View
53
Download
6
Category
Preview:
DESCRIPTION
Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski. Prezentacja multimedialna z przedmiotu „Mechanika budowli” kierunek „Budownictwo” specjalność „Technologie energooszczędne w budownictwie” sem.IV. - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
Prezentacja multimedialna z przedmiotu „Mechanika budowli” kierunek „Budownictwo” specjalność „Technologie energooszczędne w budownictwie” sem.IV
1
Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski
Wykład został przedstawiony na podstawie podręcznika Gustawa
Rakowskiego „Mechanika budowli” Oficyna Wydawnicza
Wyższej Szkoły Ekologii i Zarządzania, Warszawa 2004
1.Przemieszczenia w ustrojach statycznie
wyznaczalnych
Praca sił zewnętrznych
4
j
'j
j
jM iP
i
i
'i
jjiiz MPL
Praca sił wewnętrznych
5
dx
N NT
T
M M
dx
N N
du
dx
M M
d
r
dx
T
T
dx
Praca siły podłużnej N
6
dx
N N
du
NdudLN
dxNdLN
l l
NN dxNdLL
Praca momentu zginającego M
7
dx
M M
d
r
MddLM
kdxdxr
d 1
MkdxdLM
l l
MM MkdxdLL
Praca siły poprzecznej T
8
dx
T
T
dx
dxTdLT
l l
TT dxTdLL
Całkowita praca sił przekrojowych
9
lll
w dxTMkdxdxNL
0l
dxT
ZASADA PRAC WIRTUALNYCH
Praca zewnętrznych sił wirtualnych na odpowiadających im rzeczywistych przemieszczeniach równa się pracy wirtualnych sił przekrojowych spowodowanych wirtualnym obciążeniem na odpowiadających im rzeczywistych odkształceniach
10
dxMkdxNMPll
jj
W układach prętowych
11
EAN
EJMk
Niech obciążenie wirtualne wynosi
1
Zatem:
n
j llii
jj
MdxEJMNdx
EAN
1
1
BELKI
12
n
j lii
j
MdxEJM
1
1
Całkowanie:
F – pole wykresu M
Środek ciężkości M
Rzędna wykresu
Mpod środkiem ciężkości pola F
ηFdxMM
l
13
abF31
a
b4b
abF21
a
b3b
a
b
b83
abF32
a
abF32
2b
2b
Figury złożone
14
2b
3b
3b
b
b
a
f
a
2b
2b
f
Przykład 1.1
15
q
l 4l
?
Momenty rzeczywiste
8
2ql
M
constEJ
Stan obciążeń wirtualnych
16
l 4l
Momenty wirtualne
41_ lM
1
Obliczenie przemieszczenia
17
8
2ql
M
41_ lM
41
21
83211
2 llqlEJ
EJql
96
4
Przykład 1.2
18
2J J
l l
P?
Momenty rzeczywiste
Pl2Pl
2J J
l l
Momenty wirtualne
l1l21
1
Stan wirtualny
19
Pl2Pl
l21 l1
EJPl 3
23
EJ2
l1
Pl
EJ
PlllEJ 3
221111 )
312
32(
2121
21 PlPlllEJ
)322
31(
211
21 PlPlllEJ
RAMY
W ramach zwykle można pomijać wpływ sił podłużnych na przemieszczenia punktów konstrukcji. Zatem
20
n
j lii
j
MdxEJM
1
1
21
P
A
B
C
?
ll
43
2l
2l
Przykład 1.3
constEJ
22
P
A
B
C
AH
BH
BV
AV
024
3
lVlHM AAC
04
lPlVlHM AAB
PH A 74
Stan rzeczywisty:
Czyli:
Pl73
Pl73
M
23
Stan wirtualny
A
B
C
1 1
H
HV
V041
lHlVM B
0143
2 lHlVMC
Czyli:781 H
M
781
761
24
M
781
761 1 1
711
711
'M "M
Ale:
)(113
1
"'
j
l lj j
MdxMMdxMEJ
jl
MdxM 0'
Pl73
Pl73
M
25
1711
711
"M711
32
21
43
73(11 lPl
EJ
)3223
322232
324233(
49
2
EJ
Pl
EJPl
1965 2
Pl73
Pl73
M
711
32
21
2732
lPl )711
32
21
73
lPl
Przykład 1.4
26
q
l
l
l
constEJ ?u
27
q
Stan rzeczywisty
V
H
H
02
2 lqllHM B
4qlH
4
2ql
4
2ql
MB
A
Stan wirtualny:
28
BV
BH
AH
B
A
1
012 llHM AB
211 AH
M
211 BH
21 l
21 l
29
4
2ql
4
2ql
M M
21 l
21 l
4
2ql
4
2ql
8
2ql
4
2ql
4
2ql
21
83211
2 llqlEJ
u
EJqlu
24
4
KRATOWNICEW kratownicach występują tylko siły podłużne,
które nie zmieniają się na długościach prętów.
Zatem równanie prac wirtualnych ma postać:
30
n
j j
jjj
l
n
j
n
j li EA
lNNdx
EANNdx
EANN
jj111
1
Przykład 1.5
31
?
P
l l l
l
A
2A
Przekroje prętów w pasach
Przekroje prętów w krzyżulcach
Przekroje prętów w słupkach
2A
W tym przypadku wygodniej jest rozpocząć obliczenia od stanu wirtualnego.
32
1 1
1
1
21
21 21
l l l
l
Stan rzeczywisty
33
P
l l l
l
Siły rzeczywiste obliczamy tylko w tych prętach, w których istnieją siły wirtualne2P2P
P2
P
P2
P3
34
1 P2
21 21 2P 2P
1
P
21 P3 1 P2
A
A A
2A2
A
2A
)()1(2221222)3()21()2()1(211 PEAlP
EAlP
EAlP
EAlP
EAl
)28622( PPPPPEAl
EAPl20
Przykład 1.6
35
l l l l
23l
P P
constEA
C
D
A B
?CD
Stan wirtualny jest stanem samozrównoważonym
36
l l l l
23l
C
D
A B
11
37
D1
1C
0211
23
CEC
y NP
331 CEN
E
F
331
331
331
331
l l l l
23l
C
D
A B
P P Stan rzeczywisty
PP
E
F
EFN
EDN
CFN
0023
EFEF NPPN PNlPlN CFCF 3023
23
PNN CFED 3
CEN
023
PNCE
PNCE 332
38
D
C
E
F
331
331
331
331
D
C
E
F
P3
P3
P3
32
EAlPCD )
332)(
331(1
EAPl
CD 32
PRĘTY ZAŁAMANE W PLANIE
3939
Siły przekrojowe
M
sM
T
Podpory i reakcje
Przegubowo-kulista
Przegubowo-walcowa
Utwierdzona
PRĘTY ZAŁAMANE W PLANIEW prętach tych występują momenty
zginające i skręcające. Wpływ obu tych wielkości na przemieszczenia jest porównywalny.
40
)(11
dxGCMMdx
EJMM
jj l
ssn
j li
Gdzie:ss MM , - momenty skręcające
G - moduł KirchhoffaC -charakterystyka przekroju na skręcanie; w
prętach o przekrojach kołowych biegunowy moment bezwładności
Równania równowagiJeśli pręt leży w płaszczyźnie xy a obciążenie jest
prostopadłe do tej płaszczyzny mamy 3 równania równowagi
41
x
y
z 0zP
0xM
0yM
- momenty względem osiyx MM ,
Przykład 1.7
42
q
l
l
l
2l GCEJ 2
?A
B
C
Stan rzeczywisty
43
q
l
l
l
2l
A
B
C
AV
BV
CV
x
y
z 0
232 lqllVM Cy
qlVC 43
043
23
23 lVlqllVM CBx
4243
32
43 qlqlqlVqlV CB
023
qlVVVP CBAz
243
423 qlqlqlqlVA
44
2ql
4ql
4
2ql
2
2ql
Równoległe przesunięcia sił
ql43
Oznaczenia:
Wektor siły
Wektor momentu
45
Wykresy momentów rzeczywistych
2
2ql
4
2ql43 2ql
8
2ql
32
2ql
M
2
2ql
4
2ql
sM
46
l
l
l
2l
A
B
C
1
Stan obciążeń wirtualnych
y
x
z
AV
CV
BV
012 llVM Cy
211 CV
023
lVlVM CBx
311
32
CB VV
01 CBAz VVVP
651
311
2111 AV
47
Wykresy momentów wirtualnych
M
l651
61 l
31 l
21 l
sM
l651
31 l
Wykresy momentów rzeczywistych
2
2ql
4
2ql43 2ql
8
2ql
32
2ql
M
2
2ql
4
2ql
sM
65
32
22(11
2 llqlEJ
62
183
2 2 llql
621
23232 2 llql
33
224
2 llql )
232
243 2 llql
65
2(1 2 llql
GC )
324
2 llql
GCEJ 2
EJql 4
562,0
decydujące
W układach statycznie wyznaczalnych wpływ temperatury nie wywołuje powstania sił przekrojowych
48
Δt
h
Wpływy pozastatyczne – wpływ temperatury
h
gt
dt
h
t
ttt
htk t
t
współczynnik rozszerzalności termicznejt
49
Równanie prac wirtualnych
dxhtMdxtN
l
t
ltii
1
Jeśli na długości pręta przyrost temperatury oraz stałe materiałowe nie zmieniają się, to
Mt
Ntl
t
ltii F
htFtdxM
htdxNt
1
jM
n
j
tjN
n
jtii F
htFt
11
1
W przypadku wielu prętów
Gdzie: jNF - pole wykresu wirtualnej siły podłużnej w pręcie j
- pole wykresu wirtualnego momentu zginającego w pręcie jjMF
50
Przykład 1.8 – nierównomierny przyrost temperatury
l
l5,1
t
th
h2?
Stan wirtualny:
1
1
231
231
231 l
M
21
231
221
23
2311
ll
htll
ht tt
htl
htl tt
22
23)
83
89(
minus
minus
51
Przykład 1.9 –równomierny przyrost temperatury
l
l l l l l l
?
t
t
t
Stan wirtualny:1
3
2
1211
1N
2N
3N
022
21
3 N2213 N
0321
1 lNl2311 N
0221
2 lNl 12 N
)22211
231(1 llltt
ltt 21
W układach statycznie wyznaczalnych osiadanie podpór nie wywołuje powstania sił przekrojowych
52
Wpływy pozastatyczne – osiadanie podpór
Ponieważ w układach statycznie wyznaczalnych nie powstają siły przekrojowe, zatem nie ma pracy sił przekrojowych.
Przemieszczenia podpór powstają w rzeczywistych obiektach na skutek różnych zdarzeń, zwłaszcza awaryjnych. Po ich zmierzeniu możemy ustalić ich skutki, w tym przypadku na przemieszczenia innych punktów konstrukcji
Czyli praca zewnętrznych sił wirtualnych na rzeczywistych przemieszczeniach równa jest zero.
53
01 kk
kiiz RL
i
kR
k
- poszukiwane przemieszczenie
- reakcje podpór od jedynki wirtualnej
- znane (pomierzone) przemieszczenia podpór
Przemieszczenia podpór mogą być zarówno liniowe jak i kątowe
u
v
54
Przykład 1.10 – przemieszczenia podpór
C
l23
l l l
l
l0
0
?
55
C
l23
l l l
l
l
Stan wirtualny
1
A
B
D
E
1EV
01 llVM ED
BV
02121 lllVM BpC
1
1
AM
02311 llMM A
lC
lM A 251
l251
025111 00 l
00 25 l
0
0 A
2.Metoda sił
Aksjomat więzówJeżeli układ materialny jest w równowadze,
to odrzucenie dowolnego więzu i zastąpienie go reakcją nie zmienia stanu
równowagi układu
57
P
l l
P
2P
METODY SIŁ
Stopień statycznej niewyznaczalności
58
Stopniem statycznej niewyznaczalności układu prętowego nazywamy liczbę całkowitą, będącą różnicą między liczbą nieznanych wielkości statycznych występujących w układzie a liczbą możliwych do ułożenia równań statyki.
Chociaż można podać ogólny wzór na stopień statycznej niewyznaczalności dowolnych układów, wygodniej jest stosować wzory do
różnych typów układów prętowych
Rozpoczniemy od analizy belek, w których można szczególnie prosto omówić koncepcję
BELKI
59
Pq
Stopień statycznej niewyznaczalności: prn 3
Gdzie: r – liczba reakcji podpór3 – liczba równań równowagip – liczba przegubów rozdzielających pręty
5r 0p
235 n
60
Podpora utwierdzona przesuwna
134 n 2136 n
1135 n 2237 n
prn 3
61
Gdy n>0 układ jest statycznie niewyznaczalny
Gdy n=0 układ jest statycznie wyznaczalny
Gdy n<0 układ jest geometrycznie zmienny
1133 n
132 n
2335 n
62
Warunek geometrycznej niezmienności jest tylko warunkiem koniecznym, ale nie dostatecznym
0n
Należy jeszcze sprawdzić, czy układ taki nie ma żadnych stopni swobody (s- liczba stopni swobody). Czyli musi być s=0
0n 1s
1s1n
2n 1s
2n 2s
Algorytm metody siłNa przykładzie belki pokazanej uprzednio
63
1. Obliczyć stopień statycznej niewyznaczalności
Pq
5r 0p
235 n
2. Przyjąć schemat podstawowy statycznie wyznaczalny
Musimy odrzucić n więzów, zastępując je nieznanymi reakcjami, ponumerowanymi nXXX ,..., 21
Ta operacja nie jest obiektywna, zależy od rozwiązującego i silnie wpływa na efektywność rozwiązania
Algorytm metody sił
64
Pq
Warianty układu podstawowego statycznie wyznaczalnego
Pq
1X 2X
Pq
2X1X
Pq
1X2X
q
Algorytm metody sił65
3. Sporządzić wykresy momentów zginających iMod stanów jednostkowych iX w układzie podstawowym
Stan 11 X
11 X
11M
Stan 12 X
12 X
2M
4. Obliczyć przemieszczenia ik w miejscach usuniętych więzów na
na kierunkach wielkości nadliczbowych od jednostkowych wartości iX
11
21
12 221 2 1
2
Algorytm metody sił66
Pq
5. Sporządzić wykres momentów zginających 0M od danego obciążenia w układzie podstawowym
0M
6. Obliczyć przemieszczenia 0i w miejscach usuniętych więzów na na kierunkach wielkości nadliczbowych od obciążenia zewnętrznego
1020
1 2
Algorytm metody sił67
7. Budujemy kanoniczne równania metody sił. Są to przemieszczeniowe równania więzów, z których wynika, że więzy w rzeczywistości nie są odrzucone.
W omawianym przykładzie stwierdzamy, że sumaryczny kąt obrotu w punkcie 1 równy jest zeru, gdyż w tym miejscu jest podpora utwierdzona, natomiast sumaryczne przemieszczenie w punkcie 2 też musi być zerowe, gdyż tam znajduje się środkowa podpora.
11 1X 1012
2021 1X
2X
2X22
0
0
Pq
1 2
ik przyczyna
miejsce
Algorytm metody sił68
8.Rozwiązać układ równań względem niewiadomych
11 1X 1012
2021 1X
2X
2X22
0
021, XX
9.Korzystając z wzoru superpozycyjnego 22110 XMXMMM
sporządzić wykres momentów zginających oraz wykresy pozostałych sił przekrojowych
Obliczanie współczynników układu równań metody sił
69
Współczynniki ik oraz 0i są przemieszczeniami, zatem do ich obliczenia można zastosować twierdzenie o pracy wirtualnej. Jeśli chcemy obliczyć np. czyli przemieszczenie w miejscu i spowodowane działaniem w miejscu k nadliczbowej należy w miejscu i przyłożyć jednostkowe obciążenie wirtualne i sporządzić od niego wykres momentów zginających. Zauważmy że takim obciążeniem będzie stan
i spowodowany nim wykres momentów .
ik1kX
1iX iM
Mamy więc: dxEJMM ki
ik
Podobnie: dxEJMM i
i0
0
70
Zauważmy:
1) Każdegdyż - funkcja podcałkowa jest dodatnia o ile istnieje zginanie. Oznacza to, że w układach sprężystych przemieszczenie pod siłą spowodowane działaniem tej siły jest zawsze zgodne ze zwrotem jej działania.
0ii dxEJM i
ii 2)(
2) Zawsze jest kiik
11 X
12 X21
121 2 1
2
W rzeczywistości równe są prace 2112 11
Jest to szczególny przypadek twierdzenia o wzajemności, tzw. Twierdzenie Maxwella. W wyniku tego macierz układu równań metody sił jest macierzą symetryczną
W układach statycznie wyznaczalnych przyrost temperatury nie wywołuje powstania sił przekrojowych
Wpływy pozastatyczneNierównomierny przyrost temperatury
71
Δt
h htk t
t
t współczynnik rozszerzalności termicznejtk - krzywizna
Układ podstawowy jest układem statycznie wyznaczalnym.Zatem:
ijM
n
j
t
ji
n
j
ti F
htdxM
ht
11
0
gdzie: ijMF - pole wykresu momentu na pręcie jiM
Wpływy pozastatyczneRównomierny przyrost temperatury
72
h ttt
t
ijN
n
jt
ji
n
jti FtdxNt
110
gdzie: ijNF - pole wykresu siły na pręcie jiN
W układach statycznie wyznaczalnych osiadanie podpór nie wywołuje powstania sił przekrojowych
Wpływy pozastatyczneOsiadanie podpór
73
Zatem: 00 kk
iki R
gdzie: ikR - reakcja w podporze k wywołana obciążeniem 1iX
Czyli:k
k
iki R 0
W belkach taki schemat podstawowy jest najkorzystniejszy
BELKI
74
Przykład 2.1q
J JJ5,1
l l l
Stopień statycznej niewyznaczalności
235 nSchemat podstawowy
q
1X1X 2X 2X
75
Stan 11 X11 X11 X
J5,1 JJ
11M
Stan 12 X
J5,1 JJ
2M
12 X12 X
1
EJll
EJl
EJ 95
32
211
32
21
32
11
EJll
EJ 32
32
211222
EJll
EJ 61
31
211
12
76
Stan obciążenia zewnętrznego
J5,1 JJ
0M
q
8
2ql
11M
EJqllql
EJ 3621
832
32 32
10 020
Układ równań:EJl
95
1X EJl
61
2X 036
3
EJql
EJl
61
1X EJl
32
02 X
77
95
1X 61
2X 036
2
ql
61
1X 32
02 X
21 4XX 366
141840 2
22qlXX
18937 2
2qlX
22 74
1 qlX 21 74
4 qlX
M
8
2ql 2
741 ql
2
744 ql
78
Siły poprzeczne
q2
744 ql
ql7433
ql7441
2
744 ql 2
741 ql
ql745
2
741 ql
ql741ql
741
ql7441
ql7433
ql745
ql741
T
ql745
79
Obliczenie momentów zginających i naprężeń od obciążenia i nierównomiernego przyrostu temperatury
79
q
l
mkNqml
/204
kNmql 408
4208
22
MPaWM
xq 187
102141040
6
3
cmh 20
3
4
214
2140
cmW
cmJ
x
x
8080
KCt 40400
1510 Kt
GPaE 205
42140cmJ x
cmh 20
kNmhtEJ xt 2,13
102021021401020540103
23
2
865
MPaWM
xt 62
10214102,13
6
3
8181
cmh 22
3
4
278
3060
cmW
cmJ
x
x
Granica plastyczności stali: MPaf y 300
Dopuszczalne naprężenie: MPaf ydop 2107,0
Zatem: MPaMPa dop 21024962187
MPaWM
xq 143
102781040
6
3
MPaWM
xt 62
10278101,17
6
3
kNmhtEJ xt 1,17
102221030601020540103
23
2
865
MPaMPa dop 21020562143
Ale jest:
433,014362)2
332,018762)1
tEW
WtEWM
WtEM
WhJ
tx
xt
x
xt
xx
435,0
23
5,0
5,0
BELKI Przykład 2.2
82
l3l
32l
t
constEJ consth
Stopień statycznej niewyznaczalności 11353 prn
Schemat podstawowy
1X
t
83
Stan 11 X
11 X
t
1
21
1M
132
21
321(1
11l
EJ
21
32
21
321 l
)21
32
21
21 l )
121
361
92(1
EJ
lEJ36
318EJl
3
iM
n
j
t Fht
11
10
htt
)21
321
21
321( ll
htlt
4
11
101
Xhtlt
4
lEJ3
h
tEJ t
43
11 MXM
htEJ t
43
M htEJ t
83
Thl
tEJ t
89
hltEJ t
83
RAMY
84
prn 3Gdzie: r – liczba reakcji podpór
3 – liczba równań równowagip – liczba warunków statyki wynikających z
istnienia przegubów
Wzór na stopień statycznej niewyznaczalności jest identyczny jak w belkach
6r
1p
2136 n 7r
2p
2237 n
85
Jeśli w ramie pojawiają się obwody zamknięte, stopień statycznej niewyznaczalności wzrasta o 3a – gdzie a oznacza liczbę obwodów
zamkniętych
parn )1(3
30)11(33 n 71)12(35 nUkłady podstawowe
86
Przeguby w ramie
2p 3p
1p3p
1p
RAMY Przykład 2.3
87
q
l2
l
l
constEJ
Stopień statycznej niewyznaczalności
20353 prn
Schemat podstawowyq
1X
2X
Stan
88
11 X
11 Xl
l
l
1M
Stan 12 X
12 X2M
l2
l2
89
0M
Stan obciążenia zewnętrznego
EJllllll
EJ
32
113)2
32
23(1
EJllll
EJ
3
122
21221
EJlllllll
EJ 332)2
32
2122222(1 3
22
EJqlllql
EJ 32
222
311 4
210
l
l22ql
2l
2l
23l
1MEJqlllql
EJ 38222
311 4
220
90
Układ równań:
038
3322
03223
4
2
3
1
3
4
2
3
1
3
EJqlX
EJlX
EJl
EJqlX
EJlX
EJl
Po uproszczeniach:
03
83
322
03
223
21
21
qlXX
qlXX
qlX
qlX
9394
2
1
22110 XMXMMM
M
2
98 ql
2
92 ql
2
94 ql
91
Siły poprzeczne
T N
Siły podłużne
ql9
14
ql94
ql31
ql94
ql31
ql31
ql94
92
Przykład 2.4Przesunięcia i obroty podpór
l2
l
l
constEJ
0
0v
0u
Stan
93
11 X
11 XStan 12 X
12 X
l
01
l2
Równania prac wirtualnych
001 0010 vl 010 l
0121 0020 vl 0020 2 vl
Równania metody sił
02340
3
002
3
1
3
002
3
1
3
vlXEJlX
EJl
ulXEJlX
EJl
Obliczenie od przesunięcia poziomego prawej podpory
94
0340
3
2
3
1
3
02
3
1
3
XEJlX
EJl
uXEJlX
EJl
12 403 XX
30213lEJuXX
M
30
2
30
1
1173
11740
lEJuX
lEJuX
20
11740
lEJu
20
11746
lEJu
20
11734
lEJu
Obliczenie momentów zginających i naprężeń od przemieszczenia podpory
95
M
20
11740
lEJu
20
11746
lEJu
20
11734
lEJu
cmu 50
ml 3
GpaE 25
cm20
cm40
45834343
104510104510454500012
3020 mcmcmJ
kNmlEJuM 3,98
91174525246
910451025102
11746
11746 561
20
max
MPa4,18101033,53,98 3
3max
334221
1033,56
10104102 mWx
96
SYMETRIA I ANTYSYMETRIA
Zawsze warto wykorzystać symetrię układu, nawet jak obciążenie nie spełnia warunków symetrii
l
2l
2l
P P
1X
11 X
2X
3X
12 X
13 X
2Pl
0M
1M 2M 3M
1
11
l ll
l
97
00
0
30333322311
20233222211
10133122111
XXXXXXXXX
Pełny układ równań:
2l
2l
P
2l
2l
1X 1X
2X 2X
3X3X
2Pl
0M
1M 2M 3M
2l
2l
l l 1 1
1 1
98
021 dxMM 031 dxMM
Stąd: 01312
Układ równań
00
0
30333322
20233222
10111
XXXX
X
l
2l
2l
P 2P
2P
2P
2P
S A
99
SM 0
Symetria
010 00
30333322
20233222
XXXX
Antysymetria
AM 0
03020 010111 X
2Pl
2Pl
2Pl
2Pl
100
Niewiadome grupowe. W przypadku symetrii konstrukcji oraz symetrii lub antysymetrii obciążenia warto wykorzystać niewiadome w postaci grup
P2 PP P P
S A
S A
PPS
S
4n
1X 1X
2X 2X
000
0
40444433422411
30344333322311
20244233222211
10144133122111
XXXXXXXXXXXXXXXX
P P
A
A
3X 3X
4X4X
101
Symetria
SM 0 1M 2M
AM 0 4M3M
00
20222222
10122111
XXXX
Antysymetria
00
40444343
30344333
XXXX
KRATOWNICE
102
W przypadku kratownic wzór na stopień statycznej niewyznaczalności można przedstawić w wygodniejszej formie
wprn 2
gdzie:
w
pr - liczba reakcji węzłów
- liczba prętów
- liczba węzłów
Wzór ten skonstruowany jest przy założeniu, że w każdym pręcie występuje jedna siła a dla każdego węzła można ułożyć dwa warunki równowagi, gdyż układ sił w węźle jest układem zbieżnym
KRATOWNICE
103
W przypadku kratownic wzory na współczynniki układu równań Metody Sił zmieniają się, gdyż w prętach kratownic występują wyłącznie siły podłużne, stałe na długości prętów.Dlatego też:
p
j j
jkjijik EA
lNN
1
gdzie:p - liczba prętów w kratownicy
kjij NN , - siły w pręcie j odpowiednio od stanów i oraz k
jj Al , - długość i pole przekroju pręta j
E - moduł Younga materiału prętów kratownicy
104
Wyrazy wolne od obciążenia zewnętrznego:
p
j j
jjiji EA
lNN
1
00
gdzie:jN0 - siły w pręcie j od obciążenia zewnętrznego
Wyrazy wolne od równomiernego przyrostu temperatury:
jij
p
jjti lNt
1
0
ijNgdzie: - siła w pręcie j od stanu i
jl - długość pręta j
jt - przyrost temperatury w pręcie j
t - współczynnik rozszerzalności termicznej materiału kratownicy
W układach statycznie wyznaczalnych osiadanie podpór nie wywołuje powstania sił przekrojowych
Wyrazy wolne od osiadania podpór:
105
gdzie:
ikR - reakcja w podporze k wywołana obciążeniem 1iX
kk
iki R 0
k - osiadanie (lub obrót) podpory k
v v
u
106
Przykład 2.5P
l l l
l43
1
2
3
4
56
262104 n
Schemat podstawowy
1
2
3
4
56
P
1X2X 2X
constEA
107
11 XStan
12 XStan
1
2
3
4
5611 X
1
2
3
4
5612 X
1 1 1
12 X
6,0
53cos
6,0
6,0
6,0 6,0
1
1
8,0
8,0
8,08,0
11
43l 4
5l
l
108
Pręt Długość1-2 0 0 1,25l 0 0 01-3 1 0 l l 0 02-3 0 -0,6 0,75 0 0,27l 02-4 0 -0,8 l 0 0,64l 02-5 0 1 1,25l 0 1,25l 03-4 0 1 1,25l 0 1,25l 03-5 1 -0,8 l l 0,64l -0,8l4-5 0 -0,6 0,75l 0 0,27l 04-6 0 0 1,25l 0 0 05-6 1 0 l l 0 0
Suma iloczynów 3l 4,32l -0,8l
1N 2N lNN 11 lNN 22 lNN 21
EAl3
11 EA
l32,422
EAl8,0
12
109
Stan obciążenia zewnętrznego
1
2
3
4
56
P
l l l
l75,0
P67,0 P33,0
4
56
P33,035N
25N
24N2 4
6
P33,056N
45N
24N0233,075,0352 lPlNM
PN 89,035
PNN 89,03513
033,075,0245 lPlNMPN 44,024
033,06,025 PNPyPN 55,025
02456 NNPxPNN 44,02456
033,0 45NPPy
PN 33,045 023 N
110
Pręt Długość1-2 0 0 -1,11P 1,25l 0 01-3 1 0 0,89P l 0,89Pl 02-3 0 -0,6 0 0,75 0 02-4 0 -0,8 -0,44P l 0 0,35Pl2-5 0 1 -0,55P 1,25l 0 -0,69Pl3-4 0 1 0 1,25l 0 03-5 1 -0,8 0,89P l 0,89Pl -0,71Pl4-5 0 -0,6 0,33P 0,75l 0 -0,15Pl4-6 0 0 -0,55P 1,25l 0 05-6 1 0 0,44P l 0,44Pl 0
Suma iloczynów 2,22Pl -1,20Pl
1N 2N lNN 01 lNN 02
EAPl22,2
10 EAPl20,1
20
0N
111
022,28,0321
EAPlX
EAlX
EAl
020,132,48,021
EAPlX
EAlX
EAl
202210122
201210111
XX
gdzie:
2122211
1122
212122211
1212
2122211
2211
Czyli
lEA
lEA
lEA
lEA
lEA
lEA
244,08,032,43
3
065,08,032,43
8,0
351,08,032,43
32,4
222
22112
211
PPPXPPPX
149,020,1244,022,2065,0701,020,1065,022,2351,0
2
1
112
Siły w prętach: 22110 NXNXNN
Pręt1-2 -1,11P 0 0 0 0 -1,11P1-3 0,89P 1 -0,70P 0 0 0,19P2-3 0 0 0 -0,6 -0,09P -0,09P2-4 -0,44P 0 0 -0,8 -0,12P -0,56P2-5 -0,55P 0 0 1 0,15P -0,40P3-4 0 0 0 1 0,15P 0,15P3-5 0,89P 1 -0,70P -0,8 0,12P 0,31P4-5 0,33P 0 0 -0,6 -0,09P 0,24P4-6 -0,55P 0 0 0 0 -0,55P5-6 0,44P 1 -0,70P 0 0 -0,26P
1N 2N0N 11NX22NX N
PX 701.01 PX 149.02
113
1
2
3
4
5
6
P
P11,1
P19,0
P09,0
P56,0
P40,0
P15,0
P31,0
P24,0P55,0
P26,0
P67,0P33,0
P70,0 P70,0
Siły w prętach
114
1
2
3
4
5
6
Przykład 2.6
115
t
t
t t
2l
2l
2l
2l
83l
85l
t43 t
43
4t
4t
Średnia temperatura:
W pasie:
W słupku:
W krzyżulcu:
43
25,05,0 tllt
llttśr
475,01
21
275,0 t
llttśr
425,11
21
225,1 t
llttśr
116
1 63 5
1 1 1
Siły 1N
1 63 5
Przyrost temperatury
t43t
43
ltlt tt 232
43110
Siły 2N
2
3
4
512 X
12 X
6,0 6,0
8,0
8,0
11
Przyrost temperatury2
3
4
5
ltltltlt tttt 2011
43
46,0
45
41
438,020
t75,0
t25,0
t25,0
117
Siły w prętach: 2211 NXNXN
Pręt1-2 0 0 0 0 01-3 1 -0,56 0 0 -0,562-3 0 0 -0,6 0,14 0,142-4 0 0 -0,8 0,19 0,192-5 0 0 1 -0,23 -0,233-4 0 0 1 -0,23 -0,233-5 1 -0,56 -0,8 0,19 -0,374-5 0 0 -0,6 0,14 0,144-6 0 0 0 0 05-6 1 -0,56 0 0 -0,56
1N 2N11NX 22NX N
EAtltltlEAX
EAtltltlEAX
ttt
ttt
232,0)2011244,0
23065,0(
562,0)2011065,0
23351,0(
2
1
tEAt
118
1
2
3
4
5
6
56,0
14,0
19,0
23,0
56,0
tEAt
Siły w prętach
56,0
56,037,0
23,0
14,0
119
Microsoft Equation 3.0
tEAN t56,0
Siły i naprężenia od przyrostu temperatury
1510 Kt
Kt 100
GPaE 205
MPatEAN
t 8,11410205101056,056,0 325
RUSZTY PRZEGUBOWE
120
Rusztem przegubowym nazywamy układ krzyżujących się belek prostych, leżących w jednej płaszczyźnie i obciążonych prostopadle do tej płaszczyzny. Belki łączą się w węzłach, przekazując wzajemnie oddziaływania w postaci tylko sił prostopadłych do płaszczyzny rusztu.
121
Węzły rusztu przegubowego
Siły przekrojowe
MT
Podpory
122
Stopień statycznej niewyznaczalności
pbwrn 2
gdzier - liczba reakcjiw - liczba węzłów
b - liczba belek
p - liczba przegubów
123
Węzły
2w
23226 n
1w
1r
16294 n
124
Przeguby 1p
1w
2p
1w
012214 n
222217 n
125
Przykład 2.7q
ll
l
l
l
23226 n
constEJ
126
q
1X
1X
2X
2X 2
2ql0M
1M
2l
32l
2M
2l
32l
Schemat podstawowy
127
1M
2l
32l
2M
2l
32l
0M
EJllllllllll
EJ
3
11 5433)
32
32
212
32
32
32
21
32
232
21
22(1
EJl 3
22 5433
2
2ql
3l
3l
)]33
132
32(
21
3)
32
31
332(
21
32
332
21
322[1
12lllllllllll
EJ
EJl3
12 5421
EJqlllql
EJ
42
20 245
285
2322
010
128
0245
5433
5421
05421
5433
21
21
qlXX
XX
112 57,12133 XXX
0208,057,1611,0389,0 11 qlXX qlX 365,01
qlX 365,057,12 qlX 573,02
M
205,0 ql
218,0 ql
221,0 ql
226,0 ql
22110 MXMXMM
129
Przykład 2.8
EJ
EJEJ2
l
l
2l
- przesunięcie podpory
12214 nSchemat podstawowy
1X
1Xl
3l
1M
32
130
)33
221
3332
21
23(1
32
221
11llllll
EJlll
EJ
EJl3
11 92
0321 10
32
10
331 32
93
2lEJ
lEJX
M23lEJ
2lEJ
11 MXM
131
Przykład 2.9
l
l
l
l
l
l
ll
P2
constEJ
962912 n
132
Schemat podstawowy
P
P
1X
1X
2X
2X
3X
3X
4X
4X
5X
5X
6X
6X
7X
7X
8X
8X
9X
9X Uwaga: siłę 2P rozdzielić na obie belki
II
I
I
II
II
133
S S
SS
09731 XXXX
05 X
S
S
S S
8642 XXXX
134134
Schemat podstawowy
P
P
2X
2X
2X
2X
2X
2X
2X
2X
I
I
I
I
II
II
135
2M
l
l
l l
l
l
l
l
0M
Pl
EJllllllllll
EJ
3
228)22
32
24
32
228(1
EJPlPlPlllPlll
EJ 1211)
2(
21
232
21 3
20
PlEJ
EJPlX
9611
81211
3
3
2
M
96Pl
85
3711
1137
RUSZTY O WĘZŁACH SZTYWNYCH
136
Elementami rusztów o węzłach sztywnych są pręty załamane w planie.Obciążenie jest prostopadłe do płaszczyzny rusztu.
137137
Siły przekrojowe
M
sM
T
Podpory i reakcje
Przegubowo-kulista
Przegubowo-walcowa
Utwierdzona
Stopień statycznej niewyznaczalności
138
parn )1(3
Gdzie: r – liczba reakcji podpór3 – liczba równań równowagia – liczba obwodów zamkniętychp – liczba warunków statyki wynikających z
istnienia przegubów
3r2r
0pa 3r0p
1a
1r 3r 1r
1a
1p
2n 4n3n
Współczynniki układu równań.
139
)(1
dxGCMMdx
EJMM
jj l
sksin
j l
kiik
Gdzie:
sksi MM , - momenty skręcająceG - moduł KirchhoffaC -charakterystyka przekroju na skręcanie; w prętach o
przekrojach kołowych biegunowy moment bezwładności
Wyrazy wolne:
m
rrir
l
ssin
j l j
jtii Rdx
GCMMdx
ht
EJMM
jj1
0
1
00 ))((
Gdzie:sii MM ,
00 , sMM
t
jt
jh
nm
irR
r
- Momenty w stanie 1iX
- Współczynnik rozszerzalności termicznej
-Nierównomierny przyrost temperatury w pręcie j- Wysokość pręta j
- Liczba prętów
- Liczba więzów podporowych
- Reakcja podpory r w stanie
1iX
- Przesunięcie podpory r
- Momenty od obciążenia zewnętrznego
Przykład 2.10
140
l
l
l
2l 2
lA
B
C
PPrzekrój
wd zd
Materiał : stal 3,0
EEEG 385,0)3,01(2)1(2
)(64
44wz ddJ
JddJC wz 2)(32
440
1135 n
Schemat podstawowy
AB
C
P
1X Wektor momentu
141
A
C
11 X
l
2l 2
lB
AV
02
1^ lVM ACC l
VA2
A
C
B
1
1
4
3
C
l2
2
1
l2
1
C
4
A
C
4 1
1SM
l2
^C
1M
1
142142
A
C
l
2l 2
lB
AV
022
^
lVlPM ACCPVA
A
C
B
Pl
C
P
Pl
P2C
A
C
0SM
l
l
P
^CPl
Pl3
Pl3
Pl
Pl3
0MB
Pl
Pl3
P
Pl
143
)121424(1)432
21241
32
21
2133
32
21
233(1
11 llGC
lllEJ
)232(385,02
)3
3221
29(11
EJl
EJl
EJl
EJl 83,59)16,4467,15(11
)12423(1)]2314
32(
2132
2121
32
21
23
32
21
233[1
10 lPllPlGC
lPllPllPllPlEJ
)224(385,02
)5261
29(
22
10
CJ
PlEJPl
EJPl
EJPl 22
10 44,45)77,3367,11(
PlPlX 76,082,5944,45
1
A
C
B
Pl52,0
Pl76,0
Pl24,0
Pl72,0
M
A
C
B
Pl24,0
SM
Pl24,0
Pl04,0
Pl04,0
WPl
WPl
WPl
red 76,060,024,05,0352.03 2222 WPl52,0
WPl
224,0
144
l
2l2
l
83l
Przykład 2.11 Przekrój
b
b2
43
32
12)2( bbbJ
44
4
4
458,0)16052,063,02(
3)052,063,0(
3bb
nnbC
Materiał : żelbet 2,0
EEEG 417,0)2,01(2)1(2
Schemat podstawowy
336 n
1X
1X
2X2X
3X
3X
Oznaczenia:
Wektor siły
Wektor momentu
JJC 687,02
3458,0
145
Plan
11 X 11 X
54cos
53sin
8,08,0
1M 6,01SM
6,0
11
S
S
A
A
12 X
12 X
6,0
2M
8,0
2SM
11S
S
A
A
6,0
8,0
021 dsMM 021 dsMM SS012
146
Plan Siła od nas Siła do nas
13 X
54cos
53sin
13 XSA
3M3SM
S013
l85
l85
l83 l
83
l8
11 l811
2l
2l
A
Wyrazy wolne:
W stanach 21, XX w podporach nie pojawiają się reakcje w postaci sił. Stąd 02010
W stanie 3X
1
w podporze lewej pojawia się reakcja równa jeden. )1(30
147
00 1111 XX
00
30333322
233222
XXXX
EJll
JEl
EJl
GCll
EJ24,5
687,0417,04,0245,28,0
858,02)6,0
856,011(2
22
EJlll
EJGClllll
EJ
222
23 984,1)12815
87(202)6,0
21
85
851
2)
83
811[(2
222)
85
32
21
85
85)
811
31
83
32(
21
83)
83
31
811
32(
21
811[(2
33lll
GClllllllllll
EJ
EJl
JEl
EJl 333
33 410,15687,0417,04
2]2464
125)2411
246(
283)
243
2422(
2811[2
041,15984,1
0984,124,5
32
2
32
lEJXlXl
XlX
lEJX
lEJX
0682,0
0258,0
3
22
148
206
M SMS
341
581
514
1096
A
A
210000lEJ
206
341S
155 155
581
1096
514
581 206
514
341
1096 1096
514 514581
581155
155
Plan
Aksonometria Równowaga węzła
05148,02066,058106,02068,0581341
3.Metoda przemieszczeń
1 2
Układ analizowany
Niewiadomymi metody są wielkości geometryczne
φ1 φ2
1 2
Kąty φ1 , φ2 muszą być takie, by zachodziła równowaga węzłów
151
Konwencja znakówDodatnie zwrotu kątów i momentów zgodnie z ruchem wskazówek zegara
φ φ
M
M
152
153
φ1= 1
1 2
K11
K21
φ2= 1
1 2
K12
K22
154
1 2
K20K10=0
155
Równania równowagi węzłów
K11φ1 + K12φ2 + K10 = 0K21φ1 + K22φ2 + K20 = 0
Jest to układ równań algebraicznych liniowych. Niewiadomymi są kąty φ1 i φ2 a współczynniki Kik oznaczają reakcje w narzuconych na węzły więzach
156
Założenia
1.Układy ramowe –siatka prętów ortogonalna2.Małe przemieszczenia3.Obowiązuje prawo Hooke’a4.Siły podłużne nie powodują zmian długości prętów
157
Rodzaje węzłów
φi
φi
i
Węzeł sztywny Węzeł przegubowy
i
φk
φj
158
12 1 2 3
Δ Δ Δ
Niewiadome: φ1 , φ2 Niewiadome: φ1 , φ2 , φ3 , Δ
Stopień geometrycznej niewyznaczalności: n=Σ φi + Σ Δi
Ramy o węzłach sztywnych
159
Ramy z częścią węzłów przegubowych
12
ΔIΔI
ΔI
ΔII ΔII
Niewiadome: φ1 , φ2 , ΔI , ΔII
Cięciwy prętów po odkształceniu
160
Ramy z częścią węzłów przegubowych
1 2 3
4
ΔI
ΔIΔI ΔII
ΔII
Niewiadome: φ1 , φ2 , φ3 , φ4 , ΔI , ΔII161
162
WZORY TRANSFORMACYJNEBelka obustronnie utwierdzona
EJiki k
φi
φk
Ψik
wi wk
Mki
Mik
ikl
163
Momenty przywęzłoweObliczenie metodą sił
i kX1=Mik X2=Mki
wi wk
φi φk
Ψik
Ψik = (wk – wi) ∕
ikl
ikl
164
Obliczenie wyrazów wolnychna podstawie twierdzenia o pracy wirtualnej
X1 = 1
X2 = 1
iki wl
wl
111 10
lww ik
i
10
lww ik
k
20
l1
l1
l1
l1
165
Współczynniki układu równań metody sił
1 M1
1
M2
k
i
EJl
EJl
20
10
2112
2211
6
3
166
k
i
XEJlX
EJl
XEJlX
EJl
21
21
36
63
3261
32
1
kiX
EJl
3221 kil
EJX
3222 ikl
EJX
167
Belka obustronnie utwierdzona
0kiM0
ikM
0
0
322
322
kiikki
ikkiik
MlEJM
MlEJM
168
WZORY TRANSFORMACYJNE
WZORY TRANSFORMACYJNEBelka jednostronnie utwierdzona
EJiki k
φi
Ψik
wi wkMik
ikl
169
Moment przywęzłowyObliczenie metodą sił
i kX1=Mik
wi wk
φi
Ψik
Ψik = (wk – wi) ∕
ikl
ikl
170
Obliczenie momentu
X1 = 1 iki w
lw
l
111 10
lww ik
i
10
i
i
lEJX
EJl
3
3
1
10
11
l1
l1
171
Belka jednostronnie utwierdzona
0ikM
03ikiik M
lEJM
172
WZORY TRANSFORMACYJNE
Momenty wywołane wpływami zewnętrznymi
Schemat 0kiM0
ikM
0ikM 0
kiM
0ikM 0
kiM
0kiM0
ikM
P
0,5 l 0,5 l
q
8Pl
8Pl
12
2ql
12
2ql
t ht
EJ t
ht
EJ t
l
173
Momenty wywołane wpływami zewnętrznymi
Schemat 0ikM
0ikM
0ikM
0ikM
P
0,5 l 0,5 l
q
t
l
163Pl
8
2ql
ht
EJ t
23
174
ALGORYTM METODY PRZEMIESZCZEŃPostępowanie formalne
175
1. Ustalić stopień geometrycznej niewyznaczalnościn=Σφi + ΣΔj
i=1,2,3,…k k – liczba węzłów sztywnych
j= k+1, k+2,…k+m m – liczba niezależnych przesunięć węzłów
n=k+m
2. Ponumerować niewiadome rozpoczynając od kątów obrotuφ1 , φ2 ,….φk , Δk+1 , Δk+2 ,.. Δn
3. Napisać układ równań kanonicznychK11φ1 + K12φ2 + … + K1,k+1 Δk+1 +…+ K1n Δn + K10 = 0K21φ1 + K22φ2 + … + K2,k+1 Δk+1 +…+ K2n Δn + K20 = 0…………………………………Kn1φ1 + Kn2φ2 + … + Kn,k+1 Δk+1 +…+ Knn Δn + Kn0 = 0
ALGORYTM METODY PRZEMIESZCZEŃPostępowanie formalne
176
4. Przyjąć układ geometrycznie wyznaczalny przez nałożenie więzów na przyjęte niewiadome; utwierdzić węzły sztywne, podeprzeć podporami węzły przesuwne; ponumerować nałożone więzy zgodnie z numerami niewiadomych.
5. Z równań równowagi nałożonych więzów wyznaczyć ich reakcje Kij wywołane jednostkowymi stanami niewiadomych.
6. Obliczyć reakcje nałożonych więzów Ki0 wywołane przyczynami zewnętrznymi.
7. Reakcje Kij oraz Ki0 wstawić do układu równań kanonicznych i rozwiązać równania ze względu na φi oraz Δj .
ALGORYTM METODY PRZEMIESZCZEŃPostępowanie formalne
177
8. Obliczyć momenty przywęzłowe na podstawie wzorów transformacyjnych.
9. Sporządzić wykresy momentów zginających w ramie.
10.Na podstawie wykresu momentów zginających sporządzić wykresy sił poprzecznych, traktując poszczególne pręty jak belki swobodnie podparte.
11. Na podstawie wykresu sił poprzecznych sporządzić wykresy sił podłużnych obliczając je z warunków równowagi węzłów.
Przykład 3.1 Rama nieprzesuwna k=2, m=0, n=2
178
1. Ustalić stopień geometrycznej niewyznaczalnościn=Σφi + ΣΔj
i=1,2,3,…k k – liczba węzłów sztywnych
j= k+1, k+2,…k+m m – liczba niezależnych przesunięć węzłów
n=k+m
q
l l
l
.constEJ
A B
C
Przykład 3.1 Rama nieprzesuwna Niewiadome: φ1 , φ2
179
q
l l
l
2. Ponumerować niewiadome rozpoczynając od kątów obrotuφ1 , φ2 ,….φk , Δk+1 , Δk+2 ,.. Δn
.constEJ 1 2
A B
C
Przykład 3.1 Rama nieprzesuwna K11φ1 + K12φ2 + K10 = 0K21φ1 + K22φ2 + K20 = 0
180
q
l l
l
.constEJ 1 2
3. Napisać układ równań kanonicznychK11φ1 + K12φ2 + … + K1,k+1 Δk+1 +…+ K1n Δn + K10 = 0K21φ1 + K22φ2 + … + K2,k+1 Δk+1 +…+ K2n Δn + K20 = 0…………………………………Kn1φ1 + Kn2φ2 + … + Kn,k+1 Δk+1 +…+ Knn Δn + Kn0 = 0
A B
C
Przykład 3.1 Rama nieprzesuwna
181
q
l l
l
.constEJ 1 2
4. Przyjąć układ geometrycznie wyznaczalny przez nałożenie więzów na przyjęte niewiadome; utwierdzić węzły sztywne, podeprzeć podporami węzły przesuwne; ponumerować nałożone więzy zgodnie z numerami niewiadomych.
12
A B
C
Przykład 3.1 Rama nieprzesuwna
182
5. Z równań równowagi nałożonych więzów wyznaczyć ich reakcje Kij wywołane jednostkowymi stanami niewiadomych.
Stan φ1 =1 φ2=0
12
K11
M12K21
A B
C
M1A M2B=0M21
M2C=0
MA1
Przykład 3.1 Rama nieprzesuwna
183
5. Z równań równowagi nałożonych więzów wyznaczyć ich reakcje Kij wywołane jednostkowymi stanami niewiadomych.
lEJ
lEJ
lEJM AAA
4)03012(2)32(2111
lEJ
lEJ
lEJM 4)03012(2)32(2
122112
lEJMMK A
812111
lEJ
lEJ
lEJM 2)03102(2)32(2
211221
0)00(3)(32122
lEJ
lEJM B
0)00(3)(3222
lEJ
lEJM CC
lEJMMMK CB
2222121
Przykład 3.1 Rama nieprzesuwna
184
5. Z równań równowagi nałożonych więzów wyznaczyć ich reakcje Kij wywołane jednostkowymi stanami niewiadomych.
Stan φ2 =1 φ1=0
12
K12 M12
K22
A B
C
M1A=0 M2B
M21
M2C
MA1=0
Przykład 3.1 Rama nieprzesuwna
185
5. Z równań równowagi nałożonych więzów wyznaczyć ich reakcje Kij wywołane jednostkowymi stanami niewiadomych.
lEJ
lEJ
lEJM 2)03102(2)32(2
122112
0)03002(2)32(2111
lEJ
lEJM AAA
lEJMMK A
211212
lEJMMMK CB
10222122
lEJ
lEJ
lEJM 4)03012(2)32(2
121221
lEJ
lEJ
lEJM BB
3)01(3)(3222
lEJ
lEJ
lEJM CC
3)01(3)(3222
186
Ważna uwaga:Zauważmy, że rozwiązywanym przykładzie K21=K12. Nie jest to przypadek. Przypomnijmy znane wcześniej twierdzenie Betti’ego: „Jeśli na ustrój sprężysty działają dwa układy sił, to praca pierwszego na przesunięciach wywołanych przez drugi układ równa się pracy drugiego układu na przesunięciach wywołanych przez układ pierwszy”.
Rozpatrzmy dwa układy statycznie niewyznaczalne. Na żaden nie działa jakakolwiek siła czynna, natomiast w pierwszym układzie podpora i doznaje jednostkowego przesunięcia (lub obrotu), zaś w układzie drugim podobnego przesunięcia (lub obrotu) doznaje podpora k .
Twierdzenie o wzajemności reakcji
187
Układ 1 Układ 2
i i
k k
1Rki 1
Rik
Rik ∙ 1 = Rki ∙ 1
Rik = Rki
Przykład 3.1 Rama nieprzesuwna
188
q
l l
l
.constEJ 1 2
6. Obliczyć reakcje nałożonych więzów Ki0 wywołane przyczynami zewnętrznymi.
12
A B
C
Przykład 3.1 Rama nieprzesuwna
189
l
6. Obliczyć reakcje nałożonych więzów Ki0 wywołane przyczynami zewnętrznymi.
q
12
2ql
12
2ql
12
122
02120
201210
qlMK
qlMK
Przykład 3.1 Rama nieprzesuwna
190
7. Reakcje Kij oraz Ki0 wstawić do układu równań kanonicznych i rozwiązać równania ze względu na φi oraz Δj .
012
102
012
28
2
21
2
21
qllEJ
lEJ
qllEJ
lEJ
EJlql
EJlql
12102
1228
2
21
2
21
EJlql
EJlql
12385
12386
2
2
2
1
Przykład 3.1 Rama nieprzesuwna
191
8. Obliczyć momenty przywęzłowe na podstawie wzorów transformacyjnych.
101238
301238
381220121238
638522 2
222
21
qlqlql
EJlql
lEJM
22
1 191
1238622 ql
EJlql
lEJM A 8
8191
1212385
38622 2
22
12
qlql
EJlql
lEJM
4381
123862 2
2
1 qlEJlql
lEJM A
51238
151238
53
51238
151238
53
22
2
22
2
qlEJlql
lEJM
qlEJlql
lEJM
C
B
gdzie:152
2ql
Wykres momentów zginającychPrzykład 3.1 Rama nieprzesuwna
192
9. Sporządzić wykresy momentów zginających w ramie.
8
4
5
510
M
8
2ql
2l
152
2ql
Wyznaczanie sił poprzecznychPrzykład 3.1 Rama nieprzesuwna
193
10.Na podstawie wykresu momentów zginających sporządzić wykresy sił poprzecznych, traktując poszczególne pręty jak belki swobodnie podparte.
8
4
12
12
q8 10
74
78
5
55
5
5
5l
Wykres sił poprzecznychPrzykład 3.1 Rama nieprzesuwna
194
10.Na podstawie wykresu momentów zginających sporządzić wykresy sił poprzecznych, traktując poszczególne pręty jak belki swobodnie podparte.
+
-12
5
5
74
78
T
Wyznaczanie sił podłużnychPrzykład 3.1 Rama nieprzesuwna
195
11. Na podstawie wykresu sił poprzecznych sporządzić wykresy sił podłużnych obliczając je z warunków równowagi węzłów.
1
A B
C
N1A
12
12
74 78
7874
5
5
25
5
N12 N21 N2C
N2B
1274
12
1
NN A 01P
1221 NN
02P
837
2
2
B
C
NN
l
Wykres sił podłużnychPrzykład 3.1 Rama nieprzesuwna
196
11. Na podstawie wykresu sił poprzecznych sporządzić wykresy sił podłużnych obliczając je z warunków równowagi węzłów.
-
-
-
-
74 83
12
7
l
N
Ramy przesuwneSą to ramy, w których co najmniej jeden węzeł doznaje przemieszczeń
197
1. Ustalić stopień geometrycznej niewyznaczalnościn=Σφi + ΣΔj
n=1+1=2
2. Ponumerować niewiadome rozpoczynając od kątów obrotuφ1 , φ2 ,….φk , Δk+1 , Δk+2 ,.. Δn
Niewiadome φ1 , Δ2
1 2
A B
Ramy przesuwneSą to ramy, w których co najmniej jeden węzeł doznaje przemieszczeń
198
3. Napisać układ równań kanonicznych
1 2
A B
K11φ1 + K12Δ2 + K10 = 0K21φ1 + K22Δ2 + K20 = 0
1
2
4. Przyjąć układ geometrycznie wyznaczalny przez nałożenie więzów na przyjęte niewiadome; utwierdzić węzły sztywne, podeprzeć podporami węzły przesuwne; ponumerować nałożone więzy zgodnie z numerami niewiadomych.
Ramy przesuwneSą to ramy, w których co najmniej jeden węzeł doznaje przemieszczeń
199
5. Z równań równowagi nałożonych więzów wyznaczyć ich reakcje Kij wywołane jednostkowymi stanami niewiadomych
1 2
A B
1
2
1
K11K21
A B
11 2 2
1K22
K12
Do wyznaczenia reakcji w podporze 2 potrzebna jest znajomość sił poprzecznych
200
5. Z równań równowagi nałożonych więzów wyznaczyć ich reakcje Kij wywołane jednostkowymi stanami niewiadomych
Reakcje w podporze 1 obliczyć można podobnie jak w przykładzie 1. Inaczej jest z reakcjami w podporze 2.
K2i
T1A T2B
To nie jest wygodne. Uprościmy algorytm metody przemieszczeń
201
Siły poprzeczne mogą być oczywiście wyznaczone z równań równowagi odpowiednich belek. I tak w belce obustronnie utwierdzonej mamy:
02 26
ikkikiik
ik TlEJ
lMM
T
Natomiast w belce jednostronnie utwierdzonej:ikki TT
02
3iki
ikik T
lEJ
lM
T
Algorytm uproszczony202
1. Ustalić stopień geometrycznej niewyznaczalnościn=Σφi + ΣΔj
i=1,2,3,…k k – liczba węzłów sztywnych
j= k+1, k+2,…k+m m – liczba niezależnych przesunięć węzłów
n=k+m2. Narysować plan przemieszczeń węzłów. Jako niewiadome przyjąć kąty obrotu węzłów i cięciw prętów.3. Ponumerować niewiadome, osobno numerując kąty obrotu węzłów i niezależne kąty obrotu cięciw prętów φ1 , φ2 ,….φk , ψI , ψII ,.. ψM . Cięciwy prętów numerujemy
liczbami rzymskimi.4. Przyjąć układ geometrycznie wyznaczalny przez nałożenie więzów na przyjęte niewiadome; utwierdzić węzły sztywne, podeprzeć podporami węzły przesuwne; ponumerować nałożone więzy zgodnie z numerami niewiadomych.
Algorytm uproszczony203
5. Zwolnić wszystkie więzy i zapisać momenty przywęzłowe wywołane obrotami węzłów i cięciw.6. Obliczyć momenty przywęzłowe w układzie geometrycznie wyznaczalnym.7. Napisać równania równowagi węzłów.8. Napisać równania pracy wirtualnej momentów i sił zewnętrznych działających na wirtualne łańcuchy kinematyczne.9. Rozwiązać układ równań metody przemieszczeń.
Algorytm uproszczony204
10. Obliczyć momenty przywęzłowe na podstawie wzorów transformacyjnych.
11. Sporządzić wykresy momentów zginających w ramie.
12.Na podstawie wykresu momentów zginających sporządzić wykresy sił poprzecznych, traktując poszczególne pręty jak belki swobodnie podparte.
13. Na podstawie wykresu sił poprzecznych sporządzić wykresy sił podłużnych obliczając je z warunków równowagi węzłów.
1 2 3
4
ΔI
ΔI
ΔI ΔIIΔII
Plan przemieszczeń węzłów205
2 niezależne przesuwy. Kąty obrotu cięciw prętów
l
1,5 l l
5 6
I 362514
P
II
II
5,15623
4512
12
3
4
Praca momentów na łańcuchu kinematycznym206
l
1,5 l l
5 6
1 1 1
M14
M41
M25
M36
KI
l1
Ale KI=0 brak podpory I
Pu
036254114 uP1M1M1MMl1K I
0IM - Moment sił zewnętrznych na łańcuchu I
0036254114 IMMMMM
12
3
4
Praca momentów na łańcuchu kinematycznym207
l
1,5 l l
5 611,5
11,5
1
1
1,5l1
KII
M12
M45
M21 M23 M32
03223452112 1,5MMMMM
P
03223452112 11,5MM1M1MM1,5l1K II
00 IIM
Przykład 3.2 Rama przesuwna
208
.constEJ 2l
2l
l43l
1 2
AB
C
P l43
Przykład 3.2 Rama przesuwna k=2 ; m=1 ; n=3
209
2l
2l
l43l
1 2
AB
C
1. Ustalić stopień geometrycznej niewyznaczalnościn=Σφi + ΣΔj i=1,2,3,…k k – liczba węzłów sztywnych j= k+1, k+2,…k+m m – liczba niezależnych przesunięć węzłów; n=k+m
Pl4
3
Przykład 3.2 Rama przesuwna Niewiadome: φ1, φ2 , ψI
210
2l
2l
l43l
1 2
AB
C
2.Narysować plan przemieszczeń węzłów. Jako niewiadome przyjąć kąty obrotu węzłów i cięciw prętów.
l43
II
34
3. Ponumerować niewiadome, osobno numerując kąty obrotu węzłów i niezależne kąty obrotu cięciw prętów φ1, φ2,….φk , ψI , ψII ,..ψM. Cięciwy prętów numerujemy liczbami rzymskimi.
P
Przykład 3.2 Rama przesuwna
211
2l
2l
l43l
1 2
AB
C
4. Przyjąć układ geometrycznie wyznaczalny przez nałożenie więzów na przyjęte niewiadome; utwierdzić węzły sztywne, podeprzeć podporami węzły przesuwne; ponumerować nałożone więzy zgodnie z numerami niewiadomych.
1 2I
Pl4
3
Przykład 3.2 Rama przesuwna
212
2l
2l
l43l
1 2
AB
C
5. Zwolnić wszystkie więzy i zapisać momenty przywęzłowe wywołane obrotami węzłów i cięciw.
P
0111 322AIA M
lEJM
2112 22 lEJM
1221 22 lEJM
l43
0111 32AIA M
lEJM
IB l
EJM 344
22
22244
33
lEJ
lEJM C
Przykład 3.2 Rama przesuwna
213
6. Obliczyć momenty przywęzłowe w układzie geometrycznie wyznaczalnym.
801
PlM A 801
PlM A
7. Napisać równania równowagi węzłów.
08
628 21 Pl
lEJ
I
03
16122 21
Il
EJ
Przykład 3.2 Rama przesuwna
214
2l
1 2
A
B
C
8. Napisać równania pracy wirtualnej momentów i sił zewnętrznych działających na wirtualne łańcuchy kinematyczne.
P
1
34
1
M1A M2B
MA1
023
4211
lPMMM BAA
Ponieważ 01
01 AA MM
029
1723
166 21
lPlEJ
I
Przykład 3.2 Rama przesuwna
215
9. Rozwiązać układ równań metody przemieszczeń. 0
8628 21
PllEJ
I
03
16122 21
Il
EJ
029
1723
166 21
lPlEJ
I
EJlPl
EJlPl
EJlPl
I
03161,0
01328,0
00458,0
2
1
Przykład 3.2 Rama przesuwna
216
10. Obliczyć momenty przywęzłowe na podstawie wzorów transformacyjnych.
11. Sporządzić wykresy momentów zginających w ramie.
0.115Pl0.053PL
0.062Pl
0.045Pl
0.302Pl M
PlMPlMPlMPlMPlMPlM
B
C
A
A
115.0053.0062.0045.0
045.0302.0
2
2
21
12
1
1
0.121Pl
Przykład 3.2 Rama przesuwna
217
12.Na podstawie wykresu momentów zginających sporządzić wykresy sił poprzecznych, traktując poszczególne pręty jak belki swobodnie podparte.
0.847P
0.153P
0.107P0.071P
0.153P
Równowaga na oś poziomą
P
0.847P
0.153P
T
Przykład 3.2 Rama przesuwna
218
3. Na podstawie wykresu sił poprzecznych sporządzić wykresy sił podłużnych obliczając je z warunków równowagi węzłów.
0.153P
0.107P
0.036P
Równowaga na oś pionową
N 0.107P
0.036P
0.071P
Wpływy pozastatyczneNależą do nich przede wszystkim wpływ temperatury oraz wpływ przemieszczeń podpór
219
1. Nierównomierny przyrost temperatury
Δt
h
Momenty w układzie geometrycznie wyznaczalnym wywołane nierównomiernym przyrostem temperatury
zestawione są w tablicy
Przykład 3.3 Nierównomierny przyrost temperatury
220
A 1 2 BΔt
1,5l l l
EJ=const.
22
1221
2112
111
3
22
222
322
33
23
lEJM
lEJM
lEJM
htEJ
lEJ
htEJ
lEJM
B
ttA
Przykład 3.3 Nierównomierny przyrost temperatury
221
072
02
326
21
21
lEJ
htEJ
lEJ t
0322
0222
32
212212
2111
lEJ
lEJMM
lEJ
htEJ
lEJM
ii
t
ii
EJl
htEJ
EJl
htEJ
t
t
7667621
2
1
Przykład 3.3 Nierównomierny przyrost temperatury
222
181872
72
2
21
12
1
B
A
MMMM
htEJt
76
M72β
18β
T
l
lTT
lTT
lTT
BB
AA
1818
901872
485.1
72
22
2112
11
48γ
90γ
18γ
Wpływy pozastatyczneRozwiązanie nie zależy od przyjętego układu geometrycznie wyznaczalnego
223
2. Równomierny przyrost temperatury
Stan zewnętrzny musi być rozważany w układzie geometrycznie wyznaczalnym. Należy w tym układzie sporządzić plan przemieszczeń węzłów.
t tΔ
Δ
Przykład 3.4 Równomierny przyrost temperatury
224
l l
l
.constEJ 1 2
A B
C
K11φ1 + K12φ2 + K10 = 0K21φ1 + K22φ2 + K20 = 0
tt
01A
02B
Przykład 3.4 Równomierny przyrost temperatury
225
tltl
tt
A
220
1
tltl
tt
B
02
tlEJ
lEJMK
tlEJ
lEJMK
tAB
tAA
33
1232
01
0220
01
0110
03102
01228
21
21
tlEJ
lEJ
lEJ
tlEJ
lEJ
lEJ
t
t
05,1
2
1
tt
Przykład 3.4 Równomierny przyrost temperatury
226
ltEJ
tlEJ
lEJM t
tAA
9
65,1232 0111
ltEJ
tlEJ
lEJM t
tAA
6
632322 0111
ltEJ
tlEJ
lEJM t
t
6
032222112
ltEJ
tlEJ
lEJM t
t
3
5,102221221
0322
lEJM C
ltEJ
tlEJ
lEJM t
tBB
3
033 0222
Przykład 3.4 Równomierny przyrost temperatury
227
9β
6β3β
M
ltEJt
T
l15
l6
l3
Przykład 3.4 Równomierny przyrost temperatury
228
l6
l18
l18
NRównowaga
l15 l
3
l6 l
6
l6
l15
Wpływy pozastatyczneRozwiązanie nie zależy od przyjętego układu geometrycznie wyznaczalnego
229
2. Osiadanie podpór
Stan zewnętrzny musi być rozważany w układzie geometrycznie wyznaczalnym. Należy w tym układzie sporządzić plan przemieszczeń węzłów.
Przykład 3.5 Osiadanie podpórPodpory osiadają o ustalone (pomierzone) wielkości
230
.constEJ 2l
2l
l43l
1 2
AB
C
l43
Δ0
2Δ0
Przykład 3.5 Osiadanie podpórPodpory osiadają o ustalone (pomierzone) wielkości
231
.constEJ 2l
2l
l43l
1 2
A
B
C
l43
Δ0
2Δ0
Układ geometrycznie wyznaczalny
01A
012 0
2C
Przykład 3.5 Osiadanie podpórPodpory osiadają o ustalone (pomierzone) wielkości
232
lA00
1
l00
122
ll
EJlEJM CC
002
02
3243
3
llC 38
43
2 0002
0628 012
0121 MM
lEJ
AI
03
16122 02
02121
CI MM
lEJ
09
1723
166 01
0121
AAI MM
lEJ
ll
EJlEJMM AAA
001
01
01
632
ll
EJlEJMM 00
12021
012
1232
Przykład 3.5 Osiadanie podpór
233
018
628 20
21
lEJ
lEJ
I
020
316122 2
021
lEJ
lEJ
I
012
9172
3166 2
021
lEJ
lEJ
I
l0
1 4496,2
l0
2 2968,2
lI04994,0
Przykład 3.5 Osiadanie podpór
234
0111 32AIA M
lEJM
0111 322AIA M
lEJM
2112 22 lEJM
1221 22 lEJM
22244
33
lEJ
lEJM C
IB l
EJM 344
222
02
20
2
20
21
20
12
20
1
20
1
52,6
81,22
29,16
80,6
80,6
90,1
lEJ
M
lEJ
M
lEJ
M
lEJ
M
lEJ
M
lEJ
M
B
C
A
A
Przykład 3.5 Osiadanie podpór
235
1.90β
6.80β
16.29β
22.81β
6.52β
M
8,70γ
23,09γ30,41γ
8,70γ T
23,09 γ7,32 γ
8,70 γ
Nγ=β/l
Symetria i antysymetria
236
Każde obciążenie w konstrukcji symetrycznej można rozłożyć na część symetryczną i antysymetryczną
237
q
Oś symetriikonstrukcji
q/2 q/2q/2 q/2
Oś symetriikonstrukcji
Oś symetriikonstrukcji
S APręt przecięty osią symetrii konstrukcji
238
q/2 q/2
S
q/2
239
q/2 q/2
Oś symetriikonstrukcji
A
q/2
Belka utwierdzona z jednej strony przesuwnie
240
i
φi
l
i
φi
2l
φi
0022
2ikiikiiik M
lEJM
lEJM
Wzór transformacyjny
k
Momenty wywołane wpływami zewnętrznymi
Schemat 0kiM0
ikM
0ikM 0
kiM
0ikM 0
kiM
0kiM0
ikM
P
0,5 l 0,5 l
q
l
241
83PL
8Pl
3
2ql 6
2ql
l
P
2Pl
2Pl
2Pl
Δt – jak w belce obustronnie utwierdzonej
Przykład 3.6242
J=const
1,5l
l l l
t
Przykład 3.6243
l l/2
t/21,5l
l l/2
t/21,5l
Przykład 3.6244
l l/2
t/2
1 2 C
A B
1,5l
Układ geometrycznie wyznaczalny
l l/2
t/2
1 2
A B
1,5l
012
tltl
tt
43
25,10
12
Przykład 3.6245
22
22
0211221
0122112
11
2
23
3
22
22
23
3
lEJM
lEJM
MlEJM
MlEJM
lEJM
SC
SB
SS
SS
SA
4
3632 012
021
012
tlEJ
lEJMM tSS
ltEJ
MM tSS
290
210
12
02982
02926
21
21
t
t
t
t
t
t
t
t
44184427
2
1
Przykład 3.6246
ltEJ
M
M
M
MltEJ
M
t
SC
SB
S
S
tSA
22
18
18
36
27
272227
2
2
21
12
1
27 27
36 36
18 18
18
MS
Przykład 3.6247
l l/2
t/21,5l
Układ geometrycznie wyznaczalny
l l/2
t/2
1 2
A B
1,5l
012
tltl
tt
43
25,10
12
Plan przemieszczeń węzłówψ ψ
Ψ=2Δ/3l
Przykład 3.6248
22
22
0212121
0122112
11
23
23
3
)2(2
)2(2
23
3
lEJM
lEJM
MlEJM
MlEJM
lEJM
SC
SB
AA
AA
AA
4
3632 012
021
012
tlEJ
lEJMM tAA
ltEJ
MM tAA
290
210
12
0422
0292122
029226
21
21
21
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
127124
1210
2
1
Przykład 3.6249
MA
tlEJt
lEJM
tl
EJtl
EJM
tlEJt
lEJM
tl
EJttlEJM
tl
EJtl
EJM
ttSC
ttSB
ttA
tttA
ttAA
28123
2742
12
23
1254108
122
21254420
122
27102
12
2
2
21
12
1
3
4
4
tl
EJt
2
3
Przykład 3.6250
7
69
26
2916
62
3
38
ltEJ t
22
M
251
P
Oś symetriikonstrukcji
P/2 P/2 P/2 P/2
Oś symetriikonstrukcji
Oś symetriikonstrukcji
AS
Pręt leżący na osi symetrii konstrukcji
252
P/2 P/2
Oś symetriikonstrukcji
P/2 J=∞
S
253
A
Oś symetriikonstrukcji
P/2 P/2P/2
J1=J∕2
Przykład 3.7A co ze stanem symetrycznym?
254
2P
J J
J J
2J
P
J J
J
l
l l
l
l
A B
1 2
Przykład 3.7255
000
82281
2821
121
PlMMMMMMM
A
A
32
322
22
22
3
22
22
2121
2112
11
lEJM
lEJM
lEJM
lEJM
lEJM
B
B
A
Pl
156306820327
21
21
21
EJPl
EJPlEJPl
44313443
441
2
1
Przykład 3.7256
22
1044113232
7̀44113234
7441342
5441324
5441133
2
2
21
12
1
Pl
PlM
PlM
PlM
PlM
PlM
B
B
A
5β7β
7β5β14β
20β
M
Koniec prezentacji multimedialnej z przedmiotu
„Mechanika budowli” kierunek „Budownictwo” specjalność „Technologie energooszczędne w budownictwie” sem.IV
257
Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski
Recommended