Recupero03-Arco

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Corso di Recupero e conservazione degli edifici – A.A. 2010-2011 Ing. Emanuele Zamperini

L’arco in muratura

Ing. Emanuele Zamperini

CORSO DI RECUPERO E CONSERVAZIONE DEGLI EDIFICI

A.A. 2010-2011

L’ARCO

Terminologia di base

piano diimposta

(concio di)chiave

estradosso

intradosso

corda o luce

f r e c c i a

o m o n t a

spalla

opiedritto

spalla

opiedritto

sezionealle reni

3 0 °

CENNI STORICI SU

DIMENSIONAMENTO E VERIFICA

DEGLI ARCHI IN MURATURA

L’evoluzione del dimensionamento e della verifica degliarchi in muratura (e più in generale di tutte le strutture)può essere schematizzata in tre fasi principali:

• Metodi empirico-grafici;• Metodi basati sulla meccanica del corpo rigido;

• Metodi basati sulla meccanica del corpo

deformabile.

METODI EMPIRICO-GRAFICI (1)

«Le proporzioni tra le singole parti della struttura , riscontrate

idonee nella pratica costruttiva, costituivano un codice formale che veniva applicato indipendentemente dalle dimensioni»

(ANTONINO GIUFFRÈ, 1986)

Sono metodi che si basano su regole proporzionali dedottedall’osservazione di strutture esistenti. Il progresso dellatecnica costruttiva passa necessariamente dal superamento di

tali regole ottenuto con la sperimentazione su modelli o sustrutture reali, oppure dall’osservazione dei dissesti creatisi instrutture dimensionate con tali regole.

Regoleproporzionali

indipendenti dalledimensionidell’oggetto

Leonardo da Vinci propose una regola per il dimensionamentodello spessore di un arco: «L’arco non si romperà se la corda dell’archi di fori non toccherà l’arco di dentro».

La cosiddetta regola di Deran consentiva di dimensionare ipiedritti di un arco: si tracciano all’intradosso dell’arco tresegmenti uguali; si proseguono i due laterali verso l’esternoraddoppiandone la lunghezza; l’asse verticale passante per

l’estremo esterno del segmento individua lo spessore delpiedritto. La regola aveva senso solo perché inserita in un piùampio sistema di rapporti proporzionali fra le parti dellacostruzione (ad es. luce dell’arco/altezza del piedritto).

Entrambe le regole, anche se prive di un significato meccanicodavano dei risultati a favore di sicurezza e consentivano p.e. diavere spessori dell’arco e del piedritto inferiori per gli archi asesto acuto.

Viollet-le-Duc afferma che l’arco a sesto acuto sia natodall’osservazione delle lesioni che si presentavano piùcomunemente negli archi a tutto sesto. I costruttori vedendo

aprirsi delle fessure all’intradosso dell’arco in chiave hannocompreso che quella parte dell’arco non era soggetta acompressione e quindi era inutile. Hanno quindi spostato più inalto la chiave dell’arco.

Viollet-le-Duc ela nascita

dell’arco a sestoacuto

METODI BASATI SULLA

MECCANICA DEL CORPO RIGIDO (1)L’arco, struttura iperstatica, viene reso isostatico ipotizzando lapresenza e la posizione di lesioni (cerniere plastiche).

I metodi basati sulla meccanica del corpo rigido, infatti,individuano i possibili meccanismi di collasso e studiano l’arconelle condizioni di equilibrio limite (studio a collassoincipiente).

I principali meccanismi di collasso per l’arco sono:

• Rottura per scivolamento della parte centrale dell’arco(studiato da De La Hire e De Belidor);

• Rottura flessionale della porzione centrale dell’arco (Coulombe Mascheroni).

Entrambi i meccanismi possono generarsi solo in presenza dirotazione dei piedritti.

4 5 ° 4 5 °

Rottura perscivolamento

Rottura flessionale

METODI BASATI SULLA

MECCANICA DEL CORPO RIGIDO (2)Meccanismo di rottura per scivolamento

La rottura dell’arco avviene per scivolamento della porzione

centrale individuata da due angoli di 45°. Questo meccanismo

può verificarsi solo in presenza di rotazioni dei piedritti.

4 5 ° 4 5 °

METODI BASATI SULLA

MECCANICA DEL CORPO RIGIDO (3)Meccanismo di rottura flessionale

La rottura dell’arco avviene per flessione, con l’apertura di

fessure posizionate all’intradosso in chiave ed all’estradossoalle reni. La sezione più sollecitata è presa per convenzione a 30° sul

piano orizzontale ma dovrebbe essere individuata di volta in volta aseconda della distribuzione dei carichi agenti sull’arco.

METODI BASATI SULLA

MECCANICA DEL CORPODEFORMABILE (1)

I metodi basati sulla meccanica del corpo deformabile studianol’equilibrio della struttura iperstatica assieme alla suadeformabilità, possono quindi valutare anche gli spostamentidei vari punti della struttura.

Per studiare ladeformabilità delle

strutture sononecessari i dati

riguardanti ilcomportamento dei

materiali costitutivi.

L’elevata incertezzaconnessa alla difficoltà

di individuarecorrettamente questi

valori e la lorovariabilità all’internodella struttura rendespesso l’esito delle

elaborazioni di difficile

interpretazione.

METODI BASATI SULLA

MECCANICA DEL CORPODEFORMABILE (2)

Principali problemi connessi all’uso di questi metodi

• Difficoltà ad individuare il comportamento meccanico dellemurature storiche: incertezza nei valori di E, nnnnnnnn,, etc.etc. e nella

valutazione della anisotropia della disomogeneità e della nonlinearità del comportamento dei materiali;

• Difficoltà a tener conto delle discontinuità presenti nellastruttura muraria, siano esse di natura costruttiva (giunti,intercapedini, canne fumarie) o legate a dissesti (lesioni

spesso invisibili ad occhio nudo o con geometria difficilmenterilevabile);

• Difficoltà a governare modelli di calcolo molto complessi equindi necessità di verifiche anche sommarie e semplificate

della validità dei risultati ottenuti.

Problemi per lamodellazione di:

Comportamentomeccanico

(individuazione deivalori, anisotropia,

disomogeneità)

Discontinuità(costruttive, legate

a dissesti)

IL METODO DI MERY (1)

Il metodo di Mery è un metodo di verifica di tipo grafico nel qualel’arco iperstatico è reso isostatico collocando tre cerniereplastiche nelle sezioni di massima sollecitazione flessionale. Lasituazione considerata è quella in cui si ha l’annullamento deglisforzi di compressione all’estradosso dell’arco nelle sezioni alle

reni ed all’intradosso nella sezione di chiave.

L’annullamento degli sforzi ad un lembo si ha con unadistribuzione triangolare degli sforzi; ad una distribuzionetriangolare degli sforzi corrisponde una risultante che passa ad

un terzo dell’altezza della sezione dalla parte delle fibrecompresse: è in questa posizione che vengono collocate lecerniere plastiche.

aperturadella lesione

Il giunto in chiavesi apre

all’intradosso

La risultante è allimite superioredel terzo medio

Il giunto alle renisi apre

all’estradosso

La risultante è al

limite inferiore delterzo medio

Ipotesi per l’applicabilità del metodo di Mery:

1. L’arco deve essere a tutto sesto e simmetrico;

2. I carichi devono essere distribuiti simmetricamente;

3. Lo spessore dell’arco deve essere uniforme;

4. L’arco deve essere costituito da materiale sufficiente-mente rigido e resistente a compressione, così che i tratti

compresi fra le lesioni siano assimilabili a corpi rigidi.

Se la linea delle pressioni della parte di arcocompresa tra le due fessure è in ogni punto internaal terzo medio, allora l’arco può essere consideratosicuro.

Fasi di applicazione del metodo di Mery:

1. Si definisce la geometria reale dell’arco;

2. Si omogeneizzano tutti i materiali ed i carichi esterni almateriale costituente l’arco;

3. Si suddivide l’arco in conci (in genere 6-10 conci);

4. Si calcolano le risultanti dei carichi gravanti su ciascunconcio;

5. Si costruisce la risultante di tutti i carichi e le reazioni inchiave ed alle reni;

6. Si costruisce la curva delle pressioni;

7. Si verifica che la curva sia interna al terzo medio;

8. Si verificano le sollecitazioni nei vari conci.

VERIFICA DELLE SOLLECITAZIONI.

Individuazione delle azioni:

1°- Si individua l’azione interna in una data sezione (attraverso ilpoligono delle successive risultanti);

2°- La si scompone in azione assiale ed azione di taglio;

3°- Si individua l’eccentricità della sollecitazione.

VERIFICA DELLE SOLLECITAZIONI.Sforzi dovuti a PRESSOFLESSIONE:

(ipotesi di materiale non resistente a trazione)

ssssn-max = N/A + M/W = N/A + (N • e)/We ≤ t/6Sezioneinteramentereagente.

M / WN / A

VERIFICA DELLE SOLLECITAZIONI.Sforzi dovuti a PRESSOFLESSIONE:

N = ½ • [ 3 • ( t / 2 – e ) ] • S • ssssn-max

ssssn-max = 2 • N / [ 3 • ( t / 2 – e ) • S ]

e ≥ t/6Sezioneparzializzata.

t / 2 - e

VERIFICA DELLE SOLLECITAZIONI.Sforzi dovuti al TAGLIO: valori massimi

ttttmax = 3 / 2 • T / ( t • S ) con e ≤ t/6

ttttmax = 3 / 2 • T / [ 3 • ( t / 2 – e ) • S ] con e ≥ t/6

Zone compresse T = 2 / 3 • ttttmax • ( t • S )

VERIFICA DELLE SOLLECITAZIONI.Sforzi dovuti al TAGLIO: valori medi

ttttmedia = T / ( t • S ) con e ≤ t/6

ttttmedia = T / [ 3 • ( t / 2 – e ) • S ] con e ≥ t/6

La resistenza dipende dalla coesione e dall’attrito(modello di Coulomb)

ttttres. =

aaaa• N / ( t • S ) con e

≤t/6

ttttres. =aaaa • N / [ 3 • ( t / 2 – e ) • S ] con e ≥ t/6

Dove aaaa è il coefficiente d’attrito muratura su muratura

IL CRITERIO DI HEYMAN (*)

«Se esiste una linea delle pressioni per l’arco completo che sia in equilibrio con i carichi applicati, incluso il peso proprio, e che risulti ovunque interna allo spessore dell’arco in ogni punto e in corrispondenza di ogni sezione, allora l’arco può considerarsi

in condizioni di sicurezza».

Il criterio è basato sulle seguenti ipotesi:

1- Non può avvenire rottura per scorrimento tra due conci o in unagenerica sezione (resistenza allo scorrimento infinita);

2- La muratura ha resistenza a trazione nulla;

3- La muratura ha resistenza a compressione infinita.

Il criterio è applicabile ad archi con geometria (archi policentrici,

ribassati, a sesto acuto,…) e distribuzione dei carichi qualsiasi (ancheasimmetrica).

(*): Criterio enunciato in JACQUES HEYMAN, The Masonry Arch, EllisHorwood, Chichester, 1982.

Se l’analistariesce a trovareuna curva dellepressioni

completamenteinterna allospessoredell’arco, questosarà almeno

altrettanto bravo atrovarsene una dasé e quindirimanere inequilibrio

(A. Giuffré).

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