Progresiones geometricas

PROGRESIONES GEOMETRICAS

EQUIPO 4

Chávez Báez Irasema.

Nava Valenzuela Cecilia.

COMO INTRODUCCIÓN, RESUELVE LOS SIGUIENTES PROBLEMAS.

Un hombre avanza en el primer segundo de su carrera 4 m y en cada segundo posterior avanza 5 cm más que en el anterior. ¿Cuánto avanzó en el cuarto segundo?

Solución:

m 4 :segundo 1er.

En el cuarto segundo el hombre avanzó 4,15 metros.

m 4,05 cm 5 m 4 :seg. 2do. m 4,10 cm 5 m 4,05 : seg. 3er. m 4,15 cm 5 m 4,10 :seg. 4to.

PROBLEMA Nº 1

¿Cómo calcularías cuánto avanzó el hombre en el segundo 61? ¿en el segundo 91? ¿y en el 101?

Solución:

Si sigues el procedimiento anterior terminarás cansada (o).

Con calculadora, ¡bastante menos!.

… ¡pero te dará lata!

Busca otra estrategia …

Te sugiero observar cuidadosamente el desarrollo ya realizado en este problema …

PROBLEMA Nº 1

¿Observaste que el sumando 5 cm se repite después del primer segundo …?

¿Cuántas veces?

Si multiplicas 3 · 5 cm, el resultado lo transformas a metros y luego lo sumas al 4, ¿qué obtienes?

¡la misma respuesta!

¡¡pero más rápido!!

Ahora, intenta dar respuesta a las otras preguntas …

Las respuestas son 7 - 8,5 y 9 metros, respectivamente.

PROBLEMA Nº 1

El lunes gané $3 y cada día después gané el doble de lo que gané el anterior. ¿Cuánto gané el jueves?

Solución:

pesos 3 :gané lunes Día

El día jueves gané 24 pesos.

pesos 6 2pesos 3 :martes Día pesos 12 2pesos 6 :miércoles Día

pesos 24 2pesos 12 :jueves Día

PROBLEMA Nº 2

¿Cómo calcularías cuánto ganaste el día sábado? ¿en el día miércoles de la siguiente semana? ¿y en el viernes de la tercera semana? (El domingo es tu día de descanso)

Solución:

Si desarrollaste el problema 1 ya sabes lo que va a pasar …

Busca otra estrategia …

Nuevamente, te sugiero observar cuidadosamente el desarrollo ya realizado en este problema …

PROBLEMA Nº 2

¿Observaste que el factor 2 se repite después del primer día …?

¿Cuántas veces?

Si lo escribes como potencia, lo desarrollas y lo multiplicas por 3, ¿qué obtienes?

¡la misma respuesta!

¡¡pero más rápido!!

Ahora, intenta dar respuesta a las otras preguntas …

Las respuestas son 96 - 768 y 196.608 pesos, respectivamente.

PROBLEMA Nº 2

Es una sucesión de términos formados de acuerdo con una cierta ley.

Ejemplo:

1, 4, 9, 16, 25, 36 …

Observa que cada término se forma elevando al cuadrado, ordenadamente, los números naturales.

En el problema nº 1, ¿cuál era la ley de formación?

Al término anterior se le sumaba 5 cm.

En el problema nº 2, ¿cuál era la ley de formación?

El término anterior se multiplicaba por 2.

Series denominadas PROGRESIONES.

Estas se clasifican en:

Progresiones Aritméticas

Progresiones Geométricas

PROGRESIÓN GEOMÉTRICA

Lo que caracteriza a este tipo de serie es que cada término se obtiene multiplicando el término anterior por una cantidad constante llamada razón geométrica, o, simplemente, razón.

Ejemplo:

....16:8:4:2

4=2·2

8=4·2

16=8·2

En este caso, la razón es 2.

El problema 2 de la introducción corresponde a esta clasificación.

RAZÓN GEOMÉTRICA O RAZÓN

¿Si se conocen los términos de una progresión geométrica, cómo se obtiene la razón?

La razón geométrica, o razón, se halla dividiendo un término cualquiera por el término anterior.

Ejemplo: ...16:8:4:2Si r representa la razón geométrica, entonces la razón es…

r=4:2 = 2

r=8:4 = 2

r=16:8 = 2

2 r

En el problema 2 de la introducción, ¿recuerdas cómo se obtuvo, rápidamente, lo que ganaste el día jueves?

Fue algo así…

32pesos 3 gané jueves Día

1 término menos que el total de la serie.Primer término

de la serie.Último término de la serie

Razón

r 1 -n na 1aLuego, la fórmula aplicada para hallar el último término de la serie fue …

11n raa n

Notación:

Aquí se distinguen …

Observaciones:

En esta fórmula se conoce como “término enésimo”na

es el número de términos que tiene la serie.n

Cualquiera de ellas puede ser una incógnita, por lo tanto de esta fórmula se pueden obtener otras más específicas. Observa:

11n raa n

1rlog

alogalogn 1n

1-nn

1 r

aa 1

1

n

a

ar n

Primer término Razón

Nº de términos

Término enésimo

11n raa n

Recuerda, si te cuesta aprender todas estas fórmulas, apréndete la principal.

En ella puedes reemplazar los datos conocidos, despeja tu incógnita y ¡ya!.

Observa el siguiente ejemplo:

11n raa n

Ejemplo:

¿Cuántos términos tiene la progresión geométrica 4 . 8 …. 512?

Datos

Primer término: 4

Último término:512

Razón: 8:4 = 2

La progresión tiene 8 términos.

11n raa n

124512 n

12128 n

17 22 n

817 nn

También podías aplicar logaritmo.

SUMA DE LOS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA

Del problema 2, en la introducción, obtuvimos: (estrategia)

2423:

1223:

623:

33:

3

2

jueves

miercoles

martes

lunes

452323233 32 Suma

32 2323233 Suma

432 232323232 Suma

Si esta expresión la multiplicas por la razón r = 2 se tiene:

Ahora le restamos …

32 2323233 Suma

323)12( 4 Suma

12

)12(3 4

Suma

Ocupamos …

12

)12(3 4

Suma

Analizando este proceso tenemos que:

Aquí se distinguen …

Notación:

Primer término

Razón

Número de términos de la serie

rn1aS

Luego, la fórmula aplicada para hallar la suma de los términos de la progresión geométrica fue …

1r

)1r(a1

n

S

¿Recuerdas el problema 2 de la introducción?

Como ejercicio, calcula cuánto ganaste de lunes a sábado, en dos semanas.

Solución:

En dos semanas trabajaste 12 días, por lo tanto ganaste 12.285 pesos.

MEDIOS GEOMÉTRICOS E INTERPOLACIÓN

Ejemplo:

Interpolar 4 medios geométricos entre - 7 y - 224.

Solución:

Primeramente debemos encontrar la razón geométrica o razón.

Datos

Primer término: - 7

Último término: - 224

Nº de términos: 4+2=6

Ahora formamos la progresión …

2)(-112:2)(-56:2)(-28 :2)(-14 :2)(-7 :7-

-224:-112:-56:-28:-14:7-

Debes considerar los términos extremos también.

11n raa n

16r7224- 55 /r32

r2