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MatemáticaSolucionario Libro
2007
CEPE
CH P
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007 CEPECH
Preuniversitario, Edición 2007
32
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SOLUCIONARIO MATEMÁTICACAPÍTULO 1
Conjuntos Numéricos1. La alternativa correcta es C
13
36
15
615
26
36
315
615
569
1556
159
56
53
2518
+
+
+
+
⋅
⋅
, amplificamos para igualar denominador
, sumamos
, ordenamos la fracción compuesta
, simplificamos y multiplicamos.
2. La alternativa correcta es C
34
18
58
14
68
18
58
28
7878
1
188
+
+
+
+
=
=
, amplificamos para igualar denominadores
, sumamos
, adecuando a la alternativa
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3. La alternativa correcta es A
213
413
614
214
73
133
254
94
63
16463
416
24
−
−
−
−
−
− ⋅
−
− 448
, transformamos los números mixtos a fracciones
, restamos
, desarrollamos la fracción compuesta
, simplificamos
, amplificamos para adecuarnos a la alternativa
4. La alternativa correcta es C
Reemplazamos los valores
( )23
19
173
79
37
13
+ ⋅
⋅
, sumamos y ordenamos
, simplificamos
5. La alternativa correcta es C
Transformamos los decimales periódicos a fracciones
0 626299
0 62 0 62
6299
6299
12499
,
, ,
=
+
+ , sumamos
capítulo 1
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capítulo 1 Solucionario Matemática
6. La alternativa correcta es C
1530
1426
47
121
12
713
1321
12
13
3 26
16
− ⋅ +
− ⋅
−
− =
( )
( )
, simplificamos y sumamos en el interior del paréntesis
, simplificamos
, restamos
7. La alternativa correcta es E
Transformamos los decimales a fracción
0 559
0 2525 2
902390
59
2390
7390
,
,
=
= − =
+
, entonces
, sumamos
8. La alternativa correcta es A
Del enunciado
b c
bc
= ⋅
=
3
3
, despejamos el número 3
, 3 es un número primo
9. La alternativa correcta es D
I. Para que –P sea un número negativo, necesariamente P es un entero positivo.II. De lo anterior P es un elemento de INIII. Falso
capítulo 1
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10. La alternativa correcta es E
Se trabaja desde abajo hacia arriba
1) 112
32
1132
123
53
1153
135
85
1185
158
+ =
+ = + =
+ = + =
+ = + == 138
2)
3)
4)
11. La alternativa correcta es D
Reemplazando los valores
13
1118
23
52
13
1118116
13
13
23
23
69
0 6
−−
−−
+
= =
[ ]
( )
,
, desarrollando el paréntesis
, ordenando y simplificando
, sumamos
, amplificamos y transformamos a decimal
12. La alternativa correcta es C
Del enunciado se tiene
15
12
1543
2
⋅ ⋅ ⋅ , simplificamos y el resultado es:
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capítulo 1 Solucionario Matemática
13. La alternativa correcta es D
Reemplazando los valores
2 2 2 121
12
232
223
43
+ − ⋅
−
⋅
( ) , realizamos las operaciones
, ordenamos
, multiplicamos
14. La alternativa correcta es E
Del enunciando se tiene:
213
512
18
5 6
30
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅
, simplificando
, multiplicando
15. La alternativa correcta es D
Por definición, la fracción es la W-ava parte de V
16. La alternativa correcta es D
Primero se determina el valor de a, b y c
a
b
c
= ⋅ =
= ⋅ =
=
−
−
29
59
1081
110
99
110
102 1090
25 290
( )
( ))
c
c
= ⋅
=
9290
9023
4
, simplificamos
Por lo tanto:
41081
110
⟩ ⟩
⟩ ⟩c a b
capítulo 1
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17. La alternativa correcta es D
Tenemos que
13
0 312
0 51327
0 48= = =, , ,
Por lo tanto:
0 41327
, y están entre 13
12
y
18. La alternativa correcta es D
I. Falso, 24 es el menor de los número propuestos pero no es el m.c.m. de ellosII. Verdadero, por definiciónIII. Verdadero, el mayor número que divide en forma exacta a los cuatro números propuestos es el 3.
19. La alternativa correcta es E
I. FalsoII. Verdadero, para que una fracción este indeterminada, su denominador debe ser igual a cero.III. Verdadero, al reemplazar los valores en ambos casos de cómo resultado 2
20. La alternativa correcta es D
Del enunciado
( )
( )
[(
a
a
a
b
b
b
a
+ + =+ ==
− − =− ==
⋅
3 1 14
4 14
10
5 1 6
6 6
12
2 ++ +⋅ + +⋅
b) ]
[( ) ]
[ ]
1
2 10 12 1
2 23
46
, despejemos a
, despejemos b
, reemplazando los valores , sumando , multiplicando
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SOLUCIONARIO MATEMÁTICA
Potencias y Raíces
1. La alternativa correcta es D
Utilizando multiplicación de potencias en el denominador tenemos:
a
a
n
n
+
+=
1
11
2. La alternativa correcta es B
Simplificando y utilizando propiedad de división de potencia:
3
3
3 1 5 2 2 3
2 7 1
⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅
− − − −
−
a b c
a b c
( ) [ ( )] ( )
3. La alternativa correcta es A
Distribuyendo los términos de la expresión:
15
5
5
5
3 1
−
−
, por división de raíces de igual índice.
4. La alternativa correcta es D
Antes de Aplicar la potencia, se debe trabajar en el interior del paréntesis:
( )
( )
2 3
1
1
2
2
−−
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5. La alternativa correcta es C
La expresión se puede escribir de la siguiente manera:
6 6 3 3 2
6 3 6 3 2
18 6 6
1
2 2 2
2 2
2 2
n n
n
n
⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅
−
−
−
( ) ( )
88n
, por multiplicación de potencias de
igual exponente.
, por multiplicación de potencias de igual base.
6. La alternativa correcta es B
Utilizando potencia de 10 y simplificando:
16 10 8
32 104 10
10
4 10
4 10
3
5
3
5
3 5
⋅ ⋅⋅⋅
⋅⋅
−
−
−
−
− − −[ ( ))
22
, Simplificando
, por división de potencias de igual base
7. La alternativa correcta es C
Tenemos: 4 8
22 2
22 2
22
2
2
22 2
1
6 3
8
2 6 3 3
8
12 9
8
12
8
9
8
4
+
+
+
+
+
( ) ( )
66 2
18
+
, realizando cambio de base
, aplicando potencia de potencia
, distribuyendo
, por división de potencia de igual base ,desarrollando la potencia
8. La alternativa correcta es D
Recordemos que cuando la base de una potencia es negativa el resultado es negativo sólo si el exponen-te es impar y que en la recta numérica un número negativo es menor mientras su módulo es mayor.
tenemos que:
x
x
= −
=
1214
2
x
x
3
4
18
116
= −
=
entonces: − ⟨− ⟨ ⟨12
18
116
14
x x x x⟨ ⟨ ⟨3 4 2
capítulo 1
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capítulo 1 Solucionario Matemáticacapítulo 1
9. La alternativa correcta es E
La potencia ( )ax12 se puede escribir como una raíz de la forma:
ax
xax
ax
a x ax
xax ax
=
⋅ =
⋅ =1 3
, entonces
I. , verdadero
II. , verdadero
III. , verdadero
10. La alternativa correcta es D
Reemplazando X por 2, tenemos
= ⋅+
=
=
=
2 22 2242
22
3
4
4
2
2
, por multiplicación de potencia de igual base
, realizamos cambio de base
, por división de potencias de igual base.
11. La alternativa correcta es E
Reemplazando los valores 3 12 1
3 12 1
36 1
6 1 7
4 2
2
⋅ +
⋅ +
++ =
( ) , por propiedad de raíces
, multiplicamos raíces de igual índice
, desarrollamos
12. La alternativa correcta es B
La finalidad de la racionalización es eliminar la raíz enésima del denominador, como la raíz presente es 45 podemos racionalizar por 445
4 4 4 45 54
55⋅ = = , pero no esta presente en las alternativas. Realizaremos cambio de base 4 25 25=, lo que permite racionalizar por 235 .
2 2 225 35⋅ = , 235 , no se encuentra directamente en la alternativa pero desarrollando la potencia tenemos que: 2 835 5=
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13. La alternativa correcta es D
Si factorizamos por 511
5 5 1 5 24 6 4 511 2 11 11( )− = ⋅ = ⋅ ⋅
entonces, la expresión es divisible por 6 y 511
14. La alternativa correcta es D
I. Es verdadero por definición del conjunto de los números irracionales.
II. Es falso ya que los números reales es un conjunto que contiene infinitos elementos de los cuales muchos no cumplen con dicha proposición.
III. Es verdadero ya que estos números son elementos del conjunto de los imaginarios.
15. La alternativa correcta es A
Por definición de volumen, aplicamos raíz cúbica para determinar el valor de la arista.
54 2 27 3 233 33 3µ µ µ= ⋅ ⋅ =
16. La alternativa correcta es A
Reemplazando los valores en la ecuación
π ⋅ = ( ) ⋅ = ⋅ ⋅ =R22
2 43 3 3 3 3 3 3
17. La alternativa correcta es C
Si se sabe que han transcurrido 12 horas y que cada 3 horas la cantidad de bacterias se duplica, tene-mos que
1) 3 horas = 5x22) 6 horas = 5x2x23) 9 horas = 5x2x2x24) 12 horas = 5x2x2x2x2
Entonces al cabo de “n” horas tendremos que el número de bacterias serán 5 x 23n
en este caso
5 2 5 2 5 16 80123 4⋅ = ⋅ = ⋅ = Bacterias
capítulo 1
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capítulo 1 Solucionario Matemáticacapítulo 1
18. La alternativa correcta es C
De la proporción (1), tenemos que n =0, reemplazando el valor en la expresión nos queda que:
a0 = 1 ; con a ≠ 0
a0 = indefinido con a = 0
Con (1) por si sola no podemos contestar con certeza, pero si agregamos la información de la proposi-ción (2) podemos contestar satisfactoriamente.
19. La alternativa correcta es C
De la proposición (1) podemos inferir que (a-1)4 será un par positivo salvo en el caso que a = 1.
La proposición (2) complementa a la (1) con la cual se puede señalar que (a-1)4 siempre toma el valor de un par positivo.
20. La alternativa correcta es D
Igualamos las bases de todas las identidades subradicales
5
3
3
3 3 3
3
23
23
43 3
3
=
I
II
III
Ahora racionalizaremos con cada una de las expresiones propuestas
5
3
3
3
5 3
3
5 3
3 3
5
3
3 3
3 3
15 3
23
23
23
23
43
23
3
23
3
3
3
⋅ = =
⋅ =33 3
15 33 3
5
3
3
3
5 33
33
3
23
3
3
3
=⋅
⋅ =
, no se racionaliza
, si se racionaliza
, si se racionaliza
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SOLUCIONARIO MATEMÁTICACAPÍTULO 2
Álgebra1. La alternativa correcta es B)
Aplicamos la definición del enunciado
[ ] [ ]
[ ]
13
13
1
1 23 9
13
1 2
1 23
2 2
22
+ − +
+ + − + +
+ +
bb
b bb b
b bbb
b
b b
b
2 2
2 2
2
913
23 3
113 9 3
23
29
− − −
− + −
−
, desarrollamos los cuadrados de binomios
, multiplicamos
, operamos con términos semejantes
2. La alternativa correcta es A)
Si A es un cuadrado perfecto tenemos que:
A = + 60xy + 25y2
a2 2ab b2
a) b) c)
b y
b y
b y
2 2
2 2
25
5
5
==
=( )
2 60
2 5 60
6
ab xy
a y xy
a x
=⋅ =
=
a x
a x
2 2
2 2
6
36
==
( )
Por lo tanto, el término que falta es 36x2
3. La alternativa correcta es C)
Si Z = 1 se tiene que
( ) ( )x x x ax
x x x ax
x
+ ⋅ − = − −− − = − −
−
12 13 156
156 156
2
2 2
== −=
ax
a 1
, multiplicamos los binomios
, despejando a
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4. La alternativa correcta es B)
El área de un rectángulo se obtiene al multiplicar lado por lado, entonces:A a b
x x x b
ctánguloRe
( )
= ⋅− + = − ⋅2 11 18 2
b debe ser un binomio compuesto por x y por un número que sumado con (-2) de cómo resultado (-11) y que multiplicado por (-2) el producto sea (18), por lo cual.
b = (x - 9)
5. La alternativa correcta es A)
Debemos recordar el producto notable
a b a b a ab b
x x
a x
3 3 2 2
3 3 38 27 2 3
2
+ = + ⋅ − ++ = +
=
( ) ( )
( ) ( )
bb
x x x
x x x
=
+ ⋅ − ⋅ ++ ⋅ − +
3
2 3 2 2 3 3
2 3 4 6 9
2 2
2
( ) ( )
( ) ( )
, entonces
, sustituyendo
6. La alternativa correcta es A)
− + + − + +− + + − + + +
( ) ( ) ( )
( ) ( )
a b a b a b
a b a b a ab
2 2 2
2 2 2 2 bb
a b a b a ab b
a b a a ab b b
2
2 2 2 2
2 2 2 2
2
2
− − + − + + +− − + + + + −−− − + +
− − + +( )− − + ⋅ +
a b a ab
a b a ab
a b a a b
2 2
2 2
2
2
2
2
( ) ( )
aa a b a b( )+ − −
, desarrollamos el cuadrado de binomio , juntamos términos semejantes
, asociamos términos
, factorizamos , ordenamos
7. La alternativa correcta es A)
− + ⋅ − − − −− + − − − +−
{ ( ) ( ( ))}
{ ( )}
a b a c bc ab
a ba bc bc ab
{{ }a
a−
, desarrollamos desde dentro hacia fuera
, eliminamos términos semejantes
capítulo 2
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1716
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1716
capítulo 1 Solucionario Matemática
8. La alternativa correcta es C)
x x x a x b
x x x a x
2 23 112
7 16
− + = − ⋅ +− ⋅ − = − ⋅
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ++− = −=− = +
= −
b
x x a
a
x x b
b
)
( ) ( )
( ) ( )
7
7
16
16
, factorizamos , comparamos , despeamos a
, despejamos b
9. La alternativa correcta es A)
7 3 2 8 2 7 23 35
21 14 16 56 2
( ) ( )y x x y x y
y x x y
+ − − + + −+ + − + 33 35
14 16 23 21 56 35
53 70
x y
x x x y y y
x y
−+ + + − −−
, multiplicamos , términos semejantes
10. La alternativa correcta es E)
( ) ( )a b a b aba b
a ab b a b aba b
+ − − −+
+ + − + −+
2 2 2
2 2 2 2
2
2 2
22 2ba b+
, desarrollamos el cuadrado de binomio
, eliminamos términos semejantes
11. La alternativa correcta es D)
( ) ( )
( ) ( )( )(
a b a ba b
a b
a b a ba ba
+ ⋅ −+−
+ ⋅ − ⋅ −+
2
2 2
22 2
bb
a b a b a ba b a b
a b
a b
)
( ) ( ) ( )( ) ( )
( )
( )
+ ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ −+
+ ⋅ (( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
a b a b a b
a b a b
a b
− ⋅ + ⋅ −− ⋅ −−
2 2 2 2
2 2 2
, ordenamos la fracción compuesta
, factorizamos
, simplificamos
, aplicamos suma por su diferencia
, finalmente
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1918
12. La alternativa correcta es B)
A a
x x a
x x a
x
cuadrado =− + =− ⋅ − =
2
2 2
2
4 12 9
2 3 2 3
2
( ) ( )
( −− =− =
− +−− = − +
3
2 3
2 3 2
2 1
2 1 4 4 1
2 2
2 2
)
( )
( )
a
x a
x
x
x x x
, si conocemos el área podemos determinar el lado
, factoricemos
, si aumentamos el lado en 2 unidades
, determinemos la nueva área
Realicemos la diferencia de las áreas
4 4 1 4 12 9
4 4 1 4 12 9
8 8
2 2
2 2
x x x x
x x x x
x
− + − − +− + − + −
−
( ) , términos semejantes
Por lo tanto, la superficie aumenta (8x - 8) unidades cuadradas.
13. La alternativa correcta es A)
x xy y
x y x y
x xy y
x y x xy y
2 2
3 3
2 2
2 2
1− ++ +
− ++ ⋅ − +
:
( )
( ) ( )):
( )
( ):
( )
1
1 11
x y
x y x y
+
+ +=
, factorizamos x3 + y3
, simplificamos
14. La alternativa correcta es A)
Recordemos que:
Volumen de un cubo = a3 x x x a
x a
x a
x
x
x
3 2 3
3 3
3 3 1
1
1
1 2
3
3
− + − =− =
− =− −−−
( )
( )
( )33 3 29 27 27= − + −x x x
, factorizamos , el lado del cubo es
, disminuimos el lado en 2 unidades , Determinamos el nuevo volumen
Realizamos la diferencia de los volúmenes
x x x x x x
x x x x
3 2 3 2
3 2 3
3 3 1 9 27 27
3 3 1 9
− + − − − + −− + − − +
( )
xx x
x x
2
2
27 27
6 24 26
− +− +
, términos semejantes
capítulo 2
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capítulo 1 Solucionario Matemáticacapítulo 2
15. La alternativa correcta es E)
[( ) : ( )]
[( ) : ( )]
[(
1 1
1 1
2
2 1
2 2
2
1
ab
ab
a b
a
aba
− +
− +
−
−
111
1 11
2 2
2
1
2
− ⋅+
− + ⋅+
−a b
a
aab
ab ab
a
aab
) ( )]
[( )( )
( ))]
[ ]
−
−−
−
1
11
1
aba
aab
, realizamos las operaciones al interior de los paréntesis
, ordenamos la división
, factorizamos la suma por su diferencia
, simplificamos
, por propiedad de potencia ( )ab
ba
− =1
16. La alternativa correcta es C)
( ):
( ) ( )( ) ( )
:(
a b
a b a ba b a ba b a b a
+− −+ ⋅ ++ ⋅ − −
2
2 2
1
1bb
a ba b a b
a ba b
a b
a b
)
( )( )
:( )
( )( )
( )
( )
+− −+−
⋅ −
+
1
, factorizamos
, simplificamos
, ordenamos la división
, simplificamos
17. La alternativa correcta es C)
( )( )
( )
( )( )
( ) ( )
(
a ba b
a b
a ba b
a b a b
a
+−
⋅ −
+−
⋅ + ⋅ −
+
2 2
bb a b
a b
) ( )
( )
⋅ ++ 2
, factorizamos
, simplificamos
, finalmente
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2120
18. La alternativa correcta es D
x
x
4
2
4
2
−+
=
(Primero factorizamos el numerador con suma por su dife-rencia)
x x
x
2 2
2
2 2
2
−( ) +( )+
=
(Simplificando)
x2 2−
19. La alternativa correcta es D
x x x
x x
2
2
4 4 2
4 2
+ +( ) −( )−( ) +( )
= (Factorizando la expresión x2 + 4x + 4 con cuadrado de binomio y la expresión x2 - 4 con suma por su diferencia)
x x x
x x x
+( ) +( ) −( )−( ) +( ) +( ) =
2 2 2
2 2 2
(Simplificando, se observa que se “eliminan” todos los bino-mios, con lo que el resultado es 1)
1
20. La alternativa correcta es D
El área de un cuadrado se calcula elevando a 2 el lado del cuadrado, entonces si factorizamos con cuadrado de binomio el área x2 + 2x + 1 = (x + 1)2 ,descubrimos que el lado del cuadrado es (x + 1).
Al aumentar su lado 2 unidades el nuevo lado del cuadrado es:
(x + 1) + 2 = (Sumando) x + 3
Finalmente para encontrar el área, elevamos al cuadrado el lado del nuevo cuadrado
(x + 3)2 = x2 + 6x + 9
capítulo 2
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2120
SOLUCIONARIO MATEMÁTICACAPÍTULO 2
Ecuaciones y Sistemas de ecuaciones lineales
1. La alternativa correcta es C)
3 23
33 2
2x x xx
− = −+
; multiplicando cruzado
3 2 3 2 3 3
9 4 9 3
43
2
2 2
x x x x
x x x
x
+( ) −( ) = −( )− = −
=
; desarrollando la suma por su diferencia y multiplicando el 3 por el binomio ; reduciendo términos semejantes y despejando
2. La alternativa correcta es C)
12
13
16
1
3 2 16
1
26
1
2613
x x x
x
x
x
x
− + =
− + =
=
=
=
; sacando el m.c.m. entre las fracciones
; resolviendo el numerador
; despejando la incógnita “x”
; simplificando
3. La alternativa correcta es E)
a x a x a a
ax a x a a
ax x a
x a
( ) ( )
(
+ − = + ++ − = + +− = +−
1 1
1
1
2 2
11 1
11
) ( )= +
= +−
a
xaa
; multiplicando “a” por cada paréntesis ; reduciendo términos semejantes ; factorizando por “x” en un lado de la igualdad ; despejando la incógnita
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4. La alternativa correcta es A)
Ph
hP h h
P Ph h
P h Ph
P h P
PP
h
=−
− =− == += +
+=
11
1
1
( )
( )
; para despejar “h” multiplicamos cruzado
; multiplicamos “P” por el binomio
; despejamos “h” reuniéndolas en un lado de igualdad
; factorizando por “h” y despejando
5. La alternativa correcta es D)
ax
ab
ba
ax
a bab
a b x a b
a b
a bx
= −
= −
= −( )
−=
2 2
2 2 2
2
2 2( )
; sacando el m.c.m y realizando la resta de fracciones
; multiplicando cruzado en la igualdad
; despejando “x”
6. La alternativa correcta es C)
a b c
c a b
b a a b
b a
b a
b
+ + == − −− + − − =− =− =
−
0
3 5
2 2 5
2 5
( )
( )
aa = 52
; en la primera igualdad despejamos “c”
; reemplazamos este término en la segunda igualdad ; reduciendo términos semejantes y factorizando ; despejando el término pedido
7. La alternativa correcta es B)
x y
x y
+ =− =
1
0 ; resolvemos por reducción
2 1
12
x
x
=
=
; despejamos “x”
, reemplazamos este valor en la primera ecuación
12
1
112
1212
12
0
+ =
= −
=
∴ − =
y
y
y
; despejando “y”
; realizando la diferencia entre las variables
En este caso no es necesario resolver el sistema, como x e y son solución, la respuesta está plantea-da en el enunciado x - y = 0
capítulo 2
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capítulo 1 Solucionario Matemática
8. La alternativa correcta es E)
23
39
6
39
23
7
x y
x y
+ =
+ =
; escribimos el sistema en forma fraccionaria
; simplificando
23 3
6
323
7
x y
x y
+ =
+ = ; multiplicando por el denominador común
2 18
2 21
x y
x y
+ =+ = ; amplificamos la segunda ecuación para resolver por
reducción
( )
( )
a x y
b x y
2 18
2 4 42
+ =− − = − ; sumando
− = −=+ ==
=
3 24
8
2 8 18
2 10
5
y
y
x
x
x
, despejando “y”
; reemplazamos este valor en la ecuación (a)
, despejamos “x”
9. La alternativa correcta es E)
( )
( )
( )
a x y
b x z
c y z
+ =+ =+ =
16
22
28
; ordenamos el sistema
; despejamos “y” de la ecuación (c)
y z
a x z
x z
d x z
x z
= −+ − =
− = −− = −
+ =
28
28 16
16 28
12
( ) ( )
( )
222
12x z− = −
, reemplazamos esto en la ecuación (a)
; despejamos las variables y llamamos (d) a esta nueva ecuación
; armamos un sistema entre (b) y (d)
; resolvemos por reducción
2 10
5
5 22
17
17 28
11
5 11 17
x
x
z
z
y
y
x y z
==+ ==+ ==
∴ + + = + + == 33
; despejamos “x” y reemplazamos en (b)
; despejamos “z” y reemplazamos en (c)
; despejamos “y”
; sumamos x, y, z
capítulo 2
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10. La alternativa correcta es E)
2 6
0
+ + =− =
y z
y z ; tomamos el valor de “x”, lo reemplazamos en la pri-
mera ecuación y despejamos las variables de los factores numéricos
( )
( )
a y z
b y z
+ =− =
4
0
; armamos el sistema y lo resolvemos por reducción
2 4
2
2 4
2
y
y
z
z
==
+ ==
; despejamos el valor de “y”
; reemplazamos este valor en (a) ; despejamos z
11. La alternativa correcta es C)
Sea x = cantidad de gallinas ; 2x = total de patas de gallinas y = cantidad de conejos ; 4y = total de patas de conejos
al escribir el sistema de ecuaciones nos queda
( )
( )
a x y
b x y
+ =+ =
50
2 4 134 ; amplificamos la ecuación (a) para resolver por reduc-
ción
− − = −+ =
2 2 100
2 4 134
x y
x y ; sumamos y despejamos “y”
2 34
17
17 50
33
y
y
x
x
==+ ==
; reemplazamos este valor en (a)
; despejamos “x”
12 . La alternativa correcta es B)
x = número central (x - 1) = el antecesor de x (x + 1) = el sucesor de x
así la suma de tres números consecutivos será:
( ) ( )
( )
x x x
x
x
− + + + ==
==
1 1 45
3 45
15
15 2252
; reduciendo términos semejantes ; despejando “x”
; elevando al cuadrado el valor de “x”
capítulo 2
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2524
capítulo 1 Solucionario Matemática
13. La alternativa correcta es A)
Sea: w y x
z y x
= +
= −
( )
( ) ; escribimos el sistema con las variables auxiliares “w” y “z”
( )
( )
a w z
b w z
2 3 3
5 3 18
− =+ =
; resolvemos el sistema por reducción
7 21
3
2 3 3 3
6 3 3
1
3
1
2
2
w
w
z
z
z
y x
y x
==
− =− ==
= + ( )= − ( )
( )
; despejando “w”
, reemplazamos este valor en (a)
;despejando “z”
;reemplazamos los valores de “w” y “z” en la definición de las variables y elevamos al cuadrado
( )
( )
c y x
d y x
9
1
= += −
; resolvemos por reducción
10 2
5
9 5
4
=== +=
y
y
x
x
; despejamos “y”
; reemplazamos este valor en (c) ; despejamos “x”
14. La alternativa correcta es B)
Escribimos el sistema reemplazando la tercera igualdad en la primera y segunda ecuación:
( )
( )
a k y
b y k
yk
kk
kk
k k
+ ==
=
+
=
+ =
+
2 0
4
4
24
0
20
222
0
3 0
0
=
==
k
k
; despejamos “y” en la ecuación (b)
; reemplazamos “y” en la ecuación (a)
; multiplicamos y simplificamos
; sacamos m.c.m
; sumamos y despejamos
capítulo 2
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2726
15. La alternativa correcta es D)
Definiremos las variables, sea x = cantidad del tipo A en litros
y = cantidad del tipo B en litros 200 = cantidad de la mezcla en litros 1.500x = valor de la cantidad del tipo A utilizado en la mezcla 900y = valor de la cantidad del tipo B utilizado en la mezcla 200(1.140) = valor de la mezcla obtenida
( ) . ( )
( )
.
a x y
b x y
x
1 500 900 200 1140
200
1 500 90
+ =+ =
+ 00 228 000
200
200
1 500 200 900
y
x y
x y
y y
=+ =
= −− + =
.
. ( ) 2228 000
300 000 1 500 900 228 000
300 000
.
. . .
.
− + =−
y y
2228 000 600
72 000 600
120
120 200
80
.
.
==
=+ ==
y
y
y
x
x
; escribiendo el sistema con el valor total de la mezcla
; despejamos “x” de la ecuación (b)
; reemplazamos “x” en la ecuación (a)
; multiplicamos y reducimos términos semejantes
; despejamos “y”
; remplazamos el valor de “y” en (b)
; despejamos
16. La alternativa correcta es B)
Sea “x” la cantidad de hermanas de Pablo e “y” la cantidad de hermanos de Pablo, tenemos:
Pablo x = 3 y ; armamos una ecuación con la información de Pablo
Angélica y +1 = x -1 ; si Angélica es hermana de Pablo, quiere decir que en el análisis aumenta un varón y disminuye una mujer en la relación planteada
y y
y
y
x
x
+ = −====
1 3 1
2 2
1
3 1
3
( )
; reemplazamos la relación de Pablo en la de Angélica
; despejamos “y”
; buscamos el valor de “x”
La cantidad de hombres es 2 ya que debemos agregar a Pablo, y la de mujeres 3
capítulo 2
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capítulo 1 Solucionario Matemática
17. La alternativa correcta es D)
Cuando la moto alcanza al auto, los dos cuerpos llevan la misma distancia recorrida.
Sea x = cantidad de horas que demora el automóvil (x-2) = cantidad de horas que demora la moto en recorrer la misma distancia 80 x = distancia recorrida por el automóvil 120(x-2) = distancia recorrida por la moto
La ecuación nos queda:
80 120 2
80 120 240
240 120 80
240 40
x x
x x
x x
x
= −= −= −=
( )
66 = x
; multiplicando el paréntesis ; ordenando la ecuación ; reduciendo términos semejantes ; despejando
Luego, la moto demora 4 horas en alcanzar al automóvil desde que está en movimiento, compartió 2 horas después , a las 6 horas alcanza al automóvil. El automóvil partió a las 3 de la tarde, por lo cual son las 9 de la noche cuando se encuentran.
18. La alternativa correcta es E)
Se tiene como información dos ecuaciones y tres incógnitas, es imposible resolver el sistema.
19. La alternativa correcta es D)
Con la primera información “ x es el doble de y” y la ecuación dada, se plantea un sistema de ecua-ciones que si se puede resolver:
( )
( )
( )
( )
a x y
b x y
y y
y y
y
x
=− =
− =− =
==
2
2 3 4
2 2 3 4
4 3 4
4
2 4
xx = 8
; planteamos el sistema
; reemplazamos (a) en (b)
reducimos términos semejantes
; reemplazamos “y” en (a)
Con la segunda información se puede armar otro sistema de ecuaciones:
( )
( )
( )
a x y
b x y
x
x
y
y
2 3 28
2 3 4
4 32
8
2 8 3 4
16 3
+ =− =
==
− =− ===
=
4
12 3
4
y
y
; planteamos el sistema
; resolvemos por reducción
; despejamos “x”
; reemplazamos en (b)
; reunimos términos semejantes
; despejamos
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20. La alternativa correcta es C)
Sea Z = cuenta por pagar
Con la primera información podemos plantear una ecuación con tres variables; sea
x = cobro del consumo en m3
3500 = cobro por el uso del alcantarillado Z x y= + +3500
y = arriendo del medidor
Con la segunda información podemos plantear una segunda ecuación y una igualdad;
35002
1000
=
=
x
y
Al unir las dos informaciones podemos reemplazar en la primera ecuación los valores dados en la segunda:
Z
Z
= + +=
7000 3500 1000
11500
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SOLUCIONARIO MATEMÁTICACAPÍTULO 2
Razones y proporciones, porcentaje e interés
1. La alternativa correcta es D)
La media proporcional geométrica es el término que se repite en una proporción continua, por lo cual
28
16
16
4
2 2
2
xMP
MPx
x MP
x MP
x MP
=
=
==
( )
; escribimos la proporción con el término repetido
; multiplicamos cruzado
; sacamos raíz cuadrada para eliminar el exponente de la in-cógnita
; obtenemos el valor buscado
2. La alternativa correcta es E)
Sean x e y los números buscados;
;escribiendo la información se tiene
;despejando “x” en la segunda ecuación
x y
xy
xy
yy
y y
y
y
− =
=
=
− =
− =
=
=
48
95
95
95
48
9 55
48
45
48
4 2440
60
60 48
108
y
x
x
=− ==
; reemplazando en la primera ecuación
; sacamos el m.c.m.
; reducimos términos semejantes
; multiplicamos cruzado
; despejamos “y”
; reemplazamos este valor en la primera ecuación
; despejamos “x”
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3. La alternativa correcta es A)
Sean x e y las cantidades de dinero que le corresponden a cada persona; así
x y
x y
+ ==
2500
2 3: :
; al escribir la información como ecuación nos queda
; por propiedades de proporción
x y k
k
k
k
x y
+ = +=
=
=
= ∧ =
( )
( )
2 3
2500 5
25005
500
2500
35000
1000 1500
1500 1000 500
x y= ∧ =− =
; remplazando de la primera igualdad
; despejando k
; reemplazando la constante de proporcionalidad en las igual-dades iniciales
; haciendo la diferencia entre los números
4. La alternativa correcta es C)
Sea : x = cantidad de varones, y = cantidad de mujeres x + y = 500
Escribiendo la proporción entre las variables
3515
35 1550050
10
3510 350
= =
++
=
=
=
= → =
xy
k
x yk
k
k
xx
y115
10 150
200
= → =
− =
y
x y
; escribimos la proporción
, por propiedades
; reemplazamos la cantidad total de personas
; dividimos y obtenemos el valor de la constante k
; reemplazamos la constante en cada razón
; obtenemos “x” e “y”
; buscamos la diferencia entre varones y mujeres
5. La alternativa correcta es A)
Por definición la cuarta proporcional geométrica es el o los números diferentes que puede tener una propor-ción ; así
x
x
x
24145624 14
56122
6
=
= ( ) ( )
= =
; multiplicando cruzado
; resolviendo
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capítulo 1 Solucionario Matemática
6. La alternativa correcta es B)
a% de b se escribe : ab100
23=
b% de a se escribe : ba100
= ?
; de la primera igualdad
ab =
=
2300
2300100
23
; reemplazamos en la segunda
; simplificamos y obtenemos el resultado
7. La alternativa correcta es D)
Definamos: X = edad de Juan Y = edad de hermano
X
X Y
Y
y
Y
==
=
⋅ =
=
24
3 4
24 34
24 43
32
: :
; escribimos la información del problema
; reemplazamos la primera igualdad en la segunda
; multiplicamos cruzado y simplificamos
8. La alternativa correcta es B)
Aumentando el numerador de la fracción e igualamos con 0,75 escrito como fracción.
58
75100
58
34
20 4 24
4 4
1
5 100
1
1
+ =
+ =
+ ==
===
x
x
x
x
x
%
?%
0005
20= %
; simplificando
; multiplicamos cruzado
; despejamos el valor de “x”
; escribimos la relación de porcentajes
; resolvemos “ 1 qué porcentaje es de 5 ”
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9. La alternativa correcta es D)
Reconocemos las variables de la fórmula para el interés simple :
C = 1.050.000 K= 350.000 r = 10%
; escribiendo la ecuación y reemplazando los valores
C K nr
n
n
= += +
= +
( )
. . . ( %)
1
1 050 000 350 000 1 10
3 1101000
210100
200 10
20
=
==
n
n
n
; despejando “n” y escribiendo el porcentaje como fracción
10. La alternativa correcta es C)
Por fórmula la MP geométrica es :
54
0 20
54
20100
1040
12
( , ) =
⋅ =
=
=
MP
MP
MP
MP
; reemplazando los valores en la fórmula
; transformando el decimal a fracción
; multiplicamos y simplificamos
; sacamos la raíz cuadrada
11. La alternativa correcta es D)
Sea x = edad de Ricardo y = edad de Mónica
; escribimos la información entregada
x y
x y
y y
y
y
= ++ =
+ + =+ =
+ =
6
2 60
2 6 60
2 2 6 60
4 12 60
( )
( )
( )
; reemplazamos la primera igualdad en la segunda ecuación
; reducción de términos semejantes
; multiplicamos
; despejamos “y”
4 48
12
12 6
18
1812
32
y
y
x
x
xy
=== +=
= =
; reemplazamos este valor en la primera igualdad
; sumamos y escribimos la razón entre los valores encontra-dos
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capítulo 1 Solucionario Matemática
12. La alternativa correcta es C)
Sea x = dinero que lleva e y = valor del artículo
68
32 48 000
6810032100
48 000
4
%
% .
.
⋅ =⋅ =
=
=
=
x y
x
xy
x
x.. .
.
( . )
800 00032
150 000
1725
17 150 00025
1
x
xy
y
=
=
=
77 6 000
102 000
( . )
.
==
y
y
; escribimos la información
; pasamos el porcentaje a fracción
; despejamos x de la segunda ecuación
; dividimos
;tomamos la primera ecuación y la simplificamos
, reemplazamos el valor de “x” en la ecuación
; multiplicamos y simplificamos
13. La alternativa correcta es B)
Definimos a x como dinero de la deuda; entonces:
38
24 000
3 24 000 8
3 192 000
64 000
x
x
x
x
=
==
=
.
( . )( )
.
.
; de la primera información se obtiene
; despejamos “x”
; escribimos el resto de la deuda como lo que le falta a 3/8 para el entero; es decir 5/8, así los 4
5 del resto de la deuda es:
45
58
48
1212
64 000 32 000
x x
x
=
⋅ =. .
; simplificamos
; reemplazamos el valor de “x”
Luego, el total de lo que se ha pagado es $24.000 + $32.000 = $56.000, por lo tanto, falta por pagar $64.000 - $56.000 = $8.000.
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14. La alternativa correcta es E)
A de B
A B
a A B
A B Ax
b A B x
=
=
=
+ =
+ =
25
25100
14
100
%
( )
( ) ( ) 1100
14
10014
54
25
25 45
2
A
B B x B
B x B
x
x
( ) ( )
( )
( )
+ =
=
=
= 00
; escribimos la información como fracción
; simplificamos
; buscamos que % es A de (A+b)
; multiplicamos cruzado
; reemplazamos (a) en (b)
; sumamos y simplificamos
; simplificamos y despejamos “x”
15. La alternativa correcta es A)
Y kX
k
k
X
X
X
=
=
=
=
==
35
34
45
2045
100 4
25
; escribimos la proporcionalidad directa
; reemplazamos los valores de X y de Y
; despejamos la constante de proporcionalidad k
; con el valor de k =constante, reemplazamos el nuevo valor de Y
, despejando obtenemos el nuevo valor de X
16. La alternativa correcta es C)
1
150 7507501505
=
=
=
x
x
x
; escribimos la proporcionalidad entre los valores
; despejamos
17. La alternativa correcta es D)
5 obreros 2 horas ; escribimos la relación que nos dan (5-3 ) obreros x horas
; al ser una proporción inversa multiplicamos hacia el lado
5 22
5
⋅ =
=
x
x
; simplificamos
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capítulo 1 Solucionario Matemática
18. La alternativa correcta es E)
El C.P.G son los términos diferentes de una proporción;
23
6
9
23 6
4
326
1
=
=
=
=
=
=
xx
x
x
x
x
; escribimos la primera proporción posible y despejamos el primer valor de x
; escribimos la segunda proporción y despejamos x
; escribimos la tercera proporción y despejamos x
Luego, la respuesta correcta es: I, II y III.
19. La alternativa correcta es C)
a b
Ia b a b
k
IIb a b a
k
IIIa
: :
.
.
.
=
= → + =
= → − =
=
2 3
2 3 5
3 2 1
2bb
a b
a b3
3 2
6 4
→ =
=
; por las propiedades de proporciones, escribimos
; si (a+b) = 5 significaría que a =2 y b=3 ,lo que no se cumple siempre , ya que si a=10 y b=15 tienen igual proporción
; si (a-b) = 1 significaría que a=2 y b=3, no se cumple siempre por la misma explicación anterior
; la amplificación de una proporción la mantiene siempre igual
Luego, la respuesta correcta es: Sólo III.
20. La alternativa correcta es D)
Sea x el precio del comestible y V el precio final de venta, entonces:
x x x x V
x x x x V
x x
− + − =
− + − =
−
25 20 25
14
15
14
4 14
% %( % )
( )
++ − =
+ − =
+ =
+ =
15
120
34
420
34
320
15 320
x x V
x x xV
x xV
x xVV
xV
xV
de x V
1820
91090
=
=
=%
; escribimos el planteamiento del precio de venta
; transformamos los porcentajes a fracciones simplificadas y sacamos m.c.m.
; sumamos
; sacamos m.c.m
; simplificamos
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SOLUCIONARIO MATEMÁTICACAPÍTULO 2
Desigualdades e Inecuaciones lineales
1. La alternativa correcta es A)
Al graficar los intervalos en una misma recta numérica nos quedan:
-6 0 5 10
La solución final corresponde al intervalo [ -6 , +∞ ]
2. La alternativa correcta es E)
-6 0-2 3
La solución final es ] –2 , 3 ]
3. La alternativa correcta es D)
-3 0 4 6 8 12
La solución final es [ -3 , +∞ [
4. La alternativa correcta es B) 2 1
83 4
33 2 1 8 3 4
6 3 24 32
3 32 1
x x
x x
x x
+ < −
+ < −+ < −
+ <
( ) ( )
88
3518
3518
x
x ó x< >
; multiplicando cruzado
; distribuimos cada factor en el binomio respectivo ; reunimos términos semejantes
; despejamos la incógnita
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5. La alternativa correcta es B)
6 112
6 9 3
6 11 122
9 3
6 23 18 6
23 18
xx
xx
x x
+ + > +
+ + > +
+ > +
>
; sacamos común denominador
; multiplicamos cruzado
; reunimos términos semejantes y la incógnita “x” se elimina
; obtenemos una desigualdad verdadera lo que significa que se cumple para todos los reales
6. La alternativa correcta es D)
15
99
9 59
9
9 5 81 9
14 81 10
− − < +− − < +
− + < +
− <
−
xx
xx
x x
x
( )
667 10
6710
<
− <
x
x
; sacamos común denominador
; multiplicamos cruzado
; reunimos términos semejantes
; despejamos “x”
; graficamos la solución y la afirmación x < 5
0 5-6710
La solución final es ] -6710
, 5[
7. La alternativa correcta es A)
Para que la expresión represente un número no real, la cantidad sub-radical debe ser menor que cero.
3 12
3 12 0
3 12
4
4 x
x
x
x
−− <<
<
; despejamos la incógnita “x”
8. La alternativa correcta es A)
Para que la cantidad sub-radical sea un número real debe ser mayor o igual a cero
−− ≥ −
≤
x
x
x
0 1
0
/ ( )
; multiplicamos por (-1) para eliminar el negativo de la incóg-
nita lo que hace además que se invierta el signo de la desigual-
capítulo 2
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capítulo 1 Solucionario Matemática
dad9. La alternativa correcta es D) Para que la fracción sea real, el denominador debe ser distinto de cero y la cantidad sub-radical mayor que cero
7
33 0
3 3
−− >> <
xx
x ó x
; escribimos la desigualdad
; despejamos la incógnita
10. La alternativa correcta es C)
I. a > c ; se cumple, por propiedades
II. 1a
< 1c
; se cumple, por propiedades
III. -3ab > - 3bc ; no se cumple, por propiedades
11. La alternativa correcta es A)
x x x
x x x x
x x
−( ) ≤ − +
− + ≤ − +− + ≤ − +−
1 4 8
2 1 4 8
2 1 4 8
2
2
2 2
( )
xx x
x
x
+ ≤ −≤
≤
−∞
4 8 1
2 7
7272
,
; desarrollamos el cuadrado de binomio
; eliminamos el término “ x2 ”
; reunimos términos semejantes
; despejamos “x”
; escribimos el resultado como intervalo según el dibujo
0 72
12. La alternativa correcta es D)
a xx
b x x
)
)
3 12
3
2 5 3 1
− ≥ +
+ < −
; resolvemos cada desigualdad por separado
a x
x
x x
x
x
)
,
3 16
26 2 6
5 8
85
85
− ≥ +
− ≥ +≥
≥
+∞
; sacamos el denominador común y multiplicamos cruzado
; reunimos términos semejantes
; despejamos “x”
; escribimos la solución como intervalo
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b x x
x
x
)
/ ( )
,
2 3 1 5
6 1
6
6
− < − −− < − −
>+ ∞
; reunimos términos semejantes ; multiplicamos por (-1) para eliminar el signo negativo de la
incógnita, invirtiendo así la desigualdad ; escribimos la solución como intervalo
La solución final es la intersección de ambas soluciones 85
6, ,+∞
∩ +∞
Gráficamente tenemos:
0 685
Entonces, el resultado es ]6, +∞[
13. La alternativa correcta es E) a x
b x
).
).
2 3 3
2 4
+ <− >
; se resuelve cada desigualdad por separado
a x
x
x
b x
x
)
)
2 3 3
2 0
0
4 2
6
< −<
<> +>
0 6
La intersección de las desigualdades es − ∞ ∩ + ∞ = ∅, ,0 6 14. La alternativa correcta es A)
Sea X = número buscado 2X = doble del número buscado planteamos la desigualdad 2 1 1
2 1 1
2
x x
x x
x
− < +− < +
<
; reunimos términos semejantes ; despejamos “x”
Como el número buscado debe ser natural, el natural menor a 2 es 1
15. La alternativa correcta es C)
Si x = lado del cuadrado, el perímetro de un cuadrado es 4x; si el perímetro no puede ser menor que 50 cm, quiere decir que puede ser 50 cm o más, así la desigualdad nos queda:
4 50
504
12 5
x
x
x cm
≥
≥
≥ ,
; despejamos “x” ; dividimos
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capítulo 1 Solucionario Matemática
16. La alternativa correcta es B)
Sea (2n + 1) = número impar (2n + 3) = impar consecutivo
planteamos la desigualdad 2 1 2 3 60
2 1 2 3 60
4 4 60
4 60 4
4
n n
n n
n
n
+( ) + +( ) <
+ + + <+ << −
nn
n
n
n
<
<
<∴ =
⋅ + =
56
564
14
13
2 13 3 29( )
;eliminamos paréntesis
; reunimos términos semejantes
; despejamos n
; encontramos el mayor valor de n que sea menor que 14 ; reemplazamos n en el mayor impar y obtenemos el resultado
final
17. La alternativa correcta es C)
Sea X = cantidad de monedas que se tiene en un bolsillo X + 5 = cantidad de monedas en el otro bolsillo 2X + 5 = total de monedas en ambos bolsillos
planteamos la desigualdad 2 5 35
2 35 5
302
15
x
x
x
x
+ ≥≥ −
≥
≥
; despejamos y reunimos términos semejantes
; dividimos
18. La alternativa correcta es E)
Sean : P = Pablo, J = Joaquín, M = Marcelo planteamos las desigualdades para cada información tratando de encontrar quién es mayor ( )
( )
1 1
2
P J
M P
= +
≥
, con esta única información no podemos saber quién es mayor
, con esta información sólo sabemos que Marcelo puede tener la misma edad de Pablo o ser mayor.
Si unimos las dos informaciones podemos asegurar que Pablo es mayor que Joaquín pero no que Marcelo es
mayor que Pablo; se requiere información adicional.
capítulo 2
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19. La alternativa correcta es C)
Sea L = cantidad de tarros de pintura utilizados en el living C = 1,5 cantidad de tarros de pintura utilizados en la cocina X = cantidad de tarros de pintura utilizados para la casa completa
(1) de la primera información podemos plantear L = 2C, lo que nos dice que en el living se utilizaron 3 tarros, pero no nos informa sobre X
(2) de la segunda información podemos plantear X ≥ 3 (L + C), que por sí sola no nos proporciona el valor mínimo de X.
(1) y (2) juntas nos proporciona la desigualdad con la que podemos encontrar X X
X
X
≥ +≥≥
3 3 1 5
3 4 5
13 5
( , )
( , )
,
20. La alternativa correcta es C)
Sea X = cantidad de pares de zapatos (1) de la primera información podemos escribir: X
X
XX
X X
X
X
− >
− >
− >
>
>
402
240
22
40
240
80
; sacamos el m.c.m.
; reducimos términos semejantes.
; multiplicamos cruzado.
Nos dice que el zapatero hizo más de 80 pares de zapatos; pero no la cantidad exacta que hizo
(2) de la segunda información podemos escribir: X
X
− <<
35 47
82
Nos dice que el zapatero hizo menos de 82 pares de zapatos; pero no la cantidad exacta de zapatos (1) y (2) nos da la información ya que 82 < X < 80; lo que se traduce en que X = 81
capítulo 2
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SOLUCIONARIO MATEMÁTICACAPÍTULO 3
Relaciones y funciones
1. La alternativa correcta es C)
Las relaciones a R b pedidas, son aquellas en que el segundo término es múltiplo del primero, entonces al escribir todas las relaciones a R b tenemos:
(2,4); (2,6); (3,4); (3,6); (4,4); (4,6)
Observamos que la primera relación, la segunda, la cuarta y la quinta relación cumplen la condición pedi-da.
2. La alternativa correcta es E)
En la relación x R y se pide que los pares ordenados (x , y) no cumplan la condición x = y2
Comprobamos cada par ordenado:
a) 2 = 42
; se cumple la condición
b) 8 = 162
; se cumple la condición
c) 6 = 122
, se cumple la condición
d) 4 = 82
; se cumple la condición
e) 10 ≠ 52
; no se cumple la condición
3. La alternativa correcta es A)
En la relación a R b , la condición es que el primer término sea múltiplo del segundo. Se cumple en
a) 6 = 3 · 2
4. La alternativa correcta es B)
En una función a cada elemento del conjunto de partida le corresponde uno y sólo un elemento del conjunto de llegada, lo que significa que si tomamos el elemento a de salida no puede este tener dos elementos de llega-da, basándose en esto, la opción II no es función ya que el elemento de partida “a “ esta con tres elementos del conjunto de llegada. (a,a); (a,b); (a,c); esta opción es relación.
Por lo tanto, las opciones I y II cumplen la definición de función.
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5. La alternativa correcta es C)
f u x u
f x
f x
f f x
( )
( )
( )
( ) ( ) (
= += += +− = + −
3
3 3 3
0 3 0
3 0 3 3 33 0
3 0 3 3 3 0
3 0 3
x
f f x x
f f
+− = + − −− =
)
( ) ( )
( ) ( )
; reemplazamos en la función la variable “u” por el número ; hacemos lo mismo con el 0
; finalmente restamos
; cambiamos signos dentro de paréntesis
; resolvemos
6. La alternativa correcta es E)
f x x
x
x
x
x
( ) = −− == +=
=
3 5
3 5 6
3 6 5
3 11
113
; igualamos la función dada al valor que se indica
; reunimos términos semejantes
; reducimos términos
; despejamos “x”
7. La alternativa correcta es E)
f
f
g
f f
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2 2 2 4
3 2 3 6
5 2 5 10
2 3
= == == =− ++ = − + =g( )5 4 6 10 8
; evaluamos cada variable “x” con el valor indicado en las funciones respectivas
; finalmente realizamos la operación indicada
8. La alternativa correcta es D)
La función g[f(x)] es una función compuesta, lo que significa que el valor de f(-2) se reemplaza en la función g(x) para obtener el resultado final así:
g f g g[ ( )] [ ] [ ] ( )− = − + = = + =2 2 3 1 5 1 7 12
9. La alternativa correcta es C)
Opción I: En esta opción se observa que a cada elemento de partida tiene un sólo elemento de llegada, sin importar que sea el mismo; es función
Opción II: En la opción se observa que hay un elemento en el conjunto de partida que no tiene elemento en el conjunto de llegada, no es función ya que todos los elementos deben tener un elemento de llegada
Opción III: Hay un elemento en el conjunto de partida que tiene dos elementos en el conjunto de llegada, no es función ya que debe tener uno sólo
Opción IV: Es función ya que es uno a uno, es decir, a un elemento de partida le corresponde sólo uno de llegada
Luego, la respuesta correcta es I y IV.
capítulo 3
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capítulo 1 Solucionario Matemática
10. La alternativa correcta es D)
En el gráfico si elegimos puntos en el eje x (conjunto de partida), vemos que a cada valor le corresponde sólo un valor en el eje y (conjunto de llegada); es función
Gráfico I: Y
X
En el gráfico, al mismo elemento de partida (eje x) le corresponde varios puntos de llegada(eje y); no es función
Gráfico II: Y
X
En el gráfico se elige un elemento de partida, y se ve que a cada uno le corresponde uno de llegada; se grafica una recta que siempre es función.
Gráfico III: Y
X
11. La alternativa correcta es D)
Evaluamos en la función f x x x( ) = − +2 3 1 los valores entregados en cada alternativa para ver cual no se cumple
a f verdadera
b f
) ( ) ( ) ( )
) ( ) ( )
0 0 3 0 1 1
5 5
2
2
= − + =− = − − 33 5 1 25 15 1 41
2 2 3 22
( )
) ( ) ( ) (
− + = + + == −
verdadera
c f ))
) ( ) ( ) ( )
+ = − + = −− = − − − +
1 4 6 1 1
1 1 3 1 12
verdadera
d f == + + == − + = − + = −
1 3 1 5
1 1 3 1 1 1 3 1 12
falsa
e f ve) ( ) ( ) ( ) rrdadera
12. La alternativa correcta es C)
En el gráfico si tomamos el valor 0 en el x, se obtiene 0 en el y; es decir f(0) = 0 , cuando tomamos el valor 3 en el eje x , obtenemos 5 en el eje y; es decir f(3) =5, finalmente al tomar el valor –3 en el eje x , encontramos el valor –1 en el eje y; es decir f(-3) = -1
Entonces, f f f( ) ( ) ( ) ( )0 3 3 0 5 1 6+ − − = + − − =
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13. La alternativa correcta es D)
Analizamos cada alternativa
a) Por definición una función es biyectiva cuando es inyectiva y epiyectiva; por lo tanto es verdadera
b) En una función inyectiva a cada elemento del dominio, le corresponde un único valor en el recorrido, así f(x) = x + 5 es inyectiva ya que para cada valor de “x” obtendremos un valor distinto de “y”; luego es verdadera
c) Por la definición explicada en la alternativa a), la alternativa es verdadera.
d) En una relación un elemento de partida puede tener dos de llegada, en las funciones no; por lo tanto es falsa
e) f g f f( ( )) ( ) ( )2 2 2 4 4 1 5= + = = + = ; verdadera
14. La alternativa correcta es A)
Si f x x( ) = − 3 y g x x( ) = −1 al buscar g f x( ( )) buscamos la función compuesta, para ello tomamos f(x) y la reemplazamos en g(x), así:
g f x g x x x x( ( )) ( ) ( )= − = − − = − − = −3 3 1 3 1 4
15. La alternativa correcta es C)
Si la función es f u u x( ) = + 2 en “u” reemplazamos los valores entregados; así:
f x x x x
f x x x x
f x f x x x
( )
( )
( ) ( )
= + == + =
+ = + =
2 3
2 2 2 4
2 3 4 77x
entonces,
16. La alternativa correcta es D)
Para ver si los pares ordenados satisfacen o no una función, tomamos cada par ordenado y reemplazamos en la función verificando si se cumple o no la igualdad. Recuerda que el primer número del par ordenado repre-senta x y el segundo y, así:
Par x y( , ) ;
( )
− − → = − = −− = − −− = −− = −
1 3 1 3
3 1 4
3 1 4
3 3
2
; definimos el valor de x e y ; reemplazamos estos valores en la función recordando que
f(x)=y ; verificamos la igualdad ; verdadera
Par x y( , ) ;
( )
− → = − == − −= −=
2 0 2 0
0 2 4
0 4 4
0 0
2
; definimos los valores de x e y ; reemplazamos en la función ; verificamos la igualdad ; verdadera
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capítulo 1 Solucionario Matemática
Par x y( , ) ;
( )
− → = − == − −= −=
3 5 3 5
5 3 4
5 9 4
5 5
2
; definimos los valores de x e y ; reemplazamos en la función ; verificamos la igualdad ; verdadera
Par x y( , ) ;
( )
0 4 0 4
4 0 4
4 4
2
→ = == −≠ −
; definimos los valores de x e y ; reemplazamos y verificamos la igualdad ; falsa
Par x y( , ) ;
( )
2 0 2 0
0 2 4
0 4 4
0 0
2
→ = == −= −=
; definimos los valores de x e y , reemplazamos en la función ; verificamos la igualdad ; verdadera
17. La alternativa correcta es A)
En la función f x x( ) = +2 1 reemplazamos los puntos dados en cada gráfico para ver si se cumple la igual-dad respectiva
En el gráfico a) tenemos que si:
x y
x y
x y
= = → = += = → = += = → =
1 3 3 2 1 1
2 5 5 2 2 1
0 1 1 2
; ( )
; ( )
; (( )0 1+
; para los tres valores de x e y se cumple la igualdad, por lo cual el gráfico buscado es el primero
18. La alternativa correcta es B)
En la función dada, reemplazamos (a + b) y luego (a) para finalmente realizar la operación que se indica; entonces:
f a b a a b a b a
f a b a ab a
( ) ( ) ( )
( )
+ = + − + ++ = + − −
2 5 5
2 2 5 52 bb a
f a b a ab b
f a a a a a
f a
++ = + −
= − +
5
2 2 5
2 5 5
2( )
( ) ( ) ( )
( ))
( )
( ) ( )
= − +=
+ − = + −
2 5 5
2
22 2 5
2
2
2
a a a
f a a
f a b f ab
a ab bb ab
f a b f ab
ab bb
b ab
f a
−
+ − = − = −
22
22 5
22 52
2
( ) ( ) ( )
( ++ − = −b f ab
a) ( )2
2 52
; multiplicamos cada factor por el binomio correspondiente
; reducimos términos semejantes
; multiplicamos los factores por cada binomio
; reducimos términos semejantes
; escribimos la expresión que nos piden
; reducimos términos semejantes
; factorizamos y simplificamos
capítulo 3
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Solucionario Matemáticacapítulo 14
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19. La alternativa correcta es D)
En la función dada, reemplazamos (a + b) y luego (b) , para finalmente realizar la diferencia entre estos dos resultados
f a b a b a a b
f a b a b a ab
f b b a
( ) ( ) ( )
( )
( )
+ = + − ++ = + − −
= −
2
(( )
( )
( ) ( ) ( )
(
b
f b b ab
f a b f b a b a ab b ab
f
= −
+ − = + − − − −2
aa b f b a b a ab b ab
f a b f b a a a
+ − = + − − − +
+ − = − =
) ( )
( ) ( )
2
2 (( )1− a
; multiplicamos por “a” el paréntesis.
; multiplicamos por “a” el paréntesis.
; reemplazamos los resultados en la expresión que nos piden
; cambiamos los signos por el negativo que está fuera del pa-réntesis y reducimos términos semejantes
; factorizamos por “a”
20. La alternativa correcta es C)
Si f(a) = 2, entonces reemplazamos por “a” la incógnita “x” e igualamos todo a 2 para encontrar el valor de “a”, es decir:
f xx
a
f aa
aa a
a a
( )
( )
( )
= +
= + =
+ =+ ==
3 22
3 22
2
3 2 2 2
3 2 4
3 44 2
3 2
32
a a
a
a
−=
=
; reemplazamos x por “a” e igualamos a “2”
;multiplicamos cruzado
; resolvemos y reunimos términos semejantes
; reducimos términos semejantes
; despejamos “a”
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4948
SOLUCIONARIO MATEMÁTICA
Funciones de Variable Real
1. La alternativa correcta es C)
Sea n = número positivo y (n+1) su consecutivo, así:
n n
n n
n n
n n
n
( )
( )( )
+ =+ =+ − =+ − =
1 272
272
272 0
17 16 0
2
2
++ = − == − =17 0 16 0
17 161 2
óy
n
n n
; multiplicamos cada término
; formamos la ecuación de segundo grado
; resolvemos por factorización
; encontramos los números que deben ser positivos
Entonces, al reemplazar n=16 en (n+1) = 16 + 1 = 17.
Por tanto, los números buscados son: 16 y 17.
2. La alternativa correcta es A)
x x
x x
x x x
x x
+ = −+ = −+ = − += − +
7 5
7 5
7 10 25
0 10
2
2
2
2
/ ( )
( )
225 7
0 11 18
0 2 9
2 0 9 0
2
1
− −= − += − −− = − =
x
x x
x x
x x
x
( )( )
ó== =
∴ =2 9
92y
sólo es solución
x
x
; elevamos al cuadrado toda la expresión
; desarrollamos el cuadrado de binomio
;reunimos todos los términos en una lado de la igualdad y los reducimos
; resolvemos la ecuación de segundo grado por factorización
; encontramos los resultados de la ecuación
, ya que al comrpobar en la ecuación original,
√9 + 7 = 9 - 5
√16 = 4, nos da como resultado la raíz principal.
3. La alternativa correcta es C)
Si yx x x x
x x x x x x
x
1 2 1 2
21 2 1 2
2
4 3
0
4
+ = − ⋅ =
− + + ⋅ =
− −
( )
( ))x
x x
+ =+ + =
3 0
4 3 02
; por definición de propiedades
; reemplazando los valores dados
; ordenando encontramos la ecuación cuadrática
CAPÍTULO 3
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4. La alternativa correcta es A)
5 10 2 6 0 5
22 6
50
2 65
2
2
x x k
x xk
k
− + + =
− + +
=
+
/ :
= ⋅
+
= ⋅
+ == −
= −
x x
kx
k
k
k
1 2
1
2 65
0
2 6 0
2 6
3
; dividimos por 5
; reunimos los términos que corresponden a C en la ecuación cuadrática
; igualamos por propiedades de las raíces
; reemplazamos el valor de la raíz nula
; despejamos k en la igualdad
5. La alternativa correcta es A)
Sean
según la ecuación representa el c
x y x
m1 22 3= − =
ooeficiente y
representa el coeficiente
b
m c( )− −7
aa)
b)
− + = − → = −
= −
− ⋅ = → − = − + → −
2 3 11
1
2 3 67
1
ba
m
m
ca
m( )66 7
1
+ = −
= −
m
m
; dadas las raíces utilizamos las propiedades de la raíces
; comprobamos utilizando las dos propiedades
6. La alternativa correcta es D)
x x
ca
k
k
k
k
1 2 48
48
7 11
48
7 1 48
7 49
7
⋅ =
=
− =
− ==
=
; utilizando la propiedad de las raíces
; reemplazamos el coeficiente c y a en la propiedad
; despejamos la incógnita
capítulo 3
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capítulo 1 Solucionario Matemática
7. La alternativa correcta es B)
Si la hipotenusa es c , los catetos serán (c-8) y ( c-1 ). Entonces por el teorema de pitágoras tenemos que:
c c c
c c c c c
c c
2 2 2
2 2 2
2
8 1
16 64 2 1
0
= −( ) + −( )= − + + − +
= − + 22 2
2
16 64 2 1
0 18 65
0 5 13
− + + − += − += − −−
c c c
c c
c c
c
( )( )
55 0 13 0
5 13
= − == =
óy
c
c c
; planteamos el teorema de Pitágoras
; resolvemos cada cuadrado de binomio
; igualamos a cero la ecuación cuadrática
; reducimos términos semejantes
; resolvemos por factorización
; despejamos los posibles valores de c
; se descarta el valor de 5 por no poder existir una longitud negativa
(c-8)
c
(c-1)
8. La alternativa correcta es D)
a
b ; Si a y b son los lados del rectángulo
(ab) será el área y (2a + 2b) será el perímetro
; escribimos el sistema de ecuaciones
; dividimos por 2 en la segunda ecuación
a b
a b
⋅ =+ =
61
2 60( )
a b
a b
⋅ =+ =
61
30 ; despejamos a en la primera ecuación
; reemplazamos esto es la segunda ecuación
; sacamos común denominador
ab
bb
bb
b b
b b
=
+ =
+ =
+ =− + =
61
6130
6130
61 30
30 61 0
2
2
2
; multiplicamos por b la igualdad
; escribimos la ecuación cuadrática
; resolvemos por factorización
( )( )b b
b b
b b
− − =− = − == =
7 23 0
7 0 23 0
7 23
óy
; despejamos la variable b
; nos quedamos con el menor valor que es 7
capítulo 3
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9. La alternativa correcta es E)
Verificamos cada afirmación
I. log ,
log ,
, ,
9 0 31808
13
9 0 31808
13
0 95424 0 31
3 =
=
( ) = 8808
0 31808 0 31808
900 2 95424
, ,
log ,
= →
=
verdadera
llog( ) ,
log log ,
,
9 100 2 95424
9 100 2 95424
0 954
⋅ =+ =224 2 2 95424
81 1 90848
9 9
+ = →
=⋅
,
log ,
log(
verdadera
)) ,
log log ,
( , ) ,
=+ =
=
1 90848
9 9 1 90848
2 0 95424 1 908448 → verdadera
; aplicamos la propiedad de potencias en el logaritmo
; reemplazamos el valor de log 9
; resolvemos
; comprobamos la igualdad
II. ; escribimos el log como producto ; aplicamos la propiedad del producto ; reemplazamos y resolvemos ; comprobamos la igualdad
III. ; escribimos como producto el logaritmo ;aplicamos la propiedad del producto ; reemplazamos y resolvemos ; comprobamos la igualdad
10. La alternativa correcta es E)
; escribimos el sistema aplicando las propiedades del logarit-mo de un cuociente y escribiendo el decimal como fracción
x y
x y
+ =− =
27 5
1
,
log log
x y
xy
+ =
=
27510
10log log ; resolvemos la ecuación logarítmica
xy
x y= → =10 10 ; despejamos x de esta ecuación para reemplazar en la primera ecuación
; reunimos términos semejantes
10552
11552
5522
52
105522
55022
27
y y
y
y
x
x
+ =
=
= =
=
= = 5511
27511
52
62 5
⋅
= ,
; despejamos el valor de y
; reemplazamos este valor en la ecuación logarítmica
; resolvemos y encontramos el valor de x
; realizamos el producto ( x y), encontrando la solución
capítulo 3
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capítulo 1 Solucionario Matemática
11. La alternativa correcta es C)
Partimos de un logaritmo conocido que es log 10
log log( )
log log log
, log
10 5 2
10 5 2
1 0 69897 2
= ⋅= +
= +11 0 69897 2− =, log
; aplicamos la propiedad del logaritmo de un producto ; reemplazamos y despejamos lo que se busca
12. La alternativa correcta es D)
En la parábola el intervalo creciente será desde el vértice hacia la derecha y será decreciente desde el vértice hacia la izquierda.
El vértice está en el centro de la parábola, es decir en el punto medio de las raíces de la ecuación que son, 1 y 5; por lo tanto el punto que se busca será 1 5
23
+ =
∴ +∞ 3, es el intervalo buscado
13. La alternativa correcta es C)
El eje de simetría corresponde al valor en el eje x que determina el centro de la parábola y nos da el punto medio de las raíces, es decir los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la parábola.
eje simetría = − = − + −
−−
= →
ba
si f x x x2
4 3
42 1
2 2
2( )
( ),++∞
; reemplazamos las variables b y a en la ecuación de simetría
14. La alternativa correcta es D)
U
U
=
=
(log )(log )(log ).....(log )
log2 3 4 15
1
3 4 5 16
00
10
10
10
10
10
3
2
4
3
5
4log
log
log
log
log......
l⋅ ⋅ ⋅
oog
log
log
log
log
log
10
10
10
10
2
2
16
15
16
2
16
U
U
U
=
=
= 22
4 2
4
4
2U
U
==
log
; cambiamos base de cada logaritmo
; simplificamos los logaritmos
; cambiamos base
; escribimos como potencia
; aplicamos la propiedad del logaritmo de una poten-cia
; resolvemos
capítulo 3
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15. La alternativa correcta es E)
En la ecuación f xxq
x q q( ) ;= − + − <2
4 3 0 encontramos que si
a
qb c q= − = = −1
4 3, y
a) la parábola corta al eje y en –3q, es decir el número positivo de 3q
b) la parábola mira hacia arriba ya que –1/q es mayor que cero
c) la parábola tiene como eje de simetría −−
=42
2
q
q , como q < 0,
entonces 2q es negativo.
Según esto no existe ningún gráfico que corte al eje y en -3q o en el valor positivo de 3q, y que tenga como eje de simetría el valor 2q.
16. La alternativa correcta es D)
Si f x x( ) = − −3 1 cuando la función intercepta al eje de la ordenadas x = 0, entonces:
y
y
y
y
= − −
= − −
= −=
0 3 1
3 1
3 1
2
; aplicamos la definición de valor absoluto
; resolvemos y nos quedamos con el valor que cumple la igual-dad, es decir y=2
Luego, el punto buscado es (0,2)
17. La alternativa correcta es D)
En la función R(x) = -0,15x2 + 4,5x encontramos el valor máximo en el punto máximo de la parábola, es decir:
pto. máximo y como y tendremos:: , ,− = = −b
ab a
24 5 0 15
ppto. máximo = −−
= =4 52 0 15
4 50 3
15,
( , ),,
capítulo 3
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capítulo 1 Solucionario Matemática
18. La alternativa correcta es C)
Comprobaremos cada afirmación:
I. Al comprar 5000 unidades se paga $1800 por cada artículo; al comprar 2300 unidades cada persona pagará $2000 por cada artículo, entonces
5000($1800) = $9000000
2300(2000) = $4600000 c/p $9200000 en total verdadera
II. Al comprar 6000 unidades se pagará $1700 por cada artículo y al comprar 5800 unidades se paga $1800 por cada artículo, entonces:
6000($1700) = $10200000 5800($1800) = $10440000 verdadera
III. Al comprar 4000 unidades se pagan $1800 por unidad y no $2000 como se afirma
Afirmación falsa
19. La alternativa correcta es C)
Para saber la concavidad de una parábola necesitamos conocer el coeficiente “a” de su función y para ello tendremos que formar la función , analizaremos las informaciones:
(1) Esta información nos da x1= -2 y x2= 3, sólo nos da los puntos por los cuales la parábola corta al eje x.
(2) Esta información nos da el punto donde la parábola corta al eje y; es decir c = -6, entonces, con ambas juntas sabemos que la parábola tiene concavidad positiva
20. La alternativa correcta es A)
(1) Esta información nos da el valor inicial que necesitamos para saber que en 5 horas habrá
5000(25) = 160000 bacterias
donde (25)=32 representa la duplicación en la cantidad de horas
(2) Con esta información sólo sabremos la cantidad final en función de la inicial, pero no sabemos la inicial
Nos quedamos con sólo (1) ya que es suficiente para responder la pregunta
capítulo 3
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capítulo 3
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SOLUCIONARIO MATEMÁTICA
Combinatoria y Probabilidad.1. La alternativa correcta es E)
Al tener tres números, el 3, el 2 y el 5, existen tres posibilidades para cada cifra ya que estos se podrían repe-tir; es decir:
3 x 3 = 9
2. La alternativa correcta es D)
Existen dos números, el 1 y el 2 los cuales deben formar números de 10 cifras, entonces estos se pueden repetir, así 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 210
3. La alternativa correcta es D)
Es una combinación ya que se escoge un grupo de 4 elementos de un total de 10 sin importar el orden en que se escojan, así:
4
10
C
4. La alternativa correcta es E)
Es una permutación de elementos ya que las personas pueden ingresar de diferentes maneras y no se puede
repetir, entonces cualquiera de las 8 personas puede ingresar primero, luego cualquiera de las 7 que quedan
y así sucesivamente...así
8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 8! = P8
5. La alternativa correcta es B)
Al querer formar grupos de hombres y mujeres de un total de personas, se trata de una combinación ya que el orden no es importante, entonces nos queda:
3
7
C representa el grupo de 3 hombres dentro de un grupo de 7
2
5
C representa el grupo de 2 mujeres de un total de 5
CAPÍTULO 4
CEPE
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5958
Como queremos formar un grupo que este formado por hombres y mujeres, multiplicamos estas combinaci-nes y tendremos la combinación total
3
7
2
5
77 3 3
55 2 2
74 3
53
C C⋅
− ⋅⋅
− ⋅
⋅⋅
⋅
!( )! !
!( )! !
!! !
!! 22
7 6 5 44 3
5 4 33 2
7 6 53 2 1
5 42
!
!! !
!! !
⋅ ⋅ ⋅⋅
⋅ ⋅ ⋅⋅
⋅ ⋅⋅ ⋅
⋅ ⋅⋅⋅
⋅1
35 10
350
(Desarrollando el factorial de un número)
(Simplificando)
(Multiplicando y simplificando)
(Multiplicando)
6. La alternativa correcta es C)
Los menús que se forman están compuestos de sólo dos opciones: entrada y plato de fondo.
Hay 5 entradas y 6 platos de fondo, así tenemos que las posibilidades de formar el menú están dadas por el
producto de entradas por platos de fondo
5 x 6 =30
7. La alternativa correcta es A)
Cuando ordenamos letras de una palabra que repite letras, estamos frente a una permutación con repetición,
entonces la permutación con repetición de la palabra CEPECH está dada por:
2 2
6 62 2
6 5 4 3 2 12 1 2 1
180,
!! !P =⋅
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅
=
8. La alternativa correcta es E)
Una ordenación de elementos es una permutación, entonces:
P5 = 5!=5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120
9. La alternativa correcta es B)
Al ordenar todos los posibles números que existen con dígitos repetidos, estamos frente a una permutación con repetición ya que de las siete cifras , tres son el número 2 y las otras cuatro cifras serán iguales al 5.
3 4
7 73 4
7 6 5 43 2 1 4
35,
!! !
!!P =
⋅= ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅=
capítulo 4
CEPE
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007 CEPECH
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capítulo 1 Solucionario Matemática
10. La alternativa correcta es E)
Esta combinación no se puede calcular ya que no tenemos la cantidad total de hombres ni de mujeres para formar los grupos posibles
11. La alternativa correcta es A)
Sea PA igual a la probabilidad de que ocurra el suceso A , esta está definida por:
P Acasos favorables
casos posibles
n
nA( ) = =
a). casos favorables = total de combinaciones en que se tenga Cara-Sello-Sello
1
3
C combinaciones totales para obtener una cara d= ee tres en total
2
2
C combinaciones totales para obtener dos sello= ss de dos que quedan
( recordar que ya hay una moneda con cara y son tres en total)
1
3
2
2 33 1 1
22 2 2
3C C⋅ =− ⋅
⋅− ⋅
=!( )! !
!( )! !
b). casos posibles = total de combinaciones que se obtienen con tres monedas
Como cada moneda tiene 2 posibilidades, se tiene 2 x 2 x 2 = 8
P A( ) = 3
8
12. La alternativa correcta es B)
Calcularemos la Probabilidad de sacar una Azul y luego de sacar una Blanca, como un evento o el otro nos da la probabilidad total, sumamos cada probabilidad individual
P azul
bolas azulesbolas totales
( ) = = 515a)
b) P blancabolas blancasbolas totales
( ) = = 715
P azul oblanca( ) = + = =5
157
151215
45
capítulo 4
CEPE
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007 CEPECH
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13. La alternativa correcta es D)
La probabilidad de responder correctamente cada pregunta es 15
, se tienen 20 preguntas en total,
entonces para lograr acertar a todas se tiene 15
20
14. La alternativa correcta es D)
Primero buscamos todas las posibles combinaciones de números en que la diferencia de las pintas sea 2 y luego buscamos todas la combinaciones posibles al tirar los 2 dados
a). Casos favorables = al tener dos dados pueden aparecer las combinaciones
1 –3 , 2 – 4 , 3 –5 , 4 – 6 y las mismas pero al revés, es decir
3 – 1 , 4 – 2 , 5 – 3 , 6 – 4 ya que al ser dos dados puede darse el caso
contrario. Así tenemos 8 casos favorables
b). Casos posibles = al lanzar dos dados se pueden obtener 6 x 6 combinaciones posibles, es decir 36
Finalmente la probabilidad del evento será P = =836
29
15. La alternativa correcta es C)
La probabilidad de que este evento ocurra será la P = P(blanca) x P(roja)
a) P blancabolitas blancasbolitas totales
( ) = = 27
b) P rojabolitas rojas
bolitas totales que quedan( ) =
aal sacar y no poner= 5
6
P = ⋅ =2
756
521
16. La alternativa correcta es C)
La probabilidad de la certeza es 1, entonces que la probabilidad de que algo ocurra más la probabilidad de que no ocurra es 1, así
15
45
1+ = , por lo tanto, si 15
= probabilidad de ocurrencia
y
45
= probabilidad que no ocurra
si en dos jugadas seguidas no logra el puntaje máximo, la probabilidad de que esto ocurra será
P = ⋅ =4
545
1625
capítulo 4
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capítulo 1 Solucionario Matemática
17. La alternativa correcta es C)
Para ganar el premio, Jimena tiene que acertar al talonario y luego al número;
como existen 20 talonarios la probabilidad de acertar al premiado será 120
y
la probabilidad de acertar al número será 110
, así la probabilidad de acertar a ambos, talonario y número
será P = ⋅ = =120
110
1200
0 005,
18. La alternativa correcta es D)
La probabilidad que existe entre los atletas que gane uno o el otro está dada por la suma de ambas probabili-dades ya que son eventos mutuamente excluyentes
Así P = + = + =15
16
6 530
1130
19. La alternativa correcta es A)
Si el alumno tiene probabilidad 16
de egresar, tendrá 56
de no hacerlo.
de la misma forma si tiene probabilidad 25
de casarse, tiene 35
de no hacerlo.
La probabilidad de que salga y no se case será P = ⋅ =16
35
110
20. La alternativa correcta es E)
Al elegir un estudiante al azar entre tres carreras, la probabilidad de que hubiese finalizado sería la suma de las probabilidades de egresar de cada carrera ya que son sucesos excluyentes entre ellos.
a) Probabilidad de egresar en Construcción Civil = 25% ⋅ 20% = 15 ⋅ 1
4 = 120
b) Probabilidad de egresar en Derecho = 25% ⋅ 25% = 14 ⋅ 1
4 = 116
c) Probabilidad de egresar en Enfermería = 50% ⋅ 15% = 12 ⋅ 3
20 = 340
P = + + = =120
116
340
1580
316
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SOLUCIONARIO MATEMÁTICACAPÍTULO 4
Estadística Descriptiva
1. La alternativa correcta es C)
La media de datos no agrupados es el promedio de todos los datos, así:
X = =6 + 6 + 6 + 5 + 4 + 3
6
30
6= 5
2. La alternativa correcta es E)
La moda es el término que más se repite entre todos los datos, en este caso el número 6.
3. La alternativa correcta es D)
La mediana es el término que esta en el centro de todos los datos, como tenemos datos no agrupados lo primero que hacemos es ordenarlos y luego buscamos el número, entonces nos queda que en los datos 6,6,6,5,4,3
el término central corresponde al promedio de los dos números centrales Me =6 + 5
2= 5, 5.
4. La alternativa correcta es C)
La desviación típica o estándar de datos no agrupados es:
σ
σ
=
=
∑
− ⋅ + − + − + −
( - )=1
2x x
i
n
n
i
( ) ( ) ( ) (6 5 3 5 5 4 5 32 2 2
552
)
6
8
6
4
3= =
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5. La alternativa correcta es D)
En un polígono de frecuencias, el número de datos es la suma de todas los valores que se encuentran en las ordenadas, es decir:
2 + 2 + 3 + 7 + 9 + 7 +2 = 32
6. La alternativa correcta es C)
La moda del gráfico es el número que tiene mayor frecuencia, es decir 500 ya que tiene frecuencia de 9.
7. La alternativa correcta es D)
Al puntaje de 600 le corresponde la frecuencia de 7.
8. La alternativa correcta es C)
La media es el promedio, entonces tenemos
X
a a a a a a=
+ + + +=
3 6 7 2
5
19
5
9. La alternativa correcta es D)
La relación que tendremos que resolver es X = 15, 25 =x1 + x2 + x3 + x4
4 donde buscaremos que números debemos considerar para obtener un promedio o media de 15,25
61 = x1 + x2 + x3 + x4 con los números dados se tiene que el único número que no nos sirve para esta igualdad es el 21 ya que el resto debería sumar 40.
10. La alternativa correcta es B)
Al ordenar los datos se tiene 1, 1, 1, 5, 5, 5, 6, 7, 10, 10, 15 la mediana es el dato del centro, luego es el 5.
11. La alternativa correcta es D)
Como se aprueba con una nota mínima de 4,0, los alumnos que obtuvieron esta nota o más corresponde a las frecuencias de los intervalos desde [4,5] a [6,7] entonces corresponde a 17 alumnos, como el total de alumnos
es 20, el porcentaje será 17•100%20
=85%
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capítulo 1 Solucionario Matemática
12. La alternativa correcta es B)
Por definición
13. La alternativa correcta es E)
El promedio aritmético es la media, la ecuación nos queda
18= 20 + 15 +X33
18•3= 35 + X3
54 - 35= X3
19= X3
14. La alternativa correcta es A)
El número de alumnos corresponde a la frecuencia de los intervalos de notas, por lo tanto 7 es la frecuencia del intervalo entre 4 y 7
15. La alternativa correcta es C)
Si n = 600 representa el total de elementos y la sección B representa 60° en el gráfico, por lo que corresponde a 1
6 del gráfico, luego, 1
6 de los elementos son:
elementos = 6006
= 100
16. La alternativa correcta es C)
Si existe mayor desviación estándar o típica significa que hay mayor dispersión (por definición), entonces como todos tienen la misma media o promedio, la mayor dispersión es en el caso III
17. La alternativa correcta es B)
Como el promedio es 4,0 con 6 notas nos queda:
4,0 = 21,3 + X6
24 - 21,3 = X
2,7 = X
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18. La alternativa correcta es D)
x = 197
197 ⋅ 5 = suma de estaturas
Como sale una persona e ingresa otra, a la suma de las estaturas restamos 170 cm y sumamos 205 cm y finalmente calculamos el nuevo promedio
X cm= = 197 5 - 170 + 205
5204
⋅
19. La alternativa correcta es E)
Tenemos una tabla de datos agrupados donde la suma de todas las frecuencias no da el número total de datos, en este caso 520 datos distribuidos en diferentes intervalos de notas.
De las afirmaciones
I. Las notas desde 4 a 7 suman 120 alumnos, la primera afirmación es falsa
II. La nota promedio se obtiene con la fórmula de media de datos agrupados para la cual necesitamos sacar la marca de clase de cada intervalo, así:
Nota Frecuencia Marca de clase
[1-2,5]
(2,5-4]
(4-5,5]
(5,5-7]
250
150
100
20
1,75
3,25
4,75
6,25
(1,75)(250) + (3,25)(150) + (4,75)(100) + (6,25)(20)
520 X = =
6 + 6 + 6 + 5 + 4 + 3
6
30
6= 5
X = =6 + 6 + 6 + 5 + 4 + 3
6
30
6= 5437,5 + 487,5 + 475 + 125
520 = 2,93
La nota promedio si está en el intervalo (2,5 – 4], la afirmación es verdadera
III. El total de alumnos corresponde a la frecuencia total. La afirmación es verdadera
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20. La alternativa correcta es E)
Verificaremos las afirmaciones
I. La media de los datos es X = =1 + 3 + 5 + 7 + 9
5
25
5= 5 al sumar 12 a cada término la suma de
25 aumenta en (12)(5) = 60, entonces tenemos X = =25 + 60
5 17 Afirmación verdadera
II. La mediana aumenta en 12 por sumar este número a cada dato. Inicialmente era 5 ahora será 17-.
Afirmación falsa
IV. Utilizando la fórmula de desviación se obtiene
σ =(13 - 17) + (15 - 17) (17 - 17) (19 - 17) (21 - 1
2 2 2 2+ + + 77)
5
40
58
2
σ = =
Afirmación verdadera
capítulo 4
capítulo 4
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