postoje graničnici koji određuju krajnje tačke obrtanja u zglobovima S1 i S2, tada je radni prostor jedan isečak opisane lopte. Jedan primer je dat na slici 2.19 (b).
8
Sl. 2.19. Radni prostor sferne minimalne konfiguracije
9
d) RTR i TRRsheme Ove dve sheme obrađujemo zajedno zato što u onom obliku u kome se obično praktično realizuju imaju isti radni prostor.
Sheme su prikazane na slici 2.20 (a), (b), a jedan konkretan primer robota na slici 2.21 (a).
Sl. 2.20. RTR-shema (a) i TRR-shema. (b)
Radni prostor RTR i TRR-sheme robota je šuplji valjak kao što je prikazano na slici 2.21 (b).
Sl. 2.21. Primer RTR-robota i radni prostor
10
e) Laktasta ili RRR-shema
Minimalna konfiguracija laktaste ili RRR- sheme ima tri rotaciona stepena
slobode.
Jedan primer prikazan je na slici 2.6 (a), a na slici 2.22 dat je još jedan primer. Naziv laktasti robot potiče od karakterističnog "lakta" koji se uočava na ovoj shemi (L na slici 2.22). - drugi nazivi kao, na primer, zglavkasti ili antropoidni robot. Izdvojidemo posebno jednu od mogudih RRR-shema. Prikazana je na slici 2.23 i zbog sličnosti sa čovekovom rukom naziva se antropomorfna (čovekolika) shema.
Sl. 2.22. Laktasti ili RRR-robot
Radni prostor RRR-sheme robota zavisi od mogudnosti obrtanja u svakom zglobu. Ako bi obrtanja bila bez ograničenja, onda bi radni prostor bio lopta čiji je poluprečnik određen dužinom ruke. Kako obrtanja u zglobovima nisu neograničena to de radni prostor biti jedan deo lopte složenog oblika (slika 2.24).
Moramo spomenuti još jedan karakterističan slučaj laktaste sheme minimalne konfiguracije. Ta shema prikazana je na slici 2.25, a zvademo je ASEA. Shema, po švedskom robotu marke ASEA koji je najpoznatiji.
Sl. 2.23. Antropomorfna RRR- shema Sl. 2.24. Radni prostor laktastog robota
11
Sl. 2.25. ASEA-shema
12
Horizontalna zglobna konfiguracija (SCARA)1
Ima sve tri ose paralelne, pri čemu prve dve obezbeđuju poziciju u ravni, a treda vrši pozicioniranje upravno na tu ravan. Nema gravitacionh sila i momenata, motori mogu biti nepokretni i smešteni u osnovi robota, što omogudava postizanje velikih brzina. Ima veliku krutost u vertikalnom pravcu i veliku popustljivost u horizontalnoj ravni, što je čini veoma pogodnom za montažu (operacije insertovanja – umetanja). To je danas jedna od najčešde korišdenih konfiguracija robota.
Vertikalna zglobna konfiguracija
Ima izuzetno veliku fleksibilnost i vrlo je pogodna za robote malih i srednjih dimenzija. Ima sve nedostatke kao i prethodne, ali u odnosu na Dekartovu za iste dimenzije radnog prostora ima mnogo manje dimenzije, a time i cenu.
1 SCARA = Selective Compliance Assembly Robot Arm
13
PET TIPOVA ROBOTA KOJI SU DANAS NAJČEŠDE U PRIMENI Naz Raspored osa osnovne konfig. Kinematička šema Radni prostor
Dek
arto
va
(kar
tezi
jan
ska)
ko
nfi
gura
cija
TTT
P
ola
rno
cili
nd
ričn
a
kon
figu
raci
ja
RTT
Sfer
na
kon
figu
raci
ja
RRT
Ho
rizo
nta
lna
zglo
bn
a
(lak
tast
a) S
CA
RA
RRT (TRR)
Ver
tika
lna
zglo
bn
a
(lak
tast
a)
antr
op
om
orf
na
RRR
14
Završni mehanizam – zglobovi šake
Ima zadatak orijentacije end-efektora (EE).
U opštem slučaju potrebno je da završni mehanizam ima tri stepena slobode (SS), ali u zavisnosti od zadatka (primene) može imati 1, 2, ili 3 stepena slobode, kao što je prikazano slededom slikom.
Veoma je važno da se ose end-efektora sa tri stepena slobode seku u istoj tački.
Završni mehanizam robota sastoji se od određenog broja zglobova, a na kraju se
pričvršduje takozvani završni uređaj (engl. end-effector). Zglobovi šake su po
pravilu rotacioni. Na slici 2.26 prikazana je shema mehanizma šake. Tačka C
označava koren šake i tu je ucrtana pločica koja se učvršduje za vrh minimalne
konfiguracije koja je ucrtana isprekidano.
Sl. 2.26. Shema šake robota
Slika: Moguć broj tepeni slobode (SS) završnog mehanizma (end-efektora)
EE3 SS
EE
EE
1 SS EE2 SS
15
Tačka B označava položaj gde se takozvani završni uređaj učvršćuje za mehanizam
šake. To je ucrtano u obliku pločice na kojoj se nalaze zavrtnji za učvršćavanje.
Završni uređaj ucrtan je isprekidano, u obliku hvataljke. Vrh završnog uređaja označen
je tačkom A.
Sl. 2.27. Hvataljka robota
Mehanizam šake ima jedan, dva ili tri zgloba i isto toliko stepeni slobode. Broj
zglobova zavisi od namene tj. od zadatka koji će robot obavljati. S obzirom na to da
minimalna konfiguracija ima tri stepena slobode to znači da će robot ukupno imati
četiri, pet ili šest stepeni slobode.
Hvataljka ne mora da bude oblika klešta. Za neke primene pogodne su hvataljke sa
vakuumskim sisaljkama kao, na primer, za prenošenje limova.
Ako se postavlja zadatak farbanja prskanjem, tada je završni uređaj pištolj za
prskanje a ako je zadatak, na primer, tačkasto zavarivanje, tada je završni uređaj u
obliku zavarivačkih klešta. U raznim drugim primenama pojavljuje se različiti
završni uređaji. Međutim, često se koristi termin hvataljka, podrazumevajudi pod
tim sve vrste završnih uređaja. Pod hvataljkom se podrazumeva često i ceo
poslednji segment lanca.
Kao što možemo videti šaka industrijskog manipulacionog robota nema mnogo
sličnosti sa šakom čoveka, ali u novije vreme sve se češće koriste složene šake
opremljene većim brojem prstiju.
16
Mogudnosti kretanja robota, broj stepeni slobode,
redundantnost2 i singularitet Ako manipulator posmatramo kao prost kinematički lanac sa zglobovima V klase, tada on
kao kinematički sistem ima onoliko stepeni pokretljivosti koliko ima zglobova. Endefektor, kao slobodno kruto telo u prostoru, je jednoznačno određen sa 6 stepeni slobode. Međutim, kako je endefektor vezan kinematičkim lancem za podlogu, to on može imati manje ili jednako 6 stepeni slobode. Ukoliko robot ima više od 6 stepeni slobode, tada je on redundantan (u ovom kursu ih nedemo izučavati). Redundantnost je ponekad značajna zbog mogudnost ulaska robota u nepristupačne zone, kao, na primer, pri tačkastom zavarivanju karoserije automobila. Sledi objašnjenje pojedinih pojmova:
Pozicioniranje end-efektora znači dovođenje hvatača ili alata u tačno određenu poziciju u prostoru (tačka T na slici);
Potpuna orijentacija end-efektora podrazumeva njegov tačno definisan ugaoni položaj u prostoru. Zasad demo to tumačiti na slededi način: potrebno je da se osa end-efektora poklopi sa zadatom pravom u prostoru i da je moguda rotacija oko te prave;
Delimična orijentacija predstavlja poklapanje ose end-efektora sa zadatom pravom u prostoru. Rotacija end-efektora oko te prave u ovom slučaju nema značaja (osnosimetrični alati, na primer burgija). Iz ovih razloga najviše robota danas postoji sa 5 stepeni slobode.
Ukoliko robot imaviše stepeni slobode nego što zahteva zadatak, tada je on redundantan u odnosu na taj zadatak, pa se višak stepeni slobode može blokirati prema nekom kriterijumu optimalnosti.
Radni prostor robota se može podeliti na dostizivi i radni prostor veštine. Dostizivi radni prostor je onaj koga vrh end-efektora može dostidi. Radni prostor veštine je deo dostizivog radnog prostora koji end-efektor može dostidi u proizvoljnoj orijentaciji.
Singulariteti su konfiguracije ili položaji manipulatora u kojima on gubi jedan ili više stepeni slobode. Njihova identifikacija je važna iz slededih razloga:
U singularnim položajima end-efektora njegovim konačnim brzinama bi odgovarale beskonačno velike brzine u pojedinim zglobovima;
Konačnim silama i momentima end-efektora bi odgovarale beskonačno velike sile i momenti u pojedinim zglobovima;
U singularnim položajima ne postoji jednoznačno rešenje inverznog kinematičkog problema;
U singularnim položajima određeni pravci kretanja su nedostizivi.
Singulariteti se obično javljaju na granicama radnog prostora, mada ponekad postoje i u samom radnom prostoru. Korisno je razdvojiti singularitete ruke od singulariteta end-efektora.
Sledi nekoliko primera singularnih položaja (v. sliku). U prvom primeru kada je 2 = 0, tada
je duž pravca a1 nemogude ostvariti ni silu, ni kretanje. U drugom primeru, kada je a1 = a2 i 2 =
180o, tada se za svako 1 kretanje ostvaruje samo u jednoj tački O, koja je singularna i predstavlja
radni prostor veštine. U tredem primeru vrh miruje za a1 = a2, a u četvrtom za d4/dt = d6/dt. Manipulator je u singularnom položaju redundantan i ako u proizvoljnom položaju to nije bio.
2 redundantnost = suvišnost
17
Slika: Primeri singulariteta
Pr. 1
a1 a2
1
2 = 0
O
1
2
a1
a2EE
Pr. 2
EE
4
5
6Pr. 4
2
2
a1
a2
1
Pr. 3
18
Pozicioniranje robota i orjentacija
Pozicioniranje podrazumeva dovođenje vrha hvataljke u željenu tačku radnog prostora.
Sl. 2.31. Potpuna orijentacija
Potpuna orijentacija hvataljke podrazumeva postavljanje hvataljke u tačno
određeni uglovni položaj u prostoru.
Zahteva se da se određena osa hvataljke ili radnog predmeta poklopi sa željenim pravcem u prostoru i još se zadaje ugao obrtanja hvataljke oko tog pravca. Slika 2.31 ilustruje potpunu orijentaciju. Osu predmeta (*) treba poklopiti sa pravcem otvora (*') i još predmet obrnuti oko ose za ugao da bi se ispupčenje na bočnoj strani predmeta postavilo naspram žljeba u otvoru. Tada se tek predmet može uvesti u otvor.
Delimična orijentacija hvataljke podrazumeva samo da se određena osa hvataljke
ili radnog predmeta poklopi sa željenim pravcem u prostoru.
Razlika između delimične i potpune orijentacije prikazana je na slici 2.32. na primeru prenošenja kontejnera sa tečnošdu.U slučaju (a) važno je jedino da osa (*)bude vertikalna, odnosno u pitanju je delimična orijentacija. U slučaju (b) važna je ne samo osa (*) nego i osa (**) koja mora zauzeti željeni pravac. Kada je pravac (*) određen, onda položaj pravca (**) može biti definisan uglom obrtanja oko ose (*). U pitanju je potpuna orijentacija kontejnera.
19
1. PROSTORNI OPISI I TRANSFORMACIJE
Robotska manipulacija po definiciji obuhvata pomeranje objekata i alata u prostoru.
Izučavanje manipulacije obuhvata definisanje prostornih odnosa između objekata i objekata i
manipulatora. Logično je najpre poznavati pozicije i orjentacije objekata i manipulatora, odnosno
endefektora i svakog elementa ponaosob. Za definisanje i manipulaciju matematičkim entitetima za
opis pozicije i orjentacije potrebno je definisati koordinatne sisteme i konvencije za njihov opis,
odnosno . Sličan problem je razmatran u kompjuterskoj grafici i Solid Model Systems o
čemu će biti reči kasnije.
1.1 Pozicija i orijentacija krutog tela
Pozicija svake tačke krutog tela određena je poznavanjem pozicije i orjentacije krutog tela.
Pretpostavljajući da robot ima šest stepeni slobode tada se njegov endefektor može proizvoljno
pozicionirati i orjentisati u ograničenom prostoru.
Pretpostavljajući da smo za vrh endefektora (TCP) na poznat način vezali koordinatni sistem
xB yB zB koga ćemo označiti uređenom trojkom M{B}, tada bi pozicija endefektora bila određena
vektorom položaja koordinatnog početka sistema {B} u referentnom sistemu {A}.
Orijentacija koordinatnog sistema {B} je određena pravcima njegovih osa, odnosno ortova u
odnosu na sistem {A} ili pomoću Ojlerovih uglova.
Komponente ili projekcije ortova osa sistema {B} u odnosu na referentni sistem {A}
predstavljaju kosinuse njihovih pravaca. Matrica rotacije ili matrica orjentacije koja opisuje
orjentaciju koordinatnog sistema {B} u odnosu na koordinatni sistem {A} u oznaci se izvodi na
sledeći način (po konvenciji):
Napomena:
APOB
jA
xA
kA
zA
zB
xB
yB
iA
yA
jB
iB
kB
{B}
RA
B
BABABA
BABABA
BABABA
BABABA
BABABA
BABABA
B
A
B
A
B
AA
B
k,kcos j,kcos i,kcos
k,jcos j,jcos i,jcos
k,icos j,icos i,icos
ki ji ii
kj jj ij
ki ji ii
k j iR
20
u pitanju su ortonormalne matrice (vektori ortogonalni i jedinični), pa je njihova inverzna
matrica isto što i transponovana, što će reći:
dovoljno je poznavati i dva jedinična vektora jer se treći može dobiti njihovim vektorskim
proizvodo;
u robotici se uvodi pojam frame-a kao koordinatni sistem koji je definisan u odnosu na
neki drugi. Ovakav frame odnosno koordinatni sistem može biti opisan u odnosu na neki
referentni sa četiri vektora kao:
Intuitivno nas navodi na pomisao da se frame može izraziti i matricom 4x4 o čemu će biti
reči.
RRR B
A
TA
B
1A
B
OB
AA
B P,RB
21
1.2 Transformacija koordinata
1.2.1 Rotacione matrice
Rotaciona matrica može biti predstavljena i kao transformaciona matrica koja preslikava
koordinate tačke, odnosno vektora položaja iz jednog koordinatnog sistema u drugi. Neka je za
pokretni koordinatni sistem na poznat način vezano kruto telo i neka se koordinatni počeci
pokretnog i nepokretnog koordinatnog sistema poklapaju.
APOB
BP
xA
AP
zA
zB
xB
yB
P
yA
{B}
{A} PRPP BA
BOB
AA
OP=1P
j0
x0
k0
z0 z1
x1
y1
i0
y0
j1
i1
k1
P
1z
1y
1x
1
p
p
p
P
0z
0y
0x
0
p
p
p
P
R
pR
p
p
p
kk jk ik
kj jj ij
ki ji ii
P
0
1
10
1
1z
1y
1x
101010
101010
101010
0
22
1.2.2 Rotacije oko koordinatnih osa
Veoma je važno znati matrice koje predstavljaju rotacije pokretnog koordinatnog sistema
oko osa nepokretnog koordinatnog sistema (osnovne rotacione matrice).
1.2.3 Homogene transformacije – koordinatni sistemi (frame-ovi)
Uvođenje homogenih koordinata nam omogućava da matričnim množenjem obuhvatimo i
translaciju, odnosno da jednom matricom predstavimo transformaciju koja uključuje i translaciju i
rotaciju. Na ovaj način možemo potpuno da predstavimo položaj i orijentaciju jednog proizvoljno
postavljenog koordinatnog sistema u odnosu na drugi i da izvršimo preslikavanje koordinata tačaka
iz jednog koordinatnog sistema u drugi (do sada smo razmatrali slučaj kada su im se koordinatni
počeci poklapali).
Neka je vektor položaja tačke P=ai+bj+ck. Ovaj vektor izražen u homogenim koordinatama
glasi:
U robotici ćemo uzimati da je w=1
1z1o1y1o1x1o
1
o
0
ozo
1z1o1y1o1x1o
1
o
0
oyo
1z1o1y1o1x1o
1
o
0
oxo
pkkpjkpikpkpkp
pkjpjjpijpjpjp
pkipjipiipipip
pRp
RRR
00
1
1
1
0
T0
1
10
1
w
z
y
x
P
w
c z ;
w
by ;
w
a x:su gde
w – vektor razmere (dodatna četvrta koordinata)
23
1.2.3.1 Transformacija translacija
Može biti predstavljena matricom 4x4 sa sledećim značenjima:
1. Predstavlja transliran koordinatni sistem u odnosu na neki referentni;
2. Preslikava koordinate iz jednog koordinatnog sistema u drugi;
3. Služi kao transformacioni operator da translira tačku u istom koordinatnom sistemu.
1 0 0 0
c 1 0 0
b 0 1 0
a 0 0 1
Ttran
- - - - - - - -
Intuitivno naziremo matricu rotacije, tj. da se x1 projektuje na x, y1 na y, z1 na z dok su a,b i c koordinate početka x1y1z1
b
z
y
x
x1
y1
z1
c
a
P
0P
z0
y0
x0
x1
x1
1P y1
z1
z1
y1
c
b
a
1 11 0 0 0
c 1 0 0
b 0 1 0
a 0 0 1
1
1
1
1
1
1
10
zc
yb
xa
z
y
x
PTP tran
24
1.2.3.2 Transformacija rotacije
Do sada smo razmotrili matrice rotacije R3x3 kada su im se koordinatni sistemi poklapali. U
homogenim koordinatama one se proširuju na matrice 4x4 na sledeći način:
1 0 0 0
0 a o n
0 a o n
0 a o n
1 0 0 0
0
0
0
Tzzz
yyy
xxx
rot
R3x3
25
Sada osnovne transformacije rotacije oko koordinatnih osa postaju:
Takođe i matrica RPY postaje:
1 0 0 0
1 c s 0
0 s- c 0
0 0 0 1
T ),x(rot
1 0 0 0
0 c 0 s-
0 0 1 0
0 s 0 c
T ),y(rot
1 0 0 0
1 1 0 0
0 0 c s
1 0 s- c
T ),z(rot
1 0 0 0
0
0
0
T ,,
- - - - - - - - -
RPY Napomena: sva pravila i značenja koja su
važila za R3x3 važe i za homogene rotacione
matrice 4x4.
26
Geometrija segmenata
Šta je potrebno zadati, pa da geometrija segmenata bude potpuno određena.
Postoje dva pristupa zadavanju geometrije segmenata, a razlikuju se po načinu
postavljanja koordinatnih sistema:
Pristup J. Stepanjenka,
Pristup Denavi-Hartenbergov
Bavi se izučavanjem problema određivanja položaja, odnosno orijentacije endefektora preko
unutrašnjih i spoljašnjih koordinata, brzina i ubrzanja vrha i segmenata.
Unutrašnje i spoljašnje koordinate
Rekli smo da se manipulator može modelirati kao prost otvoren kinematički lanac koji se
sastoji od nekoliko segmenata povezanih R i/ili T zglobovima.
Prvi segment se vezuje za nepokretan član (postolje), dok se za poslednji vezuje endefektor.
Dakle, imamo n pokretnih segmenata i n zglobova sa jednim stepenom slobode.
a, o, n – jedinični vektori koordinatnog sistema endefektora
5
o
z0
y0
x0
y6
z6
x6
z6
6
2
4
1
z5
z4
z3 z2
z1
s6
s5 s4
s3
s2
s1
s0
n
a
P
d3
27
Unutrašnje ili generisane koordinate: qi(t), i=1,…., n(6), definišu relativna pomeranja
segmenata, odnosno zglobova. To su uglovi ili dužine. To su neprekidne, dva puta diferencijabilne,
vremenske funkcije u opsezima koji su određeni mehaničkim ograničenjima.
qi(t)=i – kada su zglobovi rotacioni
qi(t)=ai – kada su zglobovi translatorni
Ove skalarne veličine mogu biti organizovane u vektorskom obliku tako da možemo
uspostaviti vektor unutrašnjh koordinata:
Promenom unutrašnjih koordinata menjaju se pozicija i orijentacija endefektora.
Broj stepeni slobode (n) je obično 4-6, dok slučajeve kada je n>6 (redundantni roboti)
nećemo razmatrati.
Vektor spoljašnjih koordinata koji definiše poziciju i orijentaciju endefektora, odnosno
opisuje zadatak, ima m koordinata. U opštem slučaju to su 6 koordinata:
Kao što smo rekli, ako je m<n, tada je robot redundantan u odnosu na zadatak, odnosno
odbacili smo neke koordinate. Na primer, ako nas ne interesuje orijentacija, tada imamo xe=[ x y z ]T
što znači da ako bismo imali robot sa šest stepeni slobode, tada bismo blokirali (odbacili) 4, 5, 6.
Da bismo potpuno opisali poziciju i orijentaciju endefektora, za njega vezujemo koordinatni
sistem x6 y6 z6 odnosno n o a (a – vektor pristupa (approach), o – pravac otvaranja prstiju hvatače
(open), n = ao – vektor normale (normal).
Poziciju i orijentaciju endefektora u odnosu na nepokretni koordinatni sistem možemo
definisati na sledeći način:
POZICIJA:
Dekartov koordinatni sistem [px py pz]T
Polarno-cilindrični koordinatni sistem [rcos, rsin, z]T
Sferni koordinatni sistem [rsincos, r sinsin, rcos]T
ORIJENTACIJA:
Dekartov koordinatni sistem:
Promenom unutrašnjh koordinata menja se pozicija i orijentacija endefektora, pa je xe=f(q),
što predstavlja tzv. direktni kinematički problem.
Mnogo češći i mnogo složeniji je inverzni kinematički problem koji predstavlja određivanje
vektora unutrašnjih koordinata za zadati vektor spoljašnjih koordinata q=f –1
(xe).
max iimin i qqq
..n(6)1,2,......i
)t(q
)t(q
q
n
1
T
e zyxx
1 0 0 0
p 1 0 0
p 0 1 0
p 0 0 1
Tz
y
x
poz
1 0 0 0
0
0
0
Torj orjpoz
0
6 TTT
1 0 0 0
0
0
0
1 0 0 0
0 a o n
0 a o n
0 a o n
z z z
yy y
x x x
RPY
(,,) noa RPY
(,,)
28
Kinematičke jednačine
Da bismo izvršili kinematičko modeliranje manipulatora, možemo vezati koordinatne
frame-ove za svaki segment i odrediti poziciju i orijentaciju jednog segmenta u odnosu na drugi,
svakog u odnosu na osnovu i poziciju i orijentaciju endefektora. Frame-ovi koji se vezuju za
segmente se nazivaju A matrice.
Na primer:
određuje poziciju i orijentaciju prvog segmenta u odnosu na osnovu,
određuje poziciju i orijentaciju drugog segmenta u odnosu na prvi.
Ako bismo želeli da odredimo poziciju i orijentacijudrugog segmenta u odnosu na osnovu
imali bismo:
A0
1
A1
2
AAT 1
2
0
1
0
2
29
i di
i+1
zi-1
i
i-1
i-2
ai-1 ai
i-1
i
i+1 i i-1
xi
zi
i-
xi-1
xi
i-
di
i
i
ai
Za opšti slučaj manipulatora sa šest stepeni slobode, kao na slici, pozicija i orijentacija
endefektora bi bila:
Denavit – Hartembergovi kinematički parametri, specifikacija A matrica
Razmotrićemo najčešće korišćen način pridruživanja (dodeljivanja) koordinatnih frame-ova
segmentima manipulatora.
Pri projektovanju segmenata projektant mora da vodi računa o dimenzijama, oblicima,
tolerancijama, materijalu, kvalitetu obrađenih površina itd. Međutim, za potrebe u kinematici,
segment definišu dve ose zglobova koje se relativno mogu opisati sa dva parametra (broja). To su
rastojanje osa, odnosno zajednička normala i ugao zaokrenutosti osa meren u ravni normalnoj na tu
normalu.
Posmatrajmo prost, otvoren kinematički lanac i način pridruživanja frame-ova segmentima.
AAAAAAT 5
6
4
5
3
4
2
3
1
2
0
1
0
6
30
ai-1
i=0
di
ai
i+1 i - ravan
i+1
i
zi-1 zi
- ravan
)zz(x i1ii
Zaključujemo:
svaka osa zgloba sadrži dve normale (ai-1 i ai) – po jednu za svaki segment
relativni položaj dva segmenta je određen rastojanjem dI između normala ai-1 i ai duž ose
“i” i uglom i između tih normala meren u ravni normalnoj na osu “i”.
Dodeljujemo koordinatne sisteme:
koordinatni početak i-tog segmenta postavljamo u preseku normale ai i ose i+1;
xi osa ide u pravcu normale ai dok zi osa ide u pravcu ose i+1 (prethodna i naredna –
manipulacija indeksima) – sa yi treba kompletirati koordinatni sistem desne orijentacije;
sada to uradimo i osi “i”;
očigledno je da je i ugao između osa xi-1 i xi ;
i predstavlja ugao zaokrenutosti između osa zi-1 i zi oko xi .
U opštem slučaju kada ose nisu komplanarne imamo situaciju kao na prethodnoj slici.
Međutim, u slučaju da su ose koplanarne imamo dva specifična slučaja:
1. slučaj
U ovom slučaju su ose paralelne, pa postoji beskonačno mnogo normala, ali mi ih biramo
tako da je di=0 (ako konstrukcija dozvoljava) pri čemu je i=0, odnosno izgubilo je smisao.
2. slučaj
U ovom slučaju ai=0, međutim .
)zz(x i1ii
31
Možemo zaključiti da se koordinatni sistem i-tog segmenta smešta u njegov kraj, odnosno
zglob (ako ga ima) jer, na primer, endefektor nema zgloba.
Položaj jednog segmenta u odnosu na drugi možemo odrediti na sledeći način: posmartajući
na slici osu i+1 u odnosu na osu i, odnosno osu i u odnosu na osu i-1 gledamo kako dovesti frame i-
1do poklapanja sa frame-om i (setiti se apsolutnih i relativnih transformacija)
Za rotacioni zglob i je i=f(t) dok su ai, di, i konstantne.
Za translatorni zglob di=f(t) dok su ai, i, i konstantne.
Za translatorne zglobove se obično, mada na mora, koordinatni sistemi usvajaju tako da je
ai=0, pa pošto su i i i konstante, a di=f(t) imamo:
Ako bismo želeli da odredimo položaj bilo koje tačke na segmentu i, na primer iP u odnosu
na koordinatni sistem vezan za prethodni segment tj. u odnosu na koordinatni sistem i-1 imali
bismo:
Iako matrice izgledaju relativno komplikovane, pri projektovanju se, iz razloga
jednostavnijeg upravljanja, odnosno brzine sračunavanja, manipulatori projektuju tako da je, gde
god je to moguće, i=0 ili i=90, i ai i/ili di=0.
1 0 0 0
d c s 0
0 sc- cc s
0 ss cs- c
Aiii
iiiii
iiiii
1i
i
PAP i1i
i
1i
A1i
i
1 0 0 0
d c s 0
a sc- cc s
a ss cs- c
1 0 0 0
0 c s 0
0 s- c 0
0 0 0 1
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
a 0 0 1
1 0 0 0
d 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 c s
0 0 s- c
iii
iiiiiii
iiiiiii
ii
ii
i
i
ii
ii
),(),(),(),(
1
s
c
TTTTAiiiii xrotaxtrandztranzrot
i
i
32
1.3 Algoritam pridruživanja koordinatnih sistema segmentima
Pridruživane nije jednoznačno. Algoritam sadrži sledeće korake:
Korak 1: Locirati i označiti ose zglobova z0, z1, ….zn-1 (zn je na endefektoru);
Korak 2: Postavljanje baznog frame-a. Postaviti koordinatni početak bilo gde na z0 osi, x0
i y0 čine desni koordinatni sistem;
For i =1,2,….n-1 izvršiti korake 3-5
Korak 3: Locirati koordinatni početak Oi u položaj gde zajednička normala između osa zi-
1 i zi seče osu zi. Ako su ose zi-1 i zi paralelne lociraj Oi tako da bude di=0 (ako je to
moguće zbog konstrukcije);
Korak 4: Uspostaviti xi osu duž zajedničke normale između osa zi-1 i zi kroz Oi ili
upravcu normale na ravan koju obrazuju zi-1 i zi ako se seku ;
Korak 5: Uspostaviti yi tako da se kompletira koordinatni sistem desne orijentacije.
Korak 6: Uspostavljanje koordinatnog frame-a endefektora Onxnynzn, odnosno, (n, o, a);
Korak 7: Kreirati tabelu parametara segmenata di, ai, i i i ;
segm. I [] ai[mm] di [mm] i []
1
2
- di i i označiti zvezdicama ako su promenljive. Ponekad se uz ove promenljive mogu
definisati i opsezi kretanja.
- i : ugao između osa zi-1 i zi meren oko ose xi
- ai : rastojanje duž xi od Oi do preseka xi i zi-1 ose
- di : rastojanje duž zi-1 ose od Oi-1 do preseka xi i zi-1 (promenljiva za translatorni zglob)
- i : ugao između xi-1 i xi meren oko zi-1 ose (promenljiva za obrtni zglob)
))zz(x( i1ii
33
yG
xG zG
z5
z4
z3
1.4 Direktni kinematički problem
Rešavanje direktnog kinematičkog problema predstavlja određivanje pozicije i orijentacije
endefektora za zadate unutrašnje koordinate (qi, i=1,2,3….n (6)), odnosno za zadate rotacije ili
pomeranja u zglobovima uz poznavanje ostalih parametara ai i i
Kada se matrice A izmnože dobijamo matricu 4x4 u kojoj znamo šta je pozicija, a šta
orijentacija.
Obično se za svaki konkretan manipulator ove matrice izmnože ručno u opštim brojevima, a
zatim se za svaki konkretan slučajzamenom konkretnih parametara dobija pozicija i orijentacija
endefektora.
Za slučaj nekog opštijeg simulacionog paketa mogu se parametri zameniti u matricama, pa
ih onda množiti kao matrice brojeva.
Napomenuli smo ako se ose orijentacije, odnosnoose zglobova šake seku u jednoj tački, jer
se tada pozicija i orijentacija mogu razdvojiti.
Napomena: zbog univerzalnosti,
završavaju pločom za vezu
endefektora, na koju se mogu vezivati
razni endefektori
AAAAAAT 5
6
4
5
3
4
2
3
1
2
0
1
0
6
AAAAAATTT 5
6
4
5
3
4
2
3
1
2
0
1orjpoz
0
6
Dekartov spoljašnj
prostor
- presek osa
Torij Tpoz
Prostor aktuatora
Dekartov spoljašnji
prostor
Prostor
zglobova
Napomena:
34
Takođe i pri postavljanju robota moguće su, u zavisnosti od postolja, različiti koordinatni
sistemi.
HTBT G
EE
0
G
ref
0
ref
EE
zref
y0
z0
x0
yref
xref
35
1.5 Inverzni kinematički problem
deo sa matematikom
Recommended