View
271
Download
8
Category
Preview:
Citation preview
Regresi Linear SederhanaRegresi Linear Sederhanadan Korelasi
1. Model Regresi Linear 2. Penaksir Kuadrat Terkecil3. Prediksi Nilai Respons4. Inferensi Untuk Parameter-parameter Regresi5 Kecocokan Model Regresi5. Kecocokan Model Regresi6. Korelasi
Utriweni MukhaiyarUtriweni MukhaiyarMA 2081 Statistika Dasar
23 April 2012
TujuanTujuan
1. Menentukan/menaksir parameter-parameter yang terlibat dalam suatu model matematik yang linear terhadap parameter-parameter tersebut.terhadap parameter parameter tersebut.
2. Melakukan prediksi terhadap nilai suatu variabel, misalkan Y, berdasarkan nilai variabel yang lain , misalkan X, dengan menggunakan model regresi linier (interpolasi). ( te po as ).
2
f(x)ILUSTRASI
f(x)
Suhu (X)Gula yang
Dihasilkan (Y)
X menentukan YX menentukan Y
prediktor respons
bukan
peubahacak Memiliki
distribusi
3
bukanpeubah acak
distribusi
Observasi 1 2 3 … n
X X X X XX X1 X2 X3 … Xn
Y Y1 Y2 Y3 … Yn
Variabel yang nilainya mempengaruhivariabel yang lainnya.
11
Mana yang merupakan
Variabel yang kejadiannya lebih dahuluterjadi.
22
prediktor ??
Variabel yang variansinya terkecil
te jad
33
4
MODEL REGRESI LINEAR SEDERHANAMODEL REGRESI LINEAR SEDERHANA
0 1i i iY X e
- 1 dan 0 merupakan parameter-parameter model yang akan ditaksiry g
- ei adalah galat pada observasi ke-i (acak)
5
Sumber GalatSumber Galat
1. Ketidakmampuan model regresi dalam memodelkanhubungan prediktor dan respons dengan tepatu u ga p e to a espo s e ga tepat
2. Ketidakmampuan peneliti dalam melakukan pengukuran dengan tepat
3. Ketidakmampuan model untuk melibatkan semuavariabel prediktor
6
Penaksir Kuadrat TerkecilPenaksir Kuadrat Terkecil
- 1 dan 0 ditaksir dengan metode kuadrat terkecil1 0 g(least square)
- Asumsi-asumsi :
1. Ada pengaruh X terhadap Y
2 0 1 untuk 1,2,...,i i iY X e i n 2.
3. Nilai harapan dari ei adalah 0, atau E[ ei ] = 0
4 V i i d i t k i 1 2
0 1 untuk 1,2,...,i i iY X e i n
4. Variansi dari ei, sama untuk semua i = 1, 2,…, n
5. ei berdistribusi normal untuk semua i = 1, 2,…, n
7
6. e1,e2,...,en saling bebas (independen)
Misalkan b adalah taksiran bagi dan b adalahMisalkan b1 adalah taksiran bagi 1 dan b0 adalahtaksiran bagi 0. Maka taksiran bagi model regresi adalah
0 1 i iY b b X
Kriteria penaksiran kuadrat terkecil adalahmeminimumkan
n2
1 ii
e
terhadap b0 dan b1, dengan 0 1 i i i i ie Y Y Y b b X
88
Diperolehp
1
n
i iiXY
X X Y YJKb
1
12
1
iXYn
XXi
i
bJK X X
S d k t k i t k i i l t k d l h
0 1 b Y b X
Sedangkan taksiran untuk variansi galat acak adalah
22 2 1
ˆˆ
i iG YY XYy yJK JK b JK 2 2 1
2 2 2
i iG YY XYy y
sn n n
9
Suhu (X) 1 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 9 2Suhu (X) 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2
Gula yg dihasilkan (Y) 8.1 7.8 8.5 9.8 9.5 8.9 8.6 10.2 9.3 9.2 10.5Sumber: Walpole and Myers, 1989
ei
10
n = 11111 111
1
1 1,5
ii
X Xn 1
1 9,13
ii
Y Yn
11
11 11 2
1,8091
i ii
X X Y Yb
11 2
1
ii
X X
0 1 6, 4136 b Y b X
11116,4136 1,8091 i iY X
Model persamaan regresi1111, ,i i
Prediksi Nilai ResponsPrediksi Nilai ResponsPrediksi model Suhu (xi) Gula yg dihasilkan (yi) ˆ i i ie y yˆiy
1 8.1 8.22 -0.121.1 7.8 8.40 -0.601.2 8.5 8.58 -0.081.3 9.8 8.77 1.031.4 9.5 8.95 0.551.5 8.9 9.13 -0.231.6 8.6 9.31 -0.711.7 10.2 9.49 0.711.8 9.3 9.67 -0.371.9 9.2 9.85 -0.652 10.5 10.03 0.47
2ˆy yJK
12
Taksiran variansi galat acak 2 0, 4
2 9
i iG y yJKs
n
Prediksi Nilai Respons
Mi lk h (X) d l h h
Prediksi Nilai Respons
Misalkan suhu proses (X) adalah 1.55 satuan suhu.
Maka prediksi banyaknya gula yang dihasilkan padah t b t d l hsuhu tersebut adalah
6 4136 1 8091 Y X
6,4136 1,80916,4136 1,8091 1,55
Y X
9,2177
13
ASUMSI KENORMALAN
11•Asumsi ei berdistribusi normal
untuk semua i = 1, 2,…, n
•Yi beristribusi normal untuk i 1 2 22 semua i = 1, 2,…, n
33•b0 dan b1 berdistribusi normal
14
INFERENSI UNTUK PARAMETER 0
0 00
2
n
bTs x nJK
berdistribusi t dengan derajat kebebasan n-2.
1 i XXi
s x nJK
Selang kepercayaan (1-α) untuk 0 :
2 20 0 0, 2 , 21 12 2
n n
i XX i XXn ni ib t s x nJK b t s x nJK
15
t/2;n-2 adalah nilai distribusi t dengan derajat kebebasan n-2
INFERENSI UNTUK PARAMETER 1
1 11
XX
bTs JK
berdistribusi t dengan derajat kebebasan n-2.
XX
Selang kepercayaan (1-α) untuk 1 :
t s t s2; 2 2; 21 1 1
n n
XX XX
t s t sb b
JK JK
16t/2 ; n-2 adalah nilai distribusi t dengan derajat kebebasan n-2
PENGUJIAN PARAMETER REGRESI
Tujuan : menentukan apakah parameter-parameter t b t d t di b ik t tid k
PENGUJIAN PARAMETER REGRESI
tersebut dapat diabaikan atau tidak.
Rumusan HipotesisRumusan Hipotesis
H0 : β0 = 0
H β ≠ 0
H0 : β1 = 0
H β ≠ 0 bH1 : β0 ≠ 0 H1 : β1 ≠ 0 00 n
2i
i 1
btx
ˆ nJK
11
XX
bt ˆJK
XXnJK XX
17
SELANG PREDIKSISELANG PREDIKSI
Misalkan nilai respons Y untuk X = X0 adalah Y0,
ˆ
p 0 0,dan misalkan adalah prediksi model regresibagi Y0. Maka
0 02
0 XX
Y -YTˆ 1+(1/n)+[(x x) / JK ]
b di ib i d d j k b bberdistribusi t dengan derajat kebebasan n-2.
Selang prediksi (1 – α) bagi y0 adalah
2 20 0
0 / 2 0 0 / 2XX XX
(x x) (x x)1 1ˆ ˆ ˆ ˆy t 1+ + y y t 1+ +n JK n JK
XX XX
18
CONTOH 1 SELANG KEPERCAYAAN 1 CONTOH 1 SELANG KEPERCAYAAN 1-
1(2.26)(0.4) (2.26)(0.4)1.8091 1.8091
1.1 1.1 TINJAU CONTOH SEBELUMNYA
Selang kepercayaan95% untuk β1 :
b1=1,8091 b0=6,4136 Selang kepercayaan95% untuk β0 :
19 025.85 25.856.4136 (2.26)(0.4) 6.4136 (2.26)(0.4)
(11)(1.1) (11)(1.1)
derajat kebebasanCONTOH 2 UJI HIPOTESIS
derajat kebebasann – 2 = 9,
nilai kritis 2 26
H0 : β0 = 0
H1 : β0 ≠ 0
t0.025 = 2.26
t > t &t0 > t0.025 &t1 > t0.025
maka masing-masing H ditolakmasing H0 ditolak
K i lH0 : β1 = 0
H1 : β1 ≠ 0
Kesimpulan
β0 dan β1 tidakdapat diabaikan
20
Kecocokan Model RegresiS l h l k k lih k h d l Salah satu alat ukur untuk melihat apakah model regresi yang diperoleh sudah memadai adalahkoefisien determinasi yaitukoefisien determinasi yaitu
2
2 21
ˆd 0 1
n
i iiR
y yJKR R
2 21
2
1
, dengan 0 1
iRn
Ti i
i
R RJK y y
Besaran R2 menunjukkan proporsi variasi total dalamrespons Y yang diterangkan oleh model regresi yang diperoleh
21
diperoleh
H M d l i di l h id k d i
UJI KEBAIKAN MODEL
H0 : Model regresi yang diperoleh tidak memadai
H1 : Model memadai
Statistik uji
2ˆ n
i iy y 1 i iiR
y yJKf
s sTolak H0 pada tingkat keberartian α jika f > f,(1,n-2), dimana f,(1,n-2) adalah nilai distribusi F denganderajat kebebasan 1 dan n – 2. derajat kebebasan 1 dan n 2.
22
CONTOH 3
Untuk contoh sebelumnya diperoleh R2 = 0,499.
Artinya proporsi variasi total dalam respons Y y p p pyang diterangkan oleh model regresi yang diperoleh adalah 49.9%Uji kebaikan model
11
2
1
ˆ i iiR
y yJK
Untuk α = 5%, titik kritis f0 05 (1 9) = 5,12
1 8,99 iRJKfs s
, f0.05,(1,9) ,
f > f0.05,(1,9), model memadai.23
Korelasi
Mengukur hubungan linear dua peubah acak
Misalkan X danY adalah dua peubah acak, makakorelasi antara X danY dinyatakan dengan
E X Y C X Y
2 2
,
X YXY
X YX Y
E X Y Cov X Y
E X E Y
24
Jika nilai korelasi mendekati 1 makahubungan kedua peubah “sangat erat” dansearah sedangkan jika nilai korelasimendekati 1 maka hubungan keduamendekati –1 maka hubungan keduapeubah “sangat erat” dan berlawanan arah.
Jika nilai korelasi sama dengan nol berartitidak terdapat hubungan linear antarakedua peubah acak.
25
Gambar 1 Korelasi positif Gambar 2 Korelasi negatif
Gambar 3 Korelasi nol Gambar 4 Korelasi nol26
KORELASI SAMPEL
Korelasi dapat ditaksir dengan koefisien korelasi sampel, yaitu
JK XY
XX YY
n
JKrJK JK
1
n
i ii
n n
X X Y Y
2 2
1 1
n n
i ii i
X X Y Y
27
CONTOH 4Data berikut menggambarkan nilai kimia 12 mahasiswa tingkat pertama yang diambil secara acak di suatu universitas bersama nilai intelegensi yang dikur sewaktu mereka di SMA
CONTOH 4
bersama nilai intelegensi yang dikur sewaktu mereka di SMA.
Mahasiswa Nilai Intelegensi (x) Nilai Kimia (y)1 65 852 50 743 55 764 65 905 55 855 55 856 70 877 65 948 70 989 55 81
10 70 9111 50 7612 55 74
Rata-rata nilai intelegensi = 60,42 , Rata-rata nilai kimia = 84,2528
12 55 74
100
110
80
90
100
Kim
ia
60
70
Nil
ai K
40
50
40 45 50 55 60 65 70 75
Nilai Intelegensig
12
i iX X Y Y
1
12 122 20,863
i iiXY
XX YYi i
JKrJK JK
X X Y Y
29
1 1 i ii i
ReferensiReferensi
Pasaribu, U.S., 2007, Catatan Kuliah Biostatistika. Walpole, Ronald E. Dan Myers, Raymond H., Ilmu
Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan Ilmuwan, Edisi 4, Bandung: Penerbit ITB, 1995.
Walpole, Ronald E., et.al, Statistic for Scientist and p fEngineering, 8th Ed., 2007.
30
Recommended