propr-integr-nedef

Operaii algebrice cu funcii care admit primitive

Calculul primitivelor se bazeaz pe o serie de metode eficiente pentru multe cazuri care sistematizeaz i ,,citesc n sens invers rezultatele referitoare la operaia de derivare.Teorem:Fie dou funcii care admit primitive i o constant. Atunci funciile admit primitive i au loc proprietile:1. 2. 3. unde , iar F este o primitiv a lui f. Consecina 1: Fie I un interval din R. Dac f1,f2,...fn:IR , , sunt funcii care admit primitive pe I i a1,a2,,anR astfel nct a12+a22++an2 0,atunci funcia admite de asemenea primitive i are loc egalitatea:

Altfel spus, orice combinaie liniar finit de funcii care admit primitive este o funcie care admite primitive .Observaii:a) Condiia a12+a22++an2 0 din formularea consecinei l a fost impus de necesitatea valabilitii egalitii

Dac toate constatele a1,a2,,an ar fi simultan nule, atunci am fi ajuns la {0}=C, ceea ce este fals.b) Aceast propoziie indic o prim metod de a demonstra c o funcie admite primitive pe un interval: se arat c funcia dat este o combinaie liniar finit de funcii ce admit primitive.Consecina 2: Fie funciile f,g:IR,IR interval i .1. Dac f:IR admite primitive i g:IR nu admite primitive, atunci suma lor f+g:IR nu admite primitive .2. Dac f:IR nu admite primitive ,atunci nu admite primitive.Consecina 3: Fie funciile . Dac astfel nct nu admite primitive i funciile ,k admit primitive k, atunci funcia nu admite primitive .Observaie: Consecinele 2 si 3 furnizeaz dou modaliti de a arta c o funcie nu admite primitive pe un interval: i) se scrie funcia dat ca o combinaie liniar de n funcii cu coeficieni nenuli i se arat c numai (n-1) dintre ele admit primitive;ii) se arat c funcia dat este produsul dintre o constant real nenul i o funcie care nu admite primitive. Demonstrarea consecinelor, n aceast etap, deschide calea spre o alt tem, studiul existenei primitivelor.