Programac. De Métodos Numéricos Unidad 2. RAÍCES DE ECUACIONES

Programac. De Métodos

Numéricos Unidad 2

RAÍCES DE ECUACIONES

DEFINICIÓN

Encontrar las raíces consiste en obtener una

raíz de x de una ecuación de la forma f(x)=0

para una función dada f. Estos valores de x que

hacen a la ecuación igual a cero. Por eso

algunas veces a las raíces se les conoce como

ceros de la ecuación. Aunque la formula

cuadrática es útil para resolver ecuaciones, hay

muchas funciones diferentes que no se pueden

resolver de manera tan fácil. En estos casos los

métodos numéricos proporcionan métodos

eficientes para obtener la respuesta.

ECUACIONES ALGEBRAICAS Solución de una ecuación algebraica de primer

grado

es solución de:

Solución de una ecuación algebraica de segundo grado

es solución de:

BÚSQUEDA DE UNA RAÍZ

MÉTODOS GRÁFICOS

Como auxiliares en la comprensión visual de los métodos numéricos tantos cerrados como abiertos, para identificar el número de posibles raíces y la identificación de casos en los que los métodos abiertos no funcionan.

MÉTODO GRÁFICOf(x)

x

Visual

xr

MÉTODO GRÁFICO

xe)x(f x -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6

-20

-15

-10

-5

0

5x f(x)

-0.5 -3.5-0.3 -15.0541281-0.2 -13.9546075-0.1 -9.34642850 -3.5

0.01 -2.940508310.04 -1.349552450.05 -0.854485480.1 1.286650810.2 3.507932960.4 0.046038140.5 -3.5

MÉTODO DE BISECCIÓN

1. Consiste en considerar un intervalo (xi, xs) en

el que se garantice que la función tiene raíz.

2. El segmento se bisecta, tomando el punto de

bisección xm como aproximación de la raíz

buscada.

3. Se identifica luego en cuál de los dos

intervalos está la raíz.

4. El proceso se repite n veces, hasta que el

punto de bisección xm, coincide

prácticamente con el valor exacto de la raíz.

PASO 1.

xi xs

f(x)

x

f(xi)

f(xs)

0<)x(f).x(f mi

PASO 2. La fórmula de recurrencia para el método de bisección es el promedio de los valores inferior y superior de los extremos del intervalo:

i sr

x xx

2

m

PASO 2. (CONTINUA)

xi xsxr

f(x)

x

f(xi)

f(xs)

f(xr)

2si

m

xxx

+=

PASO 3.

Realizar las siguientes evaluaciones para determinar en cual de los dos intervalos esta la raiz:

1. Si f(xi)*f(xm)<0 entonces la raiz esta en el subintervalo inferior. Por lo tanto xi=xm; f(xi)=f(xm) y continua paso 2.

2. Si f(xi)*f(xm)>0 entonces la riaz esta en el subintervalo superior. Por lo tanto xs=xm; f(xs)=f(xm) y continua paso 2.

1. El proceso se repite n veces, hasta que el

punto de bisección xm, coincide prácticamente

con el valor exacto de la raíz.

PASO 4.

xi xs xm f(xi) f(xs) f(xm) f(xi)*f(xm) eap evp0.0679 0.0688 0.06835 -0.020248389 0.019816962 -0.00019235 3.89488E-06 100 0.006321430.06835 0.0688 0.068575 -0.000192355 0.019816962 0.00981815 -1.88857E-06 0.32810791 -0.322845770.06835 0.068575 0.0684625 -0.000192355 0.009818151 0.00481436 -9.26065E-07 -0.16432353 -0.158262170.0679 0.0684625 0.06818125 -0.020248389 0.004814359 -0.0077079 0.000156073 -0.41250344 0.25319682

0.06818125 0.0684625 0.068321875 -0.007707899 0.004814359 -0.00144449 1.1134E-05 0.2058272 0.047467330.06832188 0.0684625 0.068392188 -0.00144449 0.004814359 0.00168551 -2.43469E-06 0.1028078 -0.055397420.06832188 0.06839219 0.068357031 -0.00144449 0.001685505 0.00012065 -1.74278E-07 -0.05143033 -0.003965050.06832188 0.06835703 0.068339453 -0.00144449 0.00012065 -0.00066188 9.56084E-07 -0.02572178 0.021751140.06833945 0.06835703 0.068348242 -0.000661884 0.00012065 -0.00027061 1.79111E-07 0.01285924 0.008893050.06834824 0.06835703 0.068352637 -0.000270608 0.00012065 -7.4977E-05 2.02893E-08 0.00642921 0.0024640.06835264 0.06835703 0.068354834 -7.49766E-05 0.00012065 2.2837E-05 -1.71227E-09 0.0032145 -0.00075052

Intervalos Función EvaluadaRaíz media

Condiciones

MÉTODO DE BISECCIÓN0.068354321Valor verdadero=====

MÉTODO DE BISECCIÓN

Iteración Xi Xs f(xi) f(Xs) Xm f(Xm) e(%) e*(%)

1 0 1 1 -0.63212056 0.5 0.10653066 11.84  

2 0.5 1 0.10653066 -0.63212056 0.75 -0.27763345 32.24 33.33

3 0.5 0.75 0.10653066 -0.27763345 0.625 -0.08973857 10.2 20.00

4 0.5 0.625 0.10653066 -0.08973857 0.5625 0.00728282 0.82 11.11

5 0.5625 0.625 0.00728282 -0.08973857 0.59375 -0.04149755 4.69 5.26

6 0.5625 0.59375 0.00728282 -0.04149755 0.578125 -0.01717584 1.94 2.70

7 0.5625 0.578125 0.00728282 -0.01717584 0.5703125 -0.00496376 0.56 1.37

8 0.5625 0.5703125 0.00728282 -0.00496376 0.56640625 0.0011552 0.13 0.69

9 0.56640625 0.5703125 0.0011552 -0.00496376 0.56835938 -0.00190536 0.21 0.34

10 0.56640625 0.56835938 0.0011552 -0.00190536 0.56738281 -0.00037535 0.04 0.17

11 0.56640625 0.56738281 0.0011552 -0.00037535 0.56689453 0.00038986 0.04 0.09

12 0.56689453 0.56738281 0.00038986 -0.00037535 0.56713867 7.2379E-06 0 0.04

13 0.56713867 0.56738281 7.2379E-06 -0.00037535 0.56726074 -0.00018406 0.02 0.02

14 0.56713867 0.56726074 7.2379E-06 -0.00018406 0.56719971 -8.8412E-05 0.01 0.01

Intervalos Función Raiz media

Valor Verdadero = 0.567143xe)x(f x -= -