PROGRESIONES ARITMÉTICAS.docx

PROGRESIONES ARITMÉTICAS

1. Para alquilar una casa, una familia realiza un contrato de alquiler,

acordando pagar S/. 800,00 al mes durante el primer año, y cada año se

aumentará en alquiler en S/. 60,00 mensuales. ¿Cuánto se pagará

mensualmente al cabo de 10 años?

a1 a2 a3 a10

80

0

; 860 ; 920 ; … ; 1400

DATOS:

an = Último término S/. 1400,00.

a1 = Primer término S/. 800,00.

d = Diferencia S/. 60,00.

n = Número de término 10.

DESARROLLO:

a10 = 800 + (10 – 1) 60

a10 = 800 + (9) 60

a10 = 800 + 540

a10 = 1340

SOLUCIÓN:

Después de 10 años la mensualidad será de S/. 1340,00.

an = a1 + (n-1) d

2. Halla el 61º término de 1, 5, 9, …

DATOS: DESARROLLO: SOLUCIÓN:

an = ?

a1 = 3

d = 4

n = 61

an = a1 + (n – 1) d

a61 = 1 + (61– 1) 4

a61 = 1 + (60) 4

a61 = 1 + 240

a61 = 241

El término 61º de la P.A. es 241.

3. Hallar el término 31º de: 3, -1, -5, …, a31


an = a31

a1 = 3

d = -4

n = 31

an = a1 + (n – 1) d

a31 = 1 + (61 – 1)

a31 = 3 + 30 (- 4)

a31 = 3 + 120

a31 = - 117


4. Hallar el término 60º de la P.A.: 36, 32, 28, 24…………a60


an = a60

a1 = 36

d = 4

n = 60

an = a1 + (n – 1) d

a60 = 36 + (60 – 1) 4

a60 = 36 + (59) - 4

a60 = 36 - 236

A60 = - 200


5. Halla el número de términos (n) de la P.A.

÷ 5, 8, 11, 14, …, 122.


a1 = 5

d = 3

an = 122

an = a1 + (n – 1) d

122 = 5 + (n – 1) 3

122 – 5 = (n – 1) 3

117 = (n – 1) 3

117 ÷ 3 = (n – 1)

39 = n – 1

39 + 1 = n

40 = n

La P.A. tiene 40 términos.

6. Hallar “n” de la P.A.:

÷ 24, 18, 12, 6, …, - 156.


a1 = 24

d = - 6

an = - 156

an = a1 + (n - 1) d

- 156 = 24 + (n - 1) (-

6)

- 156 - 24 = (n - 1) (- 6)

- 180 = (n - 1) (- 6)

- 180 ÷ - 6 = (n - 1)

30 = n - 1

30 + 1 = n

31 = n

La P.A. tiene 31 términos.

7. El término 14 de una P.A. es 70, si la diferencia es 5. Halla el primer

término.


an = 70

d = 5

a1 = ?

n = 14

an = a1 + (n - 1) d

70 = a1 + (14 - 1) 5

70 = a1 + (13) 5

70 = a1 + 65

70 - 65 = a1

5 = a1

El primer término de la P.A. es 5.

8. El primer término de una P.A. es 5 y el octavo es 40. Hallar la diferencia.


a1 = 5

a8 = 40

d = ?

n = 8

an = a1 + (n - 1) d

40 = 5 + (8 - 1) d

40 = 5 + (7) d

40 - 5 = (7) d

35 = (7) d

35 ÷ 7 = d

5 = d

La diferencia de la P.A. es 5.

SUMA DE LOS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA

1. Hallar la suma de los términos de la P.A. si n = 14.

4; 6; …; 30.


a1 = 4

an = 30

n = 14

Sn=(a1+an )n2

Sn= (4+30 )142

Sn= (34 ) 142

Sn=(34 )7

Sn=238

La suma de términos de la P.A. es 238.

2. Hallar la suma de los 100 primeros números de la P.A.:

÷ 36; 40; …; 432.


a1 = 36

an = 432

n = 100

Sn=(a1+an )n2

Sn= (36+432 )1002

Sn= (468 )142

Sn=( 468 )50

Sn=2340

La suma de términos de la P.A. es 2340.

Sn=(a1+an )n2

PROGRESIONES GEOMÉTRICAS

1. Un comerciante gana el primer mes S/. 85 y cada mes gana el doble de

lo que ganó el mes anterior ¿Cuánto ganó en el décimo mes?

a1 a2 a3 an

85 ; 17

0

; 340 ; … ; a10

DATOS:

a1 = Primer término 85

n = Número de término 10

r = Razón 340 ÷ 170 = 2

an = Último término a10

DESARROLLO:

a10 = 85 . 210-1

a10 = 85 . 29

a10 = 85 . 512

a10 = 43520

SOLUCIÓN:

En el décimo mes, el comerciante ganó S/. 43520,00.

an=a1 . rn−1

2. Si el primer término de una P.G. es 4 y la razón 2. Hallar a11.


a1 = 4

r = 2

n = 11

a11 = ?

an=a1 . rn−1

a11=4 .211−1

a11=4 .210

a11=4 .1024

a11=4096

El término a11 de la P.G. es 4096.

3. Si an =320, a1 = 9, r = 3. ¿Cuántos términos tiene la P.G.?


an = 320

a1 = 9

r = 3

n = ?

an=a1 . rn−1

320=9 .3n−1

320=32 .3n−1

320

32=3n−1

318=3n−1

18=n−1

18+1=n

19=n

La P.G. tiene 19 términos.

4. El último término de una P.G. es 640, el primer término - 5 y la razón es -

2. ¿Cuál es el número de términos?


an = 640

a1 = - 5

r = - 2

n = ?

an=a1 . rn−1

640=−5 .−2n−1

640−5

=−2n−1

−128=2n−1

−27=2n−1

7=n−1

7+1=n

8=n

La P.G. tiene 8 términos.

5. El quinto término de una P.G. es 96 y la razón es 2. Halla el primer

término.


a5 = 96

a1 = ?

r = 2

n = 5

an=a1 . rn−1

96=a1 .25−1

96=a1.24

96=a1.16

9616

=a1

6=a1

El primer término de la P.G. es 6.

6. El octavo término de una P.G. es 1 y la razón ½. Halla a1.


a8 = 1

n = 8

r = ½

a1 = ?

an=a1 . rn−1

1=a1 .12

8−1

1=a1 .12

7

1=a1.1128

1281.1=a1

128=a1

El primer término de la P.G. es 128.

7. El primer término de una P.A. es 4 y el quinto 64. Hallar la razón.


a1 = 4

a5 = 64

n = 5

r = ?

an=a1 . rn−1

64=4 . r5−1

64=4 . r4

644

=r 4

16=r4

4√16=r

2=r

La razón de la P.G. es 2.

8. El primer término de una P.A. es ⅓ y el séptimo 243 ¿Cuál es la razón?


a1 = ⅓

a7 = 243

n = 7

r = ?

an=a1 . rn−1

243=13. r7−1

243=13. r6

243 . 31=r6

729=r6

6√729=r

3=r

La razón de la P.G. es 3.

SUMA DE LOS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA

1. Hallar la suma de los 7 primeros términos de la P.G. ÷ 3, 9, 27, …


a1 = 3

r = 3

n = 7

Sn=a1(r

n−1)r−1

Sn= 3(37−1)3−1

Sn=3(2187−1)2

Sn=3(2186)2

Sn= 65582

Sn=3279

La suma de los 7 primeros términos de la

P.G. es 3279.

2. Hallar la suma de los 12 primeros términos de la P.G. ¼, ½, 1, 2, 4, …


a1 = ¼

r = 4 ÷ 2 =

2

n = 12

Sn=a1(r

n−1)r−1

Sn=

14(212−1)

2−1

Sn=

14(4096−1)

1

La suma de los 12 primeros términos de

la P.G. es 1023,75.

Sn=a1(r

n−1)r−1

Sn=

14(4095)

1

Sn=40954

Sn=1023,75

PROBLEMAS

María pide un préstamo de 2400 a una tasa de interés de 20% anual para

pagarla en 2 años ¿Cuál es el interés que pagará María?

I=c . r% .t

I = Interés

c = Capital

r% = Tasa

t = Tiempo

M = Monto

M = c + I

______________________________________________________________

1 año <> 12 meses

1 año <> 2 semestres

1 año <> 6 bimestres

1 año <> 4 trimestres

1 año <> 3 cuatrimestres

1 año <> 360 días

1 mes <> 30 días

1 semestre <> 6 meses

1 bimestre <> 2 meses

1 trimestre <> 3 meses

1 cuatrimestre <> 4 meses


r%≠tunidades = s

c = S/. 240

r% = 20% anual <>

20/100

t = 2 años

I = ?

I=c . r% .t

I=240 .0 ,2 .2

I=48.2

I=96

María pagará S/. 96 en dos

años de interés.

INTERÉS SIMPLE

1. ¿Qué interés produce un capital de S/.1600 de 2% anual durante 8

meses?


c = S/. 1600

r% = 2% anual <> 0,02

t = 8 meses <> 8/12 <> 2/3

I = ?

I=c . r% .t

I=1600 .0 ,02 . 23

I=32 . 23

I=643

I=21 ,3

El capital produce un

interés de S/.21,3 en 8

meses.

2. Calcula el interés producido por un capital de S/:1500 al 3% anual en 4

meses.


c = S/. 1500

r% = 3% anual <> 0,03

t = 4 meses <> 4/12 <> 1/3

I=c . r% .t

I=1500 .0,03 . 13


interés de S/.15 soles en 4

meses.

I = ? I=45. 13

I=453

I=15

3. Un capital se impone al 15% trimestral durante 1 año y medio. Si el

capital es S/.840 ¿Cuál es el interés producido y el monto recibido?


c = S/. 840

r% = 15% anual <> 0,15

t = 1.5 años <> 6 trimestres

I = ?

I=c . r% .t

I=840 .0 ,15.6

I=45.6

I=760

M = 840 + 756

M = 1596


interés de S/.756 soles en

un año y medio, y el monto

es de S/.1596.

4. Lidia pidió un préstamo de S/.2000 por un tiempo de 6 meses. Si al

término de este plazo pagó S/.2270. ¿Cuál es la tasa de interés simple

que le aplicó el acreedor a Lidia?


c = S/. 2000

t = 6 meses

M = 2270

I=c . r% .t

I=2270−2000=270

270=2000 .r% .6

270=12000. r%

27012000

=r%

0,0225= r100

2 ,25=r

La tasa de interés mensual

es de 2,25%.

5. Rosa pide un préstamo de S/.2400 por un periodo de 4 bimestres. Si al

término de este plazo pagó S/.3168 ¿Cuál es la tasa de interés que le

aplico el acreedor a Rosa?


c = S/. 2400

t = 4 bimestres

M = 3168

I = 2400 – 3168 = 768

I=c . r% .t

768=2400 .r% .4

270=9600 .r%

2709600

=r%

0,08= r100

8=r

La tasa de interés

bimestral es de 8%.


c = S/. 4800

t = ?

r% = 5% mensual <> 0,05

I = 240

I=c . r% .t

240=4800 .0,05 .t

240=240 .t

240240

=t

1=t

El tiempo es de 1 mes.

Documents

PROGRESIONES ARITMÉTICAS.docx