R ésistance D es M atériaux Hypothèses de la RdM

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CT 57(ANNÉE SCOLAIRE 2001/2002)

Résistance Des MatériauxHypothèses de la RdM

Caractéristiques géométriques des sections planes

JM CHATEL

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Plan des séances n°1 et 2 du cours de RdMRÉSISTANCE DES MATÉRIAUX

Plan des séances n°1 et 2

1- Hypothèses de la RdM

1.1 - Définition d ’une poutre

1.2 - Hypothèse de Navier-Bernouilli

1.3 - Loi de comportement du matériau

1.4 - Géométrie des poutres

1.5 - Principe de superposition

2- Caractéristiques géométriques des sections planes

2.0 - Étude d ’un cas pratique

2.1 - généralités

2.2 - Aire d ’une section

2.3 - Moment statique par rapport à un axe

2.4 - Centre de gravité

2.5 - Moment d ’inertie (ou moment quadratique) / Théorème d ’HUYGUENS

2.6 - Rayon de giration

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1 - HYPOTHÈSES DE LA RDM

1.1 - Définition d ’une poutre

Dans le calcul des structures, on considérera que tous éléments la constituant s ’appellent des « poutres ».

G

(A)L : fibre moyenne

Une poutre peut-être à section constante ou variable

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1 - HYPOTHÈSES DE LA RDM

1.2 - Hypothèse de Navier-Bernouilli

Toute section plane et perpendiculaire à la fibre moyenne avant déformation, reste plane et perpendiculaire à la fibre moyenne après déformation.

Fibre moyenne (L)S1 S2

Avant déformation

S1

S2

Après déformation

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1 - HYPOTHÈSES DE LA RDM

1.3 - Comportement du matériau

Les pièces sont dimensionnées pour que le matériau reste dans le domaine élastique (reprise des formes initiales).

Les déplacements sont très petits.

Les déformations seront proportionnelles aux efforts appliqués (linéarité entre déformations et contraintes : loi de HOOKE)

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1 - HYPOTHÈSES DE LA RDM

1.4 - Géométrie des poutres

Pour que les théories de calcul sur les « poutres » soient applicables, il faut que les dimensions de la section transversale respectent les conditions suivantes :

L

b

h

L/30 < h < L/5

et

L/30 < b < L/5

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1 - HYPOTHÈSES DE LA RDM

1.5 - Principe de superposition

Cas de charge n°1

F1

f1

f2

Cas de charge n°2

p

p

F1

fT ?

fT = f1 + f2

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2 - CARACTÉRISTIQUES GÉOMÉTRIQUES D ’UNE SECTION

2.0 - Étude d ’un cas pratique

Vous disposez :

- de trois boites de conserves vides

- d ’une feuille de papier de format A4 (21 x 29,7)

Question :Comment faire tenir la 3ème boîte en équilibre au milieu de la feuille ?

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2 - CARACTÉRISTIQUES GÉOMÉTRIQUES D ’UNE SECTION

2.1 - Généralités

Les caractéristiques géométriques d ’une section de poutre peuvent être obtenues :

- par calcul en fonction des dimensions de la section,

- par consultation des catalogues des fabricants (profilés standards).

Ces caractéristiques sont nécessaires pour :

- calculer les contraintes,

- calculer les déformations.

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2 - CARACTÉRISTIQUES GÉOMÉTRIQUES D ’UNE SECTION

2.2 - Aire d ’une section (1/2)

Notée généralement A (ou S)

Unité mm², cm², dm² , m² etc ...

Rappel des valeurs courantes :

b

h

R

b

h

A = b . h

A = . R²

A = b . h / 2

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2 - CARACTÉRISTIQUES GÉOMÉTRIQUES D ’UNE SECTION

2.2 - Aire d ’une section (2/2)

Dans le cas d ’une section « complexe » :

1 - décomposer en sections élémentaires simples,

2 - additionner toutes ces aires élémentaires.

+

+

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2 - CARACTÉRISTIQUES GÉOMÉTRIQUES D ’UNE SECTION

2.3 - Moment statique

Définition : Le moment statique (S) d ’une section, par rapport à un axe, est égal au produit de l ’aire (A) de la section par la distance (d) entre son centre de gravité (G) et l ’axe considéré.

a ’

a

(A)

G x

d S a ’a = A . d

Unité : [m²] [m]

[m3, cm3,mm3]

!La distance (d) sera positive ou négative en fonction de la position de (A) par rapport à l ’axe

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2 - CARACTÉRISTIQUES GÉOMÉTRIQUES D ’UNE SECTION

2.4 - Centre de gravité

Définition : Le centre de gravité (G) d ’une section est le point tel que le moment statique de la section, par rapport à n ’importe quel axe passant par ce point, est nul.

Remarques :

- si la section possède un axe de symétrie, le CdG est situé sur cet axe,

- si la section possède deux axes de symétrie, le CdG est à l ’intersection de ces deux axes.

Exemples courants :

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2 - CARACTÉRISTIQUES GÉOMÉTRIQUES D ’UNE SECTION

2.5 - Moment d ’inertie

Définition : Le moment d ’inertie d ’une section infiniment petite(a) par rapport à un axe éloigné de la surface est égal au produit de son aire par le carré de la distance à l ’axe.

a ’

a

(a)

d I a ’a = a . d²

[m²] [m²]

[m4, cm4,mm4]

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2 - CARACTÉRISTIQUES GÉOMÉTRIQUES D ’UNE SECTION

2.5 - Théorème d ’Huygens - Sections courantes

G

X(b . h3 ) / 12 Iy’GyG =

Iz’GzG = (b3 . h ) / 12

b

h

y’G yG

z’G

zG

Théorème d ’huygens :

y’ y

d

Iy ’y = Iy’GyG + A . d²

Avec A = b . h

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2 - CARACTÉRISTIQUES GÉOMÉTRIQUES D ’UNE SECTION

2.6 - Rayon de giration

G

X

b

h

y’G yG

z’G

zG

iy’GyG =

Rayon de giration :

Iy’GyG

A

Avec Iy’GyG = (b . h3 ) / 12

A = b . h

(b . h3 )

12 . (b.h) iy’GyG = =

h

12

iz’GzG =b

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En adoptant le même raisonnement par rapport à l ’axe (z’GzG) nous obtenons :

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CARACTÉRISTIQUES GÉOMÉTRIQUES D ’UNE SECTION

Points importants à retenir (nécessaire en Béton Armé et en CM)

z’G

zG

y’G yG

G

R

A b . h . R²(m²)

Iy’GyG (b . h3)/12 ( . R4)/4(m4)

Iz’GzG (b3 . h)/12 ( . R4)/4(m4)

iy’GyG h / 12 R/2(m)

iy’GyG b / 12 R/2(m)

z’G

zG

y’G yG

G

bh