Segura 2011 -- un modelo formal de externalidad

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Un Modelo Formal de Externalidad (Baumol + Oates, 1987: 36-56)

Eco. J.C.Segura-Ortiz

Universidad de La Salle / Escuela Colombiana de Ingeniería

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In welfare economics, perhaps as much in any branch of our subject, there

is a real danger in partial analysis. When we consider expanding one

sector of the economy, say, because of the net social benefits that it

generates, it is essential that we take into account where the necessary

resources will come from and what the consequences in other sectors could

be. Interdependency among location decisions, levels of polluting outputs,

and the use of pollution suppressing devices are all at the heart of the

problem. Indeed, the very concept of externality implies a degree of

interdependence suffient to cast doubt upon the reliability of the partial

analysis that, curiosusly, has often characterized writings in this area.

(Baumol + Oates, 1987: 36).

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Un Modelo de Externalidad

� Baumol & Oates [B+O] (1987: 36 &ss) presentan un modelo de externalidad basado en un Welfare Optimum o Programa de Negishi (Gisnburg & Keyzer, 1997: 89).

� Se puede mostrar que dicho programa es representación del problema del planeador central con pesos (Negishi Weights), iguales a la inversa de la utilidad marginal del ingreso de cada consumidor.

� Se presenta un modelo de Equilibrio General con Externalidad con el que se definen las condiciones que hacen posible asignaciones Pareto eficientes.

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Dimensiones del Modelo [B+O]:

� La economía está habitada por � = 1,⋯ ,� consumidores;

� La producción está cargo de � = 1,⋯ , ℎ firmas privadas;

� Se dispone de = 1,⋯ , bienes (recursos) en la economía;

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Variables y Funciones de Retorno

�� Cantidad de bien (recurso) consumido por el individuo �. [� variables] ��� Demanda (Oferta) del bien de la �-ésima firma [ℎ variables] �� Oferta agregada de bien

[ variables] �� Flujo de daños emitidos por la firma �-ésima [ℎ variables] � Oferta total de externalidad para le economía. � = ∑ ������ [1 variable] � �� ; �� Utilidad del j-ésimo consumidor. � = ��� , … , �� �

[m variables] ��� �; �� , �! Conjunto de producción de la k-ésima firma. � = ���� , … , ���! [k-variables]

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� Se supondrá que los conjuntos de elección de consumidores y productores son coherentes con los supuestos C y P (i.e., satisfacen el supuesto S).

� Se puede mostrar que bajo C, P (S), existe una única solución para el problema del Planeador Central.

� ��� �; ��, �! ≤ 0 describe un conjunto de netputs cuya elección óptima maximiza el beneficio de la k-ésima firma en la economía.

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Una Asignación Pareto eficiente es solución del Programa de Bienestar:

max ����11, … , �1; �!���()**:,-.-/ �����; �� ≥ �∗ �����; ��, �� ≤ 0∑ �� 2 �� −∑ ��� ≤ �������� ≥ 0; �� ≥ 0; � ≥ 0

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La Función de Lagrange es:

ℒ = 6 7 8�����; �� − �∗ 92 �� −6 :������; ��, ���

���−6 ; <6 �� 2

�� −6 ��� − ������ =

=1

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Las condiciones relevantes para una asignación Pareto Óptima (KKT) resultan ser:

8�� 9: > 7��� − ;� ≤ 0�� ?7��� − ;�@ = 04A���B: C−:��� +4 ;� = 0A��E B:

,-.-/ −:�F���F +6 7�����

�=1 −6 :�ℎ�=1 �G� ≤ 0

��E <−:�F���F +6 7������=1 −6 :�ℎ

�=1 �G�= = 04

• �� = H� H�� I ; ��� = H�� H���⁄ ; �E identifica a la firma que genera la

externalidad;

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Se tienen en cuenta, además, las condiciones de holgura complementaria:

AKLB:,-.-/ 7�8� �� ; ��− �∗�9 = 0:���� �; �� , �! = 0;� <6 ���

�=1 −6 �� − �ℎ�=1 = = 04

De modo que 8�� 9, A���B, A��E B, y AKLB, junto con las condiciones de

convexidad y compactitud en los conjuntos de elección y de producción, constituyen condiciones necesarias para asignaciones Pareto Óptimas en presencia de externalidades.

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Las Soluciones Descentralizadas

En presencia de externalidad (positiva/negativa) las soluciones de los agentes individuales no tienen por qué coincidir con las CPO del modelo del Planeador Central.

Los requerimientos para un equilibrio de mercado implican la no consideración de los costos/beneficios causados por la externalidad.

Se quiere determinar el conjunto de características de los precios y los impuestos (o compensaciones) que inducirían los patrones de conducta económica necesarios para satisfacer las condiciones para una asignación Pareto Eficiente:

MN∗ = {8�� 9, A���B, A��E B, y AKLB}

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Una Distinción

• Precio: monto o cantidad pecuniaria que se carga sobre cada unidad de actividad y que no distingue entre consumidores y/o entre productores, i.e., cada agente económico enfrenta el precio.

• Impuesto Compensatorio / Tasa de Subsidio: cargo pecuniario que depende del daño causado a un individuo o firma y que puede diferir de persona en persona. Si el valor óptimo de un impuesto resulta negativo, representará una compensación a la víctima. Si es positivo (Coase) representará un incentivo para que la víctima adopte estrategias para autoprotegerse del daño.

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Impuestos, Tasas y Subsidios

Se asigna a cada individuo y a cada firma un impuesto (o compensación) por el daño que pueda experimentar. Sean así,

� ) : Tasa de impuesto (compensación) para el consumidor �; � )�: Tasa de impuesto o compensación sobre la firma �;

� )Q: Tasa de impuesto sobre cada unidad de emisión.

Las magnitudes de estas tasas no son constantes y dependen del nivel de actividad de cada agente, i.e.,

): R) ≡ ) ��� �)� ≡ )�����!)Q ≡ )Q���!4

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Comportamiento del Consumidor

El Consumidor j-ésimo se puede considerar como minimizador del gasto que en

un plan de consumo que le reporta un nivel de utilidad �∗ . Su problema es encontrar el saddle point de:

Ψ�∙! = Σ�U��� + ) ��� � − V 8� �∙! − �∗ 9 Las condiciones KKT son:

WWX�Y! ≔,-.-/8�� 9: U� + H) �∙!H�� − V H� �∙!H�� ≥ 0AKLB: �� [U� + H) �∙!H�� − V H� �∙!H�� \ = 04

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Comparemos estas condiciones con las MN∗ relativas a �� :

Negishi Mercado 7 �� − ; ≤ 0 U� + H) �∙!H�� − V H� �∙!H�� ≥ 0

�� ?7��� − ;�@ �� [U� + H) �∙!H�� − V H� �∙!H�� \ = 0

Note que: U� + ]^_�∙!]`a_ − V ]b_�∙!]`a_ ≥ 0 → V ]b_�∙!]`a_ ≤ U� + ]^_�∙!]`a_

Es decir, V �� ≤ U� + )� ≡ 7��� − ;� ≤ 0 ↔ e7� = V U� = ;� 4

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Comportamiento del Productor

El objetivo de la firma competitiva (que no considera el coste de la externalidad) es maximizar su beneficio neto de impuestos sujeto a las

condiciones tecnológicas que le impone el conjunto de producción, �� ≤ 0 que le caracteriza:

Φ�∙! = Σ�U���� − )�����! − )Q�� − f������; ��, �!

WWX�U! ≔,--.--/A���B: U� − H)��∙!H��� − f� H���∙!H��� = 0A��E B: −)Q − f�E H��E �∙!H��E ≤ 0AKLB: ��E [−)Q − f�E H��E �∙!H��E \ = 0

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Comparando con las MN∗ relativas a �� : Negishi Mercado

C−:��� +4 ;� = 0 U� − H)��∙!H��� − f� H���∙!H��� = 0

> ;� = :���U� = f��� + )� 4 ;� = U� ↔ :��� = f��� + )�

:� ≡ f�

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Comparando WWX�U! con las MN∗ relativas a ��E :

Negishi Mercado

−:�E�Q�E +6 7 �G 2 �� −6 :��

��� �G� ≤ 0 −)Q − f�E H��E �∙!H��E ≤ 0

��E <−:�E�Q�E +6 7 �G 2 �� −6 :��

��� �G�== 0

��E [−)Q − f�E H��E �∙!H��E \ = 0

,-.-/−:�E���E +6 7�����

�=1 −6 :�ℎ�=1 ��� ≤ 0

−)� − f�E H��E�∙!H��E ≤ 04

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Es decir

R−:�E�Q�E + ≤ 6 :����� �G� −6 7 �G 2

��−f�E�Q�E ≤ )Q4

Por lo tanto, si :�E�Q�E = f�E�Q�E , i.e., si :�E = f�E ,

)Q = −6 7 �G 2 �� +6 :��

��� �G�∎

U� = ;� ; 7 = V ;:� = f�, ∀, �, �

Note que )� = )�∗= )�� = )�∗ = 0

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Resumiendo:

Var

Negishi

Mercado

Precios

8�� 9 7 �� − ;� ≤ 0 U� − V �� + )� ≤ 0 U� = ;� �� �7 �� −;�� �� �U� − V �� + )� � = 0 )� = )�∗ A���B i−:���� +4;� = 0 U� − f���� − )��

U� = ;� )�� = )�∗ A��E B −:�E�Q�E +6 7 �G 2 �� −6 :��

��� �G� ≤ 0 −)Q − f�E�Q�E ≤ 0 )Q= −6 7 �G 2 ��+6 :��

��� �G� ��E <−:�E�Q�E +6 7 �G 2 �� −6 :��

��� �G�= = 0 ��E 8−)Q − f�E�Q�E 9 = 0

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Un Ejemplo (Maté & Pérez, 2007: 178)

Suponga � = �j, k!. La empresa 1 produce energía nuclear, l� produciendo * unidades de

emisiones radioactivas, [mercacnía lm]. Los costos de esta empresa son:

Yn�l�! = l�m + �lm − 3!m

El producto contaminante se vierte a un río donde una empresa piscícola produce truchas, lp. Dada externalidad generada por la firma A los costos de esta firma son: Yq�lp, lm! = 2lm + lpm

� Cuales son las cantidades de energía y truchas en el equilibrio competitivo? � Este equilibrio es PO? � Como consecuencia del Protocolo de Kyoto se define el derecho a un río límpio para B; ese

derecho tiene un valor de mercado que se puede mercadear. En esta situación, la empresa A debe adquirir un derecho por cada unidad de contaminación que vaya a generar. ¿A qué precio la empresa B venderá dicho derecho para que la economía sea PO?

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El Equilibrio Competitivo La producción de contaminación está dada por: lm�l�! = Vl� Luego: Yn�l�! = l�m + �Vl� − 3!m

Yq�l�, lp! = 2Vl� + lpm La firma A resuelve: maxst un�p! = U�l� −l�m − �Vl� − 3!m

Al�B: U� − 2l� − 2V�Vl� − 3! = 0

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l�° = U� + 6V2 + 2Vm

La firma B resuelve (l� es exógena para esta firma): maxsx uq�p! = Uplp − Yq�l�, lp! = Uplp −2Vl� − lpm

AlpB:Up − 2lp = 0 → lp° = Up2

Resumiendo, en equilibrio competitivo,

il�° , lp° y = zU� + 6V2 + 2Vm , Up2 {∎

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La Solución de Eficiencia: La internalización del efecto de la externalidad, se formula un problema del tipo de Negishi: max| Π�un, uq! = un + uq

max| U�l� + Uplp − l�m − �Vl� − 3!m − lpm − 2Vl�

MN∗ :eAl�B: U� − 2l� − 2V�Vl� − 3! − 2V = 0AlpB: Up − 2lp = 04 Es decir:

{l�}~, lp}~} = zU� + 4V2 + 2Vm , Up2 {

i.e., el equilibrio competitivo no es Pareto Óptimo, de hecho, l�}~ < l�°∎

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El Mercado de Derechos de Contaminación:

La firma A compra un derecho de propiedad por cada unidad de contaminación, lm luego los costos deben aumentar y el problema de decisión es ahora: maxst un�p! = U�l� −l�m − �Vl� − 3!m − �lm

O sea, maxst un�p! = U�l� −l�m − �Vl� − 3!m − �Vl�

Al�B:U� − 2l� − 2V�Vl� − 3! − �V = 0

∴ l�� = U� − V�� − 6!2 + 2Vm

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La firma B tiene una nueva fuente de ingresos, proveniente de la venta de derechos. Por lo tanto, su problema de decisión cambia a: maxsx uq�p! = Uplp − Yq�l�, lp! = Uplp −2Vl� − lpm + �lm

Es decir, (Ahora l� informa la decisión de B) maxsx uq�p! = Uplp − Yq�l�, lp! = Uplp −2Vl� − lpm + �Vl�

AlpB: Up − 2lp = 0Al�B: −2V + �V = 0

∴ �l�p = Up2� = 2 4

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Sustituyendo � = 2 en l��

l�� = U� − V�2 − 6!2 + 2Vm

l�� = U� − 4V2 + 2Vm

Comparando las Asignaciones PO-Eficientes con las logradas luego del intercambio de derechos,

PO Derechos l�° = U� + 4V2 + 2Vm l�� = U� − 4V2 + 2Vm

lp° = Up2 l�p = Up2

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Apéndice: Condiciones (Suficientes) de Kuhn Tucker1 Considere el programa no lineal: max ���! ���()**� ��! ≤ Y , � = 1,⋯ ,�

Siendo � y � continuamente diferenciables, � cóncava y � convexas. Suponga que existe

un vector λ = A7�, ⋯ , 72B y un vector factible �� tal que,

�! H����!H�� −6 λ 2 ��

∂� ���!H�� = 0∀�! λ ≥ 0�= 0��� ���! < Y �∀�

Entonces �� es solución del problema.

1 Cfr Sydsaeter, K and P.J. Hammond (1996): Mathematics for Economic Analysis. N.Y.: Prentice-Hall. Ver en particular cap 18.

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Referencias

[1.] Baumol, W. and W.E. Oates (1988): The Theory of Environmental Policy. Cambridge University Press.

[2.] Feldman, A. and R. Serrano (2010): Welfare Economics and Social Choice Theory.

Springer. [3.] Maté, J. y C. Domínguez (2007): Microeconomía Avanzada. Pearson. [4.] Sydsaeter, K. and P. Hammond (1996): Mathematics for Economic Analysis. Prentice-

Hall.