Signals and Systems Fall 2003 Lecture #3 11 September...

1

MITההערות מבוססות על אתר הקורס הפתוח של

בית הספר הגבוה לטכנולוגיה ירושלים

אותות ומערכות 2-3#הרצאות

2

(DT)אותות ומערכות בזמן בדיד 1..a (דגימה" )הלם"פונקצית מדרגה ופונקצית

.bמוזזות ומשוקללות" דגימות"ייצוג אותות בדידים כ

.cקונבולוציה בזמן בדיד

.dתגובת הלם

אותות ומערכות בזמן רציף2.

.aפונקצית מדרגה ופונקצית הלם

.bמוזז ומשוקלל" הלם"ייצוג האותות כ

.cקונבולוציה בזמן רציף

.dתגובת הלם

חוק , חוק הפילוג, חוק החילוף: תכונות הקונבולוציה3. 'זיכרון וכו-חוסר, יציבות, סיבתיות, הקיבוץ

סקירת המצגת

3

:אנו מגדירים את פונקצית הדגימה כך•

:שים לב ש•

(דגימה" )הלם"פונקצית

0,0

0,1][

n

nn

-5 0 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

n

[n

]

DT Unit Sample Function

…

…

1][

n

n

פונקצית הדגימה

4

:כך u[n]אנו מגדירים את פונקצית המדרגה •

δ[n] = u[n] – u[n-1] : שים לב ש•

ו

פונקצית המדרגה

0,0

0,1][

n

nnu

-5 0 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

n

u[n

]

DT Unit Step Function

…

…

0

][][][k

n

k

knknu

פונקצית המדרגה

δ[n]כאוסף של דגימות x[n]ייצוג אות בדיד

5

...כלומר

מקדמים "בסיסיים"אותות

δ[n]של פונקצית הדגימה " ניפוי"תכונת ה

6

:נזכיר שאם מערכת היא ליניארית מתקיימת בה סופרפוזיציה• x2[n] y2[n]ו x1[n] y1[n] אם

a1x1[n] + a2x2[n] a1y1[n] + a2y2[n] אזי

כעת נניח שהמערכת שלמעלה היא ליניארית ואנחנו מגדירים•

.[n - k]המערכת עבור ( פלט)כתגובת hk[n]את

:כלומר•

:ומהסופרפוזיציה•

מערכת בדידה

[n - k] → hk[n]

x[k][n - k] x[k] hk[n]

7

:וכמו שהגדרנו LTIכעת נניח שהמערכת היא •

:LTIמתכונת ה

:TIמתכונת ה

מערכת בדידה

(סכום)קונבולוציה 8

δ[n]לדגימות , h[n], ייצוג הקונבולוציה כסכום של תגובות

:כלומר

n n

n n

kסכום התגובות לכל 9

:חישוב הקונבולוציה

y[0] יתקבל כסכום .n=0המכפלות כאשר

:ונתייחס אליו כקבוע nנבחר ערך של

(קבוע nכאשר ) kנתייחס לסכום כפונקציה של

y[1] יתקבל כסכום .n=1המכפלות כאשר

10

סכום, הכפלה, הזזה: חישוב הערכים

-1

1 x 1 = 1

(-1) x 2 + 0 x (-1) + 1 x (-1) = -3

(-1) x (-1) + 0 x (-1) = 1

(-1) x (-1) = 1

4

0 x 1 + 1 × 2 = 2

(-1) x 1 + 0 x 2 + 1 x (-1) = -2

11

12

:כך u(t)אנו מגדירים את פונקצית המדרגה •

.t=0אינה רציפה בנקודה u(t)שים לב ש •

פונקצית מדרגה בזמן רציף

0,0

0,1)(

t

ttu

…

…

-3 -2 -1 0 1 2 30

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t

u(t

)

CT Unit Step Function

13

δ(t)היא האינטגרל של פונקצית ההלם u(t)פונקצית המדרגה •

פונקצית ההלם היא הנגזרת של פונקצית המדרגה, לכן•

פונקצית הלם בזמן רציף

dt

tdut

dttu

dtu

tdt

t

t

)()(

)()(

)()(

1)(

0

…

…

וממילא אינה t=0אינה רציפה ב u(t)שים לב ש .גזירה שם

-3 -2 -1 0 1 2 30

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t

(t

)

CT Unit Impulse Function

(1)

פונקצית הלם

כאשר הוא מוזז ) δ(t)של ( אינטגרלי)כסכום x(t)נעריך כל פלט • (ובקנה מידה שונה

ייצוג של אותות רציפים

14

otherwise

tt

,0

0,1

)(

1הינו δΔ(t) השטח של

δΔ(t-k Δ)Δהאמפליטודה של 1הינה

של פונקצית ההלם" ניפוי"תכונת ה

הערכה עבור פונקצית הלם בזמן רציף

δΔ(t) →δ(t) אזי Δ→0 שים לב שכאשר

15

בזמן רציף LTIתגובת מערכת

אזי נוכל להגדיר hΔ(t)נקבל פלט x(t) = δΔ(t)נניח שעבור הקלט • :אות חדש כך

:הסכום הופך לאינטגרל Δ→0כאשר , בגבול•

כלומר אם הקלט הוא , תגובת ההלםהינה h(t)הפונקציה • .h(t)אזי הפלט יהיה δ(t)פונקצית ההלם

)()()(ˆ)()()(ˆ kthkxtyktkxtxkk

dthxtydtxtx )()()()()()(

(אינטגרל)קונבולוציה

16

:דוגמה

אופן חישוב הקונבולוציה בזמן רציף

h(t) = t+2, 2- לכל≤t≤-1

אחרת ,0 =

h(t-τ) = t-τ+2, 2- לכל≤t-τ≤-1

h(t-τ) = - τ+t+2, לכל t+1≤τ≤t+2

x(t) = 1, 1 לכל≤t≤3

אחרת ,0 =

x(τ) = 1, 1 לכל≤ τ ≤3

אחרת ,0 =

הזז הפוך

סכום הכפל

17

:t ≤ -1עבור , המשך הדוגמה

Time Interval x(τ)·h(t-τ) Overlap Interval y(t)

t≤-1 0 None 0

-5 -4 -3 t=-2 t+1 t+2 1 2 3 4 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Convolution Example, t-1

h(t-)

x()

y(t) משך החפיפה x(τ)·h(t-τ) משך הזמן

0 0 0 t≤-1

t ≤ -1דוגמה עבור

18

t ≤ 0 ≥ 1- המשך הדוגמה עבור

Time Interval x(τ)·h(t-τ) Overlap Interval y(t)

-1≤t≤0 -τ+t+2 1≤τ≤t+2

-5 -4 -3 -2 -1t=-0.3 t+1 t+2 3 4 50

0.5

1

Convolution Example, -1t0

h(t-)

x()

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 t+2 3 4 50

0.5

t+1

1

x()h(t-)

y(t) משך החפיפה x(τ)·h(t-τ) משך הזמן

1≤τ≤t+2 -τ+t+2 -1≤t≤0

2

)1(

)2(

2

2

1

t

dt

t

t ≤ 0 ≥ 1-דוגמה עבור

19

Convolution Example: 0 ≤ t ≤ 1

Time Interval x(τ)·h(t-τ) Overlap Interval y(t)

0≤t≤1 -τ+t+2 t+1≤τ≤t+2

t ≤ 1 ≥ 0 המשך הדוגמה עבור

y(t) משך החפיפה x(τ)·h(t-τ) משך הזמן

t+1≤τ≤t+2 -τ+t+2 0≤t≤1

-5 -4 -3 -2 -1 t=0.3 t+1 t+2 3 4 50

0.5

1

Convolution Example, 0t1

h(t-)

x()

-5 -4 -3 -2 -1 0 t+1 t+2 3 4 50

0.5

1

x()h(t-)

2

1

)2(

2

1

dt

t

t t ≤ 1 ≥ 0דוגמה עבור

20

t ≤ 2 ≥ 1 המשך הדוגמה עבור

y(t) משך החפיפה x(τ)·h(t-τ) משך הזמן

t+1≤τ≤3 -τ+t+2 1≤t≤2

2

)1(

2

1

)2(

2

3

1

t

dtt

-5 -4 -3 -2 -1 0 t=1.3 t+1 t+2 4 50

0.5

1

Convolution Example, 1t2

h(t-)

x()

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 t+1 3 4 50

t-1

0.5

1

x()h(t-)

t ≤ 2 ≥ 1דוגמה עבור

21

t ≥ 2 המשך הדוגמה עבור

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 t=3 t+1 t+20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Convolution Example, t2

h(t-)

x()

y(t) משך החפיפה x(τ)·h(t-τ) משך הזמן

t≥2 0 אין 0

t ≥ 2דוגמה עבור

22

המשך

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

t

y(t

)Convolution Outputהגרף

23

רציפות LTIתכונות ודוגמאות למערכות

חוק החילוף( 1

2)

:אינטגרטור( 3

impulse response of

system is h(t) = u(t)

x(t) = u(t) :תגובת מדרגה( 4

":ניפוי"תכונת ה

x(t) = δ(t)אם הכניסה היא y(t) = h(t)אזי

תגובת ההלם של המערכת h(t) = u(t)היא

:כלומר

24

בדידות LTIתכונות ודוגמאות למערכות

x[n]*h[n] = h[n]*x[n]

2 )x[n]* δ[n-N] = x[n-N] ניפוי"תכונת ה "x[n]* δ[n] = x[n]

אוגר( 3

:כלומר

x[n]=u[n]תגובת מדרגה עבור 4)

][][][

][][

nuknh

kxny

n

k

n

k

n

k

kxnunxnhnxny ][][*][][*][][

n

k

khnunhnhnuns ][][*][][*][][

impulse response of

system is h[n] = u[n]

חוק החילוף( 1

x[n] = δ[n]עבור

y[n] = h[n]נקבל

תגובת המערכת היאh[n] = u[n]

25

חוק הפילוג

26

חוק הקיבוץ

חוק החילוף

27

(LTI)מערכות סיבתיות ויציבות

Causality: DT LTI system is causal↔ h[n] = 0, n<0

h(t) = 0אזי t<0הינה סיבתית אם לכל רציפהמערכת : סיבתיות

h[n] = 0אזי n<0הינה סיבתית אם לכל בדידהמערכת : סיבתיות

היא יציבה אם רציפהמערכת : יציבות

היא יציבה אם בדידהמערכת : יציבות

k

kh ][

28

The Operational Definition of the Unit Impulse (t)

δ(t) — idealization of a unit-area pulse that is so short that, for

any physical systems of interest to us, the system responds

only to the area of the pulse and is insensitive to its duration

Operationally: The unit impulse is the signal which when

applied to any LTI system results in an output equal to the

impulse response of the system. That is,

— δ(t) is defined by what it does under convolution.

כ קצרה כך "הינה כ ,δ(t), פונקצית ההלם" אידיאלי"באופן

.שלה משךשל הפונקציה ולא ל שטחשמבחינתנו המערכת מגיבה רק ל

היא כזו שכאשר הכניסה של ,δ(t), פונקצית ההלם, באופן מעשי

.h(t), אזי המוצא הוא תגובת ההלם של המערכת δ(t)המערכת היא

:כלומר

:ההגדרה המעשית של פונקצית ההלם

29

:δ(t)פונקצית הנגזרת של

:הגדרה

:מוצא המערכת יהיה הנגזרת של הכניסה, באופן מעשי

30

:פעמים n, הלאה, וכן

n הוא מספר הנגזרות

:ובאופן מעשי

31

Integrators פונקצית האינטגרל שלδ(t):

:δ(t)תגובת המערכת ל

פונקצית מדרגה< =כלומר אינטגרל , נגזרות -1

:באופן מעשי

:פונקציות nשרשור של

32

: המשך

(שן מסור" )רמפה"קיבלנו

:ובאופן כללי

33

:סימון

:נגדיר

:אזי

n) וm או + יכולים להיות-)

:כלומר

34

:לעיתים נוכל להיעזר ב

כ בצע אינטגרל"בצע קונבולוציה ואח, גזור

35

:דוגמה

1 2 -1

36

:המשך

37