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Raisonnement spatial
Stéphane Donikian
Raisonnement spatialPage 2
Plan
• Introduction• Définitions• Modèles méréo-topologiques• Relations topologiques sur des régions
complexes• Relations spatiales directionnelles• L’algèbre des n-pavés• Concepts spatiaux dans la langue naturelle
Raisonnement spatialPage 3
Raisonnement spatial : pour quoi faire ?
• Représentation totale de l’espace :– Systèmes d’Information Géographique (SIG)– CAO (architecture, aménagement spatial,
circuits imprimés, …)
• Représentation partielle et subjective :– traitement du langage naturel– vision artificielle
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Raisonnement spatialPage 4
Connaissance qualitative
• Connaissance pertinente essentielle à un agent pour réaliser une tâche.
• Il faut trouver de bons modèles formels :– pour la manipulation d’informations spatiales
qualitatives, – plus facilement manipulables que les données
quantitatives dont elles sont extraites.
Raisonnement spatialPage 5
Raisonnement Spatial Qualitatif
• Raisonner sur les notions de l’espace
• sans utiliser :– de représentation – ou de méthode de raisonnement
faisant appel à une description numérique ou quantitative.
Raisonnement spatialPage 6
Les avantages du Qualitatif
• Réduction de la complexité :– l’utilisation de données numériques peut amener à
faire plus de distinctions que nécessaire et peut entraîner un coût plus important en calcul.
• Meilleure précision :– évite les problèmes de discrétisation et de perte
d’information qualitative (comme l’égalité)
3
Raisonnement spatialPage 7
Les avantages du Qualitatif
• Meilleure gestion des informations partielles :– en numérique, il faut travailler sur des ensembles
de valeurs possibles, ce qui complexifie les calculs.
• Un nombre de distinction adapté à la tâche visée
• Comparaison aisée entre valeurs inconnues
Raisonnement spatialPage 8
Caractéristiques de l’espace
• Plusieurs catégories :
– Topologie
– Inclusion
– Orientation
– Distance
– Forme
Raisonnement spatialPage 9
Raisonnement Spatial Qualitatif
• Domaine de recherche très actif en ce moment– Conférences biannuelles :
• Conference on Spatial Information Theory (COSIT), publiée dans la série Lecture Notes in Computer Science de Springer-Verlag
• Spatial Cognition, publiée dans la série Lecture Notes in Artificial Intelligence, sous-série des LNCS de Springer-Verlag
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Raisonnement spatialPage 10
COSIT• COSIT '0 (1992). Theories and Methods of spatio-temporal reasoning in geographic space (LNCS 639), Springer-Verlag. • COSIT '93 (1993). Spatial information theory: A theoretical basisfor GIS (LNCS 716), Springer-Verlag. • COSIT '95 (1995). Spatial information theory: A theoretical basisfor GIS (LNCS 988), Springer-Verlag. • COSIT '97 (1997). Spatial information theory: A theoretical basisfor GIS (LNCS 1329), Springer-Verlag. • COSIT '99 (1999). Spatial information theory: Cognitive andcomputational foundations of geographic information science (LNCS 1661), Springer-Verlag. • COSIT ’01 (2001). Spatial information theory: Foundations of Geographic Information Science (LNCS 2205), Springer-Verlag.
Raisonnement spatialPage 11
Spatial Cognition
• Freksa, C., Habel, C., & Wender, K.F. (Eds.) (1998). Spatial Cognition - An Interdisciplinary Approach toRepresenting and Processing Spatial Knowledge, LNAI 1404, Springer-Verlag
• Freksa, C., Habel, C., & Wender, K.F. (Eds.) (2000). Spatial Cognition II - Integrating Abstract Theories, Empirical Studies, Formal Methods, and PracticalApplications, LNAI 1849, Springer-Verlag
Raisonnement spatialPage 12
Définitions
• Ontologie :– Bases de données dont l’objectif est de capturer
l’ensemble des concepts humains sous forme :• d’un ensemble d’objets conceptuels;• de relations entre ces objets.
– Modélisation par des relations plutôt que par des grandeurs mesurables.
• Problème central : choix des entités primitives
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Raisonnement spatialPage 13
Définitions
• Méréologie : – relation de partie à tout entre deux régions.
• Topologie :– relations de contact et de connexité entre
régions
Raisonnement spatialPage 14
Quelques modèles méréotopologiques
• Théories méréologiques
• Théories topologiques
• Théories méréotopologiques
• RCC
Raisonnement spatialPage 15
Théorie méréologique de base
• La relation primitive la plus souvent choisie est la relation P de partie à tout– C’est en fait une relation de pré-ordre
• Théorie M définie par les axiomes suivants : P(x,x); (P1)
P(x,y) ∧ P(y,x) → x = y; (P2)
P(x,y) ∧ P(y,z) → P(x,z); (P3)
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Raisonnement spatialPage 16
Autres notions définies sur cette base
• Partie propre de (Proper Part) : PP(x,y) =df P(x,y) ∧ ¬ P(y,x)
• Recouvrement (Overlap) : O(x,y) =df ∃z (P(z,x) ∧ P(z,y))
Raisonnement spatialPage 17
Autres notions définies sur cette base
• Partiellement hors de (Over-Crossing) : OX(x,y) =df O(x,y) ∧ ¬ P(x,y) – Il existe une partie de x hors de y.
• Recouvrement partiel (Partial Overlap) : PO(x,y) =df OX(x,y) ∧ OX(y,x) OU PO(x,y) =df O(x,y) ∧ ¬ P(y,x) ∧ ¬ P(x,y)– Il existe une partie de x hors de y et une partie
de y hors de x.
Raisonnement spatialPage 18
Autres notions définies sur cette base
• Sous-couvrement (Underlap) : U(x,y) =df ∃z (P(x,z) ∧ P(y,z))
• Under Crossing : UX(x,y) =df U(x,y) ∧ ¬ P(y,x)
• Sous-couvrement partiel (Partial Underlap) : PU(x,y) =df UX(x,y) ∧ UX(y,x)
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Raisonnement spatialPage 19
Les quatre types de configuration
Raisonnement spatialPage 20
Définitions alternatives
• En prenant O comme primitive : P(x,y) =df ∀ z(O(x,z) → O(z,y))
• En prenant PP comme primitive : P(x,y) =df PP(x,y) ∨ (x = y)
Raisonnement spatialPage 21
Méréologie étendue (EM)
• Extension de la théorie M en ajoutant l’axiome de complémentarité : ¬ P(x,y) → ∃z (P(z,x) ∧ ¬ O(z,y)) ; (P4)
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Raisonnement spatialPage 22
Méréologie (étendue) fermée C(E)M
• Extension de (E)M en ajoutant les axiomes suivants : U(x,y) → ∃z ∀w(O(w,z) ↔ (O(w,x)∨O(w,y))); (P5)
O(x,y) → ∃z ∀w(P(w,z) ↔ (P(w,x) ∧P(w,y))); (P6)
∃z (P(z,x) ∧ ¬ O(z,y)) → ∃z ∀w(P(w,z) ↔ (P(w,x) ∧ ¬ O(w,y))); (P7)
Raisonnement spatialPage 23
Opérations sur CEM
• Soit ι un opérateur de description.• P5 correspond à la somme :
x+y =df ι z ∀w(O(w,z) ↔ (O(w,x)∨O(w,y)))• P6 correspond au produit :
x.y = df ι z ∀w(P(w,z) ↔ (P(w,x) ∧P(w,y))) P7 correspond à la différence :
x-y = df ι z ∀w(P(w,z) ↔ (P(w,x) ∧ ¬ O(w,y)))
Raisonnement spatialPage 24
Réécriture de P5-P7
U(x,y) → ∃z (z = x + y) (P5’)
O(x,y) → ∃z (z = x . y) (P6’)
∃z (P(z,x) ∧ ¬ O(z,y)) → ∃z (z = x - y) (P7’)
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Raisonnement spatialPage 25
Existence d’un univers borné
∃z ∀x(P(x,z))
• Le symbole représentant l’univers est noté U : U=df ι z ∀x(P(x,z))
• Définition du complément : ~x =df ι (U - x)
Raisonnement spatialPage 26
Quasi-inexistence de l’élément nul
• Peu de théories méréologiques définissent un élément nul tel que :
∃z ∀x(P(z,x))
• Pour cette raison le produit ou la différence ne sont pas toujours garanties et le complément de l’univers U n’est pas défini.
Raisonnement spatialPage 27
Méréologie Générale (étendue) G(E)M
• G(E)M est une théorie extension de (E)M grâce à l’ajout de l’axiome de fusion : ∃x φ → ∃z ∀y (O(y,z) ↔ ∃x (φ ∧ O(y,x))) (P8)
• Cet axiome introduit un z constitué de toutes les entités qui vérifient une propriété φvérifiée par au moins une entité.
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Raisonnement spatialPage 28
Somme et produit généralisés
• G(E)M est en fait une extension de C(E)M car (P5)-(P7) dérive de (P8).
• Somme généralisée : σ x φ =df ι z ∀y (O(y,z) ↔ ∃x (φ ∧ O(y,x))) La somme de deux entités est la fusion de leurs
parties.• Produit généralisé :
π x φ =df σ z ∀x (φ → P(z,x))
Raisonnement spatialPage 29
Réécriture des opérateurs dans GEM
x+y = σ z (P(z,x) ∨ P(z,y))
x.y = σ z (P(z,x) ∧ P(z,y))
x-y = σ z (P(z,x) ∧ ¬ O(z,y)))
U= σ z (P(z,z))
~x = σ z (¬ O(z,x))
Raisonnement spatialPage 30
Variante atomique
• AX est l’extension atomique de la théorie méréologique X obtenue en ajoutant l’axiome suivant :
∀x ∃y (P(y,x) ∧ ¬ (∃z PP(z,y)))
Il existe des éléments indivisibles (atomes) qui seront les constituants de base de la modélisation.
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Raisonnement spatialPage 31
Variante sans atomes
• ÃX est l’extension « non-atomique » de la théorie méréologique X obtenue en ajoutant l’axiome suivant :
∀x ∃y PP(y,x) (P10)
Il n’existe pas d’éléments indivisibles. Tout objet peut être décomposé en parties plus fines.
Raisonnement spatialPage 32
Atomicité vs division infinie
• Discussion détaillée sur les notions :– d’atomicité– de divisibilité – et de densité
• dans :– C. Masolo, L. Vieu. Atomicity vs. Infinite
Divisibility of Space. COSIT99, LNCS 1661, Springer-Verlag
Raisonnement spatialPage 33
Bilan des théories
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Raisonnement spatialPage 34
Le besoin de topologie
• La méréologie est une théorie générale qui sert à modéliser des propriétés abstraites sur des entités de même niveau ontologique.
• C’est par l’ajout de notions topologiques que l’on peut commencer à parler de théories spatiales.
Raisonnement spatialPage 35
La topologie mathématique
• Structure de la forme τ = (E, T) dans laquelle T est un ensemble de sous-ensembles de E, appelés les ouverts de la topologie τ.
• Ces sous-ensembles vérifient les propriétés suivantes :– l’intersection de deux ouverts est un ouvert ;– l’union quelconque d’ouverts est un ouvert ;– E ∈ τ et ∅ ∈ τ
Raisonnement spatialPage 36
Connexité d’une région
• Dans la théorie classique, une région R est dite connexe lorsqu’il n’existe pas deux ouverts disjoints O1 et O2 tels que :
R = O1 ∪ O2
• Par rapport à la méréologie, la topologie manipule des entités faites d’un seul morceau
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Raisonnement spatialPage 37
Théorie topologique de base
• Soit C le prédicat de connexion.
• T est la théorie topologique définie par les axiomes suivants : C(x,x); (C1)
C(x,y) → C(y,x); (C2)
P(x,y) → ∀z (C(z,x) → C(z,y)); (C3)
Raisonnement spatialPage 38
Théorie alternative
• Une solution alternative est de n’avoir que C comme primitive en remplaçant (C3) par :
∀z ((C(z,x) ↔ C(z,y)) → x = y); (C3’)
Raisonnement spatialPage 39
Autres relations
• Connexion externe : EC(x,y)=df (C(x,y) ∧ ¬ O(x,y))
• Partie tangentielle : TP(x,y)=df P(x,y) ∧ ∃z (EC(z,x) ∧ EC(z,y))
• Partie interne ou non tangentielle : IP(x,y)=df NTP(x,y)=df P(x,y) ∧ ¬ TP(x,y))
x y
y x z x y
y x
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Raisonnement spatialPage 40
Raisonnement spatialPage 41
Les sept formes de base
Raisonnement spatialPage 42
Relations complémentaires
• Fermeture : E(x,y)=df ∀z (C(z,x) → C(z,y));
• Fermeture interne : IE(x,y)=df ∃z (IP(z,y) ∧ E(x,z));
• Fermeture tangentielle : TE(x,y)=df ∃z (TP(z,y) ∧ E(x,z));
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Raisonnement spatialPage 43
Relations complémentaires
• Superposition : S(x,y)=df ∃z (E(z,x) ∧ (E(z,y));
• SuperCrossing : SX(x,y)=df (S(x,y) ∧ ¬ E(x,y));
• Superposition propre : PS(x,y)=df SX(x,y) ∧ SX(y,x);
• Coïncidence : I(x,y)=df E(x,y) ∧ E(y,x);
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Relations de disjonction
• Soit n’importe laquelle des relations (E, IE, TE, S, SX, PS, I) on définit D comme :
D (x,y)=df (x,y) ∧ ¬ S(x,y);
Raisonnement spatialPage 45
Frontière
• La frontière (Boundary Part) peut être définie comme une partie tangentielle n’incluant pas de partie intérieure :
BP(x,y)=df (TP(x,y) ∧ ¬ ∃z (P(z,x) ∧ (IP(z,y)));
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Raisonnement spatialPage 46
Combiner Méréologie et topologie
• Il existe différentes stratégies de combinaison :1 Utiliser la méréologie comme théorie de base et
l’enrichir à l’aide entre autre de notions topologiques
2 La méréologie est vue comme une sous-théorie de la topologie et les notions méréologiques sont décrites en terme de primitives topologiques.
3 La topologie est vue comme une sous-théorie de la méréologie et les notions topologiques sont décrites en terme de primitives méréologiques.
Raisonnement spatialPage 47
Théorie Méréotopologique MT
• La théorie MT est définie conjointement par les axiomes de M (P1)-(P3) et par les axiomes de T (C1)-(C3).
– Méréo-topologie de Casati et Varzi [CAS94]• Cet ensemble d’axiomes est redondant et les
axiomes C2 et C3 peuvent être remplacés par :
P(x,y) → ∀z (C(x,z) → C(z,y));
Raisonnement spatialPage 48
Théories méréotopologiques XT
• Soit X n’importe laquelle des théories méréologiques précédemment décrites. La théorie méréo-topologique XT induite par X consiste en l’extension de X obtenue par l’ajout des axiomes de T.
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Raisonnement spatialPage 49
GEMT
• Définition d’opérateurs topologiques en plus des opérateurs méréologiques :
– Intérieur : i(x) =df σz IP(z,x)– Extérieur : e(x)=df i(~x)– Fermeture : c(x)=df ~e(x)– Frontière : b(x)=df ~(i(x) + e(x))
Raisonnement spatialPage 50
Connexité d’une région
• La propriété SC définie ci-dessous, est vraie pour tout objet x pour lequel il existe un chemin continu pour aller d’une partie de lui-même à toute autre partie sans quitter x.
SC(x)=df ∀y ∀z (x=y+z → C(y,z))
Raisonnement spatialPage 51
Connexion externe
• La relation SSC définie ci-dessous définit la notion de connexion externe :
SSC(x)=df SC(x) ∧ SC(i(x))
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Raisonnement spatialPage 52
Définitions supplémentaires
• Ouvert : Op(x)=df (x=i(x))
• Fermé : Cl(x)=df (x=c(x))
Raisonnement spatialPage 53
GEMTC
• GEMTC (General Extensional Mereotopology with Closure conditions) est l’extension de GEMT obtenue en ajoutant les axiomes suivants: Cl(x) ∧ Cl(y) → Cl(x + y) (C4) ∀x(φ → Cl(x)) → (z = πxφ → Cl(z)) (C5)
• Soit :– la somme finie de fermés est un fermé.– L’intersection de deux fermés est un fermé (si elle
existe).
Raisonnement spatialPage 54
GEMTC
• ou de manière équivalente : Op(x) ∧ Op(y) → (z=x .y → Op(z)) (C4’) ∀x(φ → Op(x)) → Op(σxφ) (C5’)
• Soit :– l’intersection (si elle existe) de deux ouverts est
un ouvert.– la fusion de deux ouverts est un ouvert.
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Raisonnement spatialPage 55
Axiomes de Kuratowski
– P(x,c(x))– c(c(x))=c(x)– c(x+y) = c(x) + c(y)– P(i(x),x)– i(i(x))=i(x)– i(x.y)=i(x).i(y)– b(x)=b(~x)– b(b(x))=b(x)– b(x.y)+b(x+y))=b(x)+b(y)
Raisonnement spatialPage 56
BX
• Soit X une théorie méréotopologiquequelconque. La variante sans frontière de X est l’extension de AX obtenue en remplaçant (P10) par l’axiome suivant :
∀x ∃y IPP(y,x) (C6)
avec : IPP(x,y)=df IP(x,y) ∧ PP(x,y)
Raisonnement spatialPage 57
Problèmes
• X ne doit pas être atomique• BX ne peut avoir que des modèles infinis.• X doit être plus faible que GEMTC sous peine
d’incohérence.• Le problème principal réside dans la gestion
des frontières.
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Raisonnement spatialPage 58
Frontière
• Définition de la relation de frontière (Boundary) :
B(x,y) → ∃z ∃w (BP(x,z) ∧ IP(w,z))
B étant défini par :
B(x,y)=df P(x,b(y))
Raisonnement spatialPage 59
Bilan de la première stratégie
Raisonnement spatialPage 60
Deuxième stratégie
• Topologie comme base pour la méréologie.• SMT (Strong Mereotopology) est la théorie
extension de MT obtenue en ajoutant l’axiome suivant :
∀z((C(z,x) → C(z,y)) → P(x,y)) (C7)
• SMT peut être simplifiée car (P1) et (P3) peuvent être dérivées des autres axiomes.
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Raisonnement spatialPage 61
SMT
• SMT est ainsi définie par (C1), (C2) et (P2’), l’axiome suivant :
∀z((C(z,x) ↔ C(z,y)) → x=y) (P2’)
• qui correspond à (P2) avec P défini comme suit :
P(x,y)=df ∀z((C(z,x) → C(z,y))
Raisonnement spatialPage 62
Simplification
• Réduction du nombre de primitives :– P et C peuvent être définis par une relation
ternaire unique CP(x,y,z) qui signifie :– x et y sont des parties connectées de z
• Réécriture de P et C : P(x,y) =df ∃z (CP(x,z,y) C(x,y) =df ∃z (CP(x,y,z)
Raisonnement spatialPage 63
Définitions
• Soit X une théorie méréologique. La théorie méréologique forte SXT induite par X est l’extension de XT obtenue en ajoutant l’axiome C7.
• La théorie correspondante avec condition de fermeture SXTC est obtenue en ajoutant les axiomes de fermeture (C4) et (C5) ou de manière équivalente (C4’) et (C5’).
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Raisonnement spatialPage 64
Définitions
• La théorie sans frontière BSXTC est obtenue en ajoutant l’axiome (C6) ou en le substituant par (P9) ou (P10) si l’un d’eux fait partie de X.
Raisonnement spatialPage 65
De la place des frontières
• Modification de la sémantique des opérateurs + et - en remplaçant O par C :
x +’ y=df ι z ∀w (C(w,z) ↔ (C(w,x) ∨ C(w,y)))
x -’ y=df ι z ∀w (P(w,z) ↔ (P(w,x) ∧ ¬ C(w,y)))
Raisonnement spatialPage 66
Analyse
• Si x est fermé, alors : i(x) + e(x) = U - b(x)
tandis que i(x) +’ e(x) = U
• De la même manière : U - x = ~x
tandis que U -’ x = ~x - b(x)
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Raisonnement spatialPage 67
Redéfinition de l’opérateur de fusion
σ’x φ =df ι z ∀y (C(y,z) ↔ ∃x (φ ∧ C(y,x)))
Les opérateurs i,e,c,b peuvent être ainsi redéfinis.
On note X’ la théorie qui utilise ces nouveaux opérateurs.
Raisonnement spatialPage 68
Conséquences
• Dans la théorie SGMT’, on obtient les axiomes suivant :
¬ C(x,~x)
¬ SC(U)
Raisonnement spatialPage 69
BSCMTW’
• La théorie BSCMTW’ est obtenue en ajoutant les axiomes suivants à BSCMT’ : ∃x ∀z C(z,x) existence de l’univers ∃y ∀z (C(z,y) ↔ ∃w (IP(w,x) ∧ C(w,z))) c(U) = U ∃x ∃y EC(x,y) ∃y (y = n(x)) ∃x ∃y WC(x,y)
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Raisonnement spatialPage 70
Voisinage et connexion faible
• n est l’opérateur de voisinage : n(x) =df ι y (P(x,y) ∧ Op(y) ∧
∀z ((P(x,z) ∧ Op(z)) → P(y,z))) plus petit ouvert contenant x
• WC définit la relation de connexion faible : WC(x,y) =df ¬ C(x,y) ∧ C(x,c(n(y))) connection avec la clôture du voisinage
Raisonnement spatialPage 71
BSCMTW’
• D’après Asher et Vieu, BSCMTW’ est sémantiquement cohérente et complète.
• Cette théorie est utilisée pour des applications en sémantique de la langue naturelle.
Raisonnement spatialPage 72
RCC
• RCC est une version de BSCMT’, avec une interprétation faible de la connexion :
Les fermetures topologiques des régions x et y partagent un point commun.
• La définition de SC est transformée en : SC(x)=df ∀y ∀z (x=y+z → C(c(y),c(z)))
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Raisonnement spatialPage 73
RCC• L’opérateur ~ (complémentaire) défini dans les
théories de type (B)SXT(C)’, par : ~x=df ι y ∀z(C(z,y) ↔ ¬ P(z,x))
devient : ~x=df ι y ∀z((C(z,y) ↔ ¬ IPP(z,x)) ∧
(O(z,y) ↔ ¬ P(z,x)))
• Ce qui permet de garantir que toute région non universelle soit connectée avec son propre complément : C(x,~x)
Raisonnement spatialPage 74
RCC
• RCC est une extension de EM.
• Dans RCC, la distinction entre ouvert et fermé s’effondre.
• En effet : ∀z(O(z,x) ↔ O(z,y)) → x = y
Raisonnement spatialPage 75
Bilan de la deuxième stratégie
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Raisonnement spatialPage 76
Troisième stratégie
• Soit X une théorie méréologique. La théorie Méréotopologique RBX fondée sur des régions minimales est une extension de X obtenue en ajoutant les axiomes suivants pour le prédicat Région R :
C(x,y) ↔ O(x,y) ∧ R(x) ∧ R(y) EC(x,y) ↔ C(x,y) ∧ ∀z((P(z,x) ∧ P(z,y)) → ¬ R(z))
Raisonnement spatialPage 77
Références bibliographiques
• Méréotopologie :– A.V. Varzi. Parts, wholes and part-whole
relations: the prospects of mereotopology. Dataand knowledge engineering, vol. 20, pp 259-286, 1996.
Raisonnement spatialPage 78
Différents modes de connexion
• C1(x,y) ↔ x ∩ y ≠ ∅• C2(x,y) ↔ (x ∩ c(y) ≠ ∅) ∨ (c(x) ∩ y ≠ ∅)• C3(x,y) ↔ c(x) ∩ c(y) ≠ ∅
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Raisonnement spatialPage 79
Quatre types de frontières
connexion minimale
connexion étendue
connexion maximale
connexion parfaite
Raisonnement spatialPage 80
Un cas extrême de connexion
Raisonnement spatialPage 81
Référence bibliographique
• Pour plus de détails, consulter l’article suivant :
– A.G. Cohn et A.C. Varzi. Modes of Connection, COSIT99, LNCS 1661, Springer-Verlag
28
Raisonnement spatialPage 82
RCC-8
Raisonnement spatialPage 83
DC(x,y) =df ¬ C(x,y) P(x,y) =df ∀z(C(z,x) → C(z,y)) PP(x,y) =df P(x,y) ∧ ¬ P(y,x) x=y =df P(x,y) ∧ P(y,x) O(x,y) =df ∃z [P(z,x) ∧ P(z,y)] PO(x,y) =df O(x,y) ∧ ¬ P(x,y) ∧ ¬ P(y,x) DR(x,y) =df ¬ O(x,y) TPP(x,y) =df PP(x,y) ∧ ∃z [EC(z,x) ∧ EC(z,y)] EC(x,y) =df C(x,y) ∧ ¬ O(x,y) NTPP(x,y) =df PP(x,y) ∧ ¬ ∃z [EC(z,x) ∧ EC(z,y)]
RCC-8P-1(x,y) =df P(y,x)PP-1(x,y) =df PP(y,x)TPP-1(x,y) =df TPP(y,x)NTPP-1(x,y) =df NTPP(y,x)
Raisonnement spatialPage 84
Graphe de dépendance des relations
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Raisonnement spatialPage 85
Relation spatiale
• Relation spatiale : R(x,y) = ∨i=1
8 αi.ri(X,Y) avec ri l’une des huit relations de RCC8.
• Il y a donc 28 relations différentes possibles entre deux régions.
Raisonnement spatialPage 86
Configuration spatiale
• Une configuration spatiale est constituée d’un ensemble de relations spatiales.
• Définition des différentes opérations :
– Union : (R∪S)(X,Y) ↔ R(X,Y) ∨ S(X,Y)
– Intersection : (R∩S)(X,Y) ↔ R(X,Y) ∧ S(X,Y)
– Inverse : R-1(X,Y) ↔ R(Y,X)
– Composition : (R°S)(X,Y) ↔∃Z : R(X,Z) ∧ S(Z,Y)
Raisonnement spatialPage 87
Table de composition
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Raisonnement spatialPage 88
Fermeture
• Etant donné un ensemble U quelconque de relations de RCC8 ;
• La fermeture de U, notée Û, est obtenue en appliquant les opérations de composition, d’inversion et d’intersection à l’ensemble des relations de U.
Raisonnement spatialPage 89
Cohérence de la description
• Un ensemble Φ de relations spatiales est dit cohérent s’il est possible de trouver une réalisation de Φ.
• C’est à dire de trouver une instanciation de chaque variable spatiale à l’aide d’une région spatiale de telle manière que toutes les relations soient compatibles.
Raisonnement spatialPage 90
Exemple d’incohérence
• Soit l’ensemble :
Φ = {NTPP(X,Y),TPP(Y,Z),(TPP ∨ NTPP)(Z,X)}
• Φ est incohérent car :- NTPP(X,Y) ° TPP(Y,Z) donne NTTP(X,Z)
- l’intersection entre {NTTP-1} et {TPP, NTPP} est vide.
31
Raisonnement spatialPage 91
Transitions continues dans RCC-8
Raisonnement spatialPage 92
Décidabilité
• La définition de RCC en logique du premier ordre ne permet pas des procédures de décision efficaces.
• Il peut même être prouvé que RCC est indécidable.
• Pour pallier ce problème, certains auteurs ont proposé une description de RCC-8 en logique modale.
Raisonnement spatialPage 93
Codage en logique modale de RCC8
• Introduit en 1995 par Bennett. • Utilisation de l’opérateur I (Intérieur).
IX = intérieur de X
32
Raisonnement spatialPage 94
Codage en logique modale de RCC8
• Dans ce modèle, les contraintes du modèle doivent être vraies (c’est à dire égales à l’univers) tandis que les contraintes induites (entailment constraints) doivent être fausses.
X ∨ Y : union des régions
X ∧ Y : intersection des régions
¬ X : complément de la région
Raisonnement spatialPage 95
Second opérateur €
• Utilisé pour combiner les contraintes du modèle et les contraintes induites dans la même formule modale.
• €ϕ signifie :– la région spatiale ϕ est égale à l’univers
• et ¬ €ϕ signifie :– la région spatiale ϕ n’est pas égale à l’univers
Raisonnement spatialPage 96
m2
• Chaque formule spatiale R(X,Y) peut être ainsi transformée en une formule modale m1(R(X,Y)).
• Il faut aussi ajouter la formule m2 qui assure que seules des régions fermées seront utilisées.
m2(X) = €(X ↔ ¬ I ¬ IX) ∧ �(¬ X ↔ I ¬ X)
33
Raisonnement spatialPage 97
H8
• Soit H8 l’ensemble des formules spatiales qui peuvent être réécrites en formule de Horn (64 relations différentes).
• H8 = RCC8 \ (N1∪ N2 ∪ N3) (148 relations/256) N1 = {R / {PO} ⊄ R et ({TPP,TPP-1} ⊆ R ou
{NTPP,NTPP-1} ⊆ R) } N2 = {R / {PO} ⊄ R et ({TPP,NTPP-1} ⊆ R ou
{NTPP,TPP-1} ⊆ R) } N2 = {R / {EQ} ⊆ R et (({NTPP} ⊆ R, {TPP} ⊄ R )
ou ({NTPP-1} ⊆ R, {TPP} ⊄ R ))}
Raisonnement spatialPage 98
Théorème
• H8 est un sous-ensemble maximale traitable de RCC8 (la consistance peut être résolue par la méthode de la chemin-consistance).
• Les auteurs en ont découvert deux autres récemment avec respectivement 158 et 160 relations et ont montré que ce sont les trois seules ensembles maximaux possédant les huit relations de base.
Raisonnement spatialPage 99
Références Bibliographiques
• D.A. Randell, Z. Cui et A.G. Cohn. A spatial logic based on Regions and Connection. Proceedings of the 3rd International Conferenceon Principles of Knowledge Representation andReasoning, pp 165-176, Morgan Kaufmann, octobre 1992.
• J. Renz et B. Nebel. Spatial Reasoning with Topological Information. COSIT 1997, pp 351-371.
34
Raisonnement spatialPage 100
Couplage topologie et tailles
• Coupler :– des relations topologiques (RCC-8)– des relations de taille relative (QS)
Raisonnement spatialPage 101
Relations de tailles qualitatives
• Soit S ∈ QS (Qualitative Size)
• Soient x,y ∈ V (ensemble de régions)
• On peut définir la contrainte suivante :
– size(x) S size(y)
– avec S ∈ {<, >, ≤, ≠, =, ≥, <=>, ∅}
Raisonnement spatialPage 102
Interdépendance entre QS et RCC-8
• Les contraintes de QS peuvent être utilisées pour raffiner une description dans RCC-8
• On peut aussi détecter des incohérences entre les deux descriptions
35
Raisonnement spatialPage 103
Théorème• Soit Φ un ensemble de contraintes dans H8 et Σ
un ensemble de contraintes dans QS impliquant des objets de Φ. L’algorithme BIPATH-CONSISTENCY appliqué à Σ et Φ décide de la cohérence de Σ∪Φ.
• Cet algorithme (décrit dans l’article) est une version modifiée de l’algorithme de chemin-consistance de Vilain et Kautz opérant sur un graphe de paires de contraintes.
Raisonnement spatialPage 104
Référence Bibliographique
• A. Gerevini et J. Renz. Combining Topologicaland Qualitative Size Constraints for Spatial Reasoning. Dans les actes de Principles andPractice of Constraint Programming - CP98, Pise, Italie, octobre 1998, LNCS 1520, Springer-Verlag.
Raisonnement Spatial
Méréotopologie sur les espaces discrets
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Raisonnement spatialPage 106
Méréo-topologie sur les espaces discrets
• Théorie atomique• Une cellule est définie comme le constituant le
plus petit d’une région de l’espace.
– Les régions sont des agrégats de cellules.
– Une région nulle ne contient aucune cellule
– La région universelle contient toutes les cellules.
Raisonnement spatialPage 107
Espaces discrets
• Notations : – lettres minuscules : les cellules – lettres majuscules : les régions.
• Les relations primitives sont :– x ∈ X : la cellule x est contenue dans la région X.– A(x, y) : la cellule x est adjacente ou égale à la
cellule y.
Raisonnement spatialPage 108
Exemples d’espaces discrets
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Raisonnement spatialPage 109
Quelques propriétés
• La relation d’adjacence est réflexive et symétrique, c’est à dire :
– ∀x A(x, x)– ∀x, y A(x, y) → A(y, x)
• Chaque cellule a un nombre fini de voisins
• L’univers contient un nombre fini de cellules.
Raisonnement spatialPage 110
Quelques relations• X ⊆ Y =df ∀x (x ∈ X → x ∈ Y)
• X ⊂ Y =df X ⊆ Y ∧ X ≠ Y
• P(X, Y) =df X ⊆ Y ∧ X ≠ ∅
• PP(X, Y) =df P(X, Y) ∧ X ≠ Y
• O(X, Y) =df ∃ Z (P(Z, X) ∧ P(Z, Y))
• PO(X, Y) =df O(X, Y) ∧ ¬ P(X, Y) ∧ ¬ P(Y, X)
• DJ(X, Y) =df X ∩ Y = ∅
Raisonnement spatialPage 111
Méréologie sur les espaces discrets
• {DJ, PO, =, PP, PPi} forme un ensemble de relations mutuellement exhaustives et complet.
• Cet ensemble de relations permet de définir tous les partitionnements possibles de l’espace.
38
Raisonnement spatialPage 112
Topologie sur les espaces discrets
• C(X, Y) =df ∃ x, y (x ∈ X ∧ y ∈ Y ∧ A(x, y))• EC(X, Y) =df ¬ O(X, Y) ∧ C(X, Y)• DC(X, Y) =df ¬ C(X, Y)
• TPP(X, Y) =df EC(X, - Y)
• NTPP(X, Y) =df DC(X, - Y)
• TPPi (X, Y) =df TPP(Y, X)• NTPPi (X, Y) =df NTPP(Y, X)
Raisonnement spatialPage 113
RCC-8D
• {DC, EC, PO, =, TPP, NTPP, TPPi, NTPPi} forme un ensemble de relations mutuellement exhaustives et complet.
• Cet ensemble de relations permet de définir tous les partitionnements possibles de l’espace.
Raisonnement spatialPage 114
Voisinage conceptuel
RCC-8 RCC-8D
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Raisonnement spatialPage 115
Voisinage, frontière, intérieur, ...
• Voisinage d’une cellule : ensemble des cellules directement adjacentes à la cellule– Nx =df { y | A(x, y) }
• Intérieur d’une région : X° =df { x | Nx ⊆ X }
• Extérieur d’une région : ( - X)°
• Fermeture d’une région : X =df { x | Nx ∩ X ≠ ∅ }
• Frontière d’une région : δX =df { x | Nx ∩ X ≠ ∅ ∧ Nx - X ≠ ∅ }
Raisonnement spatialPage 116
Région et composante connexe
• Région connexe :– SC(X) =df X ≠ ∅ ∧ ∀Y ( PP(Y, X) → C(Y, X - Y) )
• Composante connexe :– CC(Y, X) =df PP(Y, X) ∧ SC(Y) ∧ ¬ C(Y, X - Y)
• Soit x ∈ X et la séquence Xx0, Xx
1, … définie récursivement par :– Xx
0 = {x} et Xxn+1 = Xx
n ∩ X• Xx = ∪n=1
∞ Xxn est la composante connexe de X
contenant x.
Raisonnement spatialPage 117
Chemin et distance
• Un intérêt des espaces discrets concerne l’existence d’une métrique naturelle.
• Afin de définir la distance entre deux cellules, on utilise la notion de chemin les rejoignant.
• Chemin de x à y : – séquence de cellules x=x0, x1, x2, …, xn-1, xn=y – telles que ∀ i=1..n A(xi-1, xi)– Le nombre n dans cette définition correspond à la
longueur du chemin.
40
Raisonnement spatialPage 118
Distance entre cellules
• Soit δ(x, y) le plus petit entier n tel qu’il existe un chemin de longueur n entre x et y.
• Propriétés :– δ(x, y) = 0 ssi x = y– δ(x, y) = δ(y, x) – δ(x, y) ≤ δ(x, z) + δ(z, y)
Raisonnement spatialPage 119
Distance entre régions
• ∆(A, B) est le plus petit entier n tel que chaque cellule d’une région est au plus à une distance n d’une cellule dans l’autre région.
• Propriété :∆(X, Z) ≤ ∆(X, Y) + ∆(Y, Z)
Raisonnement spatialPage 120
Référence bibliographique
• A. Galton. The Mereotopology of discrete space. Dans les actes de COSIT ’99, LNCS 1661, pages 251-266, Springer-Verlag
41
Raisonnement spatialPage 121
Topologie dans des partitions hiérarchiques
• Découpage de l’espace en quadtree– partition spatiale récursive et régulière en
quatre quadrants de taille égale
Raisonnement spatialPage 122
Intersection entre deux régions
Intérieur de la région Extérieur de la région
Raisonnement spatialPage 123
Référence bibliographique
• S. Winter. Topological Relations in Hierarchical Partitions. Dans les actes de COSIT ’99, LNCS 1661, pages 141-155, Springer-Verlag
42
Raisonnement Spatial
Relations topologiques sur des régions complexes
Raisonnement spatialPage 125
Régions complexes
• Soit U l’univers défini par l’espace ℜ2 et la métrique usuelle d.
• A est un ensemble homogène de points de U simplement connectés.
• A est appelé une région.
Raisonnement spatialPage 126
Notations• On note :
∂A la frontière de A Å l’intérieur de A A la fermeture de A
Soit C(p,r) un disque 2D de rayon r centré en p Å = {p ∈ A : ∃ε > 0 : C(p,ε) ⊂ A} ∂A = {p ∈ A : ∀r > 0 : C(p,r) ∩A ≠ ∅ ∧
C(p,r) ∩U - A ≠ ∅ }
43
Raisonnement spatialPage 127
Modèle d’Egenhofer
Raisonnement spatialPage 128
Les huit relations topologiques
Raisonnement spatialPage 129
Comparaison avec RCC
44
Raisonnement spatialPage 130
Orientation de la frontière
• Pour tout point p ∈ ∂A, soit l une ligne contenant p dans C(p,ε) ∩ ∂A, pour un ε >0.
• l est appelé un chemin passant par p. • Une orientation rA(p) est un chemin l orienté
passant par p, le long de la frontière ∂A, de telle manière que l’intérieur Å se trouve sur la droite lors du passage par p dans l’orientation rA(p).
Raisonnement spatialPage 131
Région simple
• Une région est dite simple si pour tout point p de sa frontière ∂A, rA(p) est unique.
Raisonnement spatialPage 132
Régions avec trous
• Soit {A0, A1, …, Ak} un ensemble de régions simples telles que : ∀Ai, 1≤ i ≤ k : contains(A0,Ai)
et ∀Ai ∀Aj, 1≤ i ≠ j ≤ k : disjoint(Ai, Aj)
A = A0 - ∪i=1k Åi est appelé région à trous et
A1, …, Ak sont appelés les trous de A.
45
Raisonnement spatialPage 133
Régions avec trous
∂ A = ∪i=0k ∂ Ai
Å = Å0 - ∪i=1k Ai
Raisonnement spatialPage 134
Relations entre régions à trous
• Soit A = A0 - ∪i=1
k Åi
et B = B0 - ∪j=1
l Bºj
• Nous allons redéfinir les relations d’Egenhoferpour ces régions à trous.
Raisonnement spatialPage 135
Relations entre régions à trous
disjointH(A,B) ↔ disjoint(A0,B0) ∨ (∃Ai, i ≠ 0 : contains(Ai,B0)) ∨(∃Bi, j ≠ 0 : contains(Bj,A0))
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Raisonnement spatialPage 136
Relations entre régions à trous
touchH(A,B) ↔ touch(A0,B0) ∨ (∃Ai, i ≠ 0 : covers(Ai,B0)) ∨(∃Bi, j ≠ 0 : covers(Bj,A0))
equalH(A,B) ↔ equal(A0,B0) ∧ k = l ∧ ∃(j1, …, jl) : ∀i : equal(Ai, Bjl)
Raisonnement spatialPage 137
Relations entre régions à trous
containsH(A,B) ↔ contains(A0,B0) ∧ (∀Ai , i ≠ 0 : disjoint(Ai,B0) ∨
(∃Bi, j ≠ 0 : contains(Bj,Ai)))
Raisonnement spatialPage 138
Relations entre régions à trous
coversH(A,B) ↔ (covers|contains|equal)(A0,B0)∧ (∀i ≠ 0 : (disjoint|touch)(Ai,B0) ∨
(∃j ≠ 0 : (covers|contains|equal)(Bj,Ai)))∧ ¬ ((containsH|equalH)(A,B))
47
Raisonnement spatialPage 139
Relations entre régions à trous
overlapH(A,B) ↔ ¬ ( (disjointH|touchH|coversH|containsH)(A,B) ∨
(coversH|containsH)(Β,Α) ∨equalH(A,B))
Raisonnement spatialPage 140
Théorème
• Soit SH l’ensemble suivant de relations topologiques :
SH= {disjointH,touchH,overlapH,coversH,containsH,equalH}
Etant donné deux régions à trous A et B, il existe une et une seule relation de Shentre A et B.
Raisonnement spatialPage 141
Régions complexes
48
Raisonnement spatialPage 142
Régions complexes
• Une région complexe peut être définie récursivement par :– toute région simple avec ou sans trous est une
région complexe.– Soit {A1, …, Ak} un ensemble de régions
complexes. A= ∪i=1k Ai est une région
composite. – Chaque région composite est aussi une région
complexe.
Raisonnement spatialPage 143
Orientation inverse
• Soit une orientation rA, l ’orientation rA-1
appelée orientation inverse, est induite par le même chemin l, de telle manière que l’intérieur Å se trouve sur la gauche lors du passage par p dans l’orientation rA
-1.
Raisonnement spatialPage 144
DAB
• Chaque chemin orienté r(p) est divisé par p en deux moitiés : allant à et partant de p. Ces deux vecteurs sont notés respectivement r(p-) et r(p+).
• DAB = {p∈ ∂A ∩ ∂B | ∀rx(p*): (rx(p*) ⊂Y° ∧ Y ≠ X) ∨(∃ry(p#), Y ≠ X : rx(p*) = ry(p#)-1)}
• avec X,Y ∈ {‘ A ’, ‘ B ’} et *,# ∈ {‘ - ’, ‘ + ’}
49
Raisonnement spatialPage 145
Lemme
• Soit A et B deux régions. L’intérieur, la frontière et la fermeture de A ∪ B sont déterminés comme suit :
(A ∪ B)° = A° ∪ B° ∪ DAB
∂(A ∪ B) = ∂Α ∪ ∂B - (A ∪ B)°
(A ∪ B) = A ∪ B
Raisonnement spatialPage 146
Lemme
•Soit A, B et C trois régions. L’intérieur et la frontière de A ∪ B ∪ C sont déterminés comme suit :
(A ∪ B ∪ C)° = (A ∪ (B ∪ C)°)° = ((A ∪ B)° ∪ C)°
= ((A ∪ C)° ∪ B)°
∂(A ∪ B ∪ C) = ∂(Α ∪ ∂(B ∪ C)) = ∂ (∂(A ∪ B) ∪C)= ∂ (∂(A ∪ C) ∪B)
Raisonnement spatialPage 147
Relations entre régions composites
• Soit A = ∪i=1
n Ai avec N = {1, …, n} et
B = ∪j=1m Bj avec M = {1, …, m}
• Nous allons redéfinir les relations d’Egenhofer pour les régions composites.
50
Raisonnement spatialPage 148
Relations entre régions composites
disjointC(A,B) ↔ ∀Ai ∀Bi : disjointH (Ai,Bj)
touchC(A,B) ↔ (∀Ai ∀Bi : (touchH|disjointH) (Ai,Bj)) ∧ ¬ disjointC(A,B)
containsC(A,B) ↔∀Bi ∃I ⊆ N : containsH(∪i∈IAi,Bj)
Raisonnement spatialPage 149
Relations entre régions composites
coversC(A,B) ↔∀Bi ∃I ⊆ N : (coversH|containsH|equalH)(∪i∈IAi,Bj)∧ ¬ ((containsC|equalC)(A,B))
equalC(A,B) ↔ ∀Ai ∃J ⊆ M : (coversH|containsH|equalH)(∪j∈JBj,Ai)∧∀Bi ∃I ⊆ N : (coversH|containsH|equalH)(∪i∈IAi,Bj)
Raisonnement spatialPage 150
Relations entre régions composites
overlapC(A,B) ↔ ¬ ( (disjointC|touchC|coversC|containsC)(A,B) ∨
(coversC|containsC)(Β,Α) ∨equalC(A,B))
51
Raisonnement spatialPage 151
Théorème
• Les relations topologiques sur les espaces composites :
{disjointC,touchC,overlapC,coversC,containsC,equalC}
sont mutuellement exclusives et l’ensemble est complet.
Raisonnement spatialPage 152
Algorithme de test pour OverlapC
O(nm)
Complexitéoptimale
Raisonnement spatialPage 153
Complexité
• Algorithme en O(nm)
• Cet algorithme est dit de complexité optimale par les auteurs.
52
Raisonnement spatialPage 154
Référence bibliographique
• V.H. Nguyen, C. Parent, S. Spaccapietra. Complex Regions in Topological Queries. Spatial Information Theory, a Theoretical Basis for GIS, International ConferenceCOSIT’97, LNCS 1329, 1997.
Raisonnement Spatial
Relations spatiales directionnelles
Raisonnement spatialPage 156
Travailler dans un espace orienté
• La notion d’orientation est associée à l’existence d’une direction.
– haut, bas, avant, arrière, …
– est, ouest, nord, sud
53
Raisonnement spatialPage 157
Illustrations
• Calcul des directions cardinales
• 2D-PIR
• L’algèbre des N-pavés
Raisonnement spatialPage 158
Calcul des directions cardinales
• Généralisation au plan de l’algèbre des points de Vilain et Kautz.
• Les points considérés sont les points du plan muni d’un repère orthogonal.
Raisonnement spatialPage 159
Positions relatives
• Etant donné un point X(x1, x2) du plan ;• Décomposition du plan en neuf zones :
X
n
sw se
nw ne
s
w eeq
54
Raisonnement spatialPage 160
card
• Neuf relations pour caractériser la position relative d’un point par rapport à un autre :
• card = {eq, e, ne, n, nw, w, sw, s, se}
Raisonnement spatialPage 161
card -> algèbre des points
sw (<, <) w (<, =) nw (<, >)
s (=, <) eq (=, =) n (=, >)
se (>, <) e (>, =) nw (>, >)
A chaque relation A de card correspond un couple de relations atomiques (A1, A2) :
Raisonnement spatialPage 162
Exemple
• X = (x1, x2)• Y = (y1, y2)• X e Y <=> {x1 > y1, x2 = y2}
55
Raisonnement spatialPage 163
Relations
• Il existe 29 relations qui correspond à l’ensemble 2 card.
• Relation = disjonction des relations atomiques• soit X et Y deux points• soit R ε 2 card, • X R Y, si et seulement si il existe une relation
atomique A ε R telle que X et Y satisfont A.
Raisonnement spatialPage 164
Raisonnement
• Représentation des informations spatiales par des réseaux de contraintes binaires (V, C)
• V : ensemble de variables représentant des points
• C : application qui associe à chaque couple de variables (Vi, Vj) une relation de 2 card, notée Cij.
Raisonnement spatialPage 165
Problème de la consistance
• Trouver une instanciation consistante de ces réseaux est un problème NP-complet dans le cas général.
• Sur les 29 relations de 2 card il y a 141 relations préconvexes.
56
Raisonnement spatialPage 166
Problème de la consistance
• Propriété 1 : La méthode de chemin-consistance est une méthode de décision pour le problème de la consistance des réseaux de contraintes ne contenant que des relations préconvexes de 2 card.
• Propriété 2 : L’ensemble des relations préconvexes est pour le problème de la consistance l ’ensemble maximal traitable contenant les neuf relations atomiques de card.
Raisonnement spatialPage 167
Référence Bibliographique
• Gérard Ligozat. Reasoning about cardinal directions. Journal of Visual Languages andComputing, 1(9):23-44, 1998.
Raisonnement spatialPage 168
2D-PIR
• 2D-PIR est l’acronyme de 2D Projection Interval Relationships
• Rectangle Minimum Englobant // axes (a) et véritable Rectangle Minimum Englobant (b).
57
Raisonnement spatialPage 169
Relation spatiale
•Déterminée par le triplet (δxy,χxy,ψxy) défini par: δxy = relation topologique utilisant le formalisme
d’Egenhofer ({disjoint, touch, overlap, covers, contains, equal})
χxy = relation d’Allen satisfaite par les deux intervalles projections des boites englobantes sur l’axe des X.
ψxy= relation d’Allen satisfaite par les deux intervalles projections des boites englobantes sur l’axe des Y.
Raisonnement spatialPage 170
La relation (disjoint, b, oi)
Raisonnement spatialPage 171
Utilisation
• Description symbolique des relations spatiales entre les objets se trouvant dans des images :
à droite de = (*, a, *)
au dessous de = (*, *, b)
58
Raisonnement spatialPage 172
Référence bibliographique
• M. Nabil, J. Shepherd, A.H.H. Ngu. 2D projection interval relationships: a symbolic representation of spatial relationships. LNCS n°951, pp 292-309, 1995.
Raisonnement spatialPage 173
L’algèbre des N-pavés
• N-pavé : extension de l’intervalle d’Allen dans à n.
• Une relation entre deux N-pavés est ainsi un nuplet de relations d’Allen sur chacun des axes.
Raisonnement spatialPage 174
La relation est intérieurement connecté
• Entre deux 2-pavés :
59
Raisonnement spatialPage 175
La relation est à gauche de
Raisonnement spatialPage 176
Exemple
• Soient quatre objets A, B, C, D modélisés par des 2-pavés.– A, B, C se trouvent à l’intérieur de D.– A ne touche aucun bord de D.– B se trouve dans un coin de D.– C est à droite de A et au dessus de B.
• Soit V1,V2,V3 et V4 les quatre variables représentant les objets A, B, C et D.
Raisonnement spatialPage 177
Codage de l’exemple
• R(V1, V4 ) = {(d,d)}• R(V2, V4 ) = {(s,s), (s,f), (f,s), (f,f)}• R(V3, V4 ) = {(s,eq), (s,s), (s,d), (s,f), (eq,s),
(eq,d), (eq,f), (d,eq) (d,s), (d,d), (d,f), (f,eq), (f,s), (f,d), (f,f), (eq,eq)}
• R(V3, V2 ) = ψ1 x {mi,a}
• R(V3, V1 ) = {mi,a} x ψ1
60
Raisonnement spatialPage 178
Une instanciation consistante
Raisonnement spatialPage 179
Complexité des sous-ensembles de 2 n
Raisonnement spatialPage 180
Théorèmes
• Soit un sous-ensemble ε de 2 n tel que ε est inclus dans W et stable pour l’opération d ’intersection avec les relations convexes de 2 n. La méthode de la chemin-consistance est une méthode de décision pour le problème de la consistance des réseaux de n-pavés sur ε.
• La méthode de la chemin-consistance est une méthode de décision pour le problème de la consistance des réseaux de n-pavés sur S.
61
Raisonnement spatialPage 181
Stabilité des sous-ensembles de 2 n
Raisonnement spatialPage 182
Réseau de rectangles augmentés
• M = (N, S1, S2)
Raisonnement spatialPage 183
Instanciation consistante de M
• Algorithme en temps polynomial pour trouver une instanciation consistante d’un réseau de rectangles augmenté fortement préconvexe.
62
Raisonnement spatialPage 184
Références bibliographiques• J.F. Condotta. Problèmes de satisfaction de
contraintes spatiales : algorithmes et complexité. Thèse de l’Université Paul Sabatier, Toulouse, 14 janvier 2000.
• J.F. Condotta. Les réseaux augmentés des intervalles et des rectangles, RFIA 2000, volume 3, pages 183-192, Paris, 1-3 février 2000.
–Accessibles en ligne :http://www.irit.fr/ACTIVITES/LILaC/Pers/Condotta/home.html
Raisonnement spatialPage 185
Théorie Qualitative des Formes
• Notions de distance, orientation et forme• Notions de direction et d’angle
Raisonnement spatialPage 186
Sphères
• Introduction de la relation F qui veut dire :– x peut être contenu dans y
• F(x, x)• F(x, y) ∧ F(y, z) → F(x, z)• P(x, y) → F(x, y)• Congruence :
x =cg y =df F(x, y) ∧ F(y, x)
63
Raisonnement spatialPage 187
Relations sur les sphères
ID(x, y, z) =df TPP(x, z) ∧ TPP(y, z) ∧ ∀u ∀v (¬O(u, z) ∧¬O(v, z) ∧ EC(x, u) ∧ EC(y, v) → ¬O(u, v))
« x et y sont diamétralement internes »ED(x, y, z) =df EC(x, z) ∧ EC(y, z) ∧ ∀u ∀v (¬O(u, z) ∧
¬O(v, z) ∧ P(x, u) ∧ P(y, v) → ¬O(u, v))« x et y sont diamétralement externes »
zu v zu vyxx y
ID(x, y, z) ED(x, y, z)
Raisonnement spatialPage 188
Relations sur les sphères
CNC(x, y) =df (x=y) ∨ (PP(x,y) ∧ ∀u∀v(ED(u,v,x) ∧ TPP(u,y) ∧ TPP(v,y) →
ID(u,v,y))) ∨(PP(y,x) ∧ ∀u∀v(ED(u,v,y) ∧ TPP(u,x) ∧ TPP(v,x) →
ID(u, v, x)))« x et y sont concentriques »
BTW (x,y,z) =df ∃x’ ∃y’ ∃z’ (CNC(x,x’) ∧ CNC(y,y’) ∧CNC(z,z’) ∧ ED(y’,z’,x’)
« x est entre y et z »
Raisonnement spatialPage 189
Relations sur les sphères
LIN(x, y, z) =df BTW(x,y,z) ∨ BTW(x,z,y) ∨BTW(y,x,z) ∨ CNC(x,y) ∨ CNC(y,z) ∨ CNC(x,z)
« x, y, z sont alignés »
SSD(x, y, z) =df BTW(x,y,z) ∨ BTW(y,x,z) ∨CNC(x,y)
« x et y sont du même côté de z »
64
Raisonnement spatialPage 190
Relations sur les sphèresPB (x,y,z) =df ∃x’ ∃y’ ∃z’ (CNC(x,x’) ∧ CNC(y,y’) ∧
CNC(z,z’) ∧ DC(y’,z’) ∧ EC(x’,y’) ∧ EC(x’,z’) ∧ y’ =cg z’
« x se trouve sur la bissectrice perpendiculaire à y et z »z
z’x
y
x’
y’
Raisonnement spatialPage 191
DistancesSP(x,y) → ∃z (SPH(z) ∧ EC(c,x,z) ∧ EC(c,y,z) ∧
∀t (SPH(t) ∧ EC(t,c,x) ∧ EC(t,c,y) → F(z,t)))« z est la plus petite sphère fermée connectée-externe à
x et y et notée δ(x,y) »
Z
X
Y
Raisonnement spatialPage 192
DirectionD(x,y) =df ¬CNC(x,y) « x et y définissent une direction »
xy // x’y’ =df D(x, y) ∧ D(x’, y’) ∧ (¬∃w (LIN(w, x, y) ∧ LIN(w, x’, y’)) ∨ (LIN(x’, x, y) ∧ LIN(y’, x, y)))
« xy et x’y’ sont parallèles »X Y
X’ Y’
Directions parallèles
X Y Y’ X’
Directions égales
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Raisonnement spatialPage 193
Intersection
¬(xy//x’y’) ∧ D(x, y) ∧ D(x’, y’) → ∃z (LIN(z, x, y) ∧ LIN(z, x’, y’))
« si deux directions ne sont pas parallèles alors il existe une sphère z qui appartient à ces deux directions »
Y’X Y Z
X’
Raisonnement spatialPage 194
Angles• Différentes sortes d’angles
Y Z
X
Angle droit
X Y Z
Angle plat
Y X Z
Angle nul
W
X
Y Z
Angle aigu
X
W
Y Z
Angle obtus
Raisonnement spatialPage 195
Formes: squelette et épaisseur• Utilisation de sphères maximales internes pour mesurer
l’épaisseur d’un objet• Volume englobant pour approximer la forme• Nécessité d’extraire le squelette
66
Raisonnement spatialPage 196
Polygones réguliers sans direction principale
Raisonnement spatialPage 197
Orientation relative de deux objets convexes
• Directions associées à chaque objet• Déduction de l’orientation relative de deux
objets• Deux cas pour xy et x’y’:
– Même direction– Intersection: cas remarquables
Raisonnement spatialPage 198
Directions parallèles
x yx’ y’
DCx x’ y y’
PO
x x’ y y’
TPP et TPPI
x y x’ y’
ECx x’ y y’
EQ
x x’ y’ y
NTPP et NTPPI
67
Raisonnement spatialPage 199
Le “V”• xy et x’y’ sont du même coté de z• V(x,y,x’,y’) = ∃ z(INT(z,x,y,x’,y’) ∧ SSD(x,y,z) ∧
SSD(x’,y’,z)
y
x y’ x’z
Raisonnement spatialPage 200
Le “T”• z, l’intersection, est entre les sphères d’un
segment et du même coté que l’autre.• T(x,y,x’,y’) = ∃ z(INT(z,x,y,x’,y’) ∧((BTW(z,x,y) ∧
SSD(x’,y’,z)) ∨ (BTW(z,x’,y’) ∧ SSD(x,y,z)))) x z y
x’
y’
Raisonnement spatialPage 201
Le “L”• L’intersection z est concentrique avec une sphère
d’un des segments• L(x,y,x’,y’) = ∃z ( INT(z,x,y,x’,y’) ∧
( (SSD(x,y,z) ∧(CNC(z,x’) ∨ CNC(z,y’))) ∨(SSD(x’,y’,z) ∧(CNC(z,x) ∨ CNC(z,y)))))
x’ y’
x
y
68
Raisonnement spatialPage 202
Le “X”• xy et x’y’ se croisent en z• X(x,y,x’,y’) = ∃z ( INT(z,x,y,x’,y’) ∧ BTW(z,x,y) ∧
BTW(z,x’,y’))
x x’
z
yy’
Raisonnement spatial
Concepts spatiaux dans la langue naturelle
Raisonnement spatialPage 204
Langage et cognition spatiale
• Lien entre la schématisation de l’espace :– par le langage naturel– par le système de perception et de conception
de l’être humain• Postulat : on décrit les choses comme on les
perçoit ou conceptualise.– Un certain nombre d’études de psychologues et
de cogniticiens.– cf conférences Spatial Cognition I et II
69
Raisonnement spatialPage 205
Orientation et distance qualitatives
• Knauff, Rauh et Renz ont demandé à un échantillon représentatif de personnes de décrire un ensemble de relations spatiales entre objets.
• Objectif :– déterminer les familles de relations spatiales les
plus utilisées– et ainsi les techniques de schématisation de
l’espace de l’être humain.
Raisonnement spatialPage 206
Résultats de l’étude
Con
tenu T O M T
+O
T+M
O+M
T+O+M
Aut
re
Fréq
uenc
e
62.1 0 0 14.1 19.2 0 0 4.6
T : topologie ; O : orientation ; M : métrique
Raisonnement spatialPage 207
Analyse
• Forte prédominance de la topologie.
T + (T+O) +(T+M) = 95.4%
• Il manque des informations dans l ’article sur la nature des « autres » informations.
70
Raisonnement spatialPage 208
Références bibliographiques
• M. Knauff, R. Rauh et J. Renz. A Cognitive Assessment of Topological Spatial Relations: Results from an Empirical Investigation. Dans les actes de COSIT ’97, LNCS N°1329, Springer-Verlag.
Raisonnement spatialPage 209
Repères « allo et égo » centriques
• Repère allocentrique : repère global de l’espace de représentation.– Au minimum un point et une direction– exemple : axe nord-sud sur une carte.
• Repère égocentrique : associé à une entité. – Le point de référence est l’entité elle-même.– La direction concerne l’avant d’un objet
(lorsque celui-ci en a un).
Raisonnement spatialPage 210
Repères « allo et égo » centriques• R. Klatzky définit les notions de repérage
dans ces deux types de repères :
Ego
ObjetDirection
égocentrique
Directionallocentrique
Distanceégocentrique
71
Raisonnement spatialPage 211
Références bibliographiques
• R. Klatsky. Allocentric and egocentric spatial representation: definitions, distinctions andinterconnections. Spatial Cognition - An Interdisciplinary Approach to Representingand Processing Spatial Knowledge, LNAI 1404, Springer-Verlag, 1998.
Raisonnement spatialPage 212
Relation entre langage et vision Le monde
• Collection d’objets identifiables par un nom ;• Certains des objets sont des sujets qui peuvent
observer le monde ;• Le monde est construit au début, mais peut être
manipulé (déplacer un objet).
Raisonnement spatialPage 213
Exemple
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Raisonnement spatialPage 214
Les objets
• Les objets du monde sont vus comme des points sur un plan 2D.
• La position d’un objet est donné à travers la position de son centre et une orientation;
• Pour les objets dotés d’une orientation intrinsèque, on fournit l’azimut de la direction frontale.
Raisonnement spatialPage 215
Quatre types de description
• égocentrique :– position (locuteur), orientation (locuteur)
• intrinsèque (droitier)– position (personne), orientation (personne)
• intrinsèque (gaucher)– position (objet orienté), orientation (objet)
• rétinal– position (objet), orientation (à travers l’observateur)
Raisonnement spatialPage 216
Description égocentrique
• A partir de sa propre position et orientation dans l’espace, le locuteur décrit une vue comme une liste d’objets avec pour chacun :– son nom– un vecteur (distance, orientation)
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Raisonnement spatialPage 217
Exemple (Simon locuteur)
Paul est devant moi à gauche.
La chaise se trouve devant moi.
Raisonnement spatialPage 218
Distance et direction qualitatives
Raisonnement spatialPage 219
Description intrinsèque• Selon le point de vue de quelqu’un d’autre.
Pierre dit à Simon : la balle est devant toi.Pierre dit à Paul : la balle est devant Simon.
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Raisonnement spatialPage 220
transformationsVsol->objet = Wobservateur->objet - Uobservateur->sol
Raisonnement spatialPage 221
Orientation
Après rotation, la relation « la balle est au nord de la chaise » devient « la balle est à l’ouest de la chaise »
Raisonnement spatialPage 222
Combinaison de plusieurs relations• R(a, b) = R-1(b, a)• Pour la transitivité, il sera possible seulement
dans certains cas de déterminer la relation entre le premier et le troisième objet à partir des deux autres relations.– Seulement quand le type d’orientation des deux
phrases est le même– Simon, Pierre et Paul sont devant moi.– Simon est à gauche de Pierre qui est lui même à
gauche de Paul => Simon est à gauche de Paul.
75
Raisonnement spatialPage 223
Allocentrique vs égocentrique
Raisonnement spatialPage 224
Référence bibliographique
• A. Frank. Formal Models for Cognition -Taxonomy of Spatial Location Descriptionand Frames of Reference. Dans les actes de Spatial Cognition, LNAI N°1404, Springer-Verlag, 1998.
Raisonnement spatialPage 225
Autre représentation qualitative
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Raisonnement spatialPage 226
Mouvement qualitatif
• Utilisé pour la description de mouvements– <close east> 5 <close north> 2 <close
west> 3 <close south> 1 <medium-dist south> 1 <medium-dist east> 1
– <close forward> 5 <close left> 2 <close left> 3 <close left> 1 <medium-dist forward> 1 <medium-dist left> 1
Raisonnement spatialPage 227
Problème de maintien de l’information
Raisonnement spatialPage 228
Règles de composition
• Si dir ∈ {left, right}– dir ° -dir = forward– dir ° dir = backward– dir ° forward = dir– dir ° backward = -dir– <dist1 dir speed1> + <dist2 dir speed2> =
<dist2 backward speed2> si dist2>dist1<dist1 dir speed1> sinon
– ...
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Raisonnement spatialPage 229
Référence bibliographique
• A. Musto, K. Stein, K. Schill, A. Eisenkolb andW. Brauer. Qualitative Motion Representationin Egocentric and Allocentric Frames of Reference. COSIT’99, LNCS 1661, pp. 461-476, Springer-Verlag, 1999.
Raisonnement spatialPage 230
Raisonnement spatial paramétrique
• Les relations entre paires d’objets sont représentées par des matrices de transformation homogènes paramétriques et par des contraintes numériques.
• Une description textuelle est transformée en un graphe composé de :– nœuds (objets et référentiels locaux)– arcs (relations)
Raisonnement spatialPage 231
Objets : cercles et rectangles
Personne : cercle de rayon ∈ [0.2, 0.4]Frigidaire : rectangle de largeur ∈ [0.3, 0.4]
et de longueur ∈ [0.3, 0.4]
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Raisonnement spatialPage 232
Relations
Raisonnement spatialPage 233
Graphe initial : structure hiérarchique
Raisonnement spatialPage 234
Définition de « à droite de »
79
Raisonnement spatialPage 235
Ambiguité
• « B est à droite de A » et « C est à gauche de B »• On ne peut pas déduire exactement la relation
entre A et C, car C intersecte les secteurs « à droite de » et « derrière ».
Raisonnement spatialPage 236
Inférence• Inférence d’une relation par multiplication
de matrices :
Raisonnement spatialPage 237
Exemple de graphe
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Raisonnement spatialPage 238
Contraintes et résolution
• Pour obtenir une représentation visuellement correcte de l’ensemble des relations exprimées
• Équations et inéquations contenant des fonctions trigonométriques
• Résolution en utilisant des techniques d’apprentissage par réseaux neuronaux
Raisonnement spatialPage 239
Références bibliographiques• B. Claus, K. Eyferth, C. Gips, R. Hörnig, U.
Schmid, S. Wiebrock et F. Wysotzki. Reference Frames for Spatial Inference in Text Understanding. Spatial Cognition, LNAI 1404, Springer-Verlag, 1998.
• S. Wiebrock, L. Wittenburg, U. Schmid et F. Wysotzki. Inference and Visualization of Spatial Relations. Spatial Cognition II, LNAI 1849, Springer-Verlag, 2000.
Raisonnement spatialPage 240
Sémantique du positionnement spatial
• Soit une phrase de type : Ncible Verbe Syntagme locatif Nsite
[selon le point de vue du locuteur]0/1
• avec– N : syntagme nominal complet– Verbe : verbe d’état principalement l’auxiliaire
être mais aussi des verbes comme se trouver, être placé, se tenir, etc.
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Raisonnement spatialPage 241
Orientation de la phrase
• La sémantique de la phrase n’est pas unique pour chaque syntagme locatif.
• Elle dépend de l’orientation de la phrase qui est en fait un repère tridimensionnel dont l’origine et l’orientation vont définir le sens de la phrase.
• Le polarisateur est défini comme l’entité déterminant l’orientation dans l’expression considérée.
Raisonnement spatialPage 242
Orientation déictique
• Le sens de la relation ne dépend que de la position du locuteur.
• Exemple : la chaise est devant la table.
locuteur cible site
Raisonnement spatialPage 243
Exemple
• A gauche de :
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Raisonnement spatialPage 244
Orientation intrinsèque
• Il existe une partie du site qui permet de définir l’orientation du repère de manière indépendante du locuteur.
• Exemple : la table est devant le canapé.
cible site
Raisonnement spatialPage 245
Orientation contextuelle
• Deux cas de figure : soit c’est la cible qui est le polarisateur, soit il s’agit d’un élément extérieur à la relation.
• Exemple : l’armoire est derrière la chaise.
cible site
Raisonnement spatialPage 246
Utilisation de l’algèbre des 3-pavés
• Recherche du polarisateur et du repère de la relation
• Passage de l’expression de la relation exprimée dans son propre repère à son expression dans le repère de la scène.
• Les relations de localisation s’appliquent entre les boites englobantes des objets.
83
Raisonnement spatialPage 247
Exemple• X est posé sur Y
Clatéral(I, J) = {s ∨ f ∨ d ∨ =}Cvertical(I,J) = {mi}Cfrontal(I,J) = {s ∨ f ∨ d ∨ =}
Raisonnement spatialPage 248
Mélange qualitatif-quantitatif
• Exprimer des contraintes entre des extrémités de segments
Raisonnement spatialPage 249
Allen => relations entre extrémités
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Raisonnement spatialPage 250
Résolution symbolique
• Chemin consistance
• Réduction des incertitudes numériques au cours de l’algorithme– détection de certaines incohérences numériques
linéaires
Raisonnement spatialPage 251
Réécriture du système • Transformation en un système d’inéquations
non-linéaires
• V est défini de la manière suivante :
Raisonnement spatialPage 252
Détection d’incohérences numériques
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Raisonnement spatialPage 253
Réécriture (suite)
• Prise en compte de contraintes géométriques non-linéaires :
• Le système à résoudre est de la forme :
Raisonnement spatialPage 254
Résolution numérique
Raisonnement spatialPage 255
Exemple
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Raisonnement spatialPage 256
Exemple (suite)
Raisonnement spatialPage 257
Références bibliographiques
• N. Hathout. Un modèle logique pour le raisonnement spatial. Rapport de DEA, Université Paul Sabatier, Toulouse, 1989.
• S. Donikian. Une approche déclarative pour la création de scènes tridimensionnelles : application à la conception architecturale. Thèse de l’Université de Rennes I, 1992.
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