View
229
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
Adam Hendra Brata
Probabilitas dan
Statistika“Ruang Sampel”
Probabilitas
Probabilitas
Probabilitas adalah suatu ilmu untuk
memprediksi suatu kejadian (event) atau dapat
disebut peluang suatu kejadian berdasarkan
pendekatan matematis.
Dengan ilmu probabilitas, kita dapat
memprediksikan suatu kejadian berdasar
kumpulan data yang telah diolah dengan ilmu
statistik.
Probabilitas
- Ruang
Sampel
Pencacahan
Permutasi
Kombinasi
Ruang Sampel
Ruang Sampel
Ruang Sampel adalah kumpulan semua even
(kejadian) atau himpunan dari semua outcome
yang mungkin dari suatu eksperimen random
dinyatakan dengan S
Suatu elemen/unsur/anggota pada Ruang
sampel (S ) disebut titik sampel (sample point)
Menurut banyaknya hasil dalam ruang sampel
dibedakan menjadi ruang sampel diskrit dan
ruang sampel kontinu
Probabilitas
- Ruang
Sampel
Pencacahan
Permutasi
Kombinasi
Ruang Sampel
Ruang Sampel
Ruang sampel S dikatakan diskrit , bila ruang
sampel tersebut mengandung titik (unsur) yang
berhingga atau tak berhingga yang dapat
disusun menurut barisan sederhana
- Percobaan pelemparan uang koin
Sedangkan ruang sampel dikatakan kontinu ,
bila ruang sampel mengandung titik yang tak
hingga yang dinyatakan dalam garis real atau
dinyatakan dalam interval dengan semesta
bilangan real
- Percobaan pengukuran tinggi badan
Probabilitas
- Ruang
Sampel
Pencacahan
Permutasi
Kombinasi
Ruang Sampel
Contoh Ruang Sampel
Eksperimen melempar sebuah mata koin dua
kali (dua buah koin yang dilempar sekali), maka
ruang sampelnya :
S = { GG , GA , AG , AA}
Eksperimen pelemparan sepasang dadu merah
dan hijau, maka ruang sampelnya :
S = {(x,y) | x = 1 , 2 , … , 6 ; y = 1 , 2 , … ,6 }
Eksperimen mengukur berat badan seseorang
yang beratnya antara 45,5 dan 50,5 , maka
ruang sampelnya :
S = { x | 45,5 < x < 50,5 }
Probabilitas
- Ruang
Sampel
Pencacahan
Permutasi
Kombinasi
Ruang Sampel
Pelemparan 2 Keping KoinProbabilitas
- Ruang
Sampel
Pencacahan
Permutasi
Kombinasi
Ruang Sampel
Pelemparan 2 Keping Koin
Angka A
Angka A
Garuda G
Garuda G
E1 = AA
E2 = AG
E3 = GA
E4 = GG
Angka A
Garuda G
Koin 1 Koin 2 Hasil
Kejadian Koin 1 Koin 2
E1 Angka Angka
E2 Angka Garuda
E3 Garuda Angka
E4 Garuda Garuda
Probabilitas
- Ruang
Sampel
Pencacahan
Permutasi
Kombinasi
Pencacahan
Pencacahan
Pencacahan adalah menyatakan banyaknya
kemungkinan berbeda dari suatu persoalan
Contoh
Berapa banyak rute yang dapat ditempuh dari kota
S ke kota T, jika diketahui jaringan jalan seperti
berikut ?
S A T
X1
X2
X3
Y1
Y2
Probabilitas
- Ruang
Sampel
Pencacahan
Permutasi
Kombinasi
Pencacahan
Aturan Penjumlahan (Sum Rule)
Jika ada suatu prosedur terdiri dari m-buah
pekerjaan, T1, T2, …, Tm, yang masing-masing
dapat dilakukan dengan n1, n2, …, nm cara, dan
setiap pasang pekerjaan tersebut tidak dapat
dilakukan secara bersamaan, maka akan ada n1
+ n2 + … + nm cara untuk melakukan pekerjaan
ini
Contoh
Prodi TIF UB akan memberikan hadiah sebuah
komputer kepada seorang mahasiswa atau
seorang dosen secara eksklusif. Ada berapa
banyak pilihan berbeda jika ada 800 mahasiswa
dan 110 orang dosen di TIF ?
Probabilitas
- Ruang
Sampel
Pencacahan
Permutasi
Kombinasi
Pencacahan
Aturan Penjumlahan (Sum Rule)
Contoh
Prodi TIF UB akan memberikan hadiah sebuah
komputer kepada seorang mahasiswa atau
seorang dosen secara eksklusif. Ada berapa
banyak pilihan berbeda jika ada 800 mahasiswa
dan 110 orang dosen di TIF ?
Jawab: Ada 800 + 110 = 910 buah pilihan
Probabilitas
- Ruang
Sampel
Pencacahan
Permutasi
Kombinasi
Pencacahan
Aturan Perkalian (Product Rule)
Jika ada suatu prosedur yang terdiri atas
pekerjaan-pekerjaan yang dilakukan secara
berurutan T1, T2, …,Tm yang masing-masing
dapat dilakukan dengan n1, n2, …, nm buah
cara, maka akan ada n1×n2 ⋅ …×nm buah cara
untuk mengerjakan prosedur tersebut
Contoh
Nomor polisi yang tertulis di plat nomor kendaraan
bermotor dibuat dengan 3 buah abjad. Ada berapa
buah kemungkinan kode yang dapat dibuat?
Probabilitas
- Ruang
Sampel
Pencacahan
Permutasi
Kombinasi
Pencacahan
Aturan Perkalian (Product Rule)
Contoh
Nomor polisi yang tertulis di plat nomor kendaraan
bermotor dibuat dengan 3 buah abjad. Ada berapa
buah kemungkinan kode yang dapat dibuat ?
Jawab : Ada 26 buah kemungkinan untuk huruf
pertama, kemudian 26 buah kemungkinan untuk
huruf kedua dan 26 kemungkinan lain untuk
huruf terakhir. Jadi terdapat 26⋅26⋅26 = 17576
buah nomor polisi yang berbeda yang bisa dibuat
dari 3 buah abjad
Probabilitas
- Ruang
Sampel
Pencacahan
Permutasi
Kombinasi
Permutasi
Permutasi
Penyusunan kembali suatu kumpulan objek
dalam urutan yang berbeda dari urutan yang
semula
Susunan urutan yang dapat dibentuk dari suatu
kumpulan benda yang diambil seluruhnya atau
sebagian
Permutasi memperhatikan urutan, ( AB ≠ BA )
Probabilitas
- Ruang
Sampel
Pencacahan
Permutasi
Kombinasi
Permutasi
Permutasi
Terdapat beberapa jenis permutasi, yaitu :
1. Permutasi dari n benda yang berlainan
2. Permutasi dari n benda berlainan yang diambil
k sekaligus
3. Permutasi dengan elemen yang sama
4. Permutasi siklis atau permutasi dari n benda
yang disusun secara melingkar
5. Permutasi dengan penyekatan
Probabilitas
- Ruang
Sampel
Pencacahan
Permutasi
Kombinasi
Permutasi (n)
Permutasi dari n Benda yang Berlainan
Contoh
Berapakah permutasi dari 4 kartu huruf A, B, C
dan D yang nantinya digunakan untuk sebuah
kode ?
Probabilitas
- Ruang
Sampel
Pencacahan
Permutasi
Kombinasi
Permutasi (n,k)
Permutasi dari n Benda yang Berlainan yang
Diambil k Sekaligus
Contoh
Banyaknya bilangan yang terdiri atas 2 angka
yang berbeda yang dapat disusun dari angka -
angka 3, 5, dan 7?
Probabilitas
- Ruang
Sampel
Pencacahan
Permutasi
Kombinasi
Permutasi (n,k)
Permutasi dari n Benda yang Berlainan yang
Diambil k Sekaligus
Contoh
Banyaknya bilangan yang terdiri atas 2 angka
yang berbeda yang dapat disusun dari angka-
angka 3, 5, dan 7?
Banyaknya bilangan yang terdiri atas 2 angka
berbeda dan disusun dari angka-angka 3, 5, dan 7
adalah sama dengan permutasi yang terdiri atas
dua unsur yang dipilih dari 3 unsur, P (3, 2)
P (3, 2) = 3!/(3-2)! = 3!/1! = 3 x 2 x 1!/1! = 3 x 2 = 6
Probabilitas
- Ruang
Sampel
Pencacahan
Permutasi
Kombinasi
Permutasi Elemen Identik
Permutasi dengan Elemen yang Sama
Untuk untai S sepanjang n yang mengandung
satu macam unsur identik sebanyak k :
Contoh
Suatu untai aabc terdiri dari 4 macam unsur,
yaitu a, b, dan c tetapi unsur a muncul sebanyak
2 kali. Kedua a tersebut identik. Permutasi dari
aabc ?
Probabilitas
- Ruang
Sampel
Pencacahan
Permutasi
Kombinasi
Permutasi Elemen Identik
Permutasi dengan Elemen yang Sama
Contoh
Suatu untai aabc terdiri dari 4 macam unsur,
yaitu a, b, dan c tetapi unsur a muncul sebanyak
2 kali. Kedua a tersebut identik. Permutasi dari
aabc ?
Total permutasi dari untai aabc adalah sebanyak
4! = 24. Tetapi total permutasi ini juga mencakup
posisi a0 dan a1 yang bertukar-tukar, yang
jumlahnya adalah 2! (karena a terdiri dari 2 unsur:
a0 dan a1). Dengan demikian jika dianggap a0 =
a1 maka banyak permutasinya menjadi 4! dibagi
dengan 2!
Probabilitas
- Ruang
Sampel
Pencacahan
Permutasi
Kombinasi
Permutasi Elemen Identik
Permutasi dengan Elemen yang Sama
Lebih umum lagi, jika panjang untai adalah n,
mengandung m macam unsur yang masing-
masing adalah sebanyak k1, k2, ..., km, maka :
Contoh
Hitunglah banyak permutasi huruf yang mungkin
terjadi jika diberikan huruf m,a,t,e,m,a,t,i,k,a ?
Probabilitas
- Ruang
Sampel
Pencacahan
Permutasi
Kombinasi
Permutasi Siklis
Permutasi dengan n Benda yang Disusun
Secara Melingkar
Banyak permutasi n benda berlainan yang
disusun melingkar adalah (n-1)!
Contoh
Dalam sebuah rapat ada 8 orang duduk
melingkar. Berapa susunan duduk yang
berlainan dalam rapat tersebut ?
Permutasi siklis dapat dihitung
dengan menganggap bahwa satu
elemen harus ditulis sebagai awal
untai abcdefgh
Jadi Permutasinya : (8-1)! = 7!
Probabilitas
- Ruang
Sampel
Pencacahan
Permutasi
Kombinasi
Permutasi dengan Penyekatan
Permutasi dengan Penyekatan
Banyak permutasi n benda berlainan yang
disusun melingkar adalah (n-1)!
Banyaknya permutasi dari n benda jika n1
diantaranya berjenis pertama, n2 berjenis
kedua dan seterusnya hingga nk berjenis ke
k adalah :
Probabilitas
- Ruang
Sampel
Pencacahan
Permutasi
Kombinasi
Permutasi dengan Penyekatan
Permutasi dengan Penyekatan
Contoh
Ada 9 bola lampu disusun seri. Berapa cara
menyusun bola lampu tersebut jika 3
diantaranya merah, 4 biru dan 2 hijau ?
Probabilitas
- Ruang
Sampel
Pencacahan
Permutasi
Kombinasi
1260!2!4!3
!9
Kombinasi
Kombinasi
Kombinasi adalah penggabungan beberapa
objek dari suatu kelompok tanpa
memperhatikan urutan
Dengan kata lain, kombinasi adalah
pengelompokan beberapa objek tanpa melihat
urutan seperti halnya permutasi
Rumus kombinasi dari n benda yang
berlainan bila diambil sebanyak r adalah :
Probabilitas
- Ruang
Sampel
Pencacahan
Permutasi
Kombinasi
)!(!
!
rnr
nnCr
Kombinasi
Kombinasi
Contoh
Dalam babak penyisihan suatu turnamen sepak
bola, ada 4 tim yang satu sama lain akan
bertanding satu kali. Banyaknya pertandingan
yang terjadi adalah ?
Untuk menentukan banyaknya pertandingan yang
terjadi digunakan kombinasi, karena tidak melihat
urutannya lagi
C (4, 2) = 4!/(4-2)! 2!
= 4!/(2! 2!) = 4 x 3 x 2!/(2! 2!)
= 4x 3/ 2 x 1 = 12/2 = 6
Probabilitas
- Ruang
Sampel
Pencacahan
Permutasi
Kombinasi
Tugas 4
• Mengerjakan soal – soal yang berada di beberapa
slide selanjutnya secara individu
• Mengerjakan soal – soal tersebut dengan cara
menghitung dan ditulis di kertas
• Dikumpulkan pada pertemuan berikutnya (besok)
Tugas 4
1. Ada 5 buku matematika, 4 buku fisika dan 3 buku kimia.
Tentukan banyak cara menyusun buku tersebut dalam
sebuah rak jika :
a. peletakannya sembarang
b. buku fisika harus berkumpul jadi satu
c. buku fisika tidak boleh berkumpul jadi satu
2. Permutasikan semua susunan huruf : STATISTIKA
Tugas 4
3. Di dalam sebuah kelas dilangsungkan pemilihan pengurus
kelas dengan 4 jabatan tersedia. Di dalam kelas tersebut
terdapat 7 orang calon pengurus. Berapa kemungkinan cara
agar setiap posisi jabatan dijabat oleh seorang siswa yang
menjadi calon pengurus?
Ke
tua
Wa
kil
Se
kre
tari
s
Be
nd
ah
ara
GF
D E
B CA
Tugas 4
4. Seorang petani akan membeli 3 ekor ayam, 2 ekor kambing,
dan 1 ekor sapi dari seorang pedagang yang memiliki 6 ekor
ayam, 4 ekor kambing, 3 ekor sapi. Dengan berapa cara
petani tersebut dapat memilih ternak – ternak yang di
inginkannya ?
Terimakasih dan Semoga
Bermanfaat v^^
Recommended