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Revisão de Circuitos Elétricos com Interruptores
Campus deIlha Solteira
Laboratório deEletrônica de Potência
Slide 1/134
Prof. Dr. Guilherme de Azevedo e MeloUNESP – Campus de Ilha Solteira
LEP – Laboratório de Eletrônica de Potência
Material desenvolvido por: Prof. Dr. Carlos Alberto Canesin
Circuitos de Primeira Ordem
Circuito RC em Série com um Tiristor:
Campus deIlha Solteira
Circuitos de Primeira e Segunda Ordens Slide 2/134
• Supondo que o tiristorT está bloqueado e que ocapacitorC encontra-se inicialmente descarregado,o que ocorre quandoT é levado à condução?
• Como ficam as formas de onda de tensão e correnteassociadas aR e C? É possível determiná-las deforma teórica?
Circuitos de Primeira Ordem
Circuito RC em Série com um Tiristor:
( ) . ( )Rv t R i t=
. ( ) ( )CE R i t v t= +
⇓
( ) ( )R CE v t v t= +
Campus deIlha Solteira
Circuitos de Primeira e Segunda Ordens Slide 3/134
( ) ( )R CE v t v t= +
• Em t = t0, o tiristor é levado à condução.
• vC(t0) = 0
• Equacionando a malha de tensão, tem-se:
( )Ci i t=
( ) . ( )C C
di t C v t
dt=
. ( ) ( )CE R i t v t= +
. ( ) ( )C CE R i t v t= +
. . ( ) ( )C C
dE R C v t v t
dt= +
⇓
⇓
Circuitos de Primeira Ordem
Circuito RC em Série com um Tiristor:
. . ( ) ( )C C
dE R C v t v t
dt= +
( ) ?Cv t =
⇓
( )1 . . . ( )C
Es R C V s
s= +
( )( )C
EV s =
+
Campus deIlha Solteira
Circuitos de Primeira e Segunda Ordens Slide 4/134
C
• Para resolver o problema, é possível usara Transformada de Laplace.
( )0. . . ( ) ( ) ( )C C C
ER C sV s v t V s
s= − +
0. . . ( ) ( ) . . ( )C C C
Es R CV s V s R C v t
s= + −
0
( )( )
. 1 . .CV ss s R C
=+
( )( )
. 1 . .C
EV s
s s R C=
+
( ).( )
. 1 . .
.
C
E
R CV ss s R C
R C
=+
Circuitos de Primeira Ordem
Circuito RC em Série com um Tiristor:
.( )1 . .
.
C
ER CV s
s R Cs
R C
=+ ⋅
( )11 ate−⋅ −
( )1
+⇔
• Para retonar ao domínio do tempo, aplica-se a Anti-Transformada de Laplace. Parao caso em questão:
Campus deIlha Solteira
Circuitos de Primeira e Segunda Ordens Slide 5/134
1.1
( ) 11..
tR C
C
Ev t e
R CR C
− ⋅
= ⋅ ⋅ −
( )/ .( ) 1 t R CCv t E e−= ⋅ −
1( )
1. ..
C
EV s
R Cs s
R C
= ⋅ +
1( )
1 . .. .. .
C
EV s
s R CR C sR C R C
= ⋅ +
( )1 ea
⋅ −( ).s s a+
⇔
Circuitos de Primeira Ordem
Circuito RC em Série com um Tiristor:
• Outra forma de se obter a Anti-Transformada de Laplace é trabalhando a equação atravésda técnica de Frações Parciais.
• http://www.ncsu.edu/felder-public/kenny/papers/partial.html
( )E
V s =
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Circuitos de Primeira e Segunda Ordens Slide 6/134
( ) ( ).
. 1 . . 1 . .
E x yE
s s R C s s R C
= + + +
• Aplicando quaisquer dos métodos paradeterminação de frações parciais, tem-se:
1
.
x
y R C
= = −
( )1
( ) .1 . .C
RCV s E
s s R C
= − +
1 1( ) .
1.
CV s Es
sR C
= −
+
( )( )
. 1 . .C
EV s
s s R C=
+
Circuitos de Primeira Ordem
Circuito RC em Série com um Tiristor:
1 1( ) .
1CV s Es
= −
11 ⇔
• Para o caso em questão:
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( ) .1.
CV s Es s
R C
= − +
1s
⇔
ate−
( )1
s a+⇔
( )/ .( ) 1 t R CCv t E e−= ⋅ −
• Para retonar ao domínio do tempo, aplica-se a Anti-Transformada de Laplace. AAnti-Transformada deve ser aplicada aosdois termos que contêm o operadors, deforma individual.
Circuitos de Primeira Ordem
Circuito RC em Série com um Tiristor:
( )/ .( ) 1 t R Cv t E e−= ⋅ −
( ) . ( )C C
di t C v t
dt=
⇓
( ) ( )/ .( ) . . 1 t R CC
d di t E C e
dt dt− = −
Campus deIlha Solteira
Circuitos de Primeira e Segunda Ordens Slide 8/134
( )/ .( ) 1 t R CCv t E e−= ⋅ −⇓
( )( )/ .( ) . 1 t R CC
di t C E e
dt−= ⋅ −
( )/ .( ) . . 1 t R CC
di t E C e
dt−= −
( )/ .1( ) . . 0 .
.t R C
Ci t E C eR C
− = − −
/ .( ) t R CC
Ei t e
R−= ⋅
Circuitos de Primeira Ordem
Circuito RC em Série com um Tiristor:
Campus deIlha Solteira
Circuitos de Primeira e Segunda Ordens Slide 9/134
/ .( ) t R CC
Ei t e
R−= ⋅
( )/ .( ) 1 t R CCv t E e−= ⋅ −
Circuitos de Primeira Ordem
Circuito RL em Série com um Tiristor:
Campus deIlha Solteira
Circuitos de Primeira e Segunda Ordens Slide 10/134
• Supondo que o tiristorT está bloqueado e que oindutor L encontra-se inicialmente descarregado, oque ocorre quandoT é levado à condução?
• Como ficam as formas de onda de tensão e correnteassociadas aR e L? É possível determiná-las deforma teórica?
Circuitos de Primeira Ordem
Circuito RL em Série com um Tiristor:
( ) . ( )R Lv t R i t=⇓
( ) ( )R LE v t v t= +
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Circuitos de Primeira e Segunda Ordens Slide 11/134
( ) ( )R LE v t v t= +
• Em t = t0, o tiristor é levado à condução.
• iL(t0) = 0
• Equacionando a malha de tensão, tem-se:
( ) . ( )L L
dv t L i t
dt=
. ( ) ( )L LE R i t v t= +
. ( ) . ( )L L
dE R i t L i t
dt= +
⇓
⇓
Circuitos de Primeira Ordem
Circuito RL em Série com um Tiristor:
. ( ) . ( )L L
dE R i t L i t
dt= +
( ) ?Li t =
⇓
( ). . ( )L
ER s L I s
s= +
( )( )
. .L
EI s
s s L R=
+
Campus deIlha Solteira
Circuitos de Primeira e Segunda Ordens Slide 12/134
L
• Para resolver o problema, é possível usara Transformada de Laplace.
( )0. ( ) . . ( ) ( )L L L
ER I s L s I s i t
s= + −
0
0. ( ) . . ( ) . ( )L L L
ER I s s L I s L i t
s= + −
( )( )
. .LI ss s L R
=+
( )( ). .L
ELI s
s s L R
L
=+
1( )
.L
EI s
RL s sL
= ⋅ +
Circuitos de Primeira Ordem
Circuito RL em Série com um Tiristor:
1( )
.L
EI s
RL s sL
= ⋅ +
.1( ) 1
Rt
LL
Ei t e
RLL
−
= ⋅ ⋅ −
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( )11 ate
a−⋅ −
( )1
.s s a+⇔
• Para retonar ao domínio do tempo, aplica-se a Anti-Transformada de Laplace. Parao caso em questão:
L
( ). /( ) 1 R t LL
Ei t e
R−= ⋅ −
Circuitos de Primeira Ordem
Circuito RL em Série com um Tiristor:
( ). /( ) 1 R t LEi t e−= ⋅ −
( ) . ( )L L
dv t L i t
dt=
⇓
( ) ( ). /( ) 1 R t LL
L d dv t E e
R dt dt− = ⋅ ⋅ −
( )L R
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Circuitos de Primeira e Segunda Ordens Slide 14/134
( ). /( ) 1 R t LL
Ei t e
R−= ⋅ −⇓
( ). /( ) . 1 R t LL
d Ev t L e
dt R− = ⋅ −
( ). /( ) 1 R t LL
E dv t L e
R dt−= ⋅ ⋅ −
( ). /( ) 0 . R t LL
L Rv t E e
R L− = ⋅ ⋅ − −
( ). /( ) . R t LL
L Rv t E e
R L− = ⋅ ⋅
. /( ) R t LLv t E e−= ⋅
Circuitos de Primeira Ordem
Circuito RL em Série com um Tiristor:
Campus deIlha Solteira
Circuitos de Primeira e Segunda Ordens Slide 15/134
. /( ) R t LLv t E e−= ⋅
( ). /( ) 1 R t LL
Ei t e
R−= ⋅ −
Circuitos de Primeira Ordem
Circuito RL em Série com um Tiristor:
Campus deIlha Solteira
Circuitos de Primeira e Segunda Ordens Slide 16/134
• Ao fim da carga do indutor, o tiristor nãose bloqueia. Para tanto, é necessárioutilizar circuitos de comutação forçada.
Circuitos de Primeira Ordem
Circuito de Roda-Livre:
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Circuitos de Primeira e Segunda Ordens Slide 17/134
• Suponha que o interruptorS estejafechado já há algum tempo e que oindutorL esteja plenamente carregado.
Circuitos de Primeira Ordem
( ) ( ) 0L Rv t v t+ =
. ( ) . ( ) 0L L
dL i t R i t
dt+ =
Circuito de Roda-Livre:
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Circuitos de Primeira e Segunda Ordens Slide 18/134
• Ao realizar a abertura do interruptor, emt = t0, a correnteiL(t) tende a manter seusentido original, levandoD à condução.
( )0. . ( ) ( ) . ( ) 0L L LL s I s i t R I s− + =
0. . ( ) . ( ) . ( ) 0L L Ls L I s R I s L i t+ − =
( ) 0. . ( ) . ( )L Ls L R I s L i t+ =
( )0. ( )
( ).
LL
L i tI s
s L R=
+
Circuitos de Primeira Ordem
Circuito de Roda-Livre:
( )0. ( )
( ).
LL
L i tI s
s L R=
+• Para retonar ao domínio do tempo, aplica-
se a Anti-Transformada de Laplace. Parao caso em questão:
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Circuitos de Primeira e Segunda Ordens Slide 19/134
( )
0. ( )
( ).
L
L
L i t
LI ss L R
L
=+
0( )( ) L
L
i tI s
Rs
L
= +
ate−
( )1
s a+⇔
. /0( ) ( ). R t L
L Li t i t e−=
Circuitos de Primeira Ordem
Circuito de Roda-Livre:
• Para a tensão sobre o indutor, tem-se:
( ) . ( )L L
dv t L i t= . /( ) ( ) R t LR
v t L i t e− = ⋅ ⋅ − ⋅
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Circuitos de Primeira e Segunda Ordens Slide 20/134
( ) . ( )L Lv t L i tdt
=
( ). /0( ) . ( ). R t L
L L
dv t L i t e
dt−=
( ). /0( ) . ( ). R t L
L L
dv t L i t e
dt−=
0( ) ( )L Lv t L i t eL
= ⋅ ⋅ − ⋅
. /0( ) . ( ). R t L
L Lv t R i t e−= −
Circuitos de Primeira Ordem
Circuito de Roda-Livre:
• No início, foi consideradoque o indutor
. /0( ) ( ). R t L
L Li t i t e−=. /( ) R t L
L
Ei t e
R−= ⋅
. /0( ) . ( ). R t L
L Lv t R i t e−= −. /( ) R t L
L
Ei t e
R−= ⋅
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Circuitos de Primeira e Segunda Ordens Slide 21/134
• No início, foi consideradoque o indutorestava totalmente carregado. Então:
0( )L
Ei t
R=
. /( ) . R t LLv t E e−= −
Circuitos de Primeira Ordem
Circuito de Roda-Livre:
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Circuitos de Primeira e Segunda Ordens Slide 22/134
. /( ) R t LLv t E e−= ⋅
( ). /( ) 1 R t LL
Ei t e
R−= ⋅ −
Circuitos de Primeira Ordem
Circuito de Roda-Livre:
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Circuitos de Primeira e Segunda Ordens Slide 23/134
. /( ) R t LL
Ei t e
R−= ⋅
. /( ) . R t LLv t E e−= −
. /( ) R t LL
Ei t e
R−= ⋅
Circuitos de Primeira Ordem
Circuito de Roda-Livre:
( ). /( ) 1 R t LL
Ei t e
R−= ⋅ −
. /( ) R t LL
Ei t e
R−= ⋅
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Circuitos de Primeira e Segunda Ordens Slide 24/134
. /( ) . R t LLv t E e−= −
. /( ) R t LLv t E e−= ⋅
Circuitos de Primeira Ordem
Circuito de Roda-Livre:
• A desmagnetização deL é tanto maisrápida quanto maior for o valor deR.
Por que?
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• Durante a roda-livre, a energia acumuladaemL é transformada em calor emR.
[ ]2
0
1( )
2 LW L i t= ⋅ ⋅
Por que?
Circuitos de Primeira Ordem
Circuito de Roda-Livre:
• Desta forma, quanto maior é o valor de R,mais energia é dissipada para uma dadacorrenteinstantânea.
Porque o indutor armazena energia emforma de corrente elétrica, que nestesistema é dissipada somente através doelemento resistivo.
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Circuitos de Primeira e Segunda Ordens Slide 26/134
correnteinstantânea.
Circuitos de Primeira Ordem
Circuito de Roda-Livre:
• Caso não houvesse o diodoD no circuito,no instante do bloqueio deS, o indutor Lprovocaria uma sobretensão no circuito, emfunção do elevado valor dedi/dt resultanteda brusca interrupção da corrente.
( ) ( )S LE v t v t= +
• No instante do bloqueio deS:
( ) ( )S Lv t E v t= −
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( ) . ( )L L
dv t L i t
dt=
( ) . ( )S L
dv t E L i t
dt= −
⇓
• Contudo, de acordo com a forma de ondada corrente, no instante do bloqueio ovalor dediL(t)/dt é negativo e possui valormuito elevado (tendendo a infinito, nocaso ideal). Desta forma, aparecerá umasobretensão emS que poderá levar ocomponente à destruição.
Circuitos de Primeira Ordem
Circuito de Roda-Livre com Recuperação:
1( ) 0Lv t E+ =
1. ( ) 0L
dL i t E
dt+ =
• Em muitas aplicações práticas, pode serimportante reaproveitar a energia inici-almente acumulada no indutor.
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• Suponha que, no instante da abertura deS, a corrente no circuito sejaI0.
( ) 10. . ( ) ( ) 0L L
EL s I s i t
s− + =
I0
10. . ( ) .L
Es L I s L I
s− = −
10.
( ).L
EL I
sI ss L
−=
Circuitos de Primeira Ordem
Circuito de Roda-Livre com Recuperação:
10.
( ).L
EL I
sI ss L
−=
1 1E
10( )L
Ei t I t
L= − ⋅
Campus deIlha Solteira
Circuitos de Primeira e Segunda Ordens Slide 29/134
10 2
1 1( )L
EI s I
s L s= ⋅ − ⋅
11
s⇔
t2
1
s⇔
Circuitos de Primeira Ordem
Circuito de Roda-Livre com Recuperação:
0
1f
It L
E= ⋅
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Circuitos de Primeira e Segunda Ordens Slide 30/134
10( )L
Ei t I t
L= − ⋅
?ft =
10( ) 0L f f
Ei t I t
L= − ⋅ =
• Quanto maior for o valor deE1, menorserá o tempo de recuperaçãotf .
Circuitos de Primeira Ordem
Circuito de Recuperação com Transformador:
• Quando não se dispõe de uma segunda fonte para absorver a energia armazenada naindutância, pode-se empregar uma configuração com transformador, de tal forma quepermita a devolução de energia para a própria fonte.
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Circuitos de Primeira e Segunda Ordens Slide 31/134
• Este método é empregado em fontes chaveadas com transformadoresde isolamento e noscircuitos de ajuda à comutação dos conversores CC/CC de grandes correntes.
Circuitos de Primeira Ordem
Circuito de Recuperação com Transformador:
• QuandoS está fechado, a energia é armazenada naindutância magnetizante do transformador.
• A polaridadedo enrolamentosecundáriofaz com
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• A polaridadedo enrolamentosecundáriofaz comqueD mantenha-se bloqueado durante esta etapa.
• QuandoS é bloqueado, a polaridade da tensão noenrolamento secundário se inverte.
• D entra em condução e transfere a energiaacumulada no campo magnético de volta paraE.
Circuitos de Primeira Ordem
Circuito de Recuperação com Transformador:
• Para a análise quantitativa da topologia, utiliza-se o circuito equivalente do transformador ,desprezando-se as resistências de perdas e a indutância de dispersão.
Campus deIlha Solteira
Circuitos de Primeira e Segunda Ordens Slide 33/134
⇒
Circuitos de Primeira Ordem
Circuito de Recuperação com Transformador:
• Primeira etapa:
• Supondo queSseja bloqueado emt = t1:
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( ) 0Lmv t E− =
1( )m
Ei t t
L= ⋅
⇓
1 1 1 1( )m
Ei t I t
L= = ⋅
Circuitos de Primeira Ordem
Circuito de Recuperação com Transformador:
• Segunda etapa:
• Com o bloqueio deS, a corrente emLm
tende a manter seu sentido de circulação,fazendo com queD entre em condução.ReferindoLm para o secundário, tem-se:
• No início desta etapa, emt = t1:
1( )N
i t I I
= = ⋅
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Circuitos de Primeira e Segunda Ordens Slide 35/134
⇓
222
1
'm m
NL L
N
= ⋅
12 1 2 1
2
( )N
i t I IN
= = ⋅
Circuitos de Primeira Ordem
Circuito de Recuperação com Transformador:
• Segunda etapa:
• Supondo queL’m seja completamentedescarregado emt = t2:
2 2 2 2( ) 0E
i t I t= = − ⋅
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Circuitos de Primeira e Segunda Ordens Slide 36/134
• No circuito referido ao secundário:
2 2( )'m
Ei t I t
L= − ⋅
' ( ) 0L mv t E− =
⇓
2 2 2 2( ) 0'm
i t I tL
= = − ⋅
2 2
'mLt I
E = ⋅
Circuitos de Primeira Ordem
12 1
NI I
N
= ⋅
Circuito de Recuperação com Transformador:
2 2
'mLt I
E = ⋅
22 1
2 1221
m
m
L E N Nt t
E L NN
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
Campus deIlha Solteira
Circuitos de Primeira e Segunda Ordens Slide 37/134
2 12
I IN
= ⋅
1 1m
EI t
L= ⋅
• Variando-se a relação de transformação,pode-se variar o tempo de recuperaçãot2.
222
1
'm m
NL L
N
= ⋅
222
1 12 1
2
m
m
NL
N N Et t
E N L
⋅
= ⋅ ⋅ ⋅
21m N
⇓2
2 11
Nt t
N
= ⋅
Circuitos de Primeira Ordem
Circuito de Recuperação com Transformador:
• Análise da evolução da tensão sobre S:
• Primeira etapa: • Segunda etapa:
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• Sestá em condução, portanto:
( ) 0Sv t =
• Sestá bloqueado, sendo que:
1( )Sv t E V= +
11
2
NV E
N= ⋅⇓
1
2
( ) 1S
Nv t E
N
= ⋅ +
Circuitos de Primeira Ordem
Circuito de Recuperação com Transformador:
• Análise da evolução da tensão sobre S:
• É possível considerar ainda a existênciade uma terceira etapa, onde tantoSquanto D estão bloqueados eLm estátotalmente descarregado:
Campus deIlha Solteira
Circuitos de Primeira e Segunda Ordens Slide 39/134
( )Sv t E=• Nesta etapa:
Circuitos de Primeira Ordem
Carga de um Capacitor à corrente Constante:
• Considere o seguinte circuito: • No instantet = t0, Sé levado à condução,fazendo com queD seja bloqueado eIpasse a fluir através deC:
Campus deIlha Solteira
Circuitos de Primeira e Segunda Ordens Slide 40/134
• Inicialmente, o capacitorC está comple-tamente descarregado a correnteI circulaatravés deD:
( ) . ( )C C
di t C v t
dt=
1( ) ( )C Cv t i t dt
C= ⋅ ∫
Circuitos de Primeira Ordem
Carga de um Capacitor à corrente Constante:
• Então, a tensão sobreC evolui de formalinear, com inclinação definida pelo termoI/C. QuandovC(t) = E, em t = t f, entãocessa o fluxo de corrente através desseramo, levandoD à condução.
I
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Circuitos de Primeira e Segunda Ordens Slide 41/134
• Para o caso em questão:
( ) ( )teCi t I C= =
1( )Cv t Idt
C= ⋅ ∫
( )C
Iv t t
C= ⋅
( )C f f
Iv t E t
C= = ⋅
f
Et C
I= ⋅
Circuitos de Primeira Ordem
Carga de um Capacitor à corrente Constante:
( )C
Iv t t
C= ⋅ f
Et C
I= ⋅
Campus deIlha Solteira
Circuitos de Primeira e Segunda Ordens Slide 42/134
Revisão de Circuitos Elétricos com Interruptores - Circuitos de Segunda
Ordem
Campus deIlha Solteira
Laboratório deEletrônica de Potência
Slide 43/134
Ordem
Prof. Dr. Carlos Alberto CanesinUNESP – Campus de Ilha Solteira
LEP – Laboratório de Eletrônica de Potência
Circuitos de Segunda Ordem
Circuito LC submetido a Degrau de Tensão:
• Supondoqueo interruptorSestáinicialmente
Campus deIlha Solteira
Circuitos de Primeira e Segunda Ordens Slide 44/134
• Supondoqueo interruptorSestáinicialmentebloqueado, o que ocorre quandoS é levado àcondução?
• Como ficam as formas de onda de tensão e correnteassociadas aC e a L? É possível determiná-las deforma teórica?
Circuitos de Segunda Ordem
Circuito LC submetido a Degrau de Tensão:
⇓
( ) ( )L CE v t v t= +
( ) . ( )L L
dv t L i t
dt=
. ( ) ( )L C
dE L i t v t= +
Campus deIlha Solteira
Circuitos de Primeira e Segunda Ordens Slide 45/134
( ) ( )L CE v t v t= +
• Em t = t0, Sé levado à condução.
• iL(t0) = 0
• vC(t0) = 0
• Equacionando a malha de tensão, tem-se:
( ) ( ) . ( )L C C
di t i t C v t
dt= =
⇓
⇓
. ( ) ( )L CE L i t v tdt
= +
. . ( ) ( )C C
d dE L C v t v t
dt dt = +
2
2. . ( ) ( )C C
dE L C v t v t
dt= +
Circuitos de Segunda Ordem
Circuito LC submetido a Degrau de Tensão:
2
2. . ( ) ( )C C
dE L C v t v t
dt= +
( ) ?Cv t =
Campus deIlha Solteira
Circuitos de Primeira e Segunda Ordens Slide 46/134
C
⇒
• Para resolver o problema, é possível usar a Transformada deLaplace.
20
0
. . . ( ) . ( ) ( ) ( )C C C Ct
E dL C s V s s v t v t V s
s dt =
= − − +
2 00
( ). . . ( ) . ( ) ( )L
C C C
i tEL C s V s s v t V s
s C = − − +
⇓ ( ) ( ) . ( )L C C
di t i t C v t
dt= = ( )
( ) LC
d i tv t
dt C=
Circuitos de Segunda Ordem
Circuito LC submetido a Degrau de Tensão:
2 00
( ). . . ( ) . ( ) ( )L
C C C
i tEL C s V s s v t V s
s C = − − +
2 00
( ). . . ( ) . . . ( ) . . ( )L
C C C
i tEs L CV s s L C v t L C V s
s C = − − +
Campus deIlha Solteira
Circuitos de Primeira e Segunda Ordens Slide 47/134
0. . . ( ) . . . ( ) . . ( )C C Cs L CV s s L C v t L C V ss C
= − − +
2 00
( ). . . ( ) ( ) . . . ( ) . . L
C C C
i tEs L C V s V s s L C v t L C
s C+ = + +
( )20 01 . . . ( ) . . . ( ) . ( )C C L
Es L C V s s L C v t L i t
s+ = + +
( ) ( ) ( )0 0
2 2 2
. . . ( ) . ( )( )
. 1 . . 1 . . 1 . .C L
C
s L C v t L i tEV s
s s L C s L C s L C= + +
+ + +
Circuitos de Segunda Ordem
Circuito LC submetido a Degrau de Tensão:
( ) ( ) ( )0 02 2 2
1 1( ) ( ) . ( )
. 1 . . 1 . . 1 . .C C L
sV s E L C v t L i t
s s L C s L C s L C= ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅
+ + +
1 1s
Campus deIlha Solteira
Circuitos de Primeira e Segunda Ordens Slide 48/134
( ) ( ) ( )0 02 2 2
1 1. . .( ) ( ) . ( )
. 1 . . 1 . . 1 . .
. . .
C C L
sL C L C L CV s E L C v t L i t
s s L C s L C s L C
L C L C L C
= ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅+ + +
0 02 2 2
1 1. .( ) ( ) ( )
1 1 1.
. . .
C C L
sL C L CV s E v t L i ts s s s
L C L C L C
= ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + + +
• Para retonar ao domínio do tempo, aplica-se a Anti-Transformada de Laplace.
Circuitos de Segunda Ordem
0 02 2 2
1 1. .( ) ( ) ( )
1 1 1.
. . .
C C L
sL C L CV s E v t L i ts s s s
L C L C L C
= ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + + +
1
Circuito LC submetido a Degrau de Tensão:
1 1
Campus deIlha Solteira
Circuitos de Primeira e Segunda Ordens Slide 49/134
2 1
.L Cω =
1 cos( . )tω−( )2
2 2.s s
ωω+
⇔ cos( . )tω( )2 2
s
s ω+⇔ sen( . )tω( )2 2s
ωω+
⇔
0 02 2 2
1 11. ..( ) ( ) ( )
1 1 1.
. . .
C C L
s L C L CL CV s E v t L i ts s s s
L C L C L C
⋅= ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅
+ + +
2 1
.L Cω = 2 1
.L Cω =
Circuitos de Segunda Ordem
Circuito LC submetido a Degrau de Tensão:
0 02 2 2
1 11. ..( ) ( ) ( )
1 1 1.
. . .
C C L
s L C L CL CV s E v t L i ts s s s
L C L C L C
⋅= ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅
+ + +
11
Campus deIlha Solteira
Circuitos de Primeira e Segunda Ordens Slide 50/134
2 1
.L Cω =
1 cos( . )tω−( )2
2 2.s s
ωω+
⇔ cos( . )tω( )2 2
s
s ω+⇔ sen( . )tω( )2 2s
ωω+
⇔
2 1
.L Cω = 2 1
.L Cω =
0 02 2 2
11..( ) ( ) ( )
1 1 1.
. . .
C C L
s L L CL CV s E v t i tCs s s s
L C L C L C
= ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + + +
1
.L Cω =⇒
Circuitos de Segunda Ordem
Circuito LC submetido a Degrau de Tensão:
2ω s ω
0 02 2 2
11..( ) ( ) ( )
1 1 1.
. . .
C C L
s L L CL CV s E v t i tCs s s s
L C L C L C
= ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + + +
Campus deIlha Solteira
Circuitos de Primeira e Segunda Ordens Slide 51/134
1 cos( . )tω−( )2
2 2.s s
ωω+
⇔ cos( . )tω( )2 2
s
s ω+⇔ sen( . )tω( )2 2s
ωω+
⇔
• Portanto, com a Anti-Transformada de Laplace:
( ) 0 0( ) . 1 cos( . ) ( ).cos( . ) . ( ).sen( . )C C L
Lv t E t v t t i t t
Cω ω ω= − + +
( )0 0( ) ( ) .cos( . ) . ( ).sen( . )C C L
Lv t E v t E t i t t
Cω ω= + − +
Circuitos de Segunda Ordem
Circuito LC submetido a Degrau de Tensão:
( )0 0( ) ( ) .cos( . ) . ( ).sen( . )C C L
Lv t E v t E t i t t
Cω ω= + − +
• Checagemdeunidades:
Campus deIlha Solteira
Circuitos de Primeira e Segunda Ordens Slide 52/134
( ) [ ]Cv t V→
[ ]E V→
( )0( ) [ ]Cv t E V− →
0( ) [ ]L
Li t V
C⋅ →
• Checagemdeunidades:
???
Circuitos de Segunda Ordem
Circuito LC submetido a Degrau de Tensão:
0( ) [ ]L
Li t V
C⋅ →
• Reatância indutiva: . . [ ]LX j Lω= → Ω
1= → Ω
Campus deIlha Solteira
Circuitos de Primeira e Segunda Ordens Slide 53/134
( )0 0( ) ( ) .cos( . ) . ( ).sen( . )C C L
Lv t E v t E t i t t
Cω ω= + − +
• Reatância capacitiva:1
[ ]. .CXj Cω
= → Ω
2. ..
. .L C
j L LX X
j C C
ωω
= = → Ω
2L
C → Ω [ ]
L
C→ Ω⇒
Circuitos de Segunda Ordem
Circuito LC submetido a Degrau de Tensão:
• Supondo que o interruptorSestá inicialmentebloqueado,o queocorrequandoS é levadoà
Campus deIlha Solteira
Circuitos de Primeira e Segunda Ordens Slide 54/134
bloqueado,o queocorrequandoS é levadoàcondução?
• Como ficam as formas de onda de tensão e correnteassociadas aC e a L? É possível determiná-las deforma teórica?
( )0 0( ) ( ) .cos( . ) . ( ).sen( . )C C L
Lv t E v t E t i t t
Cω ω= + − +
Circuitos de Segunda Ordem
Circuito LC submetido a Degrau de Tensão:
Campus deIlha Solteira
Circuitos de Primeira e Segunda Ordens Slide 55/134
( ) ( ) . ( )L C C
di t i t C v t
dt= =
( )0 0( ) ( ) .cos( . ) . ( ).sen( . )C C L
Lv t E v t E t i t t
Cω ω= + − +⇓
( )0 0( ) . ( ) .cos( . ) . ( ).sen( . )L C L
d Li t C E v t E t i t t
dt Cω ω
= + − +
Circuitos de Segunda Ordem
Circuito LC submetido a Degrau de Tensão:
( )0 0( ) . ( ) .cos( . ) . ( ).sen( . )L C L
d Li t C E v t E t i t t
dt Cω ω
= + − +
⇓
cos( . ) sen( . )d
t tdt
ω ω ω= − ⋅
Campus deIlha Solteira
Circuitos de Primeira e Segunda Ordens Slide 56/134
( ) ( ) ( )0 0( ) ( ) sen( . ) ( ) cos( . )L C L
Li t C v t E t i t t
Cω ω ω ω
= ⋅ − ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅
⇓sen( . ) cos( . )
dt t
dtω ω ω= ⋅
( )0 0( ) ( ) sen( . ) ( ) cos( . )L C L
Li t C v t E t i t t
Cω ω ω ω
= ⋅ − ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅
Circuitos de Segunda Ordem
Circuito LC submetido a Degrau de Tensão:
( )0 0( ) ( ) sen( . ) ( ) cos( . )L C L
Li t C v t E t i t t
Cω ω ω ω
= ⋅ − ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅
( )( ) ( ) sen( . ) ( ) cos( . )L
i t C v t E t i t tω ω ω
= ⋅ ⋅ − − ⋅ + ⋅ ⋅
Campus deIlha Solteira
Circuitos de Primeira e Segunda Ordens Slide 57/134
( )0 0( ) ( ) sen( . ) ( ) cos( . )L C L
Li t C v t E t i t t
Cω ω ω
= ⋅ ⋅ − − ⋅ + ⋅ ⋅
1
.L Cω =⇓
( )0 0( ) ( ) sen( . ) ( ) cos( . ).
L C L
C Li t v t E t i t t
CL Cω ω
= ⋅ − − ⋅ + ⋅ ⋅
( )0 0( ) ( ) sen( . ) ( ) cos( . )L C L
C Li t v t E t i t t
L Cω ω
= ⋅ − − ⋅ + ⋅ ⋅
Circuitos de Segunda Ordem
Circuito LC submetido a Degrau de Tensão:
( )0 0( ) ( ) sen( . ) ( ) cos( . )L C L
C Li t v t E t i t t
L Cω ω
= ⋅ − − ⋅ + ⋅ ⋅
Campus deIlha Solteira
Circuitos de Primeira e Segunda Ordens Slide 58/134
( )0 0( ) ( ) sen( . ) ( ) cos( . )L C L
Ci t v t E t i t t
Lω ω= − ⋅ − ⋅ + ⋅
( )0 0( ) ( ) .cos( . ) . ( ).sen( . )C C L
Lv t E v t E t i t t
Cω ω= + − +
Circuitos de Segunda Ordem
Circuito LC submetido a Degrau de Tensão:
• Supondo que o as condições iniciais sãonulas, ou seja:
0( ) 0Cv t =
Campus deIlha Solteira
Circuitos de Primeira e Segunda Ordens Slide 59/134
( )0 0( ) ( ) sen( . ) ( ) cos( . )L C L
Ci t v t E t i t t
Lω ω= − ⋅ − ⋅ + ⋅
( )0 0( ) ( ) .cos( . ) . ( ).sen( . )C C L
Lv t E v t E t i t t
Cω ω= + − +
0( ) 0Li t =
( ) sen( . )L
Ci t E t
Lω= ⋅ ⋅
( )( ) . 1 cos( . )Cv t E tω= −
⇒
⇒
• Então:
0 0
00
Circuitos de Segunda Ordem
Circuito LC submetido a Degrau de Tensão:
Campus deIlha Solteira
Circuitos de Primeira e Segunda Ordens Slide 60/134
( ) sen( . )L
Ci t E t
Lω= ⋅ ⋅
( )( ) . 1 cos( . )Cv t E tω= −
.tω π=. 2.tω π=
( ). .t L Cπ=( )2. . .t L Cπ=
.C
EL
.C
EL
−
.2
tπω = 3
.2
tω π=
Circuitos de Segunda Ordem
Circuito LC submetido a Degrau de Tensão:
Campus deIlha Solteira
Circuitos de Primeira e Segunda Ordens Slide 61/134
( ) sen( . )L
Ci t E t
Lω= ⋅ ⋅
( )( ) . 1 cos( . )Cv t E tω= −
.tω π= . 2.tω π=
.C
EL
.C
EL
−
. 3.tω π= . 4.tω π=
Circuitos de Segunda Ordem
Circuito LC submetido a Degrau de Tensão:
• Supondo que:
0( ) 0Cv t ≠
0( ) 0Li t =
Campus deIlha Solteira
Circuitos de Primeira e Segunda Ordens Slide 62/134
( )0 0( ) ( ) sen( . ) ( ) cos( . )L C L
Ci t v t E t i t t
Lω ω= − ⋅ − ⋅ + ⋅
( )0 0( ) ( ) .cos( . ) . ( ).sen( . )C C L
Lv t E v t E t i t t
Cω ω= + − +
⇒
⇒
• Então:
0
0
( )0( ) ( ) .cos( . )C Cv t E v t E tω= + −⇒
( )0( ) ( ) sen( . )L C
Ci t v t E t
Lω= − ⋅ − ⋅⇒
Circuitos de Segunda Ordem
Circuito LC submetido a Degrau de Tensão:
Campus deIlha Solteira
Circuitos de Primeira e Segunda Ordens Slide 63/134
.tω π= . 2.tω π=( ). .t L Cπ=
( )0( )C
CE v t
L⋅ −
( )0( ) ( ) .cos( . )C Cv t E v t E tω= + −
( )0( ) ( ) sen( . )L C
Ci t v t E t
Lω= − ⋅ − ⋅
• Se: ;0( ) 0Cv t > 0( )Cv t E<
( )0( )C
CE v t
L− ⋅ −
Circuitos de Segunda Ordem
Circuito LC submetido a Degrau de Tensão:
• Caso 1: 0
0
( )
( ) 0C
L
v t E
i t
= =
Trabalho Extra-Classe:
• Analisar os seguintes casos:
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0( ) 0Li t =
0
0
( )
( ) 0C
L
v t E
i t
> =
0
0
( ) 0
( ) 0C
L
v t
i t
< =
• Apresentar um relatório, contendo as equações e as formas de onda devC(t) e de iL(t),para cada um dos caso analisados.
• Adicionalmente, apresentar as justificativas para o comportamento de cada uma dasformas de onda.
• Caso 2:
• Caso 3:
Circuitos de Segunda Ordem
Circuito LC submetido a Degrau de Tensão:
• Supondo que:
0( ) 0Cv t =
0( ) 0Li t ≠
Campus deIlha Solteira
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???
Circuitos de Segunda Ordem
Circuito LC submetido a Degrau de Tensão:
???
• vC ≠ 0:
Campus deIlha Solteira
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???
• iL ≠ 0:
Circuitos de Segunda Ordem
Circuito LC submetido a Degrau de Tensão:
• Supondo que:
0( ) 0Cv t =
0( ) 0Li t ≠
Campus deIlha Solteira
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???
Circuitos de Segunda Ordem
Circuito LC submetido a Degrau de Tensão:
• Supondo que:
0( ) 0Cv t =
0( ) 0Li t ≠
Campus deIlha Solteira
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No exato instante em queS1 é fechado,S2 é aberto.
Circuitos de Segunda Ordem
Circuito LC submetido a Degrau de Tensão:
• Supondo que:
0( ) 0Cv t =
0( ) 0Li t ≠
Campus deIlha Solteira
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( )0 0( ) ( ) sen( . ) ( ) cos( . )L C L
Ci t v t E t i t t
Lω ω= − ⋅ − ⋅ + ⋅
( )0 0( ) ( ) .cos( . ) . ( ).sen( . )C C L
Lv t E v t E t i t t
Cω ω= + − +
⇒
⇒
• Então:
0
0
⇒
⇒
( ) 0( ) . 1 cos( . ) . ( ).sen( . )C L
Lv t E t i t t
Cω ω= − +
0( ) sen( . ) ( ) cos( . )L L
Ci t E t i t t
Lω ω= ⋅ ⋅ + ⋅
Circuitos de Segunda Ordem
Circuito LC submetido a Degrau de Tensão:
Campus deIlha Solteira
Circuitos de Primeira e Segunda Ordens Slide 70/134
• Se: 0( ) 0Li t >
( ) 0( ) . 1 cos( . ) . ( ).sen( . )C L
Lv t E t i t t
Cω ω= − +
0( ) sen( . ) ( ) cos( . )L L
Ci t E t i t t
Lω ω= ⋅ ⋅ + ⋅
.tω π= . 2.tω π=
Circuitos de Segunda Ordem
Circuito LC submetido a Degrau de Tensão:
• Existe alguma outra forma de analisar as grandezasvC(t) e iL(t), sem que haja anecessidade de recorrer a gráficos de funções do tempo?
• Tendoemvista queexistetrocade energiaentreo indutor e o capacitor,existealguma
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• Tendoemvista queexistetrocade energiaentreo indutor e o capacitor,existealgumaforma de realizar a representação gráfica deste fenômeno?
Plano de Fase
Circuitos de Segunda Ordem
Circuito LC submetido a Degrau de Tensão:
• Tomando-se as equações devC(t) e iL(t) determinadas anteriormente:
( )0 0( ) ( ) .cos( . ) . ( ).sen( . )C C L
Lv t E v t E t i t t
Cω ω= + − +
Campus deIlha Solteira
Circuitos de Primeira e Segunda Ordens Slide 72/134
( )0 0( ) ( ) .cos( . ) . ( ).sen( . )C C L
Lv t E v t E t i t t
Cω ω= + − +
( )0 0( ) ( ) sen( . ) ( ) cos( . )L C L
C Li t v t E t i t t
L Cω ω
= ⋅ − − ⋅ + ⋅ ⋅
( )0 0( ) ( ) sen( . ) ( ) cos( . )L C L
L Li t v t E t i t t
C Cω ω⋅ = − − ⋅ + ⋅ ⋅
Circuitos de Segunda Ordem
Circuito LC submetido a Degrau de Tensão:
( )0 0( ) ( ) .cos( . ) . ( ).sen( . )C C L
Lv t E v t E t i t t
Cω ω= + − +
• Multiplicando a equações de por “j” e adicionando-a à equação devC(t), tem-se:( )L
Li t
C⋅
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Circuitos de Primeira e Segunda Ordens Slide 73/134
( )0 0( ) ( ) .cos( . ) . ( ).sen( . )C C Lv t E v t E t i t tC
ω ω= + − +
( )0 0( ) ( ) sen( . ) ( ) cos( . )L C L
L Lj i t j v t E t j i t t
C Cω ω⋅ ⋅ = − ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅
( ) ( )C L
Lv t j i t
C+ ⋅ ⋅ = ( ) ( )
( )
0
0
( ) cos( . ) .sen( . )
( ) cos( . ) sen( . )
C
L
E v t E t j t
Li t j t t
C
ω ω
ω ω
+ − ⋅ − +
+ ⋅ ⋅ ⋅ +
Circuitos de Segunda Ordem
( ) ( )
( )
0
0
( ) cos( . ) .sen( . )
( ) cos( . ) sen( . )
C
L
E v t E t j t
Li t j t t
C
ω ω
ω ω
+ − ⋅ − +
+ ⋅ ⋅ ⋅ +
Circuito LC submetido a Degrau de Tensão:
L
( ) ( )C L
Lv t j i t
C+ ⋅ ⋅ =
Campus deIlha Solteira
Circuitos de Primeira e Segunda Ordens Slide 74/134
( ) . . ( )C L
Lv t j i t
C+ = ( ) ( )0
0
( ) . cos( . ) .sen( . )
sen( . ). . ( ). cos( . )
C
L
E v t E t j t
L tj i t t
C j
ω ω
ωω
+ − − +
+ +
( ) . . ( )C L
Lv t j i t
C+ = ( ) ( )
( )
0
0
( ) . cos( . ) .sen( . )
. . ( ). cos( . ) .sen( . )
C
L
E v t E t j t
Lj i t t j t
C
ω ω
ω ω
+ − − +
+ −
1j
j= −⇓
Circuitos de Segunda Ordem
Circuito LC submetido a Degrau de Tensão:
( ) . . ( )C L
Lv t j i t
C+ = ( ) ( )
( )
0
0
( ) . cos( . ) .sen( . )
. . ( ). cos( . ) .sen( . )
C
L
E v t E t j t
Lj i t t j t
C
ω ω
ω ω
+ − − +
+ −
Campus deIlha Solteira
Circuitos de Primeira e Segunda Ordens Slide 75/134
( )0. . ( ). cos( . ) .sen( . )Lj i t t j tC
ω ω+ −
( ) ( )0 0( ) . . ( ) ( ) . . ( ) . cos( . ) .sen( . )C L C L
L Lv t j i t E v t E j i t t j t
C Cω ω
+ = + − + −
Circuitos de Segunda Ordem
Circuito LC submetido a Degrau de Tensão:
( ) ( )0 0( ) . . ( ) ( ) . . ( ) . cos( . ) .sen( . )C L C L
L Lv t j i t E v t E j i t t j t
C Cω ω
+ = + − + −
L
Campus deIlha Solteira
Circuitos de Primeira e Segunda Ordens Slide 76/134
( ) ( ) . . ( )C L
LZ t v t j i t
C= +
. .1( ) . j tZ t E Z e ω−= +⇒( )1 0 0( ) . . ( )C L
LZ v t E j i t
C= − +
. . cos( . ) .sen( . )j te t j tω ω ω− = −
Circuitos de Segunda Ordem
Circuito LC submetido a Degrau de Tensão:
Círculo noPlano Complexo
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. .1( ) . j tZ t E Z e ω−= +
Plano Complexo
Centro Raio
.tω
Circuitos de Segunda Ordem
Circuito LC submetido a Degrau de Tensão:
. .( ) . j tZ t E Z e ω−= +
Círculo noPlano Complexo
( ) ( ) . . ( )C L
LZ t v t j i t
C= +
( )( ) . . ( )L
Z v t E j i t= − +
Campus deIlha Solteira
Circuitos de Primeira e Segunda Ordens Slide 78/134
1( ) .Z t E Z e= +
Centro Raio
( )1 0 0( ) . . ( )C L
LZ v t E j i t
C= − +
. . cos( . ) .sen( . )j te t j tω ω ω− = −
⇓Cte
⇓Cte
• Então, a variação emZ(t) no plano complexo é dada pelo termo:
. . cos( . ) .sen( . )j te t j tω ω ω− = −
Circuitos de Segunda Ordem
Circuito LC submetido a Degrau de Tensão:
• Assim, no plano complexo:
.0. 0 cos(0) .sen(0) 1jt e jω −= ⇒ = − =
. . cos( . ) .sen( . )j te t j tω ω ω− = −
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Circuitos de Primeira e Segunda Ordens Slide 79/134
. 0 cos(0) .sen(0) 1t e jω = ⇒ = − =
.2. cos .sen
2 2 2
jt e j j
ππ π πω− = ⇒ = − = −
.. cos( ) .sen( ) 1jt e jπω π π π−= ⇒ = − = −
323 3 3
. cos .sen2 2 2
jt e j j
πω π π π
− ⋅ ⋅ = ⋅ ⇒ = ⋅ − ⋅ =
.2.. 2. cos(2. ) .sen(2. ) 1jt e jπω π π π−= ⇒ = − =
Circuitos de Segunda Ordem
Circuito LC submetido a Degrau de Tensão:
• Assim, no plano complexo:
. .. 0 1j tt e ωωπ
−= ⇒ =
. . cos( . ) .sen( . )j te t j tω ω ω− = −
Campus deIlha Solteira
Circuitos de Primeira e Segunda Ordens Slide 80/134
. .
. .
.
. .
.2
. 1
3.
2
. 2. 1
j t
j t
j t
j t
t e j
t e
t e j
t e
ω
ω
ω
ω
πω
ω π
ω π
ω π
−
−
− ⋅
−
= ⇒ = −
= ⇒ = −
= ⋅ ⇒ =
= ⇒ =
. .j te ω−
Circuitos de Segunda Ordem
Circuito LC submetido a Degrau de Tensão:
• Assim, no plano complexo:
. .. 0 1j tt e ωωπ
−= ⇒ =
. . cos( . ) .sen( . )j te t j tω ω ω− = −
Campus deIlha Solteira
Circuitos de Primeira e Segunda Ordens Slide 81/134
. .
. .
.
. .
.2
. 1
3.
2
. 2. 1
j t
j t
j t
j t
t e j
t e
t e j
t e
ω
ω
ω
ω
πω
ω π
ω π
ω π
−
−
− ⋅
−
= ⇒ = −
= ⇒ = −
= ⋅ ⇒ =
= ⇒ =
. .j te ω−
.tω
Circuitos de Segunda Ordem
Circuito LC submetido a Degrau de Tensão:
• Assim, no plano complexo:
. .. 0 1j tt e ωωπ
−= ⇒ =
. . cos( . ) .sen( . )j te t j tω ω ω− = −
Campus deIlha Solteira
Circuitos de Primeira e Segunda Ordens Slide 82/134
. .
. .
.
. .
.2
. 1
3.
2
. 2. 1
j t
j t
j t
j t
t e j
t e
t e j
t e
ω
ω
ω
ω
πω
ω π
ω π
ω π
−
−
− ⋅
−
= ⇒ = −
= ⇒ = −
= ⋅ ⇒ =
= ⇒ =
. .j te ω−
.tω
Circuitos de Segunda Ordem
Circuito LC submetido a Degrau de Tensão:
• Assim, no plano complexo:
. .. 0 1j tt e ωωπ
−= ⇒ =
. . cos( . ) .sen( . )j te t j tω ω ω− = −
. .j te ω−
Campus deIlha Solteira
Circuitos de Primeira e Segunda Ordens Slide 83/134
. .
. .
.
. .
.2
. 1
3.
2
. 2. 1
j t
j t
j t
j t
t e j
t e
t e j
t e
ω
ω
ω
ω
πω
ω π
ω π
ω π
−
−
− ⋅
−
= ⇒ = −
= ⇒ = −
= ⋅ ⇒ =
= ⇒ =
.tω
Circuitos de Segunda Ordem
Circuito LC submetido a Degrau de Tensão:
• Assim, no plano complexo:
. .. 0 1j tt e ωωπ
−= ⇒ =
. . cos( . ) .sen( . )j te t j tω ω ω− = −
Campus deIlha Solteira
Circuitos de Primeira e Segunda Ordens Slide 84/134
. .
. .
.
. .
.2
. 1
3.
2
. 2. 1
j t
j t
j t
j t
t e j
t e
t e j
t e
ω
ω
ω
ω
πω
ω π
ω π
ω π
−
−
− ⋅
−
= ⇒ = −
= ⇒ = −
= ⋅ ⇒ =
= ⇒ =
. .j te ω−
.tω
Circuitos de Segunda Ordem
Círculo noPlano Complexo
Circuito LC submetido a Degrau de Tensão:
Campus deIlha Solteira
Circuitos de Primeira e Segunda Ordens Slide 85/134
. .1( ) . j tZ t E Z e ω−= +
Plano Complexo
Centro Raio
.tω
Circuitos de Segunda Ordem
Circuito LC submetido a Degrau de Tensão:
( ) ( ) . . ( )C L
LZ t v t j i t
C= +
Círculo noPlano Complexo
Campus deIlha Solteira
Circuitos de Primeira e Segunda Ordens Slide 86/134
( ) . .0 0( ) . . ( ) ( ) . . ( ) . j t
C L C L
L Lv t j i t E v t E j i t e
C Cω−
+ = + − +
( ) ( ) . . ( )C LZ t v t j i tC
= +
( )1 0 0( ) . . ( )C L
LZ v t E j i t
C= − +
. .1( ) . j tZ t E Z e ω−= +
Centro Raio
Circuitos de Segunda Ordem
Circuito LC submetido a Degrau de Tensão:
( ) . .0 0( ) . . ( ) ( ) . . ( ) . j t
C L C L
L Lv t j i t E v t E j i t e
C Cω−
+ = + − +
. .. 0 1j tt e ωω −= ⇒ = ( )( ) . . ( ) ( ) . . ( )L L
v t j i t E v t E j i t+ = + − +
Campus deIlha Solteira
Circuitos de Primeira e Segunda Ordens Slide 87/134
. .
. .
. .
.
. .
. 0 1
.2
. 1
3.
2
. 2. 1
j t
j t
j t
j t
j t
t e
t e j
t e
t e j
t e
ω
ω
ω
ω
ω
ωπω
ω π
ω π
ω π
−
−
−
− ⋅
−
= ⇒ =
= ⇒ = −
= ⇒ = −
= ⋅ ⇒ =
= ⇒ =
( )0 0( ) . . ( ) ( ) . . ( )C L C L
L Lv t j i t E v t E j i t
C C+ = + − +
0 0( ) . . ( ) ( ) . . ( )C L C L
L Lv t j i t v t j i t
C C+ = +
0
0
( ) ( )
. 0. . ( ) . . ( )
C C
L L
v t v t
t L Lj i t j i t
C C
ω=
= ⇒ =
Circuitos de Segunda Ordem
Circuito LC submetido a Degrau de Tensão:
0
0
( ) ( )
. 0. . ( ) . . ( )
C C
L L
v t v t
t L Lj i t j i t
C C
ω=
= ⇒ =
Campus deIlha Solteira
Circuitos de Primeira e Segunda Ordens Slide 88/134
Circuitos de Segunda Ordem
Circuito LC submetido a Degrau de Tensão:
( ) . .0 0( ) . . ( ) ( ) . . ( ) . j t
C L C L
L Lv t j i t E v t E j i t e
C Cω−
+ = + − +
. .. 0 1j tt e ωω −= ⇒ =
Campus deIlha Solteira
Circuitos de Primeira e Segunda Ordens Slide 89/134
. .
. .
. .
.
. .
. 0 1
.2
. 1
3.
2
. 2. 1
j t
j t
j t
j t
j t
t e
t e j
t e
t e j
t e
ω
ω
ω
ω
ω
ωπω
ω π
ω π
ω π
−
−
−
− ⋅
−
= ⇒ =
= ⇒ = −
= ⇒ = −
= ⋅ ⇒ =
= ⇒ =
( )
0
0
( ) . ( ).
2. . ( ) . ( )
C L
L C
Lv t E i t
Ct
Lj i t j E v t
C
πω
= +
= ⇒ = −
( )0 0( ) . . ( ) . ( ) . ( )C L L C
L Lv t j i t E i t j E v t
C C+ = + + −
Circuitos de Segunda Ordem
Circuito LC submetido a Degrau de Tensão:
0
0
( ) ( )
. 0. . ( ) . . ( )
C C
L L
v t v t
t L Lj i t j i t
C C
ω=
= ⇒ =
Campus deIlha Solteira
Circuitos de Primeira e Segunda Ordens Slide 90/134
( )
0
0
( ) . ( ).
2. . ( ) . ( )
C L
L C
Lv t E i t
Ct
Lj i t j E v t
C
πω
= +
= ⇒ = −
.tω
Circuitos de Segunda Ordem
Circuito LC submetido a Degrau de Tensão:
( )
0
0
( ) . ( ).
2. . ( ) . ( )
C L
L C
Lv t E i t
Ct
Lj i t j E v t
C
πω
= +
= ⇒ = −
Campus deIlha Solteira
Circuitos de Primeira e Segunda Ordens Slide 91/134
.tω
0
0
( ) 2. ( )
.. . ( ) . . ( )
C C
L L
v t E v t
t L Lj i t j i t
C C
ω π= −
= ⇒ = −
Circuitos de Segunda Ordem
Circuito LC submetido a Degrau de Tensão:
0
0
( ) 2. ( )
.. . ( ) . . ( )
C C
L L
v t E v t
t L Lj i t j i t
C C
ω π= −
= ⇒ = −
Campus deIlha Solteira
Circuitos de Primeira e Segunda Ordens Slide 92/134
.tω
( )
0
0
( ) . ( ).
2. . ( ) . ( )
C L
L C
Lv t E i t
Ct
Lj i t j v t E
C
πω
= −
= ⇒ = −
Circuitos de Segunda Ordem
Circuito LC submetido a Degrau de Tensão:
( )
0
0
( ) . ( ).
2. . ( ) . ( )
C L
L C
Lv t E i t
Ct
Lj i t j v t E
C
πω
= −
= ⇒ = −
Campus deIlha Solteira
Circuitos de Primeira e Segunda Ordens Slide 93/134
.tω
0
0
( ) ( )
. 2.. . ( ) . . ( )
C C
L L
v t v t
t L Lj i t j i t
C C
ω π=
= ⇒ =
Circuitos de Segunda Ordem
Circuito LC submetido a Degrau de Tensão:
• Casos particulares:
• E > 0;vC(t0) = 0; iL(t0) = 0:
Campus deIlha Solteira
Circuitos de Primeira e Segunda Ordens Slide 94/134
. .1( ) . j tZ t E Z e ω−= +
.tω
Circuitos de Segunda Ordem
Circuito LC submetido a Degrau de Tensão:
. .1( ) . j tZ t E Z e ω−= +
• Casos particulares:
1) E > 0;vC(t0) = 0; iL(t0) = 0:
Campus deIlha Solteira
Circuitos de Primeira e Segunda Ordens Slide 95/134
1( ) .Z t E Z e= +
• Com base no gráfico, quanto vale|Z1|?:
.tω
.tω
Circuitos de Segunda Ordem
Circuito LC submetido a Degrau de Tensão:
. .1( ) . j tZ t E Z e ω−= +
1) E > 0;vC(t0) = 0; iL(t0) = 0:
• Casos particulares:
Campus deIlha Solteira
Circuitos de Primeira e Segunda Ordens Slide 96/134
1( ) .Z t E Z e= +
0 0
1Z E= −
(= raio da circunferência)1Z E=
.tω
. .( ) .(1 )j tZ t E e ω−= −
( )1 0 0( ) . . ( )C L
LZ v t E j i t
C= − +
Circuitos de Segunda Ordem
Circuito LC submetido a Degrau de Tensão:
. .( ) .(1 )j tZ t E e ω−= −
• Para :.2
tπω =
. .j te jω− = − ( ) .Z t E j E= +⇒
L
1) E > 0;vC(t0) = 0; iL(t0) = 0:
• Casos particulares:
Campus deIlha Solteira
Circuitos de Primeira e Segunda Ordens Slide 97/134
( )
.2 . . ( ) .
C
L
v t E
t Lj i t j E
C
πω=
= ⇒ =
( ) ( ) . . ( )C L
LZ t v t j i t
C= +
( )
.2 ( )
C
L
v t E
t Ci t E
L
πω=
= ⇒ = ⋅
.tω
Circuitos de Segunda Ordem
Circuito LC submetido a Degrau de Tensão:
1) E > 0;vC(t0) = 0; iL(t0) = 0:
• Casos particulares:
Solução original:
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Circuitos de Primeira e Segunda Ordens Slide 98/134
( ) sen( . )L
Ci t E t
Lω= ⋅ ⋅
( )( ) . 1 cos( . )Cv t E tω= −
.tω π= . 2.tω π=
.C
EL
.C
EL
−
. 3.tω π= . 4.tω π=
Circuitos de Segunda Ordem
Circuito LC submetido a Degrau de Tensão:
• E > 0;vC(t0) = 0; iL(t0) = 0:
Campus deIlha Solteira
Circuitos de Primeira e Segunda Ordens Slide 99/134
.tω π= . 2.tω π=
.C
EL
.C
EL
−
. 3.tω π= . 4.tω π=
.tω
Circuitos de Segunda Ordem
• Casos particulares:
2) E > 0; 0 <vC(t0) < E; iL(t0) = 0:
Circuito LC submetido a Degrau de Tensão:
. .1( ) . j tZ t E Z e ω−= +
Campus deIlha Solteira
Circuitos de Primeira e Segunda Ordens Slide 100/134
.tω
.tω
1( ) .Z t E Z e= +
• Com base no gráfico, quanto vale|Z1|?:
Circuitos de Segunda Ordem
• Casos particulares:
Circuito LC submetido a Degrau de Tensão:
( ) . .0( ) ( ) . j t
CZ t E E v t e ω−= − −
2) E > 0; 0 <vC(t0) < E; iL(t0) = 0:
Campus deIlha Solteira
Circuitos de Primeira e Segunda Ordens Slide 101/134
.tω
( )0( ) ( ) .CZ t E E v t e
.tω π= . 2.tω π=( ). .t L Cπ=
( )0( )C
CE v t
L⋅ −
( )0( )C
CE v t
L− ⋅ −
Circuitos de Segunda Ordem
• Casos particulares:
Circuito LC submetido a Degrau de Tensão:
3) E = 0;vC(t0) > 0; iL(t0) = 0:
Campus deIlha Solteira
Circuitos de Primeira e Segunda Ordens Slide 102/134
.tω
.tω
Circuitos de Segunda Ordem
Circuito LC submetido a Degrau de Tensão, com Tiristor em Série:
Campus deIlha Solteira
Circuitos de Primeira e Segunda Ordens Slide 103/134
Circuitos de Segunda Ordem
Circuito LC submetido a Degrau de Tensão, com Tiristor em Série:
Campus deIlha Solteira
Circuitos de Primeira e Segunda Ordens Slide 104/134
Circuitos de Segunda Ordem
Circuito LC submetido a Degrau de Tensão, com Tiristor em Série:
Supondo E > 0;vC(t0) = 0; iL(t0) = 0:
. .1( ) . j tZ t E Z e ω−= +
Campus deIlha Solteira
Circuitos de Primeira e Segunda Ordens Slide 105/134
.tω
.tω
Circuitos de Segunda Ordem
Circuito LC submetido a Degrau de Tensão, com Tiristor em Série:
Supondo E > 0;vC(t0) = 0; iL(t0) = 0:
. .1( ) . j tZ t E Z e ω−= +
Campus deIlha Solteira
Circuitos de Primeira e Segunda Ordens Slide 106/134
.tω
.( ) 2.C t
v t Eω π==
Circuitos de Segunda Ordem
Inversão da Polaridade em um Capacitor:
Supondo E = 0;vC(t0) < 0; iL(t0) = 0:
. .1( ) . j tZ t E Z e ω−= +
. .( ) ( ). j tZ t v t e ω−=
Campus deIlha Solteira
Circuitos de Primeira e Segunda Ordens Slide 107/134
.tω
0.( ) ( )C Ct
v t v tω π== −
. .0( ) ( ). j t
CZ t v t e ω−=
Circuitos de Segunda Ordem
Inversão da Polaridade em um Capacitor:
Supondo E > 0;vC(t0) < 0; iL(t0) = 0:
. .1( ) . j tZ t E Z e ω−= +
( ) . .( ) ( ) . j tZ t E E v t e ω−= − −
Campus deIlha Solteira
Circuitos de Primeira e Segunda Ordens Slide 108/134
.tω
0.( ) 2. ( )C Ct
v t E v tω π== −
( ) . .0( ) ( ) . j t
CZ t E E v t e ω−= − −
Circuitos de Segunda Ordem
Aumento da Tensão de um Capacitor – Primeiro Circuito:
• Suponha que os tiristores T1 e T2 estão
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Circuitos de Primeira e Segunda Ordens Slide 109/134
• Suponha que os tiristores T1 e T2 estãoinicialmente bloqueados e que tantoC quantoL estão totalmente descarregados.
• Como ficam as formas de onda de tensão e correnteassociadas aC e a L, ao acionarmosT1 e T2 deforma sucessiva e complementar?
Circuitos de Segunda Ordem
Aumento da Tensão de um Capacitor – Primeiro Circuito:
( ) ( )L CE v t v t= +
• QuandoT1 entra em condução:
2
. . ( ) ( )d
E L C v t v t= +
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Circuitos de Primeira e Segunda Ordens Slide 110/134
2. . ( ) ( )C C
dE L C v t v t
dt= +
( )0 0( ) ( ) sen( . ) ( ) cos( . )L C L
Ci t v t E t i t t
Lω ω= − ⋅ − ⋅ + ⋅
( )0 0( ) ( ) .cos( . ) . ( ).sen( . )C C L
Lv t E v t E t i t t
Cω ω= + − +
Circuitos de Segunda Ordem
Aumento da Tensão de um Capacitor – Primeiro Circuito:
0 ( ) ( )L Cv t v t= +
• QuandoT2 entra em condução:
Campus deIlha Solteira
Circuitos de Primeira e Segunda Ordens Slide 111/134
0 ( ) ( )L Cv t v t= +
( )0 0( ) ( ) sen( . ) ( ) cos( . )L C L
Ci t v t E t i t t
Lω ω= − ⋅ − ⋅ + ⋅
( )0 0( ) ( ) .cos( . ) . ( ).sen( . )C C L
Lv t E v t E t i t t
Cω ω= + − +
00
0
Circuitos de Segunda Ordem
Aumento da Tensão de um Capacitor – Primeiro Circuito:
( )C
( )0 0( ) ( ) .cos( . ) . ( ).sen( . )C C L
Lv t E v t E t i t t
Cω ω= + − +
Campus deIlha Solteira
Circuitos de Primeira e Segunda Ordens Slide 112/134
( )0 0( ) ( ) sen( . ) ( ) cos( . )L C L
Ci t v t E t i t t
Lω ω= − ⋅ − ⋅ + ⋅
( ) ( ) . . ( )C L
LZ t v t j i t
C= +
. .1( ) . j tZ t E Z e ω−= + ⇒ ( )1 0 0( ) . . ( )C L
LZ v t E j i t
C= − +
. . cos( . ) .sen( . )j te t j tω ω ω− = −
⇓
Centro Raio
Circuitos de Segunda Ordem
Aumento da Tensão de um Capacitor – Primeiro Circuito:
( ) . .0 0( ) ( ) . . ( ) . j t
C L
LZ t E v t E j i t e
Cω−
= + − +
Centro Raio
Campus deIlha Solteira
Circuitos de Primeira e Segunda Ordens Slide 113/134
Centro Raio
Circuitos de Segunda Ordem
Aumento da Tensão de um Capacitor – Primeiro Circuito:
• QuandoT1 é comandado à condução pela primeira vez, temosvC(t0) = 0 eiL(t0) = 0.
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Circuitos de Primeira e Segunda Ordens Slide 114/134
• QuandoiL(t) retorna a zero,T1 é bloqueado.
Circuitos de Segunda Ordem
Aumento da Tensão de um Capacitor – Primeiro Circuito:
• Supondo queT2 é comandado à condução no mesmo instante em queT1 é bloqueado:
Campus deIlha Solteira
Circuitos de Primeira e Segunda Ordens Slide 115/134
0
0
( ) 2.
( ) 0C
L
v t E
i t
= =
• QuandoiL(t) retorna a zero,T2 é bloqueado.
Circuitos de Segunda Ordem
Aumento da Tensão de um Capacitor – Primeiro Circuito:
• Supondo queT1 volte a ser comandado à condução, no instante em queT2 é bloqueado:
Campus deIlha Solteira
Circuitos de Primeira e Segunda Ordens Slide 116/134
0
0
( ) 2.
( ) 0C
L
v t E
i t
= − =
• QuandoiL(t) retorna a zero,T1 é bloqueado.
Circuitos de Segunda Ordem
Aumento da Tensão de um Capacitor – Primeiro Circuito:
• Supondo queT2 volte a ser comandado à condução, no instante em queT1 é bloqueado:
Campus deIlha Solteira
Circuitos de Primeira e Segunda Ordens Slide 117/134
0
0
( ) 4.
( ) 0C
L
v t E
i t
= =
• QuandoiL(t) retorna a zero,T2 é bloqueado.
Circuitos de Segunda Ordem
Aumento da Tensão de um Capacitor – Primeiro Circuito:
• Supondo queT1 volte a ser comandado à condução, no instante em queT2 é bloqueado:
Campus deIlha Solteira
Circuitos de Primeira e Segunda Ordens Slide 118/134
0
0
( ) 4.
( ) 0C
L
v t E
i t
= − =
• QuandoiL(t) retorna a zero,T1 é bloqueado.
Circuitos de Segunda Ordem
Aumento da Tensão de um Capacitor – Primeiro Circuito:
Campus deIlha Solteira
Circuitos de Primeira e Segunda Ordens Slide 119/134
π . 2.tω π= 3.π 4.π
Circuitos de Segunda Ordem
Aumento da Tensão de um Capacitor – Segundo Circuito:
• Supondo condições iniciais nulas:
− ao acionarT1, nada acontece;
− ao acionarT2:
Campus deIlha Solteira
Circuitos de Primeira e Segunda Ordens Slide 120/134
( ) . .0 0( ) ( ) . . ( ) . j t
C L
LZ t E v t E j i t e
Cω−
= + − +
Centro Raio
Circuitos de Segunda Ordem
Aumento da Tensão de um Capacitor – Segundo Circuito:
• Mudando as condições iniciais:
0
0
( ) 0
( ) 0C
L
v t
i t
> =
− aoacionarT , nadaacontece;
Campus deIlha Solteira
Circuitos de Primeira e Segunda Ordens Slide 121/134
− aoacionarT1, nadaacontece;
− ao acionarT2:
( ) . .0 0( ) ( ) . . ( ) . j t
C L
LZ t E v t E j i t e
Cω−
= + − +
Centro Raio
Circuitos de Segunda Ordem
Aumento da Tensão de um Capacitor – Segundo Circuito:
• Mudando as condições iniciais:
0
0
( ) 0
( ) 0C
L
v t
i t
< =
− aoacionarT :
( ) . .0 0( ) ( ) . . ( ) . j t
C L
LZ t E v t E j i t e
Cω−
= + − +
Campus deIlha Solteira
Circuitos de Primeira e Segunda Ordens Slide 122/134
− aoacionarT1:
Centro Raio
1.tω
Circuitos de Segunda Ordem
Aumento da Tensão de um Capacitor – Segundo Circuito:
0
0
( ) 0
( ) 0C
L
v t
i t
< =
− T2 é acionadoantesque iL(t) = 0,
( ) . .0 0( ) ( ) . . ( ) . j t
C L
LZ t E v t E j i t e
Cω−
= + − +
Campus deIlha Solteira
Circuitos de Primeira e Segunda Ordens Slide 123/134
− T2 é acionadoantesque iL(t) = 0,quandot = t1;
− T1 é bloqueado instantaneamente.
1.tω
Centro Raio
Circuitos de Segunda Ordem
Aumento da Tensão de um Capacitor – Segundo Circuito:
Campus deIlha Solteira
Circuitos de Primeira e Segunda Ordens Slide 124/134
( ) . .0 0( ) ( ) . . ( ) . j t
C L
LZ t E v t E j i t e
Cω−
= + − +
• Em t = t1, quandoT2 é levado à condução:
. .0( ) ( ). j t
CZ t v t e ω−=
( )0( ) . . ( ) ( ). cos( . ) .sen( . )C L C
Lv t j i t v t t j t
Cω ω+ = −
1 0 1
1 0 1
( ) ( ).cos( . )
. . ( ) . ( ).sen( . )
C C
L C
v t v t t
Lj i t j v t t
C
ω
ω
=
= −
1.tω
Circuitos de Segunda Ordem
Aumento da Tensão de um Capacitor – Segundo Circuito:
1.tω
Campus deIlha Solteira
Circuitos de Primeira e Segunda Ordens Slide 125/134
( ) . .1 1( ) ( ) . . ( ) . j t
C L
LZ t E v t E j i t e
Cω−
= + − +
• Em t = t1, quandoT2 é levado à condução:
1 0 1
1 0 1
( ) ( ).cos( . )
. . ( ) . ( ).sen( . )
C C
L C
v t v t t
Lj i t j v t t
C
ω
ω
=
= −
( )2 1 1( ) . . ( )C L
LZ v t E j i t
C= − +
Raio daCircunferência⇓
Circuitos de Segunda Ordem
Aumento da Tensão de um Capacitor – Segundo Circuito:
2( )C fv t E Z= +
( )2 1 1( ) . . ( )C L
LZ v t E j i t
C= − +
1.tω
Campus deIlha Solteira
Circuitos de Primeira e Segunda Ordens Slide 126/134
( )2
2
2 1 1( ) . ( )C L
LZ v t E i t
C
= − +
( ) ( )2 2
2 0 1 0 1( ).cos( . ) ( ).sen( . )C CZ v t t E v t tω ω= − + −
( )2 2 22 0 1 0 1( ).cos( . ) ( ).sen ( . )C CZ v t t E v t tω ω= − +
⇒
( )2 2 20 1 0 1( ) ( ).cos( . ) ( ).sen ( . )C f C Cv t E v t t E v t tω ω= + − + ⇒ ( )C fv t E≥
1 0 1
1 0 1
( ) ( ).cos( . )
. ( ) ( ).sen( . )
C C
L C
v t v t t
Li t v t t
C
ω
ω
=
= −
Circuitos de Segunda Ordem
Circuito RLC com pouco Amortecimento:
Campus deIlha Solteira
Circuitos de Primeira e Segunda Ordens Slide 127/134
• Condições iniciais nulas: • Condições iniciais nulas:
.tω .tω
Circuitos de Segunda Ordem
Circuito RLC com pouco Amortecimento:
Campus deIlha Solteira
Circuitos de Primeira e Segunda Ordens Slide 128/134
• Condições iniciais nulas: • Condições iniciais nulas:
.tω .tω
Circuitos de Segunda Ordem
Circuito RLC com pouco Amortecimento:
0
1
.L Cω =
2.
R
Lα =
2 2 20ω ω α= −
atanωϕα =
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( )0 00
( )( ) . .sen( . ) ( ). . .sen( . )
.C t t
L L
E v ti t e t i t e t
Lα αωω ω ϕ
ω ω− −−
= − +
( ) 0 00
( )( ) ( ) . . .sen( . ) . .sen( . )
.t tL
C C
i tv t E E v t e t e t
Cα αω ω ϕ ω
ω ω− −= − − + +
2.L α
Circuitos de Segunda Ordem
Circuito RLC com pouco Amortecimento:
. . .1( ) . t j tZ t E Z e eα ω− −= +
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Circuitos de Primeira e Segunda Ordens Slide 130/134
.tω
Circuitos de Segunda Ordem
Circuito LC submetido a uma Fonte de Tensão e a umaFonte de Corrente:
( ) ( )L CE v t v t= +
( ) ( )L Ci t I i t= +
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( ) ( )0 0( ) ( ) sen( . ) ( ) cos( . )L C L
L L Li t I v t E t i t I t
C C Cω ω⋅ = ⋅ − − ⋅ + ⋅ − ⋅
( ) ( )0 0( ) ( ) cos( . ) ( ) sen( . )C C L
Lv t E v t E t i t I t
Cω ω= + − ⋅ + ⋅ − ⋅
Circuitos de Segunda Ordem
Circuito LC submetido a uma Fonte de Tensão e a umaFonte de Corrente:
. .0 1( ) . j tZ t Z Z e ω−= +
Centro Raio
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( ) ( )1 0 0( ) ( )C L
LZ v t E j i t I
C= − + ⋅ ⋅ −
0
LZ E j I
C= + ⋅ ⋅
Centro Raio
Circuitos de Segunda Ordem
Circuito LC submetido a uma Fonte de Tensão e a umaFonte de Corrente:
( ) ( )1 0 0( ) ( )C L
LZ v t E j i t I
C= − + ⋅ ⋅ −
0
LZ E j I
C= + ⋅ ⋅
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Circuitos de Primeira e Segunda Ordens Slide 133/134
1 0 0C LC
. .0 1( ) . j tZ t Z Z e ω−= +
Centro Raio
.tω
Circuitos de Segunda Ordem
Circuito LC submetido a uma Fonte de Tensão e a umaFonte de Corrente:
• Caso particular:E = 0
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.tω⇒
Lista de Exercícios Propostos
Na Apostila do curso ELETRÔNICA DE POTÊNCIA 2, o aluno encontrará uma Lista de Exercícios Propostos para a revisão e análise de circuitos com interruptores.
Propõe-se aos alunos que a lista seja resolvida por completo, considerando-se o embasamento e revisão necessários para a
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considerando-se o embasamento e revisão necessários para a continuidade das disciplinas na área. Entretanto, a entrega da resolução da lista é facultativa e não irá computar para o cálculo da média final de aprovação.
Apesar da consideração anterior, recomenda-se fortemente que a Lista seja resolvida com todo o empenho acadêmico.
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