View
321
Download
1
Category
Preview:
DESCRIPTION
Rozklad mnohočlenů na součin. Opakování znalostí o výrazech Odvození rozkladných vzorců (vzorců pro rozklad výrazů na součin). Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Radomír Macháň. Opakování – algebraický výraz. - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Rozklad mnohočlenů na součin
Opakování znalostí o výrazech
Odvození rozkladných vzorců(vzorců pro rozklad výrazů na součin)
Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Radomír Macháň.
Opakování – algebraický výraz= předpis jedné nebo více matematických operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení, umocňování…)
= předpis, který obsahuje blíže neurčené znaky (a; b; c; v; z1; z2; Q; m; t… – mohou to být konstanty či proměnné a nemusíme znát ani jejich hodnotu), čísla a matematické operátory (sčítání, odčítání, násobení, dělení, umocňování…)
cba cba ba 2
2
21 vzz
0ttm
Q
Výraz známe jako část
vzorce pro výpočet obvodu
trojúhelníku.
Připomínají Vám něco následující výrazy? Které matematické operace obsahují?
Výraz známe jako část
vzorce pro výpočet objemu kvádru.
Výraz známe jako část
vzorce pro výpočet obvodu čtverce.
Výraz je částí vzorce
pro výpočet obsahu
lichoběžníku.
Výraz je částí vzorce
pro výpočet měrné tepelné
kapacity.
Existují dva druhy výrazů podle toho, z čeho jsou sestaveny:1) Výrazy, v nichž se vyskytují jenom čísla: Číselné
výrazy
2) Výrazy, v nichž se vyskytují proměnné, které zastupují čísla z určité množiny:
Algebraické výrazy
7 : (6 – 3 . 2) – 2 . 35 . (4 – 3) – 6 : 3
4 . 2,5 – 6 + 22
x – 6 + 3x(x + 2) / 4
y2 – 6y + 9
Opakování – číselný a algebraický výraz
Mnohočlen = zvláštní typ výrazůMnohočleny obsahují pouze přirozené mocniny neznámých (jedné nebo více).
Opakování – mnohočleny
743 2 xx … Mnohočlen s jednou proměnnou
yxyx 25 222 … Mnohočlen dvou proměnných
24
32 x
x
222 xx
24
32 xx
… Není mnohočlen (x je ve jmenovateli, tzn. záporná mocnina x)… Není mnohočlen (obsahuje odmocninu z x, tzn. mocnina ve tvaru zlomku)… Je mnohočlen (sice obsahuje zlomek, ale bez neznámé ve jmenovateli)
Sčítat můžeme jen stejné členy se stejnou proměnnou a se stejným mocnitelem.To znamená čísla jen s čísly,
3 + 4 = 73x + 4x = 7x
3x2 + 4x2 = 7x2
proměnné jen s proměnnými, proměnné na druhou jen s proměnnými na
druhou atd.
(3x2 + 7x – 5) + (-2x2 – 4x + 1) =
Příklad:
3x2 + 7x – 5 – 2x2 – 4x + 1 =
= 3x2 – 2x2
x2 + 3x – 4 + 7x – 4x – 5 + 1 =
Opakování – sčítání mnohočlenů
Odečíst mnohočlen znamená přičíst mnohočlen k němu opačný.
K danému mnohočlenu utvoříme mnohočlen opačný, změníme-li znaménka všech jeho členů na opačná.
–2x2 – 4x + 1 2x2 + 4x – 1
Příklad:
(3x2 + 7x – 5) - (-2x2 – 4x + 1) =
3x2 + 7x – 5 + 2x2 + 4x - 1 =
= 3x2 + 2x2
5x2 + 11x – 6 + 7x + 4x – 5 - 1 =
Opakování – odčítání mnohočlenů
Každý člen prvního mnohočlenu násobíme s každým členem druhého mnohočlenu a výsledné členy pak sečteme.
(2x – 1)(2x2 – 4x + 1) =
= 4x3
Příklad:(3x2 + 7x – 5).(-2x2 – 4x + 1) == -6x4 - 12x3 + 3x2 - 14x3 - 28x2 + 7x + 10x2 + 20x - 5 = = -6x4 - 12x3 - 14x3 + 3x2 - 28x2 + 10x2 + 7x + 20x - 5 =
- 8x2
+ 2x
- 2x2
+ 4x
- 1
= -6x4 - 26x3 - 15x2 + 27x - 5
Opakování – násobení mnohočlenů
Obdobně jako v případě počítání s číselnými výrazy (zlomky), můžeme i v případě lomených výrazů s proměnnou, za dodržení podmínek krácení (tj. dělíme čitatele i jmenovatele stejným číslem, výrazem, mnohočlenem různým od nuly), krátit výrazy (mnohočleny) nad sebou a v případě součinu i do kříže.
Proto se naučíme rozkládat mnohočleny na součin.
Rozklad mnohočlenu na součin
56
21
87
73
8
3
2
2
64
22
xx
xx
xx
xx
322
12
x
x
32
1
0x;32 /x
Jako vždy nebudeme nikomu věřit a na základě znalostí, které již máme, si vzorce postupně odvodíme sami!
Rozklad mnohočlenu na součin – pomocí rozkladných vzorců
23x
Uprav daný výraz umocněním závorky:
Využijeme toho, co o umocňování víme.
Tzn. že druhou mocninu daného základu můžeme
zapsat i jako součin těchto základů.
33 xx
Pokračovat můžeme znalostmi o násobení
mnohočlenů. Tzn. tím, že každým členem
jednoho mnohočlenu vynásobíme každý člen mnohočlenu druhého.
9332 xxx
A na závěr ještě sečteme
„co se dá“.
962 xxTak ještě jednou obecněji:
2ba baba
22 bababa 22 2 baba
Tak jako vždy nebudeme nikomu věřit a vzorce si sami na základě znalostí, které již máme postupně odvodíme sami!
Rozklad mnohočlenu na součin – pomocí rozkladných vzorců
23x
Uprav daný výraz umocněním závorky:
33 xx
9332 xxx 962 xxTak ještě jednou obecněji:
2ba baba
22 bababa 22 2 baba
A máme první vzorec na světě:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Příklady na ujasnění:
Rozklad mnohočlenu na součin – pomocí rozkladných vzorců
25x
Uprav daný výraz již jen pomocí vzorce:
22 552 xx
25102 xx
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
a b a2 2ab
b2
22 552 xx
+ +
Příklady na ujasnění:
Rozklad mnohočlenu na součin – pomocí rozkladných vzorců
243x
Uprav daný výraz již jen pomocí vzorce:
22 44323 xx
16249 2 xx
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
a b a2 2ab
b2
222 44323 xx+ +
Příklady na ujasnění:
Rozklad mnohočlenu na součin – pomocí rozkladných vzorců
2223 x
Uprav daný výraz již jen pomocí vzorce:
2222 22323 xx
42 4129 xx
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
a b a22ab
b2
4222 22323 xx+ +
A dokud nám to jde, tak pokračujeme.
Rozklad mnohočlenu na součin – pomocí rozkladných vzorců
23x
Uprav daný výraz umocněním závorky:
Opět využijeme toho, co
o umocňování víme. Tzn. že druhou mocninu
daného základu můžeme zapsat i jako součin těchto základů.
33 xx
Pokračovat budeme znalostmi o násobení
mnohočlenů. Tzn. tím, že každým členem
jednoho mnohočlenu vynásobíme každý člen mnohočlenu druhého.
9332 xxx
A na závěr ještě sečteme
„co se dá“.
962 xx
Tak ještě jednou obecněji:
2ba baba
22 bababa 22 2 baba
A dokud nám to jde, tak pokračujeme.
Rozklad mnohočlenu na součin – pomocí rozkladných vzorců
23x
Uprav daný výraz umocněním závorky:
33 xx
9332 xxx 962 xx
Tak ještě jednou obecněji:
2ba baba
22 bababa 22 2 baba
A druhý vzorec je na světě:
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
Příklady na ujasnění:
Rozklad mnohočlenu na součin – pomocí rozkladných vzorců
21x
Uprav daný výraz již jen pomocí vzorce:
22 112 xx
122 xx
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
a b a2 2ab
b2
22 112 xx
– +
Příklady na ujasnění:
Rozklad mnohočlenu na součin – pomocí rozkladných vzorců
225x
Uprav daný výraz již jen pomocí vzorce:
22 22525 xx
42025 2 xx
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
a b a2 2ab
b2
222 22525 xx– +
Příklady na ujasnění:
Rozklad mnohočlenu na součin – pomocí rozkladných vzorců
223yx
Uprav daný výraz již jen pomocí vzorce:
2222 332 yyxx
422 96 yxyx
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
a b a2 2ab
b2
4222 332 yxyx– +
A když nám to tak krásně jde, pokusíme se do třetice všeho dobrého ještě o jeden vzorec.
Rozklad mnohočlenu na součin – pomocí rozkladných vzorců
Uprav:
33 xx
I nyní využijeme znalostí o násobení mnohočlenů.
Tzn. toho, že každým členem jednoho
mnohočlenu vynásobíme každý člen mnohočlenu
druhého.
9332 xxx
A na závěr ještě sečteme
„co se dá“.
92 x
Tak ještě jednou obecněji:
baba
22 bababa 22 ba
A když nám to tak krásně jde, pokusíme se do třetice všeho dobrého, ještě o jeden vzorec.
Rozklad mnohočlenu na součin – pomocí rozkladných vzorců
Uprav:
33 xx
9332 xxx 92 x
Tak ještě jednou obecněji:
baba
22 bababa 22 ba
A třetí vzorec je už také na světě:
(a + b).(a – b) = a2 – b2
Příklady na ujasnění:
Rozklad mnohočlenu na součin – pomocí rozkladných vzorců
22 2x
Uprav daný výraz již jen pomocí vzorce:
42 x
(a + b).(a – b) = a2 – b2
a2 b2
22 xxa b a b+ –
–
Příklady na ujasnění:
Rozklad mnohočlenu na součin – pomocí rozkladných vzorců
221 x
Uprav daný výraz již jen pomocí vzorce:
21 x
(a + b).(a – b) = a2 – b2
a2 b2
xx 11a b a b+ –
–
Příklady na ujasnění:
Rozklad mnohočlenu na součin – pomocí rozkladných vzorců
22 259 yx
Uprav daný výraz již jen pomocí vzorce:
2222 53 yx
yxyx 5353
(a + b).(a – b) = a2 – b2
a2 b2
22 53 yxa b a b+ –
–
Všechny tři vzorce však budeme mnohem častěji používat obráceně, tzn. tak, abychom pomocí nich rozkládali dané mnohočleny na součin.
Rozkladné vzorce
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
(a + b).(a – b) = a2 – b2
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
a2 – 2ab + b2 = (a – b)2
a2 – b2 = (a + b).(a – b)
To ale až zase příští hodinu!
Všechny uveřejněné odkazy [cit. 2010–25–06]. Dostupné pod licencí Creative Commons na http://www.clker.com.
Použité obrázky:
Obrázek na pozadí:[cit. 2010-10-19]. Dostupný pod licencí Public domain na www:<http://www.clker.com/clipart-blackboard.html>
Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Radomír Macháň.
Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR.Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Recommended