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Momentum linear relativístico
● Classicamente p = m v = m ∆x/∆t● No caso relativístico usamos o intervalo de tempo
próprio Δt0 (medido por um observador que se move junto com a partícula, ou seja, em repouso em relação a ela) e a massa de repouso m
● Da dilatação do tempo Δt = γ Δt0 é o intervalo de tempo medido por um observador no laboratório
● Logo p = m ∆x/∆t0 = m γ ∆x/∆t, ou seja
p = γ m v
Segunda lei de Newton
● Na relatividade as leis de Newton para o movimento continuam valendo para observadores em movimento relativo uniforme (primeiro postulado)
● Segunda lei: F = dp/dt ● Trabalho elementar realizado pela força F: dW = F dx =
(dp/dt) dx = v dp = v d(γ m v)● Se a partícula inicialmente estiver em repouso (v = 0) o
trabalho realizado para acelerar a partícula até uma velocidade v é dado pela integral
● W=∫0
vv d (
mv
√1−v2
c2
)=mc2(
1
√1−v2
c2
−1)
Energia cinética
● O teorema do trabalho-energia cinética continua valendo na relatividade
● K: energia cinética da partícula
● ΔK = Kf – Ki = W
● Como inicialmente v = 0 então Ki = 0 e temos
● K = mc2 (γ – 1)● No limite não-relativístico v << c então
γ ≈ 1 + (v2/2c2) + … donde K≈ mv2/2
Energia relativística
● Energia de repouso
E0 = mc2
● Energia cinética
K = (γ-1) m c2 = γmc2 - E0
● Energia de um corpo de massa m
E = E0 + K = γ m c2
● Massa e energia são totalmente equivalentes!
O elétron-volt
● É uma unidade prática de energia usada apenas para partículas elementares
● É a energia de um elétron acelerado por uma diferença de potencial de 1 V
1 eV = 1,6 x 10-19 J● Usamos os múltiplos
keV = 103 ev, MeV = 106 eV, GeV = 109 eV, TeV = 1012 eV
● Ex: massa de repouso de um elétron: m0 = 9,11 x 10-31 kg
energia de repouso: E0 = m0c2 = 9,11 x 10-31 x (3,0 x 108)2 =
8,2 x 10-15 J / 1,6 x 10-19 J = 5,11 x 104 eV = 0,511 MeV
Problemas
● Proposto: Uma partícula alfa é constituida por dois prótons e dois nêutrons. Dado que as massas de repouso do próton e do nêutron são 1,673 x 10-27 kg e 1,675 x 10-27 kg, respectivamente, determine a energia de repouso de uma partícula alfa em múltiplos do elétron-volt. Resposta: 3,75 GeV
● Para casa: Ache as energias de repouso do próton e do nêutron. Respostas: 938,2 MeV e 939,5 MeV.
Problema resolvido
● Um corpo estacionário explode em dois fragmentos de massa 1,0 kg cada, que movem-se com velocidades 0,6 c em relação ao corpo original. Ache a massa do corpo original.
● Usaremos o princípio de conservação da energia relativística (repouso + cinética)
Problema proposto
● A energia solar alcança a Terra a uma taxa de 1,4 kW por metro quadrado de superfície perpen-dicular à distância ao Sol. Quanta massa o Sol perde por segundo devido a esta perda de energia? O raio médio da órbita da Terra é 1,5 x 1011 m
Problema para casa
● Um corpo em repouso quebra-se espontaneamente em duas partes que se movem em direções opostas. As partes têm massas de repouso de 3 kg e 5,33 kg, e velocidades 0,8 c e 0,6 c, respectivamente. Ache a massa de repouso do corpo original.
Relação entre momentum e energia
K = (γ-1) m c2
p = γ m v● Eliminando v obtemos
E2 = p2c2 + m2c4
● Partículas com
massa de repouso nula:
E = p c
Problema resolvido
● Uma partícula de massa de repouso m0 tem velocidade v. Uma força F constante atua sobre a partícula numa direção paralela à sua velocidade. Usando a segunda lei de Newton determine a aceleração da partícula.
Problemas para casa
● Determine a energia total e o momentum linear de um elétron cuja energia cinética é 1,0 MeV.
● Qual a velocidade de um elétron cuja energia cinética é 2,0 MeV?
Um foguete não pode ser acelerado até a velocidade da luz!
● Na medida em que v se aproxima de c a massa do foguete tende para infinito
● Quanto maior a massa mais difícil será acelerar o foguete, então para que v fosse igual a c seria necessária uma força infinita para conseguir o objetivo
3a. Parte: Relatividade Geral
● Extensão da teoria da relatividade para incluir a gravidade (Einstein, 1916)
● Princípio de equivalência: um referencial acelerado é equivalente a um campo gravitacional uniforme
Consequência do princípio de equivalência
● Massa gravitacional m=P/g
● Massa inercial m = F/a● As massas gravitacional e
inercial são iguais● Comprovado
experimentalmente por Eotvos há mais de 100 anos
Efeito da gravidade sobre a luz
● Sob uma grande aceleração, o feixe de luz irá se curvar para baixo
● Princípio de equivalência: o feixe de luz irá se curvar numa região de intenso campo gravitacional.
Curvatura da luz por um campo gravitacional
● Um corpo de grande massa produz um campo gravitacional que deforma o espaço-tempo ao seu redor
● A trajetória da luz no campo gravitacional é curvada (a luz percorre caminhos chamados geodésicas do campo gravitacional)
Deflexão da luz que passa próximo a uma estrela
● A luz que vem de uma estrela e passa próximo ao Sol é defletida por um ângulo de 1,75'' em relação à posição observada da estrela
● Previsão teórica pode ser confirmada em eclipses solares totais
Eclipse solar total de 1919
● Uma equipe de astrônomos ingleses foi a Sobral (Ceará) para observar a posição de estrelas próximas ao Sol durante ao eclipse, e compará-las com as posições medidas em dias normais.
● A previsão de Einstein foi verificada
Lentes Gravitacionais
● A luz de galáxias distantes é defletida pelo campo gravitacional de galáxias no seu caminho
● Várias imagens da galáxia distante (efeito de lente)
● Efeito previsto teoricamente por Einstein em 1936 mas observado apenas em 1979 (“Twin QSO”)
Precessão do periélio de Mercúrio
● O campo gravitacional do Sol exerce sobre a órbita do planeta Mercúrio um efeito de precessão previsto pela relatividade
● Precessão de 43 segundos de arco por século
● Primeiro teste experimental da teoria de Einstein
Dilatação do tempo gravitacional
● Um campo gravitacional provoca o atraso de um relógio
● Δt': tempo medido na presença de gravidade
● Δt: tempo medido na ausência de gravidade
G: constante gravitacionalM: massa do corpor: distância do relógio ao centroc: velocidade da luz no vácuo
Raio de Schwarschild da Terra
● M = 5,98 x 1024 kg● R = 6,37 x 106 m● G = 6,67 x 10-11
N.m2/kg2
● c = 3,0 x 108 m/s
● rs = 2GM/c2
= 8,86 x 10-3 m
Sistema GPS
● Sistema de navegação baseado em satélites artificiais
● Permite a determinação de posições e tempos desde que haja sinais de pelo menos 4 satélites
● Possuem relógios atômicos com precisão de 20 a 30 nanossegundos PRECISA LEVAR EM CONTA OS
EFEITOS DA RELATIVIDADE ESPECIAL E GERAL!
Dilatação do tempo e o GPS
● Satélite GPS à distância r = 20180 km (geoestacionário): mede o intervalo Δt
● Observador na Terra mede o intervalo Δt'
● Δt' = Δt (1–2,19 x 10-10)● Diferença de tempo
acumulada em 1 dia● |Δt' – Δt| = 2,19 x 10-10 Δt
= 19 μs
Cosmologia
● “big-bang”: criação do Universo● inflação: expansão acelerada do espaço-tempo● expansão atual: matéria escura?
Tamanho e forma do Universo
● espaço-tempo é quadridimensional
● o Universo não pode ser infinito (paradoxo de Olbers)
● pode haver curvatura positiva (esfera), negativa (hiperbolóide) e zero (plano)
● dados atuais mostram que é o Universo é plano
Buracos negros
● região com campo gravitacional tão intenso que nem partículas nem radiação podem escapar
● é formado por uma estrela com massa suficientemente grande que deforma o espaço
● evolução do Sol: anã branca – estrela de nêutrons – buraco negro
Horizonte de eventos: limite da região até a qual não há escape
Buracos negros super-massivos
● absorvem estrelas e outros buracos negros
● massas milhões de vezes maiores que o Sol
● existem nos centros das galáxias (Via Láctea)
● discos de acresção: formados por matéria que orbita os buracos negros
Ondas gravitacionais
● são ondulações na curvatura do espaço-tempo que se propagam como ondas
● são geradas por certas interações gravitacionais e propagam-se para longe da sua fonte
● transportam energia sob a forma de radiação gravitacional
Fontes de ondas gravitacionais
● sistemas estelares binários formados por anãs brancas, estrelas de nêutrons e buracos negros
● ondas detectadas pela primeira vez em 2016 (projeto LIGO)
● supernova (explosão de uma estrela)
● “ecos do big-bang”: universo primordial
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