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Riccardo U. Claudi
INAF Astronomical Observatory of Padova
Asterosismologia
2. Analisi delle pulsazioni
Asterosismologia: Introduzione
Stelle Pulsanti nel diagramma HR
Un buon articolo di Review:
Gautschy & Saio 1996
Asterosismologia: Introduzione
Costante di pulsazioneLa costante di pulsazione esprime il periodo della pulsazione:
€
Q = ΠM
MSUN
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
1/ 2R
RSUN
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
−3 / 2
direttamente in unità del tempo scala dinamico ed è definita come:
€
Π=2π
ω0
Asterosismologia: Introduzione
•ξnlm(r, , , t)= ξnl(r) Ylm(,)e-i nlmt
•Ylm(,)=(-1)m clmPl
m(cos ) cos(m - t)
•kh = 2 / h = [l(l+1)]1/2/r
Proprietà delle oscillazioni
Asterosismologia: Introduzione
Armoniche Sferiche I
Ylm(,)=(-1)m clmPl
m(cos ) cos(m - t)
€
c lm2 =
2l +1( ) l − m( )!
4π l + m( )!
Asterosismologia: Introduzione
Armoniche Sferiche IIl=0
l=1
l=2
Asterosismologia: Introduzione
“Splitting” Rotazionale
Asterosismologia: Introduzione
Identificazione dei Modi
n, n, , m, m
Per una determinata frequenza
nm
dobbiamo determinare tre numeri
"quantici”:
Asterosismologia: Introduzione
n – ordine radiale, n=0,1,2,...
l - grado della armonica sferica, l=0,1,2, …
m – ordine azimutale, |m| l
Numeri e gradi
Asterosismologia: Introduzione
n
l
m
l-|m|
Numero dei nodi nella direzione radiale
Numero totale delle linee nodali sulla superficie
Numero delle linee nodali perpendicolari all’equatore
Numero delle linee nodali parallele all’equatore
Asterosismologia: Introduzione
C. SchrijversC. Schrijvers
Asterosismologia: Introduzione
Relazione di dispersione delle onde acustiche
Quindi
Quando kr = 0 si ha il turning point rt:
Teoria asintotica: Frequenze
Asterosismologia: Introduzionel=0
l=2
l=20
l=25
l=75
Raggi
Asterosismologia: Introduzione
= 1, m=0 = 1, m=1
Tim Bedding
Asterosismologia: Introduzione
= 2, m=1 = 2, m=2
Tim Bedding
Asterosismologia: Introduzione
= 3, m=0 = 3, m=1
= 3, m=2 = 3, m=3
Tim Bedding
Asterosismologia: Introduzione
= 5, m=0 = 5, m=2
= 5, m=3
Tim Bedding
Asterosismologia: Introduzione
= 8, m=1 = 8, m=2
= 8, m=3
Tim Bedding
Asterosismologia: Introduzione
Responso Spaziale I
€
I(t) =1
AI ϑ ,φ, t( )
A
∫ dA
€
I(t) = Sl(I )I0 cos ω0t −δ0( )
Asterosismologia: Introduzione
Responso Spaziale II
€
υ(t) = Sl(υ )υ 0 cos ω0t −δ0( )
Asterosismologia: Introduzione
Responso Spaziale III
€
Sl(I ) = 2 2l +1 Pl cosθ( )
0
π / 2
∫ cosθ sinθdθ
Sl(V ) = 2 2l +1 Pl cosθ( )
0
π / 2
∫ cos2 θ sinθdθ
Asterosismologia: Introduzione
2nl nl
lnυ υ α ε⎛ ⎞≈Δ + + +⎜ ⎟
⎝ ⎠
Grande separazione:
Teoria asintotica: modi p
1
, 1,
0
2R
n l n l
dr
cν ν ν
−
−
⎡ ⎤Δ = ≈ −⎢ ⎥
⎣ ⎦∫
( ), 2, 0
14
r
n ln l
dc drl l
dr r
νε
π ν
Δ≈ + ∫
Piccola separazione:
Tassoul, 1980
n-2,2
n-1,0
n,0
n-2,3
n-1,1
Asterosismologia: Introduzione
Δυ e υ misurano rispettivamente la densità e la
composizione del core della stella.
In altre parole la massa e l’età della stella.
Grande e piccola separazione
Asterosismologia: Introduzione
échelle diagram
l=0l=3
l=1l=2l=1
Δν
Frequency mod Δν Hz)
Asterosismologia: Introduzione
Asteroseismic HR diagram
Asterosismologia: Introduzione
Come misurare le pulsazioni stellari?
Variazioni radiali
Variazioni VR Variazioni L*
Serie temporali
Analisi di Fourier
FREQUENZE !
Asterosismologia: Introduzione
•Trasformata di Fourier•Analisi delle Wavelet•Analisi dell’Autocorrelazione•Altri Metodi
Metodi Numerici per l’analisi Metodi Numerici per l’analisi delle Serie Temporalidelle Serie Temporali
Asterosismologia: Introduzione
L’analisi di Fourier tenta di fare il fit della serie temporale con una serie di funzioni sin(x), ciascuna con un differente periodo, ampiezza e fase.Gli algoritmi che fanno questo eseguono Una trasformazione matematica dal dominio temporale al dominio dei periodi (o delle frequenze.
f (time) F (period)
Analisi di FourierAnalisi di Fourier
Asterosismologia: Introduzione
Algoritmi di FourierAlgoritmi di Fourier
Discrete Fourier Transform: algoritmo classico (DFT)Fast Fourier Transform: molto buono per dati non equamente spaziati (FFT)Date-Compensated DFT: dati campionati non equamente con grandi quantità di gaps (TS)Periodogram (Lomb-Scargle): simile alla DFT
Asterosismologia: Introduzione
La trasformata di Fourier di una funzione è la determinazione delle ampiezze e delle fasi delle sinusoidi che sommate insieme riproducono la funzione
Si ricordi la formula di Eulero:
La Trasformata di FourierLa Trasformata di Fourier
€
F(ω) = f (t)e iωtdt−∞
∞
∫
€
e iωt = cos ωt( ) + isin ωt( )
Asterosismologia: Introduzione
Lo Spettro di PotenzaLo Spettro di Potenza
€
F ω( ) = f (t)e iωt
−∞
+∞
∫ dt
P ω( ) = F ω( )2
Lo spettro di potenza di un determinato segnale, identifica quali delle componenti sinusoidali contribuisce maggiormente all’ampiezza del segnale stesso
Asterosismologia: Introduzione
Spettro di Potenza di un singolo modoSpettro di Potenza di un singolo modo
€
υ(t) = a0 cos ωt −δ0( )
V ω( ) = υ (t)e iωtdt =0
T
∫
=T
2a0 e
iT
2ω +ω0( )−δ 0
⎡
⎣ ⎢ ⎤
⎦ ⎥sinc
T
2ω + ω0( )
⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥+ e
iT
2ω−ω0( )+δ 0
⎡
⎣ ⎢ ⎤
⎦ ⎥sinc
T
2ω −ω0( )
⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥
⎧ ⎨ ⎪
⎩ ⎪
⎫ ⎬ ⎪
⎭ ⎪
€
P ω( ) = V ω( )2≅
1
4T 2a0
2 sinc2 T
2ω −ω0( )
⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥
Asterosismologia: Introduzione
Accuratezza della determinazione di Accuratezza della determinazione di 00
HWHM=0.443π~π/2
€
T
2
δω
2=
π
2
δω =2π
T
δν =1
T
€
P ω( ) =1
4T 2a0
2 sinc2 T
2ω −ω0( )
⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥
Risoluzione
€
0
=2π
Tω0
=Π
T
Asterosismologia: Introduzione
Spettro di Potenza di più componentiSpettro di Potenza di più componentiLo spettro di potenza di più componenti è dato dalla somma degli spettri di potenza delle singole componenti più i termini misti risultanti dalla interferenza dei modi.
€
υ(t) = a1 cos ω1t −δ1( ) + a2 cos ω2t −δ2( )
interferenza
Asterosismologia: Introduzione
RisoluzioneRisoluzioneNel caso di power spectrum di più componenti, i modi saranno ben separati se vale la condizione:
€
i −ω j T >>1 i ≠ j
Nel caso stellare si hanno molti modi e la situazione non è semplice.Una stima rozza può essere:
€
≅12
T
Asterosismologia: Introduzione
Dati con Gaps. IDati con Gaps. I
€
υ(t) = a0 cos ωt −δ0( )
V ω( ) = υ (t)e iωtdt +0
T
∫ υ (t)e iωtdtτ
τ +T
∫
=T
2a0 e
iT
2ω−ω0( )+δ 0
⎡
⎣ ⎢ ⎤
⎦ ⎥+ e
i τ +T
2
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟ω−ω0( )+δ 0
⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥
⎧ ⎨ ⎪
⎩ ⎪
⎫ ⎬ ⎪
⎭ ⎪sinc
T
2ω −ω0( )
⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥=
= Ta0ei
1
2τ +T( ) ω−ω0( )+δ 0
⎡
⎣ ⎢ ⎤
⎦ ⎥cos
τ
2ω −ω0( )
⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥sinc
T
2ω −ω0( )
⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥
TT +T+T
Asterosismologia: Introduzione
Dati con Gaps. IIDati con Gaps. II
€
P ω( ) = T 2a02 cos2 τ
2ω −ω0( )
⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥sinc2 T
2ω −ω0( )
⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥
€
ν =1
τ Nel caso =24hr
€
ν =1
τ=11.57 μHz
Asterosismologia: Introduzione
Funzione FinestraFunzione Finestra
€
υ(t) = w(t)υ 0(t)
€
υ(ω) = (w *υ 0)(ω) = w ∫ (ω −ω')υ 0(ω)dω'
ConvoluzioneConvoluzione
€
Pω (ω) = w (ω)2
Asterosismologia: Introduzione
Spettro di Potenza di oscillazioni smorzate
€
υ(t) = a0 cos ω0t −δ0( )e−ηt
€
P(ω) =1
4
a02
ω −ω0( )2
+ η 2 T
Asterosismologia: Introduzione
AMPIEZZA…AMPIEZZA…
Dimensioni
PS PDS
Intensità L/L (ppm)2 (ppm)2/Hz
Velocità V(t) (m/s)2 (m/s)2/Hz
Ampiezza
A2 A2T
Asterosismologia: Introduzione
……ed INCERTEZZAed INCERTEZZA
PSPS
€
PS =4σ rms
2
N
σ ampl =πσ PS
4
Asterosismologia: Introduzione
OSSERVAZIONI ASTEROSISMOLOGICHEOSSERVAZIONI ASTEROSISMOLOGICHEConsideriamo di voler osservare la pulsazione di una Consideriamo di voler osservare la pulsazione di una stella la cui ampiezza sia A. Per identificarla nel PS stella la cui ampiezza sia A. Per identificarla nel PS risultante, è necesario che il rapporto SN nel PS sia:risultante, è necesario che il rapporto SN nel PS sia:
€
A2
σ PS
≥ 4
A2 ≥ 4σ PS =16σ rms
2
N
Possiamo perciò ricavare il numero N di Possiamo perciò ricavare il numero N di osservazioni che definiscono una serie temporale osservazioni che definiscono una serie temporale con rms pari a con rms pari a per osservare il segnale con per osservare il segnale con ampiezza A:ampiezza A:
€
N ≥16σ rms
2
A2
Recommended