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SEMANA 03
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Facultad de Ingeniera Semestre 2015-II
CURSO: CLCULO II
Tema :
TCNICAS DE INTEGRACIN
3. INTEGRACIN POR PARTES:
El mtodo de integracin por partes es de mucha utilidad en la prctica, el cual nos
permite resolver un gran nmero de integrales no inmediatas, que se obtiene de la
frmula para la derivada del producto de dos funciones. Si y f g
son funciones
diferenciales, entonces:
( ) ( ) ( ) '( ) ( ) '( )
( ) '( ) ( ) ( ) ( ) '( )
df x g x g x f x f x g x
dx
df x g x f x g x g x f x
dx
Al integrar cada miembro de esta ecuacin se obtiene:
( ) '( ) ( ) ( ) ( ) '( )
( ) '( ) ( ) ( ) ( ) '( ) (1)
df x g x dx f x g x dx g x f x dx
dx
f x g x dx f x g x g x f x dx
La frmula (1) recibe el nombre de frmula de integracin por apartes. Para los
propsitos del clculo, una forma ms conveniente de esta frmula se obtiene al
considerar ( ) y ( )u f x v g x .
Entonces '( )du f x dx
y '( )dv g x dx de modo que (1) se transforma en:
udv uv vdu
Observacin:
- El xito en la integracin por partes consiste en determinar adecuadamente la
funcin u . Se sugiere que la funcin u
se tome la que ms se simplifique al
derivar.
- dv
debe ser integrable
Ejemplos:
1. Hallar sin( )x x dx .
Solucin:
Haciendo u x du dx .
Integracin Por Partes Semana 03
Facultad de Ingeniera Semestre 2015-II
sin( )
sin( )
cos( )
dv x dx
dv x dx
v x
sin( ) sin( ) cos( ) cos( )
cos( ) cos( )
cos( ) sin( )
v vdvu u du
x x dx x x dx x x x dx
x x x dx
x x x C
2. Hallar ln( )x dx .
Solucin:
Haciendo ln( ) dx
u x dux
.
dv dx
dv dx
v x
Integrando por partes, tenemos:
ln( )x dx uv vdu
Reemplazando:
1
ln( ) ln( )
ln( )
ln( )
x dx x x x dxx
x x dx
x x x C
3. Hallar 2 ln( )x x dx .
Solucin:
Haciendo ln( )u x
y 2dv x dx ; tenemos:
dxdu
x
2
3
3
dv x dx
xv
Entonces:
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3 32
3 2 3 3
1ln( ) ln( )
3 3
ln( ) ln( )3 3 3 9
x xx x dx x dx
x
x x x xx dx x C
4. Hallar 2 23 1 xx x e dx .
Solucin:
Haciendo 2 3 1 2 3u x x du x dx
y 2
2 2
xx edv e dx v .
Luego:
2 2
2 2 2
(1)
3 1 3 1 2 32 2
x xx e ex x e dx x x x dx
Luego, volveremos a aplicar integracin por partes en (1) para encontrar la
integral dada:
2
1 2 32
xeI x dx
Haciendo 2 3 2u x du dx
y 2 2
2 4
x xe edv dx v .
Luego:
2 2 2 2
1 2 3 2 2 34 4 4 4
x x x xe e e eI x dx x C
Ahora reemplazando en (1):
2 2 2
2 2 23 1 3 1 2 32 4 4
x x xx e e ex x e dx x x x C
5. Hallar 23 xx e dx .
Solucin:
Haciendo 2u x
y 2xdv xe dx ; entonces:
2du xdx
2
2
x
x
dv xe dx
v xe dx
Para hallar 2xxe dx
se tiene:
Por sustitucin: 2 2
2
dtt x dt xdx xdx .
Luego:
2 21 1 1
2 2 2 2
x t t t xdtxe dx e e dt e e .
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Por tanto:
2
2
xev .
Luego:
2 2
2
2
2
2 2
2
3 2
2
2
2
22 2
2
2 2
12
x xx
xx
x x
x
e ex e dx x xdx
x exe dx
x e eC
ex C
6. Hallar 1x xdx .
Solucin:
Haciendo u x
y 1dv xdx ; tenemos:
du dx
3 3
2 2
1
1 2 1
3 32
dv xdx
x xv
Entonces:
3 32 2
32 3
2
32 5
2
3 52 2
2 1 2 11
3 3
2 1 21
3 3
2 1 41
3 15
2 41 1
3 15
x xx xdx x dx
x xx dx
x xx C
x x x C
7. Hallar2ln( 2)x dx .
Solucin:
Haciendo 2ln( 2)u x
y dv dx ; tenemos:
2
2
2
xdu dx
x
v x
Tenemos:
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22 2
2
2
2
2
2
2
2
2ln( 2) ln( 2)
2
4ln( 2) 2
2
4ln 2 2
2
1ln( 2) 2 4 arctan
2 2
ln 2 2 2 2 arctan2
xx dx x x dx
x
x x dxx
x x dx dxx
xx x x
xx x x C
EJERCICIOS PROPUESTOS
I. Usando el mtodo de integracin por partes calcule las siguientes integrales:
1. cosx xdx
2. 2secx xdx
3. 2x senxdx
4. 2( 5 6)cos2x x xdx
5. 2ln(4 )x dx
6. arctan xdx
7. 2 arctanx xdx
8. /3xxe dx
9. 2( 5 3) xx x e dx
10. 2 4xx e dx
11. 23 xx e dx
12. 2x xdx
13. xe
xdx
14. 7(3 1)x x dx
15. 10(2 5)x x dx
16. ln x
dxx
17. 32 lnx x dx
18. (3 1) ( )x sen x dx
19. 2( 3 1)cos( )x x x dx
20. 6 ln( )x x dx
21. 3xx dx
22. 2
cos ( 1)
( )
x cosxdx
senx x
23. 3sec xdx
24. dxex
25. lnnx xdx
26. 3
2
ln xdx
x
27. 2
ln(cos )
cos
xdx
x
28. 1
ln1
xx dx
x
29. 2tanx xdx
30. 3x senxdx
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II. PROBLEMAS DE APLICACIN
1. COSTO: Una compaa determina que su funcin de costo marginal est dada
por .34)(' xxxC
Halle el costo total dado que C (13)=$1,126.40.
2. INGRESO: El ingreso marginal por la venta de x unidades de un cierto artculo
se estima que ser 20.01'( ) 50 3.5 xR x xe dlares por unidad, donde ( )R x es el
ingreso en dlares.
a) Determine ( )R x , suponiendo que (0) 0R .
b) Qu ingreso se espera por la venta de 1000 unidades?
3. POBLACIN: Se proyecta que dentro de t aos la poblacin de cierta ciudad cambiar a razn de:
'( ) ln 1P t t t
miles de personas al ao.
Si la poblacin actual es de 2 millones de personas, cul ser la poblacin dentro
de 5 aos?
4. USO DE ENERGA ELCTRICA: La razn de energa elctrica consumida
por una familia, en kilovatios hora por da, est dada por, ttetK 10)('
donde t es el tiempo, en horas. Es decir, t est en el intervalo [0, 24].
a) Cuntos kilovatios hora consume la familia en las primeras T horas de un da (t=0 a t=T)?
b) Cuntos kilovatios hora consume la familia en las primeras 4 horas del da?
5. CRECIMIENTO DEMOGRFICO: Se proyecta que dentro de t aos la
poblacin de cierta ciudad cambiar a razn de 1ln)(' tttP miles de
personas al ao. Si la poblacin actual es 2 millones, cul ser la poblacin
dentro de 5 aos?
6. DISTANCIA: Despus de t segundos, un objeto se mueve a una velocidad 2/' )( ttetS metros por segundo. Exprese la posicin del objeto como una
funcin del tiempo.
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