Predavanje 4

Sveučilište u RijeciFakultet za menadžment u turizmu i ugostiteljstvu

PREDDIPLOMSKI SVEUČILIŠNI STUDIJ“Poslovna ekonomija u turizmu i hotelijerstvu”

Temeljni predmet:

STATISTIKA

PREDAVANJE 4:SREDNJE VRIJEDNOSTISTATISTIČKOG NIZA

SADRŽAJ PREDAVANJA

1. Numerički niz

2. Srednja vrijednost (SV)

3. Aritmetička sredina (AS)

4. Harmonijska sredina (HS)

5. Geometrijska sredina (GS)

6. Medijan (Me)

7. Mod (Mo)

1. NUMERIČKI NIZ

NUMERIČKI NIZ (definicija)

• Numerički niz nastaje uređenjem vrijednosti numeričkog obilježja.

• Način uređivanja ovisi o broju podataka, te o tome jesu li podaci vrijednosti prekidnog ili neprekidnog obilježja.

• Vrste numeričkih nizova: kontinuirani i diskontinuirani.• Ako se skup podataka sastoji od malog broja članova, uređuje

se nizanjem članova prema veličini. Podaci se navode od najmanjeg do najvećeg, a katkad obrnuto. Označi li se numeričko obilježje X, N njegovih uređenih vrijednosti je:

x1, x2, …, xn, i=1, 2, 3, …, N.Vrijednosti numeričkog obilježja tu se ne grupiraju (negrupirani podaci).

PRIMJER: Negrupirani podaci

• Podaci o navršenim godinama radnog staža zaposlenih u poduzeću X. Podaci su sljedeći: 3, 6, 5, 2, 4, 1, 7, 3, 5, 4, 8. Najmanja vrijednost numeričkog obilježja je 1, a najveća 8.

• Numerički niz od 11 članova je:

Xi: 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 6.

Formiranje i grafičko prikazivanje distribucije frekvencija

• Ako se diskontinuirano numeričko obilježje pojavljuje samo u nekoliko oblika, a broj podataka je velik, uređenje se provodi postupkom grupiranja. Grupiranjem se skup jedinica raščlanjuje upodskupove prema vrijednostima numeričkog obilježja.

• Frekvencija je broj jedinica s jednakom vrijednošću numeričkog obilježja.

• Uređenjem vrijednosti numeričkog obilježja i pripadajućih frekvencija dobije se distribucija frekvencija.

• Distribucija frekvencija prekidnog numeričkog obilježja skup je različitih vrijednosti tog obilježja i pripadajućih frekvencija.Poprima li obilježje X vrijednosti x1, x2, …, xi, …, xk s frekvencijama f1, f2, …, fi, … fk, distribucija frekvencija je skup uređenih parova:

(x1, f1), (x2, f2), … (xi, fi), …, (xk, fk).

Primjer – Grupirani podaci

• Prema ispisu tuzemnih telefonskih poziva za lipanj 2006. godine dobivena je sljedeća distribucija telefonskih poziva:

Prema tome, uređeni parovi (xi, fi) su: (0; 10), (1; 9), (2; 3), (3; 4), (4; 1), (5; 1), (6; 1), (7; 1)

Broj poziva (xi) 0 1 2 3 4 5 6 7Broj dana (fi) 10 9 3 4 1 1 1 1

Primjer – distribucija frekvencija s razredima

Tabela: Količina vremena provedena tjedno na Internetu (istraživanje 2005. godina)

Količina vremena (u satima)

Broj ispitanika(fi)

0 – 2,5 372,5 – 5 255 – 7,5 127,5 - 10 13

Kumulativni niz, razredna sredina, veličina razreda (definicije)

• Kumulativni niz nastaje postupnim zbrajanjem frekvencija od prve do posljednje. Prva frekvencija KN jednaka je prvoj frekvenciji polaznog niza. Posljednja frekvencija KN jednaka je zbroju svih frekvencija. Razlikujemo KN “manje od” i KN “više od”.

• Razredna sredina (xsi) je poluzbroj donje i gornje granice razreda.

• Veličina razreda (i) jednaka je razlici između gornje i donje granice razreda.

221 LLxi

+=

12 LLi −=

Kumulativni niz

Tablica: Sudionici prometnih nezgoda prema godinama starosti

Godine starosti

Broj sudionika

Kumulativni niz

“manje od”

Kumulativni niz

“više od”xi fi

0 – 4 12 12 90

5 – 9 20 32 78

10 – 14 28 60 58

15 – 19 19 79 30

20 – 24 11 90 11

Ukupno 90

Korigirane frekvencije, precizne granice razreda (definicije)

• Korigirane frekvencije (fci) izračunavaju se dijeljenjem izvornih frekvencija (fi) s veličinom razreda (i). Korigiraju se samo frekvencije distribucije nejednakih razreda.

• Distribucija frekvencija ima precizne granice razreda, kada je donja granica tekućeg razreda jednaka gornjoj granici prethodnog razreda.

if

f ic =

2. SREDNJE VRIJEDNOSTI

Definicija srednje vrijednosti

• Srednja vrijednost je konstanta kojom se predstavlja niz varijabilnih podataka.(Šošić, I., 2004.)

• SV se još nazivaju i mjerama centralne tendencije(centralna tendencija = pojava grupiranja manjih frekvencija oko najveće vrijednosti distribucije frekvencija).

• Izbor SV ovisi o vrsti statističke varijable (obilježja) odnosno niza za koji se određuje.

• U analizi numeričkog niza koriste se sve potpune i položajne SV. U analizi nominalnog niza koristi se mod (uz određene uvjete), a u analizi redoslijednog nizamod i medijan.

Vrste srednjih vrijednosti

• SV se dijele na potpune i položajne.• Potpuna SV određuje se na temelju svih

podataka. • Položajna SV po pravilu je jedan

modalitet statističke varijable, koji se identificira sukladno definiciji SV ili se aproksimira pomoću manjeg broja podataka.

VRSTE SREDNJIH VRIJEDNOSTI

POTPUNE SREDNJE VRIJEDNOSTI

POLOŽAJNESREDNJE VRIJEDNOSTI

Aritmetička sredina

Harmonijska sredina

Geometrijska sredina

Mod

Medijan

3. ARITMETIČKA SREDINA

Definicija aritmetičke sredine (AS)

• AS je najvažnija i najraširenija SV. Određuje se tako da se zbroje vrijednosti numeričke varijable i podijele s njihovim brojem.

• Zbroj vrijednosti numeričke varijable naziva se total, pa je AS jednaki dio totala po jedinici.

Jednostavna (neponderirana) AS

Ako su dane pojedinačne vrijednosti numeričke varijable Xi: x1, x2, x3, …, xi, …, xN, njihova je aritmetička sredina:

N

X

NX...XXX

N

1ii

N21∑==

+++=

Vagana (ponderirana) AS

Ponderi su veličine kojima se množe (važu) vrijednosti numeričke varijable Xi. Postavljaju se pitanja: •Čime je vagana ponderirana AS? – frekvencijama•Što se važe pri izračunavanju vagane AS? – vrijednost numeričkog obilježja (frekvencije, relativne frekvencije ili njima proporcionalne veličine).

∑∑

∑

∑=

=

=

= ====k

1i1ii

k

1iii

k

1ii

k

1iii

mX,xpX,100

xPX,

f

xfX

Izračunavanje AS pomoću apsolutnih frekvencija

Negrupirane jedinice Grupirane jedinice

N

xX

N

1ii∑

==∑

∑

=

== k

1ii

k

1iii

f

xfX

Izračunavanje AS pomoću relativnih frekvencija

Grupirane jedinice – Vagana (ponderirana) AS

oko nule

Linearna transformacija ili kodiranje

oko a

Oko a uz b (b≠0)

∑=

=k

1iii xpX

∑ −=+= axd,dpaX iiii

∑ −=+=

bax'd,'dpbaX i

iii

Svojstva AS

PRVO SVOJSTVO: Algebarski zbroj odstupanja vrijednosti numeričkog obilježja od AS jednak je nuli.

DRUGO SVOJSTVO: Zbroj kvadrata odstupanja originalnih vrijednosti numeričkog obilježja od aritmetičke sredine jednak je minimumu.

TREĆE SVOJSTVO: AS se uvijek nalazi između najmanje i najveće vrijednosti numeričkog obilježja xi.

( ) ( )∑ ∑ =−=− 0xxif,0xx ii

( )∑ =− minxx2

i

maxmin XXX ⟨⟨

PRIMJER: Izračunavanje jednostavne AS (negrupirani podaci)

Koliko iznosi AS za navedeni numerički niz?

Xi: 17 17 21 34 35 40 41 42 50 50 53 55

Rješenje:

91667.37455121X

455x,xN1X ii

==

== ∑∑

PRIMJER: Izračunavanje vagane AS (grupirani podaci)

Koliko iznosi AS za navedeni numerički niz?

xi: 500 550 600 700 750 800 ∑

fi: 35 78 22 15 10 4 164

fixi 17500 42900 13200 10500 7500 3200 94800

Rješenje:

04878,578164

94800fxf

Xi

ii ===∑∑

PRIMJER: Izračunavanje AS distribucije frekvencija s razredima

Razredi fi Xsi fixi

0 – 5 123 2,5 307,5

5 – 10 157 7,5 1177,5

10 – 15 20 12,5 250,015 – 20 10 17,5 175,0Ukupno 310 - 1910

2llx 2i1i

si+

=

Rješenje:Vagana AS distribucije frekvencija iznosi:

( )

1612903,63101910X

3105,1710...5,2123

fxf

Xi

ii

==

×++×==

∑∑

4. HARMONIJSKA SREDINA

Definicija harmonijske sredine

HS je recipročna vrijednost AS njezinih recipročnih vrijednosti.

Uporaba HS (rjeđa od AS):- za izračunavanje prosječnog vremena za izradu

jedinice proizvoda,- srednjeg vremena obrtaja kapitala,- prosječnog vremena prijeđene jedinice puta i sl.,- izračunavanje sredine relativnih brojeva s istim

brojnicima.

Izračunavanje HS

JednostavnaHS

(negrupirani podaci)

VaganaHS

(grupirani podaci)

∑=

= N

1i ix1

NH

∑

∑

=

== k

1i i

i

k

1ii

xf

fH

PRIMJER: Jednostavna HS

Na 5 strojeva različite starosti izrađuje se isti proizvod, odnosno strojevi su različito produktivni. U 8-satnom radnom vremenu utvrđen je prosječan utrošak vremena po jedinici proizvoda u minutama, te je prikazan u tabeli.

Stroj A B C D E

Utrošeno vrijeme po jedinici proizvoda (min.) 0.8 1.0 1.2 1.2 1.5

• Kolika je prosječna produktivnost strojeva izražena utroškom vremena po proizvodu?

• Koliko je proizvoda proizvedeno na svim strojevima?

Utrošak vremena po jedinici proizvoda je omjerni broj kojemu je u brojniku utrošeno vrijeme. Kako svaki stroj radi 8 sati, to suutrošena radna vremena strojeva po jedinici proizvoda relativni brojevi (razlomci) istih brojnika. U tom slučaju za izračunavanje HS koristiti će se jednostavna HS:

.min0909.158333.4

5H

5.11

2.11

2.11

11

8.01

5

x1

NH

i

==

++++==

∑

Prosječni utrošak po jedinici proizvoda za sve strojeve zajedno iznosi 1.09 minuta.

Prosječni utrošak vremena po jedinici proizvoda je omjerni broj. U njegovu je brojniku ukupno utrošeno vrijeme, a u nazivniku broj proizvoda.Prosječno utrošeno vrijeme po jedinici proizvoda iznosi 1.0909 minuta, a ukupno vrijeme svih strojeva (8 sati svaki):5 x 8 x 60 = 2400 minuta.

Prema tome, proizvodnja na svim strojevima (nazivnik omjernog broja) iznosi 2400 : 1.0909 = 2200 komada.

PRIMJER: Vagana HSProsječna prodajna cijena proizvoda 2002. godine, te struktura vrijednosti prodaje prema prodajnim područjima:

Područje Prosječna prodajna cijena u kunama

Struktura vrijednosti prodaje

u %

Sjever 490 35.0

Središnja regija 500 40.0

Jug 494 25.0

Odredite kolika je prosječna prodajna cijena za sva tri područjazajedno.

Rješenje:

9615.4942020359.0

100H

49425

50040

49035

254035

xff

H

i

i

i

==

++

++==

∑∑

Prosječna prodajna cijena za sva tri područja zajedno iznosi (zaokruženo) 495 kuna.

5. GEOMETRIJSKA SREDINA

Definicija geometrijske sredine

• Geometrijska sredina je potpuna sredina vrijednosti numeričke varijable.

• Izračunava se za niz pojedinačnih vrijednosti (jednostavna) i za grupirane podatke (vagana).

• Koristi se u analizi vremenskih nizova, za izračunavanje prosječne stope promjene pojave.

Izračunavanje GS

Jednostavna GS Vagana GS

∑=

=

=k

1iii

N fkk

fii

2f2

1f1

xlogfN1Glog

x,...,x,...,xxG

∑=

=

=N

1ii

NNi21

XlogN1Glog

x,...x,...xxG

PRIMJER: Jednostavna GS

Zadane su pojedinačne vrijednosti numeričke varijable:

Xi: 115 120 98 117 134 100 101 95 125 130 116

Kolika je geometrijska sredina? Odredite i aritmetičku sredinu.

727.113X

997.112G116130...98120115G 11

=

=×××××=

PRIMJER: Vagana GSDistribucija anketiranih prema broju članova je:

xi: 1 2 3 4 5 6

fi: 3 6 26 15 6 4

Odredite vrijednost geometrijske i aritmetičke sredine.

230.3G654321G

x,...,xxG60 46153663

N fkk

2f2

1f1

=×××××=

=

Aritmetička sredina distribucije je 3.45 članova.

6. MEDIJAN

Definicija medijana

• Medijan je položajna SV koja numerički niz uređen po veličini dijeli na dva jednaka dijela.

• U jednom se dijelu numeričkog niza nalaze elementi koji imaju vrijednost numeričkog obilježja jednaku ili manju od medijana, dok se u drugom dijelu nalaze oni elementi koji imaju vrijednost numeričkog obilježja jednaku ili veću od medijana.

N/2 XmaxXmin

50% jedinica 50% jedinicaMe

Izračunavanje medijana

NUMERIČKI NIZ

Negrupirani Grupirani

PARNI broj

članova

NEPARNIbroj

članovaDiskontinuirani Kontinuirani

Medijan za negrupirane statističke nizove

Ako je broj podataka neparan, medijan je vrijednost varijable središnjeg člana niza uređenog po veličini.Ako niz ima parni broj članova, medijan je jednak poluzbroju vrijednosti varijable središnjih dvaju članova uređenog niza.

⎪⎩

⎪⎨⎧

+=+

2XX

XMe

1rr

r

PRIMJER: Izračunavanje Me za NEPARNI broj podataka

Xi: 2 12 3 4 2 5 2 7 8Koliko iznosi medijan?

Uređeni podaci su:

2 2 2 3 4 5 7 8 124

N = 9, Xr = 5, Me = 4

Medijan je 4, što znači da 50% elemenata niza ima vrijednost numeričkog obilježja 4 i manju od 4, a 50% elemenata niza ima vrijednost 4 i veću od 4.

PRIMJER: Izračunavanje Me za PARNI broj podataka

Xi: 2 12 3 4 2 5 2 7 8 2 9 2

Koliko iznosi medijan?

Uređeni niz podataka:

2 2 2 2 2 3 4 5 7 8 9 123 4

Xr + Xr+1 / 2, 3+4/2 = 3,5, Me = 3,5

Medijan je 3.5, što znači da 50% elemenata niza ima vrijednost numeričkog obilježja 3.5 i manju, a 50% elemenata niza ima vrijednost obilježja 3.5 i veću od 3.5.

MEDIJAN za grupirane statističke nizove u razrede

if

f2N

LMemed

1

1

∑−+=

N – broj frekvencija (apsolutnih ili relativnih); fmed – frekvencija medijalnog razreda; i – veličina medijalnog razreda; L1 – donja granica medijalnog razreda; ∑f1 – frekvencija kumulativnog niza “manje od” ispred medijalnog razreda

PRIMJER: Izračunavanje Me za distribuciju frekvencija s razredima

Godine života Broj osoba Kumulativni niz Veličina razreda

fi “manje od” i15 – 20 67170 67170 5

20 – 25 48482 115652 5

25 – 30 119819 235471 5 i30 – 40 82263 317734 1040 – 50 10604 328338 10

50 – (65) 13392 341730 (15)ukupno 341730 - -

Osobe prijavljene u Hrvatskom zavodu za zapošljavanje, stanje potkraj 1999. godine:

Rješenje:

304402.27Me

5119819

11565217086525Me

=

−+=

Medijan iznosi (zaokruženo) 27 godina. Prema njemu, dob prve polovice osoba koje su bile prijavljene u zavodu za zapošljavanje iznosila je 27 i manje godina, a druga polovica osoba je starija od 27 godina.

PRIMJER: Izračunavanje Me za diskontinuirani numerički niz

Test sadrži pet zadataka. Broj riješenih zadataka 43 studenta bio je ovakav:

Broj riješenih zadataka Broj studenata Kumulativni niz

xi fi “manje od”0 3 31 7 102 12 223 16 384 3 415 2 43

ukupno 43 -Koliki je medijalni broj riješenih zadataka?

Rješenje:

Ovdje je broj podataka 43 (neparni broj). Medijan je broj riješenih zadataka s rednim brojem r = N/2 + 1.Dakle, r = 22, pa je medijalni broj zadataka 2.Pri određivanju medijana grupiranih podataka koristi se i empirijska funkcija distribucije (kumulativni niz manje od).Student pod rednim brojem 22 nalazi se u kumulativnoj frekvenciji Sx(2) = 22, pa je medijan jednak 2 riješena zadatka.

Oblici distribucije podataka

• Aritmetička sredina > Medijan: pozitivno asimetrična distribucija (ili desna asimetrija)

• Aritmetička sredina = Medijan: simetrična distribucija (ili 0 asimetrija)

• Aritmetička sredina < Medijan: negativno asimetrična distribucija (ili lijeva asimetrija)

7. MOD

Definicija moda

• Mod je položajna SV. • To je vrijednost ili modalitet varijable koji se

najčešće pojavljuje u nizu. Mod postoji ako su u nizu bar dva jednaka podatka.

• Prema tome, mod je modalitet nominalne varijable, rang-varijable ili numeričke varijable s najvećom frekvencijom.

• Mod dijeli distribuciju na rastuću i padajuću stranu.

Izračunavanje moda distribucije frekvencija s razredima

( )( ) ( ) icbab

abLM 1o −+−−

+=

b – najveća (korigirana) frekvencija; a – frekvencija ispred nje; c –frekvencija iza najveće korigirane frekvencije; L1 – donja granica modalnog razreda; i – veličina modalnog razreda

Kada su razredi jednakih veličina koristiti će se originalne frekvencije. Ako su razredi nejednakih veličina, vrši se “korigiranje frekvencija” (fci=fi/i).Modalni je razred onaj s najvećom frekvencijom.

PRIMJER: Izračunavanje moda za niz negrupiranih podataka

Za numerički niz:

Xi: 2 12 3 4 2 5 2 7 8 2 9 2

Odredite koliko iznosi mod za navedeni niz podataka.

Rješenje:Na temelju podataka iz tabele, može se zaključiti da je najčešća vrijednost 2. Prema tome, mod je 2.

PRIMJER: Izračunavanje moda za niz kvalitativnih podataka

Rezultati prvog kolokvija iz Statistike, održanog u zimskom semestru 2006. godine na FTHM Opatija (grupa zadataka B), prikazani su u tabeli:

Ocjena Izvrstan Vrlo dobar Dobar Dovoljan Nedovoljan

Broj studenata 2 9 20 23 57

Odredite mod za niz podataka u tabeli.Varijabla ocjena je kvalitativna (rang-varijabla). Mod je ocjena koju je postigao najveći broj studenata.

U primjeru je modalna ocjena nedovoljan.

PRIMJER: Izračunavanje moda distribucije frekvencija s razredima

Broj prometnih nezgoda prema godinama starosti:

Godine starosti

Broj sudionika u prometnim nezgodama

Precizne granice razreda

Razredna sredina

Veličina razreda

fi xsi i

0 – 4 12 0 – 5 2,5 5

5 – 9 20 a 5 – 10 7,5 5

10 – 14 28 b 10 – 15 12,5 515 – 19 19 c 15 – 20 17,5 5

20 – 24 11 20 – 25 22,5 5

ukupno 90 - - -

Rješenje:

( ) ( )godina35,12M

519282028

202810M

o

o

=−+−

−+=

Dakle, dobna skupina, koja najčešće stradava u prometnim nezgodama je stara 12,35 godina.

Poligon frekvencija

0

5

10

15

20

25

30

0-5 5-10 10-15 15-20 20-25

godine starosti

broj

sud

ioni

ka p

rom

etni

h ne

zgod

a

Mo = 12,35

ZAKLJUČAK

• Praktična uporaba SV u statistici podrazumijeva određivanje načina izračunavanja SV, koja će okarakterizirati centralnu tendenciju neke pojave.

• Svaka SV ima točno određeno računsko pravilo po kojemu se određuje, a samim tim i specifična svojstva. Upravo specifična svojstva SV određuju koja će se SV u danom slučaju uporabiti.

Primjer 1. – negrupirani podaci

Zadan je sljedeći numerički niz:

Izračunajte:a) aritmetičku sredinu,b) harmonijsku sredinu,c) geometrijsku sredinu,d) mod,e) medijan.

202 206 190 196 198 208

Primjer 1 - Rješenje

xi 1/xi logxi rx

202 0,0050 2,3054 190206 0,0049 2,3139 196190 0,0053 2,2788 198196 0,0051 2,2923 202198 0,0051 2,2967 206208 0,0048 2,3181 208

Σ1 200 0,03 13,8052 -

Primjer 1 - Rješenje

• Aritmetička sredina

• Harmonijska sredina

2006

1200=== ∑

NXi

X

20003,06

1===

∑ix

NH

Primjer 1 - Rješenje

• Geometrijska sredina (1. način)

92,1993009,2log

8052,1361log

log1log

==

⋅=

⋅= ∑

GG

G

xN

G i

Primjer 1 - Rješenje

• Geometrijska sredina (2. način)

91,1992081981961902062026

654321

==⋅⋅⋅⋅⋅=

=⋅⋅⋅⋅⋅= N xxxxxxG

Primjer 1 - Rješenje

• ModMod ne postoji, jer u nizu nema barem dva jednaka podatka (obilježja).

• MedijanOdređivanje rednog broja:

Izračunavanje medijana:

326

21 ===Nr

413112 =+=+= rr

2002202198

221 =

+=

+= rr xxMe

Primjer 2. – grupirani podaci bez razreda

Na kolokviju iz kolegija Statistika 30 studenata ostvarilo je sljedeće rezultate:

Izračunajte:a) aritmetičku sredinu,b) harmonijsku sredinu,c) geometrijsku sredinu,d) mod,e) medijan.

Ocjena 1 2 3 4 5Broj studenata

3 4 9 10 4

Primjer 2 - Rješenje

xi fi xi fi fi/ xi log xi filog xi Kum.niz

1 3 3 3,00 0 0 3

2 4 8 2,00 0,3010 1,2040 7

3 9 27 3,00 0,4771 4,2939 16

4 10 40 2,50 0,6021 6,0210 26

5 4 20 0,80 0,6989 2,7956 30

Σ 30 98 11,30 2,0791 14,3145 -

Primjer 2 - Rješenje

• Aritmetička sredina

• Harmonijska sredina

27,33098

==⋅

=∑∑

i

ii

ffx

X

65,230,1130

===

∑∑

i

i

i

xff

H

Primjer 2 - Rješenje

• Geometrijska sredina (1. način)

iii

xff

G log1log ∑∑⋅=

3145,14301log ⋅=G

47715,0log =G

00,3=G

Primjer 2 - Rješenje

• Geometrijska sredina (2. način)

00,3625104857619683161

5432130

30 410943

5432154321

==⋅⋅⋅⋅=

=⋅⋅⋅⋅=

=⋅⋅⋅⋅= N fffff xxxxxG

Primjer 2. - Rješenje

• Mod

• Medijan

4=Mo

15230

2===

NMe

3=Me

Primjer 3. – grupirani podaci s razredima

Zadan je sljedeći numerički niz:

Izračunajte:a) aritmetičku, harmonijsku i geometrijsku sredinu,b) mod i medijan.

Starost u godinama Broj zaposlenih21 – 30 3231 – 40 16241 – 50 40451 – (65) 142Ukupno 740

Primjer 3 - Rješenje

Starost Br. zap. fi

Precizne granice xi i fc xifi fi/xi

21 – 30 32 21 – 31 26 10 3,2 832 1,2331 – 40 162 31 – 41 36 10 16,2 5 832 4,5041 – 50 404 41 – 51 46 10 40,4 18 584 8,7851 –(65) 142 51 – 65 58 14 10,1 8 236 2,45

Σ 740 - - - - 33 484 16,96

Primjer 3 - Rješenje

(nastavak tablice)

logxi filogxi Kumulativni niz“manje od”

1,4149 45,2768 32

1,5563 252,1206 1941,6627 671,7712 598

1,7634 250,4028 740

- 1 219,5714 -

Primjer 3 - Rješenje

• Sredina razreda

• Veličina razreda

• Korigirane frekvencije

221 LL

xi+

=

12 LLi −=

if

f ic =

Primjer 3 - Rješenje

• Aritmetička sredina

• Harmonijska sredina

25,4574033484

==⋅

=∑∑

i

ii

ffx

X

63,4396,16

740===

∑∑

i

i

i

xff

H

Primjer 3 - Rješenje

• Geometrijska sredina

iii

xff

G log1log ∑∑⋅=

5714,12197401log ⋅=G

6481,1log =G

47,44=G

Primjer 3 - Rješenje

• Mod

( ) ( )

44,45

10)1,104,40()2,164,40(

2,164,4041

1

=

=⋅−+−

−+=

=⋅−+−

−+= i

cbababLMo

Primjer 3 - Rješenje

• Medijan

if

fN

LMemed

⋅−

+=∑ 1

12 370

2740

2==

N

36,451040419437041 =⋅

−+=Me

LITERATURA

Šošić, I, Serdar, V.: “Uvod u statistiku”, Školska knjiga, Zagreb, 2000., str. 19-26Šošić, I.: “Primijenjena statistika”, Školska knjiga, Zagreb, 2004. (str. 1-32)Šošić, I.: “Statistika”, udžbenik za srednje škole, Školska knjiga, Zagreb, 1999. (str. 1-63)Čaval, J.: “Statističke metode u privrednim i društvenim istraživanjima”, Sveučilište u Rijeci, Rijeka, 1992. (str. 37-52)Rozga, A., Grčić, B.: “Poslovna statistika”, Veleučilište u Splitu, Split, 1999., str. 16-53