Roberto Casalbuoni Dipartimento di Fisica, Sezione INFN, Istituto G. Galilei per la Fisica Teorica...

Roberto CasalbuoniRoberto CasalbuoniDipartimento di Fisica, Dipartimento di Fisica,

Sezione INFN,Sezione INFN,Istituto G. Galilei per la Fisica Teorica (GGI), Istituto G. Galilei per la Fisica Teorica (GGI),

OpenLab OpenLab Firenze - Firenze - casalbuoni@fi.infn.itcasalbuoni@fi.infn.it

Le simmetrie nell’arteLe simmetrie nell’arte

1Le simmetrie nell'arteNotte blu - Firenze - 9/05/2010

2Le simmetrie nell'arte9/05/2010

● IntroduzioneIntroduzione● Simmetrie e trasformazioniSimmetrie e trasformazioni● Estensioni della simmetria (Escher)Estensioni della simmetria (Escher)● ConclusioniConclusioni

Lunga storia nel pensiero umano ed usate con significati Lunga storia nel pensiero umano ed usate con significati diversi. Secondo Hermann Weyl (“La Simmetria” - diversi. Secondo Hermann Weyl (“La Simmetria” -

Feltrinelli 1962) essenzialmente due diversi significati:Feltrinelli 1962) essenzialmente due diversi significati:

1) Un modo piu’ antico in cui la parola simmetrico si 1) Un modo piu’ antico in cui la parola simmetrico si riferisce a qualcosa di ben proporzionato, ben riferisce a qualcosa di ben proporzionato, ben bilanciato, e simmetria indica una concordanza di bilanciato, e simmetria indica una concordanza di varie parti che si integrano in un unico oggetto.varie parti che si integrano in un unico oggetto.

SimmetrieSimmetrie

Esempio piu’ famoso:Esempio piu’ famoso:L’uomo vitruvianoL’uomo vitruviano

Tutte le parti del corpo Tutte le parti del corpo umano sono strettamente umano sono strettamente correlate le une alle altre correlate le une alle altre tramite dei rapporti fissati tramite dei rapporti fissati

di proporzionalita’di proporzionalita’

Vitruvio ~ 70-23 AC

2) Identita’ tra destra e sinistra. Questa idea e’ ) Identita’ tra destra e sinistra. Questa idea e’ strettamente geometrica e diversamente strettamente geometrica e diversamente dalla vaga nozione precedente si puo’ dare a dalla vaga nozione precedente si puo’ dare a questa definizione un senso completamente questa definizione un senso completamente preciso e rigoroso.preciso e rigoroso. Questa simmetria Questa simmetria bilaterale appare come il primo caso di un bilaterale appare come il primo caso di un concetto geometrico che fa riferimento ad concetto geometrico che fa riferimento ad operazioni come le riflessioni e le rotazioni.operazioni come le riflessioni e le rotazioni.

L’idea di ben bilanciato porta al L’idea di ben bilanciato porta al secondo significato di secondo significato di

simmetria:simmetria:

Statua Greca Statua Greca IV Secolo ACIV Secolo AC

Medio Impero, 12a Dinastia (Al tempo di Sestorio III, 1887-1842 AC)

Gioiello di Sat-Hathor Gioiello di Sat-Hathor (Cairo, Museo Egizio)(Cairo, Museo Egizio)

(quasi) bilaterale-simmetrico(quasi) bilaterale-simmetrico

Di centrale importanza e’ stata la simmetria bilaterale Di centrale importanza e’ stata la simmetria bilaterale del corpo umano che ha sicuramente stimolato molti del corpo umano che ha sicuramente stimolato molti

artisti.artisti.

I Sumeri apprezzavano particolarmente la simmetria bilaterale o Destra-

Sinistra, D/S

In seguito fu perfezionata nell’aquila a doppia testa

Emblema dell’Impero Bizantino. L’aquila a doppia Emblema dell’Impero Bizantino. L’aquila a doppia testa all’ingresso del Patriarcato Ecumenico di testa all’ingresso del Patriarcato Ecumenico di

Costantinopoli.Costantinopoli.

Un quadrato e’ invariante rispetto a riflessioni sui 4 Un quadrato e’ invariante rispetto a riflessioni sui 4 assi a rotazioni di 90 gradi ed alle loro combinazioni. assi a rotazioni di 90 gradi ed alle loro combinazioni.

In totale 4 rotazioni e 4 riflessioni.In totale 4 rotazioni e 4 riflessioni.

Invariante sotto due rotazioni di 180 gradi e 2 Invariante sotto due rotazioni di 180 gradi e 2 riflessioni. Meno simmetrico del quadrato.riflessioni. Meno simmetrico del quadrato.

Simmetrico solo sotto una riflessione Simmetrico solo sotto una riflessione ed una rotazione di 360 gradi.ed una rotazione di 360 gradi.

Teoria dei gruppiUna teoria matematica che include le Una teoria matematica che include le

trasformazioni, ma la sua origine e’ nella trasformazioni, ma la sua origine e’ nella teoria delle equazioni algebriche.teoria delle equazioni algebriche.

Évariste Galois Évariste Galois (1811–1832) mori’a causa di ferite subite in un (1811–1832) mori’a causa di ferite subite in un duelloduello originato da circostanze oscure all’eta’ di venti anni. Stette alzato tutta originato da circostanze oscure all’eta’ di venti anni. Stette alzato tutta la notte prima del duello per comporre quello che sarebbe diventato il la notte prima del duello per comporre quello che sarebbe diventato il suo testamento matematico, la famosa lettera ad Auguste Chevalier in suo testamento matematico, la famosa lettera ad Auguste Chevalier in cui spiegava la sue idee sui gruppi. cui spiegava la sue idee sui gruppi. Hermann WeylHermann Weyl, ha detto del suo , ha detto del suo testamento, “ testamento, “ Questa lettera, per la profondita’ e originalita’ del suo Questa lettera, per la profondita’ e originalita’ del suo contenuto, e’ forse tra gli scritti fondamentali di tutta la storia contenuto, e’ forse tra gli scritti fondamentali di tutta la storia dell’umanita’ dell’umanita’ ” ”

Le simmetrie Le simmetrie corrispondono all’insieme di corrispondono all’insieme di trasformazioni che lasciano invariante una figura. trasformazioni che lasciano invariante una figura.

Piu’ simmetrie = piu’ proprieta’ di invarianzaPiu’ simmetrie = piu’ proprieta’ di invarianza

MaMa quali sono le trasformazioni che possiamo effettuare? quali sono le trasformazioni che possiamo effettuare? Per semplicita’ considereremo trasformazioni sul pianoPer semplicita’ considereremo trasformazioni sul piano

R.P. Feynman: Un oggetto e‘ detto

simmetrico, se gli possiamo fare qualcosa senza

cambiarlo.

Trasformazioni Trasformazioni elementarielementari

159/05/2010 Le simmetrie nell'arte

RiflessioneRiflessioneb in d

Caravaggio – Narciso (1597-99)Palazzo Barberini

L’ultima cena – Salvador Dali (1904-1989)

RotazioniRotazioni

b in q

Invariante per rotazioni di Invariante per rotazioni di

36036000/3=120/3=12000

Trinacria, la Trinacria, la bandiera della bandiera della

SiciliaSicilia

Rotazioni di 360Rotazioni di 36000/20=18/20=1800

Museo del Bardo a TunisiMuseo del Bardo a Tunisi

TraslazioniTraslazioni

b in b (in una posizione diversa)

Palazzo di Dario a Susa

Glisso riflessioniGlisso riflessioni

Due Due riflessioniriflessioni

= = rotazionerotazione

Le trasformazioni si possono combinare

UN RISULTATO MOLTO IMPORTANTEUN RISULTATO MOLTO IMPORTANTE: Le : Le simmetrie planari indipendenti sono date dalle simmetrie planari indipendenti sono date dalle

precedenti trasformazioni:precedenti trasformazioni:

● RiflessioniRiflessioni● RotazioniRotazioni● TraslazioniTraslazioni● Glisso riflessioniGlisso riflessioni

Le rotazioni e le traslazioni non cambiano l’orientazione Le rotazioni e le traslazioni non cambiano l’orientazione della figura, mentre le altre due lo fannodella figura, mentre le altre due lo fanno

Questi due triangoli hanno orientazioni Questi due triangoli hanno orientazioni diverse. Non si possono sovrapporre usando diverse. Non si possono sovrapporre usando

rotazioni e/o traslazioni.rotazioni e/o traslazioni.

Figure simmetriche si possono ottenere partendo da figure con nessuna

simmetria!

Le simmetrie dei Le simmetrie dei rosonirosoni si ottengono con si ottengono con rotazioni e riflessionirotazioni e riflessioni

Riflessioni + Riflessioni + Rotazioni = Rotazioni = infinite trasf.infinite trasf.

Rosoni Rosoni dell’Alhambradell’Alhambra

Simmetrie dei Simmetrie dei fregifregi

Riflessioni +Traslazioni in una dimensioneRiflessioni +Traslazioni in una dimensione

+ Glisso riflessioni in una dimensione+ Glisso riflessioni in una dimensione

Ci sono solo 7 simmetrie dei fregiCi sono solo 7 simmetrie dei fregi

Simmetrie di pavimentazione o

tassellature del piano

Rotazioni, riflessioni + traslazioni Rotazioni, riflessioni + traslazioni + glisso riflessioni in due + glisso riflessioni in due

dimensionidimensioni

Traslazioni Riflessioni 2 Riflessioni

Glisso riflessioni Riflessioni + Glisso Rotazioni (1800)

Riflessioni + Rotazioni (1800) + Rotazioni (1800) +Rotazioni (1800) Glisso 2 riflessioni

T T AASSSSEELLLLAATTUURREE

PPOOSSSSIIBBII

L L II

PPOOSSSSIIBBII

L L II

Rotazioni (900) Rotazioni (900) + Rotazioni (900) + Riflessioni Riflessioni

Rotazioni( 1200) Rotazioni (1200) + Rotazioni (1200) + Riflessioni Riflessioni

Rotazioni (600) Rotazioni (600) + Riflessioni

T T A A S S S S S S E E L L L L AATTUURREE

LLEE RRIIMMAANNEENNTTII

Esempi di simmetrie di Esempi di simmetrie di tessallaturatessallatura

Maurits Cornelis Maurits Cornelis Escher (1898-1972) , incisore e grafico, Escher (1898-1972) , incisore e grafico, ebbe un interesse spiccato per la Geometria. Un interesse ebbe un interesse spiccato per la Geometria. Un interesse che si sviluppo’anche grazie alla sua visita all’Alhambra a che si sviluppo’anche grazie alla sua visita all’Alhambra a

24 anni (1922). Nel 1926 lesse un libro di Polya sulla 24 anni (1922). Nel 1926 lesse un libro di Polya sulla Teoria dei Gruppi. Non pote’ apprezzarne le parti piu’ Teoria dei Gruppi. Non pote’ apprezzarne le parti piu’ matematiche ma rimase affascinato dalle 17 simmetrie matematiche ma rimase affascinato dalle 17 simmetrie

planari delle tassellature. Inizio’ allora una serie di piu’ di planari delle tassellature. Inizio’ allora una serie di piu’ di 150 lavori sulla tassellatura regolare del piano. Ma Escher 150 lavori sulla tassellatura regolare del piano. Ma Escher

aggiunse una idea importante, aggiunse una idea importante, l’uso del colore nel l’uso del colore nel contesto della simmetria!contesto della simmetria!

Questa figura e’ ancora simmetrica ma Questa figura e’ ancora simmetrica ma in senso piu’ ampio. In questo modo si in senso piu’ ampio. In questo modo si possono avere molte piu’ tassellature.possono avere molte piu’ tassellature.

Riflessione + cambio coloreRiflessione + cambio colore

L‘arte di M.C. Escher Simmetrie:

• Traslazione• Traslazione & Scambio di colore• Traslazione & Riflessione• Traslazione & Riflessione & Scambio di colore

Dopo tutti suoi lavori sulle tassellature regolari Escher comincio’ a chiedersi se fosse possibile rappresentare l’intero piano con le sue tassellature su uno spazio finito come un pezzo di carta. In precedenza su uno spazio finito come un pezzo di carta. In precedenza aveva gia’ affrontato un simile problemaaveva gia’ affrontato un simile problema

Sviluppo II (1939)Sviluppo II (1939) Sempre piu’ piccolo (1956)Sempre piu’ piccolo (1956)

Prendendo figure sempre piu’ piccole dall’esterno verso il centro, Prendendo figure sempre piu’ piccole dall’esterno verso il centro, Escher otteneva una figura limitata ma partendo da un contorno Escher otteneva una figura limitata ma partendo da un contorno

arbitrario. Tutti questi disegni avevano un arbitrario. Tutti questi disegni avevano un solo punto limitesolo punto limite..

Un importante passo Un importante passo concettuale: associare alla concettuale: associare alla

trasformazione una trasformazione una compressione (dilatazione)compressione (dilatazione)

Escher miglioro’ il risultato nel 1957 realizzando una Escher miglioro’ il risultato nel 1957 realizzando una figura con una linea limite.figura con una linea limite.

Divisione del pianoVI (1957)Divisione del pianoVI (1957)

1)1) Traslare il segmentoTraslare il segmento2)2) Dividere la lunghezza in 2Dividere la lunghezza in 23)3) Contemporaneamente ridurre le Contemporaneamente ridurre le

proprie dimensioni di 2proprie dimensioni di 2

Il segmento piu’ piccolo vi appare della stessa grandezza dell’originale. Siete diventato insensibile alla dimensione degli oggetti. Questa e’ una importante estensione matematica e porta al concetto di self-similarity ed alla moderna teoria dei frattali (Mandelbrot 1975). Questa idea risale a Leibniz (17mo secolo) che pero’pensava in termini di rette. Il primo esempio non banale di una curva self-similar si deve a von Koch (1904).

Ad ogni scala l’aspetto della Ad ogni scala l’aspetto della curva non cambiacurva non cambia

Il Il fiocco fiocco di neve di neve

di di KochKoch

L + L/2 + L/4 + L/8 + … = 2L

Come trasformare una semi-retta (infinita) in un segmento

Il punto limite di Escher si ottiene con Il punto limite di Escher si ottiene con traslazioni piu’ compressioni.traslazioni piu’ compressioni.

Nel 1954 Escher incontro’ Coxeter (1907-2003) in un meeting internazionale di matematica e gli espose i suoi problemi. Coxeter era un famoso geometra. In seguito, nel 1957, Coxeter invio’ a Escher una illustrazione del piano di Poincare’, un modo per rappresentare una superficie infinita su una finita (un cerchio).

Escher ebbe qualche difficolta’ con il testo di Coxeter, ma guardando la tassellatura triangolare del cerchio di Poincare’, riusci’ a capire le regole del gioco.

Il piano nel cerchio di Poincare’Il piano nel cerchio di Poincare’

TraslazioniTraslazioni

Traslazioni + compressioni

Cerchio Limite I- 1958 Cerchio Limite II - 1959

Cerchio Limite III - 1959 Cerchio Limite IV - 1960

Usando queste Usando queste regole, Escher regole, Escher

produsse quattro produsse quattro casi di cerchi casi di cerchi

limite.limite.

Ma Escher non era Ma Escher non era ancora soddisfatto dato ancora soddisfatto dato che nella compressione che nella compressione

si produceva una si produceva una notevole deformazione notevole deformazione

delle immaginidelle immagini

Quadrato limite -1964Quadrato limite -1964

4 anni piu’ tardi Escher 4 anni piu’ tardi Escher trovo’ una soluzione. trovo’ una soluzione.

Partendo dal centro del Partendo dal centro del quadrato e facendo quadrato e facendo

delle compressioni in delle compressioni in entrambe le direzioni. entrambe le direzioni.

In questo modo ottenne In questo modo ottenne delle figure self-similar delle figure self-similar e poteva rappresentare e poteva rappresentare

tutto il piano in un tutto il piano in un quadrato.Adesso la quadrato.Adesso la figura limite era un figura limite era un

quadrato!quadrato!

● Escher invio’ a Coxeter una bozza del suo quadrato e gli scrisse : “Ho paura che l’argomento non sia troppo interessante sul piano matematico, non essendo altro che una tassellatura del piano. D’altra parte per me e’ stato un vero rompicapo trovare un modo per realizzarlo nella maniera piu’ semplice.” ● Alcuni anni dopo, Thurstone, un matematico di Berkeley, al fine di illustrare l’idea di una tassellatura self-similar uso’un esempio molto simile al “Quadrato limite”, senza sapere niente di Escher.

Le strutture self-similar hanno una Le strutture self-similar hanno una ““dimensione frattaledimensione frattale” (generalizzazione della ” (generalizzazione della normale dimensione) che non e’ intera. Per normale dimensione) che non e’ intera. Per

esempio, la esempio, la dimensione frattale della curva di dimensione frattale della curva di Koch e’ (Log[4]/Log[3]) ~ 1.262Koch e’ (Log[4]/Log[3]) ~ 1.262, intermedia , intermedia tra 1, una linea, and 2, un piano. In relazione tra 1, una linea, and 2, un piano. In relazione ad Escher questa e’ una vera curiosita’ dato ad Escher questa e’ una vera curiosita’ dato che lui ha sempre giocato con dimensioni che lui ha sempre giocato con dimensioni diverse. Le sue diverse. Le sue “figure impossibili” sono “figure impossibili” sono

state rese “possibili” state rese “possibili” disegnando oggetti 3-disegnando oggetti 3-dimensionali su un foglio e quindi su un dimensionali su un foglio e quindi su un

supporto a 2dimensioni!supporto a 2dimensioni!

● Le simmetrie sono centrali in tutte le scienze Le simmetrie sono centrali in tutte le scienze (matematica, fisica, ecc.). E questo e’ (matematica, fisica, ecc.). E questo e’ particolarmente vero per le teorie moderne sulla particolarmente vero per le teorie moderne sulla materia e le sue interazioni. materia e le sue interazioni. ● Alcuni fisici pensano che questo derivi Alcuni fisici pensano che questo derivi dall’amore della natura per la bellezza e la dall’amore della natura per la bellezza e la simmetria e’ bellezza.simmetria e’ bellezza.● In questo senso simmetria ed arte hanno un In questo senso simmetria ed arte hanno un legame molto forte.legame molto forte.

Roberto Casalbuoni Dipartimento di Fisica, Sezione INFN, Istituto G. Galilei per la Fisica Teorica...

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