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11.1 Razón de cambio promedio
MATE 3013
El cálculo diferencial
Cambios en variables.
DEFINICION:
La razón de cambio promedio con respecto a x, a
medida que x cambia de x1 a x2, es la razón entre el
cambio en los valores de salida y los valores de
entrada :
donde x2 ≠ x1.
y2 y1
x2 x1,
Razón de cambio promedio
DEFINICION (conclusión): Si miramos la gráfica de f , observamos que
representa la razón de
cambio promedio y a la
vez, es la pendiente de la
recta que va desde P(x1, y1) a
Q(x2, y2). La recta
se conoce como una
recta secante.
PQ,
y2 y1
x2 x1f (x2 ) f (x1)
x2 x1,
Razón de cambio promedio
Ejemplo 1: Para determinar la razón
de cambio promedio a medida que:
a) x cambia de 1 a 3.
b) x cambia de 1 a 2.
c) x cambia de 2 a 3.
Solución:
a) Cuando x1 = 1,
Cuando x2 = 3,
La razón de cambio promedio es
y f (x) x2
y f (x1) f (1) 12 1.
y f (x2 ) f (3) 32 9.
9 1
318
2 4.
Razón de cambio promedio
Ejemplo 2 (conclusión):
b) Cuando x1 = 1,
Cuando x2 = 2,
La razón de cambio promedio es
c) Cuando x1 = 2,
Cuando x2 = 3,
La razón de cambio promedio es
y f (x1) f (1) 12 1.
y f (x1) f (2) 22 4.
4 1
2 13
1 3.
y f (x1) f (2) 22 4.
y f (x1) f (3) 32 9.
9 4
3 25
1 5.
Razón de cambio promedio
La razón de cambio promedio es
Práctica corta 1
Instrucciones: Describa en una oración corta la razón de
cambio promedio para cada situación. No olvide incluir
unidades.
a.) Llovió 4 pulgadas en un periodo de 8 horas.
La razón de cambio promedio se calcula:
Descripción: La razón promedio de lluvia fue de 0.5 pulgadas
por hora.
4 in 0 in 4 in 1 in.
8 hr 0hr 8 in 2hr
La razón de cambio promedio es
Práctica corta (continuación)
b.) Tu carro viaja 250 millas con 20 galones de gasolina.
La razón de cambio promedio se calcula:
Descripción: El promedio de las millas viajadas es 12.5 millas por
galón.
c.) A las , la temperatura era 82 degrees. A las , la
temperatura era 76 degrees.
La razón de cambio promedio se calcula: 82−76 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠
2 𝑃𝑀 −5𝑃𝑀=
6
−3= −2
Descripción: El cambio promedio en temperatura fue de 2 grados por
hora. Note que el negativo NO se escribe en la descripción, solo se
interpreta como que la temperatura bajó durante esas horas.
250mi 0 mi 250 mi 25 mi.
20 gal 0 gal 20 gal 2 gal
2 p.m. 5 p.m.
DEFINICION:
La razón de cambio promedio de f con respecto a x
también se llama el cociente diferencial y está dada por
donde h ≠ 0.
El cociente
diferencial es igual
a la pendiente de la
recta secante a
la curva.
f (x h) f (x)
h,
Razón de cambio promedio
El cociente de diferencias
es una
FORMULA, que nos
permite calcular la
pendiente de una recta
secante usando
cualquier par de puntos que
pertenecen a la curva bajo
estudio.
(x, f (x))
y (x+h, f (x+h)).
f (x h) f (x)
h,Razón de cambio promedio
Ejemplo 2: Dado , determinar el cociente
de diferencias cuando
a) x = 5 y h = 3.
b) x = 5 y h = 0.1.
a) 1) Se sustituye x = 5 y h = 3 en la fórmula:
f (x) x2
Razón de cambio promedio
Ejemplo 2: Interpretamos el resultado gráficamente
Razón de cambio promedio
Recta secante que
pasa por dos
puntos.
La pendiente de la
recta secante que
pasa por (5, 25) y
(8, 64) es
Ejemplo 2 (cont.):
b) (1)Sustituimos x = 5 y h = 0.1 en la fórmula:
Razón de cambio promedio
( ) ( )f x h f x
h
(5 0.1) (5)
0.1
f f
(5.1) (5)
0.1
f f
2 25.1 5
0.1
26.01 25
0.11.01
0.1 10.1
Ejemplo 2 (conclusión):
Razón de cambio promedio
( ) ( )f x h f x
h 10.1
Recta secante que
pasa por dos
puntos.
La pendiente de la
recta secante que
pasa por (5, 25) y
(8, 64) es
Ejemplo 3: Para hallar una fórmula para el
cociente diferencial para cualquier punto en la
curva.
Razón de cambio promedio
f (x) x2
𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥)
ℎ=
𝑥 + ℎ 2 − (𝑥)2
ℎ
=𝑥2 + 2𝑥ℎ + ℎ2 − (𝑥)2
ℎ
=2𝑥ℎ + ℎ2
ℎ
=ℎ(2𝑥 + ℎ)
ℎ
= 2𝑥 + ℎ
Ejemplo 3: (cont.) Ahora para hallar el cambio promedio
para 𝑓 𝑥 = 𝑥2 entre x = 3 y x=3.5 usamos la fórmula
para el cociente diferencial que obtuvimos:
Razón de cambio promedio
𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥)
ℎ= = 2𝑥 + ℎ
= 2 3 + 0.5
𝑅𝑒𝑐𝑜𝑟𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 ℎ = ∆𝑥 ∆𝑥 = 𝑥2 − 𝑥1
∆𝑥 = 3.5 − 3
∆𝑥 = .5 = 6 + 0.5
= 6.5
El cambio
promedio en y
cuando x cambia de
3 a 3.5 es 6.5.
La pendiente de la
recta secante que
pasa por (3,9) y
(3.5, 12.25) es 6.5.
Ejemplo 4: Para hallar una fórmula para el
cociente diferencial para cualquier punto en la
curva.
f x x3
Razón de cambio promedio
2 23 3 , 0.x xh h h
2 23 3h x xh h
h
3 2 2 3 33 3x x h xh h x
h
Ejemplo 4: (cont.) Ahora para determinar el cambio
promedio para 𝑓 𝑥 = 𝑥3 entre x = 2 y x = 3, usamos
la fórmula para el cociente diferencial que obtuvimos:
Razón de cambio promedio
𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥)
ℎ=
= 3(2)2+3(2)(1) + 12 ℎ = ∆𝑥
∆𝑥 = 𝑥2 − 𝑥1
∆𝑥 = 3 − 2
∆𝑥 = 1
= 12 + 6 + 1
= 19
El cambio
promedio en y
cuando x cambia de
2 a 3 es 19.
La pendiente de la
recta secante que
pasa por (2,8) y
(3,27) es 19.
Ejemplo 5: Para hallar una fórmula
simplificada para el cociente diferencial
f x 3
x
Razón de cambio promedio
3
, 0.hx x h
Ejemplo 6: Utilizar la gráfica para estimar la razón
de cambio promedio en el por ciento de nuevos
empleados en Construcción entre 2005 y 2008.
Razón de cambio promedio
En el 2005, un
9% de
empleados en
Construcción
eran nuevos.
En el 2008, un
4% de
empleados en
Construcción
eran nuevos.
Ejemplo 6: Utilizar la gráfica para estimar la razón
de cambio promedio en el por ciento de nuevos
empleados en Construcción entre 2005 y 2008.
Razón de cambio promedio
En el 2005, un
9% de
empleados en
Construcción
eran nuevos.
En el 2008, un
4% de
empleados en
Construcción
eran nuevos.
Ejemplo 7 : Un submarino lanza un proyectil, la altura (en
metros) por encima del nivel del mar, está dada por la función
cuadrática: f (x) = -12x2 + 72x - 60
donde x es el tiempo en segundos.
Razón de cambio promedio
a) Construya una tabla calculando valores para x desde 1
hasta 5 en intervalos de 0.5
Ejemplo 7 (cont.) : Un submarino lanza un proyectil, ….
f (x) = -12x2 + 72x – 60 donde x es el tiempo en segundos.
Razón de cambio promedio
a) Trace los puntos en un plano y esboce la gráfica.
b) Calcule el cociente de diferencias
entre cada dos puntos de la tabla.
𝑃2 − 𝑃1
0.5=
𝑃3 − 𝑃2
0.5=
𝑃4 − 𝑃3
0.5=
𝑃5 − 𝑃4
0.5=
𝑃6 − 𝑃5
0.5=
𝑃7 − 𝑃6
0.5=
𝑃9 − 𝑃8
0.5=
Ejemplo 7 (cont.) : Un submarino lanza un proyectil, ….
f (x) = -12x2 + 72x – 60 donde x es el tiempo en segundos.
Razón de cambio promedio
a) Trace los puntos en un plano y esboce la gráfica.
b) Calcule el cociente de diferencias
entre cada dos puntos de la tabla.
𝑃2 − 𝑃1
0.5= 42
𝑃3−𝑃2
0.5=30 𝑃4 − 𝑃3
0.5= 18
𝑃5 − 𝑃4
0.5= 6
𝑃6 − 𝑃5
0.5− 6
𝑃7 − 𝑃6
0.5− 18
𝑃9 − 𝑃8
0.5= −42
Ejemplo 7 (cont.) : Un submarino lanza un proyectil, ….
f (x) = -12x2 + 72x – 60 donde x es el tiempo en segundos.
Razón de cambio promedio
c) ¿Qué patrones observas en los
cálculos?
d) Llene los blancos adecuadamente:
Cuando la función es creciente, las
pendientes de las rectas secantes son
________. Cuando la función decrece
las pendientes de las rectas secantes
horizontales son _________.
Las pendiente de las rectas
horizontales (paralelas al eje x) son
iguales a _________.
𝑃2 − 𝑃1
0.5= 42
𝑃3−𝑃2
0.5=30 𝑃4 − 𝑃3
0.5= 18
𝑃5 − 𝑃4
0.5= 6
𝑃6 − 𝑃5
0.5− 6
𝑃7 − 𝑃6
0.5− 18
𝑃9 − 𝑃8
0.5= −42
Ejemplo 7: Según los datos de La Liga Superior de Beisbol, el
precio promedio de un boleto para un partido de Grandes
Ligas se puede aproximar con la siguiente función, donde x
es el número de años a partir de 1991 y p(x) es en dólares.
(Fuente de los datos: www.teammarketing.com)
Razón de cambio promedio – Práctica adicional
𝑝 𝑥 = 0.03𝑥2 + 0.56𝑥 + 8.63
Determina:
a) el precio de un boleto en 1995
b) el precio de un boleto en 2008
𝑝 4 = 0.03(4)2+0.56(4) + 8.63
𝑝 4 = 0.48 + 2.24 + 8.63
𝑝 4 = $11.35
𝑝 17 = 0.03(17)2+0.56(17) + 8.63
𝑝 17 = 8.67 + 9.52 + 8.63 𝑝 17 = $26.82
Ejemplo 7 (cont): Según los datos de La Liga Superior de
Beisbol, el precio promedio de un boleto para un partido de
Grandes Ligas se puede aproximar con la siguiente función,
donde x es el número de años a partir de 1991 y p(x) es en
dólares. (Fuente de los datos: www.teammarketing.com)
Razón de cambio promedio
𝑝 𝑥 = 0.03𝑥2 + 0.56𝑥 + 8.63
Determina:
c)𝑝 17 −𝑝(4)
17−4. Interpreta este resultado.
=26.82 − 11.35
17 − 4
=15.47
13
≈ 1.19
El precio promedio de un boleto para
un partido de Grandes Ligas ha
aumentado un promedio de $1.19
anuales desde 1991.
Ejemplo 8: La cantidad de dinero en una cuenta de ahorro que
tiene un balance inical de $2000 y recibe un 6% de interés
compuesto 4 veces en el año está dado por
𝐴 𝑡 = 2000(1.015)4𝑡
Razón de cambio promedio
Determina:
a) 𝐴 3
b) 𝐴 5
𝐴 3 = 2000(1.015)4(3) 𝐴 3 = $2391.24
𝐴 5 = 2000(1.015)4(5)
𝐴 5 = $2693.71
Ejemplo 8: La cantidad de dinero en una cuenta de ahorro que
tiene un balance inical de $2000 y recibe un 6% de interés
compuesto 4 veces en el año está dado por
𝐴 𝑡 = 2000(1.015)4𝑡
Razón de cambio promedio
Determina:
c)A 5 −A(3)
5−3. Interpreta este resultado.
=2693.71 − 2391.24
5 − 3
=302.47
2
≈ $151.24
La cuenta aumenta un promedio de $151.24 anuales.
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