Proceso de muestreo

Proceso de muestreo

• Análisis de señales muestreadas

• Teorema de Shanon

•

Señales en control por computador

Proceso

u(t)

y(t)computador D/A

A/Dy(kT)

u(kT)

wt

u(t)

t

y(kT)

t

y(t)

tT

Proceso de muestreo

• ¿Cuál debe ser el valor de T para no perder información esencial de y(t)?

• ¿Puede reconstruirse y(t) a partir de y(kT)?• Para contestar se debe investigar cuál es la relación entre

los componentes de frecuencia de y(t) y de y*(t)• ¿Puede utilizarse la transformada s para el análisis?• ¿Hay otra formulación equivalente?

y*(t)y(t)

t

T

t

Componentes de frecuencia de una señal

t

f(t)

=t

+

++ …

dte)t(f frecuencia de componente la de amplitud)(F

)t(jsen)tcos(ede)(F2

1)t(f

tj

tjtj

F() Transformada de Fourier

Espectro de frecuencias de la señal

Señales muestreadas / Tren de pulsosy*(t)y(t)

t

T

tT

n

T ...)T2t()Tt()t()nTt()t(

y(t)

TT

(t)

* =1

y*(t)

t

n

T* )nTt()nT(y..)Tt()Tt(y)t()t(y)t()t(y)t(y

kTt0

kTt)kT(y)t(y*

T(t)

Transformada de Fourier discreta

T

y*(t)

n

nTj

n

tjtj

n

tj**

e)nT(f

dte)t(f)nTt(dte)t(f)nTt(dte)t(f)(F

Señales periódicas

t

f(t) T Una señal periódica de periodo T siempre admite una descomposición en serie de Fourier

T

(t)1

Ejemplo: Tren de pulsos de periodo T

n

nTj

n

tjtj

n

tj edte)nTt(dte)nTt(dte)t(f)(F

t

n

T ...)T2t()Tt()t()nTt()t(

n

nTj

n

tjtj

n

tj edte)nTt(dte)nTt(dte)t(f)(F

Espectro de frecuencia de T(t)

01e1

1

e1

11e,e razones de sgeométrica series 2e

TjTjTjTj-

n

nTj

Si ≠ is s = 2/T

Si = is

isi

is

icF

ciF

)()(

)(

Espectro discontinuo

ci

F()

s

T

(t)1

t

n

tjnn

n

tjsnT

sec2

1de)n(c

2

1)t(

de)n(c2

1)t(

de)(F2

1)t(f

tj

nsnT

tj

Espectro de frecuencia de T(t)

En un periodo:

Espectro de una señal muestreada y*(t)

)n(YT

1dte)t(y

T

1

dteeT

1)t(ydte)t()t(ydte)t(y)(Y

sn

t)n(j

n

tj

n

tjntjT

tj**

s

s

)n(YT

1)(Y s

n

*

El espectro de frecuencias de la señal muestreada se obtiene sumando infinitas veces el espectro de la señal continua desplazado ns

Espectro de una señal muestreada y*(t)

)n(YT

1)(Y s

n

*

|Y()|

|Y*()|

Espectro continuo

… …Espectro discreto

0

0 s 2s-s-2s

1/T

Máxima frecuencia de la señal continua

s/2

Si 0 < s/2 los espectros laterales no se superponen y el contenido de frecuencias de Y y de Y* son identicos en [- 0 0 ]

Espectro de una señal muestreada y*(t)

)n(YT

1)(Y s

n

*

|Y()|

|Y*()|

Espectro continuo

… …

Espectro discreto

0

0 s 2s-s-2s

1/T

Máxima frecuencia de la señal continua

s/2

Si 0 > s/2 los espectros laterales se superponen y el contenido de frecuencias de Y* se distorsiona en [- 0 0 ]

Teorema de Shanon

|Y()|

|Y*()|… …Espectro discreto

0

0 s 2s-s-2s

1/T

Máxima frecuencia de la señal continua

s/2

Para que no haya pérdida significativa de la información el periodo de muestreo ha de cumplir 0 < s/2 = N = /T

TN0

N Frecuencia de Nyquist

“Aliasing”

Cuando se muestrea incorrectamente una señal pueden aparecer frecuencias en la señal muestreada que no están en la original

Señal continua

Señal muesteada

Ejemplo: Se muestrea a frecuencia menor que 20 En el computador se ve la señal como una de frecuencia menor

Toma de datos, filtrado “antialiasing”y*(t)y(t)

t

T

tT

y(t)

t

Filtro

Antes de muestrear una señal conviene pasarla por un filtro continuo pasa bajo (filtro “antialiasing”) para eliminar las frecuencias superiores a /T que distorsionarian la señal muestreada con el ordenador

P.e. Filtro de Bessel de segundo orden:

6129.1)/s(2098.2)/s(

6129.1

B2

B

B ancho de banda

Espectro de frecuencias

|Y*()|

0

No se suele representar un rango de frecuencias superior a /T porque es repetitivo y esas frecuencias no aparecen en la señal original/T

Si las frecuencias del espectro no tienden a cero antes de /T ello es síntoma de un T inadecuado

Periodo de muestreo T

|Y*()|

0 /T

El teorema de Shanon nos da un criterio para elegir un T adecuado para muestrear una señal, pero a veces es difícil de aplicar

Criterio práctico: Escoger T de modo que corresponda a tomar entre 10 – 30 muestras del tiempo de establecimiento T

Periodo de muestreo

En lazo cerrado normalmente los procesos son mas rápidos que en lazo abierto

T

Si se escoge T para un sistema de control, debe aplicarse la regla al tiempo de establecimiento esperado en lazo cerrado

t

t

y

y

¿Se puede recuperar y(t)?

|Y()|

0

|Y*()|… …Espectro discreto

0 s 2s-s-2s

1/T

s/2

En teoría, si 0 < /T, filtrando la señal muestreada con un filtro ideal se puede obtener la señal original

Un filtro ideal no es realizable pero pueden hacerse aproximaciones

Reconstrucción de y(t)y(t)

T

y*(t)

t

n

/2

/2-

)nTt(j

/2

/2-

tj

n

nTj/2

/2-

tj*

ss*tj

dte2

T)nT(y

dtee)nT(y2

Tdte)(Y

2

Ty(t)

/2]/2,[-en)(TY) Y(si,dte)(Y2

1)t(y

n N

N

)nTt(

))nTt((sen)nT(y)t(y

Introduce un retardo en el cálculo

Necesita infinitos datos

Reconstrucción

Sen(x) /x

Los coeficientes sinusoidales van decreciendo cuando nT se aparta del valor de t considerado

n N

N

)nTt(

))nTt((sen)nT(y)t(y

...)T2mTt(

))T2mTt((sen)T)2m((y

)T2mTt(

))T2mTt((sen)T)2m((y

)TmTt(

))TmTt((sen)T)1m((y

)TmTt(

))TmTt((sen)T)1m((y

)mTt(

))mTt((sen)mT(y)t(y

N

N

N

N

N

N

N

N

N

N

Para t próximo a mT:

0.1283

1

7.7 14.1

0.0709

Reconstrucción

Sen(x) /x

...)T2mTt(

))T2mTt((sen)T)2m((y

)T2mTt(

))T2mTt((sen)T)2m((y

)TmTt(

))TmTt((sen)T)1m((y

)TmTt(

))TmTt((sen)T)1m((y

)mTt(

))mTt((sen)mT(y)t(y

N

N

N

N

N

N

N

N

N

N

0.1283

1

7.7 14.1

0.0709

t

mT (m+1)T

(m-1)T (m+2)T

(m-2)T

112

7)T3mTt(

T....

2

3)TmTt(

T2)mTt(

T

Con m=3 |coeficientes| < 0.1

Transformada s de un ZOH

ZOH

(t)1

T

y(t)1

T

Respuesta impulso del ZOH

1

T

1

T1

T

u(t)

u(t-T)

y(t) )e1(s

1)s(Ue)s(U)s(Y

)Tt(u)t(u)t(y

TsTs

se1

)s(GTs

ZOH

La función de transferencia es la transformada de la respuesta impulsional

Como calcular H(z)

ZOHT u(k) T y(k)

T

u(k) y(kT)

tT

G(s)

)z(Us

)s(G)z1()z(U

s

)s(Gz)z(U

s

)s(G

)z(Us

)s(Ge)z(U

s

)s(G)z(U)s(G

s

-e1)z(Y

11

TsTs

ZZZ

ZZZ

s

)s(G)z1()z(H 1 Z