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Proceso de muestreo
Proceso de muestreo
• Análisis de señales muestreadas
• Teorema de Shanon
•
Señales en control por computador
Proceso
u(t)
y(t)computador D/A
A/Dy(kT)
u(kT)
wt
u(t)
t
y(kT)
t
y(t)
tT
Proceso de muestreo
• ¿Cuál debe ser el valor de T para no perder información esencial de y(t)?
• ¿Puede reconstruirse y(t) a partir de y(kT)?• Para contestar se debe investigar cuál es la relación entre
los componentes de frecuencia de y(t) y de y*(t)• ¿Puede utilizarse la transformada s para el análisis?• ¿Hay otra formulación equivalente?
y*(t)y(t)
t
T
t
Componentes de frecuencia de una señal
t
f(t)
=t
+
++ …
dte)t(f frecuencia de componente la de amplitud)(F
)t(jsen)tcos(ede)(F2
1)t(f
tj
tjtj
F() Transformada de Fourier
Espectro de frecuencias de la señal
Señales muestreadas / Tren de pulsosy*(t)y(t)
t
T
tT
n
T ...)T2t()Tt()t()nTt()t(
y(t)
TT
(t)
* =1
y*(t)
t
n
T* )nTt()nT(y..)Tt()Tt(y)t()t(y)t()t(y)t(y
kTt0
kTt)kT(y)t(y*
T(t)
Transformada de Fourier discreta
T
y*(t)
n
nTj
n
tjtj
n
tj**
e)nT(f
dte)t(f)nTt(dte)t(f)nTt(dte)t(f)(F
Señales periódicas
t
f(t) T Una señal periódica de periodo T siempre admite una descomposición en serie de Fourier
T
(t)1
Ejemplo: Tren de pulsos de periodo T
n
nTj
n
tjtj
n
tj edte)nTt(dte)nTt(dte)t(f)(F
t
n
T ...)T2t()Tt()t()nTt()t(
n
nTj
n
tjtj
n
tj edte)nTt(dte)nTt(dte)t(f)(F
Espectro de frecuencia de T(t)
01e1
1
e1
11e,e razones de sgeométrica series 2e
TjTjTjTj-
n
nTj
Si ≠ is s = 2/T
Si = is
isi
is
icF
ciF
)()(
)(
Espectro discontinuo
ci
F()
s
T
(t)1
t
n
tjnn
n
tjsnT
sec2
1de)n(c
2
1)t(
de)n(c2
1)t(
de)(F2
1)t(f
tj
nsnT
tj
Espectro de frecuencia de T(t)
En un periodo:
Espectro de una señal muestreada y*(t)
)n(YT
1dte)t(y
T
1
dteeT
1)t(ydte)t()t(ydte)t(y)(Y
sn
t)n(j
n
tj
n
tjntjT
tj**
s
s
)n(YT
1)(Y s
n
*
El espectro de frecuencias de la señal muestreada se obtiene sumando infinitas veces el espectro de la señal continua desplazado ns
Espectro de una señal muestreada y*(t)
)n(YT
1)(Y s
n
*
|Y()|
|Y*()|
Espectro continuo
… …Espectro discreto
0
0 s 2s-s-2s
1/T
Máxima frecuencia de la señal continua
s/2
Si 0 < s/2 los espectros laterales no se superponen y el contenido de frecuencias de Y y de Y* son identicos en [- 0 0 ]
Espectro de una señal muestreada y*(t)
)n(YT
1)(Y s
n
*
|Y()|
|Y*()|
Espectro continuo
… …
Espectro discreto
0
0 s 2s-s-2s
1/T
Máxima frecuencia de la señal continua
s/2
Si 0 > s/2 los espectros laterales se superponen y el contenido de frecuencias de Y* se distorsiona en [- 0 0 ]
Teorema de Shanon
|Y()|
|Y*()|… …Espectro discreto
0
0 s 2s-s-2s
1/T
Máxima frecuencia de la señal continua
s/2
Para que no haya pérdida significativa de la información el periodo de muestreo ha de cumplir 0 < s/2 = N = /T
TN0
N Frecuencia de Nyquist
“Aliasing”
Cuando se muestrea incorrectamente una señal pueden aparecer frecuencias en la señal muestreada que no están en la original
Señal continua
Señal muesteada
Ejemplo: Se muestrea a frecuencia menor que 20 En el computador se ve la señal como una de frecuencia menor
Toma de datos, filtrado “antialiasing”y*(t)y(t)
t
T
tT
y(t)
t
Filtro
Antes de muestrear una señal conviene pasarla por un filtro continuo pasa bajo (filtro “antialiasing”) para eliminar las frecuencias superiores a /T que distorsionarian la señal muestreada con el ordenador
P.e. Filtro de Bessel de segundo orden:
6129.1)/s(2098.2)/s(
6129.1
B2
B
B ancho de banda
Espectro de frecuencias
|Y*()|
0
No se suele representar un rango de frecuencias superior a /T porque es repetitivo y esas frecuencias no aparecen en la señal original/T
Si las frecuencias del espectro no tienden a cero antes de /T ello es síntoma de un T inadecuado
Periodo de muestreo T
|Y*()|
0 /T
El teorema de Shanon nos da un criterio para elegir un T adecuado para muestrear una señal, pero a veces es difícil de aplicar
Criterio práctico: Escoger T de modo que corresponda a tomar entre 10 – 30 muestras del tiempo de establecimiento T
Periodo de muestreo
En lazo cerrado normalmente los procesos son mas rápidos que en lazo abierto
T
Si se escoge T para un sistema de control, debe aplicarse la regla al tiempo de establecimiento esperado en lazo cerrado
t
t
y
y
¿Se puede recuperar y(t)?
|Y()|
0
|Y*()|… …Espectro discreto
0 s 2s-s-2s
1/T
s/2
En teoría, si 0 < /T, filtrando la señal muestreada con un filtro ideal se puede obtener la señal original
Un filtro ideal no es realizable pero pueden hacerse aproximaciones
Reconstrucción de y(t)y(t)
T
y*(t)
t
n
/2
/2-
)nTt(j
/2
/2-
tj
n
nTj/2
/2-
tj*
ss*tj
dte2
T)nT(y
dtee)nT(y2
Tdte)(Y
2
Ty(t)
/2]/2,[-en)(TY) Y(si,dte)(Y2
1)t(y
n N
N
)nTt(
))nTt((sen)nT(y)t(y
Introduce un retardo en el cálculo
Necesita infinitos datos
Reconstrucción
Sen(x) /x
Los coeficientes sinusoidales van decreciendo cuando nT se aparta del valor de t considerado
n N
N
)nTt(
))nTt((sen)nT(y)t(y
...)T2mTt(
))T2mTt((sen)T)2m((y
)T2mTt(
))T2mTt((sen)T)2m((y
)TmTt(
))TmTt((sen)T)1m((y
)TmTt(
))TmTt((sen)T)1m((y
)mTt(
))mTt((sen)mT(y)t(y
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
Para t próximo a mT:
0.1283
1
7.7 14.1
0.0709
Reconstrucción
Sen(x) /x
...)T2mTt(
))T2mTt((sen)T)2m((y
)T2mTt(
))T2mTt((sen)T)2m((y
)TmTt(
))TmTt((sen)T)1m((y
)TmTt(
))TmTt((sen)T)1m((y
)mTt(
))mTt((sen)mT(y)t(y
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
0.1283
1
7.7 14.1
0.0709
t
mT (m+1)T
(m-1)T (m+2)T
(m-2)T
112
7)T3mTt(
T....
2
3)TmTt(
T2)mTt(
T
Con m=3 |coeficientes| < 0.1
Transformada s de un ZOH
ZOH
(t)1
T
y(t)1
T
Respuesta impulso del ZOH
1
T
1
T1
T
u(t)
u(t-T)
y(t) )e1(s
1)s(Ue)s(U)s(Y
)Tt(u)t(u)t(y
TsTs
se1
)s(GTs
ZOH
La función de transferencia es la transformada de la respuesta impulsional
Como calcular H(z)
ZOHT u(k) T y(k)
T
u(k) y(kT)
tT
G(s)
)z(Us
)s(G)z1()z(U
s
)s(Gz)z(U
s
)s(G
)z(Us
)s(Ge)z(U
s
)s(G)z(U)s(G
s
-e1)z(Y
11
TsTs
ZZZ
ZZZ
s
)s(G)z1()z(H 1 Z
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