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8/17/2019 Schaum Circuitos
1/40
Leyes
de los circuitos
3.1. INTRODU IÓN
Un ci rcuito o red eléctrica consiste en una serie de elementos simples,
o ~ o
los descritos en el Capítulo 2, conec
tados entre sí. El circuito debe tener al menos una fuente de tensión o una fuente de intensidad. La interconexión
de elementos condute a unas nuevas relaciones entre las corrientes y las tensiones en los mismos. Estas relacio
nes y sus ecuaciones correspondientes, junto con
la
relación corriente-tensión de cada eleñ1ento individual, per
mitirán resolver el circuito.
El objetivo fundamental de estudiar los elementos individuales, su conexionado en los circuitos
y
resolver las
ecuaciones de los mismos es analizar el comportamiento de dispositivos como motores, generadores, transfor
madores, transductores eléctricos y algunas partes de equipos electrónicos.
a
o l u i ó n
responde generalmente
a cuestiones acerca del funcionamiento del dispositivo bajo las condiciones impuestas por una fuente de energía.
3.2.
LEY DE RCHHOFF PARA LAS TENSIONES
Para cualquier camino cerrado dentro de un circuito, la ley
de kirchho.ffpara las tensiones
LKT) establece que
la sum algebraica de las tensiones es cero. Algunas de las tensiones serán debidas a fuentes yotras debidas a la
existencia de elementos pasivos, en cuyo caso se hablará de caídas de tensión. Esta ley se aplica igualmente a
los circuitos alimentados por fuentes constantes llamadas de comente continua), CC, por fuentes variables, v t)
e
i t),
y a circuitos alimentados por fuentes que se describirán en el Capítulo 9. El mé• J do de las corrientes de
malla, que
se
explicará en la Sección 4.2,
se
basa en la ley de Kirchhotfpara las tensiones.
EJEMPLO 3 1 Escribir
la
ecuación de la LKT para
el
circuito de
la
Figura 3.1.
R,
•
·
R
R
Figura 3 1
Comrnt.ando por
la
esquina inferior izquierda
y
sigutendo
la
dirección
de
la intensidad, tendremos:
4
8/17/2019 Schaum Circuitos
2/40
CAPITULO 3 LEYES DE LOS CIRCUITOS 5
v. + v
1
+ v
6
+ v
2
+ v
3
= O
. + iR
1
+ v
6
+
iR
2
+ iR
3
=
O
v.
- v
6
=
i R
1
+
R
2
+
R
3)
3.3. LEY DE KIRCHHOFF PARA LAS CORRIENTES
La unión de dos o más elementos de un circuito constituye una conexión denominada
nudo.
La unión de dos ele
mentos se llama
nudo simple
y en él no hay derivación de corriente. La unión de tres o más elemc;.ntos se deno- .
mina nudo principal
y, en este caso, sí hay derivación de corriente. La
ley de Kirchhoffpara las corrientes
LKC)
establece que la suma algebraica de las corrientes en un nudo es cero. Expresándolo de otra m n e r ~ significa
que la suma de las intensidades que entran en un nudo es igual a la suma de las intensidades que sa len del mismo.
El método de las tensiones en los nudos, que se explicará en la Sección 4.3, se basa en las ecuaciones que se
plantean para los nudos principales de un circuito al aplicar la ley de Kircbhoff de las intensidades de corriente.
El fundamento de esta ley es el principio de conservación
de
la carga eléctrica. .
EJEMPLO
3.2. Escribir la ecuación
de la
LKC para
el
nudo principal indicado en
la
Figura 3.2.
i
1
- +
i
3
- i
4
-
i
5
=
O
;,
·
2
3.4. ELEMENTOS
EN
SERIE
i, + il =
¡2
+ i• +
is
- - - - : := . . ;
Figura 3.2.
Los tres elementos pasivos conectados en serie, como se muestra en la Figura 3.3, son recorridos por la misma
corriente eléctrica
i.
Las tensiones en los elementos son v v
2
y v
3
• La tensión total es la
suma
de las tres tensio
nes individuales: v
=
v
1
+ v
2
+ v
3
.-
..
Si los tres elementos son resistencias,
..
•
..
t
+
..
Figura
3.3.
V
=
R,
+
iR
+
iR
= i R
1
+
R
2
+
R
3
)
= iReq
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3/40
6 CIRCUITO:? ELÉCTRICOS Y ELECTRÓNICOS
donde
R.q
es la resistencia equivalente de las tres resistencias en serie. La relación entre v e i sigue si
endo
la
misma.
Para un número cualquiera de resistencias en serie tendremos: Req = R
R
2
· ·
·.
Si
los
tres
elementos pasivos son bobinas
(o
inductancias),
V L
di +
L di
+
L di
1
dt
2
dt l dt
di
= (l, L
L¡
dt
L di
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4/40
CAPITULO
3
LEYES DE L
S
CIRCUITOS
7
· ·
1
,
L 1
"'
'""
i =
;
+
i¡
+ i¡
Si los tres elementos pasivos son resistencias,
i
= . E . . . ~ ~
=(_ _+_ _+..l.)v
1
v
R
1
R, R, R
1
R
2
R, R..,
Para varias resistencias en paralelo,
_l_=_ _+_ _+· .
R '
R, R
2
El caso de dos resistencias en paralelo se presenta frecuentemente
y
merece una mención especial. La resis-
tencia equivalente de dos resistencias en paralelo es igual al producto de ambas dividido por la suma de dichas
resistencias.
R
1
R
2
R ' = R
1
+ R
1
EJE P O 3.5. Calcular la resistencia equivalente de: (a) dos resistencias de 60
n
en paralelo,
y
b) tres resistencias de
60 n en paralelo.
(a)
R _ (60)
1
.. -120=3on
b)
_L=_l_+_ _ 1
R.., 60
60
+
60
R.,. = 20 n
Nota: Paran resistencias iguales en paralelo,
la
resistencia equivalente viene dada por Rln.
Las combinaciones de bobinas en parale
1
:;
tienen expresiones similares a las de las resistencias:
_ _ =
__ __
+ _ _
L L L + Y para dos bobi nas
q 2
L,L,
L ' = L L,
EJEMPLO 3.6 . Se conectan en paralelo dos bobinas L
1
= 3 mH y L
2
= 6 m H. Calcular L ..
1 1 l
L,. = rnH +
6
mH y L. . =
2
mH
Con tres condensadores en paralelo,
i=C dv +C
dv
+C
dv = C
+C
+C
dv =C
dv
1
dt
2
dt
J
dt
1 2 l
dt
eq
dt
Para varios condensadores en paralelo resulta,
C""
= C
1
+ C
2
+ · · ·, que es la misma expresión que para
resistencias en serie.
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5/40
28
CIRCUITOS
E L ~ T R I O S
Y ELECTRÓNICOS
3.6. DIVISIÓN DE TENSIÓN
Un conjunto de resistencias en serie, conectadas como muestra la F.igura 3.5, se denomina divisor de tensión.
Este concepto, que aquí se refiere a un conjunto de resistencias, puede extenderse a impedancias, como
se
verá
en el Capítulo 9.
. . ___...
1
R, u
R,
R¡
Figura
3.5.
Puesto que v
= iR
y v = i R
+ R
2
+ R
3
,
v
= v(R RJ
EJEMPLO 3.7. Un circuito divisor de tensión tiene dos resistencias cuya suma
es
50 n Si la tensión de salida es ellO
de la de entrada, calcular el valor de las dos resistencias.
de donde, R
= 5 .Q y
R
2
= 5 n
3.7. DIVISIÓN DE CORRIENTE
5.
=
.10
V
0,10 '
R,
50xlO'
Una organización de resistencias, como la mostrada en la Figura 3.6, constituye un divisor de corriente. La rela
ción entre la corriente i
1
por una rama y la corriente i muestra el funcionamiento del divisor.
Entonces
V
l ,
R,
R,
i=... ..+..E...+... ..
R, R, R
3
y
i
1
_
1/ R,
- -
11 R,
1 1
R
I/ R
Para
el caso de oo divisor con dos ramas tendremos:
i
1
_ R,
R,
R,
i
:... ..
' R,
Figura
3.6.
R
R
R
1
R
2
R
1
R
1
R
2
R
3
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6/40
CAPÍTULO
3
LEYES E LOS CIRCUITOS
9
Esto puede expresarse de la forma siguiente: en un circuito con dos ramas en- paralelo, la relación entre las
int
en
sidades por una rama
y
la total es igual a
la
relación entre la resistencia por
la
otra rama
y la
suma de ambas
resistencias.
EJEMPLO 3.8. Una corriente de 30 mAse divide en dos corrientes de rama de
20
mA y 10 mA, mediante un circuito con
una n SIStencia equivalente mayor o igual a 1On. Calcular los valores de las r e s i s t ~ n c i s de ambas ramas.
20mA
R
30
mA =
R
2
lOmA R
30
mA =
R + R
R R >
10
n
R R -
Resolv1endo estas ecuaciones se obtiene R, 2: 15 Q y R
2
2: 30 O.
PROBLEMAS RESUELTOS
3.1.
Obtener el valor
de V
3
y su polaridad, sabiendo que la corriente/ en el circuito
de
la Figura
3.
7, es
de 0,4
A.
v
5(1 IOV
v
50V +)
)
< 2011
V
Figura
3.7.
Suponiendo que V
3
tiene la misma polaridad que
V
1
y aplicando la
LKT,
comenzando por la esquina inferior izquieT
da, se obtiene:
V
1
- /{5
- V
1
-
/(20) + V
3
=
0
50 - 2 - 1 - 8 +
V
=
0
V
3
= -30V
El terminal b es positivo respecto del
a.
3.2.
Ca
lcular las intensidades
I
·e /
2
en el circuito
de
la Fig
ur
a 3.8.
a
y
b
constituyen un solo nudo. Aplicando la LKC,
2 + 7 + 1
=
3 o
/
1
= 6 A
7
tA
.
4A
'
Fig
ura
3.8.
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30 CIRCUITOS ELÉCTRICOS Y ELECTRÓNICOS
También
e y d
fonnan un nudo, por lo que:
4 6 = 1 2 1
3.3. Calcular la intensidad
1
por el circuito de la Figura 3.9.
2A
ji
o 1
2
= 9A
4A
Figura
3.9.
Las intensidades por el interior de
la
zona remarcada
no
se pueden calcular al no conocer los valores de las resisten
cias. Sin embargo, al aplicar
la LKC
a toda
la
zona considerándola como un nudo, se obtiene:
2 3 4 1=0
o
=
-5A
3 4
Calcular la resistencia equivalente del circuito de
la
Figura
3 1O
200
lOO
Figura
3.10.
Las dos resistencias de
20
Q en paralelo son equivalentes a una resistencia,
Reo.
= (20) (20)/(20+20) =
lO
n
Ésta
se encuentra en serie con
la
resistencia de 1O
Q
cuya suma será
20 n
Ahora, esta última calculada se encuentra
en
paralelo con
la
de
20 n y
así se obtiene que
la
resistencia equivalente es 1O
Q .
3.5. Calcular
la
inductancia equivalente de las tres bobinas en paralelo de
la
Figura 3.11.
L.
2 mH
Figura
3.11.
Las dos mductanc1as
de 20
mH son equivalentes a una de 10 mH. Ésta se encuentra
en
paralelo con
la de
10 mH,
siendo por tanto mH la equivalente del conjunto. Alternativamente, se puede obtener del siguiente modo:
_ _ =... . . .+... . . .+... . . .=_1_+_1_+_1_+=-
4
- o
L
=5mH
L .
L L
L OmH
20mH 20mH 20mH
"'
3.6. Calcular la capacidad total
de
los tres condensadores de la Figuril 3.12.
8/17/2019 Schaum Circuitos
8/40
CAP
ITULO
3
LEYES
DE
LOS CIRCUITOS
31
_fn
[_ j
c
F
igura
3.12.
Para
C
y C
en paralelo, C '
=e
2
+ C.
Entonces para e,
y
Ccq en serie,
e
=_e_
_.
_ =e:..;.,
e-:':-+_c=-,
r e +C,.
e, +e,
+C,
3.7. El ctrcuito de la Figura 3.
13
es un divtsor de tenstón, también llamado atenuador Cuando se trata de una resis-
tencta única con un contacto deslizante se denomtna potenciómetro. Para comprobar el efecto de carga, provocada
por la resistencia R del voltímetro VM, calcular la relación V
.
V,.. para los casos: (a) R -oo, (b) 1 MQ, (e) 10
kQ,
d) l kQ.
(a)
250 ' 0,100
v. .tv
..
=
22
50+250
(b)
La
resistencta equivalente de R en paralelo
co
n la de 250 Q, será:
250 1 o > = 249,9 n
R
. = 250+
10
y
249,9 =0 ,100
v ..tv.
=
2250
+ 249,9
(e)
(d)
(250)(10
ooo)
= 200 n
R
. = 250+
10000
'-
y
y
V ..
IV. .
=0,098
v ..tv =0,082
Figura 3.13.
3.8.
Ca
lcular las intensidades que circulan por todas las ramas del circuito mostrado en
la
Figura 3.14(a)
.so
•
l ·
1,,
_,,
,._ ·l
11
12 11 8
13 ,7 A
b
(a)
41
6
R
Fi
gur
a 3.14.
9
,11
0
l ·
2
1) ,7 A
(b)
20
8/17/2019 Schaum Circuitos
9/40
32
C I R C U I T O ~ eu:.CTRICOS Y ELECTRÓNICOS
Las resistencias equivalentes de las partes situadas a la izquierda
y
a la derecha
de
los nudos
a
y b
son:
R
.
=5+ (I
2
) S)
=9 8 Q
' ( •WI 20
R
_ (6)(3)
' ' '- 9
=20
Ahora. ut1ilzando el circuito
de
la Figura 3.14(b),
Util1zando el circuito origmal,
1
1
= 1__ 13.
7)
= .32 A
11,8
1
=2, (137)=1138A
11,8 . .
8
1,
=
20
(2. 32) =O. 93 A 1 = 2.32 O 93= 93 A
= ~ 1 1 , 3 8 ) = 3 . 7 9 A 1
6
=11.38-3,79=7.59A
PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS
3.9.
Deduc1r la tensión
V
y
la polaridad
de
la fuente
de la
Figura
3 15
en los casos: {a)
1
=
2 A
y
(b)
1
=
2
A.
Solución: (a) 50 V, terminal
b
positivo; (b)
10
V, terminal
a
positivo.
3.10. Calcular la
Rcq en
el circuito
de
la Figura 3.16, para: (a)
R =
(b)
R
=O,
(e) R = 5 Q .
Solución: (a) 36 Q; (b) 16 Q;
e)
20 Q.
lOO
160
--..fVV
V
_______1:
fR
sn
Figura 3.15. Fig
ura
3.16.
3.ll.
Una
bobina de
8 mH
se encuentra conectada
en
serie con otras dos que están
en
paralelo,
de
valores 3 mH
y 6
mH.
Calcular L q·
Solución:
JO
mH.
3.12. Demostrar que la
q
de los tres condensadores Iguales de la Figura 3.1 7 es igual a 1 5 c
3.13.
Calcular los
valores
de
RH
y
R
del divisor
de
tens1ón
de
la Figura
3.1
8,
suponiendo
que
la corriente está limitada
a-
0,5 A cuando la tensión es
v.
= lOO V.
Solución: RH =
2
MQ; R = 200
MQ.
3.14.
Utilizando la d1visión
de
tensión, calcular V
1
y V
2
en el circUitO de la Ftgura 3.19.
8/17/2019 Schaum Circuitos
10/40
CAPÍTULO
3 LEYES DE
LOS CIRCUITOS
33
1 MV
RH
u
o 1 .
1
o
r
r
-
Fig ura
3.
17.
Figu
ra 3.1
8.
So
lución: 11,4 V, 73,1 V.
3.15. Calcular la intensidad de la fuente y la potencia dis1pada en el circuito de
la
Figura 3.20
Solución: 6 A, 228
W.
740
16,4 o
Vo
120
60
tOS
V 103.2 O ,p v
' \
4A
1 • 1 t
4
o
l 2
o
28,7
o
Figura 3.1 9.
Figura 3.20.
3.16. Demostrar que para cuatro resistencias en paralelo, la corriente por una rama. por ejemplo la de R
4
viene dada en
función de la corriente
total/
por:
,
= l r ( R , ~ R )
,
R R R
siendo
R
=
R R R R R R
1 2 1 ] •
ota : este caso es similar al de una división de corrientes por dos ramas en paralelo, donde la otra resistencia se ha
sustituido por
R .
3. 17. Una línea de transporte de energía conduce corriente desde un generador de 6000 V a tres cargas, A, B y C.
Lascar·
gas están situadas a 4, 7
y
1Okm del generad
or y
absorben 50, 20
y
100
A,
respectivamente. La resistencia de la línea
es O,
1nlkm;
véase la Figura 3.21. (a) Calcular la tensión en las cargas A, By C. (b) Calcular el porcentaje
de la
caída
de tensión entre el generador y la carga C.
Solución: (a)
v
=
5928
V,
v
8
=
5889
V,
ve= 5859
V;
(b) 2,35 .
1
H m
1
3m
1
Jm
1
G d
0.40 0,3 0
0,30
r or
(6000 V) -
-- VV
\ r -- - .._- J V I I \ r -- +- . . J I J V u --
SOA l
OA
IOOA
3.18. En el circuito de la Figura 3.22,
R
=O e
í
1
e í
2
son desconocidas. Calcular
i
y v C
Solución: (
=
4 A,
v AC
=
24
V
3.19. En el circuito de la F1gura 3.22,
R
= 1
í
e í
1
= 2 A. Calcular í, í
2
y
v¡c
Solución:
í
=
5
A, í
2
=
-16
A,
vAC
= 27
V
Figura 3.
21.
8/17/2019 Schaum Circuitos
11/40
34
CIRCUITOS a ~ T R I O S Y ELECTRÓNICOS
Q..i. A
__ _
B
40 JO
R
¡, o e ¡2
Figura 3.22.
3.20. En el circuito de la Figura 3.23, i,
1
= v,
2
= O
v
1
= 9V i,
2
= 12 A. Representar el circuito simplificado y calcular
iBA y AC en
los casos: a)
R
= O
b) R
= 6
n.
e)
R
= 9
n y
d)
R
= 10000
n.
Sugerencia: una
fuente
de
tensión cero corresponde a un elemento cortocircuitado
y
una fuente
de
intensidad cero
corresponde a un elemento en circuito abierto.
So
lu
ción:
a)
iB
=
7
A,
vAC
=
30 V.
b) iBA= 4,2 A, VAC = 21,6 V.
e) iB = 3,5 A,
vAc
= 19,5
V.
d) iBA
=
0,006A
O
VAC = 9,02 V 9
V.
3.21.
En el circuito
de
la Figura 3.23, v = v,
2
=O, i,
1
= 6 A,
i,
2
=
12 A.
Representar el circuito simplificado
y
calcular
iBA y AC
en
los casos: a)
R
=O, b)
R
= 6
n.
e) R = 9 n y d)
R
= 10000 n.
·Solución: a) iBA=
6A, vAc
= 36 V.
b) iBA = 3,6
A, VAC
= 28,8 V.
e) lBA
=
3 A, VAC = 27
V.
d)
iBA
=
0,005A O,
t Ac
=
18 V.
3.22. En el circuito
de
la Figura 3.23, v =O, v,
2
=
6 V i = 6 A,
i,
2
= 12 A. Representar el circuito simplificadoy cal
cular iBA y AC en los casos: a) R = O b) R = 6 n. e) R = 9 n y d) R = 10000 n.
So
lución: a) iBA = 5,33 A, VAc = 34 V.
b)
iBA
=
3,2
A, VAC =
27,6
V.
e) iB = 2,66 A,
v .c
= 26 V.
d)
iBA= 0,005A o VAC = 18,01 V 18
V.
~
;.
60
e
Figura 3.23.
3.23.
En el circuito
de
la Figura
3.24,
a) calcular la resistencia
de
entrada vista por la fuente
de
tensión,
R. =
vlz
como
función
de
a y b) ca lcular R. . para a O l,
2.
Solución:
a)
R. ,= Rl l -a ; b) R oo
-R.
3.24.
En
el circuito
de
la
Figura 3.24
, a) calcular la
p o ~ n c i a
P suministrada
por
la fuente
de
tensión como función
de a
y b) calcular P para a = O
1
2.
Solución:
a)
P =
v
2
1 -
a IR;
b) v
2
1R O -v l R.
8/17/2019 Schaum Circuitos
12/40
CAPITULO 3 LEYES DE
LOS
CIRCUITOS 35
_ _
V
ai
1
Figura 3.24.
3.25. En el circuito de la Figura 3 24,
a
= 2. Se conecta una resistencia R en paralelo con la fuente de tensión y se ajus- ·
ta
su
valor dentro del rango O
R
0,99R, tal que la fuente de tensión suministra la mínima potencia. Calcular,
a) el valor
de R
y b) la potencia suministrada
por
la fuente
de
tensión.
Solución: a) R, = 0,99R, b) P = v21(99R).
i
V
Figura
3.25.
3.26. En el circuito
de
la Figura 3.25,
R
= O y
b
= 100. Dibujar el circuito simplificado y calcular
v paraR
= 1 k y
lOffi.
Solución: v =
1,1 V.
3.27.
En
el circuito
de
la Figura 3.25, R
1
=O
y
R
= 1 k Q Dibujar el circuito simplificado
y
calcular
v
para
b
= 50, 100,
200. Obsérvese que v es proporcional a
b.
Solución:
v
= 0,5; 1; 2 V.
3.28. En el circuito de la Figura 3.25, R
1
= 100
k
y
R
=
11
ffi. Dibujar el circuito simplificado y calcular v para
b
= 50, 100, 200. Comparar
con
los resultados obtenidos
en
el Problema 3.
27
y observar que, en este caso,
v
es
menos sensible a las variaciones
de b.
Solución: v = 0,9;
1;
1,04 V.
3.29. Un elemento no lineal está representado por la curva característica siguiente:
. {lOv p a r a v
r=
O,lv
p a r a v ~
Calcular la corrientepor el elemento si se conecta a
una
fuente
de
tensión con: a)
v
= 1 +
sen t y
b)
v
= - 1 +
sen t Véase la Figura 3.26 a).
Solución: a) i =
10
1 sen t ; b) i = 0,1 -1 sen t).
IQ
V
V
no l i n ~ a l
V
no lint l
a)
b)
Figura 3.26.
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36
CIRCUITOS ELtCTRICOS Y ELECTRÓNICOS
3.30. conecta una resistencia de l Q en serie entre l elemento no lineal del Problema 3.29 y a fuente de tensión. Véase
la Figura 3.26 b). Calcular la corriente por el elemento si la fuente de tensión es: a) v l
sen
t y b) v 1
T
sen 1.
Solución: a)
i
0,91 l + sen
1 ;
b)
i
0,091 -1 + sen
1 .
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étodos de nálisis
4.1.
EL MÉTO
DO DE LAS CORRIENTES DE RAMA
En el método de las corrientes de rama se asigna una corriente a
cada
rama de l circuito. Después se aplica la ley
de
Kirchhoff
de las corrientes a
cada
uno de los nudos principales del circuito y
la
ley de las tensiones entre los
nudos a través de
cada una
de las ramas.
Esto
proporciona
un sistema
de ecuaciones
que
permite calcular las
corrientes.
EJEMPLO 4 . Calcular las corrientes en cada rama del circuito de la Figura 4.1 utilizando el método de las corrientes
de rama.
s o 2
· ·
10 0
b
Figura 4.1.
Se asignan las corrientes /
1
, /
1
e /
1
a las
ramas,
tal como se indica en
la
Figura 4.1. Aplicando la LKC al nudo
a,
1
1
= 1
1
/
1
{1)
La tensión v puede escribirse en función de los elementos de cada rama; v
=
20 - /
1
(S), v = /
1
(lO) y v = 1
1
(2)
8. Por tanto, pueden escribirse las ecuaciones siguientes:
2 /
1
S)= /
1
( lO)
20 - /
1
S)
= 1
1
(2) 8
Resolviendo el sistema de las tres ecuaciones (1 , (2) y (3 , se obtiene /
1
= 2 1
1
= 1 A e /
1
= 1A.
(2)
J)
Se podían haber elegido otros sentidos para las corrientes de rani a, y con el signo obtenido en el resultado
final
se
deduciría el sentido correcto. Cuando la red es
más
compleja,
el
método
de
las corrientes de rama
es
difi
cil de aplicar, porque no se ve claramente el proceso de seleccionar las ramas y los nudos para obtener las ecua
ciones adecuadas al problema concreto. Además, pueden requerirse más ecuaciones independientes que las que
se
i t a n
con el método de las corrientes de malla o
el
de las tensiones
en
l
os
nudos.
37
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40
CIRCUIT(I
E L ~ C T R I C O S
Y ELE TRÓNI OS
Análogamente,
R
1 =_l_IR,
D.•
R V
Ru
ll 1
V,
Ru
V
1
Rn
R,
R V
1
1
=_LIR
R
11
V
1
a.
R11
R
V
Un desarrollo de los determmantes por los adjuntos de los términos de tensión proporciona un sistema de ecuac1ones que
puede ayudar a entender el Circuito en función de sus resistencias de transferencia y de las tensiones de excitac1ón
1
=
V.
~ ) +
VD.,, +V
~ )
a.
tJ.•
t. .
(7)
1 = V . ~ ) +
V.
(D.
+V (D.
)
, a. , t.. , a.
8)
1
::V.
D.n)+
11
D.n)+
V
(D.n
)
,
a .
,
6
•
tJ.,
(9)
donde,
6./J es
el adJUnto de R elemento de ta tita
1,
columna}) de D.R. Deben tenerse en cuenta los signos de los menores
complementarios (véase et Apéndice 8).
4.4. EL MÉTODO DE
LAS
TENSIONES EN LOS
NUDOS
El
circUitO
de la Figura 4.4(a) llene cmco nudos, donde
el4 y e\5
son sencillos
y
el / ,
2 y 3
son principales. En
el método de las tens10nes en los nudos, uno de los principales se toma como nudo de referencia y se aplica la
LKC al resto de nudos pnnctpales. A cada uno de
e-stos
nudos se le asigna una tensión, entendiendo que se trata
de una tensión respecto de la del nudo de referencia. Estas tensiones son las mcógnitas
y
cuando se determinan
por un método aproptado, se obtiene la solución del circuito.
J
]
J
R .
r
R,
Ro
Ro
R .
R,
J rcf.)
(a)
(b)
Figura 4.4.
El circuito está representado de otra forma en la Ftgura 4 4(b), donde se ha tomado el nudo 3 como referen-
cta para las tensiones V
1
y V
2
•
La LKC establece que la suma de corrientes
en
el nudo
1
es igual a cero:
v;-v.
~
v;-v;
=O
R,. R
8
Re
Análogamente, las corrientes en el nudo
2,
deben anularse:
v -v;
v,
v -v.
0
- - --=
Re R
0
Rt
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CAPITULO 4 M ~ T O O O S E ANÁLISIS 41
(Aplicar la LKC de esta fonna no implica que las corrientes reales por todas las ramas sean salientes
en
ambos
nudos. Evidentemente, la corriente por la rama
2
debe ser saliente en un nudo y entrante en otro). Poniendo
en fonna matricial las ecuaciones para V
1
y V
2
:
[
_)_+_ _+.... _
R ~ Re
¡¡
> ; V.IRA
1
l
.;. + i. [J[.,,.J
e
Observe la simetría de los coeficientes de la matriz. El elemento
1,1
es tgual a la suma de las inversas de todas
las resistencias conectadas al nudo ; el 1,2 y el 2,1 son iguales al valor de la suma
de
las inversas de las resis
tencias que se encuentran conectadas en las ramas que unen los nudos y
2
y con signo negativo. (En este cir
cuito solo hay una rama.)
El segundo miembro de la ecuación es la matriz de intensidades con VjR y V/Re que son las corritmtes de
las fuente
s.
Estos dos elementos se han tomado positivos porque ambos conducen corriente
hacia
el nudo. Más
adelante, en el Capítulo 9, se tratarán de fonna más completa estos elementos, cuando se estudie el llétodo de
las tensiones en los nudos para circuitos con ondas sinuosidades estacionanas.
EJEMPLO 4.5.
Resolver el
circutto del Ejemplo 4 2 usando
el
método
de las tensiones en los nudos.
El
ctreuito se ha dibujado de
nuevo
en
la Figura 4.5. Con
dos
nudos
principales
, sólo se
necesita
una ecuación. Si se supo-
nen
todas las corrientes
salientes
en el nudo superior
y
se toma el nudo inferior como
referencia,
V,-20
~ V,-8
=0
5 10 2
de
donde
V
1
'
10
V.
Entonces,
/
1
=
(10 - 20
)/5
=
-2
A
el
signo menos
indica que
la
corriente /
1
circula
bacía el nudc
1);
1
2
= 10-
8Y2
= 1
A
La corriente /
1
del Ejemplo 4.2 es la que se indica con linea de trazos.
2 V
td .
Figura
4.5.
4.5. RESISTENCIAS
DE
ENTRADA Y DE SALIDA
En los circuitos con una sola fuente es interesante con frecuencia conocer la resistencia de entrada.
La
Figura
4.6 muestra un circuito de ese tipo, donde la fuente de tensión se ha designado como V
y la intensidad corres
pondiente como 1
1
• Puesto que la única fuente es V
1
,la
ecuación de 1
1
es [véase la ecuación
(7)
del Ejemplo 4.4]:
1
= v . ( ~ )
La
resistencia de entrada es la relación tntre V
1
e
:
o
R - , = ~
....
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CAPITUlO 4 ~ T O O S
DE
ANÁLISIS
43
4.7. SIMPLIFICACIÓN DE CffiCUITOS
Los métodos de las corrientes de malla y de las tensiones en los nudos son las técnicas principales de análisis de
circuitos. Sin embargo, la resistencia equivalente en las ramas en serie y en paralelo Secciones 3.4 y 3.5),junto
con las reglas de la divis1ón de
comente
y
de ten
s1ón
proporcionan otro método de análisis de circuitos. Es te
método es ted1oso
y
normalmente, requiere la representación de varios circuitos adicionales.
No
obstante, el pro-
ceso de reducir el circUitO proporciona una vis1ón más clara del funcionamiento completo del mismo en térmi-
nos de tensiones, comentes y potencias. La reducción comienza por una exploración para detectar las combina-
Clones de res1stenctas en sene y en paralelo.
EJEMPLO
4.6.
Calcular la potencia sumimstrada por la fuente de
60
V
y
la potenc1a absorbid a en cada resistencia del cir-
cuito de la Figura 4.8.
1 7
o
611V
12 0
R
=
+5= 12íl
R
= 12) 6)
=4í l
12+6
6
d
as
equivalentes de las dos ramas están en paralelo Figura 4.9) y darán:
4) 12)
=3íl
R•
= 4+12
o
7
b
Figura
4.8.
Además esta resistencia equivalente de
3
í l está en serie con la de
7
í l Figura
4.10),
así que para el circuito completo,
R '
=
1 +3 10 n
7 0
o
4
o
60V
O
d b
1
Figura
4.9.
Figu
ra 4.10.
La potencia total absorbida, que es igual a la suministrada por la fuente, puede ahora calcularse como,
v
_
60) =
360
w
Pr
=-¡¡--
10
Esta potenc1a está repart1da entre
R
1
y
R ¡
de
la forma siguiente:
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)
44 CIRCUITOS E L ~ T R I O S Y ELECTRÓNICOS
7
P,, =
0
=
7
+
3
(360) = 252 W pq = 7 3(360)=108
w
La potencia P
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CAPITULO
4
MéTODOS
OE
ANÁLISIS 45
4
4
47 o
l'i '
27
l
2JCl
27
l
oc
2.1
o
200V
(a) (b)
4
47
o
¡.,
V Il
JO
s.c
(e)
Figura 4.11.
La corriente total por la resistencia de 23
n
es,
lun = = 11,23 A
4 9 TEOREMAS
DE THÉVENIN
Y
DE NORTON
Un Circuito hneal
con
resistenc1as, que tiene
una
o
más
fuentes
de
tensión o
de
intensidad, puede sustitutrse por
una fuente de tensión y una resistencia en serie (Teorema de Thévenin) o por una fuente de intensidad y una
re >is-
tencla en paralelo (Teorema de Norton). La tens1ón
se
denomma Tensión equivalente
de
Thévenin, V , y la inten-
Sidad de comente de la fuente Corriente equivalente de Norton,
1 .
Las dos res1stenc1as son la misma, R . Cuando
los terminales ab de la Figura 4 .
12
están abiertos, aparecerá una tensión
entre
los mismos.
La tensión
V
del C
1rcu1t
o equivalente
de Thévenm
de la Figura 4.12(b) será
la
tensión entre aben circUitO
abierto.
Si
se cortocircuitan los terminales
ab
,
como se
indica mediante la línea
de
trazos
de
la Ftgura 4.12(a),
circulará una
corriente. Esta corriente será la
de la
fuente de mtens1dad 1
de
la Figura 4.12(c)
del
circuito equi-
valente de Norton. Ahora, SI los c1rcu1tos (b)
y
(e) son equtvalentes del mtsmo circuito activo, ellos serán equi-
valentes entre sí. Se deduce entonces que R = V /1 .
R
a
\
\
\
\
\
\
Red ' •col \
1
V
1
R
1
t ll •
1
J
1
1
1
b
b
b
(a) (b) Thévenin
(e) Norton
Figura 4.12.
EJEMPLO
4.8.
Obtener los circuitos equivalentes de Thévenin y
de
Norton del circuito de la Ftgura 4.13(a).
Con los terrnmales
ab
en vacío, las dos fuentes
y
as res1stenc1as de 3
n y e 6 n
estan recorridas
por
una
co
rriente en sen-
tido de las agujas del reloJ [Figura 413 b)) de valor·
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46
CIRCUITOS E L ~ C T R
C O S
Y ELECTRÓNICOS
J O
. lO
•
1
• . . .
o a
f 1 Y h o
a
JO
1> 0 JO
on
2H
V
lO V
V
L o
h
< l
b
(a)
b)
1 {
1 1 o
.1 1
¡,{1
s.c s.c
(e)
Fig
ur
a 4.13.
/=20 10=30 A
3+6
9
Puesto que no Circula corriente por la resistencia de 3 Q de la parte superior, la tensión de Thévenin puede calcularse a
partir
de
cualquiera de las dos ramas activas:
o
v .
=V 2 0 - C ~ ) 3 ) = 10 V
V . = V = (
~ ) 6 - 1 0 = 1 0 V
•
La resistencia R se puede calcular cortocircuitando las fuentes de tensión [Figura 4.13(c)] y obteniendo la resistencia
equivalente del circuito entre los terminales
ab
R =
3+
3) 6) =
Q
9
Cuando
se hace un cortocircuito entre los terminales aparece una corriente
/oc
debida a las dos fuentes. Suponiendo que
la corriente circula desde
a
a
b
por superposición, tendremos,
1. = 1 = 6:
3
)[l+
; ~ 6
]-(
;
3
6
+
: ~ j ¡
l
2 A
En
la Figura 4.14 se
r e p r e s e n t ~ n
los dos circuitos equivalentes. En este caso. los valores
de
V ,
R
e 1 se obtuvieron de
forma mdependiente. Como están relacionados por la ley
de
Ohm, dos de ellos pueden utilizarse para obtener el tercero.
r
'
o
5
r . -o
a
2A
q¡
---
--
----
--
-
----
oh
.__
. . . _
_____
)
b
(a) Equivalente de Thévenin.
(b) Equivaleule de Norton.
Figura 4.14.
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24/40
CAPITULO 4
M ~ T O O S
DE ANÁLISIS 7
La utiltdad de los circuit
os
equivalentes
de
Thévenin y de Norton está clara
cuando
se tiene que estudiar un
CirC
uitO
con
d1ferentes cargas,
cada
una
de
ellas representada
por
una resistencia. En la Figura 4.15 se tiene esta
s1tuaci6n, en la
que
varias resistencias R
1
, R
2
, •.• R.
se
pueden conectar una a
una para
obtener la intensidad y
la potenc1a
en cada
caso. Si esto se hubiese intentado con el Circuito
pnmltl
vo, la tarea habría sido tediosa y el
t1em
po
empleado
mucho mayor
V
. : ··
¡
·
Figura 4.15.
4.10. TEOREMA
E
TRANSFERENCIA DE
MÁXIMA
POTENCIA
A veces
se
qu1ere calcular la máx1ma potencia que
es
capaz de transfenr
un
c1rcuito activo a una res1stenc1a ex.tt:·
nor
RL
Supomendo
que
el circuito es lineal, se puede reduCir a un circuito eqUivalente como el de la Figura 4.16.
Entonces:
V
= -
R +Rt
y por tanto la potencia absorbi
da
por la carga es,
V
2
R
v 1[
(R -R
)
2
]
pt
=
R +R:)
2
=
4R
l R +R:
Puede verse que P
L alcanza
su valor máximo, V lf4R
,
cuando
RL
=R
, con
lo
que
la potencia absorb1da por
R es tamb1én
V l
f4R
.
En consecuencia, cuando la potencia transfenda es máx1ma, el rend1miento es del 50 .
R
1
vru·(. ~
R,
1
1
1
Figura 4.16.
bsérvese que la cond1
ción de
máx1ma potencia transf enda a la carga no es la m1sma que la condic1ón de la
máx1ma potencia suministrada
por
la fuente. Esto último sucede cuando RL
= O
en
cuyo caso
la potencia sumi-
nistrada a la carga es cero (es decir, es mínima).
1:. ~ S i : :
1
PROBLEM S RESUELTOS
¡
.,
4.1.
Utilizando el mélodo de
las
corrientes por las
ramas.
en
el circuito de la F1gura
4.17 ,
calcular la corriente que circ
u-
la por
la
fuente de 60
V.
La LKT y la
LKC
dan:
/z(l2)
- 1¡ 6)
JO)
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8 CIRCUITOS EltOCTRICOS Y ELECTRÓNICOS
NIV
7 0
-
Sustituyendo
(JO)
y / /) en
(13),
Sustituyendo ahora ( /4) en (12).
,
·
12
o
1>0
2
( 12)
=
1,(12)
60 = 1¡ 7) + 1
2
(12)
1
1
=
1
2
+
3
+ 1
4
/
1
= /
2
+
21
2
+
1
=
41
2
lr·
12
o
60=((7)+F,(12)=10l
1
o
1,
=6A
4.2. Resolver el Problema 4 .1 por el método
de
las corrientes de malla.
Aplicando la LKC a cada malla (véase la Figura 4.18) resulta:
60 =
7 ,
+ 12 1) - 1,)
O
12(/
2
-
1
) +
6(1
2
-
1
3
)
O = 6(/
3
-
2
) + 121
3
Reordenando los términos y expresando las ecuaciones en forma matricial:
Figura
4.17.
191,-121,
=60
-12f, + 181,- 61,
=o
-61,+18 ,=0
o
[
19
-12 0][/ ]
[6 ]
- 12
18
-6 1,
=
o
o -6 18 f¡ o
Utilizando la regla
de
Cramer paraobtener 1,.
6o -t2 o l ¡ 19 -12 o
r,
=¡ o
18 -6
.. -12
ts
-61=17280+2880=6A
o
-6 18
o
-6 18
7 0
f"3 t·Z ,
Fig
ura
4.18.
/1)
(/2)
(13)
(14)
4.3. Resolver
el
circuito de los Problemas 4.1 y 4.2 por el método de las tensiones en los nudos. Véase la Figura 4.19.
Con
dos nudos principales sólo hace falta una ecuactón.
V -60
~ ~ ~ = 0
7
12
6 12
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27/40
50 CIRCUITCS ELÉCTRICOS Y ELECTRÓNICOS
Por tanto,
[
19 7 7]
c..
= 7 13 7 = 2880
7 7
19
Obsérvese que en el Problema 4.2 también t R = 2880, aunque los elementos del determi nante sean d1fercntcs Todos
los cun;untos de mallas o bucles váhdos dan el
m1smo
valor de t.
.
Los tres detem1inantes correspondientes a los
numeradores son:
Por cons1guiente,
60 7 7
N,=l6o 13 71=4320 N
1
=8642 N
1
=4320
60 7 19
N,
_
4320
=
15 A
1,
= t. - 2880
=N, =3
A
c..
l =N¡
=
1,5
A
) c..
La corriente suministrada por la fuente de tensión
de 60
V es la suma
de
las tres corrientes
de
malla, 1
1
1 1
=
6A
4.7. Escnbir la ecuac1ón matricial del método de las corrientes
de
malla para el circuito de la Figura 4.21 utilizando para
ello el método
de
inspección
de
l mismo,
y
calcular las corrientes correspondientes.
Resolviendo,
Análogamente.
t
2
·
Figura 4 21
[
5 o][r] ¡ 2
]
-5 19
-4
r =
25
o -4 6 f¡ 50
-25
-5 01 1
7
-5 o
r
=
2s 9
-4 -5
9 -41= -700)+536=-1,3 1 A
50 -4 6 o
-4
6
N
1700 -
1 17 A
t = t ~ = 53 >
·
N
_
5600
=
10.45 A
1¡
=t.
- 536
4 8 Resolver el Problema 4.7
por el
método
de
las tensiones en :os nudos.
El Circuito se ha dtbujado de nuevo en la Figura 4.22, con dos nudos principales designados como y 2 y el terce
ro que se toma como nudo de referencia. Según la LKC, la corriente neta por el nudo debe ser cero.
8/17/2019 Schaum Circuitos
28/40
CAPITULO 4 METODOS DE ANALISIS
5
1
o
rcf
Figura 4 22
V
-
25
V
-
v
=
o
2 5 10
Análogamente, en el nu9o
2,
v
-
V ::1.
+
v
50
=
o
10 4 2
Expresando las dos ecuaciones en forma matricial,
[
. .+. .+... ._
2 S 10
1
10
_... .._
l ]
0 '
1 1 1 -
10
¡
2 v
S
-2S
El determinante de los coeficientes y los determinantes del numerador son
De donde,
.1=1 0.8.0 -0,101=0,670
-0,10
0,8S
= =
1,75
1
5 -0,101
1
-2S 0,85
1
0,80 51
N =
= - 195
-0,10 -25 '
1,75
1 - O 670 = 2,61 V
V =-19 5
-
0,670=-29,1V
En función de estas tensiones, las corrientes de la Figura 4.21 se calculan como sigue:
-V
f=__ .= - l 3 l A
1
2 '
Y¡
-V,= 3,17 A
t = -,-0
v
50= 0,45
A
t =
·
-2 -
4 9
En el circuito
de
la Figura 4.23, calcular
el
valor de Vs que hace que /
0
= 7,5
mA.
Directamente, por observación del circuito, se escribe la ecuación matricial del método
de
las tensiones en los nudos.
Resolviendo para V
2
[
_. ._+. .+. .
20
7 4
4
l
- ±
~ ] [ V . ] =
V f20
¡ 6 6 v o
1
0,443
V = -0,250
l 1 0,443
-0,250
v ~ 2 o l
-o.2SO
1 =
0,0638
v.
0,583
8/17/2019 Schaum Circuitos
29/40
5 CIRCUITOS E L ~ T R I O S Y ELECTRÓNICOS
40
V
r
Figura 4 23
Entonces
7,5xlo-' =
1
•
=v =
0,0638
6 6
de donde
V = O,705
V
4 10 En el circuito de la Figura 4.24, calcular la intensidad de corriente que circula por la resistencia de 10 n
lf lO
2
Figura 4 24
La ecuación
en
fonna matricial para los nudos, obtenida directamente de la Figura 4.24,
Entonces, = V/10
=
0,118 A.
[
l+.. ..
5 10
_l
5
t- J[J[J
1
2
-ü,201
V -6
O
70
- 1
18
V
- ¡
0,30 -0,20¡- ·
-0,20 O
70
4 11
En el
circuito
de la F1gura 4.25, calcular la tensión Vab·
Las dos mallas cerradas son independientes y
no
hay paso de corriente por la rama
de
interconex:ión.
/
1
=
A
1
=
30
=
3 A
2
10
v .
=
v
+ v.. . + v•
=
1,(5)-5+1,(4)
=
3
v
4.12. Para el Circuito en escalera de la Figura 4 26, obtener la resistencia de Jansferencta ex:presada como la relación entre
v. .
e /
4
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30/40
8/17/2019 Schaum Circuitos
31/40
54 CiRCUITOS ELÉCTRICOS Y ELECTRÓNICOS
La tensión
de
circuito abierto
Ve
es la tensión en la resistencia de
5 n, como se
indica en la Figura
4.28.
1 o
10
o
1
n
v_
· ·
O·
1?.
b Fi
gura
4.28.
[
15
-5
-5
20
o
-5
o]
[t']
¡ v ~ l
5
t = o
20 1¡
o
l
=
25 V .
=V . A)
5125 ISO
Entonces. la
f u ~ n t e
de Thévenin
V'=
Vea = /
1
(5) = v . 41. y
v
_ 1Q n
RTh
=¡ -
41
El c1rcuito equivalente
de
Thévenin
es
el
de la
Figura 4.29. Con
RL
conectada en tre
ab
la intensidad
de comente es
de
acuerdo con el Problema
4.12
V = ~
4t
1
141
1'"" A)
.. __ '. ' =41RL +150
Ir
1
511
o
4 1
G
R,
Fig
ur
a
4.29.
4.14. Utilizando superpos1ción.
calcular
la intensidad 1deb1da a cada fuente
de
tensión en el circu1to dt
la
Figura 4.30.
Las corrientes de malla se eligen de tal forma que por cada fuente circule solamente una
de
ellas.
[
5
-27] [ ]=[-460]
-27
7 t
=
200
HU
Figura 4.30.
8/17/2019 Schaum Circuitos
32/40
CAPITULO 4
MÉTO OS DE
ANÁLISIS
De la fuente de tensión de 460 V
,
(-460)(74)=-10,42A
¡ =
1
= 3267
y de la fuente de 200 V.
-(200)(- 27) = 1.65 A
¡ ·= ¡ = 3267
Entonces. 1 =
/'
+ / = -10,42 + 1,65
=
-'6,77 A
15. Obtener la 111tens1dad de corriente por cada resistencia de la F1gura 4 31 (a). uulizando el método de reducción del
CirCUitO.
Como pnmcr a ~ o las
combinaciones
de dos resistencias
en
paralelo se sustituyen
por
sus equivalentes Para la
com
b1nac1ón de 6
Q
y 3 Q, R
4
= (6)(3)/(6+ 3) = 2 O. Para las dos resistencias de 4
Q , R q
= 2
Q .
A contmuac1ón, se
vuelve
a
representar
el Circuito
con
las resistenc1as que están
en
serie sumadas (Figura 4 .31(b)] Ahora. las
dos
reSIS-
tencias de
6
Q ,
que
están
en
paralelo, tienen un valor equivalente
R .
=
3
Q
y
a su vez,
ésta
se encuentra en serie
con la de 2
n.
Asi. R = 5
n.
como se indica en la F1gura 4.31 (e). La corriente resultante es
1
= 5 =
A
T
5
Ahora, para calcular las
comentes
por las ramas. se utilizarán los circuitos de la Figura 4.
3l(b)
y 4.3l(a).
V
2
r
25 V
60
(b)
le =
1
= ;1 = 2,5 A
/
0
=1,
=3lr
= .25 A
1
3
- 1 ,
=lA
A
6+3
3
1
6
- = QA
• 6+3 3
1,
2
-
,
Ir¡
4 0
¡
(a)
[ ]
S V,
S
O
ll
6 0
e)
Figura 4.31.
8/17/2019 Schaum Circuitos
33/40
56 CIRCUIT'JS ELÉCTRICOS Y ELECTRÓNICOS
4.16. Calcul
ar
el valor de
la
resistencia regulable que proporciona la máxima transferencia
de
potencia a través de los ter-
minales ab del circuito de la Figura 4.32.
10
O 1
S
O
100 V
IS
o
R
b
Figura 4.32.
Primero se calcula el equivalente de Thévenin, obteniéndose V
=
60 V
y R =
11 O. De acuerdo con la Sección
4.1
O
la
máxima potencia transfenda se presema cuando
R =
R
= n , y
vale
V
P . .
=
4R
=
1, 2
W
\ -r
.,
( ,.
i •· :1
4.17. Aplicar el método de las corrientes de malla
al
circuito
de
la Figura 4.33
y
escribir directamente la ecuación matri-
cial. Obtener la corriente
1
1
mediante el desarrollo del determinante del numerador por los elementos de la columna
que contiene las tensiones de las fuentes, comprobando que cada fuente contribuye
al
valor
de
/
1
con una comente
de 2,13 A.
2
s
n
1n
8t,O
t·8
27
V
Figura
4.33.
4.18. En la Figura 4.34 se indican las corrientes de malla de un determinado circuito. Escribir la ecuación matricial y obte-
ner las tres intensidades.
Solución: 3,55 A,
-1,9
A,
-2,9
A.
5
3
8
2
n
1
~
\__
2
2 V
Figura
4.34.
8/17/2019 Schaum Circuitos
34/40
CAP[TULO 4 MÉTODOS
DE
ANÁLISIS
57
4.19. El circuito del Problema 4.18 se ha V Jelto a dibujar en la Figura 4.35 para solucionarlo por el método de las tenstO·
nes en los nudos. Calcular las tensiones en los nudos V
1
y V
2
y comprobar las corrientes obtenidas en el Problema
4.18. .
Solución:
7,1
1 V, 3 96 V
20V
20
lO V
re f
Figura 4.35.
4.20.
En el circuito de
la
Figura
4.36 1
0
= =
7 5 mA. Utilizando el método de las corrientes de malla calcular el valor de
V
de la fuente de tensión.
So lución: 0 705
V
K 0 4 O
f
~ ¡n • ln .J
l l
Figura 4.36.
4.21. Utilizando el determinante adecuado del Problema 4.20 calcular la resistencia
de
entrada
vista
desde la fuente
de
tensión V . Comprobar el resultado por el método de reducción del c1rcuito.
Soluci
ón
: 23 5 Q
4.22. En el circuito de la Figura 4.36 calcular la resistencia de transferencia como relación entre la corriente /
0
y la ten-
sión V .
Solución: 94 n
4.23.
Obtener
las corrientes
de
malla del circuito
de
la Figura 4.37.
So
lución:
5
A;
1 A; 0 5
A.
180
sov
]
t 8 t·
8
4.24. Usando las matrices del Problema 4.23 calcularR .c
1
~ r ~ n s f e r Y ~ a n s f e r I J ·
Solució
n: 10
Q
50
Q
100
O.
4.25. Obtener las cuatro corrientes de malla del circuito de la Figura 4.38.
So l
ución:
2 11 A; 0 263
A;
-2 34 A; 0 426 A.
Figur
a 4.37.
8/17/2019 Schaum Circuitos
35/40
58 CIRCUITUS ELÉCTRICOS Y ELECTRÓNICOS
5(1
n
O
:u
v
UIV
8 t
,O
l l
4 1
Fi¡:ur a 4.3 .
4.26. En el ~ t r c w t o la FlgurJ 4.39 .:alcular JI , 1 y R en los tcrn11nales al> uttltzando d método
de
las
comentes
de
malla o e
de
l,ts tcnstones en los nudos Suponer que el tenntnal
a
es postttvo resrecto del tcnntnal 1>
Solución : -6,29 V:
-0,667
A. 9,44 U
R l
lO
V
t2 V 2 O
5o
b
Figu ra 4.39.
4.27. Uultzando el método
de
las tensiones en los nudos. calcular V
e /
desde los termtnales
ah
del circuito de la Figura
440
.
Suponer que
a es positivo respecto de
b
So lución: -1 1,2 V;
-7
,17 A.
4 0
5 0
¡ _
. . 1 He:; ; O
a
20
2 o
lO
V
20V
,,
figura
4.40.
4.28. Calcular las tntenstdades
de
corriente por cada reststencia
dd
ctrcutto de
Id
Ftgura 4.41 por
ci
método de reducctón.
Solución: Por ia
resístencta
de
2,45
.Q, 3.1
A. por la
de
6,7
.Q,
0,855 A; por la
de 10 .
0.
466
A, por la
de 12 .Q,
0.38
8/17/2019 Schaum Circuitos
36/40
CAPITULO
4
MÉTODOS DE ANÁLISIS
59
So
ludón
: 23,9n. 443
n
6.7
n
11 •1
n
6 30
n
Figura 4.41.
9SO
R,
t.s.on
Figura 4.42.
4.JO. l:n cm:tllto de
la
Figura 4.43. dos fuentes de intensidad proporcionan 1 e 1 . s1endo /
+
1 = l . Calcular estas
corncnlt.. S utilit ando
supcrplll\lción
Solución: 1.2A : 15'A; ló.2A.
xn
12 n :100
l A
Figura
4.43.
4.3 1 Calcular la c0rriente 1
en
el circuito de la Figura 4.44.
Solución : -121\.
4 32 Calcular los circuii\\S equivalentes de Théven
in
y de Norton de la Figu ra 4.45.
Solución :
1
=
30 V; '= 5
A;
R'
6
n.
4.33. En
el C1rcu110
de
la
Figura 4.46. calcular la potencia máxima que el circuito activo a
la
izquierda de los
te
rminales
o
p u ú ~ sumimstrar a la rcstslencta variable
R
Figura 4.44.
M, (V)
4 Q
•} ·
a_\\
1
){..
1
/·
n
1
·
1
d
b
20
V
Figura 4.45.
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37/40
60 CIRCUITOS ELÉCTRICOS Y ELECTRÓNICOS
Solución: 8,44
W.
600
JO ll
b
Figura 4.46.
4.34. En condiciones de vacío,
un
generador de C.C tiene una tensión entre sus terminales de 120 V. Cuando suministra
una corriente de 40 A, la tensión entre sus terminales cae a
112 V.
Encontrar los circuitos equivalentes de Thévenin
y
Norton.
Solución: V = 120 V / = 600 A, R = 0,2 íl.
4.35. El circuito del Problema 4.
14 se
ha dibujado de nuevo en
la
Figura 4.47
y
se han señalado los terminales
a
y
b
Obtener
el
circuito equivalente de Thévenin o de Norton de
la
parte a
la
izquierda de los terminales
ab
y calcular
la
intensidad l.
Solución:
-8 77
A.
a
1
21
n
21
n
46 V b
Figura 4.47.
4.36. Método de las tensiones en. los nudos. En el circuito de la Figura 4.48, escribir las tres ecuaciones para los nudos
A, B
y
C, con el nudo D como referencia,
y
calcular las tensiones en los nudos.
¡
udo A: 5V -2 V
0
-3Vc =30
Solución:
NudoS:
-V. 6V
0
-3Vc=O
NudoC: -v. -2V, 3Vc =2
de donde
V
17 V,
V =
9
V Ve=
12,33 V
6V
o
Figura 4.48.
4.37. En el circuito de la Figura 4.48,
la
corriente que circula por la resistencia
de
3
Q
vale 3 A
y V
8
9
V.
Calcular
la
corriente , aplicando
la
LKT sobre la malla superior del circuito, asi como V y e·
Solución: 1 1/3 A; VA= 17 V; ve = 3713 V.
8/17/2019 Schaum Circuitos
38/40
CAP TULO 4 MÉTODOS
E
ANÁLISIS 61
4.38. Superposición. En el circuito de la Figura 4.48, calcular la contribución de cada fuante a los valores de VA
V
8
Ve
y
comprobar que sumados dan los resultados obtemdos en los Problemas 4.36
y
4.37.
Solución: todos los valores
se
especifican en V).
Contribución de la fuen¡e
de
tensión
VA=
3
V
8
=
0
Ve=
1
Contnbución de la fuente de intenstdad de 1 A
VA= 6
VB
=
3
ve= 4
o n t n b u c t ~ n
de la fuente de intensidad de 2 A
VA=
8 V
8
= 6 ve= 28/3
Contribución de todas las fuentes
VA=
17
VB
=
9
ve= 37/3
4.39. En el circuito de la Figura 4.48, eliminar la fuente de intenstdad de 2 A y calcular la tensión V. . entre los nudos C y
D en circuito abierto.
Solución:
V
= 3V
4.40. Usar los valores de
Ve
y
V .
calculados en los Problemas 4.36 y 4.39 para calcular el equivalente de Thévenin del
circuito de la Figura 4.48 visto por la fuente de intensidad de 2 A
Solución: h
=
3 V; R h
=
14/3
0..
4.41. En el c i r ~ u i t o de la Figura 4.48, eliminar
las
dos fuentes de mtensidad y sustttuir la fuente de tensión por un corto-
circuito, convirtiendo el circuito en una red resistiva sin fuentes activas. Calcular la resistencia equivalente, R. vista
desde
los
terminales CD, y observar que la solución es igual a la reststencia de Thévenin obtenida en el Problema
4.40.
Solución: R = 14/3 0 .
4.42. Determinar el equivalente de Thévenin del circuito de la Figura 4.49 visto desde los terminales AB.
Solución: V h = 12 V; Rn = 17 0..
6V
~
s o ~ _ ;
Figura 4.49.
4.43.
Método de las corrientes de malla En
el circuito de la Figura 4.50 escribir las tres ecuaciones de ma
ll
a usando las
corrientes /
1
, /
2
e /J. Calcular dichas intensidades.
j
2
t
1
JV
2V
10
¡Q
Figura 4.50.
6 CIRCUITOS ELtO TRI OS Y ELECTRÓNICOS
8/17/2019 Schaum Circuitos
39/40
Solución: Mal la 2: 2/
+51,
1
= 2
¡
alla : 41
1
+21,+1
1
=3
de donde
1
= 32/5 1 A, I = 9/51
A,/
3
= 7/51 A.
Malla 3: -1,
+21,
+21
1
=0
4.44. Su perposición . En el circuito de la Figura 4.50, calcular la contribución de cada fuente de tensión a los valores de
1
1
1
2
e /
3
, y comprobar que sumados dan
los
res
ul
tados obtenidos en el Problema 4.43.
Solución: todos los valores se especifican en A) .
Contribución de la fuente izquierda
1
1
= 36/51
/2
=
-9151
/J = 27/51
Contribución de la fuente derecha /
1
= -4/51
1 =
18/51
3
= -20/51
Contribución de ambas fuentes 1
1
= 32151.
/2 = 9/51
/J
=
7/51
4.45.
Método
de las tensiones en los nudos. En el circuito de la Figura 4.51, escnbir las tres e c ~ c i o n e s de los nudos
A,
B
y
C. con el nudo D como referencia,
y
calcular las tensiones en
los
nudos.
70
lAr
t
~
~
lQ
Q
Q
o
\
Figura 4.51.
¡
udo
A:
9V.
-7 V
0
- 2Vc = 42
Solucitln:
NudoB: -JV.+8V
6
- 2Ve=9
dedondeV,=9V,V
8
=5V , Vc=2V
Nudo
C:
-3V,
-7 V
8
+31 Ve= O
4.46.
Método
de las
corrientes
de malla. En el Circuito de la Figu
ra
4.51, escribir las dos
ec
uaciones de malla usando las
corrientes
1
1
e 1
2,
y
calcular l
as
intensidades
y
las tensiones de los nudos
.
{Malla ·
41
- 1 = 2 { I
=1A l =2A
Soluc
1ón: · de donde ·
Malla2:
1
+2 1
1
=·3 V• =9 V, V
8
=5 V, Ve =2 V
4.47.
Superposición.
En el circu1to de la Figura 4.51, calcular la contribución de cada fuente a los valores de
v
. V
8
y
Ve•
y comprobar que sumados dan los resultados obtenidos en el Problema 4.45.
Solución:
todos los valores
se
especifican en
V .
Contribución de la fuente de intensidad VA 7,429 V
8
= 3,143 V
=
l 429
e •
Contribución de la fuente de tensión
v.
=
1,571
V
= 1,875 ve= 0,571
Contribución de ambas fuentes
VA
9 VB = 5
Ve= 2
CAPITULO 4 MéTODOS E ANÁLISIS 6
8/17/2019 Schaum Circuitos
40/40
~ . ~ H . Verificar que el circuito de la Figura 4.52 a) es equivalente al de la Figura 4.51.
Solución: over el nudo B de la Figura 4.51 hacia el exterior de la malla.
~ . • 1 · Calcular V y V
8
en el circuito de la Figura 4.52 b).
Solución: V = 9
V
V
8
V
Demostrar que los circuitos de tres terminales remarcados con linea de trazos
en
las F1guras 4.52 a)
y
b)
son
eqUI-
valentes en su relación con otros CirCuitos).
Sugerencia:
utilizar las propiedades de linealidad
y
superpos1cion, junto
con
los resultados de Jos Problemas 4.48 y 4.49.
D
a)
V
b)
igura 4.52.
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