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Rafael Henrique Viana Abreu
Modelo para Instabilidade e Vibrações
de Placas Submetidas a Carregamentos
Conservativos e Não Conservativos
Dissertação de Mestrado
Dissertação apresentada como requisito parcial para obtenção do grau de Mestre em Engenharia Civil pelo Programa de Pós-graduação em Engenharia Civil do Departamento de Engenharia Civil da PUC-Rio.
Orientador: Prof. Raul Rosas e Silva
Rio de Janeiro Dezembro de 2015
Rafael Henrique Viana Abreu
Modelo para Instabilidade e Vibrações
de Placas Submetidas a Carregamentos
Conservativos e Não Conservativos
Dissertação apresentada como requisito parcial para obtenção do grau de Mestre pelo Programa de Pós-graduação em Engenharia Civil do Departamento de Engenharia Civil do Centro Técnico Cientifico da PUC-Rio. Aprovada pela comissão examinadora abaixo assinada.
Prof. Raul Rosas e Silva Orientador
Departamento de Engenharia Civil – PUC-Rio
Prof. Paulo Batista Gonçalves Departamento de Engenharia Civil – PUC-Rio
Prof. Pedro Colmar Gonçalves da Silva Vellasco Universidade do Estado do Rio de Janeiro
Prof. Márcio da Silveira Carvalho Coordenador Setorial do Centro
Técnico Científico – PUC-Rio
Rio de Janeiro, 11 de dezembro de 2015
Todos os direitos reservados. É proibida a reprodução total ou parcial do trabalho sem autorização do autor, do orientador e da universidade.
Rafael Henrique Viana Abreu
Graduou-se em Engenharia Civil no Departamento de Engenharia Civil da UNAMA (Universidade da Amazônia, PA, Brasil), em 2012. Em 2013 iniciou o curso de Mestrado em Engenharia Civil na PUC–Rio, na área de Estruturas, atuando na linha de pesquisa de Estabilidade e Dinâmica de Estruturas.
Ficha Catalográfica
COD: 624
Abreu, Rafael Henrique Viana Modelo para Instabilidade e Vibrações De Placas Submetidas a Carregamentos Conservativos e Não Conservativos / Rafael Henrique Viana Abreu; orientador: Raul Rosas e Silva. – Rio de Janeiro: PUC, Departamento de Engenharia Civil, 2015. v., 84 f.: il. ; 29,7 cm
Dissertação (mestrado) – Pontifícia Universidade
Católica do Rio de Janeiro, Departamento de Engenharia Civil, 2015.
Inclui referências bibliográficas.
1. Engenharia Civil – Teses. 2. Placas espessas.
3. Frequências naturais. 4. Estabilidade de placas. 5. Método Rayleigh-Ritz. I Rosas e Silva, Raul. II Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro. Departamento de Engenharia Civil. IV Título.
Dedicado a minha família, em especial a minha mãe Ana Cristina, por cada um de seus ensinamentos, conselhos e,
especialmente, pelo amor e apoio incondicional que me foi oferecido ao longo de toda minha vida.
Agradecimentos
Aos professores da pós graduação em estruturas da PUC-Rio, incluindo o professor
Emil Sanchez (UFF) e Ivan Menezes (Departamento de Engenharia Mecânica da
PUC-Rio) que puderam transmitir conhecimento e experiência ao longo aulas
cursadas no mestrado da PUC-Rio.
Em especial, ao professor Raul Rosas e Silva, meu orientador, por todo apoio,
confiança, paciência, pelos momentos de descontração e pela disposição, me
guiando e compartilhando conhecimento e ensinamentos, demonstrando que além
de professor e pesquisador de excelência é um grande ser humano.
A minha alma mater, UNAMA, em especial ao meu professor e amigo Selênio Feio,
que foi o responsável por despertar em mim a centelha que me fez chegar aqui.
A todos os companheiros do mestrado, que me ajudaram a crescer como ser humano
e a conhecer a diversidade cultural e de pensamentos.
À PUC-Rio pela oportunidade de poder cursar o mestrado nesta instituição de
excelência.
Ao CNPq por incentivar-me com uma bolsa de estudos, que me possibilitou realizar
esta pesquisa.
E por fim a minha família, que sempre me deu apoio incondicional. Obrigado a
minha mãe Ana Cristina por me apoiar neste e em tantos outros desafios. A minha
irmã Suzane, meus Tios e Tias Carlaide, Dayse e Mario e minha avó Therezinha,
por estarem presentes nos momentos de necessidade e de alegria.
Resumo
Abreu, Rafael Henrique Viana; Silva, Raul Rosas e (Orientador). Modelo para Instabilidade e Vibrações De Placas Submetidas a Carregamentos Conservativos e Não Conservativos. Rio de Janeiro, 2015. 84 p. Dissertação de Mestrado. Departamento de Engenharia Civil, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro.
Neste trabalho foi desenvolvido um modelo de elementos enriquecidos para
análise de cargas críticas, frequências de vibração e seus respectivos modos de peças
estruturais bidimensionais funcionando como placas espessas sujeitas a cargas
conservativas e não conservativas. O método de aproximação empregado foi o de
Rayleigh-Ritz usando elementos finitos convencionais enriquecidos com funções de
deslocamentos adicionais internas. As funções adicionais internas são desenvolvidas
de forma a não envolver deslocamentos e rotações nodais e no contorno. No contorno
foi utilizada a interpolação usual para elementos quadriláteros isoparamétricos. Para
este estudo foram desenvolvidas duas famílias de funções internas, uma com termos
adicionais polinomiais e outra com termos adicionais com polinômios de Legendre.
Para a determinação de frequências, modos de vibração e cargas críticas com efeitos
conservativos e não conservativos são utilizadas as matrizes de rigidez elástica, rigidez
geométrica, de massa e de correção das cargas, introduzidas em problemas
generalizados de autovalores. Resultados numéricos são obtidos através de
procedimentos computacionais utilizando o software MAPLE. São comparados
resultados dos modelos com elementos para placas espessas (Teoria de Mindlin), com
três graus de liberdade por nó. Mostra-se que há certas restrições quanto às funções não
nodais adicionais e o tipo de elemento utilizado, para se ter convergência no cálculo
das cargas críticas e frequências em situações gerais. Os exemplos mostram a eficácia
desta abordagem na análise de placas espessas e trazem outro enfoque a este problema
clássico, que apresenta comparações interessantes que descrevem o efeito de
deformação de cisalhamento e no caso das vibrações o efeito das rotações inerciais,
focando na análise das frequências e modos de vibração, cargas de flambagem e uma
análise de cargas seguidoras tangenciais não conservativas na estabilidade, utilizando
o critério dinâmico é executada. Esta modelagem envolvendo combinação de funções
adicionais gerais em elementos convencionais outra é proposta como uma técnica
apropriada ao estudo de modos globais e localizados de instabilidade.
Palavras-chave
Placas espessas; carga conservativa e não conservativa; estabilidade de placas
espessas; método de Rayleigh-Ritz.
Abstract
Abreu, Rafael Henrique Viana; Silva, Raul Rosas e (Advisor). A Model for Instability and Vibrations of Plates Subjected to Conservative and Nonconservative Loadings. Rio de Janeiro, 2015. 84 p. Msc. Dissertation. Departamento de Engenharia Civil, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro.
This work presents a model of enriched elements for analysis of critical loads,
vibration frequencies, and their respective modes of two-dimensional structural
components behaving as thick plates subjected to conservative and non-conservative
loads. The method employed was the Rayleigh-Ritz using conventional finite elements
enriched by internal and boundary additional displacements functions. The additional
internal functions do not involve nodal boundary displacements and rotations. The
contour functions are the usual interpolation of isoparametric quadrilateral elements.
For this study two families of internal functions were developed, one with polynomial
additional terms and other with Legendre polynomials additional terms. For the
determination of frequencies, mode shapes and critical loads with conservative and
non-conservative effects the matrices of elastic stiffness, geometric stiffness, and load
correction are stablished and introduced in generalized eigenvalue problems.
Numerical results are obtained through computational procedures using the MAPLE
software. The results obtained with the model developed herein are compared with
results using conventional elements for thick plates formulation (Mindlin theory) with
three degrees of freedom per node. It is shown that certain restrictions apply to the
additional non-nodal functions, and the element type used, in order to have
convergence in the calculation of critical loads and frequencies in general situations.
The examples show the effectiveness of this approach to the analysis of thick plates
and present another approach to this classical problem, presenting interesting
comparisons that describe the shear deformation effect, and in the case of vibrations,
the effect of rotational inertia, focusing on frequencies, vibration modes, buckling loads
and an analysis of follower tangential non-conservative loads in stability, using
dynamic criteria. This combined model, with a additional functions included in
conventional elements, is proposed as a technique applicable to the study of global and
local instability problems.
Keywords
Thick plate; conservative and non-conservative loads; stability of thick plates;
Rayleigh-Ritz method.
Sumário
1 Introdução ........................................................................................ 17
1.1 Relevância e Justificativa da Pesquisa 17
1.2 Objetivos 21
2 Formulação Geral do Problema ..................................................... 22
2.1 Fundamentos da Teoria de Placas de Mindlin 22
2.1.1 Esforços Generalizados e Curvaturas ................................ 26
2.1.2 Equacões de Equilibrio ....................................................... 29
2.1.3 Condições de Contorno ...................................................... 30
2.2 Método de Ritz 32
2.3 Análise Dinâmica 33
2.3.1 Frequências Naturais .......................................................... 33
2.4 Carga Crítica de Flambagem 33
3 Desenvolvimento da Metodologia ................................................. 35
3.1 Considerações Gerais 35
3.2 Desenvolvimento do método dos elementos finitos 36
3.2.1 Campo de deslocamento e Graus de liberdade .................. 36
3.2.2 Funções de Forma Nodais .................................................. 37
3.3 Funções Adicionais Internas 39
3.3.1 Função Adicional Polinomial ............................................... 39
3.3.2 Função Adicional Polinomio de Legendre ........................... 41
3.4 Matriz de Rigidez 43
3.5 Matriz de Massa 44
3.6 Mariz Geométrica 44
3.7 Matriz de Imposição das Condições de Contorno 45
3.8 Frequências Naturais 46
3.9 Carga Crítica 46
4 Comportamento das Cargas .......................................................... 47
4.1 Matriz de Carga para os Casos Estudados 50
4.1.1 Matriz de Carga Flutter ....................................................... 51
4.1.2 Matriz de Carga dependente do deslocamento .................. 52
4.2 Carga Crítica Dinâmica 52
5 Aplicações da Metodologia ............................................................ 53
5.1 Análise de Vibrações 54
5.1.1 Engastado em uma extremidade ........................................ 55
5.1.2 Completamente engastada ................................................. 62
5.2 Análise de Instabilidade 68
5.1.1 Carga crítica da placa engastada em uma extremidade ..... 69
5.2.2 Carga crítica da placa completamente engastada .............. 71
5.2.3 Análise comparativa das cargas críticas e frequências ...... 74
5.2.4 Carga crítica de Flutter ....................................................... 75
5.2.5 Carga dependente do deslocamento .................................. 77
6 Considerações Finais ..................................................................... 79
6.1 Conclusões 79
6.2 Sugestões para trabalhos futuros 80
7 Referências Bibliográficas ............................................................. 82
Lista de Figuras
Figura 2-1: Sistema de Eixos de Referência 22
Figura 2-2: Deslocamento da superfície média (esquerda) e da normal
(direita). 23
Figura 2-3: Deslocamentos no Ponto P e no Plano . 24
Figura 2-4: Distribuição de tensões ao longo da espessura da placa. 26
Figura 2-5: Representação dos Esforços 28
Figura 2-6. Placa simplesmente apoiada. 31
Figura 2-7: Placa com bordos engastados. 31
Figura 2-8: Forças aplicadas na Placa. 34
Figura 3-1: Generalização do Elemento utilizado. 37
Figura 3-2. Funções de forma de elementos isoparamétricos
Serendipity 38
Figura 3-3. Gráfico representando cinco primeiros modos para a
função polinomial. 40
Figura 3-4. Gráfico representando os cinco primeiros modos para a
função polinomial de Legendre. 42
Figura 4-1: Representação gráfica dos tipos de instabilidade,
divergência e Flutter. 49
Figura 4-2: Representação da geometria e da atuação da carga
seguidora como componente estabilizadora. 51
Figura 4-3: Representação da geometria e da atuação da carga a
tangente superfície. 52
Figura 5-1: : Placa engastada em uma extremidade. 55
Figura 5-2: Convergência da primeira frequência da placa engastada
em uma extremidade, com espessura 5 cm. 56
Figura 5-3: Convergência da segunda frequência da placa engastada
em uma extremidade, com espessura 5 cm. 56
Figura 5-4: Convergência da terceira frequência da placa engastada
em uma extremidade, com espessura 5 cm. 57
Figura 5-5: Erro relativo da primeira frequência placa engastada em
uma extremidade, com espessura 5 cm. 57
Figura 5-6: Erro relativo da segunda frequência placa engastada em
uma extremidade, com espessura 5 cm. 57
Figura 5-7: Erro relativo da terceira frequência placa engastada em
uma extremidade, com espessura 5 cm. 58
Figura 5-8: Convergência da primeira frequência da placa engastada
em uma extremidade, com espessura 20 cm. 59
Figura 5-9: Convergência da segunda frequência da placa engastada
em uma extremidade, com espessura 20 cm. 59
Figura 5-10: Convergência da terceira frequência da placa engastada
em uma extremidade, com espessura 20 cm. 60
Figura 5-11: : Erro relativo da primeira frequência placa engastada
em uma extremidade, com espessura 20 cm. 60
Figura 5-12: Erro relativo da segunda frequência placa engastada
em uma extremidade, com espessura 20 cm. 60
Figura 5-13: Erro relativo da terceira frequência placa engastada
em uma extremidade, com espessura 20 cm. 61
Figura 5-14: Modos de vibração da placa engastada em uma
extremidade. 61
Figura 5-15: Placa completamente engastada. 62
Figura 5-16: Convergência da primeira frequência da placa toda
engastada, com espessura 5 cm. 63
Figura 5-17: Convergência da segunda frequência da placa toda
engastada, com espessura 5 cm. 63
Figura 5-18: Convergência da terceira frequência da placa toda
engastada, com espessura 5 cm.. 64
Figura 5-19: Erro relativo da primeira frequência placa toda engastada,
com espessura 5 cm. 64
Figura 5-20: Erro relativo da segunda frequência placa toda engastada,
com espessura 5 cm. 64
Figura 5-21: Erro relativo da terceira frequência placa toda engastada,
com espessura 5 cm. 65
Figura 5-22:Convergência da primeira frequência da placa toda
engastada (50 cm). 66
Figura 5-23: Convergência da segunda frequência da placa toda
engastada (50 cm). 66
Figura 5-24: Convergência da terceira frequência da placa toda
engastada (50 cm). 66
Figura 5-25: Erro relativo da primeira frequência da placa com
espessura 50 cm. 67
Figura 5-26: Erro relativo da segunda frequência da placa com
espessura 50 cm. 67
Figura 5-27: Erro relativo da terceira frequência da placa com
espessura 50 cm. 67
Figura 5-28: Modos de vibração da placa completamente engastada. 68
Figura 5-29: Placa engastada em uma extremidade sobre compressão
axial. 69
Figura 5-30: Convergência da carga crítica da placa com uma
extremidade engastada, com espessura 5 cm. 70
Figura 5-31: Erro relativo da carga crítica da placa com uma
extremidade engastada, com espessura 5 cm. 70
Figura 5-32: Convergência da carga crítica da placa com uma
extremidade engastada, com espessura 20 cm. 71
Figura 5-33: Erro relativo da carga crítica da placa com uma
extremidade engastada, com espessura 20 cm. 71
Figura 5-34: Placa engastada em todas as extremidades sobre
compressão axial. 71
Figura 5-35: Convergência da carga crítica da placa com todas as
extremidades engastadas, com espessura 5 cm. 72
Figura 5-36: Erro relativo da carga crítica da placa com uma
extremidade engastada, com espessura 5 cm. 72
Figura 5-37: Convergência da carga crítica da placa com todas as
extremidades engastadas, com espessura 50 cm. 73
Figura 5-38: Erro relativo da carga crítica da placa com uma
extremidade engastada, com espessura 50 cm. 74
Figura 5-39: Variação dos valores de carga crítica e frequência para
placa engastada em uma extremidade. 74
Figura 5-40: Variação dos valores de carga crítica e frequência para
placa engastada em todas as extremidades. 75
Figura 5-41: Coalescência das duas primeiras frequências da placa
espessa. 75
Figura 5-42: Modo de vibração resultante da coalescência pelo flutter. 76
Figura 5-43: Variação da carga de flutter com relação da variação da
espessura da placa. 76
Figura 5-44: Coalescência das duas primeiras frequências da placa
espessa. 78
Figura 5-45: Modo de vibração resultante da coalescência. 78
Lista de Tabelas
Tabela 5-1: Comparação das três primeiras frequências da placa com
espessura de 5 cm. 55
Tabela 5-2: Comparação das três primeiras frequências da placa com
espessura de 20 cm. 58
Tabela 5-3: Comparação das três primeiras frequências da placa com
espessura de 5 cm. 62
Tabela 5-4: Comparação das três primeiras frequências da placa com
espessura de 50 cm. 65
Tabela 5-5: Comparação da carga crítica da placa com espessura de
5 cm. 69
Tabela 5-6: Comparação da carga crítica da placa com espessura de
20 cm. 70
Tabela 5-7: Comparação da carga crítica da placa com espessura de
5 cm. 72
Tabela 5-8: Comparação da carga crítica da placa com espessura de
50 cm. 73
Lista de Símbolo
Letras Latinas
, , Coordenadas cartesianas
, , Deslocamentos
Modulo de elasticidade longitudinal
Modulo de elasticidade transversal
Espessura
, , Momentos fletores
, , Momentos torsores
, , Esforços transversais
Modulo de Rigidez a Flexão
, Esforços cortantes
Fator de correção de Cisalhamento
Comprimento da placa em x
b Comprimento da placa em y
Deslocamento transversal
Momento que provoca uma rotação normal
U Energia de deformação por flexão
Energia cinética
Matriz de Rigidez
Matriz de massa
Matriz geométrica
Vetor de translações
, ,
Vetores que descrevem estas translações e
rotações
, ,
Vetores de funções básicas de interpolação
nodais
, ,
Vetores de funções adicionais internas
Número de Graus de liberdade
ó Número de nós
Vetor Nulo Referente as Funções de Forma
Vetor Nulo Referente as Funções Adicionais
Funções de Forma
,
Função adicional polinomial simples
, Função adicional polinômio de Legendre
Número total de elementos
Matriz das Condições De Contorno
Matriz da Carga Seguidora
Letras Gregas
, , Deformações longitudinais
, , Deformações transversais
, , Rotações
, , Tensões
, , Tensões de Cisalhamento
Representação do Tensor de Tensões
Coeficiente de Poisson
, , Curvatura da superfície média
, Contribuições das Rotações
Rotação tangente
Π Energia de deformação total do sistema
Ω Energia potencial das cargas externas
Frequências
Magnitude de carga crítica
,
Vetores de translações
, Coordenadas locais isoparamétricas
Densidade do material
Derivada parcial
Vetor de deslocamentos
1 Introdução
1.1 Relevância e Justificativa da Pesquisa
Placas retangulares, tais como lajes, pilares-parede e tabuleiros de pontes, são
estruturas bastante susceptíveis a carregamentos dinâmicos, tais como máquinas
rotativas e tráfego de pedestres. As novas tecnologias construtivas permitem
planejar e construir estruturas cada vez mais esbeltas com vãos cada vez maiores.
Para este tipo de estruturas, com deslocamentos e flexibilidade elevados, a análise
dinâmica é fundamental.
Encontrar a solução da equação diferencial parcial dinâmica de placas e
achar uma função para o deslocamento transversal é fundamental para estudar seu
comportamento dinâmico, o que nem sempre é fácil. Para placas apoiadas em
bordas opostas, a solução do problema de placa pode ser encontrada de forma
analítica. Para outras combinações das condições de contorno, alguns trabalhos
utilizam o método de Ritz (BASSILY e DICKINSON, 1972) ou o método de
Galerkin (ILANKO, 2002; AMABILI, 2004) para obter as frequências naturais ou
as cargas críticas de placas, usando, geralmente, uma soma de funções de vigas para
aproximar a solução do problema. Para a solução generalizada do problema alguns
métodos têm sido propostos por vários pesquisadores (SAHA, 2005; MACHADO,
2007).
Dentro da linha de pesquisa de Instabilidade e Dinâmica de Estruturas da
PUC-Rio, há diversas dissertações e teses sobre o assunto (SUANO, 1988, JAREK,
2007, SALAS, 2015), e neste trabalho em particular utilizou-se o método de
Rayleigh Ritz para encontrar uma solução para a análise de carga crítica de
flambagem estática e dinâmica e para a análise de vibração de placas submetidas a
diversas condições de contorno.
Os problemas mais comuns no campo da Mecânica dos Sólidos envolvem
forças do tipo conservativas, cujo trabalho não depende da trajetória do sistema;
18
isso significa dizer que essas forças contribuem de maneira única e constante no
funcional de energia do sistema. Outro tipo de forças, chamadas de não
conservativas, são aquelas que têm a sua contribuição no funcional de energia do
sistema variável ou não conservada. Na prática, isso significa dizer que o trabalho
realizado pelas forças não conservativas depende da trajetória do movimento do
sistema entre um estado inicial e um estado final.
A análise de sistemas do tipo não conservativo é um importante estudo
associado com vários problemas na engenharia em geral, como na engenharia
aeronáutica e espacial, e também em vários campos da mecânica aplicada e
engenharia.
Os carregamentos convencionais considerados na teoria da elasticidade e na
estabilidade elástica, bem como em outros campos da mecânica aplicada são forças
conservativas as quais possuem uma única função potencial.
Tais forças satisfazem o princípio da conservação da energia e o trabalho
por elas realizado sobre um deslocamento admissível em um corpo é independente
da trajetória do corpo.
Exemplos simples, seriam as cargas permanentes que, permanecem
constantes em intensidade e direção durante a deformação e movimento do corpo.
As forças ditas não conservativas, são muito comuns. Surgem por exemplo
da interação mecânica de um sistema contínuo com o meio que o envolve. São
forças de interação, por exemplo, forças de contato que aparecem da interação com
outros corpos sobre uma certa superfície de contato. As forças de contato em geral
dependem da deformação e do movimento do corpo em que atuam e são quase
sempre, devido a sua natureza não conservativas.
As cargas que surgem oriundas de pressões causadas por gases, água ou
vento, podem ser consideradas como os mais importantes tipos de carregamentos
não conservativos que ocorrem na análise estrutural.
A solução de problemas não conservativos por métodos analíticos resolve
poucos casos, principalmente se forem não lineares.
Os primeiros estudos de problemas não conservativos considerando forças
circulatórias conforme relata BOLOTIN (1963), tiveram início com NIKOLAI
(1928). Neste trabalho estudou-se a estabilidade de uma barra flexível na forma
retilínea engastada em uma extremidade e livre na outra sujeita a uma força de
compressão e a um momento de torção aplicados na extremidade livre. Observou-
19
se que quando o vetor do momento é tangencial, isto é, na direção da tangente do
eixo deformado da barra, nenhuma forma de equilíbrio existe além da linear.
Conclui portanto que o método usual de determinação de forças críticas não é válido
para este tipo de problema. Após desenvolver a equação para pequenas oscilações
em torno da posição de equilíbrio, desprezando o amortecimento, mostrou que a
mesma era instável qualquer que fosse o valor.
Com o passar dos anos, outros problemas interessantes foram resolvidos,
como, por exemplo, por PFLÜGER (1950) e BECK (1952). Basicamente, trata-se
da estabilidade de uma barra flexível engastada em uma extremidade e sujeita a
uma força normal de compressão tangencial à deformada da barra. Onde se
demonstrou que para estes casos não existe nenhuma posição de equilíbrio próxima
da indeformada. Outros autores a seguir, incluindo PFLÜGER (1955) consideraram
o mesmo problema apenas incluindo a massa concentrada e distribuída.
HERMANN e BUNGAY (1964) apresentam um trabalho mostrando os
vários modos de instabilidade dependendo do grau de não conservatividade da
força.
Mais recentemente, SUANNO (1988), apresentou uma metodologia para a
determinação da carga crítica de pórticos espaciais submetidos a carregamentos
não-conservativos dependentes dos deslocamentos. O método dinâmico de
determinação da carga crítica é empregado através de uma formulação matricial.
Na modelagem desenvolvida ele utilizou o elemento de viga espacial, podendo ser
consideradas cargas dependentes dos deslocamentos, conservativas ou não-
conservativas, incluindo a possibilidade de carregamento distribuído seguidor e
dirigido para ponto fixo. Resultados interessantes foram obtidos, dando destaque
para demonstração da influência do efeito do cisalhamento na carga critica
dinâmica (Flutter).
Outro pesquisador da estabilidade muito relevante, que passou a publicar
desde os anos de 1960 uma série de trabalhos foi LEIPHOLZ (1970). Pode-se
destacar entre seus vários trabalhos LEIPHOLZ e PFENDT (1982), onde
apresentam as várias formas de instabilidade de placas em função da relação entre
largura e o comprimento da mesma, quando sujeitas a forças circulatórias
uniformemente distribuídas ao longo do plano da placa.
Trabalhos como os de ADALI (1981) e KIM (1998), estudaram a estabilidade
dinâmica de placas retangulares sob a ação de forças seguidoras. O primeiro
20
considerando a formulção de Kirkoff-Love para placas, mostrou além do efeito da
base elastica na estabilidade, uma razão de aspecto para casos de instabilidade
dinâmica. O segundo considerou a teoria de Mindlin para placas, utilizando a
formulação de elementos finitos considerando materiais isotropicos e ortotropicos,
e ainda o efeito da deformação de cisalhamento e inercia rotacional.
Através do método dos elementos finitos, a solução de problemas não
conservativos já se torna mais ampla que as soluções analíticas.
Propõem-se então modelar problemas de sistemas conservativos e não
conservativos em placas, considerando inercia rotacional e deformação de
cisalhamento, utilizando o método de Rayleigh-Ritz, baseado no método dos
elementos finitos, permitindo uma solução rápida e adequada com uso de funções
especializadas, sendo útil para projetos preliminares ou revisões de projeto.
Para avaliação do desempenho do elemento, optou-se pelo uso do elemento
isolado, e não uma malha de elementos finitos. Isto trará uma redução do tempo de
simulação do programa e permitirá melhor compreensão das qualidades e
deficiências da formulação. É claro que uma malha de elementos finitos
discretizaria melhor o problema de flambagem, principalmente, pela livre escolha
de uma região na estrutura em que a malha poderia ser refinada para gerar um
resultado com uma aproximação mais convergente. Mas, considerando trabalhos
como de JAREK (2007) e SALAS (2015), ao testar a metodologia de funções
adicionais em um elemento isolado, observa-se um bom resultado final para o
estudo de flambagem e das primeiras frequências.
21
1.2 Objetivos
Os principais objetivos desde trabalho são:
O desenvolvimento de uma rotina em MAPLE considerando a
formulação de placas retangulares espessas (com inercia rotacional e
deformação de cisalhamento).
Realizar análise de vibrações em placas espessas avaliando a
influência dos efeitos com a variação do aumento da espessura.
Análise da estabilidade estática e dinâmica de placas sujeitas a cargas
conservativas e não conservativas.
Comparar os resultados obtidos pelo método Rayleigh–Ritz com o
método analítico e com SAP 2000, na determinação das frequências e
cargas críticas em placas espessas.
2 Formulação Geral do Problema
O presente capítulo apresenta aspectos básicos da teoria de Mindlin para
placas espessas, os funcionais de energia utilizados para a obtenção da rigidez de
uma placa. Além disso, desenvolve-se uma formulação matricial para o estudo da
vibração e flambagem de tais estruturas apropriada para representação
computacional no formato combinado de Rayleigh-Ritz e elementos finitos.
2.1 Fundamentos da Teoria de Placas de Mindlin
A Teoria de Mindlin surge em consequência da existência de placas que não
podem ser consideradas finas para as quais os efeitos das tensões de corte transverso
podem ser significativos. Para este tipo de placas as hipóteses de Kirchhoff
consideradas válidas para as placas finas, deixam de ser admissíveis.
No caso dos deslocamentos transversais serem pequenos quando comparados
com a espessura da placa, é possível modificar a Teoria das placas de forma a incluir
a possibilidade da espessura ter dimensões mais elevadas modificando as hipóteses.
O sistema de eixos coordenados a ser considerado é o sistema cartesiano (, , ),
representado na figura 2.1, o qual é definido de modo que o plano (, ) seja
coincidente com o plano médio da placa antes da deformação e o eixo () seja
normal ao plano médio da placa. A origem do sistema de eixos existe sobre o plano
médio da placa.
Figura 2.1: Sistema de Eixos de Referência.
23
As hipóteses de Reissner-Mindlin que são consideradas válidas para placas
espessas e moderadamente espessas, utilizadas para efeitos de representação do
campo de descolamentos e das tensões em placas com isotropia total submetidas a
ações normais ao plano médio, são:
A superfície média é plana e indeformável, ou seja, as deformações
no plano são nulas ( = = = 0, para = 0).
As linhas retas inicialmente normais ao plano médio permanecem
retas, mas não necessariamente normal à superfície média fletida.
Tendo em conta isto, os deslocamentos e de um ponto P da
placa situado a uma distância do plano médio podem ser calculados
a partir dos valores das rotações e da normal que após
deformação se admitiu ser linear, mas não necessariamente normal à
superfície média fletida.
Figura 2.1: Deslocamento da superfície média (esquerda) e da normal
(direita).
A tensão na direção normal ao plano médio, é irrelevante quando
comparada com as tensões e pelo que se considera ≅ 0.
O tensor das tensões toma neste caso uma forma análoga à considerada na
Teoria Clássica de Placas que é a forma seguinte:
=
0
(2.1)
Tendo em conta a segunda hipótese, os deslocamentos e de um ponto
P da placa situado a uma distância do plano médio podem ser calculados a partir
dos valores das rotações e da normal que após deformação se admitiu ser
24
linear mas não necessariamente normal à superfície média fletida como se
representa na figura 2.3. O vetor de deslocamentos , , no ponto P é tal
que:
Figura 2.3: Deslocamentos no Ponto P e no Plano .
=
∙
− ∙
(, )
(2.2)
As deformações no plano a uma distância do plano médio da placa
atendendo a expressão (2.2) e considerando o contexto das pequenas deformações,
onde os termos de segunda ordem são eliminados, as deformações devidas à flexão
e cisalhamento são:
⎩⎪⎨
⎪⎧
⎭⎪⎬
⎪⎫
=
⎩⎪⎪⎪⎪⎨
⎪⎪⎪⎪⎧
−
∙
− ∙
∙
+ ∙
∙
+
− ∙
⎭⎪⎪⎪⎪⎬
⎪⎪⎪⎪⎫
(2.3)
As deformações de corte transversais, nesta teoria, são consideradas
constantes ao longo da espessura e são diferentes de zero, contrariamente ao que
acontecia na Teoria Clássica das Placas. As deformações , e variam
linearmente ao longo da espessura da placa o que está de acordo com as hipóteses
de Reissner-Mindlin já referidas.
25
A lei de Hooke generalizada para materiais isotrópicos, estabelece uma
relação entre as tensões e deformações no plano como mostrado na relação
(2.4), sendo o modulo de Young e o coeficiente de Poisson.
⎩⎪⎨
⎪⎧
⎭⎪⎬
⎪⎫
=
1 + ∙
⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡1
1 − 1 − 0 0 0
1 − 1
1 − 0 0 0
0 0 12 0 0
0 0 0 12 0
0 0 0 0 12 ⎦
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤
⎩⎪⎨
⎪⎧
⎭⎪⎬
⎪⎫
(2.4)
Tendo em conta as equações 2.3 e 2.4 é possível relacionar as tensões com os
deslocamentos transversais do seguinte modo:
= −
1 −
+
(2.5)
= −
1 −
+
(2.6)
= −
2(1 + )
+
(2.7)
=
2(1 + ) +
(2.8)
=
2(1 + )− +
(2.9)
As tensões , e variam linearmente ao longo do eixo como se
representa na figura 2.4, sendo nulas para = 0, como seria de esperar tendo em
conta as hipóteses de Reissner-Mindlin. As tensões de cisalhamento são constantes
ao longo da espessura. Esta aproximação contraria o fato de tensões cisalhantes se
anularem na realidade para = /2 e = −/2, onde é a espessura da placa, o
que sugere a possibilidade de se considerar teorias que sejam de ordem superior.
26
Figura 2.4: Distribuição de tensões ao longo da espessura da placa.
2.1.1 Esforços Generalizados e Curvaturas
Os esforços unitários, os momentos fletores unitários e , o momento
torsor unitário e os esforços transversos unitários e são calculados de
modo análogo ao considerado no caso das placas finas. O momento fletor unitário
, é o momento resultante por unidade de comprimento da direção das tensões
ao longo da espessura da placa, ou seja:
= ∙ /
/
(2.10)
De maneira análoga se definem momentos unitários, e que resultam
das tensões e , ou seja:
= ∙ /
/
(2.11)
= ∙ /
/
(2.12)
Os esforços transversais unitários definem-se a partir das tensões e
do seguinte modo:
= /
/
(2.13)
= /
/
(2.14)
27
Integrando as expressões 2.10 a 2.12 para os momentos, tendo em conta as
equações 2.5 a 2.7 para as tensões, obtém-se as expressões de 2.15 a 2.17, onde
= ⁄ 12 (1 − ) o modulo de rigidez à flexão da placa.
= −
+
(2.15)
= −
+
(2.16)
=1 −
2
+
(2.17)
As derivadas das rotações ⁄ , ⁄ e + ⁄⁄ são as
curvaturas da superfície média fletida as quais poderão ser designadas por ,
e respectivamente. Portanto as equações de 2.15 a 2.17 podem ser escritas em
função das curvaturas da superfície média fletida.
= −
1 0 1 0
0 0 1 − 2
(2.18)
As contribuições das rotações para as deformações de corte podem ser
designadas por e e definidas do seguinte modo:
=
⎩⎨
⎧ +
− +
⎭⎬
⎫
(2.19)
As forças cortante tomam o seguinte valor em função das rotações, onde
= 2(1 + ) , módulo de elasticidade transversal .
= 1 00 1
(2.20)
Segundo Reddy (2007), considerando que a deformação de cisalhamento é
representada como constante na espessura, logo a tensão de cisalhamento também
será constante. É sabido da teoria elementar homogênea de vigas que a tensão de
cisalhamento varia parabolicamente pela espessura da viga. Em placas a tensão de
cisalhamento varia no mínimo quadraticamente através da espessura. Essa
28
discrepância entre o real estado e o estado constante predito pela teoria de primeira
ordem é frequentemente corrigido nas forças resultantes de cisalhamento. Esse fator
de correção de cisalhamento é usualmente multiplicando nas integrais 2.13 e 2.14
gerando:
=
/
/
(2.21)
Esse fator modifica a rigidez cisalhante da placa de tal forma que a energia
de deformação devido a tensão cisalhante (equação 2.21) seja igual a energia de
deformação predita pela teoria da elasticidade tridimensional.
=
3
21 −
2
, −
2≤ ≤
2
(2.22)
Onde é a força cortante. A teoria de primeira ordem para tensão de
cisalhamento constante é dada por =
. A energia devido a tensão de
cisalhamento pelas duas teorias são:
=
1
2 (
) =3
5
(2.23)
=
1
2 (
) =
2
(2.24)
O fator de correção de cisalhamento é a razão entre 2.23 e 2.24, a qual resulta
em Κ = 56 .
Figura 2.5: Representação dos Esforços.
29
Os esforços no plano médio são , , , , e , como se
determinou e estão representados no plano médio na figura 2.5. Estes esforços são
unitários e são análogos aos considerados para efeitos de equilíbrio na teoria das
placas finas. A diferença essencial neste caso, como já descrito, resulta do fato de
deformação de cisalhamento não ser nula, o que é genericamente positivo para as
placas espessas e moderadamente espessas e de os esforços cortantes poderem ser
calculados a partir das deformações de cisalhamento conduzindo a valores
constantes da tensão de cisalhamento, pelo que se consideram fatores de correção
para efeitos de cálculo das tensões cisalhantes. Em suma a distribuição de tensões
ao longo da espessura não parece a mais adequada, embora corresponda a uma
melhoria significativa em relação à situação verificada no caso da Teoria Clássica
das Placas (REDDY, 2007).
2.1.2 Equações de Equilíbrio
As equações de equilíbrio são estabelecidas em termos dos esforços unitários
que resultam das tensões atuantes em um elemento paralelepipédico de placa de
dimensões , segundo , segundo e segundo , sendo estas equações
análogas às equações obtidas no caso da Teoria Clássica de Placas e são as equações
resultantes do equilíbrio dos esforços que na forma de:
+
=
(2.25)
+
=
(2.26)
+
= −(, )
(2.27)
onde (, ) representa a resultante de ações externas normais ao plano médio no
elemento , , sendo = e representam duas equações de equilíbrio de
momentos e uma equação de equilíbrio de forças segundo o eixo vertical.
As condições de contorno conjuntamente com as equações de equilíbrio têm
de ser verificadas.
30
Substituindo as equações 2.18 e 2.20 nas equações 2.25, 2.26 e 2.27 obtém-
se:
−
+
1 −
2
+
1 +
2
− +
= 0
(2.28)
− 1 +
2
+
1 −
2
+
−
− = 0
(2.29)
+
+
−
− (, ) = 0
(2.30)
Estas são as equações de equilíbrio em termos dos deslocamentos transversais
e das rotações. Neste caso a solução de um problema de placas implica na
determinação de três grandezas que devem atender as equações de equilíbrio e as
condições de contorno. Uma vez conhecidos o deslocamento transversal e as
rotações, o cálculo dos esforços, tensões e deformações pode ser realizado.
2.1.3 Condições de Contorno
Para as condições de bordo simplesmente apoiado o movimento no eixo
está impedido, podendo no entanto rodar livremente. As condições de contorno
simplesmente apoiado são:
= 0 ; = 0 ; = (2.31)
sendo o deslocamento transversal, a rotação tangente e o momento que
provoca uma rotação normal no bordo simplesmente apoiado.
Para o caso de uma placa retangular de bordos simplesmente apoiados
paralelos aos eixos coordenados e , de dimensões segundo e segundo ,
como se representa na figura 2.6. As condições de contorno ao longo dos lados
e que correspondem a = 0 e = são:
= = 0 ; = 0 ; = 0 (2.32)
e ao longo dos lados AD e BC que correspondem a = 0 e = , são:
= = 0 ; = 0 ; = 0 (2.33)
31
Figura 2.6: Placa simplesmente apoiada.
No bordo perfeitamente engastado os deslocamentos e as inclinações têm
valor nulo, ou seja:
= 0 ; = 0 ; = 0 (2.34)
No caso da placa engastada representada na figura 6.7, as condições de
contorno são:
Figura 2.7: Placa com bordos engastados.
ao longo dos lados AB e CD que correspondem a = 0 e = , representadas
através das seguintes igualdades:
= 0 ; = 0 ; = 0 (2.35)
e ao longo dos lados AD e BC que correspondem a = 0 e = , traduzem-se
do seguinte modo:
= 0 ; = 0 ; = 0 (2.36)
32
Se a placa tiver um ou mais lados livres, em todos os pontos do bordo livre
devem ser nulos os momentos fletores e os esforços transversais . Estes
esforços serão não nulos, caso exista algum esforço ou momentos aplicados no
bordo, nesse caso serão iguais a uma função de ou conhecida. No caso de bordo
livre sem cargas aplicadas ser coincidente ou paralelo ao eixo as condições de
bordo livre exprimem-se do seguinte modo, para = 0 ou = :
= 0 ; = 0 (2.37)
se for coincidente ou paralelo a as condições de bordo livre exprimem-se do
seguinte modo, para = 0 ou = :
= 0 ; = 0 (2.38)
As funções consideradas para a deformada e rotações de uma placa devem
verificar as equações de equilíbrio e as condições de contorno.
2.2 Método de Rayleigh-Ritz
A energia de deformação total do sistema Π é igual à soma da energia de
deformação por flexão U de uma placa circular e a energia potencial das cargas
externas Ω:
Π = + Ω (2.39)
A energia de deformação por flexão de uma placa considerando a deformação
cisalhante é dada por:
=1
2 + + +
+
(2.40)
A energia potencial das cargas externas Ω, para um sistema conservativo, é
igual ao trabalho realizado pelas cargas aplicadas quando a estrutura está
deformada, e é dada pela seguinte equação:
Ω = (, )
(, ) (2.41)
33
Onde é a componente do carregamento externo transversal aplicado sobre
a superfície da placa, e é a função de deformação do elemento.
2.3 Análise dinâmica
Para o problema dinâmico de placas pelo método das energias é preciso ter a
expressão da energia cinética que é dada pela seguinte expressão:
=1
2
+ +
(2.42)
Onde é a densidade da placa e o ponto acima dos campos de deslocamentos
representa a diferenciação com respeito ao tempo.
2.3.1 Frequências Naturais
O cálculo das frequências naturais e os modos de vibração conduzem a um
problema linear de autovalor e autovetor generalizado da seguinte forma.
([]− []) = 0 (2.43)
Onde os autovalores representam o quadrado das frequências naturais e os
autovalores os modos de vibração.
2.4 Carga crítica de Flambagem
Para o cálculo da carga crítica aproximada de flambagem, utiliza-se o método
Rayleigh-Ritz, obtida através da minimização do quociente de Rayleigh começando
da igualdade da energia de deformação e o trabalho das forças externas.
([]− []) = 0 (2.44)
= [][] (2.45)
A magnitude de carga crítica é representada pelo fator , portanto o valor da
carga crítica resulta da relação entre a matriz da energia de deformação geométrica
[] pela matriz da rigidez da energia de deformação elástica [].
34
A energia de deformação elástica e dada pela seguinte forma:
[]=1
2
+ +
(2.42)
Figura 2.8: Forças aplicadas na Placa (Cook, 2002).
3 Desenvolvimento da Metodologia
O presente capítulo apresenta os elementos testados, para a análise de
flambagem e vibrações, e suas respectivas propriedades relevantes que ajudaram na
escolha do elemento satisfatório. Os elementos têm os deslocamentos determinados
a partir de graus de liberdade nodais e parâmetros adicionais não nodais. Para as
funções adicionais foram consideradas duas famílias de funções, uma envolvendo
funções polinomiais simples e outras apenas com polinômios de Legendre, com o
intuito de melhor aproximar o que acontece no interior da placa. Finalmente, é
abordada a implementação computacional elaborada para análise dos cálculos,
incluindo comentários sobre como generalizar a uma malha de elementos finitos.
3.1 Considerações Gerais
A solução das equações que regem o comportamento de placas de Mindlin é
facilitada pelo uso de métodos numéricos, dentre os métodos numéricos disponíveis
para a solução de equações diferenciais definidas em domínios arbitrários, o
Método dos Elementos Finitos tem mostrado ser o mais eficiente (DINIS, 2004).
Há vários tipos de modelos de elementos finitos desenvolvidos para serem
utilizados no contexto das teorias de placas. Estes modelos podem agrupar-se em
três modelos que são: modelos baseados numa formulação em termos de
deslocamentos, modelos mistos ou híbridos e modelos de equilíbrio. Os modelos
formulados em termos dos deslocamentos são baseados no teorema dos trabalhos
virtuais sendo as equações correspondentes formuladas em termos dos
deslocamentos. Os modelos mistos ou híbridos são baseados em princípios
variacionais mistos da teoria das placas sendo as tensões e deslocamentos
aproximados de forma independente. Os modelos de equilíbrio são baseados no
princípio das forças virtuais. Dentre os modelos referidos o que é mais
frequentemente utilizado é o modelo baseado numa formulação em termos de
deslocamentos. O modelo aqui referido é deste tipo.
36
Um dos modos de encarar o método dos elementos finitos é como uma técnica
de produção de funções de aproximação para serem utilizadas em métodos
variacionais de aproximação como, por exemplo o método de Rayleigh-Ritz,
mínimos quadrados, subdomínio, etc. A escolha das funções de aproximação é em
geral condicionada a cada problema sendo no entanto possível ter vários modelos
de elementos finitos para uma dada equação.
No processo de definição de funções de aproximação há uma metodologia de
formulação muito utilizada que faz uso do conceito de elemento isoparamétrico.
Este conceito veio permitir a consideração de fronteiras do elemento com formas
mais complexas do que as usualmente permitidas por outro tipo de elementos.
Um aspecto fundamental da formulação por elementos finitos consiste na
escolha das funções a interpolar que representam as variáveis a determinar no
problema. No caso de se tratar de um elemento finito a ser considerado no âmbito
da Teoria de Mindlin de Placas as variáveis a interpolar no contexto de uma
formulação em termos dos deslocamentos são o deslocamento transversal e as
rotações e . Esta formulação conduz em geral a um sistema de equações cujas
incógnitas são os valores das funções interpoladas nos chamados pontos nodais dos
elementos finitos que constituem o domínio.
3.2 Desenvolvimento do Método dos Elementos Finitos
3.2.1 Campo de deslocamentos e Graus de liberdade
O campo de deslocamentos da placa espessa é dado por três vetores que
descrevem translações no eixo , rotações
no eixo e rotações no eixo
. Como se pode ver seguir equação 3.1, os vetores que descrevem estas translações
e rotações são: , e
, vetores estes compostos basicamente pelas funções
de forma básicas de interpolação nodais, , e
, que descrevem os
deslocamentos e rotações nodais, relacionadas com a quantidade de graus de
liberdade () e nós considerados no elemento (ó); funções adicionais
internas, , e
, que são interpolações dos deslocamentos e rotações
dentro do elemento, sendo um vetor nulo referente as funções de forma entre
37
os graus de liberdade e um vetor nulo referente as funções adicionais entre os
graus de liberdade.
=
⎩⎪⎪⎨
⎪⎪⎧
⎭⎪⎪⎬
⎪⎪⎫
; =
⎩⎪⎪⎨
⎪⎪⎧
⎭⎪⎪⎬
⎪⎪⎫
; =
⎩⎪⎪⎨
⎪⎪⎧
⎭⎪⎪⎬
⎪⎪⎫
(3.1)
3.2.2 Funções de Forma Nodais
Considerando o conceito de elemento isoparamétrico, então as funções de forma
são definidas em coordenadas locais e , como se representa na figura 3.1.
Figura 3.1: Generalização do Elemento utilizado.
Para elementos de quatro, oito, doze e dezesseis nós, as coordenadas de um
ponto do elemento (, ) podem ser calculadas a partir das coordenadas nodais
(, ) do seguinte modo:
=
; =
(3.2)
38
Nota-se que as dimensões do elemento isoparamétrico de 4 nós, o sistema de
eixos local são dois por dois sendo as coordenadas do canto do elemento
(−1, −1), (1, −1), (1, 1) (−1, 1). No caso do elemento de oito nós os pontos
nodais são colocados nos cantos do elemento e no meio dos lados. A representação
dos elementos utilizados se apresenta na figura 3.2, assim como as funções de forma
para os elementos isoparamétricos. Estão representados os elementos lineares,
quadráticos, cúbicos e de quarta ordem da família Serindipity.
Figura 3.2: Funções de forma de elementos isoparamétricos Serendipity.
⎩⎪⎨
⎪⎧±1 ±1
±1 0
0 ±1
1
4(1 + )(1 + )( + − 1)
1
2(1 + )(1 + )
1
2(1 + )(1 + )
±1 ±1 1
4(1 + )(1 + )
⎩⎪⎨
⎪⎧±1 ±1
±1 ±1
3
±1
3±1
1
32(1 + )(1 + )[9( + ) − 10]
9
32(1 + )(1 − )(1 + 9)
9
32(1 + )(1 − )(1 + 9)
(, )
Funções de Formas Coordenadas Nodais
⎩⎪⎪⎪⎨
⎪⎪⎪⎧
±1 ±1
±1 0
0 ±1
±1 ±1
2
±1
2±1
1
12(1 + )(1 + )[4( − 1) + 4( − 1) + 3]
1
2(1 + )( − 1)( − )
1
2(1 + )( − 1)( − )
3
4(1 + )(1 − )( + )
3
4(1 + )(1 − )( + )
39
Para trazer as funções de formas definidas das coordenadas isoparamétricas
normalizadas para cartesianas, basta substituir = 2 e =
2 . Essas funções
de forma nodais serão adotadas como mesma aproximação para os deslocamentos
e rotações do elemento, ou seja o vetor da interpolação dos deslocamento , será
igual ao das rotações e
, independentemente da interpolação utilizada.
= =
(3.3)
3.3 Funções Adicionais Internas
As funções adicionais internas são polinômios hierárquicos que não tem um
significado físico, mas que ajudam a descrever as deformações dentro do domínio
da placa.
Serão utilizadas funções do tipo polinomiais. Para a dedução das funções
adicionais de uma placa, pode-se partir de um elemento finito de viga
(KOTSOVOS, 1995) ou outra função unidimensional, sendo que a expressão final
para uma placa é obtida pela multiplicação de funções das duas nas direções (x, y).
Os parâmetros que definem uma função de interpolação numa estrutura são
os graus de liberdade por nó sendo, estes, uma translação () e duas rotações
, .
Neste caso foram adotadas duas famílias de funções, polinomiais simples,
partindo de uma função quadrática e polinômio de Legendre, adaptados ao
problema.
3.3.1 Função Adicional Polinomial
Em diversos livros tais como (COOK, 2002), normalmente é adotada uma
função básica polinomial de terceiro grau de uma viga. JAREK (2007), com o
intuito é reduzir o erro no resultado, inseriu ainda termos adicionais senoidais.
Aqui, fez se uso de um polinômio como mostrado em 3.4, onde a partir de
2, começando então por uma função quadrática, até o número de termos necessários
para se chegar a um resultado aceitável.
40
= + + (3.4)
Nesta expressão a equação relaciona as coordenadas normalizadas com as
globais. Para isso é necessário conhecer as constantes e substituindo as duas
condições nodais que se conhecem:
= −
2
=
2
→ = −1
→ = 1 1 = −
1
2−
(−1)
2 ; 2 = −
1
2+
(−1)
2
(3.5)
Substituindo as constantes e da equação 3.5 e o valor de na equação
3.4 obtém-se:
== −
1
2−
(−1)
2+ −
1
2+
(−1)
2 +
(3.6)
Esta série de polinômios tem sempre valores nulos nos extremos do seu
domínio. Substituindo = 2 na equação 3.6, tem-se
a função na direção
, com o respectivo índice :
= −
1
2−
(−1)
2+
2 −12
−(−1)
2
+
2
(3.7)
A seguir, a representação gráfica dos modos da equação (3.7):
Figura 3.3: Gráfico representando cinco primeiros modos para a função polinomial.
A função ao longo do eixo é obtida analogamente à obtida para o eixo
resultando em:
41
= −
1
2−
(−1)
2+
2 −12
−(−1)
2
+
2
(3.8)
Tendo em vista a obtenção das funções adicionais nos sentidos e , é
possível chegar à função adicional para a placa através da multiplicação de e
como mostra a equação (3.9).
=
(3.9)
Essa multiplicação deve ser feita entre todas as funções dos respectivos
conjuntos definidos com o número de termos necessários para se chegar a um
resultado aceitável
3.3.2 Função Adicional Polinômio de Legendre
A equação diferencial de Legendre pode ser resolvida utilizando o método de
série de potências usual. A equação possui um ponto singular regular em = ± 1
então, em geral, uma solução com séries em relação a origem somente convergirá
se || < 1. Quando é um inteiro, a solução () que é regular em = 1 é
também regular em = −1, e a série para esta solução é finita, ou seja, um
polinômio.
Esta solução para valores inteiros de forma uma seqüência polinomial de
polinômios ortogonais chamados polinômios de Legendre. Cada polinômio de
Legendre () é um polinômio de n-ésimo grau. Isto pode ser expresso utilizando
a fórmula de Rodrigues.
() = −1
2!
[( − 1)]
(3.10)
Baseando-se na Formula de Rodrigues, de forma análoga a dedução anterior,
como mostrado em 3.4 a 3.7, onde também a partir de 2 até o número de termos
necessários para se chegar a um resultado aceitável, obtem-se:
=
1
2!
[( − 1)]−
(3.11)
Onde C um coeficiente para adaptar o polinômio as condições do problema,
variando em função do tipo de polinômio, par ou impar, como mostrado a seguir:
42
= 1
(3.12)
Esta série de polinômios tem sempre valores nulos nos extremos do seu
domínio. Subistituindo = 2 na equação 3.11 e 3.12, tem-se
e
na direção , com o respectivo índice :
=
1
2!
2
− 1
− 1 (3.13)
=
1
2!
2
− 1
−2
(3.14)
Para obter as mesmas equações (3.13) e (3.14), em função de y, basta fazer
as seguintes mudanças:
= ; = ; = ; = (3.15)
A seguir, a representação gráfica dos modos da equação (3.7):
Figura 3.4: Gráfico representando os cinco primeiros modos para a função polinomial de
Legendre.
Tendo em vista a obtenção das funções adicionais com os polinômios de
Legendre nos sentidos e , é possível chegar à função adicional para a placa
através da multiplicação de e
como mostra a equação (3.16), lembrando
que multiplicação deve ser feita entre todas as funções dos respectivos conjuntos
43
definidos com o número de termos necessários para se chegar a um resultado
aceitável.
= (3.16)
Ambos os conjuntos de funções adicionais internas serão adotadas como mesma
aproximação para os deslocamentos e rotações do elemento, análogo ao feito com
as funções nodais, ou seja o vetor da interpolação dos deslocamento , , será
igual ao das rotações e
, independentemente da interpolação utilizada.
= =
(3.17)
Uma outra discussão a respeito das funções adicionais internas são suas
vantagens e desvantagens. Da teoria de séries de Fourier, sabe-se das propriedades
de convergência superiores das funções trigonométricas. No entanto, as funções
polinomiais, no programa, reduzem substancialmente o tempo de simulação, assim,
é possível adicionar um maior número de funções. Um dos motivos, que o torna
mais ágil, é o fato de que a obtenção das derivadas e integrais de funções
polinomiais é bem mais rápida que no caso das trigonométricas, ainda mais
considerando um programa como o Maple.
Um outro fato importante a ressaltar é a possível deterioração do resultado em
função da não ortogonalidade das funções, fato que foi observado por JAREK
(2007). Esta limitação também pode ocorrer na combinação de polinômios e
funções trigonométricas, mas de forma menos acentuada, segundo JAREK (2007).
3.4 Matriz de rigidez
Uma vez conhecido o campo de deslocamentos e deformações da placa
espessa pode se enxergar a energia de deformação da placa espessa, sabendo que a
relação tensão deformação para uma placa elástica espessa pode ser descrida pelas
tensões (, ) que são tensões normais e (, , ) que são tensões
cisalhantes.
A matriz de rigidez pode ser construída através do princípio da energia de
deformação. Sabendo que a deformação pode ser representada de maneira vetorial,
então consideramos os seguintes elementos como vetores (, , , , )
os módulo de elasticidade longitudinal () e transversal ()são dados por:
44
=
(1 − ) ; =
2(1 − )
(3.18)
Com os valores da equação (3.18), integrando a equação (2.40) de tensões e
deformações, deixando em função das deformações de flexão e cisalhamento, tem-
se:
[]ã
= +
+
+
(3.19)
[]
= Κ +
Κ +
(3.20)
Lembrando que Κ é o fator de correção de cisalhamento, definido em (2.21),
que não atua na deformação de cisalhamento por torção (). A matriz de rigidez
total será a soma das duas matrizes definidas acima.
[]= []ã + [] (3.21)
3.5 Matriz de massa
A matriz de massa contém a ação inercial de um elemento devido as
acelerações unitárias nos graus de liberdade. Estas ações inerciais são
transformadas em forças concentradas nos nós. Substituindo os deslocamentos na
equação (2.42), obtém-se:
[]= ()
2
−2
2
−2
2
−2
+ +
(3.22)
3.6 Matriz geométrica
A matriz de rigidez geométrica para a placa pode ser obtida pelo trabalho
realizado pelas forças constantes agindo em direção axial do plano médio da placa.
45
A matriz de rigidez geométrica pode ser obtida em função da energia de deformação
das cargas externas, equação (2.42).
[]= +
+
(3.23)
3.7 Matriz de imposição das condições de contorno
O método de imposição das condições de contorno utilizado é o da
penalidade, através da adição de valores de rigidez na diagonal principal da matriz
de rigidez [] referente aos graus de liberdade do elemento. O número total de
elementos da matriz é dado por:
= ó + (3.24)
Onde é o número de graus de liberdade por nó, ó é o número de nós
e é o número total de funções adicionais, que é a multiplicação do número de
funções utilizadas em cada eixo.
A matriz de imposição das condições de contorno ([]) terá tamanho
( × ), e para conhecer os elementos da diagonal principal da matriz é
preciso conhecer além da quantidade de nós, as condições de contorno do problema.
Os demais termos desta matriz serão iguais a zero.
A imposição das condições de contorno se faz somando-se à matriz de rigidez
() a matriz de imposição das condições de contorno ([]), como mostrado
em (3.26).
[] =
⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡(,)
0 ⋯ 0 0 ⋯ 0
0 ⋱ ⋱ ⋮ ⋱ ⋱ ⋮
⋮ ⋱ ⋱ 0 0 ⋱ 0
0 ⋯ 0 (,)0 ⋱ 0
0 ⋱ 0 0 0 ⋱ 0
⋮ ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ 0
0 ⋯ 0 0 0 0 0⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤
(3.25)
( × )
46
[] = []+ [] (3.26)
A diagonal principal penaliza apenas os graus de liberdade nodais, ou seja,
ela vai à (,)
, onde é o número de funções adicionais multiplicado
pelo número de graus de liberdade.
= ó (3.27)
Outro fator importante, é a rigidez das molas que se encarregarão de restringir
as rotações e translações nos nós. Esses valores podem ser calibrados para cada
problema separadamente levando em consideração a grandeza dos elementos da
matriz de rigidez, de forma a evitar possíveis erros numéricos.
3.8 Frequências naturais
As frequências podem ser obtidas através da solução da seguinte equação:
= [][] (3.28)
Onde [] é a matriz de massa e [] é a matriz elástica da placa.
Resolvendo este problema obtemos os auto valores para poder obter desta forma as
frequências naturais do sistema =
3.9 Carga crítica
Para a determinação das cargas críticas, em forma linearizada, utiliza-se a
mesma formulação já citada no capítulo 2, fazendo isso tem-se a obtenção desta
carga:
= −[][] (3.28)
Onde [] é a matriz geométrica e [] é a matriz elástica da placa.
Resolvendo este problema obtem-se os auto valores e dessa forma a carga crítica o
sistema.
4 Comportamento das Cargas
Os tipos mais comuns de forças não conservativas são as chamadas forças
circulatórias, tais como as forças e momentos seguidores (“follower”), isto é forças
não deriváveis de um potencial e não dependentes explicitamente do tempo, e que
seguem completamente ou parcialmente os deslocamentos ou rotações das
superfícies onde estão aplicados.
As forças generalizadas externas que atuam em um sistema podem ser
classificadas com relação a sua conservatividade. Pode-se definir como forças
conservativas qualquer força generalizada associada com um valor estacionário de
uma função potencial dependente dos deslocamentos generalizados. O trabalho do
sistema, para qualquer deslocamento atual depende somente da configuração inicial
e final do sistema. As forças conservativas podem ser independentes dos
deslocamentos (cargas permanentes) ou dependentes dos deslocamentos (forças
centrifugas e outras).
Considerando a definição dita acima, forças não conservativas são aquelas
que possuem um potencial dependente da velocidade ou do tempo. As forças não
conservativas estacionárias, independentes do tempo, podem ser classificadas como
dependentes da velocidade ou independentes da velocidade, isto é, dependendo
puramente do deslocamento. Nesse último caso são forças denominadas
circulatórias.
O efeito de forças não conservativas do tipo circulatórias em elementos finitos
é feita pela adição de uma matriz chamada de rigidez tangente ou de correção das
cargas, sendo esta em geral uma matriz não simétrica.
Com relação ao comportamento dos sistemas estruturais sujeitos às forças
circulatórias, dois tipos de instabilidade podem ocorrer. Em termos gerais pode-se
dizer que na análise de problemas de estabilidade elástica, a natureza dos
carregamentos externos, determina a característica do problema de autovalor a que
se chega na formulação que rege o problema. O carregamento conservativo leva a
uma solução de autovalores associados a matrizes de rigidez efetivas simétricas e
48
somente autovalores reais. Para carregamentos não conservativos, por exemplo do
tipo circulatório, chega-se a um problema de autovalor associado a uma matriz de
rigidez efetiva não simétrica, ocorrendo autovalores complexos e reais.
Pode-se distinguir duas formas de instabilidade:
"Instabilidade estática ou divergência": existindo uma configuração de
equilíbrio adjacente. A estrutura passa por uma posição de equilíbrio não
trivial antes de atingir a instabilidade, isto é, a transição da estrutura da
estabilidade para a instabilidade ocorre com um autovalor nulo. Para valores
da carga acima da de flambagem, todos os autovalores são reais, sendo que
o autovalor nulo mencionado anteriormente torna-se real e negativo.
"Instabilidade dinâmica, drapejamento ou Flutter": oscilações com
amplitudes crescentes exponencialmente acima da carga crítica. Nestes
casos a perda da estabilidade do sistema ocorre com autovalores diferentes
de zero. De fato a instabilidade do sistema manifesta-se por si mesma em
oscilações com amplitudes crescentes ilimitadamente. A perda da
estabilidade ocorre quando para um valor finito do carregamento, carga de
Flutter, pode-se observar a coalescência de pelo menos dois autovalores
consecutivos, ou seja, eles tornam-se iguais. Além deste valor o movimento
perturbado do sistema apresenta as mencionadas oscilações divergentes,
com os autovalores críticos tomando a forma de conjugados complexos.
Expressando a intensidade da carga externa por um parâmetro P, o limite da
estabilidade pode ser observado pelo comportamento dos autovalores assim que o
parâmetro da carga varia, isto é, pela relação λ = λ(P), conforme a figura 4.1, onde
λ = 1, 2, 3, são os três primeiros autovalores do problema.
Se p = 0, todos os autovalores são reais e positivos, eles são as frequências da
estrutura sem carregamento. Para valores das cargas aplicadas inferiores a crítica
todos os autovalores são positivos e reais (estável). Para a carga critica o menor dos
autovalores torna-se nulo, isto é, a curva correspondente intercepta o eixo das cargas
P, atingindo-se a carga de flambagem. Após atingir a carga crítica o autovalor torna-
se real negativo, sendo o fenômeno da divergência, ou então conforme a figura 4.1,
dois autovalores (frequência), usualmente os de mais baixo valor, aproximam-se
49
um do outro até coalescerem, tornando-se conjugados complexos para cargas além
das críticas (Flutter).
Figura 4.1: Representação gráfica dos tipos de instabilidade, divergência e Flutter.
.
Com relação ao tipo análise, os chamados métodos estáticos demonstram não
ser aplicáveis quando a análise da instabilidade do sistema apresenta uma perda de
estabilidade na forma de instabilidade dinâmica (Flutter).
Segundo JUNG (1991), com relação a forma da instabilidade, os sistemas
podem ser classificados basicamente em quatro tipos. Se as forças externas
possuem um potencial (dependente apenas dos deslocamentos), são conservativas
e a perda da estabilidade se dá apenas por instabilidade estática ou divergência. Se
as forças são não conservativas, a forma pela qual a perda de estabilidade acontece,
requer uma análise específica para cada problema. Ambas as formas de
instabilidade são possíveis neste caso, isto é, o sistema pode perder estabilidade por
divergência ou Flutter. Com relação aos tipos de sistemas de acordo com a forma
de instabilidade, os mesmos classificam-se em:
Sistemas completamente conservativos: São sistemas sujeitos a forças
externas do tipo convencional conservativas, possuindo uma matriz de
rigidez simétrica. A perda da estabilidade se dá somente na forma de
instabilidade estática, divergência. As condições de divergência
podem ser obtidas aplicando o método estático ou dinâmico.
Sistemas Não Conservativos do Tipo Divergente: São sistemas
onde as forças externas atuantes no sistema são de características não
conservativas. Entretanto, dependendo das condições de contorno um
50
outro funcional específico sem ser o da energia, apresenta
características conservativas. Nesse caso a formulação do método dos
elementos finitos, a matriz de rigidez efetiva global, certamente
permanece não simétrica. Estes sistemas constituem uma classe
excepcional dos sistemas não conservativos, os quais
mecanicamente comportam-se como os conservativos, tornando-se
instáveis por divergância e não por flutter.
Sistema Não Conservativos do Tipo Flutter: São sistemas sujeitos
a forças externas não conservativas, por exemplo do tipo circulatório,
possuindo matrizes de rigidez efetivas não simétricas. A perda da
estabilidade pode ocorrer somente na forma de Flutter, Portanto
apenas o método dinâmico é adequado a análise da estabilidade.
Sistemas do Tipo Híbrido: Este tipo especial de sistema é também
solicitado por forças não conservativas, por exemplo, também do tipo
circulatório, mas podem apresentar os casos de divergência ou Flutter.
Dependendo das relações entre os parâmetros mais relevantes,
geometria, condições de contorno, a carga critica mínima pode
corresponder a da perda de estabilidade estática ou a oscilatória.
4.1 Matriz de carga para os casos estudados
Será agora mostrado a determinação das matrizes de carga para os problemas a
serem estudados, no caso, carga seguidora (Flutter) e uma carga paralela aplicada
na área dependente do deslocamento.
4.1.1 Matriz de carga Flutter
Considerando uma placa engastada em um bordo e livre nos demais e uma
carga seguidora de compressão , matriz da carga seguidora [] não conservativa
dependerá linearmente dos deslocamentos, como pode ser visualizado na figura
abaixo:
51
Figura 4.2: Representação da geometria e da atuação da carga seguidora
como componente estabilizadora.
Basicamente, a carga seguidora gera uma componente estabilizadora vertical
que atua nos graus de liberdade de deslocamento do bordo , onde a carga
está atuando. Dessa forma [] fica sendo uma matriz não simétrica, com efeito em
todos os nós na extremidade , ou seja o número de elementos será igual ao de
nós nessa extremidade ().
, → = 1.. (4.1)
4.1.2 Matriz de carga dependente do deslocamento
Nesse caso, considerando uma placa engastada em todos os bordos e uma
carga uniforme distribuída paralela à sua superfície, como pode ser visualizado na
figura abaixo:
[] =
⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡
0 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0
0 ⋱ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮
⋮ ⋱ ⋱ , 0 ⋮ ⋮ ⋱ 0
0 ⋱ ⋱ 0 , ⋱ ⋮ ⋱ 0
0 ⋱ ⋱ 0 0 ⋱ 0 ⋱ 0
⋮ ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ , ⋱ 0
0 ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ 0 ⋱ 0
⋮ ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ 0 0
0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 0⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤
(4.2)
( × )
52
Figura 4.3: Representação da geometria e da atuação da carga tangente a superfície.
A matriz da carga seguidora [] pode ser definida por:
[]=
−
(4.3)
4.2 Carga crítica dinâmica
Para a obtenção da carga críticas parte-se da seguinte análise:
= [[] + + ][] (4.4)
Onde [] é a matriz de correção das cargas da placa. Resolvendo o problema
de auto valores, equação 4.4, pode-se obter as frequências naturais do sistema =
, e dessa forma, fazendo um incremento da carga crítica estática, analisando a
coalescência das frequências, determina-se a carga crítica dinâmica.
5 Aplicações da metodologia
Nesse capítulo serão apresentados exemplos que visam validar a eficiência da
substituição de uma malha de elementos finitos um elemento isolado, com funções
polinomiais, além de demonstrar o bom funcionamento do programa elaborado
através do software MAPLE 15. Para cada exemplo, são fornecidas as
características geométricas da estrutura e as condições de contorno.
O resultado é o estudo do comportamento estático, dinâmico e de
instabilidade de placas. Serão apresentados os desempenhos dos tipos de funções e
dos elementos adotados cuja diferença entre eles foi citada no capítulo 3.
Para iniciar as aplicações no programa serão apresentados exemplos com
comportamento elástico que está definido pelo módulo de elasticidade =
21000 ⁄ e o coeficiente de Poisson = 0.25. Compararam os resultados
obtidos com modelos equivalente modelados no SAP2000 v15.
Os elementos utilizados na modelagem foram o Shell-Thin e Shell-Thick, em
função dos seus 6 graus de liberdade que combinam comportamento de membrana
e flexão de placas.
A principal diferença entre as formulações dos elementos de casca espessas
(Shell Thick) e finas (Shell-Thin) é basicamente a inclusão da deformação de
cisalhamento no comportamento à flexão da placa. Formulação Shell-Thin segue o
desenvolvimento da teoria de Kirchhoff, que negligencia deformação de
cisalhamento, enquanto formulação espessa segue Mindlin/Reissner, que leva em
consideração esse efeito, considerado neste trabalho, na elaboração do modelo
implementado.
Formulação de Mindlin é recomendada em geral, pois tende a ser mais exata,
embora um pouco mais rígida, mesmo para problemas de flexão de placas finas em
que a deformação de cisalhamento é verdadeiramente insignificante. No entanto,
no que se refere a modelagem, a precisão de formulação é sensível a distorção
malha e grande razão de aspecto, portanto, não deve ser usado em tais casos em que
a deformação de cisalhamento é conhecida como pequena.
54
Em geral, a contribuição de deformação de cisalhamento torna-se
significativa quando a relação entre o vão de flexão de curvatura da placa e a
espessura é de aproximadamente 1/5 a 1/10 e a formulação é adequada para razão
de aspecto abaixo de 1/5 ou 1/4. Está razão é dependente da projeção da curvatura,
e a espessura da placa pode ser maior do que as dimensões reais no plano do
elemento. O cisalhamento também pode se tornar significativo em locais de
concentração de tensões de flexão, que ocorrem próximo a mudanças bruscas de
espessura ou de condições de contorno e próximas a aberturas ou cantos reentrantes.
Nesse caso, a formulação de espessura da placa é melhor para tais aplicações.
O elemento Shell-Thick tende a ser mais rígido em relação ao de Shell-Thin,
considerando apenas componentes de flexão do elemento, e para modelos em que
a malha é muito grosseira.
Quando a malha é adequadamente descrita, ela captura a deformação de
flexão, pois elementos Shell-Thick são mais flexíveis por causa da deformação
adicional que não é capturada através de formulação de placa fina.
Considerando os aspectos mencionados acima, modelou-se as aplicações
desse trabalho com uma malha de 40 x 40 elementos, considerando as dimensões e
proporções dos exemplos. As condições de contorno e cargas foram impostas de
maneira a permitir deslocamentos de corpo rígido, permanecendo então constante
a tensão dentro do elemento, fazendo assim que o modelo do SAP2000 fique o mais
próximo possível do modelo implementado.
5.1 Análise de Vibrações
O objetivo desta aplicação é avaliar a utilização das funções adicionais
internas na determinação das frequências e modos de vibração de placas com
diferentes condições de contorno, considerasse uma densidade de massa =
8.0 10/. Determinaram as três primeiras frequências e modos de
vibração para uma placa de dimensões 500 x 500 cm, considerando dois tipos de
condição de contorno, apenas um lado engastado (Figura 5.1) e todos os lados
engastados (Figura 5.14). Fez-se ainda um estudo de convergência das funções
comparando-os com o resultado obtido no modelo do SAP2000.
55
5.1.1 Engastado em uma extremidade
Nessa aplicação serão analisados os resultados para duas espessuras de 5 e
20 , para as condições de contorno mostradas na Figura 5.1. Foi utilizado para
interpolação do contorno 12 nós, pois com menos nós impossibilitaria uma boa
aproximação.
Figura 5.1: Placa engastada em uma extremidade.
Os resultados obtidos nessa aplicação (Tabela 5.1), mostram boa
concordância entre os valores resultantes do modelo desenvolvido neste trabalho e
o modelo de comparativo, para uma espessura de 5 .
Tabela 5.1: Comparação das três primeiras frequências da placa com espessura de 5 cm.
Espessura de 5 cm
Nº DE FUNÇÕES
3 Primeiras Frequências
(Hz)
Diferença em relação ao modelo do
SAP2000 (%)
Rayleigh-Ritz (Polinômio Simples)
Rayleigh-Ritz (Polinômio de
Legendre)
Rayleigh-Ritz (Polinômio Simples)
Rayleigh-Ritz (Polinômio de
Legendre)
1 10,78246 10,78225 1,317 1,315 28,14549 28,14417 4,087 4,082 98,29195 98,29030 34,275 34,273
2 10,75966 10,75948 1,102 1,101 28,02503 28,02466 3,642 3,640 90,96414 90,96345 24,265 24,264
3 10,72729 10,72711 0,798 0,797 27,98688 27,98650 3,501 3,499 84,66046 84,65765 15,653 15,650
4 10,71904 10,71886 0,721 0,719 27,83098 27,83066 2,924 2,923 83,42994 83,42786 13,972 13,970
5 10,68099 10,68084 0,363 0,362 27,70686 27,70650 2,465 2,464 78,82361 78,82193 7,680 7,677
56
6
10,67714 10,67699 0,327 0,326
27,63120 27,63095 2,185 2,184
78,28352 78,28198 6,942 6,940
7
10,66946 10,66929 0,255 0,253
27,58607 27,58397 2,018 2,011
77,35560 77,35728 5,674 5,677
8
10,66881 10,6689 0,249 0,249
27,56173 27,5576 1,928 1,913
77,28894 77,2292 5,583 5,502
Os valores de frequência obtidos pelo SAP2000 são:
= 10,64 ; = 27,04 ; = 73,20 (5.1)
Abaixo, nas figuras de 5.2 a 5.4, são apresentados os gráficos referentes aos
valores das frequências definidos na tabela acima, para melhor visualização da
convergência dos resultados.
Figura 5.2: Convergência da primeira frequência da placa engastada em uma
extremidade, com espessura 5 cm.
Figura 5.3: Convergência da segunda frequência da placa engastada em uma
extremidade, com espessura 5 cm.
10,64
10,67
10,70
10,73
10,76
10,79
1 2 3 4 5 6 7 8
Primeira Frequência (1)
Rayleigh-Ritz (Polinomio Simples)Rayleigh-Ritz (Polinomios de legendre)Sap 2000
Freq
uên
cias
(
).
Número de funções adicionais ao elemento.
27,03
27,28
27,53
27,78
28,03
28,28
1 2 3 4 5 6 7 8
Segunda Frequência (2)
Rayleigh-Ritz (Polinomio Simples)Rayleigh-Ritz (Polinomios de legendre)Sap 2000
Freq
uên
cias
(
).
Número de funções adicionais ao elemento.
57
Figura 5.4: Convergência da terceira frequência da placa engastada em uma extremidade,
com espessura 5 cm.
Figura 5.5: Erro relativo da primeira frequência placa engastada em uma extremidade,
com espessura 5 cm.
Figura 5.6: Erro relativo da segunda frequência placa engastada em uma extremidade,
com espessura 5 cm.
73,20
78,55
83,90
89,25
94,60
99,95
1 2 3 4 5 6 7 8
Terceira Frequência (3)
Rayleigh-Ritz (Polinomio Simples) Rayleigh-Ritz (Polinomios de legendre)
Sap 2000
Freq
uên
cias
(
).
Número de funções adicionais ao elemento.
0,00
0,30
0,60
0,90
1,20
1,50
1 2 3 4 5 6 7 8
Erro (%) - Primeira Frequência
Rayleigh-Ritz (Polinomio Simples) Rayleigh-Ritz (Polinomios de legendre)
Erro
(%
)
Número de funções adicionais ao elemento.
0,00
1,00
2,00
3,00
4,00
5,00
1 2 3 4 5 6 7 8
Erro (%) - Segunda Frequência
Rayleigh-Ritz (Polinomio Simples) Rayleigh-Ritz (Polinomios de legendre)
Erro
(%
)
Número de funções adicionais ao elemento.
58
Figura 5.7: Erro relativo da terceira frequência placa engastada em uma extremidade,
com espessura 5 cm.
Na tabela 5.2, estão os resultados obtidos para uma espessura de 20 , para
as mesmas dimensões (500 500 ), que também demonstra uma boa
convergência entre os valores resultantes dos modelos desenvolvidos neste trabalho
e o modelo de comparativo.
Tabela 5.2: Comparação das três primeiras frequências da placa com espessura de 20 cm.
Espessura de 20 cm
Nº DE FUNÇÕES
3 Primeiras Frequências
(Hz) Diferença em relação ao modelo do
SAP2000 (%)
Rayleigh-Ritz (Polinômio Simples)
Rayleigh-Ritz (Polinômio de
Legendre)
Rayleigh-Ritz (Polinômio Simples)
Rayleigh-Ritz (Polinômio de
Legendre)
1 42,9608 42,9608 1,149 1,149
111,2388 111,2388 4,904 4,904 378,7817 378,7817 38,535 38,535
2 42,8893 42,8893 0,980 0,980
110,8867 110,8867 4,572 4,572 356,5094 356,5094 30,389 30,389
3 42,5868 42,5868 0,268 0,268
109,8222 109,8222 3,568 3,568 308,7999 308,7999 12,940 12,940
4 42,5730 42,5730 0,236 0,236
109,0648 109,0648 2,854 2,854 304,2900 304,2899 11,290 11,290
5 42,5351 42,5351 0,146 0,146
108,5213 108,5213 2,341 2,341 297,8355 297,8355 8,930 8,930
6 42,5345 42,5345 0,145 0,145
108,0975 108,0977 1,942 1,942 297,0382 297,0380 8,638 8,638
7 42,5245 42,5245 0,122 0,122
107,9531 107,9529 1,806 1,805 295,3475 295,3844 8,020 8,033
0,00
8,00
16,00
24,00
32,00
40,00
1 2 3 4 5 6 7 8
Erro (%) - Terceira Frequência
Rayleigh-Ritz (Polinomio Simples) Rayleigh-Ritz (Polinomios de legendre)
Erro
(%
)
Número de funções adicionais ao elemento.
59
8
42,5240 42,5239 0,120 0,120 107,6953 107,6934 1,562 1,561
295,1729 295,1872 7,956 7,961
Os valores de frequência obtidos pelo SAP2000 para o caso com espessura 5
são:
= 42,47 ; = 106,04 ; = 273,42 (5.2)
A seguir, da figura 5.8 a 5.13, são apresentados os gráficos referentes aos
valores das frequências definidas e a diferença relativa referentes a tabela acima,
para visualização da convergência dos resultados.
Figura 5.8: Convergência da primeira frequência da placa engastada em uma
extremidade, com espessura 20 cm.
Figura 5.9: Convergência da segunda frequência da placa engastada em uma
extremidade, com espessura 20 cm.
42,47
42,60
42,72
42,85
42,97
43,10
1 2 3 4 5 6 7 8
Primeira Frequência (1)
Rayleigh-Ritz (Polinomio Simples) Rayleigh-Ritz (Polinomios de legendre)
Sap 2000
Freq
uên
cias
(
).
Número de funções adicionais ao elemento.
106,00
107,25
108,50
109,75
111,00
112,25
1 2 3 4 5 6 7 8
Segunda Frequência (2)
Rayleigh-Ritz (Polinomio Simples) Rayleigh-Ritz (Polinomios de legendre)
Sap 2000
Freq
uên
cias
(
).
Número de funções adicionais ao elemento.
60
Figura 5.10: Convergência da terceira frequência da placa engastada em uma
extremidade, com espessura 20 cm.
Figura 5.11: Diferença relativa da primeira frequência placa engastada em uma
extremidade, com espessura 20 cm.
Figura 5.12: Diferença relativa da segunda frequência placa engastada em uma
extremidade, com espessura 20 cm.
273,41
298,41
323,41
348,41
373,41
398,41
1 2 3 4 5 6 7 8
Terceira Frequência (3)
Rayleigh-Ritz (Polinomio Simples) Rayleigh-Ritz (Polinomios de legendre)
Sap 2000
Freq
uên
cias
(
).
Número de funções adicionais ao elemento.
0,00
0,30
0,60
0,90
1,20
1,50
1 2 3 4 5 6 7 8
Erro (%) - Primeira Frequência
Rayleigh-Ritz (Polinomio Simples) Rayleigh-Ritz (Polinomios de legendre)
Erro
(%
)
Número de funções adicionais ao elemento.
0,00
1,25
2,50
3,75
5,00
6,25
1 2 3 4 5 6 7 8
Erro (%) - Segunda Frequência
Rayleigh-Ritz (Polinomio Simples) Rayleigh-Ritz (Polinomios de legendre)
Erro
(%
)
Número de funções adicionais ao elemento.
61
Figura 5.13: Diferença relativa da terceira frequência placa engastada em uma
extremidade, com espessura 20 cm.
No geral, nesse primeiro exemplo os resultados obtidos tiveram um boa
convergência com 5 e 20 , no entanto a terceira frequência teve um erro
relativo acima de 5%.
No quadro a seguir é apresentado os modos de vibração para o caso analisado
encontrados pelo modelo desenvolvido e pelo modelo comparativo.
Figura 5.14: Modos de vibração da placa engastada em uma extremidade.
0,00
10,00
20,00
30,00
40,00
50,00
1 2 3 4 5 6 7 8
Erro (%) - Segunda Frequência
Rayleigh-Ritz (Polinomio Simples) Rayleigh-Ritz (Polinomios de legendre)
Erro
(%
)
Número de funções adicionais ao elemento.
62
5.1.2 Completamente engastada
Nessa outra aplicação serão analisados os resultados para duas espessuras, de
5 e 50 , para as condições de contorno mostradas na Figura 5.15. Neste
exemplo pode-se usar como interpolação do contorno 4,8,12, ou 16 nós, pois em
virtude das condições de contorno, não impossibilitará uma boa aproximação.
Figura 5.15: Placa completamente engastada.
Abaixo estão os resultados obtidos (Tabela 5.3), que demonstram uma
concordância ainda melhor que o exemplo anterior, entre os valores resultantes do
modelo desenvolvido neste trabalho e o modelo de comparativo, uma vez que os
erros relativos das três primeiras frequências ficou abaixo de 0,5 % para uma
espessura de 5 .
Tabela 5.3: Comparação das três primeiras frequências da placa com espessura de 5 cm.
Espessura de 5 cm
Nº DE FUNÇÕES
3 Primeiras Frequências
(Hz) Diferença em relação ao modelo do
SAP2000 (%)
Rayleigh-Ritz (Polinômio Simples)
Rayleigh-Ritz (Polinômio de
legendre)
Rayleigh-Ritz (Polinômio Simples)
Rayleigh-Ritz (Polinômio de
legendre)
3
109,8464 109,8491 0,0634 0,0659
2209,5246 2220,0098 889,0075 893,7009
3118,0799 3138,4438 848,8596 855,0565
4
109,8452 109,8480 0,0623 0,0649
226,4861 226,4933 1,3777 1,3809
330,8183 330,8092 0,6710 0,6682
5
109,8134 109,8162 0,0334 0,0359
226,1270 226,1342 1,2169 1,2201
330,8104 330,8014 0,6686 0,6658
6
109,8130 109,8158 0,0330 0,0355
223,8242 223,8314 0,1862 0,1894
329,7793 329,7682 0,3548 0,3514
63
7
109,7999 109,8019 0,0210 0,0229
223,7691 223,8056 0,1615 0,1778
329,7716 329,7640 0,3525 0,3501
8
109,7998 109,8019 0,0210 0,0228
223,7423 223,7536 0,1495 0,1546
329,7686 329,6443 0,3515 0,3137
Os valores de frequência obtidos pelo SAP2000 para o caso com espessura
5 são:
= 109,77 ; = 223,41 ; = 328,61 (5.3)
Abaixo, nas figuras de 5.16 a 5.18, são apresentados os gráficos referentes aos
valores das frequências definidos na tabela acima, para melhor visualização da
convergência dos resultados.
Figura 5.16: Convergência da primeira frequência da placa toda engastada, com espessura 5
cm.
Figura 5.17: Convergência da segunda frequência da placa toda engastada, com espessura 5
cm.
109,78
109,79
109,81
109,83
109,84
109,86
3 4 5 6 7 8
Primeira Frequência (1)
Rayleigh-Ritz (Polinomio Simples) Rayleigh-Ritz (Polinomios de legendre)
SAP 2000
Freq
uên
cias
(
).
Número de funções adicionais ao elemento.
223,40
224,06
224,71
225,37
226,02
226,68
4 5 6 7 8
Segunda Frequência (2)
Rayleigh-Ritz (Polinomio Simples) Rayleigh-Ritz (Polinomios de legendre)
Sap 2000
Freq
uên
cias
(
).
Número de funções adicionais ao elemento.
64
Figura 5.18: Convergência da terceira frequência da placa toda engastada, com espessura
5 cm.
Na tabela 5.3, o número de funções começa a partir de 3, pois para 1 e 2
funções foram encontrados valores muito dispares. Considerando isso, os valores
da segunda e terceira frequência com 3 funções adicionais, foram desconsiderados
nos gráficos das frequências e dos erros relativos, figuras de 5.19 a 5.21, de forma
a não descaracterizar a visualização dos resultados.
Figura 5.19: Erro relativo da primeira frequência placa toda engastada, com espessura 5 cm.
Figura 5.20: Erro relativo da segunda frequência placa toda engastada, com espessura 5 cm.
329,55
329,82
330,09
330,36
330,63
330,90
4 5 6 7 8
Terceira Frequência (3)
Rayleigh-Ritz (Polinomio Simples) Rayleigh-Ritz (Polinomios de legendre)
Sap 2000
Freq
uên
cias
(
).
Número de funções adicionais ao elemento.
0,00
0,02
0,03
0,05
0,06
0,08
3 4 5 6 7 8
Erro (%) - Primeira Frequência
Rayleigh-Ritz (Polinomio Simples) Rayleigh-Ritz (Polinomios de legendre)
Erro
(%
)
Número de funções adicionais ao elemento.
0,00
0,30
0,60
0,90
1,20
1,50
4 5 6 7 8
Erro (%) - Segunda Frequência
Rayleigh-Ritz (Polinomio Simples) Rayleigh-Ritz (Polinomios de legendre)
Erro
(%
)
Número de funções adicionais ao elemento.
65
Figura 5.21: Erro relativo da terceira frequência placa toda engastada, com espessura 5 cm.
Na tabela 5.4, estão os resultados obtidos para uma espessura de 50 , para
as mesmas dimensões (500 500 ), que também demonstra uma boa
convergência entre os valores resultantes dos modelos desenvolvidos neste trabalho
e o modelo de comparativo.
Tabela 5.4: Comparação das três primeiras frequências da placa com espessura de 50 cm.
Espessura de 50 cm
Nº DE
FUNÇÕES
3 Primeiras Frequências
(Hz)
Diferença em relação ao modelo do
SAP2000 (%)
Rayleigh-Ritz
(Polinômio
Simples)
Rayleigh-Ritz
(Polinômio de
legendre)
Rayleigh-Ritz
(Polinômio
Simples)
Rayleigh-Ritz
(Polinômio de
legendre)
3
1000,3600 1000,3601 0,5283 0,5283
2680,6675 2680,6682 41,8632 41,8633
3699,5424 3699,5406 39,8675 39,8674
4
1000,1620 1000,1622 0,5084 0,5084
1929,0160 1929,0161 2,0852 2,0852
2697,8614 2697,8600 1,9972 1,9972
5
999,2212 999,2213 0,4139 0,4139
1920,9953 1920,9953 1,6607 1,6607
2693,6774 2693,6759 1,8390 1,8390
6
999,2128 999,2129 0,4130 0,4130
1911,6123 1911,6124 1,1642 1,1642
2684,0147 2684,0104 1,4737 1,4736
7
999,0465 999,0466 0,3963 0,3963
1911,3260 1911,3272 1,1490 1,1491
2683,9718 2683,9672 1,4721 1,4719
8
999,0449 999,0450 0,3962 0,3962
1911,1812 1911,1821 1,1413 1,1414
2683,2723 2683,5033 1,4457 1,4544
0,00
0,15
0,30
0,45
0,60
0,75
4 5 6 7 8
Erro (%) - Terceira Frequência
Rayleigh-Ritz (Polinomio Simples) Rayleigh-Ritz (Polinomios de legendre)
Erro
(%
)
Número de funções adicionais ao elemento.
66
Os valores de frequência obtidos pelo SAP2000, para o caso com espessura
50 são:
= 995,10 ; = 1889,61 ; = 2645,03 (5.2)
A seguir, da figura 5.22 a 5.24, são apresentados os gráficos referentes aos
valores das frequências definidos na tabela acima, para visualização da
convergência dos resultados.
Figura 5.22: Convergência da primeira frequência da placa toda engastada (50 cm).
Figura 5.23: Convergência da segunda frequência da placa toda engastada (50 cm).
Figura 5.24: Convergência da terceira frequência da placa toda engastada (50 cm).
995,00
996,20
997,40
998,60
999,80
1.001,00
3 4 5 6 7 8
Primeira Frequência (1)
Rayleigh-Ritz (Polinomio Simples) Rayleigh-Ritz (Polinomios de legendre)
SAP 2000
Freq
uên
cias
(
).
Número de funções adicionais ao elemento.
1.889
1.898
1.907
1.917
1.926
1.935
4 5 6 7 8
Segunda Frequência (2)
Rayleigh-Ritz (Polinomio Simples) Rayleigh-Ritz (Polinomios de legendre)
Sap 2000
Freq
uên
cias
(
).
Número de funções adicionais ao elemento.
2.645
2.657
2.669
2.681
2.693
2.705
4 5 6 7 8
Terceira Frequência (1)
Rayleigh-Ritz (Polinomio Simples) Rayleigh-Ritz (Polinomios de legendre)Sap 2000
Freq
uên
cias
(
).
Número de funções adicionais ao elemento.
67
Da mesma forma, como foi feito na análise da tabela 5.3, nos resultados tabela
5.4 o número de funções também começa a partir de 3, pois para 1 e 2 funções
foram encontrados valores espúrios. Considerando isso, os valores da segunda e
terceira frequência com 3 funções adicionais, novamente foram desconsiderados
nos gráficos das frequências, acima, e dos erros relativos, figuras de 5.25 a 5.27, de
forma a não descaracterizar a visualização dos resultados.
Figura 5.25: Erro relativo da primeira frequência da placa com espessura 50 cm.
Figura 5.26: Erro relativo da segunda frequência da placa com espessura 50 cm.
Figura 5.27: Erro relativo da terceira frequência da placa com espessura 50 cm.
0,00
0,12
0,24
0,36
0,48
0,60
3 4 5 6 7 8
Erro (%) - Primeira Frequência
Rayleigh-Ritz (Polinomio Simples) Rayleigh-Ritz (Polinomios de legendre)
Erro
(%
)
Número de funções adicionais ao elemento.
0,00
0,50
1,00
1,50
2,00
2,50
4 5 6 7 8
Erro (%) - Segunda Frequência
Rayleigh-Ritz (Polinomio Simples) Rayleigh-Ritz (Polinomios de legendre)
Erro
(%
)
Número de funções adicionais ao elemento.
0,00
0,50
1,00
1,50
2,00
2,50
4 5 6 7 8
Erro (%) - Terceira Frequência
Rayleigh-Ritz (Polinomio Simples) Rayleigh-Ritz (Polinomios de legendre)
Erro
(%
)
Número de funções adicionais ao elemento.
68
No quadro abaixo, apresentam-se os modos de vibração das frequências para o
caso analisado.
Figura 5.28: Modos de vibração da placa completamente engastada.
5.2 Análise de Instabilidade
O objetivo desta aplicação é ainda avaliar a utilização das funções adicionais
internas na determinação carga crítica de placas com diferentes condições de
contorno. Determinou-se a carga crítica para uma placa de mesmas dimensões e
condições de contorno da aplicação anterior.
Em seguida fez-se uma análise comparativa da carga crítica e frequências de
placas espessas, com o objetivo de observar a influência da deformação de
cisalhamento e inercia rotacional, fazendo a relação desses resultados obtidos pela
placa de Mindlin pela teoria de Kirchhoff (placa fina).
69
Por fim, fez-se as aplicações com cargas não conservativas, considerando o
efeito de Flutter e carga dependente do deslocamento, anteriormente comentados
no capítulo 4.
5.2.1 Carga Crítica da placa engastada em uma extremidade
Nessa aplicação serão analisados os resultados para carga crítica para duas
espessuras de 5 e 20 , como indicado na Figura 5.29.
Figura 5.29: Placa engastada em uma extremidade sobre compressão axial.
Os resultados não apresentaram uma diferença significativa em relação aos
valores teóricos. A seguir estão os resultados da carga crítica obtidos (Tabela 5.5),
para uma espessura de 5 e 20 , em seguida gráficos que mostram a
convergência.
Tabela 5.5: Comparação da carga crítica da placa com espessura de 5 cm.
Espessura de 5 cm
Nº DE FUNÇÕES
Carga Critica
(KN) x10
Diferença em relação ao modelo do
SAP2000 (%)
Rayleigh-Ritz
(Polinômio
Simples)
Rayleigh-Ritz
(Polinômios de
Legendre)
Rayleigh-Ritz
(Polinômio
Simples)
Rayleigh-Ritz
(Polinômios de
Legendre)
1 1,1534 1,1534 2,0348 2,0324
2 1,1455 1,1455 1,3343 1,3325
3 1,1411 1,1411 0,9451 0,9433
4 1,1406 1,1406 0,9061 0,9043
5 1,1392 1,1392 0,7775 0,7759
6 1,1388 1,1388 0,7422 0,7408
7 1,1382 1,1381 0,6860 0,6843
8 1,1380 1,1381 0,6696 0,6778
70
Figura 5.30: Convergência da carga crítica da placa com uma extremidade engastada,
com espessura 5 cm.
Figura 5.31: Erro relativo da carga crítica da placa com uma extremidade engastada, com
espessura 5 cm.
Tabela 5.6: Comparação da carga crítica da placa com espessura de 20 cm.
Espessura de 20 cm
Nº DE FUNÇÕES
Carga Critica
(KN) x10
Diferença em relação ao modelo
do SAP2000 (%)
Rayleigh-Ritz
(Polinômio
Simples)
Rayleigh-Ritz
(Polinômios de
Legendre)
Rayleigh-Ritz
(Polinômio
Simples)
Rayleigh-Ritz
(Polinômios de
Legendre)
1 18,3439 18,3439 2,4546 2,4546
2 18,2465 18,2465 1,9106 1,9106
3 18,1224 18,1224 1,2176 1,2176
4 18,1105 18,1105 1,1510 1,1510
5 18,0783 18,0783 0,9709 0,9709
6 18,0744 18,0744 0,9495 0,9495
7 18,0559 18,0563 0,8461 0,8483
8 18,0546 18,0548 0,8389 0,8396
1,130
1,135
1,140
1,145
1,150
1,155
1 2 3 4 5 6 7 8
Carga Crítica
Rayleigh-Ritz (Polinomio Simples) Rayleigh-Ritz (Polinomios de legendre)
Sap 2000
Car
ga C
ríti
ca (
KN
) x1
0^-
5
Número de funções adicionais ao elemento.
0,00
0,50
1,00
1,50
2,00
2,50
1 2 3 4 5 6 7 8
Erro (%) - Carga Crítica
Rayleigh-Ritz (Polinomio Simples) Rayleigh-Ritz (Polinomios de legendre)
Erro
(%
)
Número de funções adicionais ao elemento.
71
Figura 5.32: Convergência da carga crítica da placa com uma extremidade engastada,
com espessura 20 cm.
Figura 5.33: Erro relativo da carga crítica da placa com uma extremidade engastada, com
espessura 20 cm.
5.2.2 Carga Crítica da placa completamente engastada
Nessa aplicação serão analisados os resultados para carga crítica para duas
espessuras de 5 e 50 , como indicado na Figura 5.34.
Figura 5.34: Placa engastada em todas as extremidades sobre compressão axial.
17,90
18,00
18,10
18,20
18,30
18,40
1 2 3 4 5 6 7 8
Carga Crítica
Rayleigh-Ritz (Polinomio Simples) Rayleigh-Ritz (Polinomios de legendre)
Sap 2000
Car
ga C
ríti
ca (
KN
) x1
0^-
5
Número de funções adicionais ao elemento.
0,00
0,60
1,20
1,80
2,40
3,00
1 2 3 4 5 6 7 8
Erro (%) - Carga Crítica
Rayleigh-Ritz (Polinomio Simples) Rayleigh-Ritz (Polinomios de legendre)
Erro
(%
)
Número de funções adicionais ao elemento.
72
A seguir estão os resultados obtidos da carga crítica axial em uma direção
(Tabela 5.7), para uma espessura de 5 e 50 em seguida gráficos que
mostram a convergência.
Tabela 5.7: Comparação da carga crítica da placa com espessura de 5 cm.
Espessura de 5 cm
Nº DE
FUNÇÕES
Carga Critica
(KN) x10
Diferença em relação ao modelo
do SAP2000 (%)
Rayleigh-Ritz
(Polinômio
Simples)
Rayleigh-Ritz
(Polinômios de
Legendre)
Rayleigh-Ritz
(Polinômio
Simples)
Rayleigh-Ritz
(Polinômios de
Legendre)
3 50,3060 50,3074 8,7091 8,7122
4 50,2765 50,2779 8,6454 8,6484
5 46,4588 46,4586 0,3956 0,3950
6 46,4563 46,4560 0,3900 0,3895
7 46,3113 46,3050 0,0768 0,0631
8 46,2983 46,3037 0,0487 0,0604
Da mesma forma como feito na análise de vibrações (tabela 5.3 e 5.4), o
número de funções começa a partir de 3, pois para 1 e 2 funções foram encontrados
valores espúrios. Considerando isso, os valores da carga crítica com 3 funções
adicionais, foram desconsiderados nesse exemplo.
Figura 5.35: Convergência da carga crítica da placa com todas as extremidades
engastadas, com espessura 5 cm.
46,20
47,20
48,20
49,20
50,20
51,20
3 4 5 6 7 8
Carga Crítica
Rayleigh-Ritz (Polinomio Simples) Rayleigh-Ritz (Polinomios de legendre)
Sap 2000
Car
ga C
ríti
ca (
KN
) x1
0^-
5
Número de funções adicionais ao elemento.
73
Figura 5.36: Erro relativo da carga crítica da placa com uma extremidade engastada, com
espessura 5 cm.
Tabela 5.8: Comparação da carga crítica da placa com espessura de 50 cm.
Espessura de 50 cm
Nº DE
FUNÇÕES
Carga Critica
(KN) x10
Diferença em relação ao modelo
do SAP2000 (%)
Rayleigh-Ritz
(Polinômio
Simples)
Rayleigh-Ritz
(Polinômios de
Legendre)
Rayleigh-Ritz
(Polinômio
Simples)
Rayleigh-Ritz
(Polinômios de
Legendre)
3 4257,3545 4257,3548 10,2518 10,2518
4 4109,6425 4109,6426 6,4265 6,4265
5 3881,9967 3881,9960 0,5312 0,5312
6 3873,2082 3873,2075 0,3037 0,3036
7 3865,6270 3865,6258 0,1073 0,1073
8 3865,4810 3865,4785 0,1035 0,1035
Figura 5.37: Convergência da carga crítica da placa com todas as extremidades
engastadas, com espessura 50 cm.
0,00
2,20
4,40
6,60
8,80
11,00
3 4 5 6 7 8
Erro (%) - Carga Crítica
Rayleigh-Ritz (Polinomio Simples) Rayleigh-Ritz (Polinomios de legendre)
Erro
(%
)
Número de funções adicionais ao elemento.
3.861
3.961
4.061
4.161
4.261
4.361
3 4 5 6 7 8
Carga Crítica
Rayleigh-Ritz (Polinomio Simples) Rayleigh-Ritz (Polinomios de legendre)
Sap 2000
Car
ga C
ríti
ca (
KN
) x1
0^-
5
Número de funções adicionais ao elemento.
74
Figura 5.38: Erro relativo da carga crítica da placa com uma extremidade engastada, com
espessura 50 cm.
5.2.3 Análise comparativa da carga crítica e frequências
As figuras a seguir permitem uma análise de cargas críticas e frequências de
placas espessas, fazendo a proporção entre os resultados apresentados, Teoria de
Mindlin, em relação a teoria de placa Kirchhoff, obtidos com SAP2000, modelada
utilizando o elemento Shell-Thin, para as condições de contorno apresentadas.
Fica evidente que quando a espessura cresce em relação ao comprimento, a
relação entre os resultados das frequências decresce significativamente, e este
decréscimo se acentua nas frequências mais altas. A carga crítica tem um
decréscimo que acompanha o comportamento da primeira frequência, no caso da
placa com uma extremidade engastada, possivelmente pelo fato do primeiro modo
de vibração coincidir com o modo de flambagem. No caso da placa toda engastada,
a carga crítica tem um decréscimo mais acentuado que o esperado.
Figura 5.39: Variação dos valores de carga crítica e frequência para placa engastada em
uma extremidade.
0,00
2,50
5,00
7,50
10,00
12,50
3 4 5 6 7 8
Erro (%) - Carga Crítica
Rayleigh-Ritz (Polinomio Simples) Rayleigh-Ritz (Polinomios de legendre)
Erro
(%
)
Número de funções adicionais ao elemento.
0,990
0,992
0,994
0,996
0,998
1,000
0,02 0,04 0,06 0,08 0,1
Carga Crítica 1º Frequência 2º Frequência
Pro
po
rção
entr
e re
sult
ado
s
h/a
75
Figura 5.40: Variação dos valores de carga crítica e frequência para placa engastada em
todas as extremidades.
5.2.4 Carga crítica de Flutter
Para o cálculo da carga crítica dinâmica (flutter) sob carga axial uniforme
seguidora, que caracteriza um problema não conservativo (conforme visto no
capitulo 4), utilizou-se para a interpolação do contorno 12 nós e 8 funções
adicionais com polinômios de Legendre, em virtude dos resultados anteriores.
Foram observados os pontos de coalescência das duas primeiras frequências. Esta
coalescência é atingida, para placas finas, quando a estrutura é submetida a uma
magnitude de carga igual a aproximadamente 8.35 vezes a da carga para
carregamento de direção constante (carga estática) em placas finas.
Figura 5.41: Coalescência das duas primeiras frequências da placa espessa.
.
0,850
0,880
0,910
0,940
0,970
1,000
0,02 0,04 0,06 0,08 0,1
Carga Crítica 1º Frequência 2º Frequência
Pro
po
rção
entr
e re
sult
ado
s
h/a
0
50
100
150
200
250
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
1º Frequência (10 cm)
2º Frequência (10 cm)
1º Frequência (20 cm)
2º Frequência (20 cm)
1º Frequência (30 cm)
2º Frequência (30 cm)
1º Frequência (40 cm)
2º Frequência (40 cm)
Freq
uên
cias
(
)
Proporção em relação a carga crítica dinâmica
76
Ao ser considerada a deformação de cisalhamento e a inércia rotatória, ou
seja, utilizando a aproximação de placas espessas, observa-se uma queda no valor
da carga de flambagem dinâmica em relação à carga estática de placa fina. Isto é
ilustrado no gráfico abaixo, e ocorre devido à carga dinâmica envolver também o
segundo modo de vibração que é mais afetado pelas deformações de cisalhamento
(Figura 5.42).
Figura 5.42: Modo de vibração resultante da coalescência pelo flutter.
A redução desse fator (quando h/a atinge o valor 0,1) é de 8,20 para cerca de
7,31. Este comportamento é semelhante ao observado por SUANNO e ROSAS E
SILVA (2009) para colunas, em que a razão Pcr(dinâmico)/Pcr(estático) é constante
e igual a 8,125 para a teoria de vigas esbeltas e ao de SALAS (2015) para placas
circulares e anulares. A pequena redução aqui observada, no caso de placas finas,
parece ser devida aos cálculos terem levado em consideração a inércia rotatória no
caso de placas finas, também notada em SALAS (2015).
Figura 5.43: Variação da carga de flutter com relação da variação da espessura da placa.
7,00
7,30
7,60
7,90
8,20
8,50
0,02 0,04 0,06 0,08 0,1
Ccr Placa Espessa Ccr Placa Fina
Pro
po
rção
entr
e D
inâm
ico
e E
stát
ico
.
h/a
CARGA CRÍTICA DE FLUTTER
77
Um fato importante a salientar é o da influência da distribuição da carga
aplicada na borda do elemento, mantendo-se tangente à superfície média durante a
flambagem. Quando o problema foi simulado com 16 nós de interpolação foi
utilizada uma distribuição nodal equivalente, considerada como efeito de
membrana. Notou-se com mais nós que a distribuição do carregamento no caso
mostrado tem influência direta na determinação da carga crítica dinâmica. Nesse
caso, como o segundo modo de vibração é o mais associado ao modo de vibração
crítico e é um modo de torção, à medida que se aumenta a distribuição da carga
aplicada para a extremidade do elemento, nós das quinas, a carga critica dinâmica
diminuí.
5.2.5 Carga dependente do deslocamento
Para o cálculo da carga crítica dependente do deslocamento sob carga
uniforme distribuída paralela à sua superfície, da placa engastada em todos os
bordos, o que caracteriza um problema não conservativo, também utilizou-se para
a interpolação do contorno 12 nós e 8 funções adicionais com polinômios de
Legendre. Diferente da aplicação anterior onde a componente da carga seguidora é
estabilizadora, nesse caso parece ser desestabilizadora, sendo assim instável por
divergância e não por flutter. Como mostrado no Capitulo 4, há sistemas onde
as forças externas atuantes no sistema são de características não conservativas,
porém, dependendo das condições de contorno um outro funcional específico sem
ser o da energia, apresenta características conservativas. Estes sistemas
constituem uma classe excepcional dos sistemas não conservativos, os quais
mecanicamente comportam-se como os conservativos. Esse tipo de fenômeno
foi descrito na literatura, como por exemplo, NAUDASCHER e ROCKWELL
(1994).
No entanto, considerando um caso onde a carga é puramente dependente
do deslocamento, ou seja, sem a influência da matriz de rigidez geométrica,
apenas da matriz de carga, a perda da estabilidade pode ocorrer somente na forma
de Flutter. Considerando isso, foram observados os pontos de coalescência das duas
primeiras frequências.
78
Figura 5.44: Coalescência das duas primeiras frequências da placa espessa.
Figura 5.45: Modo de vibração resultante da coalescência.
0
200
400
600
800
1000
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
1º Frequência (5 cm)
2º Frequência (5 cm)
1º Frequência (10 cm)
2º Frequência (10 cm)
1º Frequência (15 cm)
2º Frequência (15 cm)
1º Frequência (20 cm)
2º Frequência (20 cm)
Freq
uên
cias
(
)
Proporção em relação a carga crítica dinâmica
6 Considerações Finais
6.1 Conclusões
Neste trabalho desenvolveu-se um tratamento numérico para problemas
estáticos, de vibrações e de flambagem estática e dinâmica de placas espessas. As
funções utilizadas para aproximação através do método de Rayleigh-Ritz têm como
característica especial a combinação de funções básicas nodais, que se encarregam
de atender às condições de contorno, com funções adicionais que são usadas para
enriquecer o campo de deslocamentos (polinômios) de forma simples sem afetar as
condições de contorno. Foram considerados termos de energia de placas espessas
(teoria de Reissner-Mindlin) e feitas comparações com a literatura e modelos
computacionais.
Em geral os resultados para a análise de vibrações livres e flambagem da placa
mostraram que o procedimento aqui implementado é bastante eficiente em prover
uma descrição de forma rápida e simples, com boa concordância com os resultados
do modelo comparativo e analíticos, quando disponíveis para comparação.
Com relação às funções adicionais, um fato importante a ser descrito diz
respeito à quantidade de funções inseridas no programa. Intuitivamente, quanto
maior for o número de funções incluídas mais convergentes serão os resultados
obtidos. Entretanto, como não foi tomado nenhum cuidado para ortogonalizar as
funções envolvidas, não foi possível usar um grande número de funções adicionais,
devido ao surgimento de erros numéricos. Além disso, o fato de as matrizes serem
cheias torna o processamento progressivamente mais lento, e impede na prática o
uso de grande número de funções adicionais.
No caso de vibrações livres, foi também possível validar o procedimento aqui
desenvolvido e mostrando sua conveniência de aplicação. Os resultados aqui
apresentados mostram o efeito do aumento da relação espessura/comprimento nas
frequências, em associação com a inclusão de deformações de cisalhamento e
inércia rotacional no modelo.
80
A análise de flambagem estática, sob carga axial constante, da placa espessa
com duas diferentes condições de contorno para placas, mostrou resultados muito
aproximados aos valores de referência.
O problema de flambagem dinâmica (flutter) sob ação de carga constante ao
longo da borda externa e mantendo-se tangente à superfície média durante a
flambagem foi abordado com alguns resultados que tem concordância com a
literatura. Foi apresentada a variação da relação entre a carga crítica estática e a
carga crítica dinâmica (para carga seguidora), em função da relação
espessura/comprimento. Isto é explicado pela coalescência de dois modos de
vibração no caso dinâmico, diferentemente afetados pela deformação de
cisalhamento e pela inércia rotatória. Especificamente no caso da placa engastada
em uma extremidade pode-se notar que a distribuição do carregamento no caso
mostrado tem influência direta na determinação da carga crítica dinâmica. Este
resultado é particularmente interessante, estando possivelmente associado aos
modos de vibração desse exemplo, que envolvem torção e flexão. Esta questão
deverá ser estudada posteriormente.
No caso da carga dependente do deslocamento, permanecendo tangente à
superfície da placa, encontrou-se que sua perda de instabilidade se dá por
divergência. No entanto, considerando um caso hipotético de dependência
exclusiva da matriz de carga, encontrou-se uma carga critica dinâmica.
A programação elaborada, tem várias opções mas nem todas foram testadas,
por exemplo, espessura variável, comportamento em base elástica, massa
consistente e outras formas e combinações de cargas. Este programa permite
analisar de forma adaptada, por exemplo, efeitos de vento (como carregamento não
conservativo) em edifícios, cascos de navios sob pressões oriundas do empuxo da
água, efeitos do vento em tabuleiros de pontes e outros problemas.
Para isso, algumas adaptações e implementações tornam-se necessárias, em
termos de uma primeira otimização, citando entre elas possivelmente a substituição
do método de integração numérica.
De maneira geral, tentou-se criar um modelo, do qual podem-se originar
vários outros trabalhos na área não conservativa. Estes futuros trabalhos ou
pesquisas devem envolver otimizações das formulações atuais, principalmente em
se tratando do Programa elaborado que a princípio pode ser aprimorado e
posteriormente introduzidas novas rotinas.
81
Espera-se que haja um interesse dos atuais e novos pesquisadores com relação
a este tema de grande aplicação nos mais variados ramos da Engenharia, tendo-se
ainda em conta que, se o carregamento é não conservativo, adotá-lo como
conservativo é uma simplificação que pode conduzir a soluções inseguras ou não
econômicas.
6.2 Sugestões para trabalhos futuros
A seguir apresentam-se algumas sugestões para a continuidade desta
pesquisa:
Aplicar o estudo a diferentes condições de contorno nos os bordos em
diferentes porções do contorno ou na superfície interior da placa.
Estudar o efeito da distribuição da carga na obtenção da carga crítica
dinâmica.
Considerar o efeito da placa com um material compósito ou com
gradação das propriedades.
Ampliar o estudo a problemas com não linearidade geométrica e de
materiais.
Considerar o efeito de amortecimento na análise dinâmica.
Estender a aplicação da análise dinâmica, para uma análise não linear.
Ampliar o estudo para cascas, placas sanduíches, vigas-parede.
Mais estudos sobre estratégias e comparações entre usar elementos
finitos enriquecidos com funções internas (matrizes cheias) ou
elementos simples com uma malha mais refinada (matrizes em banda)
Aplicação deste procedimento a problemas de anteprojeto e avaliação
de projetos de estruturas em que placas são importantes.
7
Referências bibliográficas
AMABILI, M. Nonlinear vibration of rectangular plates with different boundary conditions: theory and experiments. Computers and Structures, v. 82, p. 2587-2605, 2004. BATHE, K.-J. Finite Element Procedure. United Estates of America: Prentice Hall, 1996. BASSILY, S.F., DICKINSON, S.M. Buckling and lateral vibration of rectangular plates subject to inplane loads – A Ritz aproach. Journal of Sound Vibration, v. 24, p. 219-239, 1972. BAZANT, Z. P.; CEDOLIN, L. Stability of Structures. New Jersey: Word Scientific, 2010. BOLOTIN, V.V. Nonconservative Problems of the Theory of Elastic Stability. Pergamon Press, New York, 1963. BRUSH, D. O., ALMROTH, B. O. Buckling of bars, plates and shells. United State of America: McGraw-Hill, 1975. CARNEIRO PINHO E ALVES DA SILVA. Dinâmica não-linear de placas retangulares. 15 p. Iniciação cientifica. Universidade Federal de Goiás, Goiás, 2011. CHAKRAVERTY, S. Vibration of Plates. New York: Taylor & Francis Group, 2009. COOK, R. D. et al. Concepts And Applications of Finite Element Analysis. Fourth. ed. United State: John Wiley & Sons, 2002. DICKINSON, S.M. Lateral vibration of rectangular plates subject to in-plane forces. Journal of Sound Vibration, v. 31, p. 257-293, 1973. DINIS, L.M.J.S. Apontamentos de Placas e Cascas, Secção de Mecânica Aplicada, Faculdade de Engenharia universidade do Porto, Porto, 2004. HERMANN, G. e BUNBAY, R.W., (1964). On the Stabi l i ty of Elastic SisteMs Subjected to Nonconservative Forces. Journal Applied Mech., vol. 31, pp 435-440.
83
ILANKO, S. Vibration and post-buckling of in-plane loaded rectangular plates using a multiterm Galerkin’s method. Journal of Applied Mechanics – ASME, v. 69, p. 589-592, 2002. INMAN, D. J. Engineering Vibrations. Fourth. ed. United Estate of America: Pearson, 2012. JAREK, A. Elementos finitos Enriquecidos para Flambagem e Vibração de Placas. Rio de Janeiro, 2007, 97 p. Dissertação (Mestrado em Estruturas) – Departamento de Engenharia Civil, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, 2007. JUNG, M. P. Análise não linear de estruturas sob à ação de carregamentos não conservativos pelo método dos elementos finitos. 207 p. Tese de Doutorado, Universidade Federal do Rio de Janeiro, UFRJ, Rio de Janeiro, 1991. LEIPHOLZ, H. Stability Theory .Academic Press, New York. 1970. LEISSA, A. W. Vibration of Plates. Washinton, D.C.: Office of Technology Utilization National Aeronautics and Space Administration, 1969. MACHADO, F. J. D. Análise e controle passivo das vibrações de placas retangulares. Rio de Janeiro, 2007, 97 p. Dissertação (Mestrado em Estruturas) – Departamento de Engenharia Civil, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, 2007. NAUDASCHER. E.; ROCKWELL. D. Flow-Induced Vibrations: An Engineering Guide. First. ed. Rotterdam, Netherlands: Balkema, 1994. NIKOLAI, E.L. Über der Einflub der Torsion auf die Stabilitãt Rotierender Wellen . Proc. of. the 3rd Congr. ApPI Mech., Stockholm, 1930. REDDY, J. N. Mechanics of Lamineted Composite Plates and Shells Theory and Analysis. Second. ed. Washington D. C.: CRC Press LLC, 2004. REDDY, J. N. Theory and Analysis of Elastic Plates and Shells. Second. ed. United States of America: CRC Press, 2007. SAHA, K. N., MISRA, D., GHOSAL, S., POHIT, G. Nonlinear free vibration analysis of square plates with various boundary conditions. Journal of Sound and Vibration, v 287, p. 1031–1044, 2005. SALAS, J. L. S. Modelo para Instabilidade e vibrações de placas circulares. 114 p. Dissertação (Mestrado em Estruturas) – Departamento de Engenharia Civil, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, 2015. SUANO, R. L. M. Análise da Estabilidade de Estruturas Submetidas a Cargas Não Conservativas. Dissertação (Mestrado em Estruturas) – Departamento de Engenharia Civil, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, 1988.
84
SUANNO, R. L. M; ROSAS E SILVA, R. Influence of Mass Distribution, Shear Deformation, and Rotary Inertia on Flutter Loads. The American Society of Mechanical Enginners, v. 42, p. 249-252, 2009. TIMOSHENKO, S. P.; GERE, J. M. Theory of Elastic Stability. Second. ed. New York: Mc-Graw-Hill, 1963. TIMOSHENKO, S. P.; WOINOWSKY-KRIEGER, S. Theory of Plates and Shells. Second. ed. New York: McGraw-Hill, 1959. TIMOSHENKO, S.; GOODIER, J. N. Theory of Elasticity. New York: McGraw-Hill, 1934. VENTSEL, E.; KRAUTHAMMER, T. Thin Plates and Shells. New York: Marcel Dekker, 2001. WEAVER, JR, W.; TIMOSHENKO, S. P.; YOUNG, D. H. Vibration Problems in Engineering. Fifth. ed. United Stated of America: John Wiley & Sons, 1990. YOUNG, W. C. Roark's formulas for Stress & Strain. Sixth. ed. Singapore: McGraw-Hill, 1989. ZIENKIEWICZ, O. C.; TAYLOR, R. L. O Método dos Elementos Finitos. Cuarta. ed. Madrid: McGraw-Hill, v. 1, 1994.
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