Probabilitas 2

PROBAILITASMempelajari probabilitas sangat berguna untuk pengambilan keputusan yang tepat, karena kehidupan di dunia tidak ada kepastian, sehingga perlu untuk mengetahui berapa besar probabilitas suatu peristiwa akan terjadi. Probabilitas dinyatakan dalam angka pecahan antara 0 sampai 1 atau dalam persentase. Beberapa istilah penting dalam probabilitas adalah (a) percobaan, (b) hasil, dan (c) peristiwa.

Review : Beberapa Konsep

PERCOBAAN : (1) Proses yang menghasilkan data mentah.(2) Pengamatan terhadap beberapa aktivitas atau

proses yang memungkinkan timbulnya paling sedikit dua peristiwa tanpa memperhatikan peristiwa mana yang akan terjadi.

2 Sifat : (1) Setiap jenis percobaan mempunyai beberapa kemungkinan hasil atau peristiwa (event) yang akan terjadi (possible outcomes).

(2) Hasil setiap percobaan secara pasti sulit ditentukan.


Percobaan adalah peristiwa yang melahirkan suatu peristiwa= kejadian = event.

Percobaan melempar koin akan menghasilkan peristiwa muncul gambar atau angka.

Kegiatan jual-beli saham akan melahirkan peristiwa membeli atau menjual saham.

Perubahan harga akan melahirkan peristiwa Inflasi atau Deflasi

Pertandingan sepak bola akan melahirkan peristiwa menang, seri atau kalah.

Contoh: Pelemparan (toss) suatu dadu

Sample Space : S ={1,2,3,4,5,6}

Event: A = {muncul angka genap}, B = {muncul angka ganjil}, D= {muncul angka 2}


Dalam kebanyakan hal, hasil suatu percobaan akan tergantung kepada keboleh-jadian dan oleh karena itu tidak dapat diramalkan dengan pasti.

Sebuah mata uang yang dilantunkan beberapa kali, kita tidak akan pernah dapat memastikan bahwa suatu lantunan tertentu akan menghasilkan “muka”.

Akan tetapi kita tahu seluruh kemungkinan yang dapat terjadi untuk setiap lantunan.


Ruang Sample :

Ruang Contoh = sample space adalah Himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan (total possible outcomes) yang dilambangkan dengan S

Titik Sample :

Titik Contoh (sample point) adalah elemen-elemen (anggota-anggota atau unsur-unsur) dari ruang sample


Kejadian :

Peristiwa = event, merupakan himpunan bagian dari ruang sample atau bagian dari hasil percobaan yang diinginkan.

Jenis Kejadian :

Kejadian sederhana = elementer adalah kejadian yang hanya mempunyai satu titik sample.

Kejadian Majemuk adalah kejadian mempunyai titik sample lebih dari satu.


Kejadian elementer = kejadian sederhana adalah himpunan bagian dari kejaidan majemuk.

Kejadian elementer atau kejadian majemuk adalah himpunan bagian dari ruang sample.

Gabungan dari beberapa kejadian elementer membentuk kejadian majemuk dan gabungan dari semua kejadia elementer membentuk ruang sample.

PROBABILITAS ?

Kata probabilitas== peluang == kemungkinan

Probabilitas merupakan peluang bahwa sesuatu akan terjad,. atauSuatu nilai yang digunakan untuk mengukur tingkat terjadinya suatu kejadian yang acak (random).

Probabilitas biasanya dinyatakan dengan bilangan desimal atau bilangan pecahan.Nilai probabilitas berkisar antara 0 dan 1. Semakin dekat nilai probabilitas ke nilai 0 maka semakin kecil kemungkinan suatu kejadian akan terjadi dan sebaliknya.

PENDEKATAN PERHITUNGAN PROBABILITAS

Ada 3 (tiga) pendekatan konsep untuk mendefinisikan probabilitas dan menentukan nilai-nilai probabilitas, yaitu :

(1). Pendekatan Klasik(2). Pendekatan Frekuensi Relatif, dan (3). Pendekatan Subyektif

PENDEKATAN KLASIK

Pendekatan klasik didasarkan pada banyaknya kemungkinan-kemungkinan yang dapat terjadi pada suatu kejadian.

Jika a banyaknya kemungkinan yang dapat terjadi pada kejadian A dan b banyaknya kemungkinan yang tidak terjadi pada kejadian A, serta masing-masing kejadian mempunyai kesempatan yang sama dan saling asing, maka probabilitas bahwa kejadian A akan terjadi adalah :

P(A) =a

a + b

Contoh PENDEKATAN KLASIK :

contoh1 : Suatu perusahaan memiliki 30 karyawan pria (B) dan 15 karyawan wanita. Masing-masing karyawan mempunyai kartu presensi. Berapakah probabilitas yang diambil secara acak milik karyawan wanita ?

contoh2 : Pelamar pekerjaan terdiri dari 10 pria dan 15 wanita, jika yang diterima hanya satu, maka berapakah probabilitas bahwa ia seorang pria ?

contoh3 : Jika kita percaya bahwa kejadia A dua kali lebih besar bila dibandingkan dengan kejadian B, Berapakah probabilitas kejadian A ?

PENDEKATAN FREKUENSI RELATIF :

Dengan pendekatan ini, nilai probabilitas ditentukan atas dasar proporsi dari kemungkinan yang dapat terjadi dalam suatu observasi atau percobaan.

Tidak ada asumsi awal tentang kesamaan kesempatan, karena penentuan probabilitas didasarkan pada hasil obeservasi atau pengumpulan data.

Disebut juga emprirical approach

Contoh : PENDEKATAN FREKUENSI RELATIF :

Contoh1 : misalkan berdasarkan pengalaman empirik, pada pengambilan data sebanyak N, terdapat a kejadian yang bersifat A, maka probabilitas akan terjadi A untuk data N adalah :

P(A) =aN


Contoh2 : sebelum diadakan training untuk 100 karyawan, diedarkan angket terlebih dahulu. Dari angket tersebut didapat informasi bahwa terdapat 5 karyawan akan sakit gigi jika berada pada cuaca dingin. Jika training tetap diadakan pada daerah dengan cuaca dingin, maka probabilitas seorang akan mengalami sakit gigi adalah . . .

P(A) =5

100


Contoh3 :suatu catatan memperlihatkan bahwa dalam 180 hari dari 200 hari, sebuah supermarket menjual 225 – 300 kaleng susu. berapakah probabilitas penjualan kaleng susu sebanyak 225 – 300 ?

P(A) =180200

PENDEKATAN SUBJEKTIF

Pendekatan subjektif dalam penentuan probabilitas adalah tepat atau cocok jika hanya ada satu kemungkinan kejadian terjadi dalam satu kejadian.

Dengan pendekatan ini, nilai probabilitas suatu kejadian ditentukan berdasarkan tingkat kepercayaan yang bersifat individual dengan berlandaskan pada semua petunjuk yang dimilikinya.

Karena nilai probabilitas merupakan keputusan pribadi atau individual pendekatan ini sering disebut sebagai personal approach.

PENYAJIAN PROBABILITAS

Simbol P digunakan untuk melambangkan nilai probabilitas suatu kejadian. Dengan demikian P(A) berarti probabilitas bahwa kejaian A akan terjadi dalam observasi atau percobaan tunggal.

Nilai probabilitas terkecil adalah 0 yang berarti tidak mungkin terjadi, dan nilai tertinggi adalah 1 yang menyatakan suatu kejadian pasti terjadi.

PENYAJIAN PROBABILITAS

Jika dalam suatu observasi, kemungkinan kejadian ada 2 yaitu terjadi dan tidak terjadi, dengan demikian jumlah probabilitas terjadi dan tidak terjadi sama dengan 1

KejadianMeniadakan dan tidak meniadakan

Pengertian :

2 kejadian atau lebih disebut saling meniadakan == mutually exclusive jika kejadian-kejadian tersebut tidak dapat terjadi bersamaan.Satu kejadian tertentu akan menghalangi atau meniadakan satu atau lebih kejadian yang lain.

2 kejadian atau lebih disebut tidak saling meniadakan == non mutually exclusive jika kejadian-kejadian tersebut dapat terjadi bersamaan.

Contoh 1 :

Dalam studi tentang perilaku konsumen, seorang analisis mengklasifikasikan pengunjung sebuah toko radio dan tape berdasarkan dua jenis kelamin, yaitu laki-laki (A) dan Perempuan (B) serta umur dibawah 30 tahun (C) dan umur diatas 30 tahun (D)

Kejadian A dan B merupakan kejadian-kejadian yang saling meniadakan (mutually exclusive). Kejadian jenis kelamin laki-laki meniadakan jenis kelamin perempuan dan sebaliknya.

Demikian pula dengan kejadian C dan D yang saling meniadakan.

Contoh 1

Akan tetapi kejadian A dan dan kejadian C merupakan kejadian yang tidak saling meniadakan (non mutually exclusive) artinya kejadian-kejadian tersebut dapat terjadi bersama-sama.

Misalnya : ada pengunjung laki-laki dan berumur kurang dari 30 tahun.

Contoh 2

Seorang analisis sebuah bank mengambil data secara acak (random) dari sepuluh berkas yang diajukan oleh enam perusahaan komputer (A) dan empat perusahaan tekstil (B).

Empat dari perusahaan komputer dan dua dari perusahaan tekstil telah go-public (C).

Dua kejadian A dan B saling meniadakan, kejadian perusahaan komputer meniadakan perusahaan tekstil dan sebaliknya. Sedangkan kejadian B dan C disebut kejadian yang tidak saling meniadakan, sebab dapat terjadi berkas yang diambil adalah perusahaan tekstil dan go-public.

Contoh 3

Tabel berikut menunjukkan 400 karyawan tentang hasil tes dan hasil kerja.

Hasil TesHasil Kerja

TotalTinggi (H) Sedang(A) Rendah

Bagus (Q) 150 90 60 300

Sedang (F) 40 30 30 100

Total 190 120 90 400

Contoh 3

Probabilitas bahwa pengambilan secara random adalah seorang karyawan yang memiliki hasil tes bagus adalah :

P(Q) =300400

0.75

Probabilitas kejadian F dan H

P(H∩F) =40

4000.10

Contoh 3

Kejadian hasil tes bagus dan hasil test sedang merupakan kejadian yang mutually exclusive ==kejadian yang saling meniadakan. Oleh karena itu kejadian seorang karyawan yang memiliki hasil tes bagus dan hasil test sedang adalah :

P(Q∩F) = 0

HukumPENJUMLAHAN

Aturan Probabilitas

Hukum penjumlahan digunakan jika kita akan menghitung probabilitas suatu kejadian tertentu atau yang lain (atau keduanya) yang terjadi dalam suatu percobaan (observasi) tunggal.

Secara simbolis kita dapat menyatakan probabilitas kejadian A atau kejadian B yang muncul atau yang terjadi dengan lambang P(A atau B) yang dalam teori himpunan disebut probabilitas gabungan yang dilambangkan dengan P(A B)

Aturan Penjumlahan

Hukum penjumlahan tergantung dari apakah dua kejadian saling meniadakan atau tidak saling meniadakan,

Addition Rule = utk dua events A dan B yg terpisah/ disjoint (no common outcomes = mutually exclusive) :

P (A or B) = P(A) + P (B)

Contoh: Lempar suatu dadu: S = {1,2,3,4,5,6};mis A = {2}, B = {1,3,5}; P(A or B) = P(A) + P(B) = 1/6 + 1/2 = 2/3

Aturan Penjumlahan

Hukum penjumlahan untuk kejadian yang tidak saling meniadakan :

1. Dua kejadian

P(A atau B) = P(A) + P(B) – P(A dan B) atau

P(A B ) = P(A) + P(B) – P(A B)

2. Tiga kejadian

P(A atau B atau C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A dan B)

- P( A dan C) - P(B dan C) + P(A dan B dan C)

P(A B ) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A B) - P(A C) - P(B C) + P(A B C)

Contoh1 :

Dengan menggunaakan tabel diatas, tentukan probabilitas kejadian seorang karyawan yang memiliki hasil kerja tinggi atau sedang.

Jawab :

Karena kejadian karyawan yang mempunyai hasil kerja tinggi dan hasil kerja sedang merupakan kejadian yang saling meniadakan, maka : kejadian karyawan yang mempunyai kerja tinggi atau sedang adalah :

P(H atau A) = P(H) + P(A) = (190 + 120) / 400 = 0.775

Contoh2 :

Berdasarkan tabel di bawah, berapakah probabilitas bahwa pengambilan data perusahaan secara random akaan terpilih perusahaan yang memiliki laba per tahun :

a. Diantara 10 juta s.d 19 juta

b. kurang dari 20 juta

c. Salah satu dari kelompok ektrim (kurang dari 10 juta atau lebih dari 40 juta).

Contoh2 :

Kategori Batasan Laba per tahun Jumlah Perusahaan

A < 10 juta 60

B 10 juta s.d 19.999 juta 100

C 20 juta s.d 20,999 juta 160

D 30 juta s.d 39.999 juta 140

E 40 juta s.d 40,999 juta 40

Total 500

Jawab : a. P(B) = 100/500b. P(A atau B) = 60/500 + 100/500

c. P(A atau E) = 60/500 + 40/500

Contoh3 :

Dari seratus perusahaan, 40 diantaranya menggunakan personal komputer (P) dan 30 perusahaan menggunakan mini komputer (M). Dari 70 perusahaan di atas, 20 diantaranya menggunakan personal komputer dan mini komputer.

a. Buatlah diagram venn untuk menggambarkan kondisi di atas.

b. Berapakah probabilitas pada pengambilan secara random akan terjadi perusahaan yang menggunakan personal komputer atau mini komputer ?

c. Berapakah probabilitas pada pengambilan secara random akan terjadi perusahaan hanya menggunakan salah satu dari personal komputer atau mini komputer ?

Jawab Contoh3 :

b. P(P atau M) = P(P) + P(M) – P(P dan M)

P(P atau M) = 0.40 + 0.30 – 0.20 = 0.50

c. P(P atau M, tidak keduanya) = P(P atau M) – P(P dan M)

P(P atau M, tidak keduanya) = 0.5 - 0.20 = 0.30

Contoh4 :

Sebuah perusahaan memproduksi 3 jenis sabun (A, B, dan C) mengadakan penelitian pada 200 pengunjung toko swalayan. Dari penelitian tersebut diperoleh data sbb :

52 orang menggunaann sabun jenis A, 53 menggunakan sabun jenis B, 40 menggunakan sabun C.

25 orang menggunakan sabun jenis A dan B, 12 orang jenis sabun A dan C, 13 orang menggunakan jenis B dan C, 5 orang menggunakan jenis sabun A, B dan C.

a. Berapa probabilitas orang yang tidak menggunakan sabun dari perusahaan tersebut ?

b. Berapa probabilitas pengunjung yang hanya menggunakan satu jenis sabun dari perusahaan tersebut

Jawab Contoh4 :

P(A BC) = P(A) + P(B) + P(C) – P(AC) – P(AB) – P(BC) +

P(A BC

a. P(tidak menggunakan A, B atau C) = 1 - P(A BC)

b. P(pengunjung hanya menggunakan satu jenis produk tsb) =

P(A, B, atau C saja) = P(A BC) - P(AC) – P(AB) – P(BC) -

2P(A BC

Kejadian DependentIndependent dan Bersyarat

Konsep :

Berdasarkan pengaruh atau tidaknya suatu kejadian terhadap kejadian lain, kejadian-kejadian dibedakan menjadi 2, yakni kejadian yang dependent dan kejadian yang independent.

Dua kejadian dikatakan independent apabila terjadi atau tidaknya suatu kejadian tidak berpengaruh kepada probabilitas kejadian lain. dan sebaliknya.

Apabila kejadian dependent, maka konsep probabilitas bersyarat digunakan untuk menentukan probabilitas dari kejadian yang berkaitan.

Konsep :

Lambang untuk probabilitas bersyarat adalah P(A|B).

Lambang tersebut menyatakan probabilitas kejadian A dengan ketentuan kejadian B terjadi lebih dahulu. Besarnya probabilitas bersyarat tersebut ditentukan dengan rumus :

P(A∤B) =P(A∩B)

P(B)

Contoh1 :

Dari 240 lembar pengisian SPT untuk kelompk yang diterima oleh Kantor Inspeksi Wilayah Y diperoleh data sbb : Kelompok industri kecil A sebanyak 25% dari total lembar formulir, sedangkan industri sedang (D) dan industri besar (F) yang memasukkan pengisian formulir jumlahnya sama besar.Dari kelompok industri kecil yang mengisi dengan benar (B) sebanyak 30 perusahaan, mengisi salah (S) 20 perusahaan dan sisanya meragukan (M). Dari kelompok industri sedang, yang isinya meragukan (M) sebanyak 20 perusahaan, mengisi salah (S) sebanyak 30 perusahaan dan sisanya mengisi dengan benar (B).Dari peerusahaan besar (F) yang mengisi dengan benar (B) sebanyak 30 perusahaan, isian salah (S) sebanyak 50 perusahaan dan sisanya meragukan (M).

Contoh1 :

a. Dari Informasi tersebut buatlah tabelnya.b. P(A atau S)c. P(F dan A)d. P(F | M)e. P(B | A)f. P(A atau D atau F)g. P(B | F)

Contoh 2 :

Diploma IPB melakukan penelitian terhadap kedisplinan karyawan dalam menepati jam masuk kantor. Hasil penelitian tsb terlihat pada tabel :

Keterangan jml Karyawan (%)

tdk terlambat 70

terlambat paling lama 5 menit 20

terlambat lebih dari 5 menit 10

Diantara yang tidak terlambat 60%-nya berasal dari bagian Akademik dan dari yang terlambat kurang dari 5 menit terdapat 9 % dari bagian yang sama (Akademik) dan dari yang terlambat lebih dari 5 menit terdapat 50% dari bagian yang sama (Akademik). Jika bagian Akademik dipanggil secara acak, berapa probabilitas bahwa ia : (a) tidak terlambat, (b) terlambat kurang dari 5 menit, (c) terlambat lebih dari 5 menit ?

KUMPULKAN MingguD e p a n

Documents

Probabilitas 2