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RESULTADO DE EXAMEN FINAL
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NOLAN JARA JARA
1
RESUMEN PARA EXAMEN FINAL
Aplicaciones de la integral doble Volumen de un slido
dAyxfSVyxfSiR ;)(Ry)(x, 0),(
rea de una placa delgada R
Masa de una lmina (regin) plana R
Aplicaciones de la integral Triple Volumen de un slido E
E
dVEV )(
Masa de un slido E
Coordenadas cilndricas
Coordenadas Esfricas
R
dARA )(
densidadfunciondAyxmR
:;);(
densidadfunciondVzyxmE
:;);;(
d
c
h
h
rsenru
rsenruE
rdzdrdzrsenrfdVzyxf
2
1
2
1
,cos
,cos,,cos,,
dddfdVzyxfd
c
b
aE
sencos,cossen,cossen,, 2
NOLAN JARA JARA
2
Campos escalares y vectoriales
Gradiente de un campo escalar en el plano
Gradiente de un campo escalar en el espacio
Operador nabla
DIVERGENCIA Y ROTACIONAL
0) (
,,) (
.div,,
FxFotativo si res conservF
PQRPQRFxFrot
zR
yQ
xPFFRQPFsi
yxxzzy
INTEGRAL DE LINEA
),,(),,(/,,
;;;
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zyxFzyxfzyxf
fRfQfP
RQRPQP
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z
y
x
yzxzxy
)),(),,((),( yxfyxfyxf yx
)),,(),,,(),,,((),,( zyxfzyxfzyxfzyxf zyx
zyx
;;
potencialfuncion f arfbrfrdFSi
TrabajodttrtrFrdFW
Ccuerdamasadttrtrfdszyxm
dttrtrfdszyxf
a,blar en curva reguCbattrC
C
b
aC
C
b
a
C
b
a
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)(')(),;(
,),(:
NOLAN JARA JARA
3
Teorema de Green Sea C una curva simple, cerrada, suave por secciones y con orientacin positiva en el plano XY. Sea D la regin encerrada por C. Si P y Q tienen derivadas parciales continas en una regin abierta que contiene a D, entonces:
Clculo de reas mediante integral de lnea El rea de una regin limitada por una curva simple, cerrada y suave por secciones se puede calcular mediante una integral curvilnea de varias maneras:
Integral sobre una curva cerrada de un campo conservativo Si la curva C es simple, cerrada y suave por secciones, P y Q tienen derivadas parciales continuas en el interior de C y se cumple que Entonces
Integral de superficie de un campo escalar
1, ( )zS D
fS i g e n t o n c e s A S d S d A
f
D zS
SXY
dAf
yxzyxfyxzyxgdszyxg
proyeccionDzyxfSSi)),(,,()),(,,(
)),,(
;0),,(:,
, ( )zS D
fSi g entonces m S dS dA
f
DC
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21)(Area
yP
xQ
0C
QdyPdx
NOLAN JARA JARA
4
m(s): Masa de la superficie S Integral de superficie de un campo Vectorial
Teorema de Stokes
Sea S una superficie orientada, suave por partes, que est acotada por una curva C de frontera, simple, cerrada suave por partes, que tenga orientacin positiva. Sea F un campo vectorial cuyas componentes tienen
derivadas parciales continuas en una regin abierta de R3 que contiene a
S.
Teorema de la Divergencia
Sea E una regin simple de R3 y S su superficie frontera, orientada hacia fuera. Sea F un campo vectorial cuyas componentes tienen derivadas parciales continuas en una regin abierta que incluye a E. Entonces:
f
fn
dAyxzyxf
yxzyxfyxzyxFdSnzyxFdzyxFD zSS
),(,,(
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SC
SdFrdF )(rot
ES
dVFSdF )(div
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