Section 1 - WordPress.com...La razón de cambio promedio de f con respecto a x también se llama el cociente diferencial y está dada por donde h ≠ 0. El cociente diferencial es

11.1 Razón de cambio promedio

MATE 3013

El cálculo diferencial

Cambios en variables.

DEFINICION:

La razón de cambio promedio con respecto a x, a

medida que x cambia de x1 a x2, es la razón entre el

cambio en los valores de salida y los valores de

entrada :

donde x2 ≠ x1.

y2 y1

x2 x1,

Razón de cambio promedio

DEFINICION (conclusión): Si miramos la gráfica de f , observamos que

representa la razón de

cambio promedio y a la

vez, es la pendiente de la

recta que va desde P(x1, y1) a

Q(x2, y2). La recta

se conoce como una

recta secante.

PQ,

y2 y1

x2 x1f (x2 ) f (x1)

x2 x1,


Ejemplo 1: Para determinar la razón

de cambio promedio a medida que:

a) x cambia de 1 a 3.

b) x cambia de 1 a 2.

c) x cambia de 2 a 3.

Solución:

a) Cuando x1 = 1,

Cuando x2 = 3,

La razón de cambio promedio es

y f (x) x2

y f (x1) f (1) 12 1.

y f (x2 ) f (3) 32 9.

9 1

318

2 4.


Ejemplo 2 (conclusión):

b) Cuando x1 = 1,

Cuando x2 = 2,


c) Cuando x1 = 2,

Cuando x2 = 3,


y f (x1) f (1) 12 1.

y f (x1) f (2) 22 4.

4 1

2 13

1 3.

y f (x1) f (2) 22 4.

y f (x1) f (3) 32 9.

9 4

3 25

1 5.



Práctica corta 1

Instrucciones: Describa en una oración corta la razón de

cambio promedio para cada situación. No olvide incluir

unidades.

a.) Llovió 4 pulgadas en un periodo de 8 horas.

La razón de cambio promedio se calcula:

Descripción: La razón promedio de lluvia fue de 0.5 pulgadas

por hora.

4 in 0 in 4 in 1 in.

8 hr 0hr 8 in 2hr


Práctica corta (continuación)

b.) Tu carro viaja 250 millas con 20 galones de gasolina.

La razón de cambio promedio se calcula:

Descripción: El promedio de las millas viajadas es 12.5 millas por

galón.

c.) A las , la temperatura era 82 degrees. A las , la

temperatura era 76 degrees.

La razón de cambio promedio se calcula: 82−76 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠

2 𝑃𝑀 −5𝑃𝑀=

6

−3= −2

Descripción: El cambio promedio en temperatura fue de 2 grados por

hora. Note que el negativo NO se escribe en la descripción, solo se

interpreta como que la temperatura bajó durante esas horas.

250mi 0 mi 250 mi 25 mi.

20 gal 0 gal 20 gal 2 gal

2 p.m. 5 p.m.

DEFINICION:

La razón de cambio promedio de f con respecto a x

también se llama el cociente diferencial y está dada por

donde h ≠ 0.

El cociente

diferencial es igual

a la pendiente de la

recta secante a

la curva.

f (x h) f (x)

h,


El cociente de diferencias

es una

FORMULA, que nos

permite calcular la

pendiente de una recta

secante usando

cualquier par de puntos que

pertenecen a la curva bajo

estudio.

(x, f (x))

y (x+h, f (x+h)).

f (x h) f (x)

h,Razón de cambio promedio

Ejemplo 2: Dado , determinar el cociente

de diferencias cuando

a) x = 5 y h = 3.

b) x = 5 y h = 0.1.

a) 1) Se sustituye x = 5 y h = 3 en la fórmula:

f (x) x2


Ejemplo 2: Interpretamos el resultado gráficamente


Recta secante que

pasa por dos

puntos.

La pendiente de la

recta secante que

pasa por (5, 25) y

(8, 64) es

Ejemplo 2 (cont.):

b) (1)Sustituimos x = 5 y h = 0.1 en la fórmula:


( ) ( )f x h f x

h

(5 0.1) (5)

0.1

f f

(5.1) (5)

0.1

f f

2 25.1 5

0.1

26.01 25

0.11.01

0.1 10.1

Ejemplo 2 (conclusión):


( ) ( )f x h f x

h 10.1

Recta secante que

pasa por dos

puntos.

La pendiente de la

recta secante que

pasa por (5, 25) y

(8, 64) es

Ejemplo 3: Para hallar una fórmula para el

cociente diferencial para cualquier punto en la

curva.


f (x) x2

𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥)

ℎ=

𝑥 + ℎ 2 − (𝑥)2

ℎ

=𝑥2 + 2𝑥ℎ + ℎ2 − (𝑥)2

ℎ

=2𝑥ℎ + ℎ2

ℎ

=ℎ(2𝑥 + ℎ)

ℎ

= 2𝑥 + ℎ

Ejemplo 3: (cont.) Ahora para hallar el cambio promedio

para 𝑓 𝑥 = 𝑥2 entre x = 3 y x=3.5 usamos la fórmula

para el cociente diferencial que obtuvimos:


𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥)

ℎ= = 2𝑥 + ℎ

= 2 3 + 0.5

𝑅𝑒𝑐𝑜𝑟𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 ℎ = ∆𝑥 ∆𝑥 = 𝑥2 − 𝑥1

∆𝑥 = 3.5 − 3

∆𝑥 = .5 = 6 + 0.5

= 6.5

El cambio

promedio en y

cuando x cambia de

3 a 3.5 es 6.5.

La pendiente de la

recta secante que

pasa por (3,9) y

(3.5, 12.25) es 6.5.

Ejemplo 4: Para hallar una fórmula para el

cociente diferencial para cualquier punto en la

curva.

f x x3


2 23 3 , 0.x xh h h

2 23 3h x xh h

h

3 2 2 3 33 3x x h xh h x

h

Ejemplo 4: (cont.) Ahora para determinar el cambio

promedio para 𝑓 𝑥 = 𝑥3 entre x = 2 y x = 3, usamos

la fórmula para el cociente diferencial que obtuvimos:


𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥)

ℎ=

= 3(2)2+3(2)(1) + 12 ℎ = ∆𝑥

∆𝑥 = 𝑥2 − 𝑥1

∆𝑥 = 3 − 2

∆𝑥 = 1

= 12 + 6 + 1

= 19

El cambio

promedio en y

cuando x cambia de

2 a 3 es 19.

La pendiente de la

recta secante que

pasa por (2,8) y

(3,27) es 19.

Ejemplo 5: Para hallar una fórmula

simplificada para el cociente diferencial

f x 3

x


3

, 0.hx x h

Ejemplo 6: Utilizar la gráfica para estimar la razón

de cambio promedio en el por ciento de nuevos

empleados en Construcción entre 2005 y 2008.


En el 2005, un

9% de

empleados en

Construcción

eran nuevos.

En el 2008, un

4% de

empleados en

Construcción

eran nuevos.

Ejemplo 6: Utilizar la gráfica para estimar la razón

de cambio promedio en el por ciento de nuevos

empleados en Construcción entre 2005 y 2008.


En el 2005, un

9% de

empleados en

Construcción

eran nuevos.

En el 2008, un

4% de

empleados en

Construcción

eran nuevos.

Ejemplo 7 : Un submarino lanza un proyectil, la altura (en

metros) por encima del nivel del mar, está dada por la función

cuadrática: f (x) = -12x2 + 72x - 60

donde x es el tiempo en segundos.


a) Construya una tabla calculando valores para x desde 1

hasta 5 en intervalos de 0.5

Ejemplo 7 (cont.) : Un submarino lanza un proyectil, ….

f (x) = -12x2 + 72x – 60 donde x es el tiempo en segundos.


a) Trace los puntos en un plano y esboce la gráfica.

b) Calcule el cociente de diferencias

entre cada dos puntos de la tabla.

𝑃2 − 𝑃1

0.5=

𝑃3 − 𝑃2

0.5=

𝑃4 − 𝑃3

0.5=

𝑃5 − 𝑃4

0.5=

𝑃6 − 𝑃5

0.5=

𝑃7 − 𝑃6

0.5=

𝑃9 − 𝑃8

0.5=




a) Trace los puntos en un plano y esboce la gráfica.

b) Calcule el cociente de diferencias

entre cada dos puntos de la tabla.

𝑃2 − 𝑃1

0.5= 42

𝑃3−𝑃2

0.5=30 𝑃4 − 𝑃3

0.5= 18

𝑃5 − 𝑃4

0.5= 6

𝑃6 − 𝑃5

0.5− 6

𝑃7 − 𝑃6

0.5− 18

𝑃9 − 𝑃8

0.5= −42




c) ¿Qué patrones observas en los

cálculos?

d) Llene los blancos adecuadamente:

Cuando la función es creciente, las

pendientes de las rectas secantes son

________. Cuando la función decrece

las pendientes de las rectas secantes

horizontales son _________.

Las pendiente de las rectas

horizontales (paralelas al eje x) son

iguales a _________.

𝑃2 − 𝑃1

0.5= 42

𝑃3−𝑃2

0.5=30 𝑃4 − 𝑃3

0.5= 18

𝑃5 − 𝑃4

0.5= 6

𝑃6 − 𝑃5

0.5− 6

𝑃7 − 𝑃6

0.5− 18

𝑃9 − 𝑃8

0.5= −42

Ejemplo 7: Según los datos de La Liga Superior de Beisbol, el

precio promedio de un boleto para un partido de Grandes

Ligas se puede aproximar con la siguiente función, donde x

es el número de años a partir de 1991 y p(x) es en dólares.

(Fuente de los datos: www.teammarketing.com)

Razón de cambio promedio – Práctica adicional

𝑝 𝑥 = 0.03𝑥2 + 0.56𝑥 + 8.63

Determina:

a) el precio de un boleto en 1995

b) el precio de un boleto en 2008

𝑝 4 = 0.03(4)2+0.56(4) + 8.63

𝑝 4 = 0.48 + 2.24 + 8.63

𝑝 4 = $11.35

𝑝 17 = 0.03(17)2+0.56(17) + 8.63

𝑝 17 = 8.67 + 9.52 + 8.63 𝑝 17 = $26.82

Ejemplo 7 (cont): Según los datos de La Liga Superior de

Beisbol, el precio promedio de un boleto para un partido de

Grandes Ligas se puede aproximar con la siguiente función,

donde x es el número de años a partir de 1991 y p(x) es en

dólares. (Fuente de los datos: www.teammarketing.com)


𝑝 𝑥 = 0.03𝑥2 + 0.56𝑥 + 8.63

Determina:

c)𝑝 17 −𝑝(4)

17−4. Interpreta este resultado.

=26.82 − 11.35

17 − 4

=15.47

13

≈ 1.19

El precio promedio de un boleto para

un partido de Grandes Ligas ha

aumentado un promedio de $1.19

anuales desde 1991.

Ejemplo 8: La cantidad de dinero en una cuenta de ahorro que

tiene un balance inical de $2000 y recibe un 6% de interés

compuesto 4 veces en el año está dado por

𝐴 𝑡 = 2000(1.015)4𝑡


Determina:

a) 𝐴 3

b) 𝐴 5

𝐴 3 = 2000(1.015)4(3) 𝐴 3 = $2391.24

𝐴 5 = 2000(1.015)4(5)

𝐴 5 = $2693.71

Ejemplo 8: La cantidad de dinero en una cuenta de ahorro que

tiene un balance inical de $2000 y recibe un 6% de interés

compuesto 4 veces en el año está dado por

𝐴 𝑡 = 2000(1.015)4𝑡


Determina:

c)A 5 −A(3)

5−3. Interpreta este resultado.

=2693.71 − 2391.24

5 − 3

=302.47

2

≈ $151.24

La cuenta aumenta un promedio de $151.24 anuales.

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